ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ
2PADA DISTRIBUSI
EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA
VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI
PEMBANGKIT MOMEN
SKRIPSI
GHAZALI WARDHONO
090823040
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ2
PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI
PEMBANGKIT MOMEN SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
GHAZALI WARDHONO 090823040
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2011
PERSETUJUAN
Judul : ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ2 PADA
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Kategori : SKRIPSI
Nama : GHAZALI WARDHONO
Nomor Induk Mahasiswa : 090823040
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
Diluluskan di Medan,
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Pangeran Sianipar, MS Drs. Pasukat Sembiring, M.Si
NIP. 19470208 197403 1 001 NIP. 19531113 198503 1 002
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua
Prof.Dr.Tulus, M.Si
PERNYATAAN
ESTIMASI PARAMETER µ DAN σ2
PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERGENERALISIR DUA VARIABEL MENGGUNAKAN
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
GHAZALI WARDHONO 090823040
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan kasih karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Drs. Pangeran Sianipar, MS selaku dosen pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas dan padat dan professional telah diberikan kepada penulis agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga ditunjukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen yaitu Prof.Dr.Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si. Dekan pada FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU serta rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada orang tua saya ibunda (Siti Rohana) dan ayahanda (Alm. Triman Wardhono), adik saya (M Ishan Wardhono), serta kedua kakak saya (Mutiah dan Siti Aisyah) dan semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalasnya.
ABSTRAK
Dalam sebuah distribusi, rata-rata dan variansi merupakan parameter yang penting diestimasi setelah parameter distribusinya sudah diketahui. Dari estimasi kedua parameter tersebut, distribusi dapat lebih mudah dikaji, mengetahui karakteristik, dan mencari ukuran parameter lain seperti kemiringan dan kurtosis dari distribusi tersebut. Dalam mengestimasi kedua parameter tersebut dengan benar, metode yang paling tepat digunakan adalah fungsi pembangkit momen. Kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen ialah untuk menentukan momen distribusinya. Bila fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak ada, fungsi itu dapat dipakai untuk mentransformasikan dan menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali. Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya adalah rata-rata dan turunan kedua adalah variansinya. Untuk peubah acak X1 dan X2 yang kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungannya dinotasikan dengan : 2 1 2 2 1 1 2 1, ) ( ) ( ) ( 11 2 2 2 1 t t e f x f x dxdx Mxx tx+tx ∝ −∝ ∝ −∝
∫ ∫
=Dalam penelitian ini, distribusi yang akan diestimasi parameter rata-rata dan variansinya adalah distribusi baru yang diperkenalkan Gupta dan Kundu pada tahun 1999, yakni distribusi eksponensial tergeneralisir. Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah :
)
,
(
x
1x
2F
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1(
1
)
(
1
)
x x x xe
e
e
− −−
− − − −−
=
α
α
α αKata kunci: Estimasi Parameter, Fungsi Pembangkit momen Gabungan, Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel
ABSTRACT
From some distribution, the mean and variance is an important parameter estimates after the parameters distribution are known. From estimates of these parameters we can more easily review, investigate the characteristics, and found all of other measurement parameters such as skewness and kurtosis of these distribution. In estimating these parameters correctly, the most appropriate method used is the moment generating function.Obvious usefulness from the moment generating function is to determine the moment of it’s distribution. If the moment generating function of a random variable exists, the function can be used to transform and find all the moments of these random variables, moment generating function by deriveded to n-times. Can be seen that the first derivative is average and the second derivative is the variance. For random variables X1 and X2 are continuous, then the joint moment generating function is denoted by:
2 1 2 2 1 1 2 1, ) ( ) ( ) ( 11 2 2 2 1 t t e f x f x dxdx Mxx tx+tx ∝ −∝ ∝ −∝
∫ ∫
=In this research, distributions will be estimated parameter mean and variance is a new distribution introduced by Gupta and Kundu (1999), named a Generalized Exponential Distribution. If there are two random variables (X1,X2) a Generalized Exponential Distribution with the assumptions are mutually independent, then the Generalized Exponential distribution of two variables (joint probability density function of (X1,X2)), for x1 > 0, x2 > 0 is:
)
,
(
x
1x
2F
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1(
1
)
(
1
)
x x x xe
e
e
− −−
− − − −−
=
α
α
α αKeywords: Parameter Estimation, Joint Moment Generating Function, Generalized Exponential Distribution of Two Variables
DAFTAR ISI Halaman Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstract vi
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix Daftar Gambar x Bab 1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2 1.3 Tinjauan Pustaka 2 1.4 Tujuan Penelitian 5 1.5 Kontribusi Penelitian 5 1.6 Metode Penelitian 6
Bab 2 Landasan Teori 7
2.1 Peluang 7
2.1.1 Peluang Bersyarat 8
2.1.2 Peluang Dua Peristiwa yang Saling Bebas 9
2.2 Peubah Acak dan Distribusinya 9
2.2.1 Peubah Acak 9
2.2.2 Distribusi Peubah Acak 10
2.2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit 10
2.2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu 11
2.2.3 Distribusi Peubah Acak Gabungan 11
2.3 Defenisi Momen 12
2.3.1 Momen di Sekitar Titik Asal 12
2.3.2 Momen di Sekitar Rataan 13
2.4 Konversi Momen di Sekitar Titik Asal ke
Momen di Sekitar Rataan. 14
2.5 Fungsi Pembangkit 15
2.5.1 Fungsi Pembangkit Eksponensial 15
2.5.2 Fungsi Pembangkit Momen 16
2.5.3 Fungsi Pembangkit Momen Gabungan 19
2.6 Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel 21
2.7 Estimasi 22
2.7.1 Estimasi Titik 24
Bab 3 Pembahasan 25 3.1 Transformasi Distribusi Eksponensial Tergeneralisir
Dua Variabel Dengan Fungsi Pembangkit Momen 25
3.2 Fungsi Pembangkit Momen Marginal dari X1 dan X2 26 3.3 Estimator Rata-rata (µ) Pada Distribusi Ekponensial
Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen 27
3.4 Estimator Variansi (σ2) Pada Distribusi Ekponensial
Tergeneralisir dengan Fungsi Pembangkit Momen 28
3.5 Contoh Kasus 28
3.5.1 Nilai Rata-rata Peubah Acak X1 dan X2 30 3.5.2 Nilai Variansi Peubah Acak X1 dan X2 31 3.5.3 Nilai Estimasi Rata-rata X1 dan X2 dengan Estimator
Rata-rata Fungsi Pembangkit Momen 34
3.5.4 Nilai Estimasi Variansi X1 dan X2 dengan Estimator
Variansi Fungsi Pembangkit Momen 34
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 36
4.1 Kesimpulan 36
4.2 Saran 37
Daftar Pustaka 38
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Momen di Sekitar Titik Asal 13
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir
Dua Variabel dengan α = 16 29
Gambar 3.2 Grafik Distribusi Eksponensial Tergeneralisir
dengan α1 = 2 dan α2 = 8 29
Gambar 3.3 Grafik Peubah Acak X1 dan X2 dengan Garis
