ABSTRACT
MOMENT, CUMULANT, AND CHARACTERISTIC FUNCTION OF GENERALIZED LOGISTIC DISTRIBUTION TYPE IV
By Agustia Indriani
The generalized logistic distribution type IV is a generalized from standard logistic distribution that has two shape parameter, α and β. Standard logistic distribution is obtained from general logistic distribution therefore µ = 0 dan s = 1. In this study discuss about charactristic of generalized logistic distribution type IV especially moment, cumulant, and characteristic function. Mean and varians are actually another special things which is called moment. Moment are obtained by derivating moment generating function as many as r times. Although cumulant is obtained by derivating cumulant generating function as many as r times. Therefore cumulant generating function is obtained by using logarithm natural on moment generating function. Moreover cumulant can be used to find skewness and kurtosis from generalized logistic distribution type IV. Characteristic function is one of transformation type that often be used on probability theory. Characteristic function is obtain from expection value of therefore i is imaginary unit and . Then from characteristic function that has been obtained is proof that absolute value from characteristic function is equal 1. It is show that generalized logistic distribution type IV has monotonic function. Finally, the probability density function, skewness, and kurtosis were simulated by mathlab to know whether it is increasing monotonic or decreasing monotonic.
MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED LOGISTIK TIPE IV
Oleh
Agustia Indriani
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED LOGISTIK TIPE IV
(Skripsi)
Oleh
AGUSTIA INDRIANI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Suban pada tanggal 04 Agustus 1992. Penulis merupakan anak ketiga dari pasangan Bapak H. Suhardi.S dan Ibu Hj. Sugiyati, adik dari Sigit Harmoko dan Bayu Apriadi serta kakak dari si bungsu Andini Winda Yati.
Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak Wiratama 45 di Suban, Lampung Selatan pada tahun 1998. Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 1 Suban, Lampung Selatan pada tahun 2004. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Kautsar, Bandar Lampung pada tahun 2010.
MOTO
“
Maka sesungguhnya setelah kesulitan itu ada
kemudahan”
(Q.S. Al
–
Insyirah : 5)
“
Belajar belum tentu pintar, tidak belajar pasti
bodoh.
”
(H. Suhardi.S.)
“
Jangan pernah malas untuk melawan
kemalasan
.”
(Agustia Indriani)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang sangat luar biasa yang selalu diberikan kepadaku
sehingga aku dapat menyelesaikan hasil karyaku ini
Mama..., Papa....
Kupersembahkan hasil karyaku ini sebagai salah satu tanda
bakti dan cintaku, terima kasih untuk setiap doa, semangat
dan kasih sayang serta perhatian yang selalu menemani di
setiap hariku.
Untuk kakak-kakak teristimewa Mas Sigit, Mas Bayu, Mba
Ria, Mba Ida, Mba Novi. Serta adik terspesial Winda juga
keponakan-keponakan Kakak Bevan, Cindy, dan Widi yang
selalu memberikan semangat serta dukungan melalui
kebersamaan serta keceriaan yang selalu dihadirkan dan
doa yang amat sangat luar biasa kepadaku
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada. Terima kasih atas
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Momen, Kumulan, dan Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized Logistik
Tipe IV “. Shalawat serta salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing I yang senantiasa membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing II yang telah
banyak membantu dan selalu sabar memberikan pengarahan, pembelajaran, semangat, keceriaan, serta dukungan yang luar biasa dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si selaku penguji yang telah memberikan penulis kritik dan saran..
selalu memberikan saran serta pengarahan selama menjalani masa perkuliahan.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
7. Untuk kedua orang tuaku, mas Sigit, mas Bayu, mbak Ria, adikku winda yang luar biasa yang tak pernah letih memberikan begitu banyak saran, perhatian, doa serta semangat kepada penulis.
8. Sahabat-sahabat penulis Agustina Ambar Wulan, Christy Engine Nita, Dian
Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani, Hasby Alkarim, Miftah Farid Artama, Muhammad Ridho, Rohandi, serta Sofyan Saputra. Mereka yang sangat amat luar biasa yang selalu ada dan memberi semangat melalui keceriaan serta nasihatnya.
9. Sahabat seperjuangan sebimbingan, partner Dian Ekawati, kakak Apit Nirmala, Miranti Verdiana, Rosani Mutiara Thamrin, Tiurma Ratna Devi H, Fransiska Silvia, Vinny, Reka, juga Asri.
10. Sahabat seperjuangan pada saat KKN, Desi Aryani, Ismalia Husna (ula), Putri
Sari Dewi (uut), Mita, Ade, Ari, Kiki, Tanto, dan Sigit serta keluarga kecilku di sukorahayu untuk ibu dan kang Awang atas kebersamaan, keceriaan, serta kekeluargaan yang diberikan kepada penulis.
12. Keluarga besar Himatika atas pengalaman dan pembelajaran yang sangat amat berarti bagi penulis.
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Juli 2014 Penulis,
DAFTAR ISI
2.1 Distribusi Logistik ... 52.2 Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 6
2.3 Fungsi Gamma ... 9
2.4 Fungsi Digamma ... 10
2.5 Fungsi Polygamma ... 10
2.6 Fungsi Beta ... 11
2.7 Fungsi Pembangkit Momen ... 11
2.8 Momen ... 12
2.9 Fungsi Pembangkit Kumulan ... 13
2.10 Kumulan ... 14
2.11 Kemencengan ... 15
2.12 Kurtosis ... 16
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu Dan Tempat Penelitian ... 18
3.2 Metode Penelitian ... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Pembangkit Momen Dari Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... ... 19
4.2 Momen Dari Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 23
4.2.1 Momen Pertama ... 23
4.4 Kumulan Dari Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 32
4.4.1 Kumulan Pertama ... 32
4.4.2 Kumulan Kedua ... 35
4.4.3 Kumulan Ketiga ... 36
4.4.4 Kumulan Keempat ... 37
4.4.5 Kumulan Ke-r ... 38
4.4.6 Skewness (Kemencengan)... 38
4.4.7 Kurtosis ... 39
4.5 Fungsi Karakteristik Dari Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 40
4.6.1 Fungsi Kepekatan Peluang Dari Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 51 4.6.2 Kemiringan (Skewness) ... 59 4.6.3 Keruncingan (Kurtosis) ... 63 V. KESIMPULAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Distribusi Logistik Umum ... 6 2. Grafik Distribusi Logistik Standar ... 7 3. Grafik Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 8 4. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat nilai α tetap, nilai β
meningkat ... 51 5. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat nilai α tetap, nilai β
menurun... 52 6. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV
pada saat nilai α meningkat dan nilai β tetap ... 53
7. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV pada saat nilai α menurundan nilai β tetap ... 54
8. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV pada saat nilai α menurun dan nilai β menurun ... 55
9. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV pada saat nilai α menurun dan nilai β meningkat ... 56
11. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV
pada saat nilai α meningkat dan nilai β meningkat ... 58
12. Grafik Kemiringan dengan empat nilai α dan empat nilai β ... 59
13. Grafik Kemiringan dengan 9 nilai α dan 9 nilai β ... 60
14. Grafik Kemiringan dengan 16 nilai α dan 16 nilai β ... 61
15. Grafik Kemiringan dengan 36 nilai α dan 36 nilai β ... 62
16. Grafik Keruncingan dengan 4 nilai α dan 4 nilai β ... 63
17. Grafik Keruncingan dengan 9 nilai α dan 9 nilai β ... 64
18. Grafik Keruncingan dengan 16 nilai α dan 16 nilai β ... 65
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori peluang dan statistik, distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepadatan peluang yang simetris dan uni-modal. Pentingnya distribusi logistik sudah dirasakan di berbagai bidang usaha manusia. Contohnya Verhulst (1845) yang mengunakan distribusi logistik dalam studi ekonomi dan demografi.
Distribusi logistik tidak memiliki parameter bentuk. Dimana kurva distribusi logistik hanya memiliki satu bentuk yaitu bentuk lonceng dan bentuk ini tidak berubah. Bentuk distribusi logistik sangat mirip dengan distribusi normal. Perbedaan utama antara distribusi normal dan distribusi logistik terletak pada ekor dan fungsi tingkat kegagalan. Distribusi logistik memiliki ekor sedikit lebih panjang dibandingkan dengan distribusi normal.
2
suatu spesies populasi dapat tumbuh dalam kompetisi, pada bidang epidemiologi distribusi ini dapat menggambarkan penyebaran epidemi dan pada bidang lainnya seperti bidang psikologi maupun teknologi. Distribusi generalized logistik dibagi menjadi empat tipe, salah satu tipe dari distribusi generalized logistik ini adalah
generalized logistik tipe IV.
Distribusi generalized logistik tipe IV merupakan generalisasi dari distribusi logistik dengan menambahkan dua parameter baru yang disebut parameter bentuk (α,β). Hal ini berarti bahwa generalized logistik tipe IV memiliki keunggulan dari
distribusi logistik yang tidak memiliki parameter bentuk.
Konsep ekspektasi matematik (nilai harapan secara matematik) dalam statistik sangat besar manfaatnya. Selain digunakan untuk pengembangan dalam statistik lanjutan dan terapan di bidang lain, juga sebagai konsep dasar untuk mendefinisikan atau membangun ukuran-ukuran dalam statistik, seperti rerata, varian, koefisien korelasi, dan lain-lain. Rerata dan varians merupakan dua hal yang dapat dikatakan cukup istimewa. Hal ini karena rerata merupakan salah satu konsep sentral dalam statistika matematis dan bersama dengan varians menjadi bagian penting dalam berbagai penurunan berbagai metode statistika.
Dalam statistika matematika sering dijumpai beberapa bentuk fungsi, salah satunya yaitu yang sering disebut sebagai fungsi pembangkit momen.
3
momen-momennya, yaitu dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali.
Adapun dalam teori probabilitas dan statistik, seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif momen distribusi dinamakan kumulan. Momen menentukan kumulan, dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang mempunyai momen identik akan memiliki kumulan identik juga. Kumulan juga dapat diperoleh dengan meng-ln kan fungsi pembangkit momen.
Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Setiap distribusi peluang memiliki fungsi karakteristik termasuk distribusi generalized logistik tipe IV. Sama halnya dengan fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menghitung momen dari peubah acak X.
Berdasarkan latar belakang diatas, penulis tertarik untuk mengkaji tentang momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV.
1.2 Batasan Masalah
4
momen itu ditentukan karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV. Dalam penelitian ini penulis membatasi hanya mencari momen yang selanjutnya dapat menentukan rataan, varian dll, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mencari momen dari distribusi generalized logistik tipe IV dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
2. Mencari kumulan dari distribusi generalized logistik tipe IV.
3. Mencari fungsi karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan panduan dan sumbangan pemikiran kepada peneliti lain tentang cara mencari momen dari distribusi generalized logistik tipe IV.
2. Memberikan hasil kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini akan dijelaskan beberapa tinjauan pustaka yang digunakan penulis pada penelitian ini, antara lain :
2.1 Distribusi Logistik
Distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepekatan peluang kontinu. Bentuk kurva distribusi logistik adalah simetri dan uni-modal. Bentuk kurva ini mirip dengan bentuk kurva distribusi normal. Namun, kedua distribusi ini tidak dapat dibandingkan antara satu dengan yang lainnya. Fungsi kepekatan peluang distribusi logistik memiliki bentuk umum sebagai berikut :
Definisi 2.1
Suatu variabel acak X dikatakan mengikuti distribusi logistik jika dan hanya jika fungsi densitasnya didefinisikan :
6
Dari fungsi kepekatan peluang dari distribusi logistik umum diperoleh betuk kurva sebagai berikut :
Gambar 1 Plot Distribusi Logistik Umum
(Stockute et al,2013)
Setelah menjelaskan tentang distribusi logistik, selanjutnya akan dijelaskan tentang distribusi generalized logistik tipe IV yang menjadi pokok pembahasan yang akan ditentukan karakteristik dari distribusi ini.
2.2 Distribusi Generalized Logistik Tipe IV
Distribusi generalized logistik tipe IV merupakan generalisasi dari distribusi logistik standar. Distribusi logistik standar diperoleh dari distribusi logistik umum dengan nilai µ=0 dan s=1 (standar baku) atau dapat didefinisikan sebagai berikut :
7
Definisi 2.2:
Suatu variabel acak X merupakan dikatakan mengikuti distribusi logistik standar jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluangnya adalah
Yang diperoleh dari hasil turunan dari fungsi kumulatif dari distribusi standar logistik yang dapat didefinisikan sebagai berikut :
Dari fungsi kepekatan peluang distribusi logistik standar dengan menggunakan program matlab diperoleh bentuk kurva sebagai berikut:
Gambar 2 Plot Distribusi Logistik Standar
8
Dari distribusi logistik standar ini selanjutnya ditambahkan dua parameter bentuk (α,β) sehingga menjadi distribusi generalized logistik type IV yang dapat
dituliskan secara sistematis sebagai berikut :
Definisi 2.3
Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi generalized logistik tipe IV dengan parameter (α,β), jika fungsi kepadatannya adalah :
Dengan B(α,β) merupakan fungsi Beta.
Dari fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV dengam menggunakan program matlab maka diperoleh bentuk kurva sebagai berikut :
Gambar 3 Plot Distribusi Generalized Logistik Type IV
(Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. 1995)
9
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi Gamma yang akan digunakan untuk menyelesaikan integral khusus,
2.3 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma merupakan salah satu dari beberapa fungsi khusus di dalam matematika. Fungsi Gamma merupakan perluasan dari transformasi laplace yang sangat penting dalam matematika dan sebagai dasar dalam perkembangan teknologi dan sains modern.
Definisi 2.4
Fungsi Gamma yang dinotasikan oleh didefinisikan oleh
∫
(Satya N Mirsah,Edward J dudewicz,1995)
10
2.4 Fungsi Digamma
Fungsi digamma merupakan hasil turunan (derivatif) pertama dari fungsi Gamma. Definisi 2.5
Fungsi Digamma didefinisikan sebagai berikut :
(Abramowitz, M. and Stegun,1972)
Sub-bab berikutnya akan dijelaskan tentang fungsi polygamma yang juga akan digunakan pada saat mencari momen dan kumulan dari distribusi generalized
logistik tipe IV.
2.5 Fungsi Polygamma
Fungsi polygamma merupakan fungsi yang diperoleh dari turunan ke-n fungsi Gamma.
Definisi 2.6
Fungsi polygamma didefinisikan sebagai berikut :
(Abramowitz, M. and Stegun,1972)
11
2.6 Fungsi Beta
Fungsi Beta juga merupakam salah satu fungsi khusus yang ada di dalam matematika. Fungsi Beta digunakan untuk mengevaluasi integral tentu.
Definisi 2.7
Fungsi Beta adalah suatu fungsi bernilai real dengan dua peubah, didefinisikan oleh suatu bentuk integral, yaitu :
∫
∫
Fungsi Beta dapat dinyatakan melalui fungsi Gamma dengan cara berikut ini :
(Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy,1999)
Tahap pertama dalam menentukan karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV yaitu dengan menentukan fungsi pembangkit momen yang nantinya dari fungsi pembangkit momen ini dapat menentukan karakteristik lainnya.
2.7 Fungsi Pembangkit Momen
12
Definisi 2.8
Misalkan ada sejumlah angka positif h sehingga untuk ekspektasi
ada. Sehingga
∫
Jika Xmerupakan variabel acak kontinu, atau
∑
Jika X merupakan variabel acak diskrit. Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit momen (FPM) dari x (atau dari distribusi) dan dilambangkan dengan yaitu
(Hogg and Craig, 1965)
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang momen yang juga merupakan salah satu karakterik dari distribusi generalized logistik tipe IV yang akan dicari dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
2.8 Momen
13
Definisi 2.9
Momen ke-r tentang asal-usul dari suatu variabel acak X, dilambangkan dengan
, adalah nilai harapan dari Xr dituliskan,
∑
Untuk pada saat X diskrit
∫
Pada saat X kontinu.
Momen juga dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit momen, yang dapat dinyatakan dengan
(Irwin Miller, Marrylees Miller, 1999)
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi pembangkit kumulan yang akan digunakan untuk menentukan kumulan dari distribusi generalized
logistik tipe IV.
2.9 Fungsi Pembangkit Kumulan
14
Definisi 2.10
Fungsi Pembangkit kumulan dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut :
Dimana merupakan fungsi pembangkit momen dari peubah acak X.
(Breno de Andrade P.N & Rio de Janeiro,2005)
Setelah fungsi pembangkit kumulan, pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang kumulan yang akan diperoleh dengan menggunakan fungsi pembangkit kumulan.
2.10 Kumulan
Dalam teori probabilitas dan statistik, kumulan dari distribusi probabilitas adalah seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif untuk momen-momen dari suatu distribusi. Momen-momen menentukan kumulan dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang memiliki momen identik akan memiliki kumulan identik juga, dan demikian pula kumulan menentukan momen. Dalam beberapa kasus perlakuan teoritis masalah dalam hal kumulan lebih sederhana dibandingkan dengan menggunakan momen.
Definisi 2.11 :
Kumulan dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut :
Dimana merupakan fungsi pembangkit kumulan.
15
Setelah kumulan diketahui, dalam sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang kemencengan atau skewness yang dapat dicari setelah kumulan ke-2 dan ke-3 diperoleh.
2.11Kemencengan
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.
Skewness dari suatu variable random X yang dinotasikan dengan Skew[X] didefinisikan sebagai:
Skewness ini juga dinamakan skewness populasi. Skewness merupakan ukuran dari kesimetrisan atau lebih tepatnya kekurang-simetrisan. Suatu distribusi dikatakan simetris jika distribusi tersebut nampak sama antara sebelah kanan dan sebelah kiri titik.pusatnya. Distribusi yang simetris misalnya distribusi normal, distribusi t
dan distribusi seragam. Distribusi yang mempunyai skewness positif misalnya distribusi eksponensial, distribusi Chi-kuadrat, distribusi Poisson dan distribusi Binomial dengan p > 0.5 sedangkan distribusi yang mempunyai skewness negatif misalnya distribusi Binomial dengan p < 0.5.
16
Selain skewness, pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang kurtosis atau tingkat keruncingan dari distribusi data yang dapat diperoleh setelah kumulan ke-2 dan kumulan ke-4 didapatkan.
2.12 Kurtosis
Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah ukuran tinggi rendahnya puncak dari suatu ditribusi. Kurtosis dilambangkan dengan
Definisi 2.12 :
Momen keempat terhadap rataan, , bila dibagi dengan , disebut dengan kurtosis distribusi X, dan sering dinyatakan dengan
(Satya N Mirsah, Edward J dudewicz, 1995)
Sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi karakteristik yang secara sistematis memiliki bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit momen,
2.13 Fungsi Karakteristik
17
Definisi 2.12
Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai
ekspetasi dari , dimana i adalah unit imaginer dan t dapat dinyatakan sebagai berikut:
( ) ∫
Dimana ( )
( ) ( )
dan merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi X.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1Waktu dan Tempat Penilitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2013/2014, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized logistik tipe IV, yang selanjutnya fungsi pembangkit momen ini digunakan untuk mencari momen-momen dari distribusi generalized logistik tipe IV dengan cara menurunkan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized logistik tipe IV.
2. Mencari fungsi karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV. 3. Mencari kumulan dari distribusi generalized logistik tipe IV.
V.KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang telah didapat dan diuraikan dari penelitian ini, maka dapat disimpulkan :
1. Momen ke-r dari distribusi generalized logistik tipe IV adalah
∑
yang diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit momen dari distribusi
generalized logistik tipe IV sebagai berikut
2. Kumulan ke-r dari distribusi generalized logistik tipe IV adalah
3. Fungsi Karakteristik dari distribusi generalized logistik tipe IV adalah
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.).1972.. "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York
Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. 1999. Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press.
Andrade, Breno de and Rio de Janeiro.2005.Generating Function.Brazil. De Gunst, M. C. M.1994.Statistiche Data Analyse, Faculteit Wiskunde en
Informatica. Amsterdam. Vrije Universiteit.
Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra. 1995.Modern Mathematical Statistics.Syracuse,New York.
El-saidi,Mohammed A, Karan P Singh, and Alfred A. Bartolucci.1993.Symmetric Generalized Logistik Distribution : Some Moment Properties and Aproximation to The Normal Distribution. The united states of america. Hogg, v robert and craig, tallen.1965.Introduction to mathematical statistic fifth
edition. New jersey : The united states of america.
Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. 1995. Continuous Univariate
Distributions, Volume 2, Wiley. ISBN 0-471-58494-0 (pages 140–142) Lukacs,E and R.G Laha.1964.Applications of Characteristic Function.London Miller,irwin and Miller maryless.1999.Mathematical Statistics Sixth Edition. New
jersey : The unuted states of america
R. Bowling, Shannon, Mohammad T. Khasawneh,Sittichai Kaewkuekool,Byung Rae Cho.2009. A logistic approximation to the cumulative normal
