PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES
SKRIPSI
FITRI ARDIANTI 130803077
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2017
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
FITRI ARDIANTI 130803077
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2017
PERSETUJUAN
Judul : Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
Kategori : Skripsi
Nama : Fitri Ardianti
Nomor Induk Mahasiswa : 130803077
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Oktober 2017
Komisi Pembimbing : Pembimbing,
Dr. Sutarman, M.Sc
NIP. 19631026 199103 1 001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Dr. Drs. Suyanto, M.Kom NIP. 19590813 198601 1 002
PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES
SKRIPSI
Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya serahkan ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2017
FITRI ARDIANTI 130803077
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Skripsi “Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes”.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku pembimbing yang telah meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini.
Terima kasih kepada Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc dan Ibu Dr. Esther S M Nababan, M.Sc selaku dosen pembanding 1 dan pembanding 2 yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi penulis.
Terimakasih kepada Bapak Dr. Drs. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua Departemen dan Sekertaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, Bapak Dr. Kerista sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA USU Medan, seluruh Staff dan Dosen Matematika FMIPA USU serta pegawai FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua orangtua tercinta, Ayahanda Poniman dan Ibunda Sugiati. Terima kasih kepada sahabat-sahabat yang terhimpun dalam grup “Muslimah Kece” yaitu Dhira, Dilla, Indri, Mia, dan Shindi. Terima kasih kepada teman-teman Pema Sekawasan USU yaitu Surya, Rozy, Lusi, dan Putri.
Terima kasih kepada keluarga PEMA FMIPA USU, teman-teman Matematika 2013 FMIPA USU serta rekan-rekan kuliah lainnya yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu namanya yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah SWT Yang Maha Esa akan membalasnya.
Medan, Oktober 2017
FITRI ARDIANTI 130803077
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam menaksir parameter Distribusi Rayleigh. Distribusi prior untuk metode Bayes yang digunakan pada penelitian ini adalah prior Jeffrey.
Perbandingan kedua metode dilakukan melalui simulasi data pada berbagai kondisi parameter dan ukuran sampel. Evaluasi terhadap kedua metode dilakukan melalui pengamatan terhadap nilai bias dan MSE yang dihasilkan. Berdasarkan simulasi data dari estimator yang diperoleh dengan menggunakan program R, diketahui bahwa nilai bias dari kedua metode menunjukkan pola yang sama yakni nilai bias yang semakin kecil dengan ukuran sampel semakin besar. Nilai bias pada metode Bayes dengan fungsi kegurian loss function-L1 menunjukkan angka yang semakin kecil dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function, dan loss function-L1. Sedangkan, untuk nilai MSE menunjukkan error yang semakin besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE metode Maksimum Likelihood lebih kecil dibandingkan nilai MSE pada metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function, dan loss function-L1. Penelitian ini menunjukkan bahwa tidak selamanya metode Bayes lebih baik dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dalam menaksir parameter.
Kata Kunci: Penaksiran Parameter, Distribusi Rayleigh, Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes
ESTIMATING PARAMETER OF RAYLEIGH DISTRIBUTION BY USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD
AND BAYES METHOD
ABSTRACT
This study aims to compare the Maximum Likelihood method and Bayes method in estimating the Rayleigh Distribution parameter. The prior distribution for the Bayes method used in this study is Jeffrey's priority. Comparison of both methods is done by simulation of data on various condition of parameter and sample size.
Evaluation of both methods is done through observation of the bias and MSE values generated. Based on the data simulation of estimator obtained by using program R, it is known that the bias value of both methods shows the same pattern that the smaller the bias value with the bigger the sample size. The bias value on the Bayes under loss function-L1 method shows a smaller number compared to Maximum Likelihood method and Bayes method with loss function loss precautionary function, entropy loss function, and loss function-L1. Meanwhile, for the MSE value shows an increasingly small error with the condition of the larger the sample size. The MSE value of the Likelihood Maximum method is smaller than the MSE value of the Bayes method with the loss function of precautionary loss function, entropy loss function, and loss function-L1. This study shows that Bayes method is not always better than Maximum Likelihood method in estimating parameters.
Keywords: Estimation of Parameter, Rayleigh Distribution, Maximum Likelihood Method, Bayes Method
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR
viii ix BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 4
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Batasan Masalah 5
1.5 Kontribusi Penelitian 5
1.6 Metodologi Penelitian 6
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Probabilitas Dasar 8
2.2 Peubah Acak 9
2.2.1 Peubah Acak Diskrit 10
2.2.2 Peubah Acak Kontinu 10
2.3 Ekspektasi dan Varians 11
2.3.1 Ekspektasi 11
2.3.2 Varians 14
2.4 Distribusi Gamma 15
2.4.1 Fungsi Gamma 16
2.4.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif Gamma
18 2.4.3 Ekspektasi dan Varians Distribusi Gamma 18
2.5 Distribusi Weibull 19
2.5.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Kumulatif Distribusi Weibull
19 2.5.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Weibull 19
2.6 Distribusi Rayleigh 20
2.6.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Kumulatif Distribusi Rayleigh
21 2.6.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Rayleigh 22
2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama 22
2.8 Fungsi Densitas Peluang Marginal 22
2.9 Distribusi Sampel 23
2.10 Distribusi Bersyarat 24
2.11 Penaksiran Parameter 25
2.12.1 Metode Maximum Likelihood 26
2.12.2 Teorema Bayes
2.12.2.1 Distribusi Prior 2.12.2.2 Distribusi Posterior 2.12.2.3 Fungsi Risiko
27 29 30 31
2.12.3 Metode Evaluasi Estimator 34
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Desain Penelitian 36
3.2 Metode Penyelesaian 36
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh 39 4.1.1 Menentukan Estimator Parameter dengan
Metode Maximum Likelihood 40
4.1.2 Menentukan Estimator Parameter dengan
Metode Bayes 42
4.1.2.1 Menentukan Distribusi Prior Non-
Informatif Distribusi Rayleigh 42 4.1.2.2 Menentukan Distribusi Posterior
Distribusi Rayleigh 43
4.1.2.3 4.1.2.4
Menentukan Fungsi Densitas
Marginal Distribusi Rayleigh 44
Menetukan Estimator Bayes 46
4.2 Simulasi Data menggunakan Program R 53
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 55
5.2 Saran 56
DAFTAR PUSTAKA 57
Nomor Judul Halaman Tabel
4.1 Nilai Bias Estimasi Distribusi Rayleigh 53
4.2 Nilai MSE Estimasi Distribusi Rayleig 54
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar Judul Halaman
2.1 2.2
3.1
Empat kejadian 𝐵𝑖 untuk 𝑖 = 1, ⋯ , 4 merupakan partisi dari himpunan semesta U, sekitar kejadian A
Himpunan semesta berkurang mengingat kejadian A telah terjadi, bersama dengan mempartisi empat kejadian himpunan semesta
Diagram Alir
28 29
39
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pengetahuan tentang penaksiran parameter menjadi hal yang sangat penting. Para peneliti, administrator dalam bidang pendidikan, bisnis, atau pemerintah, dan pengamat politik semuanya berkepentingan dalam masalah penaksiran (Walpole, 1997). Penaksiran yang dilakukan harus dapat dipertanggungjawabkan yang dinyatakan dengan tingkat keyakinan dari hasil taksiran yang diperoleh. Banyak pihak sangat berkepentingan dengan masalah penaksiran ini. Penaksiran parameter merupakan salah satu teknik pengambilan keputusan tentang suatu parameter populasi. Penaksiran parameter dan pengujian hipotesis merupakan teori statistika inferensi. Statistika inferensi merupakan salah satu cabang statistika yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi (Waluyo, 2001). Statistika inferensi meliputi metode analisis, interpretasi, dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu penarikan kesimpulan suatu populasi.
Statistika inferensi dapat dikelompokkan ke dalam dua teknik utama, yaitu penaksiran parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini menggunakan informasi sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagian-bagian lainnya yang dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar dihasilkan keputusan yang terbaik. Penaksiran adalah proses yang menggunakan sampel (statistik) untuk mengestimasi hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Jadi dengan penaksiran, keadaan parameter populasi dapat diketahui (Hasan & Iqbal, 2002).
Nilai dugaan yang diperoleh dari statistik contoh acak akan menghasilkan nilai yang berbeda dengan berbedanya contoh acak yang diambil. Dengan demikian, dalam penaksiran ini terdapat ketidakpastian (uncertainty). Karena ketidakpastian ini, maka suatu penaksir yang baik harus memiliki sifat-sifat
2
tertentu agar penaksiran yang dihasilkan memberikan nilai taksiran yang terbaik.
Penaksir yang memiliki sifat terbaiklah yang akan digunakan sebagai penaksir sebuah parameter. Suatu penaksir yang baik adalah bila nilai tengah sebaran penaksir tersebut sama dengan parameter sebarannya. Penaksir yang bersifat demikian disebut penaksir tak berbias (unbiased). Selain penaksir tak berbias, ciri penaksir yang baik adalah memiliki variansi minimum, yakni penaksir yang memiliki varians terkecil diantara seluruh penaksir untuk parameter yang sama dan penaksir yang konsistensi, yakni apabila ukuran sampel n mendekati ukuran populasi dan menyebabkan θ mendekati (Gurajati, 1998).
Secara umum penaksiran parameter digolongkan menjadi dua yaitu penaksiran titik (point estimation) dan penaksiran interval (interval estimation).
Penaksiran titik (point estimation) merupakan penaksiran dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh bilangan tunggal.
Penaksiran interval (interval estimation) merupakan penaksiran dari parameter populasi yang dinyatakan dengan dua buah bilangan diantara posisi parameternya diperkirakan berbeda. Penaksiran interval mengindikasikan tingkat kepresisian atau akurasi dari sebuah penaksiran sehingga penaksiran interval akan dianggap semakin baik jika mendekati penaksiran titik. (Murrary & Larry, 1999).
Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik, sedangkan karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan parameter.
Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi disebut dengan estimator. Parameter adalah ukuran seluruh populasi yang diwakili oleh nilai estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak diketahui karena banyaknya anggota populasi.
Teori penaksiran sering dipakai sebagai prosedur untuk mencari parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamanan yang ada.
Dalam analisis keandalan (reliabilitas) dan teori antrian, penaksiran parameter digunakan untuk mencari parameter dari distribusi yang berkaitan dengan data yang dimiliki.
Beberapa penelitian seperti di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan Kedokteran biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu hidup dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non negatif. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tersebut disebut analisis tahan hidup (survival).
Analisis uji hidup merupakan suatu analisis terhadap individu-individu suatu populasi dengan memusatkan perhatian pada lamanya waktu individu menjalankan fungsinya dengan baik sampai kematian individu tersebut, yang dinyatakan dengan fungsi selamat dan fungsi bahaya. Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat digunakan dalam menggambarkan waktu hidup antara lain distribusi Eksponensial, distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Rayleigh, dan lain- lain (Lawless, 1982). Berdasarkan beberapa distribusi tersebut dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Rayleigh pada penelitian ini.
Pada teori estimasi dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan metode bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses infernsi pada data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Box & Tiao, 1973). Metode statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).
Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menaksir parameter suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode derivatif (turunan). Pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak mempengaruhi nilai dugaan parameter model) (Bollen, 1989).
4
Metode klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang tidak diketahui harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel.
Metode bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut sebagai distribusi prior (Bolstad, 2007). Sedangkan penentuan distribusi prior yang tidak didasarkan pada data yang ada disebut non-informatif prior. Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam distribusi prior dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui teorema Bayes, dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi dalam metode Bayes (Berger, 1990).
Langkah-langkah yang dilakukan adalah mencari distribusi non-informatif prior yang kemudian digabungkan dengan informasi sampel melalui teorema bayes sehingga dihasilkan distribusi posterior (Albert, 2009). Selanjutnya bisa dicari distribusi posterior marginal untuk tiap parameter dari distribusi posterior yang terbentuk.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang penelitian ini, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mencari estimator parameter dari distribusi Rayleigh dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes dengan beberapa fungsi kerugian yang digunakan, kemudian akan dilakukan simulasi data terhadap estimator yang telah diperoleh dengan menggunakan program R untuk melihat metode yang terbaik diantara kedua metode tersebut dalam menaksir parameter .
1.3 Tujuan Penelitian
Menentukan estimator parameter dari distribusi Rayleigh dengan metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes, kemudian akan dilakukan simulasi data
terhadap estimator yang telah diperoleh dengan menggunakan program R untuk melihat metode yang terbaik diantara kedua metode tersebut dalam menaksir parameter .
1.4 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Distribusi yang dipakai pada penelitian ini adalah distribusi Rayleigh dengan satu parameter.
2. Penaksiran yang dilakukan pada penelitian ini adalah penaksiran titik (point estimation).
3. Metode yang digunakan untuk melakukan penaksiran terhadap parameter pada penelitian ini adalah metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.
4. Fungsi kerugian yang digunakan pada Metode Bayes adalah precautionary loss function, entropy loss function, dan loss function-L1 sebagai bahan perbandingan.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan teorema Maximum Likelihood dan teorema Bayes serta memperlihatkan prosedur penggunaan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam menduga parameter dari distribusi Rayleigh serta melihat perbandingan metode yang menghasilkan penaksiran yang baik.
2. Menerapkan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam penunjang ilmu matematika statistika dan probabilitas sehingga dapat meningkatkan penguasaan dan pemikiran teknik estimasi yang lebih baik serta memudahkan dalam pengambilan keputusan pada tingkat populasi.
3. Bahan acuan tambahan untuk penelitian sejenis di masa akan datang.
6
1.6 Metodologi Penelitan
Metodologi yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Berikut tahapan-tahapan studi literatur yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan didalam penelitian ini.
1. Studi literatur
Pada tahap ini dilakukan studi literatur tentang penaksiran parameter pada distribusi Rayleigh dengan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.
Adapun teori pendukung yang digunakan seperti penaksiran parameter, distribusi Rayleigh, Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, dan teori- teori pendukung lainnya.
2. Melakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh
Pada tahap ini dilakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes sehingga diperoleh estimator dari setiap parameter menggunakan studi literatur yang berkaitan. Adapun langkah-langkah dalam melakukan penaksiran parameter pada distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:
2.1 Melakukan estimasi Maksimum Likelihood
a. Menentukan fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh.
b. Menentukan logaritma natural (ln) pada fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh.
c. Melakukan differensial fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh sebagai konsekuensi memaksimumkan parameter distribusi Rayleigh terhadap parameter, dan kemudian menyamakan persamaan dengan nol.
2.2 Melakukan estimasi Bayes
a. Menentukan distribusi prior dengan aturan Jeffrey’s yang menyatakan bahwa distribusi prior merupakan akar dari informasi Fisher.
b. Menentukan distribusi posterior distribusi Rayleigh.
c. Menentukan fungsi densitas marginal distribusi Rayleigh.
d. Menentukan fungsi densitas posterior.
e. Melakukan estimasi Bayes berdasarkan fungsi densitas posterior yang diperoleh dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function, dan loss function-L1.
3. Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
Pada tahap ini dilakukan perbandingan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes berdasarkan simulasi data yang diperoleh dengan program R.
Adapun langkah-langkah untuk melakukan perbandingan adalah sebagai berikut:
a. Membangkitkan data berdistribusi Rayleigh dengan program R untuk metode Maximum Likelihood maupun metode Bayes.
b. Menentukan ukuran sampel.
c. Menghitung nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE) dari kedua metode untuk membandingkan hasil penaksiran parameter antara metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes dengan beberapa fungsi kerugian yang digunakan.
d. Membuat tabel perbandingan nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE) dari kedua metode tersebut dari data berdistribusi Rayleigh yang dibangkitkan dengan program R.
4. Analisis dan Kesimpulan
Pada tahap ini dilakukan analisis dari hasil perbandingan antara Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes yang selanjutnya akan diambil suatu kesimpulan terhadap metode yang terbaik dalam menaksir parameter.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Probabilitas Dasar
Istilah percobaan atau percobaan statistik telah digunakan untuk menjelaskan sembarang proses yang menghasilkan satu atau lebih ukuran bagi faktor kebetulan. Sering kali, kita tidak tertarik pada keterangan rinci setiap titik contoh, namun hanya pada suatu keterangan numerik hasil percobaan. Dalam mempelajari dasar-dasar teori statistika kita sudah mengetahui bahwa statistika merupakan suatu alat dan juga metode analisa yang digunakan untuk mengevaluasi data di mana pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan dari data sampel yang ada.
Dari semua alat analisa yang ada, maka konsep probabilitas merupakan salah satu alat analisa yang cukup penting untuk diketahui, karena dalam statistik modern sekarang ini konsep teori probabilitas banyak sekali digunakan dalam memecahkan masalah yang ada.
Andrei Kolgomorov (1930-1987) meletakkan landasan matematis teori probabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara.
Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik dan dinamika nonlinear.
Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi peluang permainan. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de Fermat dalam menemukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad ke 18, ketika Pierre di Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.
Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang dihasilkan dari suatu percobaan statistik dievaluasi dengan segugus (himpunan) bilangan riil yang
disebut bobot atau probabilitas dengan berjangkauan 0 sampai 1. Untuk setiap titik di dalam ruang contoh tersebut kita menetapkan suatu probabilitas sedemikian rupa sehingga jumlah semua probabilitas adalah 1. Untuk mendapatkan probabilitas dari suatu kejadian 𝐴, kita menjumlahkan semua probabilitas yang diketahui titik-titik contoh dalam 𝐴. Jumlah ini disebut probabilitas dari 𝐴 dan ditandai dengan 𝑃 𝐴 .
Definisi 2.1
Andaikan S adalah ukuran sampel yang berhubungan dengan sebuah eksperimen.
Untuk setiap kejadian 𝐴 dalam 𝑆 (𝐴 himpunan bagian dari 𝑆), kita ambil sebuah angka, 𝑃 𝐴 yang disebut dengan probabilitas 𝐴 (Wackerly et al. 2008). Jadi, berikut axioma:
Axioma 1 : 𝑃 𝐴 ≥ 0 Axioma 2 : 𝑃 𝑆 = 0
Axioma 3 : Jika 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, ⋯ bentuk barisan kejadian saling lepas pada S (itu berarti 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, jika 𝑖 ≠ 𝑗, kemudian:
𝑃 𝐴1∪ 𝐴2∪ 𝐴3⋯ = ∞𝑖=1𝑃 𝐴𝑖
2.2 Peubah Acak
Eksperimen probabilitas memiliki keluaran (outcome) yang bisa berupa suatu nilai numerik (angka/bilangan), suatu cacahan/hitungan, atau suatu hasil pengukuran (measurement). Variabel acak (random variable), biasa ditandai dengan sebuah simbol seperti 𝑋, adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Dengan kata lain, nilai tertentu dari 𝑋 dalam sebuah eksperimen adalah suatu kemungkinan keluaran yang acak.
Definisi 2.2
Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur di dalam ruang sampel (Walpole dan Myers, 1998).
10
2.2.1 Peubah Acak Diskrit Definisi 2.3
Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak 𝑋 adalah suatu himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 atau 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak diskrit 𝑋, didefinisikan fungsi massa peluang 𝑃𝑋 𝑥 sebagai:
𝑃𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 (2.1)
Fungsi massa peluang 𝑃 𝑥 bernilai positif, untuk sejumlah nilai x tercacah.
Dengan kata lain, jika 𝑋 mengambil salah satu dari nilai 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 maka peubah acak diskrit 𝑋 dengan nilai yang mungkin 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 fungsi massa peluang adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:
1) 𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0; 𝑖 = 1, 2, ⋯ 2) 𝑛𝑖=1𝑝 𝑥𝑖 = 1
3) 𝑝 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
2.2.2 Peubah Acak Kontinu Definisi 2.4
Sebuah peubah acak 𝑋 berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi f tak negatif, terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil (berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa 𝑋 yang berada pada interval tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh, keadaan yang menggambarkan definisi di atas, dengan batas dalam interval tertutup [a,b].
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Berimplikasi pada:
𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎∞ dan 𝑃 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫−∞𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (2.2)
Berdasarkan karakteristik 𝑓 distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah acak kontinu. Fungsi kepadatan peluang 𝑓 dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi probabilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval memuat kemiripan nilai 𝑋, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan 𝑓 𝑥 . Memenuhi ketiga kaidah berikut:
1) 𝑓 𝑥 ≥ 0
2) ∫−∞∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 1
3) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏
Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak 𝑋 dalam bentuk kurva.
Ketika 𝑋 merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut probabilitas 𝑋.
Jika 𝑋 adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 𝑛1, 𝑛2, ⋯ maka daftar distribusi probabilitas bekaitan dengan 𝑋 = 𝑛1, 𝑋 = 𝑛2, ⋯ Jumlah seluruh probabilitas selalu sama dengan 1.
Ingat bahwa 𝑋 merupakan variabel acak, sedangkan 𝑥 merupakan nilai spesifik dari variabel acak 𝑋. Berakibat jika 𝑥 = 2 maka probabilitas 𝑃 𝑋 = 𝑥 berarti 𝑃 𝑋 = 2 , probabilitas bahwa 𝑋 adalah 2. Hal yang sama jika 𝑌 merupakan peubah acak maka 𝑃 𝑌 = 𝑦 probabilitas 𝑌 dengan nilai khusus 𝑦.
2.3 Ekpektasi dan Varians
Berikut ini akan dijelaskan pengertian serta sifat-sifat dari ekspektasi dan varians.
2.3.1 Ekspektasi
Dalam suatu pengukuran eskperimen, hasil pengukuran eksperimen seringkali menghasilkan variasi. Ukuran-ukuran yang menggambarkan karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih dikenal dengan mean.
Secara matematis dinyatakan dengan formula berikut:
12
1) Peubah Acak Diskrit
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑃 𝑥𝑖 (2.3)
2) Peubah Acak Kontinu
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = ∫−∞∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (2.4)
Sifat-sifat Ekspektasi:
1) 𝐸 𝑏 = 𝑏 (2.5)
Bukti: 𝐸 𝑋 = ∫−∞∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑏 = 𝑏
Substitusi 𝑋 = 𝑏 maka 𝐸 𝑏 = ∫−∞∞ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥, karena b merupakan konstanta maka berlaku:
𝐸 𝑏 = ∫−∞∞ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥, karena ∫−∞∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 1, maka 𝐸 𝑏 = 𝑏. 1
∴ 𝐸 𝑏 = 𝑏 ∎
2) 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 (2.6)
Bukti: Misalkan 𝑋 adalah suatu peubah acak dengan a dan b merupakan suatu tetapan, maka
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
= 𝑎 ∫−∞∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏 ∫−∞∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Karena ∫−∞∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐸 𝑋 , dan ∫−∞∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1,
∴ 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 ∎
3) 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝐸 𝑋, 𝑌 (2.7) Bukti: 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝑋, 𝑌 = ∫−∞∞ ∫ 𝑔 𝑥, 𝑦 ± 𝑥, 𝑦 −∞∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∫−∞∞ ∫−∞∞ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ±
∫−∞∞ ∫−∞∞ 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
∴ 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝐸 𝑋, 𝑌 ∎
4) 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑋 (2.8)
Bukti: 𝐸 𝑔 𝑌 ± 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑋
Karena 𝐸 𝑋 = ∫−∞∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥, maka substitusi 𝑌 = 𝑔 𝑋 ± 𝑋 , sehingga diperoleh
𝐸 𝑌 = ∫−∞∞ 𝑌𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐸 𝑌 = ∫ 𝑔 𝑋 ± 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥−∞∞ Berlaku;
𝐸 𝑌 = ∫−∞∞ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫−∞∞ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑋 𝑑𝑥
𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑋 = ∫−∞∞ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫−∞∞ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑋 𝑑𝑥
∴ 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑋 ∎
5) 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 (2.9)
Bukti: 𝑋 dan 𝑌 adalah dua peubah acak bebas, maka 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌
Menurut definisi,
𝐸 𝑋𝑌 = ∫−∞∞ ∫−∞∞ 𝑥𝑦𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
Karena 𝑋 dan 𝑌 adalah bebas, dapat kita tuliskan 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑦 . Dimana 𝑔 𝑥 dan 𝑦 adalah sebaran marginal dari 𝑋 dan 𝑌. Oleh sebab itu:
𝐸 𝑋𝑌 = ∫−∞∞ ∫−∞∞ 𝑥𝑦𝑔 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐸 𝑋𝑌 = ∫−∞∞ 𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥∫−∞∞ 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝐸 𝑋𝑌 = ∫−∞∞ 𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥∫−∞∞ 𝑦 𝑦 𝑑𝑦
∴ 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 ∎
14
2.3.2 Varians
Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas sampel yang berhubungan dengan populasi didefinisikan oleh 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 , secara lebih jelas diperlihatkan oleh:
1) Variabel Acak Diskrit
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑖 =0 𝑋 − 𝜇 2𝑝 𝑥𝑖 (2.10) 2) Variabel Acak Kontinu
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋 − 𝜇 −∞∞ 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (2.11) Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋 − 𝜇 −∞∞ 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋−∞∞ 2− 2𝑋𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑋−∞∞ 2− 2𝑋𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
= ∫−∞∞ 𝑋2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 2𝜇 ∫−∞∞ 𝑋𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝜇2∫−∞∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝐸 𝑋 + 𝜇2
Karena 𝜇 = 𝐸 𝑋 , maka diperoleh:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 Sifat-sifat Varians:
1) 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 (2.12)
Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:
𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 𝐸 𝑐 − 𝐸 𝑐 2
= 𝐸 𝑐 − 𝑐 2
= 𝐸 0
∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 ∎
2) 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟 𝑋 (2.13) Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:
𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝐸 𝑐𝑋 − 𝐸 𝑐𝑋 2
= 𝐸 𝑐𝑋 − 𝐸 𝑐𝑋 2
= 𝐸 𝑐𝑋 − 𝑐𝐸 𝑋 2
= 𝐸 𝑐2𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑥) 2
∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟[𝑋] ∎
3) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 (2.14)
Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 + 𝑐 2
= 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑐) 2
= 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 − 𝑐 2
= 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2
∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝑉𝑎𝑟[𝑋] ∎
2.4 Distribusi Gamma
Distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan dalam eksperimen yang menunjukkan distribusi yang tidak simetris. Meskipun distribusi normal memiliki peranan yang luas di berbagai bidang, dalam kenyatannya terdapat situasi di mana hasil-hasil eksperimen menunjukkan distribusi yang tidak simetris ataupun tidak menunjukkan kecendrungan simetris.
Dalam kasus-kasus semacam ini, model distribusi normal tidak dapat memberikan hasil yang tepat jika digunakan. Untuk eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan.
16
2.4.1 Fungsi Gamma
Didefinisikan untuk 𝛼 > 0, fungsi Gamma Γ 𝛼 adalah:
Γ 𝛼 = 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
(2.15)
Sifat-sifat penting fungsi Gamma antara lain:
1) Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 atau Γ 𝛼 − 1 = Γ 𝛼
𝛼 − 1 ; 𝛼 > 1 (2.16) Bukti: Berdasarkan persamaan (2.15) jika dilakukan integral parsial dari
fungsi Gamma dengan 𝑢 𝑥 = 𝑥𝛼−1 dan 𝑑𝑣 𝑥 = 𝑒𝑥𝑑𝑥, sehingga diperoleh:
𝑢 𝑥 = 𝑥𝛼−1 → 𝑑𝑢 𝑥 = 𝛼 − 1 𝑥𝛼−2𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑥 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 𝑥 = ∫ 𝑒0∞ −𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥 sehingga
Γ 𝛼 = ∫ 𝑢 𝑥 𝑑𝑣 𝑥 0∞
= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − ∫ 𝑣 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 0∞
= 𝑥𝛼−1 − 𝑒−𝑥 − ∫ −𝑒0∞ −𝑥 𝛼 − 1 𝑥𝛼−2𝑑𝑥
= −𝑒−𝑥𝑥𝛼−1|∞
0 + 𝛼 − 1 ∫ 𝑥0∞ 𝛼−2 −𝑒−𝑥 𝑑𝑥
= 0 + 𝛼 − 1 Γ 𝛼
= 𝛼 − 1 Γ 𝛼 − 1
∴ Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 , 𝛼 > 1 ∎
2) Untuk sebuah bilangan bulat positif 𝑛,
Γ 𝑛 = 𝑛 − 1 ! (2.17) Bukti: Berdasarkan persamaan (2.17), dapat diperoleh
Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 , dengan cara yang sama akan dihasilkan Γ 𝑛 = n − 1 n − 2 Γ 𝑛 − 2
= n − 1 n − 2 ⋯ Γ 1 dalam hal ini,
Γ 1 = ∫ x0e−xdx = −e−x|∞ 0
1
0
= −𝑒−∞− −𝑒0
= 0 − (−1)
=1
Sehingga diperoleh,
Γ 𝛼 = α − 1 α − 2 ⋯ 1
∴ Γ 𝛼 = α − 1 ! ∎
3) Didefinisikan Γ 1
2 = π (2.18) Bukti: Γ 𝛼 = ∫ 𝑥0∞ 𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
Γ 1
2 = ∫ 𝑥
1 2−1
𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
Γ 1
2 = lim𝑘→∞∫ 𝑥−
1 2𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑘
0
Fungsi di atas dijadikan dalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan sebagai berikut:
Substitusi 𝑥 = 𝑢2 →𝑑𝑥
𝑥𝑢 = 2𝑢 ke persamaan (2.19) Γ 1
2 = lim𝑘→∞∫ 𝑢2 −
1 2𝑒−𝑢21
2𝑢𝑑𝑢
𝑘
0
Γ 1
2 = lim𝑘→∞∫ 𝑢−1 𝑒−𝑢21
2𝑢𝑑𝑢
𝑘
0
= lim𝑘→∞∫ 𝑒0𝑘 −𝑢212𝑑𝑢
=1
2lim𝑘→∞∫ 𝑒0𝑘 −𝑢2𝑑𝑢 karena;
𝐼2 = ∫ 𝑒0∞ −𝑢2𝑑𝑢∫ 𝑒0∞ −𝑣2𝑑𝑣 𝐼2 = ∫ ∫ 𝑒0∞ 0∞ −𝑢2−𝑣2𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝐼2 = ∫02𝜋∫ 𝑒0∞ −𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐼2 = ∫02𝜋𝑑𝜃 ∫ 𝑒0∞ −𝑟22𝑟𝑑𝑟 = 4𝜋
18
sehingga;
Γ 1
2 = lim𝑘→∞∫ 𝑢−1 𝑒−𝑢21
2𝑢𝑑𝑢
𝑘
0
=1
2lim𝑘→∞∫ 𝑒0𝑘 −𝑢2𝑑𝑢
=1
2 2 𝜋
= 𝜋
∴ Γ 1
2 = 𝜋 ∎
2.4.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif Gamma
Definisi 2.5
Sebuah variabel acak 𝑌 dikatakan memiliki distribusi gamma dengan parameter 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas dari 𝑌 adalah:
𝑓 𝑌 =
𝑦𝛼−1𝑒−
𝑦 𝛽
𝛽𝛼Γ 𝛼 , 0 ≤ 𝑦 ≤ ∞ 0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
(2.19)
sedangkan fungsi distribusi kumulatif Gamma adalah (Wackerly et al. 2007):
𝐹𝐺 𝑌 = 𝑦𝛼−1𝑒−
𝑦 𝛽
𝛽𝛼Γ 𝛼
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 , 0 < 𝑐 < 𝑑 < ∞ (2.20)
2.4.3 Ekspektasi dan Varians Distribusi Gamma Teorema 2.1
Jika 𝑌 merupakan distribusi gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽, maka:
𝜇 = 𝐸 𝑌 = 𝛼𝛽 (2.21) 𝜎2 = 𝑉 𝑌 = 𝛼𝛽2 (2.22)
2.5 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull meliputi distribusi Eksponensial dan distribusi Rayleigh sebagai bentuk khususnya. Karena fungsi hazard dari distribusi ini adalah fungsi turun ketika parameter bentuk 𝑐 lebih kecil daripada 1, konstan ketika 𝑐 sama dengan 1 (kasus eksponensial), dan fungsi naik ketika 𝑐 lebih besar dari 1 (Johnson et al. 1994).
2.5.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif Weibull
Fungsi densitas probabilitas dari variabel acak 𝑋 Weibull adalah sebagai berikut (Johnson et al. 1994):
𝑓 𝑥 = 𝑐 𝛼
𝑥 − 𝜀0 𝛼
𝑐−1
𝑒− 𝑥−𝜀𝛼0
𝑐
, 𝑥 > 𝜀0 (2.23)
Fungsi distribusi kumulatif:
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒− 𝑥−𝜀𝛼0
𝑐
, 𝑥 > 𝜀0 (2.24) Fungsi survival atau keandalan:
𝑅 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 = 𝑒− 𝑥−𝜀𝛼0
𝑐
, 𝑥 > 𝜀0 (2.25) dari persamaan (2.25) dan (2.27), kita peroleh fungsi hazard sebagai berikut:
𝑥 =𝑃 𝑥 𝑅 𝑥 = 𝑐
𝛼
𝑥 − 𝜀0 𝛼
𝑐−1
, 𝑥 > 𝜀0 (2.26)
2.5.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Weibull
𝐸 𝑥 = 𝑏Γ 1 +1
𝑐 (2.27)
𝑉 𝑥 = 𝑏2Γ 1 +2
𝑐 − Γ 1 +1 𝑐
2
(2.28)
20
2.6 Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh (J.W. Strutt, 1880) dalam Johnson (1994:456) sehubungan dengan masalah di bidang akustik. Distribusi Rayleigh adalah kasus khusus dari distribusi Weibull dengan b = 2𝑏, c = 2 dan m = 0 (Krishnamoorthy, 2006).
Miller (1964) dalam Johnson (1994: 456) memperoleh distribusi Rayleigh sebagai distribusi probabilitas jarak dari sumber menuju titik 𝑌1, 𝑌2, ⋯ , 𝑌𝑁 pada ruang Euclidean N-dimensi, dimana Yi' adalah independen dan identik dengan s variabel distribusi 𝑁 0, 𝜎2 .
Siddiqui (1962) dalam Johnson (1994: 456) menunjukkan bahwa luas distribusi Rayleigh (kekuatan distribusi atau luas gelombang elektronik diterima melewati medium yang menyebar) adalah distribusi asimtotik dari 2 dimensi jalan acak. Polovko (1986) dalam Johnson (1994: 456) mencatat bahwa beberapa tipe dari alat perlengkapan elektrovacuum mempunyai keistimewaan yang menua dengan cepat seiring berjalannya waktu meskipun mereka tidak memiliki cacat manufaktur.
Distribusi Rayleigh adalah distribusi yang tepat untuk memodelkan beberapa unit hidup secara linear meningkatkan nilai hazard. Mengutip kerja Hertz (1909) dan Skellam (1952) dengan cepat, Cliff dan Ord (1975) menunjuk bahwa distribusi Rayleigh terdiri sebagai distribusi dari jarak antara seorang individu dengan tetangga terdekatnya ketika pola yang renggang dihasilkan dengan proses Poisson. Hirano (1986) telah menjelaskan laporan singkat mengenai sejarah dan kekayaan dari distribusi ini (Johnson, et al. 1994).
Distribusi Rayleigh sering digunakan dalam bidang fisika yang berhubungan dengan pemodelan proses seperti radiasi suara dan cahaya, tinggi gelombang, dan kecepatan angin. Selain Distribusi Weibull, Distribusi Rayleigh juga merupakan distribusi yang dianggap sesuai untuk menggambarkan distribusi kecepatan angin.
Secara empiris, model distribusi Rayleigh mampu digunakan dengan baik pada sejumlah proses desain dengan feedback yang sangat signifikan sebagai bagian dari proses solusi. Pada perkembangan selanjutnya telah dilakukan penelitian juga bahwa model kehandalan Rayleigh ini sangat mendekati data defect yang sebenarnya dari proyek yang dikumpulkan pada upaya pengembangan software. Pada tahun 1982, Trachtenberg memeriksa histori defect per bulan pada proyek software yang diujinya dan menemukan bahwa pola dari defect yang dihasilkan menyerupai kurva Rayleigh.
Pada tahun 1984, Gaffney dari divisi Federal System IBM mampu memproyeksikan jumlah laten dari data defect yang diperkirakan muncul dengan memodelan data yang dimilikinya menggunakan model Rayleigh (Gaffney, 1984).
2.6.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif Rayleigh
Sebuah variabel acak Rayleigh 𝑋 mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai berikut:
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝜎2𝑒𝑥𝑝 −𝑥2
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, 𝜎 > 0 (2.29) Fungsi distribusi kumulatif:
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒𝑥𝑝 −𝑥2
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, 𝜎 > 0 (2.30) Fungsi survival atau keandalan:
𝑅 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑥2
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, 𝜎 > 0 (2.31) dan fungsi hazard:
𝑥 =𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥) = 𝑥
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, 𝜎 > 0 (2.32)
22
2.6.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Rayleigh
𝐸 𝑥 = 𝜎 𝜋
2 (2.33)
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 2 −𝜋
2 (2.34)
2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama
Fungsi densitas peluang bersama dari k-dimensi variabel random diskrit 𝑋 = 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, ⋯ , 𝑋𝑘 didefinisikan:
𝑓𝑋 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑘 = 𝑃 𝑋1 = 𝑥1, 𝑋2 = 𝑥2, ⋯ , 𝑋𝑘 = 𝑥𝑘 (2.35) untuk semua nilai 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 dari 𝑋.
Sebuah k-dimensi nilai vektor variabel random 𝑋 = 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, ⋯ , 𝑋𝑘 kontinu dengan fungsi densitas bersama 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑘 , makafungsi densitas kumulatifnya dapat tulis:
𝐹𝑋 𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑘 = ⋯
𝑥1
−∞
𝑓 𝑡1, ⋯ , 𝑡𝑘 𝑑𝑡1𝑑𝑡2
𝑥𝑘
−∞
⋯ 𝑑𝑡𝑘 (2.36)
untuk semua 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑘 .
2.8 Fungsi Densitas Peluang Marginal
Jika pasangan (𝑋1, 𝑋2) adalah variabel random diskrit yang mempunyai fungsi densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1, 𝑥2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk 𝑋1 dan 𝑋2 adalah
𝐹1 𝑥1 = 𝑓 𝑥𝑥2 1, 𝑥2 (2.37)
𝐹2 𝑥2 = 𝑓 𝑥𝑥1 1, 𝑥2 (2.38)
Jika pasangan (𝑋1, 𝑋2) adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1, 𝑥2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk 𝑋1 dan 𝑋2 adalah
𝐹1 𝑥1 = ∫−∞∞ 𝑓 𝑥1, 𝑥2 𝑑𝑥2 (2.39) 𝐹2 𝑥2 = ∫−∞∞ 𝑓 𝑥1, 𝑥2 𝑑𝑥1 (2.40)
2.9 Distribusi Sampel
Bidang statistika inferensi pada dasarnya berkenaan dengan penempatan dan prediksi, hasil suatu percobaan statistika dapat dicatat dalam bentuk numerik ataupun aksara. Bila sepasang dadu dilantumkan dan jumlahnya merupakan hal yang ingin diselidiki maka hasilnya dicatat dalam bentuk numerik.
Keseluruhan pengamatan yang ingin diteliti, berhingga atau tidak, membentuk apa yang disebut populasi atau universum. Kata populasi pengamatan yang diperoleh dari penelitian statistik yang menyangkut manusia. Sekarang statistikawan menggunakan kata tersebut untuk menyatakan seluruh pengamatan tentang hal yang ingin diselidiki, terlepas apa itu menyangkut orang, binatang, ataupun benda lainnya. Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan ukuran. Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian.
Dalam bidang inferensial statistik, statistikawan ingin menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dalam hal tidak mungkin atau tidak praktis mengenai himpunan seluruh pengamatan yang membentuk populasi tersebut. Sebagai contoh dalam usaha menentukan rata-rata panjang umur bola lampu merk tersebut agar masih ada sisa dijual. Biaya yang amat tinggi juga merupakan kendala dalam memeriksa seluruh populasi. Karena itu peneliti menggunakan sebagaian pengamatan dari populasi dalam menarik inferensi tentang populasi tersebut.
Sampel adalah suatu bagian himpunan dari populasi (Ronald & Raymod, 1995).
24
Dalam mengambil sampel acak berukuran 𝑛 dari suatu populasi 𝑓(𝑥), didefinisikan variabel acak 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛, sebagai pengukuran atau nilai sampel ke 𝑖 yang diamati, variabel acak 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 merupakan suatu sampel acak populasi 𝑓(𝑥), dengan nilai numerik 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛, bila pengukuran dikerjakan dengan mengulangi percobaan n kali secara bebas dalam keadaan yang pada dasarnya sama, maka dapat dianggap bahwa ke-n variabel acak 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 bebas dan masing-masing berdistribusi 𝑓(𝑥). Ini berarti bahwa 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 masing-masing berdistribusi peluang 𝑓 𝑥1 , 𝑓 𝑥1 , ⋯ , 𝑓 𝑥𝑛 .
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 merupakan n variabel acak bebas yang masing- masing berdistribusi peluang 𝑓(𝑥), 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 didefinisikan sebagai sampel acak ukuran n dari populasi 𝑓(𝑥) dan distribusi peluang gabungannya ditulis sebagai: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 , 𝑓 𝑥1 , ⋯ , 𝑓 𝑥𝑛 (Ronald & Raymond, 1995).
2.10 Distribusi Bersyarat
Jika 𝑋1 dan 𝑋2 merupakan variabel random diskrit atau kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1, 𝑥2), maka fungsi densitas peluang bersyarat dari 𝑋2, jika diketahui 𝑋1= 𝑥1 didefinisikan dengan:
𝑓 𝑥2 𝑥1 =𝑓 𝑥1, 𝑥2
𝑓1 𝑥1 (2.41) Untuk nilai 𝑥1 sedemikian hingga 𝑓1 𝑥1 > 0, dan nol untuk lainnya. Sedangkan fungsi densitas peluang bersyarat dari 𝑋1, jika diketahui 𝑋2 = 𝑥2 didefinisikan dengan:
𝑓 𝑥1 𝑥2 =𝑓 𝑥1, 𝑥2
𝑓2 𝑥2 (2.42) Untuk nilai 𝑥2 sedemikian hingga 𝑓2 𝑥2 > 0, dan nol untuk lainnya.
2.11 Penaksiran Parameter
Statistika inferensi adalah statistika yang dengan segala informasi dari sampel digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi darimana sampel itu diambil. Statistika inferensi digunakan untuk memprediksi keadaan dari suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil dan berusaha untuk menyimpulkan karakteristik dari suatu populasi tersebut. Untuk ini kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun sensus.
Dalam kenyataannya mengingat beberapa faktor, untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif lalu berdasarkan pada hasil analisis terhadap data sampel yang kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan populasi yang akan ditinjau hanyalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dikumpulkan dan dianalisis, nilai-nilai yang perlu yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik tersebut dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku, dan parameter yang diduga adalah rata-rata dan variansi (Surwako, 2007).
Sebuah nilai 𝜃 bagi suatu statistik ^ 𝜃 disebut suatu nilai dugaan bagi parameter populasi . Misalnya, nilai 𝑥 bagi statistik 𝑋 , yang dihitung dari suatu contoh berukuran 𝑛, merupakan nilai dugaan bagi parameter populasi 𝜇. Begitu pula, 𝑝 = 𝑥
𝑛 merupakan suatu nilai dugaan bagi proporsi sebenarnya p dalam suatu percobaan binom. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai dugaan disebut penduga atau fungsi keputusan. Jadi, fungsi keputusan 𝑆2, yang merupakan fungsi dari contoh acak yang bersangkutan, adalah suatu penduga bagi 𝜎2, sedangkan nilai dugaan 𝑠2 merupakan “realisasinya” (Walpole, 1997). Contoh yang berbeda pada umumnya akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda pula.
Pada teori estimasi dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan metode bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan
26
suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Box & Tiao, 1973). Metode statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).
Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menaksir parameter suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode derivatif (turunan). Pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak mempengaruhi nilai dugaan parameter model) (Bollen, 1989).
2.11.1 Metode Maximum Likelihood Definisi 2.6
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 adalah sampel random dari populasi dengan densitas 𝑓 𝑥, 𝜃 di mana 𝜃 𝜃1, 𝜃2, ⋯ , 𝜃𝑘 merupakan parameter tak diketahui, fungsi likelihood dituliskan:
𝐿 𝜃1, 𝜃2, ⋯ , 𝜃3 = 𝑓 𝑥𝑖; 𝜃
𝑛
𝑖=1
(2.43)
Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui . Dalam aplikasi 𝐿 𝜃 menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika 𝑆 ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan 𝐿 𝜃 merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada 𝑆 S maka persamaan maksimum likelihodnya adalah:
𝜕
𝜕𝜃𝐿 𝜃 = 0 (2.44)
Ketika menentukan nilai estimator kemungkinan maksimum, itu sering lebih mudah menentukan nilai dari parameter yang memaksimumkan logaritma natural dari fungsi likelihood daripada nilai parameter yang memaksimumkan fungsi
likelihood itu sendiri. Karena fungsi logaritma natural adalah fungsi naik, dan solusinya akan sama. Sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah:
𝜕
𝜕𝜃ln 𝐿 𝜃 = 0 (2.45)
2.11.2 Teorema Bayes
Dari definisi probabilitas bersyarat:
𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴
Kita tau bahwa probabilitas marginal dari kejadian 𝐴 ditentukan dengan menjumlahkan probabilitas dari bagian saling lepas nya. Karena 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 dan jelas bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 dan 𝐴 ∩ 𝐵 adalah saling lepas, sehingga:
𝑃 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝐴 ∩ 𝐵
Kita substitusi ke dalam definisi probabilitas bersyarat, sehingga diperoleh:
𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
Sekarang kita gunakan aturan perkalian untuk menentukan distribusi gabungan.
Teorema Bayes untuk kejadian tunggal diperoleh:
𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 (2.46) Sering kita mempunyai himpunan lebih dari 2 kejadian partisi dari ruang sampel.
Contohnya, andaikan kita mempunyai n kejadian 𝐵1, ⋯ , 𝐵𝑛 sedemikian:
Gabungan 𝐵1∪ 𝐵2∪ ⋯ , 𝐵𝑛 = 𝑈, dan
Setiap pasang dari kejadian adalah saling lepas, 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅ untuk 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 dan 𝑖 ≠ 𝑗.
Kemudian kita nyatakan himpunan kejadian 𝐵1, ⋯ , 𝐵𝑛 partisi himpunan semesta.
Kejadian 𝐴 akan dipartisi menjadi bagian partisinya. 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵2 ∪
