Penaksiran Parameter Dan Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes Dan Maksimum Likelihood

MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

SUNARTO URJOYO PURBA 090823005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PENAKSIRAN PARAMETER

µ

DAN

σ

2 PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SUNARTO URJOYO PURBA 090823005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : PENAKSIRAN PARAMETER

µ

DAN

σ

2 PADA DISTRIBUSI NORMAL

MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

Kategori : SKRIPSI Nomor Induk Mahasiswa : 090823005

Program Studi : S1 STATISTIKA EKSTENSI

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (MIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, 2011

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Dr. Sutarman, M.Sc NIP. 195003211980031001 NIP. 196310261991031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

PERNYATAAN

PENAKSIRAN PARAMETER

µ

DAN

σ

2 PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 2011

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Segala perencanaan manusia hanyalah usaha, adapun realisasinya hanyalah Tuhan yang menentukan. Penyusunan skripsi ini juga tidak terlepas dari hal tersebut dan patutlah bagi penulis untuk mengucapkan rasa syukur atas terselesainya skripsi yang berjudul “Penaksiran Parameter

µ

Dan

σ

2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes dan Maksimum Likelihood”.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan yang baik ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU dan dosen pembimbing 1 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing 2 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Sekretaris Departeman Matematika FMIPA USU. 4. Bapak Drs. Pengarapan Bangun, M.Si. selaku Ketua Pelaksana Ekstension

S-1 Statistika Matematika

5. Semua dosen departemen matematika FMIPA USU, dan pegawai FMIPA USU

hentinya untuk penulis dari awal perkuliahan sampai selesainya penyusunan Skripsi ini yang selalu memberi semangat dan motivasi kepada penulis

7. Teman-teman seperjuangan yang telah memberikan bantuan dan dukungan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

ABSTRAK

Metode maksimum likelihood mendasarkan inferensinya pada sampel, dan juga metode ini salah satu cara untuk menaksir distribusi normal. Ide dasar metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator dan kegunaannya untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampelnya. Penaksir kemungkinan maksimumnya adalah:

) , x ( f ),... , x ( f ), , x ( f ) (

L θ = ₁ θ ₂ θ _n θ

Tetapi jika distribusi populasi tidak diketahui maka metode maksimum likelihood tidak dapat digunakan. Bayes memperkenalkan suatu metode perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior) dari populasi. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang diperoleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasi. Penaksir bayesnya adalah:

f(θ|x1, x2, …, xn) =

) x , , x , g(x

) : x , … , x , f(x

n 2 1

n 2 1

… θ

ABSTRACT

The method of maximum likelihood inference based on the sample, and this method is also one way to assess the normal distribution, the basic idea is to find the maximum likelihood method of parameter values which give the possibility (likelihood) that most large to obtain the observed data as an estimator and its uses to determine the parameters that maximize the likelihood of the sample data. Maximum likelihood estimator is:

L(θ =) f(x₁,θ),f(x₂,θ ),...f(x_n,θ )

But if the population distribution is unknown then the maximum likelihood method can not be used. Bayes introduces a method which needs to know the form of initial distributions (priors) of the population known as the Bayes method. Before pulling a sample from a population sometimes obtained information about the parameters to be estimated. This information is then combined with information from the sample to be used in estimating population parameters. Bayes estimator is:

f(θ|x1, x2, …, xn) =

) x , , x , g(x

) : x , … , x , f(x

n 2 1

n 2 1

… θ

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan……….i

Pernyataan ………..….ii

Penghargaan ……….….…iii

Abstrak ……….………..v

Abstract ………..……vi

Daftar isi ……….……..……..vii

Daftar Gambar ………..ix

BAB 1 PENDAHULUAN……….1

1.1 Latar Belakang……….……1

1.2 Perumusan Masalah………...……...2

1.3 Tinjauan Pustaka………...…2

1.4 Tujuan Penelitian………4

1.5 Kontibusi Penelitian………4

1.6 Metode Penelitian……….……..5

BAB 2 LANDASAN TEORI………. ………..6

2.1 Konsep Dasar Penaksiran Parameter ………....6

2.2 Distribusi normal………..………..9

2.4 Maksimum Likelihood………..14

2.5 Metode Bayes………...15

2.5.1 Distribusi Prior ………..16

2.5.2 Distribusi Posterior……….17

2.5.3 Menentukan Selang Taksiran Bayes………..18

2.6 Batas Toleransi……….18

BAB 3 PEMBAHASAN………..21

3.1 Penaksiran Parameter

µ

Dan σ2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes …….……….21

3.2 Penaksiran Parameter

µ

Dan σ2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Maksimum Likelihood………..24

3.3 Contoh Kasus ………..26

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN………..30

4.1 Kesimpulan………..30

4.2 Saran……….31

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Kurva Normal………...11

Gambar 2.2 Distribusi Normal Asli dan Yang Telah Ditransformasikan………12

Gambar 2.3 Kejadian yang saling lepas………...15

Gambar 2.4 Gabungan dua kejadian yang saling lepas………15

Gambar 2.5 Batas keprcayaan pada distribusi normal……….19

ABSTRAK

Metode maksimum likelihood mendasarkan inferensinya pada sampel, dan juga metode ini salah satu cara untuk menaksir distribusi normal. Ide dasar metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator dan kegunaannya untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampelnya. Penaksir kemungkinan maksimumnya adalah:

) , x ( f ),... , x ( f ), , x ( f ) (

L θ = ₁ θ ₂ θ _n θ

Tetapi jika distribusi populasi tidak diketahui maka metode maksimum likelihood tidak dapat digunakan. Bayes memperkenalkan suatu metode perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior) dari populasi. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang diperoleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasi. Penaksir bayesnya adalah:

f(θ|x1, x2, …, xn) =

) x , , x , g(x

) : x , … , x , f(x

n 2 1

n 2 1

… θ

ABSTRACT

The method of maximum likelihood inference based on the sample, and this method is also one way to assess the normal distribution, the basic idea is to find the maximum likelihood method of parameter values which give the possibility (likelihood) that most large to obtain the observed data as an estimator and its uses to determine the parameters that maximize the likelihood of the sample data. Maximum likelihood estimator is:

L(θ =) f(x₁,θ),f(x₂,θ ),...f(x_n,θ )

But if the population distribution is unknown then the maximum likelihood method can not be used. Bayes introduces a method which needs to know the form of initial distributions (priors) of the population known as the Bayes method. Before pulling a sample from a population sometimes obtained information about the parameters to be estimated. This information is then combined with information from the sample to be used in estimating population parameters. Bayes estimator is:

f(θ|x1, x2, …, xn) =

) x , , x , g(x

) : x , … , x , f(x

n 2 1

n 2 1

… θ

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistika inferensi merupakan salah satu cabang statistika yang berguna untuk menaksir parameter. Penaksiran dapat diartikan sebagai dugaan atau perkiraan atas sesuatu yang akan terjadi dalam kondisi tidak pasti, sedangkan parameter adalah nilai, ciri dari populasi. Dengan demikian penaksiran parameter merupakan suatu metode yang digunakan untuk memprediksi karakteristik suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil.

Penaksiran parameter ada dua macam, yakni penaksiran titik (point estimation) dan penaksiran interval (interval estimation). Penaksiran titik diartikan sebagai penaksiran dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh sebuah bilangan tunggal. Sedangkan penaksiran interval adalah penaksiran dari parameter populasi yang dinyatakan oleh dua bilangan diantara posisi parameternya. Penaksiran interval mengindikasikan tingkat kepresisian, atau akurasi dari sebuah penaksiran sehingga penaksiran interval akan dianggap semakin baik jika mendekati estimasi titik (Murrary & Larry, 1999).

Selain metode maksimum likelihood terdapat metode bayes. Metode bayes memperkenalkan suatu metode perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior). Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang peroleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasi.

Pada metode Bayes, karena nilai parameternya berasal dari suatu distribusi, maka kesulitan pertama yang dijumpai adalah bagaimana bentuk distribusi parameter tersebut. Walaupun untuk menentukan distribusi prior dari parameter adalah sulit, tetapi kelebihan estimasi parameter dengan metode bayes mudah untuk dipahami hanya memerlukan pengkodean yang sederhana, lebih cepat dalam penghitungan dan tampaknya lebih menjanjikan karena ada informasi tambahan untuk menyimpulkan karakteristik populasi.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, permasalahan yang diajukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana mencari estimator parameter µ dan σ2dari distribusi normal menggunakan metode Bayes dan Maksimum Likelihood.

2. Bagaimana perbandingan hasil estimator antara metode Bayes dan metode Maksimum Likelihood.

1.3 Tinjauan Pustaka

1. Metode Bayes

(Hogg&Tans, 1997) Misalkan suatu kasus kontinu dari fungsi padat Y, dikatakan )

: (y θ

g , dapat diperoleh dari syarat fungsi kepadatan dari Y atas θ dan dapat ditulis g(y:θ) =g(yθ), sehingga g(yθ)h(θ)=k(y, θ) sebagai gabungan fungsi padat dari statistik Y dan parameter. Fungsi padat marginalnya adalah:

∫

∞

∞ −

= ( )

) (

1 y hθ

Sehinggga ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1 1 y k y k h y g y k y

k θ θ θ _θ

=

= (1.2)

Keterangan: ) ( y

k θ = distribusi posterior )

(

1 y

k = distribusi marginal )

, (y θ

k = distribusi bersyarat

(Ronald & Raymond, 1995) Distribusi gabungan sampel x₁,x₂,...,x_n dan parameter θ adalah:

f(x₁,x₂,...,x_n:θ)= f(x₁,x₂,...,x_n:θ)f(θ). Sehingga distribusi marginalnya sebagai berikut :

g(x1, x2, …, xn)=      

∫

∑

∞ ∞ − ) kontinu bila ( d ) ; x ,... x , x ( f ) diskrit bila ( ) ; x ,... x , x ( f n 2 1 n 2 1 θ θ θ θ (1.3)

jadi distribusi posteriornya dapat ditulis sebagai berikut:

) x , , x , g(x θ) , x , … , x , f(x x x f n 2 1 n 2 1

n)= _…

,... , x |

(θ _{1 2} (1.4)

Keterangan:

f(θ) = distribusi awal (prior) )

,... , x |

( ₁ x₂ x_n

f θ = distribusi pasca (posterior) f(x₁,x₂,...,x_n:θ)= distribusi gabungan sampel g(x1, x2, …, xn) = distribusi marginal

2. Maksimum Likelihood

(Ronald & Raymond, 1995) Bila diketahui pengamatan bebas x₁,x₂,...,x_ndari fungsi padat peluang (kasus kontinu) atau fungsi massa peluang (kasus diskrit)

) , (xθ

) , x ( f ),... , x ( f ), , x ( f ) (

L θ = ₁ θ ₂ θ _n θ

=

∏

= n

i i

x f

1

) , ( θ

=L(θ x₁,x₂,...,x_n) (1.5)

Taksiran maksimum likelihood untuk θ adalah nilai θ yang memaksimumkan L. Nilai θ yang memaksimumkan L adalah sama dengan nilai θ yang memaksimumkan ln L .

(Hogg&Tans, 1997) Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ. Untuk memudahkan dalam menganalisis maka fungsi likelihood

) (

L θ diberi ln. Penaksir maksimum likelihood dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood L(θ ). maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah.

0 ) ( )

( =

∂

∂ _θ

θ L (1.6)

dengan ketentuan jika ln L(θ)maksimum maka L(θ)juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah

0 ) ( ln )

( =

∂

∂ _θ

θ L (1.7)

1.4 Tujuan Penelitian

1. Untuk menguraikan dan menentukan estimator parameter µ dan σ2dari distribusi normal dengan metode bayes dan maksimum lakelihood

2. Membandingkan hasil estimator antara metode Bayes dengan metode Maksimum Likelihood terhadap nilai parameter populasi.

1.5 Kontribusi Penelitian

2. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan teorema bayes dan maksimum likelihood serta memperlihatkan prosedur penggunaan metode bayes dan maksimum likelihood dalam mengestimasi parameter µ dan σ2 dari distribusi normal

3. Meningkatkan pemahaman yang baik bagi penulis dalam membangun teori keputusan dan statistik inferensi dan mengetahui secara mendetail fungsi keputusan bayes dan maksimum likelihood untuk penaksiran parameter. 4. Menerapkan metode bayes dan maksimum likelihood dalam penunjang ilmu

matematika statistika dan probabilitas sehingga dapat meningkatkan penguasaan dan pemikiran teknik estimasi yang lebih baik .

5. Sebagai bahan acuan untuk mempelajari permasalahan estimasi guna memudahkan dalam pengambilan keputusan.

1.6 Metode Penelitian

1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai metode bayes dan maksimum likelihood

2. Memaparkan dan menjelaskan pengertian dasar metode bayes dan maksimum likelihood

3. Mencari estimator parameter µ dan σ2

dari distribusi normal menggunakan metode Bayes dan Maksimum Likelihood

4. Mengestimasi parameter µ dan σ2daridistribusi normal pada contoh kasus 5. Menentukan batas toleransi dari hasil estimasi µ dan σ2

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Dasar Penaksiran Parameter

Statistik inferensi adalah Statistik yang dengan segala informasi dari sampel digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi dari mana sampel itu diambil. Statistik inferensi digunakan untuk memprediksi keadaan dari suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil dan berusaha untuk menyimpulkan karakteristik dari suatu populasi tersebut. Untuk ini kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun sensus. Dalam kenyataannya mengingat berbagai faktor, untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif lalu berdasarkan pada hasil analisis terhadap data sampel kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan populasi yang akan ditinjau hanyalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dikumpulkan dan dianalisis, nilai-nilai yang perlu yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik tersebut dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku, dan parameter yang akan ditaksir adalah rata-rata dan variansi (Surwako, 2007).

Sifat atau ciri penaksir yang baik, adalah tidak bias, variasi minimum, konsisten, dan statistik cukup

1. Tidak bias

Misalkan Θ* adalah estimator yang nilai θ*-nya adalah estimasi titik dari parameter populasi tak diketahui θ.Tentu diinginkan bahwa sebaran cuplikan Θ*akan memiliki mean yang sama dengan parameter yang diestimasi. Parameter yang seperti ini disebut bersifat takbias (Ronald & Raymond 1995). Dengan kata lain penaksir tak bias bagi parameter θ jika E(θ*)=θ , jika dikatakan penaksir bias bagi parameter θ, jika E(θ*)≠θ. Namun penaksir bias dapat diubah menjadi penaksir takbias jika ruas kanan dikalikan atau ditambahkan dengan konstanta tertentu.

2. Variansi Minimum

Apabila terdapat dua buah penaksir yang takbias, maka kedua penaksir tersebut akan dibandingkan dalam hal variansinya. Misalkan dua penaksir tak bias yaitu θ₁*dan

* 2

θ untuk θ. Jika θ₁* mempunyai variansi yang lebih kecil dibanding dengan θ₂*,

maka θ₁* dikatakan penaksir takbias bervariansi minimum.

3. Konsisten

Jika θ_n* adalah penaksir untuk θ yang didasarkan pada sampel acak berukuran n, maka θ_n* dikatakan konsisten bagi parameter θ, jika

(

− <

)

=

∞

→ p θ * θ ε

lim _n

x 1 (2.1)

penentuan penaksir konsisten ini dapat dilakukan dengan menggunakan ketidaksamaan Chebyshev’s,

(

)

₂

x _k

1 1 k X

p

lim − < ≥ −

∞

4. Statistik Cukup

Statistik T =T(x₁,x₂,...,x_n)dikatakan cukup bagi parameter, jika fungsi kepadatan peluang bersyarat:P(x₁,x₂,...,x_n)=x_n |T(x₁,x₂,...,x_n)=t tidak bergantung pada θ.

Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu penaksir titik (point estimation) dan estimasi selang (interval estimation).

1. Penaksiran Titik (point estimation)

Penaksiran dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh sebuah bilangan tunggal disebut penaksir titik dari parameter tersebut (Murray & Larry, 1999). Penaksiran titik sebuah parameter: sebuah nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai penaksir dari parameter yang nilainya tidak diketahui. Misalkan x₁,x₂,...,x_n merupakan sampel acak berukuran n dari x, maka statistik

) ,..., , (

*=h x₁ x₂ x_n

θ yang berkaitan dengan θ dinamakan penaksir dari θ. Setelah

sampel diambil, nilai-nilai yang dihitung dari sampel itu digunakan sebagai taksiran titik bagi θ.

Beberapa taksiran titik yang dihitung dari data sampel untuk parameter populasi yang bersesuaian.

1. Rerata populasi µ, taksiran titiknya adalah µ*= x

2. Variansi populasi σ2, taksiran titiknya adalah

σ

2*=s2

3. Simpangan baku populasi σ , taksiran titiknya adalah σ*=s

2. Penaksiran Selang (interval estimation).

Penaksiran dari parameter populasi yang dinyatakan oleh dua buah bilangan di antara posisi parameternya diperkirakan berada disebut sebagai penaksiran interval dari parameter tersebut (Murray & Larry, 1999).

mendekati normal (n ≥ 30), maka didapat statsitik sampel aktual S yang berada di dalam interval µ-σ sampai dengan µ+σ . Atas dasar ini masing-masing interval ini sebagai interval kepercayaan (confidence interval) untuk mengestimasi rata-rata. Bilangan-bilangan dari kedua ujung interval ini masing-masing dikenal sebagai batas kepercayaan (confidence limit). Jika statsitik S adalah mean sampel x, maka batas-batas kepercayaan 90%, 95% dan 99% untuk menaksir mean populasi µ masing-masing dirumuskan sebagai x± 1,65σ , x± 1,96σ dan x

± 2,58σ . Dalam bentuk yang lebih umum, batas kepercayaannya dirumuskan sebagai x± zσ, z adalah yang bergantung kepada tingkat kepercayaan tertentu .

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan α maka 0<α <1. Harga α yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam membuat pernyataannya. Yang biasa digunakan adalah 0,90, 0,95 dan 0,99, yakni α= 0,90, α= 0,95 dan 0,99. Untuk menentukan taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan α , maka sebuah sampel acak diambil, lalu dihitung statistiknya.

2.2 Distribusi Normal

Distribusi normal adalah distribusi probabilitas kontinu yang grafiknya disebut kurva normal seperti pada gambar 2.1. Sebuah distribusi normal dapat dideskripsikan secara penuh oleh rata-rata dan variansnya. Distribusi normal menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Pengukuran fisik di bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi dapat diterangkan menggunakan distribusi normal. Disamping itu galat dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan sangat baik oleh distribusi normal.

Karakteristik dari variabel acak kontinu berbeda dengan variabel acak diskrit. Variabel acak kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karena itu tidak dapat dipisahkan nilai yang satu dengan yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel acak kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tersebut. Dengan kata lain realitasnya keberadaan satu buah angka dalam variabel acak kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel acak kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai.

Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu, jika fungsi tersebut digambar, maka akan berbentuk kurva kepadatan dengan sifat sebagai berikut :

1. Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terdapat dalam rentang antara 0 dan 1

2. Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan luas daerah di bawah kurva)

Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas diantara dua nilai variabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di antara dua nilai dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah tersebut dengan menggunakan integral tertentu (difinit integral).

Suatu variabel acak kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng disebut peubah acak normal. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter µ dan σ2, yaitu rataan dan variansnya. Fungsi padat variabel acak normal X dengan rataan µ dan variansi σ2, adalah

2

2 1

2 1 ) (

      − −

= σ

µ

π σ

x

e x

f (2.3)

Yang menyatakan bahwa :

π = suatu konstanta matematika yang nilainya mendekati 3,14159 e = suatu konstanta matematika yang nilainya mendekati 2,71828

dan nilai x mempunyai batas −∞< x<∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X

berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting distribusi normal:

1. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x. 2. bentuknya simetrik terhadap x=µ

3. mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x=µsebesar

σ

3989 , 0

4. grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x=µ+3σ ke kanan dan x=µ −3σ ke kiri

5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi

Untuk tiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas seluruh dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar , kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Gbr 2.1 Kurva normal

Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka dibuat tabel luas kurva normal sehingga memudahkan penggunaannya. Akan tetapi, tidak akan mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap nilai µ dan σ. Untunglah, seluruh pengamatan setiap variabel acak normal X dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru satu variabel acak normal Z dengan rataan nol dan variansi 1. Hal ini dapat dikerjakan dengan transformasi.

σ µ

− = X

Z (2.4)

µ

Bilamana X mendapat suatu nilai x, nilai Z padanannya diberikan oleh.

σ µ) ( −

= x

z . Jadi bila X bernilai antara x=x1 dan x=x2 maka variabel acak Z akan

bernilai antara

σ µ) ( ₁

1

−

= x

z dan

σ µ) ( ₂

2

−

= x

z . Karena itu dapat ditulis

dx e

x X x

P

x

x

x

∫



 

 

      −       −

= <

< 2

1

2

2 1 2

1

2 1 )

( σ

µ

πσ

∫

=

∫

    

  

      −

= 2

2

2

1

) ( exp

2

1 z ₂2

z

z

z

dz x f dz z

πσ

= p(z₁ <Z <z₂) (2.4)

Dengan Z terlihat merupakan suatu variabel acak normal dengan rataan nol dan variansi 1.

Gbr 2.2 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan

2.3 Distribusi Sampel

Bidang statistika inferensi pada dasarnya berkenan dengan perampatan dan prediksi, hasil suatu percobaan statistika dapat dicatat dalam bentuk numerik ataupun aksara. Bila sepasang dadu dilantumlan dan jumlahnya merupakan hal yang ingin diselidiki maka hasilnya dicatat dalam bentuk numerik.

Keseluruhan pengamatan yang ingin diteliti, berhingga atau tidak, membentuk apa yang disebut populasi atau universum. Kata populasi pengamatan yang diperoleh dari penelitian statistik yang menyangkut manusia. Sekarang statistikawan

1 2

P(x < <x x ) P(z₁ < z < z )₂

x1 x2 z1 z2

1 2 1 2

menggunakan kata tersebut untuk menyatakan seluruh pengamatan tentang hal yang ingin diselidiki, terlepas apa itu menyangkut orang, binatang, ataupun benda lainnya. Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan ukuran. Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian (Ronald & Raymond, 1995).

Dalam bidang inferensial statistik statistikawan ingin menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dalam hal tidak mungkin atau tidak praktis mengamati himpunan seluruh pengamatan yang membentuk populasi tersebut . Sebagai contoh dalam usaha menentukan rata-rata panjang umur bola lampu merk tersebut agar masih ada sisanya dijual . Biaya yang amat tinggi juga merupakan kendala dalam memeriksa seluruh populasi. Karena itu peneliti menggunakan sebagian pengamatan dari populasi dalam menarik inferensi tentang populasi tersebut. Sampel adalah suatu bagian himpunan dari populasi (Ronald & Raymond, 1995).

Dalam mengambil sampel acak berukuran ndari suatu populasi f(x), didefinisikan variabel acakx_i,i=1,2,...,n, sebagai pengukuran atau nilai sampel ke i

yang diamati, variabel acak

x

₁

,

x

₂

,...

x

_n jadinya merupakan suatu sampel acak populasi

) x (

f dengan nilai numerik

x

₁

,

x

₂

,...

x

_n, bila pengukuran dikerjakan dengan mengulangi percobaan n kali secara bebas dalam keadaan yang pada dasarnya sama, maka dapat dianggap bahwa ke-n variabel acak

x

₁

,

x

₂

,...

x

_nbebas dan masing-masing

berdistribusi f(x). Ini berarti bahwa

x

₁

,

x

₂

,...

x

_nmasing-masing berdistribusi peluang )

x ( f ),... x ( f ), x (

f _{1 2 n} .

Misalkan

x

₁

,

x

₂

,...

x

_n merupakan n variabel acak bebas yang masing-masing

berdistribusi peluang f(x).

x

₁

,

x

₂

,...

x

_n didefinisikan sebagai sampel acak ukuran n dari populasi f(x) dan distribusi peluang gabungannya ditulis sebagai:

) x ( ),..., x ( ), x ( f ) x ,..., x , x (

2.4 Maksimum Likelihood

Penaksiran kemungkinan maksimum merupakan salah satu pendekatan yang penting dalam sebuah statistika inferensi. Metode terbaik yang dapat digunakan dalam menentukan penaksir titik sebuah parameter. Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang berbentuk f(x,θ), dengan θ adalah suatu parameter yang tidak diketahui.

Misalkan

x

₁

,

x

₂

,...

x

_n merupakan sebuah sampel acak berukuran n, fungsi likelihood dari sampel acak itu adalah:

) , x ( f ),... , x ( f ), , x ( f ) (

L θ = ₁ θ ₂ θ _n θ (2.5)

Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ. Untuk memudahkan dalam menganalisis maka fungsi likelihood L(θ) diberi ln. Penaksir maksimum likelihood dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood

) ( L θ .

Dalam aplikasi L(θ ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika S ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan L(θ)

merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada S maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah.

0 ) ( )

( =

∂

∂ _θ

θ L (2.6)

Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)

dapat terpenuhi. Apabila tak terpenuhi maka fungsi L(θ ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan jika ln L(θ )maksimum maka L(θ )juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah

0 ) ( ln )

( =

∂

∂ _θ

2.5 Metode Bayes

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas. Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan seperti pada gambar 2.3 dibawah ini:

Gbr 2.3 Kejadian yang saling lepas

Dengan demikian probabilitas adalah :

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua buah kejadian yang saling lepas adalah: E∩A dan Ec ∩A maka A=(E∩A)∪(Ec∩A) dan dapat dibuat dalam bentuk gambar 2.4 di bawah ini:

Gbr 2.4 Gabungan dua kejadian yang saling lepas

Dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka : P(A)=P

[

(E∩A)∪(Ec ∩A)

]

=P(E∩A)∪P(Ec ∩A) =P(E∩A)+P(Ec ∩A)

=P(E)P(AE)+P(Ec)P(AEc) (2.8)

0 B

A∩ =

B A∪

(

A B

)

P

( ) ( )

A P B

Peristiwa B₁,B₂,...,B_k merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(B_i) ≠ 0 untuk i=1,2,…,k maka setiap peristiwa A anggota S berlaku:

(2.9)

Digunakan bila ingin diketahui probabilitas P(B |A),P(₁ B |A)….,P(₂ B |A) _k dengan rumus sebagai berikut :

(2.10)

Peluang Brdisebut peluang a-priori, peluang (Br|B) disebut peluang a-posteriori.

Metode Bayes adalah metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter distribusi normal. Bayes memperkenalkan suatu metode dimana kita perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior) dari populasi yang dikenal dengan metode Bayes. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang kita peroleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasii dan parameter populasi berasal dari suatu distribusi, sehingga nilainya tidaklah tunggal dan merupakan variabel random.

Bayes menggunakan interpretasi probabilitas secara subyektif di dalam analisa statistika formal. Pendekatan Bayes terhadap metode estimasi statistik menggabungkan informasi yang dikandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya. Dari segi asumsi statistikawan klasik memandang bahwa parameter populasi mempunyai harga tertentu yang tidak diketahui sehingga pernyataan probabilitas tentang parameter populasi tidak mempunyai arti.

2.5.1 Distribusi Prior

Distribusi awal (prior) adalah keterangan tambahan mengenai θ, misalnya bahwa θ diketahui berubah sesuai dengan distribusi peluang f(θ) dengan rataan awal µ₀ dan varians σ₀2 yaitu dianggap bahwa θ merupakan nilai peubah acak θ dengan

∑

∑

= =

= ∩

= k

i

k

i

i i

i A P B P A B

B P A

P

1 1

) | ( ) ( )

( )

(

k r

B A P B P

B A P B P A B P

B A P A B

P _k

i

i i

r r

k

i i

r ; 1,2,..

) | ( ) (

) | ( ) ( ) (

) ( )

| (

1 1

= =

∩ ∩ =

∑

∑

distribusi peluang f(θ)dan ingin ditaksir nilai θ tertentu untuk populasi yang diambil sampelnya . Peluang yang dikaitkan dengan distribusi awal ini disebut peluang pribadi, karena mengukur derajat keyakinan seseorang mengenai letak parameter yang ingin ditaksir dan estimator mengunakan pengalaman dan pengetahuan sebagai dasar untuk memperoleh peluang pribadi yang berasal dari distribusi awal.

2.5.2 Distribusi Posterior

Teknis bayes menggunakan distribusi awal f(θ )bersama dengan fungsi gabungan sampel f(x1, x2, …, xn: θ) untuk menghitung distribusi posterior f(θ|x1, x2, …, xn).

Distribusi posterior (pasca) terdiri atas keterangan dari distribusi awal yang subjektif maupun distribusi sampel yang objektif dan menyatakan derajat keyakinan kita mengenai letak parameter θ setelah sampel diamati. f(x1, x2, …, xn|θ) sama dengan

f(x1, x2, …, xn: θ) untuk distribusi peluang gabungan sampel bilamana ingin

menunjukkan bahwa parameter juga merupakan peubah acak. Distribusi gabungan sampel

x

₁

,

x

₂

,...

x

_ndan parameter θ adalah:

f(x1, x2, …, xn,θ)= f(x1, x2, …, xn;θ)f(θ) . Sehingga distribusi marginalnya sebagai

berikut :

g(x1, x2, …, xn)=      

∫

∑

∞

∞ −

) kontinu bila

( d ) ; x ,... x , x ( f

) diskrit bila ( ) ; x ,... x , x ( f

n 2 1

n 2 1

θ θ

θ θ

(2.11)

jadi distribusi posteriornya dapat ditulis sebagai berikut:

) x , , x , g(x

θ) , x , … , x , f(x x

x x | f

n 2 1

n 2 1 n

1, ,... )= _…

(θ ₂ (2.12)

Distribusi posterior f(θ|x1, x2, …, xn) dinyatakan dengan θ*, disebut penaksiran bayes

2.5.3 Menentukan Selang Taksiran Bayes

Selang atau interval bayes (1-α )100% untuk parameter θ dapat dibuat dengan menghitung selang yang titik tengahnya berada pada rataan distribusi pasca yang mengandung (1-α )100% peluang pasca. Sehingga selang a<θ<b akan disebut selang bayes (1-α )100% untuk θ bila

∫

b

* θ

f(θ|x1, x2, …, xn: θ) dθ=

∫

*

a

θ

f(θ|x1, x2, …, xn: θ) dθ

=

2 1−α

(2.13)

Rataan Posterior µ* adalah estimasi bayes dari rataan populasi µ, dan selang bayes (1-α)100% untuk µ dapat dibuat dengan menghitung selang

µ* - Zα/2 σ* < µ < µ* + Zα/2σ * (2.14)

2.6 Batas Toleransi

Selang kepercayaan untuk parameter θ, yaitu selang yang berbentuk θˆ₁ <θ <θˆ₂, bila

1

ˆ

θ dan θˆ₂ tergantung pada nilai statistik Θˆ untuk sebuah sampel tertentu dan juga

pada distribusi sampel dari Θˆ . Ini berarti batas kepercayaan dihitung sedemikian rupa sehingga proporsi tertentu dari selang yang dihitung dari seluruh sampel yang dapat dibuat dengan ukuran yang sama mengandung parameter populasi θ.

Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. Jika simpangan baku diketahui dan populasinya berdistribusi normal , maka interval taksirannya adalah:

) 1 (

2 2

α σ

µ σ

α

α = −

  

 

+ < < −

n z x n

z x

p (2.15)

Keterangan

α = adalah koefisien kepercayaan

2 α

z = bilangan z didapat dari table normal baku untuk peluang 2

Persamaan (2.1) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain, adalah untuk memperoleh (1-α)100% interval kepercayaan parameter µ dapat menggunakan persamaan berikut:

n z x n

z

x _α σ µ _α σ

2 2

+ < <

− (2.16)

Bila

2 α

z menyatakan nilai z sehingga daerah di sebelah kanannya mempunyai

luas 2

α

maka didapat dua batas kepercayaan sebagai berikut:

n z

x σ

θ _α

2

*= − dan

n z

x σ

θ _α

2

*= +

Gbr 2.5 Batas keprcayaan pada distribusi normal

Jika dipakai sebagai taksiran untuk μ, maka kita bisa yakin (confident) dengan tingkat keyakinan (confidence level) 100(1-α)% bahwa error (E= x-μ ) yg terjadi tidak akan lebih besar dari seperti pada gambar 2.6 di bawah ini:

Gambar 2.6 Interval kepercayaan rata-rata populasi

Sebagai contoh, bila semua sampel dengan ukuran n yang sama diambil dari suatu distribusi normal, 95% dari semua selang yang ditentukan oleh batas

kepercayaan

n

x±1,96 σ akan mengandung parameter µ. Karena itu dengan x

n z_α σ

kepercayaan 95% selang

n

x±1,96 σ , yang dihitung dari suatu sampel tertentu, akan

mengandung parameter µ.

Suatu cara untuk menetapkan batas untuk nilai tunggal dalam populasi ialah dengan menentukan suatu selang kepercayaan untuk suatu proporsi tertentu dari pengukuran. Ini paling baik dijelaskan dengan membayangkan suatu keadaan yang menyangkut pengambilan sampel acak dari suatu keadaan yang menyangkut pengambilan sampel acak dari suatu distribusi normal dengan rataan µ dan variansi

2

σ yang diketahui. Jelas suatu batas mencakup bagian tengah 95% dari populasi pengamatan adalah

±

µ 1,96σ (2.17)

Ini disebut selang toleransi, dan memang cakupan 95% dari pengamatan yang diukur adalah tepat. Akan tetapi, dalam praktek µ dan σ jarang diketahui, jadi pengguna terpaksa menggunakan

,

ks

x ± (2.18)

Dan sekarang, selang berbentuk peubah acak dan karena itu cakupan dari proporsi populasi yang dipenuhi selang tadi tidak lagi tepat. Akhibatnya selang kepercayaan 100

(

1−γ

)

% berlaku untuk pernyataan tersebut karena x±ks tidak dapat diharapkan selalu mencakup setiap proporsi tertentu.

Batas toleransi untuk pengukuran yang berdistribusi normal dengan rataan µ dan simpangan baku σ yang keduanya tidak diketahui, batas toleransi diberikan oleh

ks

BAB 3

PEMBAHASAN

Pada tulisan ini distribusi populasi data diambil berbentuk normal. Hal ini adalah untuk memenuhi syarat dalam penaksiran bayes dan maksimum likelihood dan juga untuk memudahkan penurunan formula-formula matematikanya. Akan tetapi pada situasi yang sebenarnya kalau distribusi data tidak diketahui maka bentuk distribusi ini haruslah ditaksir.

3.1 Penaksiran Parameter

µ

Dan σ2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes

Bila x rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi normal dengan variansi

2

σ yang diketahui , dan distribusi awal dari rataan populasi adalah suatu distribusi

normal dengan rataan µ₀ dan variansi σ₀2, maka distribusi prior dari rataan populasi juga berdistribusi normal (Ronald & Raymond, 1995).

Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi normal dengan mean yang tidak diketahui, dengan variansi σ 2< ∞.

Bentuk fungsi kepadatan dari distribusi ini adalah:

2 x 2 1

e 2 1 ) x (

f 

    − −

= σ

µ

π

σ (3.1)

Andaikan x₁,x₂,...,x_nadalah sampel berukuran n yang diambil dari populasi normal, maka fungsi padat dari sampel adalah:

f(x1, x2, …, xn| µ) =

    

  

   



 −

     

−

∑

=

n

i i

n n

x

1

2

2 2

1 exp

) 2 (

1

σ µ

σ π

(3.2)

Karena dalam hal ini distribusi yang diselidiki adalah distribusi normal, maka parameter θ yang akan ditaksir dianggap juga mempunyai distribusi normal.

Fungsi padat awal (prior) bentuknya adalah:

2 0 0 2 1 0 2 1 ) (      −       − = σ µ µ π σ µ e

f , -∞ < µ< ∞ (3.3)

Maka dapat diperoleh fungsi padat gabungan dari sampel acak dan rataan populasi asal sampel yaitu :

f(x1, x2, …, xn,µ) = f(x1, x2, …, xn|µ)f(µ)

=                    −       −     

∑

= n i i n n x 1 2 2 2 1 exp ) 2 ( 1 σ µ σ π .                 −       − 2 0 0 2 1 0 e 2 1 σ µ µ π σ =                  − +       −          −

∑

= + 2 1 0 0 2 0 2 ) 1 ( 2 1 exp ) 2 ( 1 n i i n n x σ µ µ σ µ σ σ π (3.4) Identitas

∑

∑

= = − − − + − = − n 1 i n 1 i 2 i 2

i ) (x x) n(x )

x

( µ µ

Sehingga dapat ditulis :

f(x1, x2, …, xn|µ)=

              − +       −       −                   −       −

∑

= − + 2 0 2 0 2 2 1 2 0 2 ) 1 ( ) ( ) ( 2 1 exp 2 1 exp ) 2 ( 1 σ µ µ σ µ σ σ σ π x n x x n i i n n (3.5)

Dari f(x1, x2, …, xn|µ) dapat diturunkan f(µ|x1, x2, …, xn). Menurut Hogg&Tans(1997)

distribusi posteriornya adalah:

f(µ|x1, x2, …, xn)=

              − +       −       −                   −       −

∑

= − + 2 0 2 0 2 2 1 2 0 ) ( ) ( 2 1 exp 2 1 exp ) 2 ( 1 2 ) 1 ( σ µ µ σ µ σ σ σ π x n x x n i i n n (3.6)

Dapat disederhanakan dari pangkat eksponennya sebagai berikut: f(µ|x1, x2, …, xn)≈

              − +       −       − ₂ 0 2 0 2

2 _{( )}

) ( 2 1 exp σ µ µ σ µ x n

f(µ|x1, x2, …, xn)≈

f(µ|x1, x2, …, xn)≈         _{− +} − + − − 2 0 2 0 0 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 ) 2 ) (( exp σ µ µµ µ σ µ µ x x n

f(µ|x1, x2, …, xn)≈

        − + − + − − ₂ 0 2 0 0 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 ) 2 ) ( ( exp σ µ µµ µ σ µ

µn n

x x

n

f(µ|x1, x2, …, xn)≈

        − + − − + − ) ( 4 ) 2 ( 2 ) 2 ) ( ( 2 exp ₂ 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 σ σ µ µµ µ σ µ µ

σ n x x n n

(3.7)

Dengan mengeliminasi semua faktor konstanta maka didapat sebagai berikut:

f(µ|x1, x2, …, xn)≈

        _{− + − − +} − ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ) ( ( exp 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 σ σ µ µµ µ σ µ µ

σ n x x n n

f(µ|x1, x2, …, xn)≈ 

    ₋ − + − − + ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ) ( ( exp ₂ 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 σ σ σ µ σ µµ σ µ σ σ µ σ µ σ

σ n x x n n

f(µ|x1, x2, …, xn)≈

        + − + − ) ( 2 ) ( 2 ) ( exp 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 σ σ µ σ µ σ µ σ

σ n x n

f(µ|x1, x2, …, xn)≈

              +         + + − 2 2 0 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 0 ) ( 2 exp σ σ σ σ σ σ σ µ σ µ n n n x (3.8)

Dengan demikian didapat penaksir rata-rata dan variansinya adalah sebagai berikut:

2 2 0 2 0 2 0 n x n * σ σ σ µ σ µ + + = −

= x ,dan (3.9)

2 2 2 0 2 2 0 2 s

n + =

=

σ σ

σ σ

σ (3.10)

Bila bentuk kuadrat pada eksponen yang kedua dilengkapi pada persamaan (3.6) maka fungsi padat gabungan dari sampel acak dan rataan populasi dapat ditulis dalam bentuk

f(x1, x2, …, xn, µ) =

            −       − 2 * * ( 2 1 exp σ µ µ

K (3.11)

g(x1, x2, …, xn, µ) = K * 2 1 * 2 σ π σ π

∫

∞ ∞ − _          −       − 2 * * ( 2 1 exp σ µ µ

=K 2πσ* (3.12)

Jadi distribusi posteriornya adalah :

f(µ|x1, x2, …, xn) =

) x , , x , g(x μ) , x , … , x , f(x n 2 1 n 2 1 … = * 2 K *) ( 2 1 exp 2 σ π σ µ µ             −       − K = * 2 1 σ π __          −       − 2 * * ( 2 1 exp σ µ

µ _{, untuk -∞ < θ< ∞ (3.13)}

2.5.2 Penaksiran Parameter

µ

Dan

σ

2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Maximum Likelihood

Maksimum likelihood adalah metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter distribusi normal.

Misalkan x₁,x₂,...,x_n adalah sampel acak dari distribusi normal pada persamaan (2.3) sebagai berikut 2 2 1 2 1 ) (      − − = σ µ π σ x e x f

Fungsi kemungkinan sebuah sampel yang besarnya n untuk distribusi normal berbentuk :

∏

∑

= =               −       − = n i n i i n x x x x L 1 1 2 2 2 1 2 1 exp 2 1 ) , , ,... , ( σ µ π σ σ µ =

( )

_     ₋ −

∑

= n i i n x 1 2 2 2 / 2 2 ) ( 1 exp ) 2 ( 1 σ µ πσ =

(

)

_            −       −

∑

= n i i n n x 1 2 2 2 / 2 2 / 2 1 exp ) ( ) 2 ( 1 _µ σ σ

π (3.14)

∑

= − ₋ − − − = n i i n x n n x x x L 1 2 1 2 2 2 2

1 ln (2 ) ( )

2 2 ln 2 ) , , ,... , (

ln µ σ π σ σ µ (3.15)

Turunan parsial dariL(x₁,x₂,...,x_n,µ,σ2) untuk mencari µ dan

σ

2, Maka untuk mencaari µ adalah :

∑

= − ₋ = ∂ ∂ n 1 i i 1 2 n 2 1 ) x ( ) ( ) , x ... x , x ( L

ln _{σ µ}

µ θ =

∑

(

)

= − n i i x 1 2 1 _µ

σ (3.16)

Dengan menyamakan turunannya dengan nol pada persamaan (3.16), maka diperoleh:

∑

= = − n 1 i

i n 0

x µ

∑

= = n i i n x 1 µ

∑

= = n 1 i i x n 1 *

µ =x (3.17)

Dan untuk mencai

σ

2 adalah :

(

)

∑

= − + − = ∂ ∂ n 1 i 2 i 4 2 2 n 2 1 x 2 1 2 n ) , x ... x , x ( L ln µ σ σ σ θ (3.18)

Persamaan (3.18), dan mensubstitusi µ=xmaka diperoleh:

∑

= = − + − n i i x x n 1 2 4

2 ( ) 0

2 1

2σ σ

∑

= = − n i i n x x 1 2 2 4 2 ) ( 2 1 σ σ 2 2 4 ) ( 2 2 1 x x n i − = σ σ 2 2 4 2 ) ( 2 1 σ

σ x x

n i − = 4 2 2 2 . ) (

Dengan mengeliminasi faktor konstanta pada persamaan (3.19) maka di dapat sebagai berikut:

n x xi

2 2

4 ( ) σ

σ = −

n x

x_i 2

2 = ( − )

σ (3.20)

atau

2

σ

* =

∑

=

   

  −

n

1 i

2 _ i x

x n 1

= s2 (3.21)

3.3 Contoh Kasus

Suatu perusahaan listrik membuat bola lampu yang panjang umurnya berdistribusi normal dengan simpangan baku 100 jam. Dari pengalaman sebelumnya dapat dianggap bahwa µ merupakan nilai variabel acak normal dengan rataan µ₀ =800 jam dan simpangan baku σ₀ =10 jam. Bila sampel acak berukuran 30 bola lampu mempunyai rata-rata umur 780 jam. Tentukan estimator titik dan interval menggunakan metode bayes dan maksimum likelihood!

Sumber: Buku Ilmu Peluang dan Statsistik Untuk Insinyur dan Ilmuan: ITB Bandung, halaman 279

Walpole (Ronald E. dan Myers, Raymond H. 1995)

Penyelesaian:

a) Solusi Menggunakan Metode Bayes

1. Mencari taksiran titik (point estimation)

Taksiran titik untuk rata-rata (mean) adalah :

2 2 0

2 0 2 0 n x n *

σ σ

σ µ σ µ

+ + =

−

) 100 ( ) 10 )( 30 ( ) 100 )( 800 ( ) 10 )( 780 )( 30 ( * 2 2 2 + + = µ = ) 000 . 10 ( ) 100 )( 30 ( ) 000 . 10 )( 800 ( ) 100 )( 780 )( 30 ( + + = 000 . 10 000 . 3 000 . 000 . 8 000 . 340 . 3 + + = 000 . 13 000 . 340 . 10

µ* =795,38

dan variansinya adalah :

2 2 0 2 2 0 2 * σ σ σ σ σ + = n = 2 2 2 2 ) 100 ( ) 10 )( 30 ( ) 100 ( ) 10 ( + = 000 . 10 ) 100 )( 30 ( ) 000 . 10 )( 100 ( + = ) 000 . 10 ( ) 000 . 3 ( 000 . 000 . 1 + = 000 . 13 000 . 000 . 1

σ

2* = 76,92

dan simpangan bakunya: σ = 76.92

σ =8,77

2) Mencari taksiran selang (Interval estimation)

Untuk mencari taksiran selang bayes pada contoh kasus di atas dapat menggunakan persamaan (2.14) sebagai berikut :

Sehingga selang bayes 90% untuk µ adalah: µ* - Zα/2 σ* < µ < µ* + Zα/2σ *

92 , 76 65 , 1 38 , 795 92 , 76 65 , 1 38 ,

795 − <µ < +

) 77 , 8 ( 65 , 1 38 , 795 ) 77 , 8 ( 65 , 1 38 ,

795 − <µ < +

47 , 14 38 , 795 47 , 14 38 ,

795 − <µ < +

85 , 809 91

,

780 <µ <

Sehingga selang bayes 95% untuk µ adalah: µ* - Zα/2 σ* < µ < µ* + Zα/2σ *

92 , 76 96 , 1 38 , 795 92 , 76 96 , 1 38 ,

795 − <µ < +

) 77 , 8 ( 96 , 1 38 , 795 ) 77 , 8 ( 96 , 1 38 ,

795 − <µ < +

18 , 17 38 , 795 18 , 17 38 ,

795 − <µ < +

56 , 812 20

,

778 <µ <

Jika selang bayes 99% untuk µ adalah: µ* - Zα/2 σ* < µ < µ* + Zα/2σ *

92 , 76 58 , 2 38 , 795 92 , 76 58 , 2 38 ,

795 − <µ < +

) 77 , 8 ( 58 . 2 38 , 795 ) 77 , 8 ( 58 . 2 38 ,

795 − <µ < +

62 , 22 38 , 795 62 , 22 38 ,

795 − <µ < +

00 , 818 76

,

772 <µ <

b) Solusi Menggunakan Maksimum Likelihood

1. Mencari taksiran titik (point estimation)

Taksiran titik untuk rata-rata (mean) adalah : x =780

2) Mencari taksiran selang (Interval estimation)

Untuk mencari taksiran selang maksimum likelihood pada contoh kasus di atas dapat menggunakan persamaan (2.16) sebagai berikut:

n z x n

z

x _α σ µ _α σ

2 2 + < < −

Dengan mengabaikan informasi sebelumnya mengenai µ, dapat dihitung selang kepercayaan 90% untuk maksimum likelihood

n z x n

z

x _α σ µ _α σ

2 2 + < < −       + < <       − 30 100 ) 96 , 1 ( 780 30 100 ) 96 , 1 ( 780 µ       + < <       − 47 , 5 100 ) 65 , 1 ( 780 47 , 5 100 ) 65 , 1 ( 780 µ ) 28 , 18 )( 65 , 1 ( 780 ) 28 , 18 )( 65 , 1 (

780− <µ < +

) 16 , 30 ( 780 ) 16 , 30 (

780− <µ < +

16 , 810 84

,

749 <µ <

Jika selang kepercayaan 95% untuk maksimum likelihood

n z x n

z

x _α σ µ _α σ

2 2 + < < −       + < <       − 30 100 ) 96 , 1 ( 780 30 100 ) 96 , 1 ( 780 µ       + < <       − 47 , 5 100 ) 96 , 1 ( 780 47 , 5 100 ) 96 , 1 ( 780 µ ) 28 , 18 )( 96 , 1 ( 780 ) 28 , 18 )( 96 , 1 (

780− <µ < +

) 82 , 35 ( 780 ) 82 , 35 (

780− <µ < +

Jika selang kepercayaan 99% untuk maksimum likelihood

n z x n

z

x _α σ µ _α σ

2 2

+ < < −

      +

< <       −

30 100 ) 58 , 2 ( 780 30

100 ) 58 , 2 (

780 µ

      +

< <       −

47 , 5

100 ) 58 . 2 ( 780 47

, 5

100 ) 58 , 2 (

780 µ

) 28 , 18 )( 58 , 2 ( 780 )

28 , 18 )( 58 , 2 (

780− <µ < +

) 16 , 47 ( 780 )

16 , 47 (

780− <µ < +

16 , 827 84

,

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dan analisa data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk populasi yang distribusinya diketahui, penaksiran parameter akan lebih mudah bila menggunakan Maximum Likelihood

2. Jika populasi dianggap berdistribusi normal dan distribusi awal dari parameter juga berdistribusi normal, maka distribusi posteriornya juga berdistribusi normal. 3. Walaupun untuk menentukan distribusi awal dari parameter adalah sulit, tetapi

penaksiran parameter dengan metode bayes lebih menjanjikan karena tidak perlu tahu tentang distribusi awal dari populasi.

4.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

Andi Supangat. 2008. Statistika. Jakarta. Kencana.

Andi Hakim Nasoetion. 1969. Teori Statistika. Bogor: Bhratara Darmaga. Bayesian Multi_Parameter Model. 10 Januri Freund, John E. Dan Walpole, Ronald E. 1987. Mathematical Statistic. United

State Of America: Prentice-hall

Bayes Estimator, 10 Januari 2011.

Interpretations of Probability with Bayes Theorem. 9 Januari Google.com.

J, Willey. 1985. Statistic Principles and Methods. New York.

John, E. Freund .1992. Mathematical Statistic. Arizona State University, United State Of America.

Murray, R. Spiegel dan Larry, J. Stephens. 2004. Statistik. Jilid 3. Jakarta. Erlangga

Probabilitas dan Statistika Teorema Bayes. 10 Januari Google.com.

Robert V. Hogg dan Elliot A. Tanis. 1997. Probability And Statistic Inference. United State Of America.

Soebonar dan Zanzani Soejoeti.1998. Materi Pokok Inferensia Bayesan. Jakarta. Sudjana. 1996. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito

Surjadi, P. A. 1976. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika, Bandung:Institut Teknologi Bandung.

Teori Distribusi dan Penaksiran Parameter Distribusi Normal dengan Bayes. 9 Januari

Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H. 1995. Ilmu Peluang dan Statsistik Untuk Insinyur dan Ilmuan. Bandung: ITB Bandung