FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH

ABSTRACT

CHARACTERISTICS FUNCTION OFTHREE-PARAMETER

GENERALIZED RAYLEIGHDISTRIBUTION

By : Nurman Fauzi

The main purpose of this research is to derive the characteristic function of the three-parameter generalized Rayleigh distribution. The three-parameter generalized Rayleigh distribution has three parameter which are : the shape parameter ( ), the scale parameter ( ) and the location parameter (μ ). The characteristic function can be used to determine the distribution function from a random variable that is known as inversion theorem of characteristic function. The characteristic function can be determined by using the definition and trigonometry expansion. Both methods show similiar form of the characteristic function of the three-parameter generalized Rayleigh distribution. This research also discusses the fundamental properties of the characteristic function of thethree-parameter generalized Rayleighdistribution

Keywords: Rayleighdistribution, generalized Rayleighdistribution,

ABSTRAK

FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSITHREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH

Oleh : Nurman Fauzi

Tujuan utama penelitian ini adalah menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh. Distribusi three-parameter generalized Rayleigh memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk ( ), parameter skala ( ) dan parameter lokasi ( ). Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik dapat ditentukan dengan menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri. Kedua cara tersebut bertujuan untuk menunjukkan kesamaan bentuk fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh yang diperoleh, kemudian dilanjutkan pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.

Kata kunci: distribusi Rayleigh, distribusi generalized Rayleigh,

FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI

THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH

Oleh

Nurman Fauzi

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains

Pada

Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI

THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH

(Tesis)

Oleh

Nurman Fauzi

MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1.

Grafik fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleighdengan

nilai = 1.5... 19 Gambar 2.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi

generalized Rayleigh dengan nilai = 1.5, = 0.1... 20 Gambar 3.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = 2, = 1,

= 2 ... 21 Gambar 4.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

= meningkat, = tetap, µ = tetap... 29 Gambar 5.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = tetap,

= meningkat, µ = tetap... 30 Gambar 6.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan = tetap,

= tetap, µ = meningkat... 31 Gambar 7.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan = meningkat,

Gambar 8.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

= meningkat, = tetap, µ = meningkat... 33 Gambar 9.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = tetap ,

= meningkat, µ = meningkat... 34 Gambar 10.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

= meningkat, = tetap, µ = menurun... 35 Gambar 11.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = menurun,

= tetap, µ = menurun... 36 Gambar 12.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

= tetap, = menurun, µ = menurun... 37 Gambar 13.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

= menurun, = menurun, µ = tetap... 38 Gambar 14.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

= tetap, = tetap, µ = menurun... 39 Gambar 15.

Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai

DAFTAR ISI

SANWANCANA DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah ... 1

1.2. Batasan Masalah... 3

1.3. Tujuan Penelitian... 4

1.4. Manfaat Penelitian... 4

II. FUNGSI-FUNGSI KHUSUS 2.1. Fungsi Gamma ... 5

2.2. Fungsi Beta... 6

2.3. Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma ... 12

2.4. Rumus Euler ... 16

III. DISTRIBUSIRAYLEIGH, DISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH DAN DISTRIBUSITHREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH 3.1. DistribusiRayleigh ... 18

3.2. DistribusiGeneralized Rayleigh ... 19

3.3. DistribusiThree-Parameter Generalized Rayleigh... 20

IV FUNGSI KARAKTERISTIK 4.1. Fungsi Karakteristik ... 22

V. METODE PENELITIAN

VI. PEMBAHASAN

6.1 Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi

Three-Parameter Generalized Rayleigh... 29 6.2. Fungsi Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized

Rayleighdengan Menggunakan Definisi ... 41 6.3. Fungsi Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized

Rayleighdengan Menggunakan Ekspansi Trigonometri ... 44 6.4. Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi Karakteristik dari Fungsi

Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh... 53

VII. KESIMPULAN

DAFTAR LAMPIRAN

Coding Programuntuk grafik fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleigh dengan nilai✄ 1.✁

Coding Programuntuk grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi generalized Rayleighdengan nilai ✄ 1.✁, ✂ 0.1

MOTO

“Ilmu itu lebih baik daripada harta. Ilmu menjaga engkau dan engkau menjaga

harta. Ilmu itu penghukum (hakim) dan harta terhukum. Harta itu kurang apabila

dibelanjakan tapi ilmu bertambah bila dibelanjakan”

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT, atas izin dan ridha-Nya karyaku ini dapat terselesaikan dan ku persembahkan kepada

orang - orang tercinta :

Orangtuaku tercinta,

Bapak Untung, Ibu Siti Khotijah, Bapak Hi. Sumaryo, Ibu Hj. Asmiati, terimakasih atas doa dan kasih sayang yang diberikan yang selalu menjadi kekuatan dalam

setiap langkahku dalam mencapai impian dalam hidupku.

Adik-adikku tercinta,

Iman Suryaman dan Muhammad Fajar Sidiq, terimakasih atas dukungan moril yang selalu diberikan dalam proses langkah perjuangan.

Kekasihku tercinta,

Retno Pangastuti, terimakasih atas segala bentuk cinta dan dukungan yang selalu kau berikan.

Teman-teman seperjuangan yang selama ini selalu menemani.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tugumulyo pada tanggal 18 Mei 1989. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Untung dan Ibu Siti Khotijah. Pendidikan formal yang pernah ditempuh :

1. Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 2 Sriagung pada tahun 1996-2002.

2. Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Padangratu pada tahun 2002-2005.

3. Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah (MA) Miftahul Ulum Kotabaru pada tahun 2005–2008.

4. S1 Pendidikan Matematika di Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Muhammadiyah Pringsewu Lampung pada tahun 2008 - 2012.

5. Terdaftar sebagai mahasiswa S2 Progam Studi Magister Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2013.

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

Penulis menyadari dapat diselesaikannya tesis ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ir. Warsono, M.S., Ph.D., selaku pembimbing I yang telah memberikan sumbangan pemikiran dalam penyusunan tesis ini.

2. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku ketua program studi magister matematika Universitas Lampung sekaligus pembimbing II yang telah memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.

3. Dra. Wamiliana,M.A., Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.

4. Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah mendidik dan memberikan arahan kepada penulis.

5. Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam poses penyusunan tesis ini.

6. Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku ketua jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.

7. Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

8. Seluruh dosen, staff dan karyawan jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

9. Ayahanda Untung dan Ibunda Siti Khotijah yang selalu memberikan doa yang terbaik bagi penulis.

11. Kekasihku tercinta Retno Pangastuti dan Adikku tercinta Iman Suryaman serta Muhammad Fajar Sidiq yang selalu membantu dan memberikan semangat serta doa yang terbaik kepada penulis.

12. Sahabat dan teman-teman seperjuangan Nova Kristianto, Waryoto, Oktarini, Ibnu Malik, Antonius Widi Asmoro, Dwi Mardiani, Herlyanti, Ayu Siska Maryoni, Elisabeth Viviana, Rahman Cahyadi, Ade Septinasari, Fauzan, Cut Nurliana Setia Putri, Ana Istiani, C. Ike Tri Widyastuti, Agus Irawan, Paustinus Edi Kristanto, Permata, Suli Rakasiwi, Guiyana Ayu Chandra Kumala, Fita fatmawati, Ibnu Wahid yang telah memberikan dukungan dan semangat kepada penulis.

13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan tesis ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu

Bandar Lampung, 07 Desember 2015 Penulis,

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Distribusi peluang kontinu merupakan distribusi yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Burr type X merupakan distribusi yang cukup populer dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Dalam penerapannya biasa digunakan dalam bidang kesehatan, pertanian, biologi dan ilmu pengetahuan lainnya. Distribusi burr type X telah dibahas oleh beberapa peneliti salahsatunya adalah Fakhry dan Jaheen pada tahun 1997, dalam jurnalnya mereka mengestimasi parameter dari distribusi Burr type Xdengan metodeEmpirical Bayes.

Pada tahun 2001, Surles and Padgett memperkenalkan distribusi Burr type X dengan dua parameter yang dinamakan dengan distribusi generalized Rayleigh. Distribusi generalized Rayleigh memiliki dua parameter, yaitu parameter bentuk(α) dan parameter skala (λ).

2 tertentu dan melakukan tes seragam serta takbias untuk membedakan antara parameter dari dua distribusigeneralized Rayleigh yang tergantung pada nilai dari parameterk.

Selain itu Kundu dan Raqab pada tahun 2005, dengan jurnalnya yang berjudul “Generalized Rayleigh Distribution : Different Methods of Estimations”. Di dalam jurnalnya tersebut, Kundu dan Raqab menggunakan metode yang berbeda untuk mengestimasi parameter-parameter dari distribusi generalized Rayleighpada data yang sederhana.

Kemudian peneliti lain yang juga membahas tentang distribusi generalized Rayleigh yaitu Blumenson dan Miller (2007), dalam jurnalnya mereka membahas tentang metode yang digunakan dalam vektor ruang linier yang terdiri dari dua jenis, rumus eksplisit dan representasi simbolik.

Kundu dan Raqab pada tahun 2005 memperkenalkan pengembangan distribusi generalized Rayleigh menjadi distribusi three-parameter generalized Rayleigh, dengan penambahan parameter sebagai parameter lokasi. Untuk > 0, > 0, < < , > µ, distribusi three-parameter generalized Rayleigh memiliki fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut :

( ; , , µ) = 1 ( ) _{; > µ}

Dan mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) :

( ; , , µ) = 2 ( ) ( ) (1 ( ) ) ; > µ

3 Dalam jurnalnya tersebut, Kundu dan Raqab juga membahas tentang penduga parameter-parameter menggunakan metode maximum likelihood estimation (MLE) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh.

Salahsatu sifat penting dalam suatu distribusi adalah fungsi karakteristik. Menurut Lukacs (1970), fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik suatu distribusi harus memenuhi sifat-sifat dasar. Sejauh penelusuran yang telah penulis lakukan, bahwa belum ditemukan penjelasan tentang fungsi karakteristik distribusithree-parameter generalized Rayleigh.

Pada penelitian ini, penulis akan membahas mengenai fungsi karakteristik, dan pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh. Fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dapat diperoleh dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik dan ekspansi trigonometri. Selanjutnya akan dibuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh. Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka dalam penelitian ini akan dibahas kajian tentang “Fungsi Karakteristik DistribusiThree-Parameter Generalized Rayleigh”.

1.2 Batasan Masalah

4 trigonometri serta pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleigh.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan Penelitian ini adalah :

1. Membuat grafik gambar fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh.

2. Menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh menggunakan definisi dan membuktikan kembali fungsi karakteristik yang diperoleh dengan ekspansi trigonometri.

3. Membuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik distribusithree-parameter generalized Rayleigh.

1.4 Manfaat Penelitian

) , ( ) ,

(α β B β α

B 



 _ 



1

0

1 1

) 1 ( )

,

( x x dx

B α β α β



 _ 



1

0

1 1

) 1 ( )

,

( x x dx

B α β α β

II. FUNGSI–FUNGSI KHUSUS

Dalam penelitian ini, untuk menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh, penulis menggunakan beberapa fungsi khusus yang berkaitan dengan hasil yang ingin diperoleh penelitian ini, yakni sebagai berikut :

2.1 Fungsi Beta

Menurut Nakhi dan Kalla (2001), fungsi beta untuk batas nol sampai satu didefinisikan sebagai berikut :

dengan konvergen untuk α,β 0

Selain itu, Nakhi dan Kalla (2001) juga mengungkapkan bahwa sifat yang dimiliki fungsi Beta adalah simetris, yaitu :

Bukti :

Misal : x1y dy dx(1)

) , (α β

6 Batas-batas integral :

0 1 1 0       y x y x



 

0  

1 1 1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ,

( y y dy

Bα β α β



 _    0 1 1 1_{(1 )}

) ( ) ,

( y y dy

B α β β α



 _   1 0 1 1 ) 1 ( ) ( ) ,

( y y dy

B α β β α

) , ( ) ,

(α β B β α

B 

2.2 Fungsi Gamma

Fungsi Gamma, menurut Walpole et al. (1998), adalah fungsi yang didefinisikan sebagai integral dengan bentuk umum sebagai berikut :



     0 1 )

(x tx e tdt



      b t x

b t e dt

x 0 1 lim ) (

Walpole et al. (1998) juga mengemukakan beberapa sifat yang dimiliki oleh fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :

1. (x)(x1).(x1)

Bukti :

Berdasarkan definisi fungsi Gamma, diketahui bahwa :



     0 1 )

7



      b t x

b t e dt

x 0 1 lim ) (

Dengan menggunakan integral parsial, dilakukan perhitungan berikut : Misal : u tx1 du(x1)tx2dt

t t e v dt e

dv    

Sehingga :



      b t x b t e dt

x 0 1 lim ) (              



   b 2 x t t x

b t e e x t dt

x 0 1 ) 1 )( ( ) ( lim ) (              



   b t x t x

b t e x t e dt

x 0 2 1 ) 1 ( lim ) (             



   b t x t x

b t e x t e dt

x 0 2 1 ) 1 ( lim ) (









         



        b t x b b x

b b e x t e dt

x 0 2 1 lim 1 lim ) (





_         



   0 2 1 0 )

(x x tx e tdt





        



    0 1 ) 1 ( 1 )

(x x t x e tdt



( 1)



)

1 ( )

(    

 x x x

2. (x1)x.(x)

8



       0 1 ) 1 ( ) 1

(x t x e tdt



     0 ) 1

(x txe tdt

        



   b t x

b t e dt

x 0 lim ) 1 (

Misal : u _tx _du _xtx1dt t t e v dt e

dv    

Sehingga :



      b t x

b t e dt x 0 lim ) 1 (             



   b x t t x

b t e e x t dt

x 0 1 ) )( ( ) ( lim ) 1 (             



   b t x t x

b t e xt e dt

x 0 1 lim ) 1 (            



   b t x t x

b t e xt e dt

x 0 1 lim ) 1 (





          



     b t x b b x

b b e x t e dt

x 0 1 lim lim ) 1 (          



   0 1 0 ) 1

(x x tx e tdt

        



   0 1 ) 1

(x x tx e tdt

 

x x

x  

9 3. (1)1

Bukti :        



    b t

b t e dt

0 1 ) 1 ( lim ) 1 (        



   b t

b e dt

0 ) 1 ( lim ) 1 (        



   b t

b e dt

0 lim ) 1 (        



  0 ) 1

( e tdt

     0 ) 1

( e t

1 ) 1 ( 



4. _π

      2 1 Bukti :

Berdasarkan definisi fungsi Gamma, maka :



                 0 1 2 1 2 1 dt e t t



           0 2 1 2 1 dt e t t

Misal : t z2 dt2zdz

Batas-batas integral :

        z x z

10

θ θ rcos

d v   Sehingga :

 



           0 2 1 2 ₂ 2 1 2 zdz e z z



           0 1 2 2 2 1 zdz e z z



          0 2 2 2 1 dz e z                          





    0 0 2 2 2 2 . 2 2 1 dz e dz

e z v

 

 

                  0 0 2 2 2 4 2 1 dz e z v

Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai berikut :

Misal : zrcosθ

θ sin r v θ cos   dr z θ sin   dr v θ θ rsin

d z

  

Sehingga memenuhi :

θ π θ θ d dr dr u dr u dr u dr u

e r r

 

                     2 0 0 ) ) sin ) cos (( 2 2 2 4 2 1  

 

                  2 0 0 ) ) (sin ) (cos ( 2 cos sin sin cos 4 2

1 2 2 2

11





 

  _               2 0 0 2 2 2 sin cos 4 2 1 2 π θ θ θ r drd r e r











  _               2 0 0 2 2 2 sin cos 4 2 1 2 π θ θ θ drd r e r θ π d dr r e r

 

                2 0 0 2 ) ( 4 2 1 2

Misal : tr2

rdr

dt 2 dt

r dr

2 1



Sehingga memenuhi :

θ π d dt r r e r

 

                2 0 0 2 2 1 ) ( 4 2 1 2 θ π d dt e t

 

                2 0 0 2 2 2 1 θ π d



               2 0 2 ) 1 ( 2 2 1

 

θ π d



              2 0 2 1 2 2 1                     2 0 2 2 2 1 π θ                     2 2 2

12 π               2 2 1 π         2 1

2.3 Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma

Pada penelitian ini, hubungan distribusi Beta menjadi distribusi Gamma digunakan untuk menyederhanakan fungsi karakteristik distribusi distribusi three-parameter generalized Rayleighmenjadi bentuk yang lebih sederhana.

Mc Donald et al (1995) mengungkapkan bahwa untuk menghitung nilai fungsi Beta, digunakan hasil dari fungsi Gamma.

Diketahui bahwa definisi fungsi Gamma sebagai berikut :



 _   1 0 1 1 ) 1 ( ) ,

( x x dx

Bα β α β

Dengan menggunakan koordinat polar, dilakukan perhitungan berikut : Misal : xsin2θ

θ θ

θ d

dx 2sin cos . Batas-batas integral :

2 1 0 0 π θ       y x x



 _   1 0 1 1 ) 1 ( ) ,

( x x dx

B α β α β

13



   2 0 1 2 ) 1 ( 2 . cos sin 2 . ) (cos ) (sin ) , ( π β α _{θ θ θ θ} θ β α d B



   2 0 1 2 ) 1 ( 2 . cos ) (cos sin ) (sin 2 ) , ( π β α _{θ θ θ θ} θ β α d B



     2 0 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 ) (cos ) (sin 2 ) , ( π β α _{θ θ} θ β α d B



   2 0 1 2 1 2 ) (cos ) (sin 2 ) , ( π β α _{θ θ} θ β α d B



   2 π 0 dθ θ) θ)(cos

(sin2α1 2β 1

2 ) , (α β

B

Setelah perhitungan fungsi Beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan dengan menggunakan fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :



     0 1 )

(α xα e xdx

Misal : xu2 dx2u.du, maka memenuhi :

) (α  =



   0

1_{e dx}

xα x

) (α  =



   0 1 2 . 2 )

(u α e u2 udu

) (α  =



    0 1 ) 2 2 ( 2

2 u α e u du

) (α  =



   0 1 2 2

14 Dengan cara yang sama, diketahui bahwa :



     0 1 )

(β xβ e xdx

Misal xv2dx2v.dv, maka memenuhi :



     0 1 )

(β xβ e xdx



     0 1 2 . 2 ) ( 2 )

(β v β e v vdu



      0 1 ) 2 2 ( 2 2 )

(β v β e v dv



     0 1 2 2 2 )

(_β v β e v dv

Selanjutnya diperoleh bahwa :

           





         0 1 2 0 1

2 2 2

2 2

) ( ).

(α β uα e u du v β e v dv

 

         0 ) ( 1 2 0 1

2 2 2

4

) ( ).

(α β u α v β e u v dudv

Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai berikut : Misal : urcosθ

θ sin r v θ cos   dr u _θ sin   dr v θ θ rsin

d u

 

 _θ

θ rcos

d v

15 Maka dengan menggunakan transformasi parameter diperoleh persamaan berikut :  

 

            0 ) sin ( ) cos ( 1 2 2 0 1

2 2 2

) sin ( ) cos ( 4 ) ( ).

( d dr

dr u dr u dr u dr u e r

r θ θ β r θ r θ θ

π α β α    

 

         0 ) (sin ) (cos 1 2 2 0 1 2 cos sin sin cos ) sin ( ) cos (

4 2 2 2

) ( ).

( d dr

r r

e r

r r θ

θ θ θ θ θ θ β θ θ π α β α





 

    _    0 2 2 1 2 2 0 1 2 sin cos ) sin ( ) cos ( 4 2 ) ( ).

( r θ r θ β e r r θ r θ dθdr

π α β α









 

    _    0 2 2 1 2 2 0 1

2 _{( sin ) cos sin}

) cos ( 4 2 ) ( ).

( r θ r θ β e r r θ θ dθdr

π α β α

 

       0 1 2 2 0 1 2 ) ( ) sin ( ) cos ( 4 2 ) ( ).

( r θ r θ β e r r dθdr

π α β α

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 2 1 2 ) ( ) sin ( ) (cos 4 2 ) ( ).

( r θ r θ β e r r dθdr

π β α α β α

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 ) sin ( ) (cos 4 ) ( ).

( r r r θ θ β e r dθdr

π α β α β α

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 ) ( 2 ) sin ( ) (cos 4 2 ) ( ).

( r e r θ θ β dθdr

π α β α β α

 

         0 1 2 2 0 1 2 1 ) ( 2

)

sin

(

)

(cos

4

2 ) ( ).

(

r

e

r

θ

θ

β

d

θ

dr

π α β α β α                  _{ }   





   θ θ β θ π α β α β

α r e r dr 2 1d

16



( , )



) ( ). ( 0 1 ) ( 2 2

2

α β

β

α

r

α β

e

r

dr



B













        





) , ( ) ( ). ( 0 1 ) ( 2 2

2 α β

β

α r α β re r dr_ B

    



      

Misal : tr2 rdr dt2

dt r dr 2 1  Sehingga :  





) , ( ) ( ). ( 0 1 ) ( 2 2

2 α β

β

α r α β re r dr_ B

    



      



( , )



) ( ). ( 0 1 ) ( 2 1 .

2 α β

β

α α β dt B

r re

t t _

    



      



( , )



) ( ). ( 0 1 ) ( _{α β} β

α tα β e tdt_ B

    



      



( , )



) ( ) ( ).

(α  β   α  β B α β



Jadi, diperoleh rumus umum untuk menghitung nilai fungsi Beta menggunakan fungsi Gamma, yaitu :

) ( ) ( ). ( ) , ( β α β α β α      B

2.4 Rumus Euler

17 Kreyszig (1993) menuliskan bahwa rumus Euler untuk setiap bilangan riil x sebagai berikut :

) sin( )

cos(t i t eit  

Dan fungsi sekawannya yaitu :

) sin( )

cos(t i t eit  

dengan :

adalah basis logaritma natural adalah unit imajiner

yang diperoleh dari : cos(− ) = cos(t); sin(− ) =− sin( ). Diketahui bahwa :

) sin( )

cos(t i t

eit   ..(1)

) sin( )

cos(t i t

eit   ...(2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh rumus untuk menghitung nilai cos(tx) dan sin(tx)sebagai berikut :

2 )

cos(

it it

e e t



 

dan,

i e e t

it it

2 )

sin(



III. DISTRIBUSIRAYLEIGH, DISTRIBUSIGENERALIZED RAYLEIGH DAN DISTRIBUSI THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH

3.1 DistribusiRayleigh

Distribusi Rayleigh merupakan salahsatu keluarga distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Distribusi Rayleighdikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima.

Spiegel dan Stephens (2004) menjelaskan bahwa sebuah distribusi Rayleigh memiliki fungsi kepekatan peluang (fkp) sebagai berikut :

0 ; )

,

( 2

2

2

2 ð

✆ ✝

α α

α α

x

e x x

f

Dan memiliki fungsi distribusi kumulatif yaitu :

( ; ) = / ; > 0; > 0

Fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleigh dengan niai = 1.5

19

Gambar 1

3.2 DistribusiGeneralized Rayleigh

Surles dan Padget (2001) menjelaskan bahwa distribusi generalized Rayleigh merupakan salahsatu distribusi peluang kontinu yang memiliki dua parameter yaitu sebagai parameter bentuk dan sebagai parameter skala.

Surles dan Padget memisalkan X adalah peubah acak dari distribusi generalized Rayleighsehingga fungsi distribusi kumulatifnya adalah :

; dan mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) yaitu :

;

20

Gambar 2

Xiao Ling dan David E. Giles (2011) telah memperoleh fkp dari distribusi

generalized Rayleigh dengan melakukan perhitungan dari fungsi kepekatan

peluang (fkp) distribusi Rayleigh, distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell,

dan distribusi Chi-Square. Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa

distribusi generalized Rayleigh diperoleh dari penggabungan distribusi

Rayleighdengan beberapa distribusi lain.

3.3 DistribusiThree-Parameter Generalized Rayleigh

Kundu dan Raqab (2005) memperkenalkan distribusi three-parameter generalized Rayleigh yang diperoleh dari pengembangan distribusi generalized Rayleigh dengan memperkenalkan penambahan sebagai parameter lokasi.

Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi three-parameter generalized

Rayleigh dengan , , dan Sehingga fungsi

21

dan fungsi kepekatan peluang (fkp) adalah :

Fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi generalized Rayleigh dengan nilai digambarkan sebagai berikut :

IV. FUNGSI KARAKTERISTIK

4.1 Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik ini menunjukkan sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak. Kendall dan Stuart (1958) menjelaskan tentang fungsi karakteristik dari peubah acak X didefinisikan sebagai nilai harapan dari berikut :

( ) = = ∞ ( )

∞ = ( )

∞ ∞

dengan :

= ( 1)

= cos( ) + sin( )

( ) = = [cos( ) + sin( )]

Dengan nilai ekspetasi fungsi kompleks = cos( ) + sin( ) , maka fungsi karakteristik ( )dapat diberikan dalam bentuk integral berikut:





 

 e f x dx it itx

X( ) ( )

ϕ





 



 tx i tx f x dx

it

X( ) (cos sin ) ( )

ϕ







  

 



 tx f x dx i tx f x dx it

X( ) cos( ) ( ) sin( ) ( )

23 4.2 Sifat-sifat Dasar dari Fungsi Karakteristik

Suatu fungsi karakteristik harus memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi karakteristik. Berikut ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar yag harus dipenuhi oleh fungsi karateristik dari suatu distribusi.

Sifat 1.(Lukacs,1970)

Misalkan ϕ_X

 

t adalah fungsi karakteristik dari peubah acakX. Maka ϕ_X

 

0 1.

Bukti:

Misalkan ϕ_X

 

t E

 

eitx untuk t = 0, maka berlaku :

 

 

itx X t Ee

ϕ

 

 

(0)

0 Ee

X 

ϕ

 

0 E

 

1

X 

ϕ

 

0 1

X

ϕ

Sifat 2. (Lukacs,1970)

Fungsi karakteristik ada untuk sebarang sebaran.

 

t 1

X

ϕ

Bukti:

MisalkanX adalah sebarang peubah acak dengan fungsi peluangf(x). Berdasarkan definisi = cos( ) + sin( ) , diketahui bahwa :

 

sin

 

1

cos2 2

2

 

 tx tx

eitx

 

tx

 

tx

eitx  cos2 sin2

1 

24 Sehingga :

 

 

 

 

 

1

) ( 1

    











 



  

 



 

t

dx x f t

dF t

dF e t

dF e t

X X X

itx X

itx X

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Sifat 3. (Lukacs,1970)

Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dariX adalah

 

t

X

ϕ .

Bukti:

Misalkan ϕ_X

 

t adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕX

 

t . Perhatikan bahwa :

 

 

itx X t Ee

ϕ

 

t E



 

tx i

 

tx



X  cos  sin

ϕ

 

t E



 

tx



E



i

 

tx



X  cos  sin

ϕ

 

t E



 

tx



i E



 

tx



X  cos  sin

ϕ ...(1)

Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik dari–Xadalah

ϕ

_x

 

t

.

 



it x

  

itx

e E e

E   

 



e



E



 

tx i

 

tx



E itx  cos  sin

 



e



E



 

tx i

 

tx



E itx  cos  sin

 



e



E



 

tx



i E



 

tx



E itx  cos  sin

 



e



 

it

E X

x it _ϕ

25 Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh bahwa fungsi karakteristik dari –X adalah

 

t

x

V. METODE PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan pada semester IV tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Membuat grafik gambar fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan mengubah-ubah nilai parameter. Parameter sebagai parameter bentuk, parameter sebagai parameter skala, dan sebagai parameter lokasi.

2. Menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh. Untuk menentukan fungsi karakteristik dapat dilakukan dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik dan ekspansi trigonometri. Disini akan digunakan kedua cara tersebut untuk menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh.

a. Langkah-langkah menentukan fungsi karakteristik dengan definisi fungsi karakteristik sebagai berikut :

27

✞

  _



1

0

1 1

) 1 ( )

,

( x x dx

B α β α β

✞

  _



1

0

1 1

) 1 ( )

,

( x x dx

B α β α β

peluang (fkp) distribusi three-parameter generalized Rayleigh menggunakan definisi fungsi karakteristik berikut :

 

✟

 

✟

 

✠

✠  ✠

✠ 

 

 Ee e dF x e f x dx

it itx itx itx

x( ) ϕ

2.) Menghubungkan ke bentuk fungsi Beta :

3.) Menghubungkan bentuk fungsi beta ke bentuk fungsi Gamma :

) (

) ( ). ( ) , (

β α

β α β

α



✡ ✡ ✡



B

b. Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik yang diperoleh menggunakan definisi sama dengan fungsi karakteristik melalui ekspansi trigonometri.

Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut :

1.) Menentukan fungsi karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleighdan mensubtitusi batas xpada fungsi kepekatan peluang (fkp) distribusi three-parameter generalized Rayleigh menggunakan ekspansi trigonometri berikut :

 

 

 

✟ ✟

✠

✠  ✠

✠ 

 

 Ee e dF x e f x dx

it itx itx itx

x( ) ϕ

2.) Menguraikan bentuk eitx ke dalam bentuk trigonometri yaitu : = [cos( ) + sin( )]

28 4.) Menghubungkan bentuk fungsi Beta ke bentuk fungsi Gamma :

) (

) ( ). ( ) , (

β α

β α β

α



☛ ☛ ☛



B

3. Pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karateristik distribusi three-parameter generalized Rayleigh

Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleighmemenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik berikut: a. Sifat 1. ϕ_x(0)1

b. Sifat 2.

ϕ

_x

(

t

)



1

VII. KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Perubahan nilai parameter ( , , ) pada grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) mempengaruhi bentuk yang meliputi perubahan kelandaian ataupun keruncingan grafik, kerenggangan serta perubahan titik ekstrim (titik puncak) grafik.

2. Fungsi karakteristik dari distribusithree-parameter generalized Rayleigh yang diperoleh dengan menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri diperoleh hasil yang sama, yaitu:

( ) = .

1 ( + 1)

1 +

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad, K.E., Fakhry, M.E. and Jaheen, Z.F. (1997). Empirical Bayes estimation of P(Y < X) and characterization of Burr-type X model, Journal of Statistical Planning and inference,64, 297-308.

Blumenson, L. E. and K. S. Miller (2007). Properties of Generalized Rayleigh Distributions The Annals of Mathematical Statistics Vol. 34, No. 3, pp. 903-910

Kendall, M. G. and Stuart, A. 1958. The Advanced Theory of Statistics : Distribution Theory, Volume 1. London:C. Griffin-Company.

Kundu, Debasis and Raqab, Muhammad Z., “Generalized Rayleigh Distribution : Different Methods Estimations”. Publishing Computational Statistics and Data Analysis on Applied Mathematics. 15 April 2005, Vol. 49(1): 187-200

Kundu, D. and Raqab, M.Z. (2005). “Estimation of R = P[Y < X] For Theree

Parameter Generalized Rayleigh Distribution” Postal Address2 :

Departement of Mathematics, University of Jordon Amman 11942, JORDON.

Kreyszig, Erwin. 1993.Advanced Engineering Mathematics. Singapore: John Wiley and Sons.

Ling Xiao, and David E. Giles.2011. Bias Reduction for the Maximum Likelihood Estimator of the Parameters of the Generalized Rayleigh Family of Distributions.Economic Working Paper.

Lukacs, Eugene:1970. Characteristic Function (second ed.). New York: Hafner Pub.Co.

Mc. Donald, James B., Yexiao J. Xu.1995. A Generalized of the Beta Distribution with Application. Journal of Econometrics 66.

Spiegel, Murray dan Larry J. Stephens. 2004. “Schaum_{’s Outlines of Theory and}

Problems of Statistics Third Edition”. PT. Gelora Aksara

Surles, J.G. and Padgett, W.J. (2001), “Inference For Reliability And Stress

-Strength For A Scaled Burr Type X distribution” , Lifetime Data Analysis, vol. 7, 187-200.

Vladimirescu, Ion and Tunaru, Radu. “Tests for Discrimination between Two Generalized Rayleigh Distribution”.Publishing House of the Romanian Academy Journal on Applied Mathematics.Volume 4, pp, 2/2003.