ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) PADA PENAKSIRAN PARAMETER
DISTRIBUSI RAYLEIGH
TESIS
Oleh
SUTIK LESTARI 187021012/MT
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2021
ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) PADA PENAKSIRAN PARAMETER
DISTRIBUSI RAYLEIGH
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SUTIK LESTARI 187021012/MT
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2021
Telah diuji pada
Tanggal : 9 Februari 2021
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutaran, M.Sc
Anggota : 1. Dr. Open Darnius, M.Sc 2. Dr. Mardiningsih, M.Si 3. Dr. Syahriol Sitorus, M.Kom
PERNYATAAN ORISINALITAS
ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) PADA PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Penulis,
Sutik Lestari
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda ta- ngan di bawah ini:
Nama : Sutik Lestari
NIM : 187021012
Program Studi : Matematika Jenis Karya Ilmiah : Tesis
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas tesis saya yang berjudul:
Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO)pada Penaksiran Parameter Dis- tribusi Rayleight
Beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif ini, Uni- versitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat me- ngelola dalam bentuk data-base, merawat dan mempublikasikan Tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama mencantumkan nama saya sebagai pemegang dan atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya.
Medan, Penulis,
Sutik Lestari
ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) PADA PENAKSIRAN PARAMETER
DISTRIBUSI RAYLEIGH
ABSTRAK
Algoritma PSO merupakan metode optimasi global dengan kecerdasan komputasi dan teknik berbasis populasi yang tidak banyak dipengaruhi oleh ukuran dan masalah non linear. Algoritma PSO juga dapat menghindari perhitungan yang rumit karena algoritma ini tidak memerlukan fungsi objektif, sehingga algoritma PSO lebih mudah untuk diimplementasikan. Pada penelitian ini, pendugaan parameter distribusi Rayleigh lebih baik dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil, hal itu terlihat dari hasil perhitungan mean square error (MSE) semakin kecil nilai MSE suatu parameter, maka semakin baik pula nilai yang dihasilkan.
Kata kunci : Algoritma PSO, Distribusi Rayleigh, MSE, Metode kuadrat terkecil
ALGORITHM PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) ON THE ESTIMATION OF RAYLEIGH’S
DISTRIBUTION PARAMETERS
ABSTRACT
The PSO algorithm is a global optimization method with population-based com- putational intelligence and techniques that is not much influenced by size and non-linear problems. The PSO algorithm can also avoid complicated calculations because this algorithm does not require an objective function, so the PSO algo- rithm is easier to implement. In this study, the estimation of the Rayleigh dis- tribution parameter is better than the least squares method. It can be seen from the calculation of the mean square error (MSE) the smaller in the MSE value of a parameter, the better is the resulting value.
Keyword : PSO algorithm, Rayleigh distribution, MSE, Least square method
ii
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmd-Nya sehingga penulis dapat menye- lesaikan Tesis yang yang berjudul ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTI- MIZATION (PSO) PADA PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI RAY- LEIGH. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pa- da program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
Ayahanda Poniman dan Ibu Suriyani, sosok orang tua yang mencurahkan seluruh kasih sayang kepada penulis. Orang tua yang penulis kagumi dan cintai, yang telah memberikan tauladan, mengajarkan kesabaran, kerendahan hati dan selalu bersyukur dalam menghadapi kehidupan ini, serta senantiasa memanjatkan doa yang tulus bagi keberhasilan anak-anaknya.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Suma- tera Utara.
Dr. Sawaluddin, M. IT selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Suma- tera Utara.
Dr. Sutarman, M. Sc selaku pembimbing I penulis yang telah banyak memberikan arahan, saran dan kritik kepada penulis dalam pengerjaan Tesis ini.
Dr. Open Darnius, M. Sc selaku pembimbing II penulis yang telah banyak mem- berikan arahan, saran dan kritik kepada penulis dalam pengerjaan Tesis ini. Selu- ruh Staff Pengajar di Program Studi Magister Matematika Fakultas Matemati- ka dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) USU telah banyak memberikan ilmu
Kak Misiani, S.Si selaku staff Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2018 Genap Studi Magister Ma- tematika FMIPA USU.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghor- matan yang setinggi-tingginya kepada mertua, Ayahanda Supardi dan Ibun- da Sukartik yang telah memberikan motivasi, materi serta doa kepada penulis.
Terkhusus kepada suami tercinta Bambang Irawan, S.Pd yang selalu ada untuk penulis dengan memberikan dukungan doa, moril dan materil kepada penulis.
Semua pihak yang telah membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, hanya Allah SWT yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah0mudahan ilmu ini dapat memberikan sum- bangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Semoga Allah senantiasa memberikan rahmat dan hidayahNya kepada kita semua. Aamiin.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari kata sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk menyempurnakan tesis ini. Se- moga ini tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih
Medan, Penulis,
Sutik Lestari
iv
RIWAYAT HIDUP
Sutik Lestari dilahirkan di Aceh Timur pada tanggal 30 Maret 1992 dari pasangan Ayah Poniman dan Ibu Suriyani. Penulis memulai pendidikan di SD Negeri 028069 Binjai Barat Desa Suka Maju pada tahun 1998 dan lulus tahun 2005 kemudian melanjutkan pendidikan di SMP Negeri 10 Binjai dan lulus tahun 2008.
kemudian penulis melanjutkan pendidikan ke Madrasah Aliyah Negeri Binjai dan lulus tahun 2011. Pada tahun 2015 penulis lulus dari perguruan tinggi STKIP BUDIDAYA Binjai.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
DAFTAR GAMBAR viii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 4
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Kontribusi Penenlitian 4
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6
2.1 Distribusi Probabilitas 6
2.2 Distribusi Rayleigh 7
2.3 Algoritma PSO 8
2.4 Prosedur Algoritma PSO 10
2.5 Genetic Algorithm (GA) 12
vi
2.6 Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 14
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 16
3.1 Langkah-langkah Penelitian 16
BAB 4 PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH 18 4.1 Menentukan Parameter Distribusi Rayleigh Menggunakan Metode
Kuadrat Terkecil 18
4.2 Penaksiran Parameter Distribusi Rayleigh Menggunakan Algo-
ritma PSO 20
4.3 Hasil 22
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 25
5.1 Kesimpulan 25
5.2 saran 25
DAFTAR PUSTAKA 26
LAMPIRAN 30
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Flowchart algoritma PSO 17
4.1 Hasil running pada program algoritma PSO 23
viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pengetahuan tentang penaksiran parameter menjadi hal yang sangat penting.
Para peneliti, administrator dalam bidang pendidikan, bisnis, atau pemerintah dan pengamat politik yang semuanya berkepentingan dalam masalah penaksiran.
(Walpole, 1997) Teori penaksiran sering dipakai sebagai prosedur untuk menaksir parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamanan yang ada. Dalam analisis keandalan (reliabilitas) dan teori antrian, penaksiran parameter digunakan untuk mencari parameter dari distribusi yang berkaitan dengan data yang dimiliki.
Beberapa penelitian seperti di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan Kedok- teran biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu hidup dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non negatif.
Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup terse- but disebut analisis tahan hidup (survival). Analisis uji hidup merupakan suatu analisis terhadap individu-individu suatu populasi dengan memusatkan perhatian pada lamanya waktu individu menjalankan fungsinya dengan baik sampai kema- tian individu tersebut, yang dinyatakan dengan fungsi selamat dan fungsi bahaya.
Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Be- berapa distribusi yang dapat digunakan dalam menggambarkan waktu hidup an- tara lain distribusi Eksponensial, distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Rayleigh, dan lain-lain (Lawless, 1982). Berdasarkan beberapa distribusi tersebut dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Rayleigh pada penelitian ini.
2
Surles dan Padgett (2001) mengemukakan bahawa distribusi Rayleigh per- tama kali dikenalkan oleh Lord Rayleigh tahun 1880, dalam penerapannya dis- tribusi Rayleigh menjadi hal yang penting dalam teori probabilitas dan statisti- ka dimana distribusi ini merupakan distribusi peluang kontinu yang biasa digu- nakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Lebih lanjut Haupt (2004) juga mengemukakan pendapatnya bawha distribusi Rayleigh dikenal luas dalam bidang oseanografi juga dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio dan tinggi gelombang yang diterima. Peubah acak X berdistribusi Rayleigh dengan suatu parameter b jika fungsi densitasnya:
f(x; b) = x
b2 −x22b2 , x ≥ 0, b > 0
Distribusi Rayleigh merupakan turunan dari distribusi Weibull, dimana dis- tribusi ini memiliki aplikasi penting dalam bidang analisis data tahan hidup dan teori reliabilitas. Untuk mengetaui karakteritstik parameter distribusi yang belum dikethaui, perlu dilakukan penaksiran parameter menggunakan metode penaksiran. Dalam bidang statistika, Penaksiran parameter menjadi persoalan yangsangat penting dan merupakan suatu metode yang digunakan untuk men- duga nilai-nilai karakteristik dari suatu populasi berdasarkan data yang diukur yang memiliki komponen acak. Beberapa peneliti melakukan penelitian sifat-sifat distribusi, khususnya dalam penaksiran suatu parameter.
Saraswati (2017) melakukan penaksiran parameter distribusi Rayleigh meng- gunakan metode kuadrat terkecil dan maksimum likelihood untuk menaksir pa- rameter interval dari data tinggi gelombang. Pada penelitian tersebut digunakan kuadrat terkecil untuk melakukan perbandingan metode mana yang lebih baik dalam penaksiran parameter distribusi Rayleigh. Dengan metode kuadrat terke- cil dan maksimum likelihood parameter populasi diasumsikan tetap walaupun nilainya tidak diketahui.
Metode maksimum likelihood lebih sering digunakan dalam penaksiran sua-
3
tu parameter, karena memiliki teknik estimasi yang mudah. Akan tetapi teknik ini hanya bisa digunakan jika nilai distribusi suatu populasi diketahui. Sedangkan metode kuadrat terkecil mampu memperoleh hasil yang lebih baik dengan pem- berian bobot terbesar dan kesalahan pengukuran dikoreksi pada tiap pengukuran itu sendiri. Selanjutnya metode kuadrat terkecil membutuhkan alat hitung yang lebih besar (spesifikasi komputer) untuk menyelesaikan hitungan pada data be- sar dan juga perlu bahasa pemrograman. Karena kekurangan yang dimiliki oleh kedua metode tersebut, maka salah satu pendekatan yang bisa digunakan untuk menaksir parameter distribusi Rayleigh ialah algoritma PSO.
Algoritma PSO merupakan algoritma berbasis eksploitasi individu dalam pencarian. Setiap partikel berpindah dengan kecepatan yang di adaptasi dari daerah pencarian dan menyimpannya sebagai posisi terbaik yang pernah dicapai.
Algoritma yang didasarkan pada prilaku sosial kognitif merupakan prinsip dasar dalam PSO yaitu: evaluasi (evaluate), membandingkan (compare) dan meniru (imitate), Kennedy dan Eberhart (2001). Algoritma PSO berkembang pesat setelah pertama kali di perkenalkan dari sisi aplikasi maupun sisi pengembangan metode yang digunakan pada algoritma PSO ( Haupt, 2004).
Berdasarkan penelitian para peneliti sebelumnya, sampai saat ini belum ditemukan penggunaan PSO untuk penaksiran parameter distribusi Rayleigh.
Kennedy dan Eberhart (1998) menyatakan bahwa PSO adalah metode optimasi global dengan kecerdasan komputasi dan teknik berbasis populasi yang tidak banyak dipengaruhi oleh ukuran dan masalah non linier. Algoritma PSO juga dapat menghindari perhitungan yang rumit karena algoritma PSO tidak memer- lukan fungsi objektif. Oleh karena itu algoritma ini menjadi sederhana dan mudah diimplementasikan.
4
1.2 Rumusan Masalah
Kelemahan metode maksimum likelihood pada penaksiran parameter dis- tribusi Rayleigh ialah hanya diketaui jika nilai distribusi suatu populasi diketahui sedangkan metode kuadrat terkecil membutuhkan alat hitung spesifikasi kom- puter untuk menghitung data yang besar. Untuk itu perlu diteliti penaksiran parameter distribusi Rayleigh menggunakan algoritma PSO.
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan di atas, tujuan dari penelitian ini adalah menentukan taksiran parameter distribusi Rayleigh menggunakan metode algoritma PSO.
1.4 Kontribusi Penenlitian
Penenlitian ini dapat memberi kontribusi terhadap penyelesaian penaksiran parameter distribusi Rayleigh menggunakan algoritma PSO.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat literature. Sedangkan prosedur yang dilakukan seba- gai berikut:
1. Menentukan parameter dengan menggunakan metode kuadrat terkecil;
2. Menghitung parameter distribusi Rayleigh dengan menerapkan algoritma PSO dengan langkah-langkah sebagai berikut:
(a) Menginisialisasi posisi dan kecepatan;
(b) Menghitung kesesuaian nilai untuk semua partikel;
(c) Update nilai fitness terbaik dan nilai global terbaik;
(d) Update nilai kecepatan untuk semua partikel;
5
(e) Update nilai fitness terbaik dan nilai global terbaik;
(f) Stop condition, jika pencarian maksimum tercapai. Jika belum terca- pai, maka ulangi kelangkah dua.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini dijelaskan teori-teori dasar tentang Distribusi dan Algoritma di- antaranya distribusi probabilitas, distribusi Rayleigh, algoritma PSO, prosedur algoritma PSO. Genetic algorithm (GA) dan metode kuadrat terkecil (least square error).
2.1 Distribusi Probabilitas
Ada dua macam distribusi probabilitas, yaitu dsitribusi probabilitas diskrit dilambangkan dengan p(x) dan distribusi probabilitas kontinu (fungsi densitas) dilambangkan dengan f(x).
1. Distribusi probabilitas diskrit
Probabilitas diskrit X, untuk setiap kemungkinan hasil x memenuhi syarat:
Definisi 2.1 Walpole dan Mayers (1989), suatu himpunan pasangan beru- rut ((x, f(x)) adalah fungsi peluang, dimana fungsi peluang atau distribusi
(a) f(x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R (b) P
xf(x) = 1 (c) P (X = x) = f(x)
2. Distribusi probabilitas kontinu
Walpole dan Mayers (1989), fungsi f(x) merupakan fungsi kepadaan pelu- ang probabilitas kontinu X, didefinisikan pada semua bilangan real R, jika:
(a) f(x) = 0 untuk semua x ∈ R (b) R∞
∞ f(x)dx = 1
6
7
(c) P (a < X < b) =Rb
a f(x)dx
Sahoo (2008) menyatakan bahwa, distribusi probabilitas kontinu tidak da- pat disajikan kedalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinya- takan dalam persamaan dengan fungsi nilai-nilai probabilitas kontinu yang digambarkan dalam bentuk kurva.
2.2 Distribusi Rayleigh
Pada tahun 1880 John William atau yang lebih dikenal dengan Lord Ray- leigh memperkenalkan pertama kali tentang distribusi Rayleigh, dimana dalam teori probabilitas dan statistika distribusi Rayleigh merupakan distribusi peluang kontinu dalam pemodelan data kelangsungan hidup, (Hoffman et al., 1975).
Secara empiris, model distribusi Rayleigh dapat digunakan dengan baik pa- da sejumlah proses desain dengan feedback yang sangat signifikan sebagai bagian dari proses solusi. Pada perkembangan selanjutnya telah dilakukan penelitian juga bahwa model kehandalan Rayleigh ini sangat mendekati data defect yang sebenarnya dari proyek yang dikumpulkan pada upaya pengembangan software.
Trachtenberg (1982), memeriksa histori defect per bulan pada proyek software yang diujinya dan menemukan bahwa pola dari defect yang dihasilkan menyeru- pai kurva Rayleigh. Gaffney (1984), dari divisi Federal System IBM mampu memproyeksikan jumlah laten dari data defect yang diperkirakan muncul dengan memodelan data yang dimilikinya menggunakan model Rayleigh.
Variabel acak X mempunyai distribusi Rayleigh dengan parameter b bila fungsi densitasnya:
f(x; b) = x b
2
e−
x2
2b2, x ≥0, b > 0 (2.1) Fungsi distribusi kumulatif:
8
Fungsi survival atau kendalan:
R(x) = 1 − F (x) = 1 − exp −x2 s2
; 0 ≤ x ≤ ∞, , σ > 0 (2.3)
2.3 Algoritma PSO
Algoritma merupakan komputasi prosedur yang mengambil beberapa ni- lai sebagai input yang kemudian diproses dan menghasilkan output (Thomas, 2009). Dengan kata lain algoritma adalah langkah-langkah yang dibuat seefesien mungkin untuk mencapai sebuah hasil yang maksimal.
Dalam PSO, sebuah kawanan diasumsikan memiliki ukuran tertentu dalam ruang multidimensi pada setiap partikel yang lokasinya acak di setiap awal posisi.
Kecepatan dan posisi merupakan karakteristik dari suatu partikel. Setiap partikel yang bergerak dalam suatu ruang mengingat posisi terbaik yang pernah dilalui dan memberikan informasi posisi terbaiknya kepada partikel yang lain dengan menyesuaikan posisi dan kecepatan masing-masing berdasarkan informasi yang diterima sebelumnya.
Pada algoritma PSO penjumlahan vector velocity ke posisi partikel di update oleh masing-masing partikel. Update ini dipengaruhi oleh kedua solusi yaitu Gbest (Global best) dan local best, Gbest berhubungan dengan biaya minimum yang diperoleh dari suatu partikel sementara Local best merupakan biaya minimum pada populasi awal.
Beberapa istilah yang digunakan pada algoritma PSO, yaitu:
1. Swarm : Populasi dari suatu algoritma
2. Particle : suatu populasi dimana setiap partikelnya memiliki suatu solusi yang potensial terhadap masalah yang diselesaikan. Posisi terbaik dari sua- tu partikel ditentukan oleh represntasi solusi saat itu.
9
3. Pbest (Personal best) : menunjukkan posisi particle yang disiapkan untuk mendapatkan solusi terbaik.
4. Gbest (Global best) : Posisi terbaik partikel pada swarm di antara pbest.
5. Velocity (v): vector yang menggerakkan optimisasi yang menentukan arah dimana suatu particle diperlukan untuk berpindah memperbaiki posisi se- mula.
6. Inertia weight (?): inertia weight disimbolkan dengan w, parameter ini digunakan untuk mengontrol dampak dari adanya velocity yang diberikan oleh suatu partikel
7. Learning rates ( c1 dan c2) : konstanta untuk menilai kemampuan par- tikel (c1) dan kemampuan sosial swarm (c2) yang menunjukkan bobot dari particle terhadap memorinya.
Tiap partikel memiliki suatu fungsi fitness yang dirancang sesuai dengan masalah yang ada. Pbest ialah partikel yang bergerak kesuatu posisi baru dalam ruang pencarian, dan masing-masing partikel juga akan menukar informasi de- ngan partikel yang lain dengan mengingat gbest, kemudian setiap partikel menin- jau kembali arah dan kecepatan sesuai dengan Pbest dan Gbest untuk bergerak karah yang optimal dan menemukan hasil yang maksimal pula. Algoritma PSO disimulasikan dalam ruang dengan dimensi tertentu dan jumlah iterasi terten- tu juga sehingga disetiap iterasi, posisi partikel akan mengarah pada hasil yang dituju ( minimal atau maksimal dari suatu fungsi). Hal ini dilakukan hingga maksimum iterasi.
Menurut Bai (2010) kelebihan algoritma PSO adalah sebagai berikut:
1. PSO berdasar pada kecerdasan. Hal ini dapat diterapkan kedalam penggu-
10
2. PSO tidak memiliki overlap dan kalkulasi mutasi. Setiap partikel mempu- nyai kemampuan kecepatan dalam pencarian posisi terbaik. Dalam pengem- bangan beberapa generasi, suatu partikel dapat mengirimkan sebuah infor- masi kepartikel yang lain dengan pencarian yang cepat.
3. Algoritma PSO menggunakan perhitungan yang sederhana, sehingga ke- mampuan optimasi yang dihasilkan lebih besar dan dapat diselesaikan de- ngan mudah.
4. Kode pada algoritma PSO memiliki jumlah yang riil dan jumlah dimensi sama dengan solusi yang ada.
Lebih lanjut, Bhai (2010) menyebutkan beberapa kelemahan dari algoritma PSO, yaitu:
1. Metode yang digunakan sangat mudah untuk mendapatkan optimal parsial, hal itu menyebabkan semakin sedikit ketepatannya untuk peraturan tentang arah dan kecepatan.
2. Metode tak bias berkembang dari permasalahan system yang tidak terkoor- dinir, seperti solusi dalam bidang energy dan peraturan yang tidak menentu dalam bidang energi.
2.4 Prosedur Algoritma PSO
Menurut Hsieh et al., (2007) kombinasi parameter terbaik dapat ditentukan dengan cara yang berbeda, seperti:
1. Jumlah partikel (Number of particle) 2. Kecepatan maksimum (maximum velocity) 3. Learning factors
11
4. Kondisi berhenti (Stop condition) 5. Inertia weight
Santoso (2004) menyebutkan bahwa beberapa prosedur yang harus dilakukan untuk menerapkan Algoritma PSO dalam menyelesaikan masalah yaitu:
1. Inisialisasi partikel dan membangkitkan kecepatan secara random;
Pengkodean digunakan untuk menginisialisasi partikel yang bertujuan me- nyederhanakan masalah. Membandingkan fitness untuk mengevaluasi seti- ap partikel.
Gbest dan Pbest adalah acuan untuk menentukan Nilai fitness.
fitness = 1
p1.C1 + 1
p2.C2 + variasi (2.4) C1 dan C2 merupakan penyeimbang nilai fitness karena perhitungan variasi menghasilkan angka puluhan.
2. Mencari Pbest
Bandingkan nilai Pbest sebelum dan sesudah iterasi. Pbest baru dapat digunakan jika nilai fitness partikel baru lebih besar dari nilai fitness se- belumnya.
3. Mencari Gbest sebagai partikel terbaik dari seluruh anggota swam Nilai fitness Pbest tertinggi digunakan untuk mencari nilai Gbest.
4. Memperbarui kecepatan (velocity) dan posisi partikel
Nilai velocity didapatkan dari penjumlahan momentum dan pengalaman yang di ambil dengan cara mengkalikan bobot inersia dan kecepatan se- belumnya. Untuk menentukan nilai velocity dapat melihat persamaan (2.5).
Untuk menghitung bobot inersia dapat dilihat pada persamaan (2.6).
12
W = W max −Wmax −W min
itermax x iter (2.6)
Keterangan:
vjk = Velocity dimensi ke-j pada iterasi ke-k W = Bobot inertia
C1 = Nilai koefesien akselarasi ke-1 C2 = Nilai koefesien akselarasi ke-2 Rand = Nilai random [0, 1]
Xjk = Posisi dimensi ke-j pada iterasi ke-k pbestj= Nilai Pbest dari dimensi ke-j
Posisi baru diperoleh dari hasil penjumlahan posisi sebelumnya dengan ke- cepatan baru. Menghitung posisi baru menggunakan persamaan dibawa:
Xjk+1 = Xjk+ Xjk+1 (2.7)
5. Melanjutkan langkah ke-2 jika stopping condition belum terpenuhi.
2.5 Genetic Algorithm (GA)
Ferdian et al., (2013), GA adalah algoritma pencarian heuristik berdasarkan seleksi alamiah dan evolusi. Charles Darwin merupakan orang yang pertama kali memperkenalkan teori seleksi alamiah dan evolusi. GA didasari oleh konsep evaluasi biologi dan dapat memberikan solusi atas suatu masalah yang ingin di- selesaikan. GA memberikan suatu solusi pemecahan terbaik dari suatu masalah yang terbaik, dengan memanfaatkan metode seleksi, crossover dan mutasi. Solusi terbaik yang diinginkan dapat dicapai dengan terus mengulang proses pencarian keturunan.
Proses pencarian solusi diawali dengan tahap pembangkitan populasi awal secara acak. Populasi GA terdiri dari kromosom, setiap kromosom merupakan gambaran solusi atas pemecahan masalah. Setiap populasi yang terpilih akan
13
melahirkan atau menghasilkan keturunan yang baru dengan sifat lebih baik dari populasi sebelumnya. Sifat populasi yang baik memiliki peluang untuk terus dikembangkan agar menghasilkan keturunan yang baik pula pada keturunan se- lanjutnya.
Pendekatan GA dilakukan dengan menggabungkan secara acak berbagai pilihan solusi terbaik dalam suatu kumpulan untuk mendapatkan generasi solusi terbaik selanjutnya, yaitu pada kondisi memaksimalkan kecocokannya atau biasa disebut dengan fitness. Dengan melakukan proses ini secara berulang diharapkan mampu mesimulasikan proses evolusioner yang pada akhirnya didapatkan solusi- solusi yang tepat bagi permasalahan yang sedang dihadapi.
Ada tiga aspek penting dalam penggunaan algoritma genetika, yaitu:
1. Definisi fitness function;
2. Definisi implementasi representasi genetika;
3. Definisi implementasi operasi genetika.
Algoritma genetika diatas akan bekerja dengan baik jika ketiga aspek tersebut telah didefenisikan. Jain et al., (2010) mengemukakan bahwa algoritma genetika diilhami oleh ilmu genetika, karena itu istilah yang digunakan dalam algoritma genetika banyak diadopsi dari ilmu genetika. Menurut Gen dan Cheng (1997) kelebihan dari GA adalah sebagai berikut:
1. Algoritma genetika merupakan algoritma berbasis pupulasi yang memung- kinkan digunakan pada optimasi masalah dengan ruang pencarian yang sangat luas dan kompleks.
2. Individu yang ada pada populasi bias diletakkan pada beberapa sub po- pulasi yang diproses pada sejumlah computer secara parallel. Hal ini bias
14
3. Algoritma genetika menghasilkan hmpunan solusi optimal yang sangat bergu- na pada penyelesaian masalah dengan banyak objektif.
4. Algoritma genetika bias diimplementasikan pada berbagai macam data seper- ti data yang dibangkitkan secara numeric atau menggunakan fungsi analitis 5. Algoritma genetika bersifat ergodic, sembarang solusi bias diperoleh dari solusi yang lain dengan hanya beberpa langkah. Hal ini memungkinkan eksplorasi pada daerah pencarian yang sangat luas dilakukan dengan cepat dan mudah.
2.6 Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)
Metode kuadrat terkecil merupakan salah satu metode yang digunakan un- tuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter model regresi. Sementara itu untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen Y ) dengan satu atau lebih variabel bebas (independent X) digunakan metode statistika pada mo- del Regresi linier.
Definisi 2.2 Model regresi linier sederhana didefenisikan sebagai Yi = β0+ β1Xi+ µi, i= 1, 2, 3, . . . , n
dengan:
Yi = Pengamatan ke-i variabel dependen Y Xi = Pengamatan ke-i variabel independen x β0 = Intersep (konstanta)
β1 = Parameter regresi
µi, = Galat (error) dari pengamatan ke-i
Salah satu metode yang sering digunakan untuk menaksir suatu nilai parame- ter pada model regresi adalah metode kuadrat terkecil. Misalkan (xi, yi) adalah
15
pasangan sampel random dengan ukuran n pengamatan dari suatu populasi, ma- ka berdasarkan defenisi 2.2 persamaan garis regresinya adalah
Yi = β0+ β1Xi+ µi, i= 1, 2, 3, . . . , n
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Langkah-langkah Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Menurut Chartrand dan Oellermann (1993), Algoritma merupakan suatu himpunan langkah-langkah atau instruksi yang telah dirumuskan dengan baik (well-defined) untuk memperoleh suatu keluaran khusus (specific output) dari suatu masukan khusus (specific in- put) dalam langkah yang jumlahnya berhingga.
Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini sebagai barikut, Sevkli (2006):
1. Menentukan parameter dengan menggunakan metode kuadrat kterkecil 2. Menghitung parameter distribusi Rayleigh dengan menerapkan proses algo-
ritma PSO dengan langkah-langkah sebagai berikut:
(a) Menginisialisasi posisi dan kecepatan (b) Menghitung open facility
(c) Update nilai fitness terbaik dan nilai global terbaik (d) Meng-update nilai kecepatan untuk semua partikel
(e) Update nilai fitness terbaik dan nilai global terbaik
(f) Stop condition ( jika maksimum pencarian sudah tercapai) (g) Jika stop condition belum tercapai maka ulangi langkah ke dua
Berikut flowchart algoritma PSO dari langkah-langkah di atas
16
17
Gambar 3.1 Flowchart algoritma PSO
Sumber: Parsopoulos dan Vrahatis (2010)
BAB 4
PENAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH
4.1 Menentukan Parameter Distribusi Rayleigh Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil
Penaksiran parameter ini sudah diselesaikan sebelumnya oleh Saraswati (2017). Data yang digunakan adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di lepas pantai P . Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Dalam periode 14 tahun (1991-2004) dengan jumlah sampel n = 14. Sementara itu nilai rata-rata ting- gi gelombang di lepas pantai P . Kalukalukuang, Sulawesi Selatan bagian Utara ialah 1.46, bagian Selatan 0.67, Barat Daya 0.88, Barat 1.63 dan Barat Laut 1.92.
Dengan nilai variansi masing-masing bagian ialah 0.58, 0.10, 0.20, 0.37 dan 0.80.
Tabel 4.1 Gelombang terbesar tahunan di lepas pantai P. Kalukalukuang No Tahun Utara Selatan Barat Barat Barat Tinggi Gelombang
Daya Laut Terbesar (xi)
1 1991 0.56 0.23 0.34 1.27 1.13 1.27
2 1992 1.61 0.67 0.49 1.49 0.94 1.61
3 1993 0.69 0.94 1.09 2.47 1.03 2.47
4 1994 1.38 1.27 1.94 1.00 1.68 1.94
5 1995 1.2 0.56 0.76 1.45 1.27 1.45
6 1996 1.13 0.41 0.56 1.80 2.00 2.00
7 1997 1.09 0.41 0.58 1.16 4.04 4.04
8 1998 0.94 0.55 0.50 1.00 1.68 1.68
9 1999 3.49 0.59 0.93 1.29 1.48 3.49
10 2000 1.16 0.4 0.44 1.00 1.38 1.38
11 2001 2.1 0.59 0.95 1,06 2.24 2.24
12 2002 2.36 0.76 1.09 2.15 1.34 2.36
13 2003 1.48 1.28 1.47 2.33 3.15 3.15
14 2004 1.29 0.65 1.19 2.75 3.53 3.54
Transformasi model regresi distribusi Rayleigh
Fungsi nonlinear merupakan fungsi distribusi kumulaitf dari distribusi Rayleigh, maka dilakukan transformasi ke fungsi linear menggunakan transformasi logarit- ma. Transformasi logaritma dari distribusi Rayleigh sebagai berikut
x=pb
−2.In (1 − F (xi)) 18
19
Data tinggi gelombang mengikuti distribusi Rayleigh di transformasikan kedalam bentuk regresi linear sederhana, yang diberikan oleh
Yi = β1+ β1xi dengan Yi = xi, β0 = 0, β1 = b, dan Xi = p
−2.ln (1 − F (xi)), dengan i = 1, 2, . . . , n, xi= tinggi gelombang laut terbesar.
Diasumsikan i = 1, maka
x1 =p
−2.ln (1 − F (xi))
Y1 = x1
dengan langkah yang sama, akan didapatkan x2 dan Y2 sampai x14 dan Y14. Selanjutnya,berdasarkan penduga dari b akan dicari parameter distribusi Rayleigh menggunakan metode kuadrat terkecil terkecil (Least Square Method), diperoleh hasil sebagai berikut:
ˆb = Pn
i=1
p
−2.ln (1 − F (xi)) xi Pn
i=1(−2.ln(1 − F (xi)))
Karena 1 − F (xi) > 0 maka F (xi) < 1 dengan demikian F (xi) diduga de- ngan ˆF(xi) = n+1i . Jadi penaksiran parameter distribusi Rayleigh menggunakan metode kuadrat terkecil terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelom- bang laut terbesar adalah
ˆb = Pn
i=1
p
−2.ln (1 − F (xi)) xi Pn
i=1(−2.ln(1 − F (xi)))
= 43.65052 25.44296
= 1.715623
Maka, diperoleh fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh, seperti berikut:
20
f(x) pada fungsi probabilitas diatas adalah penyelesaian dari penaksir- an parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Least Square Method) yang menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelom- bang terbesar. Berdasarkan penaksiran pada data tinggi gelombang terbesar dengan metode kuadrat terkecil diperoleh ˆb = 1.715623 dan nilai MSE yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil yang di cari menggunakan program R adalah MSE = n1 Pn
i=1h ˆF(xi) − F (xi)i22
= 0.062033
4.2 Penaksiran Parameter Distribusi Rayleigh Menggunakan Algorit- ma PSO
Berdasarkan langkah-langkah dalam penaksiran parameter distribusi Ray- leigh menggunakan algoritma PSO yang telah dijelaskan pada bab sebelum- nya,maka diperoleh hasil sebagai berikut:
1. Algoritma PSO dimulai dengan menentukan fungsi algoritma PSO, menen- tukan input dan output serta menentukan best memori. Bentuk algoritma PSO pada awal pembentukan seperti berikut
2. Pada langkah selanjutnya, yaitu inisialisasi posisi awal dan kecepatan awal partikel
21
3. Hitung kesesuaian nilai untuk semua partikel
4. Update nilai fitness terbaik dan nilai global terbaik
Menghitung nilai fitness terbaik kemudian menyimpannya sebagai nilai fit- ness terbaik populasi saat ini. Bentuk algoritma PSO di tunjukkan pada sebagai berikut:
5. Update nilai kecepatan untuk semua partikel
Menghitung nilai posisi dan kecepatan tiap partikel dan menghitung nilai fitness generasi baru serta mencari nilai nilai fitness terbaik partikel detik ini.
22
6. Stop condition
Periksa, apakah kondisi populasi baru sudah terpenuhi. Jika belum, ulangi lagi.
Maka langkah terakhir adalah memasukkan fungsi fitness dan data tinggi gelom- bang untuk mencari nilai fitness. Untuk keseluruhan Algoritma PSO dapat dilihat pada lampiran 1.
4.3 Hasil
Berdasarkan data tinggi gelombang di atas dengan menerapkan algoritma PSO, menghasilkan nilai fitness terbaik dan nilai MSE terkecil. Hal ini dapat dilihat pada gambar dibawah.
23
Gambar 4.1 Hasil running pada program algoritma PSO
Dari gambar 4.1 terlihat bahwa nilai parameter distribusi Rayleigh meng- gunakan algoritma PSO adalah 1.6105 dengan nilai fitness 0.0084. Selanjutnya akan dilakukan perbandingan penaksiran parameter distribusi Rayleigh meng- gunakan metode kuadrat terkecil dan algoritma PSO. Mean square error terkecil (minimum) adalah metode yang paling baik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh. Mayali dan Shaibani (2013), menyatakan bahwa Mean Square Error (MSE) dapat dihitung menggunakan persamaan seperti berikut.
M SE = 1 n
n
X
i=1
h ˆF(xi) − F (xi)i2
dengan, F (xi) = n+1i dan ˆF(xi) = 1 − exp
−(2bx22)
Berdasarkan penaksiran pada data tinggi gelombang di atas menggunakan metode kuadrat terkecil diperoleh 4ˆb = 1.715623 dan menggunakan algoritma PSO diperoleh ˆb = 1.6105. Dari hasil perhitungan parameter tersebut akan di- lakukan perbandingan dengan menggunakan MSE berdasarkan persamaan (4.1).
Berdasarkan persamaan (4.1), MSE dari metode kuadrat terkecil adalah M SE= 1
n
n
X
i=1
h ˆF(xi) − F (xi)i2
= 0.06203 Sedangkan MSE dari algoritma PSO adalah 0.0084
Berdasarkan hasil perhitungan MSE diatas terlihat bahwa nilai MSE terke-
24
PSO mempunyai nilai MSE yang lebih rendah. Hal itu dikarenakan algoritma PSO menggunakan kecepatan partikel yang dapat mengirim informasi ke partikel lain dengan pencarian yang sangat cepat.
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh menggunakan algoritma PSO meru- pakan metode terbaik untuk menduga suatu parameter, di samping langkah- langkah penerapan yang sederhana, nilai yang dihasilkan juga lebih baik diband- ing metode kuadrat terkecil. Pendugaan parameter menggunakan metode kuadrat terkecil menghasilkan nilai parameter b = 1.715623 dengan nilai MSE = 0.06203, sedangkan algoritma PSO menghasilkan nilai parameter b = 1.6105 dengan nilai MSE adalah 0.0084.
5.2 saran
Pada penenlitian ini algoritma PSO digunakan untuk menentukan nilai sua- tu parameter, untuk lebih lanjut dapat dikembangkan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan dua parameter.
DAFTAR PUSTAKA
Mayali, A., Mahdi, Y., Shaibani, A., dan Kadhum, I (2013). A comparison for some of the estimator of Rayleigh distribution with simulation, Journal of Kerbala University, 11(4).
Bhai, Q. (2010). Analysis Of Particle Swarm Optimization Algorithm, Computer An Information Science, vol. 3, No. 1, pp 180184.
Chartrand, G., dan Oellermann, O. R. (1993). Applied and Algorithmic Graph Theory, Mc Graw-Hill: New York.
Dey, S., Dey, T., dan Kundu D. (2014). Two-Parameter Rayleigh Distribution:
Different Methods Of Estimation. .Am. J. Math. Manag.Sci.33(1): 55-74.
Eberhart, R, C., dan Kennedy, J. (1995). A new optimizer using particle swarm theory. In Proceedings of the Sixth International Symposium on Microma- chine and Human Science, pp: 39-43.
Eberhart, R, C., dan Kennedy, J. (2001), Swarm Intelligence, Morgan Kauffman.
Hoffman., dan Karst, Otto J. (1975). The Theory of the Rayleigh Distribution and some of its application. Journal of ship Reasearch, 9(3): 172-191.
Gaffney, J., dan John, E. (1984). On Predicting Software Related Performance of Large-Scale Systems. Tenth International Computer Measurement Group Conference. San Fransisco.
Gen. M., dan Cheng. R. (1997). Genetic Algorithm and Engineering Design. New York: John Wiley and Sonsn. Inc
Haupt, R. L., dan Haup, S. E. (2004), Particle genetic Algorithms, Canada, John Willey Inc.
Hsieh, H, I. (2007). A Hybrid Particle Swarm Optimization and Support Vec- tor Regression Model for Financial Time Series Forecasting. International Journal of Business Administration. Vol.2, No. 2; May 2011.
Jain, S, N. (2010). Genetic Algorithm For University Timetabling Problems. The- sis. Department of Computer Science University Of Lercester.
Johnson, N., Kotz, S., dan Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Dis- tributions. Volume 1, Second Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Kennedy, J., dan Eberhart, R. (2001). Swarm Intelligence. Academic Press, USA.
Lawless, J, K. (1982). Statistik Model and Methods for Lifetime Data. John Willey and Sons, Inc. New York.
Lu, Z., Sun, C., Wu, H., Okafor, E., dan Zhou, J. (2018), Weibull Parameter esti- mation Using Particle Swarm Optimization Algorithm. International Journal of Engineering & Technology, 7(332) 7-10.
Millar, R, B. (2011). Maximum Likelihood Estimation and Inference: With Exam- ples in R, SAS, and ADMB. John Wiley dan Sons, Ltd., United Kingdom.
Parsopoulos, E., dan Vrahatis, N. (2010). particle Swarm Optimization an Intele- gence. Newyork, Sean woznicla: 158.
26
27
Sahoo, K., dan Kundu, S. (2018). Recent Trends in The Deelopment of Orally Disintegrating Tablets Technology. Phama Times. vol 40. No.4.
Santoso, S., dan Anne, L. (2004). Kesehatan dan Gizi. Jakarta: PT Asdi Ma- hasatya.
Saraswati. A, S. (2017). The Parameter Estimation Of Rayleigh Distribution Using Least Square Method And Maximum Likelihood Method. Yogyakarta. Univer- sitas Sanata Dharma.
Sevkli, M., dan Guner, R. (2006). Ant Colony Optimization and Swarm Intelli- gence: A continuous Particle Swarm Optimization for Uncapacitated Facility Location Problem. Lecture Notes in Computer Science. 4150:316-323.
Walpole, E., dan Mayers, R. (1989). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Edisi 4. Macmillan Publising Company. New York
Weise, T. (2009). Global Optimization Algorithms : Theory and Application. Uni- versity of Kassel
Tractenberg. J. (1982). The Tractenberg Speed System of Basic Mathematic. Prea- ger Publisher.
28
LAMPIRAN
Algoritma PSO pada distribusi rayleigh
29
30
