KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER GENERALIZED-t

(1)

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung 38

KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER

GENERALIZED-t

Rahman Cahyadi1, Warsono2, Mustofa Usman3, Dian Kurniasari 4

1

Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Pringsewu Email: [email protected]

2

Matematika, Universitas Lampung

3

Matematika, Universitas Lampung

4

Matematika, Universitas Lampung Abstract

This research is about the characteristic function of four-parameter generalized t distribution. Four-parameter generalized t distribution has four parameters which are µ as a location parameter, σ as a scale parameter, p and q as a shape parameter, and B as a function of beta. The characteristic function are retrieved

from the expectation ofeitx, where i as a imaginary number. Then, the characteristic

function of four-parameter generalized t distribution was able to be determined by using definition and trigonometric expansions. Based on those two methods this study got the same results and then will be continued proving the fundamental properties of the characteristic function of four-parameter generalized t distribution. Furthermore, it needs graph simulation on a characteristic function of four- parameter generalized t distribution. Graph simulation result on the characteristic function of four- parameter generalized t distribution was formed a closed curve (circle) are smooth.

Keywords: four-parameter generalized t distribution, characteristic function, graph simulation

1. PENDAHULUAN

Distribusi t merupakan salah satu

dari keluarga distribusi peluang kontinu yang penurunannya berdasarkan distribusi normal baku dan distribusi khi-kuadrat. Distribusi

four-parameter generalized t merupakan

bentuk perumuman dari distribusi t dengan menambahkan lagi parameter yang lain. Distribusi four-parameter

generalized t memiliki empat

parameter yaitu parameter bentuk (p,q), parameter lokasi (µ), dan

parameter skala (σ) serta B sebagai fungsi beta. Sudah banyak peneliti yang membahas tentang distribusi

four-parameter generalized t

diantaranya yaitu: McDonald dan Newey (1988), Boyer dkk (2003), Chan dkk (2007), Lee dkk (2012).

Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi

(2)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung 39 karakteristik. Teorema inversi fungsi

karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik juga memiliki sifat-sifat dasar. Namun demikian, sejauh penelusuran yang telah penulis lakukan bahwa belum ditemukan penjelasan tentang fungsi karakteristik khususnya fungsi karakteristik distribusi four-parameter

generalized t.

Pada penelitian ini, penulis akan membahas lebih dalam mengenai fungsi karakteristik, dan pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t (1), kemudian akan

dilanjutkan dengan melakukan simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan software MATLAB R2010b. Menurut McDonald dan Newey (1988) distribusi generalized t memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :





q p p p x q q p B q p q p x GT _         _         1 1 ₁ 1 , 1 2 , , , ;      forx (1)

Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi , σ > 0 adalah parameter skala , p > 0 dan q > 0 keduanya parameter bentuk

dan B ( . ) Apakah fungsi beta (Chan et al , 2007),

Fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dapat diperoleh dari fungsi pembangkit momen dengan menambahkan i

sebagai bagian imaginer dan ekspansi trigonometri. Dalam penelitian ini digunakan dua cara tersebut untuk mencari fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t. Selanjutnya akan dibuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dan melakukan simulasi grafik gambar fungsi kepekatan peluang dan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t. Berdasarkan

latar belakang yang telah diuraikan dalam penelitian ini akan dibahas kajian tentang “Fungsi Karakteristik dari Distribusi four-parameter generalized t”.

2. PEMBAHASAN

1) Distribusi Four-Parameter Generalized t

Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi generalized t , dengan parameter , , p dan q , dan jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluang dari X adalah

(3)





q p p p x q q p B q p q p x GT _         _         1 1 ₁ 1 , 1 2 , , , ;      forx (2)

Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi , σ > 0 adalah parameter skala , p > 0 dan q > 0 keduanya parameter bentuk dan B ( . ) Adalah fungsi beta (Chan et al, 2007).

Gambar 1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi four-parameter

generalized t dengan p=1, q=20, σ=100, µ=0 2) Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan

Peluang Distribusi Four-Parameter

Generalized t

Pada bagian ini akan dibahas mengenai simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari ditribusi

four-parameter generalized t dengan

menggunakan software MATLAB

R2010b.

(1) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-parameter generalized t dengan

nilai p tetap, q meningkat, σ meningkat, µ tetap

Gambar 2. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter

generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4), σ=(50,75,100,125), µ=0

nilai p tetap, q menurun, σ menurun, µ tetap

generalized t dengan p=1, q=(4,3,2,1), σ=(125,100,75,50), µ=0

nilai p meningkat, q meningkat, σ menurun, µ tetap -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 1 2 3 4 5 6 7x 10 -3 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t

-2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=50,µ1=0 p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=1,q3=3,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=4,sigma1=125,µ1=0

p2=1,q2=3,sigma2=100,µ2=0 p3=1,q3=2,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=0

(4)

generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=(1,2,3,4), σ=(125,100,75,50), µ=0

.

nilai p meningkat, q menurun, σ meningkat, µ tetap

generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=(4,3,2,1), σ=(50,75,100,125), µ=0 (5) Simulasi grafik fungsi kepekatan

peluang dari distribusi four-parameter generalized t dengan

nilai p menurun, q meningkat, σ meningkat, µ tetap

generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=(1,2,3,4), σ=(50,75,100,125), µ=0

nilai p menurun, q menurun, σ meningkat, µ tetap

generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=(4,3,2,1), σ=(50,75,100,125), µ=0 (7) Simulasi grafik fungsi kepekatan

nilai p meningkat, q tetap, σ menurun, µ berbeda -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=0 p2=2,q2=2,sigma2=100,µ2=0 p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=4,sigma4=50,µ4=0 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=4,sigma1=50,µ1=0 p2=2,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=2,sigma3=100,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=125,µ4=0 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=1,sigma1=50,µ1=0 p2=3,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=3,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=4,sigma1=50,µ1=0

p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=2,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=125,µ4=0

(5)

generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1, σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25) (8) Simulasi grafik fungsi kepekatan

nilai p menurun, q tetap, σ menurun, µ berbeda

generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=1, σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25) (9) Simulasi grafik fungsi kepekatan

nilai p meningkat, q meningkat, σ tetap, µ tetap

generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=(1,2,3,4), σ=75, µ=0

nilai p menurun, q menurun, σ tetap, µ tetap

generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=(4,3,2,1), σ=75, µ=0

nilai p tetap, q meningkat, σ tetap,

µ tetap -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=-50 p2=2,q2=1,sigma2=100,µ2=-25 p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=50,µ4=25 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x )

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=1,sigma1=125,µ1=-50 p2=3,q2=1,sigma2=100,µ2=-25 p3=2,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=25 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 -3 x f( x )

p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=2,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=4,sigma4=75,µ4=0 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 -3 x f( x )

p1=4,q1=4,sigma1=75,µ1=0 p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=2,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=75,µ4=0

(6)

generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4), σ=75, µ=0

nilai p meningkat, q tetap, σ tetap,

µ tetap

generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1, σ=75, µ=0

Dari gambar grafik fungsi kepekatan peluang distribusi

four-parameter generalized t dapat di lihat

bahwa σ adalah parameter skala, p dan

q adalah parameter bentuk sehingga

semakin menurun nilai σ maka semakin kecil skala dari grafik yang terbentuk dan sebaliknya, semakin meningkat nilai σ maka semakin besar

skala dari grafik yang terbentuk. Sedangkan puncak grafik yang terbentuk dipengaruhi oleh meningkat atau menurun nilai p dan q. Kemudian

µ adalah parameter lokasi sehingga

dapat di lihat pada gambar bahwa grafik selalu simetri pada µ.

3) Fungsi Karakteristik Distribusi Four-Parameter Generalized t

(1) Fungsi Karakteristik Distribusi

Four-Parameter Generalized t

dengan definisi

Pada bagian ini akan dijelaskan fungsi karakteristik distribusi four-parameter

generalized t . Fungsi karakteristik

dari distribusi four-parameter generalized t dapat diperoleh dari

fungsi pembangkit momen dengan menambahkan i sebagai bagian imajiner .

Jika X adalah distribusi peubah acak distribusi generalized t dengan parameter μ∈R dan σ , p , q > 0 , maka fungsi karakteristik X adalah sebagai berikut :  

 

_

      Ee e f xdx t itx itx x 

Oleh karena batas x pada fungsi kepekatan peluang distribusi

four-parameter generalized t adalah

   

 x ,dan berdasarkan simulasi

grafik fungsi kepekatan peluang

-2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 1 2 3 4 5 6 7x 10 -3 x f( x )

p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=1,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=75,µ4=0 -2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 1 2 3 4 5 6 7x 10 -3 x f( x )

p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=2,q2=1,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=75,µ4=0

(7)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung 44 distribusi four-parameter generalized

t diperoleh grafik plot yang simetri

pada µ, maka berdasarkan teorema simetri berlaku:   

_

        x t eitx f x dx ) ( 2 dx x q q p B q p e q p x it p p i             _              1 1 1 , 1 2 2 ( ) Misalkan x p q y    1 kita dapat

menulis ulang persamaan ( 2 ) dalam bentuk berikut                   0 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 , 1 e _y py q dy q p B q p t p p p p q x it x       y dy y e q p B q x it p p                1 1 1 . , 1 1 ( ) 1 (3)

Menggunakan MacLaurin dari fungsi

) (x it

e , maka persamaan ( 3 ) dapat ditulis sebagai      y dy y n x it q p B t q n n x p p                        0 1 0 1 1 1 . ! ) ( , 1 1   _                        0 , 1 , 1 ! 1 n n q p B p n q p n p B n itqp

   

 



               0 1 1 . . ! 1 n p p n p n p n q q n itqp

Dengan pendekatan Stirling, diperoleh

  _                        0 ! 1 1 1 1 1 n n x n q p itq t p p p   (4)

Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin, persamaan (4) dapat dinyatakan sebagai   p p p q p itq x t e 1 1 1 1 1                 

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi

four-parameter generalized t adalah

 





 

                              p p p it p it it x it x it it itx x e e e t e e E e e E t 1 1 ₁ 1 ) ( . .         _ 

(2) Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan ekspansi trigonometri Selain menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya , pada bagian ini akan dijelaskan cara lain untuk menentukan fungsi dari karakteristik , sebagai berikut :

Akan ditunjukkan bahwa

 

t E

 

eitx E



Cos

 

tx iSin

 

tx



x     E



Cos tx



iE



Sin tx



                  p p it e 1 1   Bukti :

 

_



 

   e f xdx t itx x 

Oleh karena batas x pada fungsi kepekatan peluang distribusi

four-parameter generalized t adalah

   

 x , dan berdasarkan simulasi

grafik fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized

t diperoleh grafik plot yang simetri

pada µ, maka berdasarkan teorema simetri berlaku:  

_

         _x t 2 eit(x ) f x dx

(8)

   





 



        iSin t x f x dx x t Cos ( ) ( ) 2 (5)

Persamaan (5) akan diselesaikan berikut ini xCost(x) f dan xSint(x) f  

_

     0 ) ( n n n x C x f   ; dimana  0 ! 1 n n f n C  Oleh karena,        _{  } n n x t n x t x t x t Cos 2 4 ( )2 ! 2 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 2 1 1 ) (             3  5 _ _{ } 2 1 ) ( ! 1 2 1 ) ( ! 5 1 ) ( ! 3 1 ) ( ) (             n n x t i n x t i x t i x it x t Sin i      

Dengan memisahkan menjadi dua bagian, kita selesaikan secara terpisah dari persamaan (5) yang kita miliki,

Bagian pertama     dx x q q p B q p x C dx x f x t Cos q p n n n p p              _              _      1 1 ₁ 1 , 1 ) ( ) ( 0            dx x q x t x t q p B q p q p p p          _                     _ 1 1 1 1 1 ! 4 ) ( ! 2 ) ( 1 , 1 4 2         (6) Dengan memisalkan p x q y    1 kita dapat

menuliskan persamaan ( 6 ) dalam bentuk berikut          _y py q dy x t x t q p B q p dx x f x t Cos p p p p q        1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 ! 4 ) ( ! 2 ) ( 1 , 1 ) (              _  _          _        y dy y x t x t q p B q p p            _  _         _ 1 1 1 ! 4 ) ( ! 2 ) ( 1 , 1 1 1 0 4 2               _                     _ _ _ _      0 0 0 1 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 4 ) ( 1 ! 2 ) ( 1 , 1 1  dy y y x t dy y y x t dy y y q p B q q q p p p p p p                                           _ _ _       0 0 0 1 4 4 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 4 1 ! 2 1 , 1 1  dy y y q y t dy y y q y t dy y y q p B q q q p p p p p p p p p p         _                   _ _ _          0 0 0 1 4 4 1 2 2 1 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 1 ! 4 1 ! 2 1 , 1 1  dy y y y q t dy y y y q t dy y y q p B q q q p p p p p p p p p p         _                   _ _ _ ___          0 0 0 1 4 4 1 2 2 1 4 4 1 4 1 4 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ! 4 1 ! 2 1 , 1 1  dy y y y q t dy y y q t dy y y q p B p p p p p p p p p p p p p p p q q q  

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi Beta, kita memiliki

                 _ _        _ _                   p q p p B q t p q p p B q t q p B q p B dx x f x t Cos p p 1 4_, 4 ! 4 2 , 2 1 ! 2 , 1 , 1 1 ) ( 4 4 2 2 2 4                   _ _                    _ _         q p B p q p p B tq q p B p q p p B tqp p , 1 4 , 4 1 ! 4 , 1 2 , 2 1 ! 2 1 4 2 1 1   (7) Bagian kedua ,     dx x q q p B q p x C dx x f x t Sin i q p n n n p p              _              _      1 1 ₁ 1 , 1 ) ( ) ( 0            _dx x q x t i x t i x it q p B q p q p p p           _        _ _  _         _ 1 1 1 1 1 ! 5 ) ( ! 3 ) ( ) ( , 1 5 3          (8) Dengan memisalkan p x q y    1 kita dapat

menuliskan persamaan (8) dalam bentuk berikut          _y py q dy x t i x t i x it q p B q p dx x f x t Sin i p p p p q        1 1 1 1 1 0 5 3 1 1 1 ! 5 ) ( ! 3 ) ( ) ( , 1 ) ( 2              _ _  _             

(9)

     y dy y x t i x t i itx q p B q p p              _  _         _ 1 1 1 ! 5 ) ( ! 3 3 ) ( , 1 1 1 0 5             _                      _ _ _          0 0 0 1 5 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 5 ) ( 1 ! 3 ) ( 1 ) ( , 1 1 _ dy y y x t i dy y y x t i dy y y x it q p B q q q p p p p p p                                                _ _ _       0 0 0 1 5 5 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 5 1 ! 3 1 , 1 1  dy y y q y it dy y y q y it dy y y q y it q p B q q q p p p p p p p p p p p p                                                 0 0 0 1 5 5 1 3 3 1 1 1 5 5 1 1 3 3 1 1 1 1 1 ! 5 1 ! 3 1 , 1 1 ) (  dy y y y q it dy y y y q it dy y y y itq q p B dx x f x t Sin i q q q p p p p p p p p p p p p           _                   _ _ _ ___             0 0 0 1 5 5 1 3 3 1 5 5 1 5 1 5 3 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ! 5 1 ! 3 1 , 1 1  dy y y q it dy y y q it dy y y itq q p B pp p p p p p p p p p p p p p p p p q q q   

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi Beta , kita memiliki

                 _ _        _ _        _ _            p q p p B q it p q p p B q it p q p p B itq q p B dx x f x t Sin i p p p 5 , 5 1 ! 5 3 , 3 1 ! 3 1 , 1 1 , 1 1 ) ( 5 5 3 3 3 5 1                    _ _                    _ _                    _ _  q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq i q p B p q p p B itq p p p , 1 5 , 5 1 ! 5 , 1 3 , 3 1 ! 3 , 1 1 , 1 1 1 3 1 5 1    (9)

Mensubstitusikan Persamaan ( 7 ) dan Persamaan ( 9 ) ke dalam Persamaan ( 5 ), jadi                                    _ _                    _ _                    _ _                             _ _                    _ _            _      q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq i q p B p q p p B itq q p B p q p p B tq q p B p q p p B tq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p p p p p , 1 5 , 5 1 . ! 5 , 1 3 , 3 1 . ! 3 , 1 1 , 1 1 . , 1 4 , 4 1 . ! 4 , 1 2 , 2 1 . ! 2 1 ) ( ) ( 5 3 4 2 1 1 1 1 1                        _ _                    _ _                    _ _                    _ _                    _ _   q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq q p B p q p p B itq p p p p p , 1 5 , 5 1 . ! 5 , 1 4 , 4 1 . ! 4 , 1 3 , 3 1 . ! 3 , 1 2 , 2 1 . ! 2 , 1 1 , 1 1 . 1 5 4 3 2 1 1 1 1 1     

Diketahui bahwai 1 , i adalah bagian

dari imajiner , sehingga persamaan menjadi

   





 

                             0 1 1 1 1 . . ! ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 n p p p n p n p p n p n p n q q q q n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p    

     

   

                             0 1 1 1 1 . . . . ! ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 n p p p p n p n p n q q q q n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p    

   

 

                         0 1 1 . . ! ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 n p p n p n p n q q n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p    

Dengan pendekatan Stirling , kita memperoleh        

 





                        0 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 . 2 . . 2 . 2 . . 2 ! ) ( ) ( n q q p q q p n q e e q e e n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p p p n p n p p p                 





                          0 1 1 ! ) ( ) ( 1 n n p n p n p q p n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos                                     0 ! 1 1 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 1 1 n n n q p itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p p p     (10)

dan persamaan ( 10 ) dapat ditulis kembali sebagai bentuk berikut

  itqp p p q p x t e 1 1 1 1 1                 

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi

(10)

 





 

                              p p p it p it it x it x it it itx x e e e t e e E e e E t 1 1 ₁ 1 ) ( . .         _ 

Dengan demikian , fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized

t adalah                    p p it x t e 1 1   

Berdasarkan penjabaran tersebut dalam menentukan fungsi karakteristik menggunakan definisi dan menggunakan ekspansi trigonometri diperoleh hasil yang sama. Sehingga dapat disimpulkan fungsi karakteristik dari distribusi

four-parameter generalized t adalah :

                   p p it x t e 1 1   

(3) Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi Karakteristik dari Fungsi

Karakteristik Distribusi

Four-Parameter Generalized t

Pada bagian ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik distribusi

four-parameter generalized t . Akan

ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi karakteristik.

Sifat 1. Misalkan fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized

adalah                    p p it x t e 1 1    Makax(0)1. Bukti: Perhatikan bahwa                    p p it x t e 1 1   

Masukan t = 0 , maka kita mendapatkan

1 ) 0 ( ) 0 ( 0 1 0 1                     x p x e e p     Sifat 2. _x(t) 1 Bukti:

Menurut definisi , diketahui bahwa : ) ( sin ) ( cos tx i tx eitx  dan i 1, sehingga 1 1 1 ) ( sin ) ( cos2 2 2      itx itx e tx tx e jadi diperoleh



      dF e t itx x dF itx e 2 2 ) ( ~ .  



                        ~ 1 1 1 , 1 1 2 . 2 2 2 . 1 2        dx q p p x q q p B p q p dx x f dF dF



         _         ~ 1 1 1 . , 1 1     dx x q p q p B q p q p p p (15) Misalkan p x q y   

1 kita dapat menulis

ulangpersamaan ( 15 ) dalam bentuk berikut

(11)











                     0 1 ~ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 . , 1 ) ( dy y y q p B dy q y p y q p B q p t q q p x p p p p p    Karena



y



dy y q p B q p p



           0 1 1 1 1 , 1 _,_maka   1 , 1 , 1 1               q p B q p B t x  ▄ Sifat 3. Misalkan                     p p it x t e 1 1    adalah fungsi

karakteristik dari peubah acak X dari distribusi four-parameter generalized t. Maka fungsi karakteristik peubah acak -X adalahx(t)

Bukti.

Misalkan x(t) adalah konjugat kompleks

darix(t), akan ditunjukkan bahwa fungsi

karakteristik (-t) adalahx(t), maka :

                                      p p p it p it x e e t 1 1 1 1 1 ) (      ) ( ) ( 1 t t x x    

Jadi, fungsi karakteristik (-t) dari distribusi four-parameter generalized t

adalah

 

                   p p it x e t 1 1 1   

Dari pembuktian ketiga sifat fungsi karakteristik tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized

t memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi

karakteristik. Selanjutnya akan dilakukan simulasi grafik fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t.

3) Simulasi Grafik Fungsi Karakteristik Distribusi Four-Parameter Generalized t

Pada bagian ini akan dibahas mengenai simulasi grafik fungsi karakteristik dari ditribusi four-parameter generalized t dengan menggunakan software MATLAB

R2010b.

1. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=1.

Gambar 14. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t

dengan µ=0,σ=1 dan p=1.

2. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=1,5. -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(12)

dengan µ=0, σ=1 dan p=1,5

3. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=2

dengan µ=0,σ=1 dan p=2

4. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=2,5.

dengan µ=0,σ=1 dan p=2,5.

5. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=3,5.

dengan µ=0,σ=1 dan p=3,5

7. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=10. -1 -0.5 0 0.5 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=2

-1 -0.5 0 0.5 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(13)

dengan µ=0,σ=1 dan p=100.

Berdasarkan hasil simulasi grafik fungsi karakteristik dari distribusi

four-parameter generalized t dengan

menggunakan software MATLAB R2010b dapat disimpulkan bahwa semakin meningkat nilai parameter bentuk yaitu p, maka grafik fungsi karakteristik distribusi four-parameter

generalized t akan membentuk kurva

tertutup (lingkaran) yang mulus.

3. KESIMPULAN

Kita dapat menyimpulkan beberapa poin dari paparan diatas sebagai berikut :

1. Fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t adalah

 

                 p p it x t e 1 1   

2. Fungsi karakteristik distribusi

four-parameter generalized t memenuhi

sifat-sifat dasar fungsi karakteristik. 3. Hasil simulasi grafik menunjukan

bahwa semakin meningkat nilai parameter p yaitu parameter bentuk, maka grafik fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized

t membentuk kurva tertutup (lingkaran) yang mulus.

4. DAFTAR PUSTAKA

Boyer, Brian H., James B. McDonald, Whitney K. Newey. (2003). A Comparison of Partially Adaptive and Reweighted Least Squares Estimation. Econometric Reviews

Vol.22. No.2 pp: 115-134.

Chan, J.S.K, Choy, S.T.B, and Markov U.E: 2007. Robust Bayesian Analysis of Loss Reserves Data Using the Generalized-t Distribution. Quantitative Finance

Research Centre. University of

Technology Sydney.

www.qfrc.uts.edu.au

Lee, Anthony, Francois Caron, Arnaud Doucet, and Chris Holmes. (2012). Bayesian Sparsity-Path--1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=10

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(14)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung 51 Analysis of Genetic Association

Signal using Generalized t Priors.

Statistical Applications in

Genetics and Molecular Biology.

Computational Statistical Methods For Genomics And Systems Biology.

McDonald ,James B and Whitney K. Newey. (1988). Partially Adaptive Estimation of Regression Models Via The Generalized t Distribution.