KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA(α,β,θ)DENGAN MENGGUNAKAN
METODE GENERALIZED MOMENT
(Skripsi)
Oleh
DIAN SURIDA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
THE CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATORS GENERALIZED GAMMA DISTRIBUTION (α, β, θ) USING
METHOD OF GENERALIZED MOMENT
By Dian Surida
Generalized gamma distribution (α, β, θ) is a continous probability distribution with three parameters, where as α > 0, β > 0, and θ > 0. Parameters α andβ called shape parameters and parameter θ called scale parameter. If parameter β is equal to 1, then generalized gamma distribution (α, β = 1, θ) become gamma distribution (α, θ). In this research, we will examine the characteristics of unbiasness, minimum variance, and consistent also investigate the asymptotic variance – covariance. The results show that the characteristics of parameter estimators generalized gamma distribution ( ̂, ̂, ̂) are unbiased, minimum variance and consistent also we are obtained the analytic of the asymptotic variance – covariance of parameter estimators ( ̂, ̂, ̂). Moreover, presented by the graph of probability density function of generalized gamma distribution using software R.3.1.2 to see the behavior of generalized gamma distribution.
Keywords: Generalized Gamma Distribution, Parameter Estimation, Method of Generalized Moment.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA(α, β, θ)DENGAN MENGGUNAKAN
METODE GENERALIZED MOMENT
Oleh Dian Surida
Distribusi generalized gamma (α, β, θ) merupakan distribusi peluang kontinu dengan tiga parameter, dimana α > 0, β >0, dan θ > 0. Parameter α dan β dikenal sebagai parameter bentuk dan parameter θ dikenal sebagai parameter skala. Jika β = 1, maka distribusi generalizedgamma (α, β = 1, θ) akan membentuk distribusi gamma (α, θ). Dalam penelitian ini, akan mengkaji tentang karakteristik penduga parameter distribusi generalized gamma ( ̂, ̂, ̂) dengan menggunakan metode
generalized moment meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta memeriksa varian – kovarian asimtotiknya. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga parameter distribusi generalized gamma ( ̂, ̂, ̂) merupakan penduga yang tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta diperoleh bentuk analitik varian – kovarian asimtotik dari penduga parameter ( ̂, ̂, ̂). Selain itu, disajikan pula kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized gamma dengan menggunakan software R.3.1.2 untuk melihat perilaku distribusi
generalized gamma.
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA
Saya yang bertandatangan di bawah ini:
Nama : Dian Surida
Nomor Pokok Mahasiswa : 117031014 Jurusan : Matematika
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri, dan sepanjang pengetahuan saya tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis orang lain atau telah dipergunakan dan diterima sebagai persyaratan penyelesaian studi pada universitas atau institut lain.
Bandar Lampung, Februari 2015 Yang Menyatakan,
Dian Surida
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 12 September 1993, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Bapak Suradi dan Ibu Saidah.
Penulis telah menempuh pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Pesawahan yang diselesaikan pada tahun 2005, sekolah menengah pertama di SMP Negeri 3 Bandar Lampung yang diselesaikan pada tahun 2008, dan sekolah menengah atas di SMA Negeri 4 Bandar Lampung yang diselesaikan pada tahun 2011.
Pada tahun 2011 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN Undangan. Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung dalam organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota bidang eksternal periode 2012-2013 dan diamanahkan sebagai kepala biro kesekretariatan periode 2013-2014.
KATA INSPIRASI
Kata yang paling indah di bibir umat manusia adalah kata” ibu”, dan panggilan paling indah adalah “ibuku”, ini adalah kata penuh harapan dan cinta, kata manis dan baik yang keluar
dari kedalaman hati ~Kahlil Gibran~
Saat kamu ingin menyerah, ingat kembali alasan mengapa kamu dapat bertahan sajauh ini.
Bersyukur adalah cara terbaik agar merasa cukup bahkan disaat kekurangan. Jangan
berharap lebih sebelum berusaha lebih.
PERSEMBAHAN
Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam hidupku dan
dengan segala kerendahan hati, kupesembahkan karya kecilku untuk orang - orang yang telah
memberi makna dalam hidupku.
Teruntuk emak dan bapak tercinta. Cinta kasihmu, tetesan keringatmu, jerih payahmu, serta
doa-doamu selalu menyertai setiap langkahku.
Kedua adikku tersayang, Asa dan Tiwi. Kalian penyemangatku.
Keluarga besar, sahabat dan teman-teman yang telah memberikan dukungan dan doa
untukku.
Seluruh Dosen yang tanpa pamrih memberikan ilmu pengetahuan kepadaku.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan berkah dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma(α,β,θ) dengan Menggunakan Metode Generalized Moment” tepat pada waktunya.
Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dalam memberikan bimbingan, dukungan, motivasi, serta kritik dan saran kepada penulis. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc. selaku pembimbing pertama. Terima kasih Ibu atas kesediaan waktu, tenaga, pemikiran, motivasi, dukungan, pengarahan, dan canda tawa bersama dalam proses penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Warsono Ph.D. selaku pembimbing kedua. Terima kasih atas
kesediaan waktu, tenaga, dan pemikiran Bapak dalam memberikan motivasi dan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Mustofa Usman M.A., Ph.D. selaku peguji. Terima kasih atas kesediaan waktu dan pemikiran Bapak dalam memberikan kritik dan saran yang membangun dalam proses penyusunan skripsi ini.
xi
6. Bapak Prof Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Bapak Drs. Tiryono Ruby, Msc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
8. Emak dan bapak tercinta, Asa dan Tiwi, Ante Nanna, Nenek Ondeng serta seluruh keluarga yang telah memberikan kasih sayang, dukungan, dan selalu mendoakan penulis.
9. Sahabat - sahabat penulis. Nafis, Ani, Rizka, Fara, dan Kajol. Terima kasih atas kebersamaan, canda tawa ceria pelipur lara, tempat berkeluh kesah, dan dukungan kalian selama ini. Semoga akan terus berlanjut sampai kapanpun. 10. Teman - teman satu bimbingan. Rizka, Ani, Nika, Dewi, Ofi. Terima kasih
atas bantuan dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini.
11. Teman - teman seperjuangan Matematika 2011. Terima kasih atas keakraban dan kebersamaan selama ini.
12. Keluarga HIMATIKA Unila khususnya periode 2013 - 2014.
13. Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat penulis ucapkan satu - persatu.
14. Almamater tercinta.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, tapi besar harapan penulis semoga skripsi bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukannya.
Bandarlampung, Februari 2015 Penulis,
DAFTAR ISI
2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Gamma ... 10
2.2.2 Ragam Distribusi Generalized Gamma ... 11
2.3. Pendugaan Parameter ... 13
2.10. Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik ... 22
III. METODOLOGI PENELITIAN 3. 1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 24
xiii
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 26
4. 1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 26
4.1.1. Bentuk Grafik Saat α, β, dan θ Meningkat ... 27
4.1.2. Bentuk Grafik Saat α Meningkat, β dan θ Tetap ... 28
4.1.3. Bentuk Grafik Saat β Meningkat (Ganjil), α dan θ Tetap ... 29
4.1.4. Bentuk Grafik Saat β Meningkat (Genap), α dan θ Tetap ... 30
4.1.5. Bentuk Grafik Saat θ Meningkat, α dan β Tetap ... 31
4.1.6. Bentuk Grafik Saat α dan θ Meningkat, β Tetap ... 32
4.1.7. Bentuk Grafik Saat α dan β Meningkat, θ Tetap ... 33
4.1.8. Bentuk Grafik Saat β dan θ Meningkat, α Tetap ... 34
4. 2. Menduga Parameter Distribusi GeneralizedGamma (α,β,θ) Menggunakan Metode GeneralizedMoment... 35
4.2.1 Penduga Parameter θ ... 37
4.2.2 Penduga parameter α ... 38
4.2.3 Penduga parameter β ... 39
4. 3. Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 41
4.3.1 Penduga Parameter θ ... 41
4.3.2 Penduga parameter α ... 42
4.3.3 Penduga parameter β ... 44
4. 4. Memeriksa Varian Minimum Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 49
4.4.1 Matriks Informasi Fisher dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma ... 50
4.4.2 Pertaksamaan Rao-Cramer dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma ... 50
4. 5. Memeriksa Kekonsistenan Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 51
4.5.1 Penduga Parameter θ ... 51
4.5.2 Penduga parameter α ... 53
4.5.3 Penduga parameter β ... 54
4. 6. Memeriksa Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma(α,β,θ) ... 57
V. KESIMPULAN ... 68 DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma α, β, dan θ meningkat ... 27 2. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GeneralizedGamma α
meningkat, β dan θ tetap. ... 28 3. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma β
meningkat (ganjil), α dan θ tetap. ... 29 4. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma β
meningkat (genap), α dan θ tetap. ... 30 5. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma θ
meningkat, α dan β tetap.. ... 31 6. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GeneralizedGamma α
dan θ meningkat, β tetap ... 32 7. Grafik fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma α
dan β meningkat, θ tetap ... 33 8. Grafik fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma β
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah
Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek kehidupan. Hal ini disebabkan statistika merupakan salah satu disiplin ilmu yang berperan sebagai alat untuk mengumpulkan, menyusun, menyajikan, menganalisis data serta mengambil kesimpulan yang bersifat objektif mengenai populasi berdasarkan data sampel.
Dalam teori statistika dan peluang, distribusi gamma ( θ) adalah suatu famili dari distribusi peluang kontinu dengan parameter bentuk dan parameter skala θ. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang banyak dipelajari dalam bidang matematika. Distribusi gamma dapat membentuk dua famili dari peubah acak eksponensial dan chi-square yang sering digunakan dalam aplikasi statistika. Distribusi gamma khusus untuk = 1 disebut distribusi eksponensial, sedangkan distribusi gamma khusus untuk θ = 2 disebut distribusi chi-square dengan
2
sebagainya) dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang mesin, lampu dan lain-lain.
Distribusi gamma tidak selalu mengepas data dengan baik untuk semua jenis data kelangsungan hidup. Salah satu cara untuk mengatasi hal ini adalah dengan mengembangkan distribusi gamma menjadi distribusi yang lebih umum lagi. Agar dalam pemodelan dapat berlaku umum untuk setiap keadaan data, maka distribusi gamma digeneralisasikan dengan tiga parameter yang disebut juga distribusi
generalized gamma.
Distribusi generalized gamma (α, β, θ) merupakan distribusi peluang kontinu dengan tiga parameter, yaitu α > 0, β > 0, dan θ > 0. Parameter α dan β dikenal
sebagai parameter bentuk dan parameter θ dikenal sebagai parameter skala. Distribusi generalized gamma adalah generalisasi dari dua parameter distribusi gamma, yaitu > 0, dan θ > 0. Distribusi weibull dan distribusi log-normal merupakan kasus khusus dari distribusi generalized gamma. Distribusi - distribusi tersebut pada umumnya digunakan untuk model parametrik dalam analisis kelangsungan hidup. Distribusi generalized gamma terkadang digunakan untuk menentukan model parametrik mana yang cocok untuk sekumpulan data. Jika β = 1, maka distribusi generalized gamma (α, β = 1, θ) akan membentuk distribusi
gamma dengan parameter (α, θ).
3
seperti Method of Likelihood Estimation (MLE), Method of Moment (MM) dan
Method of Generalized Moment (GMM).
Menurut Wackerly at al (2008), metode momen mencari penduga dari parameter yang tidak diketahui dengan menyamakan hubungan sampel dan momen populasinya. Bagaimanapun, penduga dari metode ini seringkali tidak statistik cukup. Metode momen terkadang tidak terlalu efisien. Dalam banyak kasus, penduga dari metode momen adalah bias. Kelebihan utama dari metode ini adalah mudah digunakan dan terkadang penduga parameternya baik. Sedangkan MLE sudah ada sejak awal abad ke - 20 dan menjadi penduga yang terbaik dalam pandangan klasik statistik. Menurut Hall (2005), akar optimalitas MLE berdasarkan pada peluang distribusi gabungan dari data, yang dalam kontek ini dikenal dengan fungsi kemungkinan (likelihood function). MLE bergantung pada pengujian sampel hanya jika nilai statistik cukup. MLE memiliki beberapa penambahan yang membuat metode ini dari penduga yang baik. Walaupun demikian, dalam beberapa keadaan ketergantungan ini pada fungsi peluang dapat menjadikan kelemahan MLE. Penduga MLE yang diinginkan hanya dicapai jika distribusi ditetapkan secara benar dan dalam beberapa kasus model ekonomi yang diperoleh sesuai dengan fungsi peluang gabungan dari data. Namun, fungsi kemungkinannya sangat susah untuk dievaluasi secara numerik dengan teknologi komputerisasi yang ada.
4
sampel dari kondisi momen populasi dari model data yang dibangkitkan (Hansen, 2007). Dasar dari penerapan GMM adalah dengan menggunakan bentuk momen peluang terboboti (PWM). GMM dapat digunakan pada data yang mengabaikan sebaran fungsi distribusinya dan tidak memerlukan asumsi - asumsi yang harus dipenuhi seperti metode pendugaan klasik lainnya. Selain itu, GMM menyediakan metode yang sesuai secara komputasi dalam memperoleh penduga parameter yang konsisten dan normal asimtotik dari suatu distribusi dari model statistik. Metode ini telah diterapkan di banyak seperti bidang ekonometrik, hidrologi, kesehatan, dan lain-lain.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka ruang lingkup yang dibahas dalam penelitian ini adalah:
“Bagaimana karakteristik penduga parameter distribusi generalized gamma
(α,β,θ)dengan menggunakan metode generalized moment?”
1.3. Batasan Masalah
5
1.4. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitan ini adalah:
1. Membangkitkan data dan membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi
generalized gamma.
2. Menduga parameter distribusi generalized gamma dengan menggunakan metode generalized moment.
3. Memeriksa ketakbiasan penduga parameter pada distribusi generalized
gamma.
4. Memeriksa kekonsistenan penduga parameter pada distribusi generalized
gamma.
5. Memeriksa varian minimum penduga parameter pada distribusi generalized
gamma.
6. Memeriksa varian dan kovarian asimtotik penduga parameter pada distribusi
generalized gamma.
1.5. Manfaat Penelitian
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga distribusi generalized
gamma dengan metode generalized moment ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar yang berkaitan dengan distribusi generalized gamma,
pendugaan parameter dan metode generalized moment sebagai berikut:
2.1. Distribusi Gamma
Suatu peubah acak Y dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter dan
jika dan hanya jika:
(2.1)
Dimana
∫ (2.2)
Nilai harapan dan ragam dari distribusi gamma masing-masing adalah
7
Distribusi gamma digeneralisasikan dengan tiga parameter yang disebut distribusi
generalized gamma yang akan dikaji karakteristik pendugaan parameternya dalam penelitian ini. Berikut penjelasannya:
2.2. Distribusi Generalized Gamma
Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi peluang generalized gamma dengan parameter α,β, dan θ jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluang dari X
adalah
α β θ (2.3)
Parameter α dan β dikenal sebagai parameter bentuk dan parameter θ dikenal
sebagai parameter skala (DiCiccio,1987).
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi generalized gamma adalah:
∫
Misal:
y= →x=
dy= dx=
sehingga,
∫
8
∫
∫
∫
∫
Berdasarkan mathematical handbook of formula and tables oleh Abramowitz dan Stegun (1970), terdapat rumus:
∫
∫
∫
Dimana n adalah bilangan positif. Sehingga:
[ | ∫ ]
9
[ (
)]
[ (
)
]
[ (
) ]
(
)
[( ∑
) ]
(2.4)
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai nilai harapan dan ragam dari distribusi
10
2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Gamma
Menurut DiCicio (1987), nilai harapan dari distribusi generalized gamma adalah
[ ]
Bukti:
Berdasarkan (2.3), fungsi kepekatan peluang dari X adalah
α β θ
Maka nilai harapan dari distribusi generalized gamma dapat dinyatakan sebagai berikut:
∫
∫
∫
Misal:
y= →x=
dy= dx= Sehingga,
∫
11
Berdasarkan (2.1), maka
[ ] ∫
Sehingga,
(2.5)
Jadi, terbukti bahwa nilai harapan dari distribusi generalized gamma adalah
[ ]
Setelah mengetahui nilai harapan dari distribusi generalized gamma, kemudian akan dijelaskan mengenai ragam dari distribusi generalized gamma tersebut. Berikut penjelasannya:
2.2.2 Ragam Distribusi Generalized Gamma
Menurut DiCicio (1987), ragam dari distribusi generalized gamma adalah
[ ] [ [ ]]
Bukti:
Sedangkan dinyatakan sebagai berikut:
∫
12
∫
Misal:
y= →x=
dy= dx=
Sehingga,
∫
∫
∫
Berdasarkan (2.1), maka
[ ] ∫
Sehingga,
(2.6)
Jadi, dengan menggunakan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh
13
[ ] [ [ ]]
[ ] (2.7)
Jadi, terbukti bahwa ragam dari distribusi generalized gamma adalah
[ ] [ [ ]]
Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi, teorema dan konsep dasar pendugaan parameter yang berkaitan untuk menduga parameter distribusi generalized
gamma.
2.3. Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter berarti melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui.
Definisi 2.1
Misalkan suatu peubah acak X memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung pada suatu parameter tak diketahui θ dengan sebarang nilai dalam
suatu himpunan ruang parameter Ω, maka dinotasikan dengan
14
Definisi 2.2
Suatu statistik T = (X1, X2, … , Xn) yang digunakan untuk menduga nilai τ( disebut sebagai penduga τ( , dan diamati nilai dari statistik t = (x1, x2, … , xn) disebut sebagai dugaan τ( (Bain and Engelhardt, 1992).
Berkaitan dengan pendugaan parameter bagi distribusi generalized gamma, akan dijelaskan beberapa sifat penduga yang baik sebagai berikut:
Definsi 2.3 (Penduga Tak Bias)
Suatu penduga T dikatakan penduga tak bias bagi τ( jika:
E(T) = τ(
Untuk semua Ω. Sebaliknya dikatakan bahwa T merupakan penduga yang bias bagi τ( (Bain and Engelhardt, 1992).
Definisi 2.4 (Penduga Varian Minimum)
Misal T* merupakan penduga tak bias τ( , maka untuk sebarang penduga tak bias T bagi τ( , disebut penduga varians minimum jika Var (T* Var(T) untuk setiap , dimana
[ ]
15
Definisi 2.5 (Penduga Konsisten)
Jika merupakan rangkaian dari penduga τ( ). Penduga ini dikatakan penduga yang konsisten bagi τ( ) jika untuk setiap ɛ > 0,
ɛ Ω
(Bain and Engelhardt, 1992).
Teorema 2.1 (Tchebysheff’s Inequality)
Misalkan Y peubah acak dengann mean μ dan ragam berhingga . Maka, untuk setiap k > 0,
atau
(Wackerly et. al. ,2008).
Dalam pendugaan varian minimum erat kaitannya dengan informasi fisher dan pertidaksamaan Rao-Cramer. Perlu diketahui beberapa konsep dan definisinya sebagai berikut:
2.4. Informasi Fisher
16
Dari persamaan diatas, dapat didefinisikan bahwa informasi fisher dalam sampel acak sebagai
{
}
Akan tetapi, setiap hubungan dari hasil akhir perhitungan , dan karena
Merupakan informasi fisher dalam sampel acak berukuran n adalah n kali informasi fisher dalam satu pengujian (Hogg and Craig, 1995).
17
2.5. Matriks Informasi Fisher
Pada kasus multivariat, jika merupakan suatu vektor dari parameter, maka adalah matriks informasi fisher.
Sehingga matriks informasi fisher adalah sebagai berikut:
18
Dan untuk i = j adalah sebagai berikut:
Sehingga bentuk matriks informasi fisher tersebut adalah
[
Selanjutnya akan dijelaskan definisi mengenai pertidaksamaan Rao-Cramer
19
Dimana
disebut sebagai batas bawah Rao-Cramer.
Statistik T disebut penduga yang efisien bagi jika dan hanya jika ragam dari T mencapai batas bawah Rao-Cramer (Hogg and Craig, 1995).
Adapun matriks informasi fisher dan pertidaksamaan Rao-Cramer bagi distribusi
generalized gamma dijelaskan sebagai berikut:
2.7. Matriks Informasi Fisher dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma
Matriks informasi fisher dari distribusi Generalized Gamma (α,β, θ) adalah
Maninja (2007), memberikan matriks informasi fisher dari distribusi generalized
gamma (α,β, θ) yaitu
sebagai berikut:
[
20
Jadi, matriks informasi fisher dari distribusi generalized gamma adalah
Matriks informasi fisher merupakan dasar yang digunakan dalam pertidaksamaan
Rao-Cramer. Secara umum pertidaksamaan Rao-Cramer dapat dituliskan sebagai berikut:
( ̂)
( )
Maninja (2007), memberikan invers matriks informasi fisher dari distribusi
generalized gamma, sebagai berikut:
21
Dimana merupakan matriks varian dan kovarian dari penduga parameter .
Dalam melakukan pendugaan parameter pada distribusi generalized gamma, diperlukan suatu metode pendugaan. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan metode generalized moment. Berikut penjelasannya:
2.9. Metode Generalized moment
Metode Generalized moment / Generalized Method of Moment (GMM) pertama kali diperkenalkan dalam literatur ekonometrik oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982. Metode ini diaplikasikan dalam time series, cross sectional, dan data panel. Menurut Hansen (2007), GMM mengarah pada kelas penduga yang dibangun dari pengembangan anggota momen sampel dari kondisi momen populasi dari model data yang dibangkitkan. Adapun model yang ditetapkan sebagai vektor momen populasi yaitu:
Dimana f memiliki r koordinat dan merupakan vektor yang tidak diketahui dalam suatu ruang parameter.
Sedangkan, untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001) dan oleh Ashkar dan Mahdi (2003), sebagai dasar dari penerapan GMM adalah dengan menggunakan bentuk momen peluang terboboti (PWM):
∫ (2.10)
22
∫ (2.11)
Dimana x adalah invers dari distribusi kumulatif F(x), merupakan momen ke- dan adalah statistik tataan ke – . Persamaan (2.10) digunakan jika invers dari CDF suatu distribusi tidak terdefinisi secara analitik, sebaliknya persamaan (2.11) digunakan jika invers suatu distribusi terdefinisi secara analitik.
Dalam metode PWM, diambil sebagai bilangan bulat positi sekecil mungkin dan dengan = 1. ini bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan GMM. Dalam GMM, diambil sama dengan 0, dan diambil sembarang yang tidak harus bilangan bulat, maupun positif (Ashkar dan mahdi, 2006).
2.10. Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik
Dalam Ashkar dan mahdi (2006), untuk menentukan matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga parameter ( ̂ ̂) dihitung dari varian dan kovarian dari momen sampel ̂ dan ̂ sebagai berikut:
̂ ̂ ̂ ̂
[
̂
̂ ̂ ̂
23
Dimana:
( ̂ ) ( )
( ̂ ) ( )
( ̂ ̂ ) ( )
III. METODOLOGI PENELITIAN
3. 1. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitin ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3. 2. Metode dan Tahapan Penelitian
Langkah - langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membangkitkan data dan membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi
generalized gamma dengan menggunakan software R.3.1.2.
2. Menduga parameter α, β, dan θ pada distribusi generalized gamma (α, β, θ) dengan menggunakan metode pendugaan generalized moment.
3. Memeriksa ketakbiasan penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi
generalized gamma (α, β, θ).
4. Memeriksa kekonsistenan penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi
generalized gamma (α, β, θ).
5. Memeriksa varian minimum penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi
25
6. 1 Menentukan matriks informasi fisher pada distribusi generalized
gamma (α, β, θ).
6. 2 Menentukan pertidaksamaan Rao-Cramer pada distribusi generalized
gamma (α, β, θ).
V. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian sebagai berikut:
69
merupakan penduga parameter bagi .
4. Berdasarkan diperoleh ̂
merupakan penduga parameter bagi .
5. Berdasarkan diperoleh ̂
6. Dengan menggunakan metode generalized moment, penduga distribusi
70
7. Adapun entri-entri matriks varian kovarian asimtotik distribusi generalized
gamma dengan menggunakan metode generalized moment sebagai berikut:
[
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [
]
x
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz, M. and Stegun, I.A. 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. U.S.Government, Washington.
Ashkar, F and Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized moment. Journal of Hidrology. 328, 694-703.
Bain, L.J. and Engelhardt M. 2000 .Introduction to Probability and Mathematical Statistics . Brooks / Cole. Duxbury.
DiCiccio, T.J. 1987. Aproximate Inference for Generalized Gamma Distribution.
Technometrics 29(1): 33-40.
Elandt R.C and Jhonson. 1971. Probability Model and Statistical Methods in Genetic. Johb Willey and Son inc., Canada.
Hall, A.R .2005. Generalized Method of Moment. Oxford University Press Inc., New York.
Hogg, R.V., McKean J.W., Craig A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Seventh Edition. Pearson Education Inc., Boston.
Maninja, D.R. 2007. Matriks Informasi Fisher Penduga Kemungkinan Maksimum dari Distribusi Generalized Gamma. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.
