ABSTRACT
THE PARAMETER ESTIMATION OFTHREE-PARAMETER
GENERALIZEDF DISTRIBUTION BY USING
METHOD OFPROBABILITY WEIGHTED MOMENT(PWM)
By Nova Kristianto
F ( , , ) distribution is one of continous distribution that has three parameters which > 0, > 0 and > 0, with as scale parameter, and as the shape of parameter. Three-parameter generalizedF is the generalization of F distribution. This research discusses more about parameter estimators characteristic of three-parameter generalized F ( , = 1, ) distribution by using the PWMmethod. That properties of PWM estimatesincluding unbiasness, minimum variance and consistency are investigated. The resultsshow that the PWM estimatesare unbiased, minimum variance and consistant.
ABSTRAK
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSITHREE
-
PARAMETER GENERALIZEDF MENGGUNAKANMETODEPROBABILITY WEIGHTED MOMENT(PWM)
Oleh Nova Kristianto
Distribusi three-parametergeneralized F ( , , ) merupakan salah satu anggota dari distribusi kontinu yang memiliki tiga parameter dimana m1 0, m2 0, dan > 0, dengan α disebut sebagai parameter skala serta m1 dan m2 disebut sebagai parameter bentuk. Distribusi three-parametergeneralized F adalah perumuman dari distribusi F.Pada penelitian ini, membahas lebih dalam mengenai karakteristik penduga parameter distribusithree-parametergeneralized F ( , ✁ ✂, ) dengan menggunakan metode PWMyang meliputi sifat tak bias, varians minimum dan konsisten. Berdasarkan hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga-penduga dengan metodeprobability weighted moment memenuhi sifat tak bias, varians minimum dan konsisten.
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSITHREE- PARAMETER GENERALIZEDF MENGGUNAKAN
METODEPROBABILITY WEIGHTED MOMENT (PWM)
Oleh
Nova Kristianto
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar MAGISTER SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSITHREE
-
PARAMETER GENERALIZEDF MENGGUNAKANMETODEPROBABILITY WEIGHTED MOMENT(PWM)
(Tesis)
Oleh
NOVA KRISTIANTO
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1 Grafikdistribusi F ... 4
4.1.1 Grafik dengan α meningkat, m1dan m2meningkat ... 18
4.1.2 Grafik dengan α tetap, m1meningkat dan m2tetap... 19
4.1.3 Grafik dengan α tetap, m1tetap dan m2meningkat... 20
4.1.4 Grafik dengan α dan m1meningkat dan m2tetap ... 21
4.1.5 Grafik dengan α tetap, m1dan m2meningkat... 22
DAFTAR ISI
2.2 DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 6
1.2.1 Nilai Harapan DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 7
2.2.2 Varians DistribusiThree-Parameter GeneralizedF .. 9
2.3 MetodeProbability Weighted Moment(PWM) ... 10
2.4 Karakteristik Penduga... 12
2.4.1 Tak Bias ... 12
2.4.2 Varians Minimum ... 12
2.4.2.1 Informasi Fisher... 13
2.4.2.2 MatriksInformasi Fisher... 13
2.4.2.3Cramer–Rao Lower Bound(CRLB) ... 14
2.4.3 Konsisten ... 14
III. METODE PENELITIAN 3.1 Metode Penelitian ... 15
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Grafik DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 18
4.1.1Grafik dengan α meningkat, m1dan m2meningkat ... 18
4.1.2Grafik dengan α tetap, m1meningkat dan m2tetap... 19
4.1.3 Grafik dengan α tetap, m1tetap dan m2meningkat... 20
4.1.5 Grafik dengan αtetap, m1dan m2meningkat ... 22
4.1.6 Grafik dengan α meningkat, m1tetap dan m2meningkat ... 23
4.2 Fungsi Kumulatif DistribusiThree-Parameter GeneralizedF. 24 4.3 Invers DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 26
4.4 Probability Weighted Moment DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 27
4.5 Penduga Parameter α dan m... 28
4.5.1 Penduga Parameter m ... 28
4.5.2 Penduga Parameter α... 30
4.6 Karakteristik Penduga DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 30
4.6.1 Memeriksa Sifat Ketakbiasan PendugaDistribusi Three-Parameter GeneralizedF secara analitik... 31
4.6.1.1 Penduga Parameter m ... 31
4.6.1.2Penduga Parameter α... 32
4.6.2 Memeriksa Sifat Ketakbiasan Penduga Distribusi Three-Parameter GeneralizedF secara numerik... 32
4.6.3 Memeriksa Sifat Varians Minimum DistribusiThree-Parameter GeneralizedF... 35
4.6.4 Memeriksa sifat Kekonsistenan Penduga DistribusiThree-Parameter GeneralizedF ... 40
4.6.4.1 Penduga Parameter m ... 40
4.6.4.2Penduga Parameter α... 42
V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 44
5.2Saran ... 45
DAFTAR TABEL
TABEL Halaman
1. Tabel Hasil Simulasi menggunakan
KATA INSPIRASI
Janganlah kamu berjalan di muka bumi ini dengan sombong, karena
sesungguhnya kamu sekali kali tidak dapat menembus bumi dan
sekali kali kamu tidak akan sampai setinggi gunung
(QS: Al Israa 37)
Barang siapa yang melapangkan satu kesusahan dunia dari seorang
mukmin, maka Allah melapangkan darinya satu kesusahan di hari
kiamat
PERSEMBAHAN
Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan nikmat yang telah
diberikan, karya ini akan kupersembahkan untuk untuk orang orang yang telah memberi
warna dalam hidupku
Teruntuk kedua orang tuaku yang telah memberikan kasih sayang dan mendo akan untuk
kesuksesanku
Untuk istriku Erna Yunita yang telah banyak memberikan dukungan dan kesabaran dalam
menantikan terselesaikannya proses pendidikan ini
Untuk ketiga anakku Zuyyina Aqifa, Abqori Runako Arsenio, Mundzirul Awwabin. Semoga kalian
menjadi anak- anak yang sholeh dan sholehah
Untuk mbak dan ketiga adikku semoga kalian diberikan keberkahan dalam hidup
Seluruh dosen dan karyawan yang telah sangat membantu
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di desa Banjar Negeri –Lampung Selatan, 19 November 1984, sebagai anak kedua dari lima bersaudara pasangan Bapak Yulianto dan Ibu Kasmiati.
Penulis menempuh pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Banjar Negeri diselesaikan pada tahun 1997, sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Natar diselesaikan tahun 2000, sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Metro diselesaikan pada tahun 2003.
Pada tahun 2003 penulis diterima sebagai Mahasiswa pada program studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universiatas Lampung melalui jalur SPMB dan diselesaikan pada tahun 2007.
Pada tahun 2007 sampai dengan akhir tahun 2009 penulis mengajar di SMP Satya Dharma Sudjana PT. Gunung Madu Plantations, dan di awal tahun 2010 penulis diangkat sebagai PNS di Lingkungan Pemerintah Kota Metro sebagai guru matematika dan ditugaskan di SMA Negeri 4 Metro hingga sekarang.
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan
rahmat serta hidayahNya sehingga tesis yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Three Parameter Generalized F dengan Metode Probability Weighted Moment(PWM)”
Sehingga dalam proses penyelesaian tesis ini banyak pihak yang telah membantu dalam memberikan bimbingan, motivasi serta kritik atau saran kepada penulis. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapakan rasa terima kasih kepada:
1. Bapak Warsono, Ph.D selaku pembimbing 1 yang telah memberikan waktu, arahan dan saran dalam proses penulisan tesis ini.
2. Bapak Mustofa Usman, Ph.D selaku pembimbing 2 yang telah memberikan waktu dan saran dalam proses penulisan tesis ini.
3. Bapak Dr. Muslim Ansori selaku pembahas yang telah memberikan banyak saran agar tesis ini dapat memberikan banyak manfaat.
4. Ibu widiarti, ibu dian kurniasari yang telah sempat memberikan sumbangan pemikiran.
5. Ibu Wamiliana, Ph.D selaku pembimbing akademik
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung 7. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D selaku Ketua jurusan Matematika
8. Kedua orang tua, mbak dan ketiga adikku yang sudah banyak memberikan
dukungan dan mendo’akan penulis.
9. Teman – teman pascasarjana yang telah bersama – sama berbagi dalam keadaan apapun diantaranya bapak/ibu : anton, ade, ana, viviana, guiyana ayu, herly, ayu siska, agus, edi, fauzan, ibnu m, waryoto, rahman, nurman, suli, c. ike, cut, fita, permata, rini, ibnu w, suminto.
10. Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam proses penyelesaian tesis ini
11. Universitas Lampung
Penulis sadari bahwa tesis ini jauh dari sempurna, tetapi penulis berharap semoga tesis ini dapat memeberikan manfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bandar Lampung, 11 Januari 2016 Penulis
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari – hari kita sering menemui kata statistika, sebenarnya statistika mempunyai dua arti. Dalam penggunaan yang lebih umum, statistika mengacu kepada informasi numerik. Contoh–contohnya meliputi upah awal rata-rata lulusan perguruan tinggi, jumlah kematian karena kecanduan narkoba selama satu tahun lalu dan masih banyak contoh yang lainnya. Pada contoh – contoh ini statistiknya adalah nilai atau persentase.
2
metode generalized moment (GM), metode Probability Weighted Moment (PWM), dan lain – lain. Dari beberapa metode yang telah ada, metode momen adalah metode yang paling sering digunakan, dan salah satu metode yang sangat populer dalam menduga parameter adalah metode kemungkinan maksimum (MLE). Sayangnya metode kemungkinan maksimum didasarkan pada teori sampel berukuran besar, sehingga metode ini seringkali bekerja kurang baik untuk data dengan ukuran sampel kecil. Oleh karena itu sangat menarik untuk mencari metode alternatif dalam menduga parameter dari distribusi yang setiap parameternya telah diduga dengan menggunakan metode momen, generalized momen atau MLE. Dalam kasus ini penulis tertarik untuk menggunakan metode Probability Weighted Moment(PWM) dalam menduga parameter DistribusiThree Parameter Generalized F yang selanjutnya di singkat menjadi G3F dengan
parameter (α, m1, m2) dimana α adalah parameter skala yakni parameter numerik yang menunjukkan besarnya distribusi data dan parameter m1 dan m2 menunjukkan parameter bentuk, yakni suatu parameter yang menunjukkan bentuk dari kurva distribusi G3F.
1.2 Batasan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dilakukan penelitian ini antara lain :
1. Untuk melihat perbedaan grafik fungsi kepekatan peluang distribusi G3F dengannilai parameter (α, m1, m2) yang dibuat berubah.
2. Untuk menentukan penduga (α, m1, m2) dari distribusi G3F dengan metode Probability Weighted Moment (PWM).
3. Untuk memeriksa karakteristik penduga (α, m1, m2) dari distribusi G3F yang meliputi sifat ketakbiasan, varians minimum dan kekonsistenan.
1.4 Manfaat Penelitian
4
II. LANDASAN TEORI
2.1 Distribusi F
Distribusi F merupakan salah satu distribusi kontinu. Dengan variabel acak X memenuhi batas X > 0, sehingga luas daerah dibawah kurva sama dengan satu, sementara grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif seperti halnya distribusi lainnya.ieb
5
Definsi 2. 1
Misalkan X adalah random variabel dari distribusi F dengan parameter d1 dan d2, dinotasikan X F(d1 , d2). Maka fungsi kepekatan peluangnya adalah
dimana d1 dan d2 bilangan bulat positif dengan B adalah fungsi beta.
ainya,
2.2 Distribusi Three-Parameter Generalized F
Distribusi Three-parameter Generalized F merupakan salah satu distribusi
kontinu yang memiliki tiga parameter, yaitu α yang merupakan parameter skala
serta m1 dan m2 yang merupakan parameter bentuk. Distribusi G3F adalah generalisasi dari distribusi F.
Definisi 2.2
Misalkan X adalah random variabel dari distribusi G3F (α , m1, m2) maka fungsi
6
2.2.1 Nilai Harapan dari Distribusi G3F
Nilai harapan dari distribusi G3F dengan parameter (α , m1, m2) dimana
Dan dengan menggunakan persamaan (6.2.2) dalam Abramowitz dan Stegun
(1970) yakni B(z,w) =
7
Jadi nilai harapan dari distribusi G3F adalah
E(X) = ( )
( )
(2.3)
Selanjutnya, untuk E(X2) dapat dinyatakan oleh
8
E(X2) =
Jadi diperoleh nilai E(X2) = ( )
( ) (2.4)
2.2.2 Varians dari distribusi G3F
Varians atau ragam dari distribusi G3F dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.4) yaitu :
( )
9
Jadi varians dari distribusi G3F adalah
Var(X) =
[
( )
]
2.3 Metode Probability Weighted Moment (PWM)
Diawali dari beberapa kelemahan dan kelebihan dari setiap metode pendugaan yang telah ada, maka penggunaan metode PWM dapat dijadikan alternatif lain dalam menduga parameter dari distribusi G3F. Metode PWM merupakan
modifikasi dari metode “konvensional” momen dan pertama kali dikemukakan
oleh Hosking et al., (1984). Fungsi PWM dari variabel random X dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) , F(x) didefinisikan sebagai berikut:
Dalam hal ini r, s dan t merupakan bilangan real. Bila s = t = 0 dan r merupakan bilangan bulat yang tidak negatif maka akan menjadi merupakan momen peluang konvensional yang selama ini dikenal.
Adapun subclass dari fungsi PWM di atas dengan X(F) adalah invers dari fungsi distribusi kumulatif maka fungsi PWM adalah
. Sementara dapat dibagi menjadi
dua bagian, yaitu s = 0 ( ) dan t = 0 ( ), sehingga fungsi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk
dimana ∫ dan
10
Selain itu fungsi PWM dapat juga ditulis secara khusus yakni
[ ] , dengan r, s, t adalah bilangan real
Dengan menyelesaikan akan didapatkan penduga bagi parameter yang masih dinyatakan dalam bentuk Adapun penduga tak bias bagi diperoleh berdasarkan sampel tataan dari sampel berukuran n, dan t
bilangan positif dengan menyelesaikan persamaan
̂ ∑
11
2.4 Karakteristik Penduga
Untuk mengetahui karakteristik penduga dari distribusi G3F dengan menggunakan metode PWM, maka harus memenuhi sifat – sifat penduga yang baik diantaranya sebagai berikut:
2.4.1 Tak Bias
Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut.
Definisi 2.3
Penduga U(X) = U( X1, X2, . . . , Xn ) dikatakan penduga tak bias bagi ( )
bila ,
(Hogg and Craig, 1995). 2.4.2 Varians Minimum
Suatu penduga dikatakan sebagai penduga yang baik selain memiliki sifat tak bias, juga memiliki varians minimum.
Definisi 2.4
Misalkan U(X) adalah penduga tak bias bagi ( ), maka untuk sebarang penduga tak bias U1(X) bagi ( ) disebut penduga varians minimum jika Var Var untuk setiap , dimana
( ) [ ]
12
Dalam menentukan penduga varians minimum, berikut ini diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan varians minimum yakni :
2.4.2.1 Informasi Fisher memperhatikan kondisi yang rinci, misalkan bahwa ruang dari X dimana
yang tidak meliputi dapat diturunkan
dibawah integralnya. Sehingga matriks Informasi Fisher sebagai berikut:
13
2.4.2.3 Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)
Definisi 2.7
Pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bounddidefinisikan sebagai berikut:
[ ]
14
Teorema 2.1 ( Chebyshev’s Inequality )
Misalkan X variabel acak dengan rata – rata dan varaians . Untuk
,
| |
atau
| |
( Larsen dan Marx, 2012).
Teorema 2.2
Jika U(X1, X2, . . . , Xn) merupakan rangkaian dari penduga suatu parameter , berlaku:
o
o
Untuk U(X) merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu parameter
15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3. 1 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan mengkaji literatur, buku – buku penunjang, thesis dan jurnal yang berkaitan dengan thesis ini. Adapun langkah – langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat grafik distribusi G3F dengan nilai parameter yang berubah menggunakan software R versi 3.2.0
2. Mencari fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi G3F 3. Mencari invers dari distribusi G3F
4. Mencari bentuk momen ke-r atau fungsi PWM
5. Mencari penduga parameter ( , = 1, ) dari distribusi G3F dengan menggunakan metode PWM
a. Secara Analitik
b. Secara Numerik Menggunakan Software R versi 3.2.0
Adapun langkah – langkah yang digunakan dalam menduga parameter G3F secara numerik menggunakan software R versi 3.2.0 adalah sebagai berikut:
• Membuat program makro untuk membangkitkan data distribusi G3F
• Membuat program makro untuk mendapatkan dugaan parameter dari
16
6. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter ( , = 1, ) dari distribusi G3F
7. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter ( , = 1, )dari distribusi G3F
a. Mencari matriks Informasi Fisher dari penduga ( , = 1, ) pada distribusi G3F
b. Mencari invers matriks Informasi Fisher dari penduga ( , = 1, ) pada distribusi G3F
c. Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga ( , = 1, ) pada distribusi G3F
8. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga ( , = 1, ) pada distribusi G3F
3.2 Skenario Simulasi
Skenario simulasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
17
Pembangkitan sampel untuk semua ukuran sampel di atas dilakukan dengan simulasi masing–masing sebanyak N = 100 kali.
45
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Perubahan nilai parameter , , mempengaruhi bentuk dari grafik
distribusi Three-Parameter GeneralizedF yang meliputi perubahan kelandaian ataupun kecuraman grafik dan perubahan serta pergeseran titik puncak grafik. 2. Penduga parameter distribusi Three-Parameter Generalized F yaitu
, , dimana ✄1dengan metode PWM adalah
✄
0 4 1
2 0 1
;
dan= 2
4
46
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz,M. and Stegun, I.A.1970.Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, New York.
Bain, L.J. and Engelhardt M. 2000.Introduction to Probability and Mathematical Statistics.Brooks / Cole. Duxbury
Cassella G. And Berger.R.L.2002.Statistical Inference.Second Edition.Thomson Learning Inc.,USA
Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995.Introduction to Mathematical Statistics. Edisi kelima. Prentice-Hall Inc., New Jersey.
Hosking, J.R.M., Wood, E.F.and Wallis, J.R.1984.Estimation of the
Generalized Extreme Value Distribution by the method of Probability Weighted Moments. Technometrics.
Larsen,R.J. and Marx,M.L.2012.An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications. Fifth Edition Pearson Education Inc.,United States of America.
