commit to user
1
PERBANDINGAN EFISIENSI PENDUGA RASIO EKSPONENSIAL MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KOEFISIEN KURTOSIS VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK STRATIFIKASI
Fatma Julita, Etik Zukhronah, Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRAK. Penduga rasio dapat digunakan untuk menduga rata-rata populasi dengan memanfaatkan korelasi yang positif antara variabel bantu ( dengan variabel yang diteliti . Penduga rasio yang digunakan adalah penduga rasio eksponensial. Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan efisiensi rata-rata kuadrat sesatan (RKS) penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi. Selanjutnya diterapkan pada produksi padi di Pulau Jawa tahun 2014 dengan pengambilan sampel acak stratifikasi. Hasil yang diperoleh adalah penduga rasio eksponensial untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien variasi lebih efisien dengan nilai dugaan rata-rata populasi sebesar 309.605,3990 ton.
Kata kunci: efisiensi, penduga rasio eksponensial, koefisien variasi, koefisien kurtosis,
sampel acak stratifikasi.
1. PENDAHULUAN
Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan/ pengelompokan, penyajian, dan analisis data serta pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian. Metode pengumpulan data terdiri atas sensus dan sampling (pengambilan sampel).
Menurut Supranto [6] terdapat dua cara pengambilan sampel yaitu cara acak (random) dan tidak acak (non random). Cara acak merupakan pemilihan sampel yang dapat dilakukan dengan cara lotre/undian. Terdapat empat metode dalam pengambilan sampel yaitu pengambilan sampel acak sederhana, sistematis, stratifikasi, dan cluster. Pengambilan sampel acak stratifikasi dilakukan dengan cara mengelompokkan populasi menjadi beberapa strata, selanjutnya memilih sampel secara acak dari setiap strata (Yamane [7]).
Pengambilan sampel bertujuan untuk menduga parameter dari populasi yang tidak diketahui seperti rata-rata populasi, total populasi, rasio, dan lain-lain. Jika suatu variabel bantu ( yang diketahui berkorelasi positif dengan variabel yang diteliti maka digunakan penduga rasio, namun jika variabel bantu berkorelasi negatif dengan variabel yang diteliti maka digunakan penduga produk (Murthy [3]). Penduga rasio yang lebih efisien adalah penduga rasio yang memiliki nilai rata-rata kuadrat sesatan (RKS) lebih kecil.
commit to user
2
Bahl dan Tuteja [1] memperkenalkan penduga rasio eksponensial pada pengambilan sampel acak stratifikasi. Selanjutnya Singh et al. [5] menyarankan bentuk eksponensial dari penduga rasio Dwivedi dan penduga rasio Singh-Kakran. Penduga rasio Sisodia-Dwivedi menggunakan koefisien variasi variabel bantu. Penduga rasio Singh-Kakran menggunakan koefisien kurtosis variabel bantu. Singh et al. [5] membandingkan penduga rasio Sisodia-Dwivedi dan Singh-Kakran. Hasil perbandingan tersebut adalah penduga rasio Sisodia-Dwivedi lebih efisien daripada penduga rasio Singh-Kakran karena memiliki nilai RKS yang lebih kecil.
Penelitian ini akan menurunkan ulang RKS penduga rasio eksponensial untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu, membandingkan efisiensi penduga rasio eksponensial tersebut, serta menerapkannya pada data produksi padi di Pulau Jawa pada tahun 2014 dengan menggunakan pengambilan sampel acak stratifikasi.
2. DERET TAYLOR
Menurut Mendoza [2], dimisalkan adalah vektor dari statistik sampel dan adalah vektor dari parameter, . Ekspansi deret Taylor dari dapat dituliskan sebagai
∑ ( ) ∑ ∑ ( )
Pendekatan rata-rata kuadrat sesatan penduga rasio dihitung dengan pendekatan deret Taylor orde pertama untuk dua variabel. Dimisalkan ̅ ̅ ̅ adalah vektor statistik sampel dan ̅ ̅ ̅ adalah vektor parameter populasi sedemikian sehingga ̅ ̅. Pendekatan deret Taylor dari ̅ dapat dituliskan sebagai
̅ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ̅ ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (2.1)
Pendekatan deret Taylor orde pertama pada persamaan (2.1) digunakan untuk menurunkan ulang rata-rata kuadrat sesatan, yaitu
commit to user 3 * ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ + ( ̅ ̅ ̅ ) [ ̅ ̅ ] ( ̅ ̅ ̅ ) [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ( ̅ ̅ ̅ ) [ ̅ ̅ ] ( ̅ ̅ ̅ ) [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ] ( ̅ ̅ ̅ ) ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (2.2) Apabila merupakan matriks yang berisi turunan parsial dari ̅ ̅ dan merupakan matriks variansi kovariansi, dan dapat dinyatakan sebagai
[ ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅ ]
sehingga persamaan (2.2) dapat juga dituliskan
( ̅ ̅ ) (2.3)
Penduga rasio eksponensial yang efisien memiliki nilai RKS lebih kecil ( ̅̂ ) ( ̅̂ ) < (2.4) dengan ∑ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ∑ ∑ ( ̅ ) ̅
adalah variansi populasi variabel pada strata ke- , adalah kovariansi populasi variabel dan variabel pada strata ke- , adalah koefisien variasi variabel bantu pada strata ke- , adalah koefisien kurtosis variabel bantu pada strata ke- , dan adalah pembobot pada strata ke- . Singh et al. [5] menyatakan bahwa penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi ( ̅̂ ) lebih efisien dibandingakan dengan penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien kurtosis ( ̅̂ ), apabila persamaan (2.4) terpenuhi.
3. METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini dilakukan penurunan ulang RKS penduga rasio eksponensial untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu dengan metode deret Taylor. Selanjutnya penduga rasio eksponensial untuk rata-rata populasi diterapkan pada produksi padi di Pulau Jawa tahun 2014. Data yang digunakan
commit to user
4
adalah data sekunder yang diambil dari BPS. Populasi yang digunakan meliputi 115 kabupaten/kota di Pulau Jawa. Variabel bantu pada penelitian ini adalah data luas panen (dalam ha), sedangkan variabel yang diteliti adalah data produksi padi (dalam ton) di Pulau Jawa tahun 2014. Pengambilan sampel dilakukan menggunakan sampel acak stratifikasi. Berdasarkan sampel yang diambil, dapat dihitung dan dibandingkan nilai RKS masing-masing penduga rasio eksponensial.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penurunan Ulang RKS Penduga Rasio Eksponensial Menggunakan Koefisien
Variasi. Singh et al. [5] menyarankan bentuk eksponensial penduga rasio Sisodia-Dwivedi untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien variasi variabel bantu
̅̂ ̅ [ ̅ ̅
̅ ̅ ] (4.1)
dengan ̅ ∑ ̅ dan ̅ ∑ ̅ .
RKS dapat diturunkan menggunakan pendekatan deret Taylor orde pertama pada persamaan (2.3). Berikut diberikan penurunan ulang RKS dari penduga rasio eksponensial Sisodia-Dwivedi dengan ̅ ̅ ̅̂ ( ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ]) ̅ || ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ]| ̅ ̅ * ̅ ̅ ̅ ̅ + (4.2) ( ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ]) ̅ || ̅ ̅ = ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ ̅ || ̅ ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ ̅ || ̅ ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ (4.3)
commit to user
5
Persamaan (4.2) dan (4.3) disubstitusikan ke dalam matriks sehingga diperoleh, [ ( ̅ ̅ ̅ )| ̅ ̅ ( ̅ ̅ ) ̅ | ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ] (4.4)
Selanjutnya persamaan (4.4) disubstitusikan pada persamaan (2.3), diperoleh nilai rata-rata kuadrat sesatan
( ̅̂ ) [ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ] ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (4.5)
Berdasarkan Sangngam [4] didefinisikan variansi penduga tak bias dari rata-rata populasi variabel yang diteliti yaitu ̅ , variansi penduga tak bias dari rata-rata populasi variabel bantu yaitu ̅ dan kovariansi penduga tak bias dari rata-rata populasi variabel yang diteliti dan variabel bantu yaitu ̅ ̅ seperti berikut
̅ ∑ (4.6) ̅ ∑ (4.7) ̅ ̅ ∑ (4.8)
Persamaan (4.6), (4.7), dan (4.8) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.5) sehingga diperoleh RKS penduga rasio eksponensial Sisodia-Dwivedi menggunakan koefisien variasi, ( ̅̂ ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ̅ ∑ ∑ [ ] (4.9)
4.2 Penurunan Ulang RKS Penduga Rasio Eksponensial Menggunakan Koefisien
Kurtosis. Selain menggunakan koefisien variasi, Singh et al. [5] menyarankan bentuk eksponensial penduga rasio Singh-Kakran untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien kurtosis variabel bantu
̅̂ ̅ [
̅ ̅
̅ ̅ ] (4.10)
commit to user
6
RKS dari persamaan (4.10) diperoleh menggunakan pendekatan deret Taylor orde pertama seperti pada persamaan (2.3). Langkah pertama yaitu menghitung elemen-elemen matriks , diperoleh nilai * ̅
̅ +. Selanjutnya persamaan (4.6), (4.7), (4.8), dan matriks disubstitusikan pada persamaan (2.3). Penurunan RKS penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien kurtosis diperoleh dengan menggunakan cara yang sama seperti penurunan RKS penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi yaitu ( ̅̂ ) * ̅ ̅ + [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ] ∑ * + (4.11)
4.3 Penerapan Kasus. Penduga rasio eksponensial untuk rata-rata populasi diterapkan
pada produksi padi di Pulau Jawa. Populasi produksi padi kabupaten/kota tahun 2014 diambil dari BPS. Populasi produksi padi tersebut dibagi menjadi empat strata berdasarkan banyaknya produksi padi (dalam ton).
Strata pertama dengan kriteria produksi padi rendah yaitu kurang dari 100.000 ton terdiri dari 33 kabupaten/kota. Stara kedua dengan kriteria produksi padi sedang yaitu lebih dari atau sama dengan 100.000 ton dan kurang dari 300.000 ton terdiri dari 33 kabupaten/kota. Strata ketiga dengan kriteria produksi padi tinggi yaitu lebih dari atau sama dengan 300.000 ton dan kurang dari 500.000 ton terdiri dari 25 kabupaten/kota. Strata keempat dengan kriteria produksi padi sangat tinggi yaitu lebih dari atau sama dengan 500.000 ton terdiri dari 24 kabupaten/kota.
Ukuran sampel ditentukan dengan memilih reliabilitas dan ketelitian sehingga diperoleh ukuran sampel sebanyak 74 kabupaten/kota. Kemudian dari tiap-tiap strata secara acak sederhana diambil sampel dengan alokasi proporsional. Selanjutnya dicari nilai dari kedua penduga yaitu ̅̂ dan ̅̂ untuk menduga rata-rata produksi padi. Berikut diberikan karakteristik sampel yang terpilih seperti terdapat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1. Karakteristik sampel
Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4
= 21 = 22 = 16 = 15
̅ = 2.827,0476 ̅ = 37.946,7273 ̅ = 69.712,6875 ̅ = 126.560,6667 ̅ = 14.846,6191 ̅ = 215.040,6818 ̅ = 403.236,4375 ̅ = 760.085,9333
= 0,0895 = 0,2059 = 0,2081 = 0,6329
commit to user
7
= 0,2869 = 0,2869 = 0,2173 = 0,2086
̅ = 53.267,8936 ̅ = 312.254,3849
Nilai-nilai yang diperoleh dari Tabel 4.1 disubstitusikan ke persamaan (4.1) dan (4.10), maka diperoleh nilai dari masing-masing penduga untuk menduga rata-rata produksi padi seperti yang terdapat pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Nilai kedua penduga untuk rata-rata populasi Penduga Nilai Penduga untuk Rata-rata Populasi
̅̂ 309.605,3990
̅̂ 309.605,4207
Tabel 4.2 menunjukkan bahwa ̅̂ lebih mendekati nilai parameter ̅ daripada ̅̂ dengan ̅ sebesar 303.801,3391 ton. Berdasarkan hasil observasi populasi dihitung karakteristik populasi seperti pada Tabel 4.3, kemudian dicari nilai RKS dari kedua penduga.
Tabel 4.3. Karakteristik populasi
Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4
= 33 = 33 = 25 = 24 ̅ = 3.191,4242 ̅ = 37.663,8182 ̅ = 68.395,48 ̅ = 123.508,3333 ̅ = 17.551,8788 ̅ = 210.260,2424 ̅ = 394.870,4 ̅ = 731.149,75 = 0,0173 = 0,0152 = 0,0225 = 0,025 = 0,0823 = 0,0823 = 0,0473 = 0,0436 = 21.985.128,06 = 116.351.260,3 = 118.756.245,1 = 1.098.655.743 = 687.600.319,2 = 3.590.369.837 = 3.463.666.595 = 41.610.230.770 = 118.007.722,2 = 569.385.728,7 = 514.853.295,4 = 6.235.049.945 ̅ = 303.801,3391 ̅ = 52.367,9130 = 115 ̅ = 303.801,3391 ̅ = 52.368,1752 ̅ = 52.368,6097 = 5,8013 = 5,8012
Nilai yang diperoleh pada Tabel 4.3 disubstitusikan ke persamaan (4.9) dan (4.11) untuk menghitung nilai ( ̅̂ ) dan ( ̅̂ ) seperti pada Tabel 4.4.
Tabel 4.4. Nilai RKS untuk kedua penduga
Penduga RKS
̅̂ 19.404.575,29 ̅̂ 19.404.761,42
Tabel 4.4 menunjukkan bahwa ( ̅̂ ) lebih kecil daripada ( ̅̂ ), sehingga dapat disimpulkan penduga rasio eksponensial Sisodia-Dwivedi menggunakan koefisien variasi variabel bantu ( ̅̂ ) lebih efisien daripada penduga rasio eksponensial
commit to user
8
Singh-Kakran menggunakan koefisien kurtosis variabel bantu ( ̅̂ ). Dengan demikian, penduga rata-rata produksi padi pada kabupaten/kota di Pulau Jawa tahun 2014 menggunakan penduga rasio eksponensial Sisodia-Dwivedi ( ̅̂ ) yaitu sebesar 309.605,399 ton.
5. KESIMPULAN
1. Penduga rasio eksponensial Sisodia-Dwivedi untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien variasi variabel bantu yaitu
̅̂ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] dengan rata-rata kuadrat sesatan
( ̅̂ ) ∑ [ ]
2. Penduga rasio eksponensial Singh-Kakran untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien kurtosis variabel bantu yaitu
̅̂ ̅ [
̅ ̅ ̅ ̅ ] dengan rata-rata kuadrat sesatan
( ̅̂ ) ∑ [ ]
3. Penduga rasio eksponensial Sisodia-Dwivedi untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien variasi merupakan penduga rasio eksponensial yang efisien, dengan hasil pendugaan rata-rata populasi produksi padi di Pulau Jawa tahun 2014 menggunakan sampel sebesar 309.605,3990 ton.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bahl, S. and R. K. Tuteja, Ratio and Product Type Exponential Estimator, Journal of Information and Optimization Sciences 12 (1991), 159-164.
[2] Mendoza, O. M., Taylor Series Variance Estimation for Selected Indirect Demographic
Estimators, Chapel Hill, North Carolina, 1982.
[3] Murthy, M. N., Product Method of Estimation, Sankhya 26 (1964), 69-74.
[4] Sangngam, P., Ratio Estimator Using Coefficien of Variation and Coefficien of
Correlation, Journal of Modern Applied Science 8 (2014), 70-79.
[5] Singh, R., M. Kumar, R. D, Singh, and M. K. Chaudhary, Exponential Ratio-Type
Estimators in Stratified Random Sampling, India, 2013.
[6] Supranto, J., Statistik, Erlangga, Jakarta, 1983.
