i
PERBANDINGAN EFISIENSI PENDUGA RASIO EKSPONENSIAL MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KOEFISIEN KURTOSIS VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK STRATIFIKASI
Oleh FATMA JULITA
M0111034
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2016
iii ABSTRAK
Fatma Julita. 2016. PERBANDINGAN EFISIENSI PENDUGA RASIO EKSPONENSIAL MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KOEFISIEN KURTOSIS VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK STRATIFIKASI. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Penduga rasio eksponensial digunakan untuk menduga rata-rata populasi jika variabel bantu (𝑋) berkorelasi positif dengan variabel yang diteliti (𝑌). Nilai Rata-rata Kuadrat Sesatan (RKS) akan menjadi lebih kecil karena adanya penambahan informasi dari variabel bantu seperti koefisien variasi dan koefisien kurtosis sehingga meningkatkan efisiensi hasil estimasi.
Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan ulang RKS penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi dan membandingkan efisiensi kedua penduga rasio eksponensial tersebut. Penurunan ulang RKS penduga rasio eksponensial menggunakan metode deret Taylor. RKS digunakan untuk membandingkan efisiensi penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu.
Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi lebih efisien dari penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien kurtosis variabel bantu. Hasil pendugaan rata-rata populasi produksi padi di Pulau Jawa dengan menggunakan sampel 𝑛 = 74 yang diambil secara acak stratfikasi sebesar 309605,3990 ton.
Kata Kunci: efisiensi, penduga rasio eksponensial, koefisien variasi, koefisien kurtosis, sampel acak stratifikasi.
iv ABSTRACT
Fatma Julita. 2016. THE COMPARISON OF EXPONENTIAL RATIO ESTIMATOR EFFICIENCY USING COEFFICIENT OF VARIATION AND COEFFICIENT OF KURTOSIS OF AUXILIARY VARIABLE IN STRATIFIED RANDOM SAMPLING. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Exponential ratio estimator is used to estimate population mean when auxiliary variable (𝑋) and interest variable (𝑌) are positively correlated. The value of Mean Squared Error (MSE) will be smaller due to the addition of auxiliary variable information such as coefficient of variation and coefficient of kurtosis thus increasing the efficiency of estimation.
The aims of this research are to redefine the MSE of exponential ratio estimator for population mean using coefficient of variation and coefficient of kurtosis of auxiliary variable and to compare both of the exponential ratio estimator. The Taylor series approximation was used to redefine the MSE of exponential ratio estimator. MSE was used to compare the exponential ratio estimator efficiency using coefficient of variation and coefficient of kurtosis of auxiliary variable.
The result indicate that the exponential ratio estimator by using coefficient of variation is more efficient than by using coefficient of kurtosis. The estimation population mean of rice production in Java Island in the year of 2014 using 𝑛 = 74 which is taken by stratified random sampling is 309605,3990 ton.
Keywords: efficiency, exponential ratio estimator, coefficient of variation, coefficient of kurtosis, stratified random sampling.
v MOTO
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk kedua orang tuaku Ibu Maisaroh, Bapak Doto, serta kedua adikku Kunthi Mulatsari dan Galih Ridho Putro Utomo atas do’a, cinta, kasih sayang, kesabaran, serta kepercayaan yang diberikan kepadaku.
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis menyadari akan keterbatasan yang dimiliki dalam penulisan skripsi sehingga tidak lepas dari bimbingan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada yang terhormat
1. Dra. Etik Zukhronah, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan penulisan skripsi dan materi, nasehat serta motivasi.
2. Bowo Winarno S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi dalam penulisan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Juni 2016
viii DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ... i PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT ... iv MOTO ... v PERSEMBAHAN ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ... viii
DAFTAR TABEL ... x
I PENDAHULUAN... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Perumusan Masalah ... 2
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Manfaat Penelitian ... 3
II LANDASAN TEORI ... 5
2.1 Tinjauan Pustaka... 5
2.1.1 Pengambilan Sampel Acak Stratifikasi ... 6
2.1.2 Koefisien Korelasi ... 7
2.1.3 Koefisien Variasi ... 7
2.1.4 Koefisien Kurtosis ... 8
2.1.5 Rata-Rata Kuadrat Sesatan ... 8
2.1.6 Deret Taylor ... 8
2.1.7 Penduga Rasio ... 11
2.2 Kerangka Pemikiran ... 12
ix
IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 15
4.1 Penurunan Ulang RKS Penduga Rasio Eksponensial ... 15
4.1.1 Penduga Rasio Eksponensial Menggunakan Koefisien Variasi ... 15
4.1.2 Penduga Rasio Eksponensial Menggunakan Koefisien Kurtosis ... 17
4.2 Perbandingan Efisiensi Penduga Rasio Eksponensial ... 19
4.3 Penerapan ... 21
V PENUTUP ... 25
5.1 Kesimpulan ... 25
5.2 Saran ... 26
x
DAFTAR TABEL
4.1 Karakteristik sampel ... 21
4.2 Nilai kedua penduga untuk rata-rata populasi ... 21
4.3 Karakteristik populasi ... 22
1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan/ pengelompokan, penyajian, dan analisis data serta pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian. Metode pengumpulan data terdiri dari sensus dan sampling (pengambilan sampel). Pengumpulan data dengan cara pengambilan sampel membutuhkan biaya yang sedikit dan dapat menghasilkan cakupan data yang luas serta terperinci dibandingkan dengan pengumpulan data dengan cara sensus.
Menurut Supranto [17] terdapat dua cara pengambilan sampel yaitu cara acak (random) dan tidak acak (non random). Cara acak merupakan pemilihan sampel yang dapat dilakukan dengan cara lotre/undian.
Terdapat empat metode dalam pengambilan sampel yaitu pengambilan sampel acak sederhana, sistematis, stratifikasi, dan cluster. Pengambilan sampel acak sederhana merupakan metode pengambilan sampel berukuran dari suatu populasi yang setiap unsur di dalam populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terambil (Cochran [3]). Pengambilan sampel acak sistematis merupakan metode dimana hanya unsur pertama dari sampel yang dipilih secara acak sedangkan unsur-unsur selanjutnya dipilih secara sistematis menurut suatu pola tertentu. Pengambilan sampel acak stratifikasi dilakukan dengan cara mengelompokkan populasi menjadi beberapa strata, selanjutnya memilih sampel acak sederhana dari setiap strata (Yamane [19]). Pengambilan sampel acak cluster adalah metode pengambilan sampel dimana populasi dikelompokkan menjadi beberapa kelompok, kemudian dipilih secara acak sebagian kelompok tersebut, selanjutnya diambil sampel secara acak dari kelompok yang terpilih.
Pengambilan sampel bertujuan untuk menduga parameter dari populasi yang tidak diketahui seperti rata-rata populasi, total populasi, rasio, dan lain-lain. Ketelitian
2
penduga parameter populasi dapat meningkat karena adanya hubungan antara variabel bantu ( dan variabel yang diteliti (Cochran [3]). Jika suatu variabel bantu yang diketahui berkorelasi positif dengan variabel yang diteliti maka digunakan penduga rasio, namun jika variabel bantu berkorelasi negatif dengan variabel yang diteliti maka digunakan penduga produk (Murthy [10]). Penduga rasio yang lebih efisien adalah penduga rasio yang memiliki nilai rata-rata kuadrat sesatan (RKS) terkecil. Rasio adalah perbandingan antara berbagai gejala yang dapat dinyatakan dengan angka. Pada penelitian yang dimaksud dengan rasio adalah perbandingan dari rata-rata dua populasi.
Bahl dan Tuteja [1] memperkenalkan penduga rasio eksponensial klasik pada pengambilan sampel acak stratifikasi. Selanjutnya Singh et al. [13] menyarankan bentuk eksponensial dari penduga rasio Sisodia-Dwivedi dan penduga rasio Singh-Kakran. Penduga rasio Sisodia-Dwivedi menggunakan koefisien variasi variabel bantu. Penduga rasio Singh-Kakran menggunakan koefisien kurtosis variabel bantu. Singh et al. [13] membandingkan penduga rasio Sisodia-Dwivedi dan Singh-Kakran. Hasil perbandingan tersebut adalah penduga rasio Sisodia-Dwivedi lebih efisien daripada penduga rasio Singh-Kakran karena memiliki nilai RKS yang lebih kecil.
Penelitian ini akan menurunkan ulang penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu, membandingkan efisiensi penduga rasio eksponensial tersebut, serta menerapkannya pada data produksi padi di Pulau Jawa pada tahun 2014 dengan menggunakan pengambilan sampel acak stratifikasi karena memiliki ketepatan yang lebih tinggi dibandingkan dengan pengambilan sampel acak sederhana.
1.2 Perumusan Masalah
3
1. bagaimana menurunkan ulang RKS penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada pengambilan sampel acak stratifikasi?
2. bagaimana perbandingan efisiensi antara penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada pengambilan sampel acak stratifikasi?
3. bagaimana menerapkan penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada produksi padi di Pulau Jawa tahun 2014?
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah
1. dapat menurunkan ulang RKS penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada pengambilan sampel acak stratifikasi,
2. dapat membandingkan efisiensi antara penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada pengambilan sampel acak stratifikasi,
3. dapat menduga rata-rata produksi padi di Pulau Jawa tahun 2014 dengan penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisien kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada pengambilan sampel acak stratifikasi.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini secara teoritis adalah untuk mengetahui dan mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang penduga rasio eksponensial menggunakan koefisien variasi dan koefisen kurtosis variabel bantu untuk rata-rata populasi pada pengambilan sampel acak stratifikasi.
4
Manfaat secara praktis dari hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai alat bantu untuk mengetahui dugaan rata-rata populasi produksi padi di Pulau Jawa tahun 2014 dengan menggunakan penduga rasio eksponensial yang efisien.
