Computational Fluid Dynamics (CFD)
Dengan Ansys CFX
Oleh :
Prof. Ir. I etut Aria Pria !tama" #.$c."Ph.D %idho &antoro" $'."#'
Daftar Isi
CFD vs Eksperiment
3
Teori Dasar
13
Proses Simulasi CFD
52
Validasi dan Verikasi
55
odul 1 ! "liran pada #lunt #od$
5%
odul 2 ! Pem&uatan 'eometri &enda ker(a )ICE* dan es+in'odul 3 ! Pre,pro-essin' . pemili+an solver odul / ! Post,pro-essin' +asil simulasi CFD
#etode CFD ersus #etode *+sperimental
0emampuan CFD dan pesatn$a perkem&an'an ke-epatan komputasi tela+ mem&uat pen''unaan CFD se&a'ai alat untuk mendapatkan solusi dalam dunia en'ineerin' Pen''unaann$a tela+ meliputi area $an' luas pada industri dan aplikasi,aplikasi keilmuan CFD dapat di'un akan untuk men'+asilkan prediksi kualitatif dan terkadan' &a+kan prediksi kualitatif dalam aliran uida +al ini &an$ak dilakukan den'an men''unakan &e&erapa metode 41!
- odel matematik )PDE*
- etode numeri- )diskritisasi dan teknik solusi* - Peran'kat lunak
CFD di'unakan ole+ para ilmu6an dan engineer untuk melakukan se&ua+ 7eksperiment numerik8 dalam se&ua+ 7virtual la&oratorium8 Dalam karakteristik aliran CFD dapat memperli+atkan pola,pola aliran $an' le&i+ detail dan akurat $an' akan sulit dan ma+al &a+kan tidak mun'kin dilakukan den'an men''unakan teknik eksperiment Sala+ satu -onto+ aplikasi $an' tela+ dilakukan adala+ dalam analisa mendapatkan 'a$a,'a$a dan efek dari se&ua+ riser $an' memiliki san'at pan(an' dan &erada didalam laut dalam 42 S-+o6alter et al men$atakan &a+6a toleransi kesala+an dalm pen,skala,an dapat dikuran'i den'an adan$a CFD Dalam area penelitian $an' &er&eda penerapan CFD dilakukan se&a'ai pem&andin' den'an eksperiment apa&ila memun'kinkan dilakukan eksperiment 435% dan men(adi superior dalam +al eksperiment san'at sulit atau &a+kan tidak mun'kin dilakukan 4/9
Dalam +al prediksi se&ua+ fenomena aliran maka CFD dapat di'unakan untuk mendapatkan kuantitas $an' diin'inkan den'an resolusi $an' tin''i untuk setiap &a'ian dan 6aktu Pemanfaatan CFD (u'a di'unakan se&a'ai metode untuk men$eder+anakan )se-ara virtual* permasala+an den'an kondisi, kondisi operasi $an' realistis dan tetap pada domain aliran $an' aktual
eskipun demikian error:kesala+an selalu ada dan &iasan$a ter(adi karena &e&erapa +al &erikut !
- 0esala+an dalam memodelkan o&(ek penelitian - 0esala+an dalam diskritisasi
- 0esala+an dalam melakukan iterasi - kesala+an dalam implementasi
Dalam +al kemampuan mendiskripsikan se-ara kuantitatif se&ua+ fenomena maka metode pen'ukuran:eksperiment +an$a mendapatkan satu kuantitas dalam satu 6aktu dan ter&atas dalam (umla+ titik pen'ukuran dan 6aktun$a Selain itu skala $an' di'unakan ter&atas pada skala la&oratorium dan meliputi area permasala+an dan kondisi operasi $an' ter&atas Den'an demikian error:kesala+an $an' mun'kin ter(adi adala+ !
- "dan$a kesala+an dalam melakukan pen'ukuran - "dan$a 'an''uan pada pro&e $an' di'unakan
Se&a'ai se&ua+ al'oritma CFD tidak sepenu+n$a dapat men''antikan pen'ukuran se-ara eksperiment tetapi (umla+ dan &ia$a eksperiment $an' dilakukan dapat &erkuran' san'at si'nikan Dalam +al ini per&andin'an antar CFD dan eksperiment adala+ se&a'ai &erikut !
Eksperiment !
- #ia$a ma+al
- em&utu+kan 6aktu persiapan $an' le&i+ lama - #ersifat sekuensial
- emiliki tu(uan tun''al Sedan'kan pada sisi CFD !
o #ia$a le&i+ mura+ o ;e&i+ -epat dilakukan o Dapat diker(akan se-ara paralel
<amun demikian relia&ilitas +asil dari simulasi CFD tidak perna+ dapat men-apai 1==> dikarenakan data input $an' di'unakan memiliki potensi perkiraan atau kuran' presisi Selain itu terdapat kemun'kinan model matematik $an' mun'kin tidak sesuai serta akurasi $an' ter&atas ter'antun' kemampuan ke-epatan komputer $an' di'unakan untuk &e&erapa kasus tela+ ter&ukti &a+6a simulasi CFD memiliki relia&ilitas $an' tin''i 4?@ $aitu pada !
- "liran laminar den'an ke-epatan $an' renda+ - "liran,aliran sin'le,p+ase
Den'an &erkem&an'n$a penelitian $an' men''unakan simulasi CFD se&a'ai metode untuk le&i+ memperpendek distan-e to realit$ )DTA* pada &an$ak kasus dalam multi,disiplin keilmuan 4kemudian mun-ul kaida+,kaida+
$an' &an$ak dilakukan ole+ para peneliti dalam memposisikan CFD dan eksperiment 41=11 Sala+ satu kaida+ $an' &an$ak dipakai adala+ men''unakan CFD se&a'ai metode prediksi dan eksperiment se&a'ai metode untuk melakukan validasi seperti terli+at pada Bam&ar 1 dan Bam&ar 2 412
Bam&ar 2 u&un'an Validasi CFD den'an eksperiment
Selain itu CFD (u'a di'unakan dalam validasi model matematik 0onsep ini terli+at pada Bam&ar 3 412
Bam&ar 3 u&un'an 0onsep Validasi CFD den'an verikasi model matematik
Den'an revie6 diatas maka metode CFD dan ekperiment akan tetap diperlukan dalam penelitian,penelitian pada &an$ak disiplin s-iense dan en'ineerin' eman' terdapat area dalam eksperiment $an' &isa dilakukan den'an le&i+ -epat dan mura+ tetapi tidak dapat men''antikan sepenu+n$a metode eksperiment al ini karena semua +asil penelitian pada ak+irn$a adala+ fenomena dan aplikasi dalam dunia n$ata
#erkem&an'n$a CFD se&enarn$a (u'a mema-u &erkem&an'n$a metode,metode eksperiment den'an la(u $an' tidak sama se+in''a $an' ter(adi sampai den'an saat ini adala+ pemetaan pen''unaan kedua metode terse&ut dalam penelitian Pem&eda $an' (elas adala+ kele&i+an dan kekuran'an $an' dimiliki dan +al inipun tetap &ersifat unik untuk disiplin ilmu $an' &er&eda,&eda
'eori Dasar
Penurunan Persamaan ,aier-$to+es
Catatan tentang Terminologi: akala+ ini merupakan kumpulan essa$ dari
material &uku sika dan mekanika uida al $an' men(adi pentin' adala+ adan$a terminolo'$ $an' konsisten dari mulai a6al )properties of uids* sampai den'an ak+ir )Dar-$8s ;a6 and its impli-ations*
Dalam &an$ak tulisan ve-tor dilam&an'kan den'an +uruf te&al ) v* pada sum&er $an' lain dilam&an'kan den'an pana+ ke-il diatas sim&ol ) v* 0ita akan selalu memakai lam&an' ve-tor den'an pana+ ke-il dan s-alar tanpa pana+
Tekanan P terjadi sejauh δx dari tekanan pada titik yg diketahui, P
0. ini ditunjukkan sebagai titik terbuka the !pen d!t pada kur"a P "s. x,dan diperkirankan dg #e#akai suku perta#a deret Tay$!r dg tanda s!$id d!t. ke-il adi v adala+ ve-tor danvx adala+ s-alar nit ve-tor ke ara+x, y, dan
z, adala+ i j andk se+in''a velo-it$ ve-torv dapat dituliskan!
k v j v i v v x y z
#uku mekanika uida dan &an$ak artikel selalu merefer komponen velo-it$ pada , y- danz, se&a'aiu v andwG ie
k v w j v v i v u x % y % z
Pada artikel ini akan selalu men''unakan s$m&olvx v y andvz se&a'ai &esarn$a
nilai s-alar dari komponen ve-tor dan ve-tor v x, v y, and v z se&a'ai komponen ve-tor itu sendiri Se&a'ai tam&a+an sd+ men(adi +al $a n' &iasa dalam mekanika uida untuk meref er pada x, y, and z, se&a'ai ara+ seperti +aln$a x1 x2 and x3G ini san'at &er'una
se&a'ai -onto+ saat &eker(a den'an su&s-ripts dalam notasi tensor Se-ara umum kita akan men'+indari notasi tensor se+in''a akan men'am&il notasi $an' &iasa dipakai $aitux y andz se&a'ai aksis Satu,satun$a pen'e-ualian adala+ s$m&ol untuk 2nd,order tensor stu sendiri dimana kita akan men'indikasikann$a den'an dua su&s-ript i and jG -onto+n$a stress tensor ij s$m&ol ini se+arusn$a diam&il untuk men$atakan se&ua+ 3 H 3 tensor den'an masukan!
zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij
"k+irn$a untuk alasan $an' tidak dapat di(elaskan suda+ umum dalam sika dan mekan ika uida dalam pen''unaan ij untuk menun(ukkan kedua +al
strain tensor )for elasti- solids* dan strain,rate tensor )for uids* al ini sepertin$a men(adi +al $an' mem&in'un'kan $an' se&enarna$ tidak perlu ada 0ita akan selalu merefer pada strain rate den'an sim&ol )men''unakan s$m&ol sika $an' umum untuk time,rate of -+an'e tanda titik diatas varia&el* se+in''a strain,rate tensor men(adi ij
Taylor Series expansion pada sebuah titik! serin' ter(adi dalam analisa &a+6a
kita perlu men'eta+ui &a'aimana se&ua+ partikel varia&le tertentu akan &eru&a+ ter+adap lin'kun'an sekitarn$a den'an nilai $an' diketa+ui Se&a'ai -onto+ kita ta+u nilai dariP pada se&ua+ titik tertentu dalam se&ua+ ruan' )&isa se&ua+ permukaan* tapi in'in men'eta+ui P pada (arak $an' san'at dekat 0arena P se&a'ai -onto+ mun'kin &ias ter'antun' pada x y z dan 6aktu kita dapat men'eta+ui dan tertarik pada &a'aimana peru&a+an $an' ter(adi se&a'ai respon atas peru&a+an $an' san'at ke-il
padax y z andt
Peru&a+an ini dapat dipa+ami se&a'ai terminolo'i pertama dari se&ua+ Ta$lor Series epansion pada se&ua+ titik Se&a'ai -onto+ den'an men''unakan varia&le pressure P assumsi &a+6a P diketa+ui pada titikx0GP P0 padax
x0 Variasi dalam P disekitar = di&erikan ole+ Ta$lor Series epansion! . . 6 2 3 3 3 2 2 2 0 0 x x P x x P x x P P P P P
&aatδx berni$ai ke'i$, atau kur"a berbentuk $urus dengan s$!pe yang k!nstan, #aka pressure P diperkirakan se'ara pasti !$eh suku perta#a deret Tay$!r &eries.
dimanaδx adala+ kenaikan ke-il (arak men(au+ darix0 pada ara+ x
Sekaran' karena δx = suku pada orde $an' le&i+ tin''i ) δx 2 danδx 3* le&i+ -epat men(adi nol di&andin'kan sukuδx dan ekspansin$a men(adi!
x x P P P 0
Se-ara 'eometri kita &ias sampaikan &a+6a den'anδx = kurvaP)x* men(adi 'aris utama $an' lurus tanpa &elokan apapun se+in''a slope men(adi konstan dan &erelasi linier antara δP P JP0 dan δx ntuk se&ua+ 'aris lurus $an'
sempurna slope akan &er'erak naik:menin'kat atau!
x P P x P x P ) 0(
Dan dapat disusun ulan' se&a'ai &erikut! x x P P P 0
Pada saatδx san'at ke-il maka semua kurva men(adi san'at lurus )all slopes are -onstant* dan kita dapat men''unakan suku pertama Ta$lor Series epansion untuk meli+at &a'aiman aP )atauvx atau apa sa(a* &eru&a+ ter+adapx )atau y
ataut atau apa sa(a* 0ita akan memakai &an$ak +u&un'an ini se+in''a +al ini men(adi pentin' untuk ta+u dari mana asaln$a
Force Balance for a Fluid:ulai dari <e6ton8s 2nd ;a6!
F m a dimana F adala+ pen(umla+an ve-tor dari for-e pada se&ua+ &od$:&endaG
a adala+ per-epatan &od$:&enda
Pertim&an'kan se&ua+ elemen ke-il uida Kx H K y H Kz $an' diset pada -oordinate s$stem den'anx dan y +orisontal danz diara+kan keatas Ini artin$a Lz men'ara+ ke atas
Terdapat 3)ti'a* tipe 'a$a $an' dapat ter(adi pada elemen uida ini $aitu!ody forces )karena &eratn$a selalu keara+ &a6a+*G pressure gradient forces )$an' &eker(a pada permukaan luar permukaan* daniscous forces )$an' (u'a &eker(a
pada &a'ian luar permukaan*
F body F pressure gradient F viscous a
m
Pressure 'radient for-e dan vis-ous for-e ditulis se&a'ai pen(umla+an karena se-ara umum akan terdapat le&i+ dari 1)satu*G &od$ for-e adala+ +an$a &erdasarkan 'ravitasi se+in''a +an$a ada satu dan selalu &eraksi ke &a6a+
pada ara+ Jz
#iasan$a kita mem&a'i semua suku den'an volum e V untuk men'+asilkan se&ua+ ekspresi untuk 'a$a per unit volume!
V F V F V F a V F V F V F V a m viscous gradient pressure body viscous gradient pressure body
Dimana kita ta+u &a+6aρ m:V
Ini adala+ persamaan umum kesetim&an'an 'a$a $an' &erlaku se&a'ai dasar untuk manipulasi,manipulasi &erikutn$a Ini adala+ prinsip <e6ton8s 2 nd la6 $an' diaplikasikan pada se&ua+ paket uida dan dapat diaplikasikan pada uida $an' &er'erak dan diam
Balance of Forces in motionless (static !uid: (ika uidan$a statik maka kita
tidak &er'erak maka tidak ada per-epatan dan tidak ada vis-ous for-es Se+in''a <e6ton8s 2nd ;a6 )per unit volume* men(adi!
V F V
F body
pressure gradient 0
Tin(aula+ se&ua+ element ke-il uida Kx H K y H Kz $an' terdapat pada koordinat sistem d' x dan y +orisontal dan z keara+ vertikal 0ita akan selalu memakai visualisasi ini
The Body Force: #od$ for-e adala+mHa dimana per-epatann$a merupakan g
$aitu per-epatan 'ravitasi pada permukaan &umi Per-epatan g men'ara+ ke&a6a+ pada Jz &iasan$a kita menuliskan per-epatan 'ravitasi se&a'ai +asil dari s-alar ' )&esarn$a nilai g pada permukaan &umi @?1 m:s2* dan se&ua+ unit ve-tor k pada ara+z 0arena k men'ara+ ke atas maka per-epatan 'ravitasi men(adi!
k g g
#od$ for-e per unit volume ak+irn$a men(adi! k g V k mg V F body
Dimana kita memakai +u&un'an V m
The pressure gradient forces: Tin(aula+ se&ua+ kotak ke-il uida d' dimensi Kx
K y dan Kz d' se&ua+ pressure $an' didi nisikan pada pusatn$a se&a'ai P0
pressure pada sisi se&ela+ kiri dan kanan kotak Den'an men''unakan Ta$lor Series epansion $' tela+ dideskripsikan diatas pressure pressure pada sisi se&ela+ kiri dan kanan kotak adala+!
Pada sisi se&ela+ kiri !
x P x P P L 2 0
pada sisi se&ela+ kanan !
x P x P P R 2 0
Setela+ menentukan pressure pada kedua sisi kotak sekaran' kita perlu meru&a+n$a ke for-e <e6ton8s ;a6 didasarkan pada (umla+ semua for-e &ukan te'an'an,te'an'an atau tekanan,tekanan Pressure adala+ for-e per unit
areaG spesikn$a adala+ for-e normal ter+adap permukaan!
A F
P
S+' F PA ;uas area pada sisi kanan dan
kiri dari element ke-il uida adala+ K yKz (adi for-e te' ak lurus pad a ara+ x dapat dituliskan! z y x x P P z y P F L L 2 0 dan z y x x P P z y P F R R 2 0
0esetim&an'an for-e sekaran' men(adi FL J FRG tanda ne'ative adala+ karena
'a$a pada sisi se&ela+ kanan kotak men'ara+ ke kiri ke ara+ Jx Mle+ karena itu for-e pada ara+ Jxadala+
V x P z y x x P z y x x P P z y x x P P F F L R 2 2 0 0
For-e ini &eraksi pada ara+ x dan merupakan komponenxdari total for-e f t+e total for-e $an' &erkenaan den'an pressure 'radients al ini dapat diekspresikan dalam notasi unit ve-tor se&a'ai!
i V x P F x pressure gradient
,Cara $an' sama dapat dipakai untuk ara+ y danzuntuk mendapatkan ekspresi pressure 'radient for-e pada ara+,ara+ terse&ut en''a&un'kan semuan$a akan didapatkan!
k z P j y P i x P V k V z P j V y P i V x P F pressure gradien t <ilai pada tanda diluar kurun' diatas dise&ut 'radient of t+e pressure dan ditulis se&a'ai
P
dan diu-a pkan Ndel,PO atau N'radient dari PO Ini merupakan 3,dimensional euivalent dari turunan dP:dx Perlu di-atat &a+6a 'radient dioperasikan pada area s-alar )-onto+ nilai s-alar untuk semuax y dan z* dan men'+asilkan se&ua+ vektor Bradient dapat dian''ap se&a'ai ara+ dan &esarn$a nilai dari peru&a+an kenaikanP
0ita dapat menuliskan 'radient dari sem&aran' fun'si s-alarG -onto+ 'radient temperature! k z j y i x
Ini dapat diintepretasikan se&a'ai ara+ dan &esarn$a nilai dari peru&a+an temperature
0em&ali pada pressure 'radient for-e kita dapat mem&a'in$a den'an K V dan men''unakan s$m&ol 'radient untuk men'ekspresikan pressure 'radient for-e per unit volume!
P V
F pressure gradient
"#uation of hydrostatics: Sekaran' kita tela+ men'em&an'kan epresi untuk
&od$ for-e dan pressure 'radient for-es kita dapat men''unakan mereka dalam epresi untuk <e6ton8s 2nd la6 di&a6a+ kondisi stati- )non,movin'*!
P k g V F V
F body pressure gradient
0 0persamaan terak+ir dapat disusun ulan' untuk mendapatkan persamaan +$drostati- $an' men''am&arkan &a'aimana pressure &ervariasi ketika air tidak &er'erak!
k g P
Perlu di-atat &a+6a ini merupakan persamaan ve-tor karena 'radient dari se&ua+ s-alar selalu se&ua+ ve -tor Fakta &a+6a komponen i dan jtidak ditemukan pada sisi se&ela+ kanan adala+ pentin' ini karena komponen xdan y dari 'radient adala+ nol Q ntuk menun(ukkan ini kita dapat menulis kem&ali
k g j i k z P j y P i x P P 0 0
atau dalam suku,suku dari ti'a persamaan s-alar untuk komponen,komponen ve-tor! g z P y P x P % 0 % 0
Den'an kalimat kita dapat men$atakan ! di&a6a+ kondisi +$drostati- tidak terdapat peru&a+an pressure pada kedua ara+ +orisontal tapi pressure menin'kat ter+adap kedalaman ),z* den'an la(u Jρg 0enaikan pressure ter+adap kedalaman men'+asilkan pressure 'radient for-e keara+ atas untuk men(adi pen$eim&an' &od$ for-e $an' keara+ &a6a+ $aitu &erat dari uida
$ncompressibility Condition! 0etika uida dii(inkan untuk &eru&a+ ke-epatan
dan masuk kedalam persamaan 'erak maka persamaan akan men(adi san'at rumit <amun demikian ketika densit$ uida konstan maka kemudian ada se&ua+ &atasan pentin' pada ke-epatan $an' dii(inkan untuk dimiliki #atasan ini dise&ut in-ompressi&ilit$ -ondition
Se-ara detail densit$ need not &e entirel$ -onstantR(ust -onstant in response to stress Den'an kata lain in-ompr essi&ilit$ -ondition men'asumsikan uida tidak dapat di -ompress ole+ stress pada permukaan (adi volume paket uida selalu konstan diseluru+ aliran <amun demikian ini tidak &erarti &a+6a densit$ tidak dapat &eru&a+ se&a'ai +asil dari peru&a+an komposisi )salinit$* atau temperature
Sekali la'i tin(aula+ se&ua+ element ke-il uida K x H K y H Kz pada se&ua+ koordinat s$stem den'an x dan y
+orisontal dan z men'ara+ ke atas dan tin(aula+ aliran $an' masuk dan keluar dari paket uida ini u massa dm:dt dapat ditulis se&a'ai pen(umla+an dari u pada ara+x y danz G -onto+
z y x dt dm dt dm dt dm dt dm
Tin(aula+ u massa pada ara+ x assa dapat diekspresikan se&a'ai produk dari ρV se+in''a dapat kita tulis!
x x dt dV dt V d dt dm ( )
karenaρ konstant Sekaran' semua uida &er'erak pada ara+ x mele6ati muka se&ua+ area A K yKz (adi peru&a+an volume dalam -+annel dapat ditulis dV d) Ax* K yKz dx Den'an kata lain
x x x zv y dt dx z y dt zx y d dt dV dt dm ) (
)epressi dV dt Av di'unakan san'at umum dalam +$dro'eolo'$* Sekaran' velo-it$vx diketa+ui pada pusat dari element ke-il uida namun &isa &eru&a+
disepan(an' ruan' (adi nilain$a +arus di+itun' pada muka se&ela+ kanan dan kiri element uida <ulai,nilai ini di+itun' den'an!
x v x v v and x v x v v x R x L 2 2 0 0
Den'an men'eta+ui velo-it$ pada kedua sisi dari element ke-il uida kita sekaran' dapat men'+itun' massa aliran $an' masuk dan keluar!
2 2 0 0 x x v v z y dt dm x x v v z y dt dm x R x L
Dan total massa akumulasi dalam element uida pada ara+x adala+!
&haded "!$u#e is * y* z , the area !+ the +a'e, ti#es the $ength idth x. &in'e the area d!esnt 'hange,
m x v z y x x v x x v v z y x x v v z y dt dm dt dm dt dm x x x x R L x 2 2 0 0
"r'ument $an' serupa menun(ukkan &a+6a akumulasi massa pada ara+ y danz adala+! m z v dt dm m y v dt dm z z y y
"k+irna$ total akumulasi massa dalam element uida adala+ !
z v y v x v m dt dm x y z
T+e fractional masswithdrawal is )penarikan se&a'ian massa kem&ali adala+ !*
z v y v x v dt dm m z y x 1
0ita men$e&ut penarikan karina adan$a tanda ne'ative ! ini merupakan Nne'ative a--umulationO Epressi ini dapat ditul is se&a'ai per&edaan dari velo-it$ dan di interpretasikan se&a'ai Nfra-tional 6it+dra6al of mass from a tin$ volume in spa-eO Per&edaan )T+e diver'en-e* diepresikan d' s$m&ol
dan selalu dioperasikan pada se&ua+ ve-tor untuk men'+asilkan se&ua+s-alar! z ! y ! x ! ! x y z
Den'an memakai +ukum konservasi massa &a+6a tidak ada massa $an' dapat di-iptakan atau dimusna+kan dalam se&ua+ volume uida $an' san'at ke-il &e'itu pula den'an adan$a per&edaan )t+e diver'en-e*Rdimana
men'ekspresikan nilai &ersi+ dari penarikan massa dari se&ua+ volume uida $an' san'at ke-il dan se+arusn$a +asiln$a adala+ nol adi kondisi in-ompressi&ilit$ dapat din$atakan se&a'ai!
0 z v y v x v v x y z
The acceleration: kita ter&iasa den'an konsep per-epatana dv:dt Per-epatan
ini muda+ dipa+ami selama se&ua+ o&(e-t &er'erak dalam se&ua+ 'aris lurus tapi ketika dia mulai &eru&a+ ara+:&er&elok,&elok dari lintasan lurusn$a maka per-epatan tidak dapat dipa+ami seperti diatas Tin(aula+ se&ua+ mo&il $' &er'erak san'at +alus disekitar se&ua+ lintasan &er&entuk lin'karan pada
ke-epatan konstan %= mp+ apaka+ ter(adi per-epatan Velo-it$ ve-tor pada setiap titik adala+ tan'ential ter+adap kurva lintasan s+' ketika mo&il &er'erak maka velo-it$ akan &eru&a+ ara+ )tapi tidak &esarn$a nilai* Saat velo-it$ ve-tor &eru&a+ maka disitu pasti ada per-epatanQ Dari sudut pandan' mo&il meman' tidak ada per-epatanRspeedometer tetap menun(ukkan %= mp+R tapi dari sudut pandan' pen'amat maka mo&il men'alami per-epatan selama men'alami &elokan pada lintasan
Dalam uida terdapat 2)dua* point pentin' untuk melakukan analisa ter+adap persoalan aliran 0eran'ka &erpikir *ulerian dipakai untuk! men'+itun' peru&a+an velo-it$ atau a--elerasi pada se&ua+ titik $an' tetap dalam ruan' 0ita dapat menuliskan ! v)x,y,z,t*G velo-it$ ter'antun' pada lokasi dan 6aktu dimana dili+ at Se-ara umum pake t uida akan &er'e rak mele6ati titik ini dalam ruan' dan kemudian identitas paket uida akan &eru&a+ den'an adan$a peru&a+an 6aktu Seandain$a se&a'ai -onto+ seseoran' men'in(eksikan setetes
tinta mera+ kedalam aliran Den'an tanpa memp ertim&an'kan difusi dan dispersi paket tinta mera+ ini akan mele6ati titik o&servasi dari a6al sampai ak+ir Se+in''a velo-it$ )atau per-epatan* dapat di+itun' pada saat $an' pasti ketika &erada pada titik terse&ut tidak se&elumn$a atau sesuda+n$a Se+in''a sudut pandan' Eulerian adala+ seperti seoran' pen'amat $an' meli+at mo&il $an' sedan' melintas
0eran'ka &erpikir agrangian san'at &ermanfaat pada saat kita in'in ikut &er'erak &ersama den'an partikel uida Dalam kasus ini kita men'analisa
ke-epatan se&a'ai fun'si 6aktu untuk se&ua+ paket uida dan didiidentikasi dari posisi a6al )x0 , y0 , z0* Se+in''a kita kita menentukan x)x0 , y0 , z0, t*G misaln$a!
kita menentukan lokasi paket uida pada saat men'alir dalam sistem Sudut pandan' ;a'ran'ian adala+ apa $an' dili+at ole+ seoran' pem&alap mo&il atau paket tinta mera+ uida $an' men'alir dalam sistem
Dalam keran'ka &erpikir Eulerian mo&il &alap $an' di'am&arkan diatas adala+ per-epatan Dalam sistem ;a'ran'ian tidak demikian asala+n$a adala+ &a'aimana kita men$atakan per-epatan dari se&ua+ &enda dalam keran'ka &erpikir Eulerian
al ini akan le&i+ muda+ dipa+ami (ika kita mulai dari fun'si s-alar seperti temperature "n''ap sa(a kita in'in menemukan peru&a+an temperature ter+adap 6aktu ketika T )x,y,z,t* Se&a'ai -onto+ an''apla+ se&ua+ sem&uran lava panas ke udara Temperaturn$a akan &eru&a+ men(adi din'in dan pendin'inan $an' ter(adi akan menin'kat karena udara (u'a semakin din'in den'an naikn$a ketin''ian
0arena T &er'antun' pada x y z dan t kita dapat menulis total peru&a+an temperature se&a'ai peru&a+an $an' dise&a&kan setiap varia&le $an' salin' &er+u&un'an! z y x t
adala+ total peru&a+an temperature $an' dio&servasi dalam &e&erapa 6aktu al ini diekspresikan se&a'ai temperature $an' &eru&a+ karena 6aktu dan posisi den'an setiap ara+ dipertim&an'kan se-ara terpisa+
ntuk t kita dapat menulis!
t t t
Dan serupa den'an itu untuk varia&le $an' lain!
z z y y x x x y z % %
"r'umen serupa tetap dipakai untuk variasiT den'anx y danz Sekaran' kita dapat menulis total peru&a+an temperaturΔT se&a'ai!
z z y y x x t t
Di&a'i den'an peru&a+an 6aktu Kt dan men'am&il limitΔt =!
z t z y t y x t x t t t t t 0 $i# se+in''a! z v y v x v t "t " z y x Ekspresi "t "
dise&ut su&stantial material atau parti-le derivative dan ini men'ekspresikan peru&a+an total se&ua+ varia&le dalam keran'ka &erpikir Eulerian Ini terdiri dari 2 &a'ian! peru&a+an lokal dan peru&a+an -onv e-tive Peru&a+an lokal di&erikan dalam &entuk !
t
Dan merupakan peru&a+an $an' akan ter(adi den'an adan$a 'erakan apapun Dalam kasus pendin'inan ini menun(ukkan &a+6a pendin'inan lava akan
ter(adi den'an -ukup den'an &erada dipermukaan &umi Peru&a+an -onve-tive terdiri dari 3 suku!
z v y v x v x y z
Dan merupakan peru&a+an temperature $an' di+asilkan dari per'erakan area temperature ke area temperature $an' lain $an' akan ter(adi meskipun (ika letusan tidak panas
Turunan $an' su&stansi dari ke-epatan adala+ ve-tor per-epatan dalam keran'ka &erpikir Eulerian
"t v "
a
Dalam kasus ini kita perlu men'am&il turunan su&stansi dari se&ua+ ve-tor ntuk melakukann$a kita men'am&il turunan su&stansial dari setiap komponen ve-tor ke-epatanG misaln$a
z z y y x x a "t "v a "t "v a "t "v % % se+in''a! k "t "v j "t "v i "t "v "t v " a x y z
#entukn$a -ukup pan(an' tapi &ias ditulis se&a'ai &erikut !
k z v v y v v x v v t v j z v v y v v x v v t v i z v v y v v x v v t v "t v " a z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x
The viscous forces: 0etika uida &erada dalam se&ua+ 'erakan maka internal fri-tion akan mem&entuk vis-ous stresses $an' se-ara umum &erla6anan den'an 'erakan uida al ini men$e&a&kan surfa-e for-es
Tidak seperti pressure for-e kita tidak dapat men'asumsikan &a+6a vis-ous surfa-e stresses adala+ te'ak lurus pada tiap permuka an ;e&i+ dari itu stress pada permukaan manapun &isa men'ara+ pada se&ua+ sudut $an' &eru&a+, u&a+ dan dapat dipe-a+kan dalam 3 komponen! satu te'ak lurus pada permukaan dan 2 $an' lainn$a parallel dan dalam ara+ -oordinate aksis Se+in''a tiap komponen vis-ous stress akan menun(ukkan 2 varia&el ! permukaan dan ara+ dimana dia &eker(a
se&a'ai -onto+ tin(aula+ vis-ous stress $an' &eker(a pada &a'ian atas permukaan dari se&ua+ paket ke-il uida seperti
terli+at pada 'am&ar Stress ini dapat dapat dipisa+kan dalam 3 komponen! satu te'ak lurus ter+adap permukaan )parallel ter+adap ara+z -oordinate* dan 2 pada permukaan dan parallel ter+adapx dan y kita men$e&ut keti'a stress
komponen $an' &eker(a pada permukaan ini se&a'ai zz zx danzy Su&s-ript
pertama menun(ukkan ara+ normal ter+adap permukaan )dan men'identikasi permukaan* sedan'kan su&s-ript kedua menun(ukkan ara+ dimana stress men'ara+
ika kita mem&a$an'kan paket ke-il uida men$usut ke &a6a+ sampai volumen$a men(adi nol kita dapat meli+at &a+6a stress pada permukaan $an' &erke&alikan akan identik Den'an demikian terdapat 3 set dari 2 muka $an' &erla6anan dimana vis-ous stress dapat &eker(a dan +al ini men'+asilkan total @
komponen vis-ous stress vis-ous stress tensor!
zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij
Se&ua+ tensor adala+ se&ua+ matri spe-ial dimana komponenn$a men'ikuti aturan transformasi $an' pasti Sim&ol i( adala+ se&ua+ &entuk notasi tensor dan masin',masin' terdiri dari se&ua+ 3 H 3 tensor )kita tidak perlu menuliskan semua komponen$aQ*
kita dapat men'eta+ui kesetim&an'an vis-ous for-e den'an se&ua+ analisa seperti $an' tela+ dilakuk an pada pressure 0emudian la'i tin(aula+ se&ua+ kotak ke-il uida den'an dimensi Kx K y dan Kz dan tin(aula+ kesetim&an'an 'a$a,'a$a dalamx,dire-tion Stress dalamx,dire-tion akan terdiri dari ti'a tipe! xx yx danzx Uan' pertama tin(aula+ 'a$a $an' &ersesuaian den'an stress $an'
&eker(a pada z plane )+oriontal den'an normal z* S+ear stress zx
didinisikan pada pusatn$a se&a'ai0 dan kita perlu men'eta+ui nilain$a pada
&a'ian atas dan &a6a+ permukaan Den'an men''unakan Ta$lor Series epansion kita dapatkan!
z z 0 2
Pada &a'ian atas
z z # 2 0
Pada &a'ian &a6a+ )-atatan! kita tidak men''unakan su&s-ripts pada karena terlalu mem&in'un'kanG dalam tiap kasus me,refer kezx* 'a$a adala+ H A
dimana A area Kx K yG misaln$a y x z z y x F 2 0 dan y x z z y x F # # 2 0
0esetim&an'an 'a$a sekaran' men(adiFT JF!G tanda ne'ative dikarenakan 'a$a
V z z y x z y x z x y x z z F F # 2 2 0 0
Ba$a ini &eker(a dalam ,dire-tion dan merupakan satu dari komponen x dari vis-ous stress 2 komponen lain adala+ dari stress xx dan yx Penurunan 'a$a
karena adan$a stress,stress ini identik den'an $an' ada se&elumn$a (adi todal 'a$a dalamx,dire-tion dapat ditulis!
z y x V V z V y V x F zx yx xx zx yx xx stresses viscous x ,Dan 'a$a per unit area dalam ,dire-tion!
z y x V F x viscous stresses xx yx zx
, ;o'ika $an' sama dipakai untuk y danz dire-tions (adi total for-e ve-tor karena vis-ous stresses adala+!
j z y x j z y x i z y x V
F viscous stres ses xx yx zx xy yy zy xz yz zz
0arena ekspresi ini sulit dipakai maka kita memakai notasi pendek untuk menun(ukkan konsep diver'en-e operator
$an' didinisikan se&a'ai!z ! y ! x ! ! x y z
Diver'en-e &eker(a pada se&ua+ ve-tor dan men'+asilkan se&ua+ s-alar dan dapat di'unakan se&a'ai ide untuk diterapkan pada 3 kolom vis-ous stress
tensor Se+in''a kita dapat menulis vis-ous for-es se&a'ai produk dari diver'en-e operation dan vis-ous stress tensor Ini &ukan merupakan ve-tor produ-t $an' n$ata karena diver'en-e operator tidak men'alikan masukan dalam tensorG tidak selalu &eker(a pada mereka Ekspresin$a adala+!
zz zy zx yz yy yx xz xy xx x y x
Den'an men''unakan aturan dot,produ-ts dari se&ua+ ve-tor dan se&ua+ matri ekspresi ini dapat diekspansi se&a'ai!
z y x z y x z y x x y x zy yy xy zy yy xy zx yx xx zz zy zx yz yy yx xz xy xx
Uan' merupakan 3 komponen vis-ous for-e ve-tor Se+in''a kita dapat men$eder+anakan ekspresi untuk vis-ous for-es se&a'ai &erikut!
ij stresses viscous V F
Cauchy%s "#uation of &otion: den'an memasukkan ekspresi $' diturunkan dari
a--elerasi &od$ for-es pressure 'radient for-es dan vis-ous for-es dalam ekspresi <e6ton8s 2nd ;a6 maka kita sampai pada Cau-+$8s Euation of otion $an' men''am&arkan 'erakan dari materi atau uida $aitu !
ij P k g "t v "
Catatan &a+6a ini merupakan persamaan $an' san'at rin'kas #entuk utu+ persamaann$a dalam -omponentx y danz adala+!
z y x z P k g z v v y v v x v v t v z y x y P z v v y v v x v v t v z y x x P z v v y v v x v v t v zy yy xy z z z y z x z zy yy xy y z y y y x y zx yx xx x z x y x x x
al pentin' tentan' persamaan ini! )a* +an$a komponen euation memiliki &od$ for-e karena 'ravitasi +an$a &eker(a pada ara+ )&* persamaan pada ,
and $,komponen adala+ sama ke-uali untuk su&s-ripts )-* euations tidak dapat diselesaikan dalam &entuk mereka +adir karena tekanan &elum kem&ali dari se'i velo-ities
ntuk meme-a+kan rumus ini untuk &a+an tertentu seperti -airan kita perlu men''anti ekspresi $an' meli&atkan ke-epatan untuk viskos stres 'radients
Constitutive 'elationship for iscous Fluids: Perilaku mekanis setiap su&stansi
dapat di(elaskan dalam +al stress dan strain dan +u&un'an antara varia&el, varia&el ini dise&ut +u&un'an konstitutif Se-ara umum +u&un'an konstitutif +arus ditentukan se-ara eksperimen dan &er&eda untuk setiap (enis &a+an )$aitu &atu plastik -airan 'as dll*
Se-ara matematis -onstitutive relations+ip adala+ antara stress tensor ij dan
strain tensor "ij )untuk ri'id solids* atau strain, rate tensor ij )untuk uids*
In'at &a+6a kita tela+ mem&edakan antara keduan$a den'an menempatkan titik ke-il diatas sim&ol pada strain untuk menun(ukkan strain rate al ini men(adi konvensi umum dalam sika untuk menun(ukkan turunan ter+adap 6aktu dari se&ua+ varia&el and le&i+ muda+ dis&andin' menuliskan
t
H 3 tensors $an' men'ikutin$a Strain,rate tensor memiliki @ -omponent seperti +aln$a stress tensor!
zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij
dan dia'onal xx yy and zz merepresentasikan normal strain rates )elon'ation -ontra-tion* dan diluar dia'onal strains merepresentasikan s+ear strains rates In'at &a+6a strain adala+ ukuran dari distorsi
Strain rates dalam strain,rate tensor dapat di'am&arkan dalam terms velo-it$ 'radients ;e&i+ dari sekedar mem&uktikan +al ini untuk semua terms dalam strain,rate tensor kita akan meli+at &a'aimana +al ini &eker(a den'an se&ua+ kasus $an' san'at seder+ana dari normal strain disepan(an' ,ais ;o'ika $an' sama akan mem&a6a kita pada epresi untuk elon'ation dalam $, dan , dire-tion 0emudian kita akan merepresentasikan sisa dari +asil,+asil s+ear strain rates $anpa perlu pem&uktian
Tin(aula+ perpan(an'an element dari uid $' &er'erak padax,dire-tion den'an ke-epatan $' tidak konstan Element mere'an' pada saat &er'erak dan men'+asilkan normal strain,rate dalamx,dire-tion Element memiliki pan(an' Kx dan men'alami strain )te'an'an* $an' stret-+es )tere'an'* men(adi Kx L Wx dalam 6aktu Wt Terminolo'$ men(adi sedikit mem&in'un'kan karena kedua Kx dan Wx merupakan kuantitas diXerensial $an' ke-il $an' akan mendekati ero <amun demikian Wx adala+ perpan(an'an $an' ke-il dari Kx dan selalu le&i+ ke-il dari Kx Strain"xx $aitu!
x x xx
Terdapat 3 -ara untuk menentukan relations+ip antara strain dan velo-it$ 'radient Uan' pertama adala+ se-ara intuitif kedua &erdasarkan intuitive nal step dan keti'a se-ara teliti 0ita akan melakukan keti'an$a
Cara $' seder+ana se-ara intuitive untuk mendapatkan solusi adala+ den'an memper+atikan &a+6a ke-uali ke-epatan &eru&a+ maka tidaka akan ada strain ika velo-it$ -onstant maka kemudian &a'ian kiri dan kanan dari &o &er'erak pada rate $an' sama dan &o tidak &eru&a+ setela+ 6aktu Wt Satu,satun$a -ara &o dapat &eru&a+ posisi:&entuk )ie stret-+G ie strain* adala+ (ika sisi &a'ian
kanan &er'erak le&i+ -epat di&andin' sisi se&ela+ kiri $an' akan ter(adi saat
x v x
Y= Pada ken$ataann$arate dari strain akan sama den' an x v x
karena ini merupakan (umla+ dari per'erakan sisi se&ela+ kanan $an' &er'erak le&i+ -epat dari sisi se&ela+ kiri adi kita dapat &er,intuisi (a6a&an se&a'ai!
x v xx
Dan ini adala+ (a6a&an $an' &enar
Cara $an' sedikit le&i+ detail untuk menun(ukkan relations+ip antara strain dan velo-it$ adala+ den'an men'am&il epresi untuk strain dan mem&a'in$a den'an time in-rement Wt!
t x x t x x t x x xx xx 1
Disini kita men''una kan lompatan intuisi $an' lain! term dalam tanda kurun' adala+ rate dimana in-rement Wx &ertam&a+ den'an 6aktu Ini dapat dipa+ami se&a'ai#i$erentia% ve%&'ity atau per&edaan dalam velo-it$ antara sisi se&ela+ kiri dan sisi se&ela+ kanan dari ori'inal &o
x v x v x v x v v v t x x L x L L R
Disini kita 'unakan Ta$lor Series epansion untuk men'ekspresikanvR se&a'ai
se&ua+ fun'si dari vL dan
x v x
Sekaran' den'an muda+ kita su&stitusikan epresi ini ke persamaan untuk strain rate untuk mendapatkan (a6a&an ak+ir!
x v x v x x t x x t e xx x x xx 1 1
"k+irn$a den'an -ara keti'a akan kita tun(ukkan (a6a&an den'an men'+itun' posisi a-tual dari &oundaries Wx dan menempatkann$a dalam denisi dari strain "m&ilL danR se&a'ai representasi posisi dari sisi se&ela+
kiri dan kanan Kx se&elum disp la-ement dan ( serta ) merepresentasikan sisi se&ela+ kiri dan kanan δ x setela+ displa-ement dalam 6aktu Wt 0ita dapat menuliskan posisi ( dan ) se&a'ai! t v R t v R R L
Dimana vL dan vR adala+ kevepatan pada sisi kiri dan kanan Kx 0ita dapat
memakai la'i Ta$lor Series epansion untuk men'ekspresikan vR dalam terms
vL ! x v x v v x L R
Su&stitusi ekspresi ini untuk ) diatas kita mendapat t x v x v R x L
t x x v t v R t x v x v R x L x L
0ita pasan' ini kedalam epresi untuk diXerential strain,rate
x v t x x v t x t x x t x x xx xx 1 1
Uan' mem&erikan (a6a&an $an' sama "r'ument $an' semisal menun(ukkan normal strain rates yy dan zz dia'onal element $an' lain dalam strain,rate tensor adala+! z v y v z zz y yy %
Ini adala+ -onto+ &a'aimana +an$a satu dari @ -omponent strain,rate tensor &er+u&un'an pada 'radient velo-it$ dalam x y dan z dire-tion 0ita tidak
menun(ukkan &a'aimana s+ear strain rates diekspresikan dalam terms velo-it$ 'radient tapi mereka dapat dikem&an'kan men''unakan (enis 'eometri- lo'i-$an' sama
Strain,rate tensor se-ara penu+ dapat diekspresikan dalam terms velo-it$ 'radient se&a'ai &erikut!
z v y v z v x v z v y v z v y v x v y v x v z v x v y v x v z z y z x z y y y x z x y x x zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Per+atikan &a+6a ini merupakan s$mmetri- tensorG $aitu terdapat &entuk simetri diantara element dia'onal Strain,rate tensor ini valid untuk semua
material termasuk uida Ini selalu men'ekspresikan strain rates se&a'ai fun'si dari velo-it$ 'radients dan dikonstruksi didalam dari 'eometr$
ntuk <e6tonian uids seperti air -onstitutive relations+ip antara stress tensor dan strain,rate tensor adala+ san'at rin'kas!
ij
ij
2
dimana* adala+ konstanta $an' dise&ut -oeZ-ient of vis-osit$ Perlu diin'at &a+6a -onstitutive relations+ip ini men(a'a denin' propert$ uidaG $aitu &a+6a s+ear stress seke-il apapun akan men'+asilkan strain al ini men(adi muda+ sekaran' )Q* untuk menulis stress tensor dalam terms strains dan kemudian dalam terms velo-it$ 'radients se&a'ai &erikut!
z v y v z v x v z v y v z v y v x v y v x v z v x v y v x v z v y v z v x v z v y v z v y v x v y v x v z v x v y v x v z z y z x z y y y x z x y x x z z y z x z y y y x z x y x x zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
Sekaran' kita dapat mensu&stitusi ekspresi ini untuk stress tensor kedalam ekspresi untuk <e6ton8s 2nd ;a6 )vis-ous for-es term*!
z v y v z v x v z v y v z v y v x v y v x v z v x v y v x v P k g P k g "t v " z z y z x z y y y x z x y x x ij 2 2 2
Tapi kita perlu mem&a6a diver'en-e operator pada stress tensor dan kita dapatkan ! z v z y v z v y x v z v x y v z v z y v y x v y v x x v z v z x v y v y x v x z v y v z v x v z v y v z v y v x v y v x v z v x v y v x v z z y z x z y y y x z x y x x z z y z x z y y y x z x y x x 2 2 2 2 2 2
Ini dapat diekspansi untuk men'+asilkan turunan kedua dan turunan melintan' )-ross,derivatives*!
z y v z x v y v x v z v z y v y x v z v x v y v z x v y x v z v y v x v y x z z z z x y y y z y x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
"k+irn$a lita pisa+kan term pertama dalam tiap &aris dan men$usun ulan' men(adi! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z v z y v z x v z v y v x v z y v y v y x v z v y v x v z x v y x v x v z v y v x v z y x z z z z y x y y y z y x x x x
Terms terak+ir pada tiap &aris sekaran' dapat diekspresika se&a'ai turunan parsial dari pe(umla+an!
z v y v x v z z v y v x v z v y v x v y z v y v x v z v y v x v x z v y v x v z y x z z z z y x y y y z y x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Tapi (umla+ dalam kurun' pada ak+ir dari setiap &aris merupakan per&edaan velo-it$ z v y v x v v x y z
Uan' &er+ar'a ero untuk in-ompressi&le o6Q Mle+ karena itu ti'a terms terak+ir pada tiap &aris dikeluarkan dan kita tutup den'an ti'a komponen vis-ous for-e ve-tor!
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z v y v x v z v y v x v z v y v x v z v y v x v z v y v x v z v y v x v z z z y y y x x x z z z y y y x x x
Se&a'ai -onto+ vis-ous for-e per unit volume dalamx,dire-tion men(adi!
2 2 2 2 2 2 z v y v x v x x x
Term dalam tanda kurun' selalu diekspresikan melalui ve-tor operasi $an' lain $an' dise&ut N;apla-ianO den'an s$m&ol
2
dan &erdinisi se&a'ai!
2 2 2 2 2 2 2 z ! y ! x ! !
In'at &a+6a + adala+ se&ua + s-alar dan ;apla-ian 2 men'+asilkan s-alar $an' lain
Sekaran' kita tela+ mendapatkan &a'ian terak+ir dari <avier,Stokes euations Den'an mensu&stitusikan ekspresi ini untuk mendapatkan per&edaan dari stress tensor maka kita sampai pada ekspresi ak+ir $an' menun(ukkan kesetim&an'an 'a$a,'a$a sesuai den'an <e6ton8s 2nd
la6! v P k g "t v " 2
'iga persamaan ini (satu untu+ setiap arah a/is) yang di+enal dengan ,aier-$to+es e0uations. ereka diaplikasikan untuk in-ompressi&le <e6tonian uids
$an' men'ikuti +u&un'an -onstitutive ij 2 ij Persamaan ini kemudian dapat (u'a dituliskan se&a'ai!
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z v y v x v z P k g z v v y v v x v v t v z v y v x v y P z v v y v v x v v t v z v y v x v x P z v v y v v x v v t v z z z z z z y z x z y y y y z y y y x y x x x x z x y x x x
$ntertial forces: <avier,Stokes euation dapat diintrepretasikan se&a'ai
pen(umla+an dari / )empat* 'a$a! 'ravitational &od$ for-eG pressure 'radient for-esG vis-ous for-esG dan inertial for-e Ti'a $an' pertama tela+ kita denisikan diatas Inertial for-e &er+u&un'an den'an a--eleration tapi apaka+ ini se&enarn$a
Tin(aula+ seoran' $an' &erdiri diatas se&ua+ kereta memakai roller skates )s+' tidak ada 'esekan den'an lantai* &er'era k pada ke-epatan konstan dalam x, dire-tion 0ereta melakukan pen'ereman dan per-epatan menurun men(adi
i a x
"pa $an' ter(adi den'an oran' tere&ut
a6a&ann$a ter'antun' pada sudut pandan' anda Dari sudut pandan' pen'amat $an' (au+ dari kereta maka tidak ada $an' ter(adi pada oran' ituQ Mran' terse&ut tetap mela(u ke depan meskipun kereta men'alami perlam&atan Perlam&atan kereta men$e&a&kan dindin' didepan oran' ini mena&rak dia Cerita $an' (au+ &er&eda dirasakan ole+ pen'amat $an' (u'a &erada sama didalam kereta Dari sudut pandan' dia maka dia merasa ti&a,ti&a &er'erak diper-epat keara+ depan se+in''a mena&rak &a'ian kereta $an ada didepann$a se+in''a dia dian''ap $an' mena&rak Per-epatann$a memiliki nilai $an' sama den'an perlam&atan pen'ereman kereta tapi den'an ara+ $an' &erla6anan G ie
a--eleration a xi Den'an <e6ton8s 2
nd la6 maka a--elerasi akan ter(adi karena adan$a 'a$a dimana pasti dalam ara+ Lx Ba$a ini $an' dise&ut inertial for-e
Inertial for-e adala+ 'a$a $an' mun-ul +an$a dalam keran'ka &erpikir ;a'ran'ian dan merupakan reaksi:aki&at dari 'a$a $an' di&erikan dalam keran'ka &erpikir Eulerian Ba$a ini men'+asilkan a--elerasi $an' sama nilain$a tapi &erla6anan ara+ den'an a--elerasi $an' ter(adi dalam keran'ka &erpikir Eulerian
Se+in''a kita dapat menulis ekspresi <e6ton8s 2nd la6 dalam term untuk semua 'a$a men''anti term per-epatan den'an inertial for-e!
V F V F V F V
F inertia$ body
pressure gradient
viscousDasar 'eori #odel 'urulent
ampir semua aliran uida $an' kita temui se+ari,+ari adala+ tur&ulen Conto+ umum adala+ aliran di sekitar mo&il pesa6at udara dan 'edun' !&n#ary %ayer dan a.es di sekitar dan setela+ &enda seperti mo&il pesa6at udara dan 'edun' adala+ tur&ulen Demikian pula aliran dan pem&akaran pada mesin piston tur&in 'as dan pem&akar adala+ san'at tur&ulen Per'erakan udara di ruan'an (u'a tur&ulen setidakn$a di sepan(an' dindin' dimana
ter&entuka%%-jets Se+in''a &ila kita men'+itun' aliran uida nampakn$a akan le&i+ &an$ak $an' merupakan tur&ulen
Pada aliran tur&ulen kita &iasa mem&a'i varia&le men(adi satu &a'ian rata,rata [ $an' merupakan varia&le independen ter+adap 6aktu )stead$* dan satu &a'ian uktuatif u se+in''a [ L u
Tidak ada denisi men'enai aliran tur&ulen namun ia memiliki &e&erapa (enis karakteristik 4Davidson 1@@9 seperti!
a Irre'ularitas "liran tur&ulen adala+ ire 'ular a-ak dan -+aoti- "liran ini terdiri atas spektrum den'an skala $an' &er&eda )ukuran edd$* dimana edd$ ter&esar adala+ pada orde 'eometri aliran Pada sisi lain dari spektra kita memiliki edd$ terke-il $an' ole+ 'a$a viskos )stress* didisipasikan men(adi ener'i dalam \alaupun tur&ulensi terse&ut -+aoti- namun dapat ditentukan dan di'am&arkan dalam persamaan <avier,Stokes
& Difusitas pada aliran tur&ulen difusitas menin'kat Ini &erarti la(u pen$e&aran lapisan &atas menin'kat ketika aliran men(adi tur&ulen Tur&ulensi ini menin'katkan pertukaran momentum pada lapisan &atas dan men'uran'i separasi pada &enda Penin'katan difusitas ini (u'a menin'katkan +am&atan )'esekan dindin'* pada aliran internal seperti pada kanal atau pipa
- #ilan'an Ae$nolds $an' &esar "liran tur&ulen ter(adi pada &ilan'an Ae$nolds $an' &esar Se&a'ai -onto+ transisi pada aliran tur&ulen pada pipa ter(adi pada AeD] 23== dan pada lapisan &atas pada Ae ] 1=====
d Ti'a dimensi "liran tur&ulen selalu ti'a dimen si <amun demikian ketika persamaan merupakan rata,rata ter+adap 6aktu kita dapat an''ap aliran se&a'ai dua dimensi
e Disipasi "liran tur&ulen adala+ disipatif $an' &erarti ener'i kinetik pada edd$ $an' ke-il diu&a+ men(adi ener'i dalam Edd$ $an' ke-il terse&ut menerima ener'i dari edd$ $an' a'ak &esar Edd$ $an' a'ak &esar terse&ut menerima ener'i dari edd$ $an' le&i+ &esar la'i dan seterusn$a Edd$
ter&esar mendapatkan ener'in$a dari aliran rata,rata Proses perpinda+an ener'i ini dari skala tur&ulen ter&esar ke skala terkeil dise&ut proses -as-ade f 0ontinum \alaupun kita memi liki skala tur &ulen ke-il pad a aliran namun
itu masi+ (au+ le&i+ &esar daripada skala molekuler dan kita dapat tetap men'an''ap aliran se&a'ai kontinum
21 Skala tur&ulen
Seperti tela+ dise&utkan diatas ada &an$ak skala pada aliran tur&ulen Skala ter&esar adala+ pada orde 'eometri aliran se&a'ai -onto+ adala+/&n#ary %ayer ti'.ness den'an %engt s'a%e ^ dan velo-it$ s-ale _ Skala terse&ut men'am&il ener'i kinetik dari aliran $an' memiliki skala 6aktu &er&andin' den'an &esar skala
Ener'i kinetik dari skala $an' &esar +ilan' men(adi skala $an' le&i+ ke-il dimana skala $an' &esar &erinteraksi elalui 'as'a#e r&'ess ener'i kinetik dipinda+kan dari skala ter&esar ke skala $an' le&i+ ke-il Pada skala terke-il 'a$a 'esek )vis'&s stress* men(adi terlalu &esar se+in''a ener'i kinetik didisipasikan )diu&a+* men(adi ener'i dalam )interna% energy* Disipasi dilam&an'kan den'an ` $an' merupakan ener'i tiap unit 6aktu dan unit massa )` 4m2:s3* Ba$a 'esek terdapat pada setiap skala namun 'a$a 'esek ini semakin &esar setiap semakin ke-il skala edd$ <amun (u'a kuran' tepat &ila dikatakan &a+6a edd$ menerima ener'i kinetik dari skala $an' le&i+ &esar dan kemudian mem&erikan seluru+n$a pada skala $an' le&i+ ke-il tanpa ada se&a'ian ke-il $an' terdisipasi <amun demikian diasumsikan &a+6a se&a'ian &esar ener'i )katakanla+ @=>* $an' &erasal dari skala $an' &esar pada ak+irn$a
didisipasikan pada skala terke-il )#issiative s'a%es*
Skala terke-il dimana disipasi ter(adi dise&ut skala kolmo'orov $an' memiliki skala ke-epatan skala pan(an' b dan skala 6aktu 0ita asumsikan &a+6a skala terse&ut ditentukan ole+ viskositas c dan disipasi ` 0arena ener'i kinetik di+an-urkan ole+ 'a$a viskos maka 6a(ar &ila kita asumsikan &a+6a
viskositas memiliki perasn dalam penentuan skala terse&utG semakin &esar viskositas semakin &esar skala #an$akn$a ener'i $an' +arus didisipasikan adala+ ` Semakin &an$ak ener'i $an' diu&a+ dari ener'i kinetik men(adi ener'i dalam semakin &esar 'radien ke-epatan $an' diperlukan Setela+ diasumsikan &a+6a skala disipasi ditentukan ole+ viskositas dan disipasi kita dapat (a&arkan
b dan dalam c dan ` men''unakan analisis dimensi
)21* Dimana di&a6a+ tiap varia&el dimensin$a di&erikan Dimensi sisi kiri dan kanan +arus sama 0ita akan dapatkan dua persamaan satu untuk meter 4m 1 2a L 2& )22*
Dan satu untuk detik 4s ,1 ,a J
3& )23*
Uan' men'+asilkan a&1:/ Den'an -ara $an' sama kita akan dapatkan pern$ataan untuk b dan se+in''a
)2/* 22 Spektrum ener'i
Skala tur&ulen terdistri&usi pada &e&erapa skala mulai dari skala ter&esar $an' &erinteaksi den'an aliran rata,rata +in''a skala terke-il dimana disipasi ter(adi Dalam ruan' &ilan'an 'elom&an' ener'i edd$ dari ke L d din$atakan se&a'ai
)25* Pern$ataan diatas menun(ukkan kontri&usi dari skala den'an &ilan'an 'elom&an' antara dan L d ter+adap ener'i kinetik tur&ulen k dimensi dari &ilan'an 'elom&an' &er&andin' ter&alik ter+adap pan(an' se+in''a dapat kita an''ap &a+6a &ilan'an 'elom&an' se&andin' den'an inversi dari (ari,(ari edd$
] 1:r total ener'i kinetik tur&ulen ditentukan den'an men'inte'rasikan keseluru+an ruan' &ilan'an 'elom&an'
)2%* Ener'i kinetik adala+ (umla+an dari ener'i kinetik dari keti'a komponen uktuasi ke-epatan
)29*
Bam&ar 21 Spektrum ener'i pada aliran tur&ulen 4Davidson 1@@9
Spektrum dari E ditun(ukkan pada 'am&ar 21 0ita dapatkan daera+ I II dan III $an' merupakan
I pada daera+ ini kita memiliki edd$ &esar $an' mem&a6a se&a'ian &esar ener'i Edd$ ini &erinteraksi den'an aliran rata,rata dan men'am&il ener'i dari aliran,rata,rata Ener'i ini kemudian dipinda+kan ke skala $an' le&i+ ke-ilVe%&'ity dan%engt s'a%e e##y terse&ut adala+ _ dan ^
II Daera+ inersial Eksistensi dari daera+ ini mens$aratkan &ilan'an Ae$nolds $an' tin''i ) +%%y tr/%ent &* Edd$ pada daera+ ini merepresentasikan daera+ perten'a+an Daera+ ini merupakan daera+ perpinda+an pada
-as-ade pro-ess Ener'i pada tiap unit 6aktu )`* &erasal dari edd$ &esar pada &a'ian &a6a+ daera+ ini dan di&erikan pada daera+ disipasi pada &a'ian $an' le&i+ tin''i Edd$ pada daera+ ini independen dari edd$ &esar
$an' men'andun' ener'i dan edd$ ke-il pada daera+ disipasi Dapat dikatakan &a+6a edd$ pada daera+ ini memiliki karakteristik aliran ener'i )`* dan ukuran edd$ 1:
III Daera+ disi pasi Edd $ pada daer a+ ini ke-il isot ropik dan merupakan tempat ter(adin$a disipasi Skala dari edd$ ditun(ukkan ole+ skala kolmo'orov
23 odel tur&ulen
0etika suatu aliran adala+ tur&ulen akan le&i+ muda+ (ika kita mem&a'i varia&el men(adi nilai,rata,rata dan nilai uktuatif -onto+!
)2?* Sala+ satu alasan men'apa kita memisa+kan varia&el terse&ut adala+ karena kita men'ukur kuantitas aliran 0ita &iasan$a le&i+ tertarik pada nilai rata,rata daripada +istori aliran terse&ut "lasan lain adala+ &ila kita in'in men$elesaikan persamaan <avier,Stokes se-ara numerik maka akan diperlukan 'rid $an' san'at +alus untuk men$elesaikan seluru+ skala tur&ulen dan (u'a akan diperlukan resolusi $an' san'at +alus pada samplin' 6aktun$a )aliran tur&ulen selalunstea#y
Persamaan kontinuitas dan persamaan <avier,Stokes din$atakan! )2@* )21=* Dimana )* ( men$atakan turunan ter+adap ( karena kita &er&i-ara pada daera+ aliran inkompresi&el )an'ka a-+ renda+* 0omponen dilatasi pada &a'ian kanan dapat dia&aikan se+in''a!
)211* arap diin'at &a+6a pen''unaan istila+ Ninkompresi&elO adala+ untuk men$atakan &a+6a#ensity independen ter+adap tekanan P 0 namun
&ukan &erarti &a+6a densit$ adala+ konstan densit$ (u'a dapat &er'antun' pada temperatur atau konsentrasi
Den'an memasukkan persamaan 2? ke dalam persamaan kontinuitas )2@* dan persam aan <avier ,Stokes )21=* kita akan dapatkan time average# persamaan kontinuitas dan persamaan <avier,Stokes
)212* )213* Se&ua+ kompo nen &aru uiu j mun-ul pada sisi kanan persamaan 213 $an' dinamakanReyn&%# 4tress Tens&r Tensor ini simetrik )-onto+! u1u2u2u1* Ini menun(ukkan korelasi antar uktuasi ke-epatan Ini (u'a merupakan komponen stress tam&a+an pada tur&ulen )uktuasi ke-epatan* $an' tidak diketa+ui 0ita memerlukan model &a'iuiu j untuk menutup sistem persamaan pada persamaan 213 Ini dise&ut '%&sre r&/%em umla+ $an' tidak diketa+ui )sepulu+! ti'a komponen ke-epatan tekanan dan enam stress* le&i+ &esar daripada (umla+ persamaan )empat! persamaan kontinuitas dan ti'a komponen persamaan <avier,Stokes*
ntuk aliran /&n#ary-%ayer stea#y dua dimensi )-onto+!/&n#ary %ayer sepan(an' plat datar aliran kanal aliran pipa (et alirana.e dan sema-amn$a* dimana!
)21/* persamaan 213 men(adi
