ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
NURHAFNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
NURHAFNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
NURHAFNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Analisis Regresi
Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol adalah karya saya sendiri dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2008
Nurhafni
ABSTRACT
NURHAFNI. Truncated Regression Analysis with Some Zero Observations. Supervised by SISWADI and N. K. KUTHA ARDANA.
In social research survey, the use of household data is often hindered by the occurrence of zero consumption or zero expenditure in the sample. Such zero observations arise as households participating in the survey typically do not consume certain commodity. The aim of this thesis is to evaluate truncated regression with some zero observations on dependent variable. This implies on the method of estimating the regression parameters. The estimation methods used in this research are Ordinary Least Square (OLS), Weighted Least Square (WLS), and Heckman’s two step method. The data applied in this paper are generated using software SAS 9.1 with 8% proportion of zero observations. The following results are obtained. Based on the bias, variance, and Mean Square Error (MSE) of the estimates as well as the MSE for model validation, OLS and WLS methods have relatively similar results. They tend to be better compared to the Heckman’s two step method. Therefore, for the similar pattern of the data, it is recommended to use OLS since it is a well known and simple method.
Keywords : truncated regression, Ordinary Least Square (OLS), Weighted Least Square (WLS), Heckman’s two step estimator
RINGKASAN
NURHAFNI. Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol. Dibimbing oleh SISWADI dan N. K. KUTHA ARDANA.
Dalam penelitian survei ekonomi sosial, penggunaan data rumah tangga sering diusik dengan kehadiran zero consumption atau zero expenditure dalam sampel. Nilai amatan nol tersebut terjadi karena rumah tangga yang berpartisipasi pada survei tidak mengonsumsi komoditas tertentu, yang disebabkan oleh beberapa faktor yaitu adanya variasi pada preferensi konsumsi/rumah tangga, harga komoditas yang relatif tinggi, kesalahan pada pelaporan dan survei hanya dicatat pada periode tertentu, tidak bertepatan dengan pembelian aktual.
Model regresi merupakan suatu alat untuk menganalisis data survei dan parameter yang diduga dari suatu model regresi tersebut sering memberikan gambaran secara umum. Dari sudut pandang pemodelan statistika, masalah tersebut berimplikasi pada metode pendugaan yang sesuai untuk menduga parameter dari model yang dipakai.
Penelitian sebelumnya membandingkan model regresi biasa, model Tobit dan regresi terpotong (Truncated Regression) pada data konsumsi rumah tangga, dengan mengikutkan zero consumption dan tanpa zero consumption. Dalam penelitian tersebut digunakan metode pendugaan OLS dan MLE dan hasilnya menyatakan bahwa metode OLS lebih baik dari MLE.
Penelitian ini dilakukan untuk mengevaluasi regresi terpotong dengan beberapa nilai amatan nol pada peubah respons pada model, yaitu
. Pendugaan parameter yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square, OLS), metode kuadrat terkecil terboboti (Weighted Least Square, WLS) dan penduga dua tahap Heckman (Heckman’s two step estimator). Selanjutnya adalah untuk mengetahui metode manakah di antara ketiga metode tersebut yang akan menghasilkan penduga yang baik pada proporsi nol yang dicobakan.
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data bangkitan dari distribusi normal dengan proporsi nilai amatan nol sekitar 8% (16 amatan nol dari 192 amatan contoh), pembangkitan dilakukan dengan software SAS 9.1
Hasil penelitian menunjukan nilai bias dugaan parameter dari ketiga metode dapat dikatakan sama antara satu dengan yang lain walaupun ada kecenderungan metode WLS lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai bias dugaan pada bernilai positif atau nilai dugaan berbias ke atas. Sedangkan nilai bias dugaan pada yang bernilai negatif atau berbias ke bawah. Nilai ragam dugaan dari setiap parameter pada metode dua tahap Heckman relatif lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai ragam dugaan metode OLS dan WLS dapat dikatakan sama walaupun ada kecenderungan nilai ragam metode OLS lebih kecil dibandingkan dengan metode WLS. Nilai MSE metode dua tahap Heckman relatif paling besar dibandingkan dua metode yang lain. Nilai MSE metode OLS dan WLS dapat dikatakan sama pada semua parameter, tetapi secara keseluruhan nilai MSE metode WLS cenderung lebih kecil dibandingkan dengan OLS. Begitu juga dari nilai MSE validasi model, metode OLS dan WLS relatif lebih baik dari metode dua tahap Heckman.
Secara umum penduga OLS dan WLS lebih baik dan lebih efisien dari metode dua tahap Heckman. Dari hasil tersebut maka disarankan untuk data yang mempunyai pola yang sama, metode OLS dapat digunakan. Selain memberi sifat-sifat yang baik, metode ini sudah umum dikenal, mudah dipahami, prosedur
©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008
Hak Cipta dilindungi undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
NURHAFNI
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis : Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol Nama : Nurhafni NIM : G551060251 Disetujui, Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Dekan Sekolah Pasca Sarjana Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2007 ini adalah membandingkan metode pendugaan parameter, dengan judul Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol.
Penulis sangat berterima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing atas saran, bimbingan dan nasehatnya selama penelitian dan penulisan tesis ini. Terima kasih juga disampaikan kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, MS sebagai penguji luar komisi yang telah banyak memberikan masukan untuk perbaikan tesis ini selama dalam persidangan tesis. Terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan izin dan bantuan beasiswa kepada penulis untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Kepada suamiku Sumarhalin, anakku tersayang Fascha Ahmad, orang tua serta seluruh keluarga, terima kasih atas segala kasih sayang, pengertian dan doanya. Terakhir, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada rekan-rekan atas segala bantuannya dan doanya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2008
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Pura pada tanggal 28 Agustus 1976 dari ayah Ahmad Mansyuruddin dan ibu Helmi Yus. Penulis merupakan anak pertama dari lima bersaudara.
Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri Tanjung Pura Kabupaten Langkat dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk USU Medan. Penulis memilih Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1999.
Tahun 1999 penulis bekerja sebagai tenaga honorer di Madrasah Aliyah Negeri 2 Tanjung Pura sampai tahun 2006.
Tahun 2005 penulis masuk PNS di Departemen Agama, bekerja sebagai staf pengajar diperbantukan di Madrasah Tsanawiyah Swasta (MTsS) Jam’iyah Mahmudiyah Tanjung Pura sampai sekarang.
Pada tahun 2006 penulis masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2008.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiii
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1
Tujuan dan Manfaat ... 3
TINJAUAN PUSTAKA Metode Kuadrat Terkecil Biasa ... 4
Metode Kuadrat Terkecil Terboboti ... 5
Regresi Terpotong ... 8
Regresi Tobit ... 8
Model Probit ... 10
Penduga Dua Tahap Heckman ... 12
Sifat-sifat Penduga yang Baik ... 13
METODE PENELITIAN Sumber Data ... 16
Tahap Analisis ... 16
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Pendugaan Parameter ... 23
Evaluasi Metode Pendugaan ... 27
Validasi Model ... 34
KESIMPULAN DAN SARAN ... 37
DAFTAR PUSTAKA ... 39
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Nilai peubah penjelas pada data asal ... 17 2 Nilai bias dugaan dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 28 3 Nilai ragam dugaan dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 30
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Flowchart dari tahap analisis penelitian ... 20
2 Diagram kotak nilai dugaan untuk keseluruhan parameter pada tahap
pendugaan parameter ... 24 3 Diagram kotak nilai dugaan untuk tiap-tiap parameter pada tahap
pendugaan parameter ... 24 4 Grafik nilai bias dugaan dari keseluruhan parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 28 5 Grafik nilai bias dugaan dari tiap-tiap parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 29 6 Grafik nilai ragam dugaan dari keseluruhan parameter ( ) dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 30 7 Grafik nilai ragam dugaan dari tiap-tiap parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 31 8 Grafik nilai MSE dugaan dari keseluruhan parameter ( ) dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 32 9 Grafik nilai MSE dugaan dari tiap-tiap parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 33 10 Diagram kotak nilai MSE untuk validasi model dengan metode OLS, WLS
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Program simulasi data ... 40
2 Program pendugaan parameter ... 42
OLS ... 42
WLS ... 43
Dua tahap Heckman ... 45
3 Hasil pendugaan parameter yang diperoleh dari masing-masing metode pendugaan parameter ... 48
4 Nilai MSE validasi model dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 51
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu metode penelitian sosial ekonomi yang sangat luas penggunaannya adalah metode penelitian survei. Penelitian survei bertujuan untuk mendeskripsikan fenomena sosial ekonomi tertentu, mengadakan evaluasi dan melakukan prediksi mengenai fenomena tersebut.
Salah satu penelitian survei yang rutin dilakukan di Indonesia adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) yang diselenggarakan oleh Biro Pusat Statistik (BPS). Salah satu peubah sasaran adalah konsumsi/pengeluaran rumah tangga yang dikumpulkan setiap tiga tahun sekali. Survei ini biasanya dilakukan untuk mendapatkan informasi mengenai barang dan jasa yang dibeli konsumen serta berapa besar pengeluarannya. Data yang terkumpul digunakan untuk mempelajari perilaku konsumen, memonitor tingkat kesejahteraan pada kelompok masyarakat, dan untuk pengambilan kebijakan pajak maupun politik pemerintah (BPS, 2003).
Perkembangan ilmu sosial ekonomi menuntut analisis kuantitatif untuk melihat dan menganalisis hubungan peubah-peubah yang saling terkait. Dimulai dari hubungan dalam teori ekonomi lalu diformulasikan ke persamaan matematika dengan membuat model, sehingga dapat diukur. Model regresi merupakan suatu alat untuk menganalisis data survei dan parameter yang diduga dari suatu model regresi tersebut sering memberikan gambaran secara umum. Dari sudut pandang pemodelan statistika, masalah tersebut berimplikasi pada metode pendugaan yang sesuai untuk menduga parameter dari model yang dipakai.
Permasalahan yang sering dihadapi pada survei konsumsi/pengeluaran rumah tangga adalah diperolehnya nilai amatan nol. Hal tersebut sering dijumpai karena adanya rumah tangga yang tidak mengonsumsi komoditas tertentu, dikenal dengan istilah zero consumption/zero expenditure. Akibatnya akan menyulitkan penggunaan data rumah tangga karena peubah respons pada fungsi permintaannya mengandung zero consumption/zero expenditure. Ada beberapa faktor yang menyebabkan fenomena zero consumption/zero expenditure, di antaranya adalah 1) adanya variasi pada preferensi konsumen atau rumah tangga, 2) harga
2
komoditas yang cukup mahal, 3) kesalahan pada pelaporan 4) survei hanya dicatat pada periode tertentu, tidak bertepatan dengan pembelian aktual. Bagaimanapun di antara rumah tangga terdapat variasi yang luas dalam kuantitas atau jumlah yang dikonsumsi, sehingga kemungkinan ada sejumlah nilai amatan nol.
Kemalawaty (1999) yang menggunakan data Susenas dalam penelitian mengenai sistem permintaan makanan di daerah Aceh menggabungkan beberapa rumah tangga sesuai dengan interval besar anggaran pengeluaran untuk mencegah nilai amatan nol, padahal model yang digunakan menghendaki semua rumah tangga contoh mengkonsumsi semua komoditas yang dianalisis.
Ada juga sebagian peneliti tidak menganalisis data zero consumption, hal ini tentu saja mengurangi informasi, ukuran sampel dan tidak mencerminkan keadaan yang sebenarnya karena berkurangnya rumah tangga contoh.
Virgantari (2005), membandingkan model regresi biasa, model Tobit dan regresi terpotong (Truncated Regression) pada data konsumsi rumah tangga, dengan mengikutkan zero consumption dan tanpa zero consumption. Dalam kajian penerapan metode kuadrat terkecil biasa (Ordinary Least Square, OLS) dan metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood, ML), disimpulkan bahwa berdasarkan nilai Mean Square Error (MSE) serta penyimpangan asumsi, secara umum dapat dikatakan metode OLS memberikan hasil yang lebih baik daripada menggunakan metode ML.
Banyak metode pendugaan yang biasa digunakan dalam analisis regresi atau untuk menduga parameter model yang digunakan. Metode kuadrat terkecil biasa sangat populer digunakan, karena secara teori metode tersebut mudah dan cukup baik apabila asumsi klasik dipenuhi. Semakin banyak nilai amatan nol pada data yang diperoleh akan menyebabkan terjadinya penyimpangan asumsi klasik, sehingga diperlukan metode pendugaan yang lain, seperti metode kuadrat tekecil terboboti (Weighted Least Square, WLS) dan metode penduga dua tahap Heckman (Probit dan OLS) yang akan dibahas dalam penelitian ini.
3
Tujuan dan Manfaat
Tujuan penelitian ini mengevaluasi model regresi terpotong dengan beberapa nilai amatan nol, dengan metode kuadrat terkecil biasa (OLS), metode kuadrat terkecil terboboti (WLS) dan penduga dua tahap Heckman (Probit dan OLS) untuk memperoleh metode pendugaan yang terbaik.
Dari hasil penelitian ini diharapkan dapat diperoleh suatu metode pendugaan parameter yang terbaik dalam penelitian yang banyak melibatkan nilai amatan nol seperti pada pola konsumsi/pengeluaran rumah tangga, sehingga diharapkan pendugaan pola konsumsi dan model fungsi permintaan dapat memberikan gambaran yang lebih rinci dan tepat tentang perilaku konsumsi rumah tangga. Informasi yang dihasilkan dapat bermanfaat lebih jauh bagi perencanaan kebijakan dan peningkatan konsumsi pangan.
4
TINJAUAN PUSTAKA
Pendugaan parameter pada model regresi dapat diselesaikan dengan metode pendugaan yang berbeda, seperti OLS, WLS, penduga dua tahap Heckman yang akan digunakan dalam tulisan ini.
Metode Kuadrat Terkecil Biasa (OLS)
Persamaan regresi linear adalah persamaan antara satu peubah respons (Y) dengan satu atau lebih peubah penjelas (X1, X2, X3, …, Xp). Hubungan antara peubah-peubah tersebut dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan,
(1) Atau dalam bentuk matriks,
dengan X adalah matriks peubah penjelas berukuran n × k, Y adalah vektor peubah respons berukuran n × 1, adalah vektor parameter berukuran k × 1, adalah vektor galat atau sisaan berukuran n × 1 (n adalah banyaknya amatan dan
k = p + 1 adalah banyaknya parameter ). Asumsikan
, .
Pendugaan parameter dalam model regresi linear dilakukan dengan meminimumkan kuadrat sisaan atau
(2) Sebagai nilai dugaan, maka dipilih ß sedemikian rupa sehingga nilai minimum. Caranya adalah dengan mendiferensialkan persamaan (2) terhadap ß dan kemudian disamakan dengan nol, yaitu:
(3)
Sehingga diperoleh:
(4) dengan matriks koragam dari penduga adalah :
(5) dengan adalah matriks non singular (Draper and Smith, 1981).
5
Jika matriks
singular, maka penduga ß dicari dengan matriks kebalikan umum. Penduga tersebut tidak bersifat unik, dan solusi umumnya (Kshirsagar, 1983) adalah:
(6) di mana adalah matriks idempoten berukuran p × p yang mempunyai sifat pangkat H = pangkat S = pangkat X = tr H; dan z adalah vektor sembarang, sedangkan
(7) di mana adalah kebalikan umum dari S= .
Metode OLS merupakan metode pendugaan yang sering dipakai pada analisis regresi klasik. Hal ini berdasarkan pada kenyataan bahwa penduga OLS relatif lebih mudah dan selalu tersedia pada software statistika, penduga OLS merupakan penduga tak bias linear terbaik (BLUE).
Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (WLS)
Asumsi yang biasa dibuat mengenai model regresi linear
adalah . Kadang-kadang asumsi tersebut tidak
terpenuhi, dan modifikasi metode kuadrat terkecil diperlukan ketika
, di mana merupakan matriks n × n. Jika matriks diagonal dengan
elemen diagonal yang tidak sama, maka amatan Y tidak berkorelasi tetapi mempunyai ragam yang berbeda. Jika selain elemen diagonal pada adalah tak nol, maka amatan Y ada yang saling berkorelasi.
Secara formal, andaikan model
(8) diketahui, tidak perlu diketahui penduga kuadrat terkecil biasa tidak lagi sesuai. Pendekatan masalah ini dilakukan dengan transformasi model pada himpunan amatan baru yang memenuhi asumsi kuadrat terkecil dan selanjutnya menggunakan OLS pada data yang telah ditransformasi. Karena merupakan matriks koragam dari galat, adalah sebarang matriks tak singular dan definit positif, maka terdapat matriks simetrik tak singular K berukuran n × n, di mana Matriks K disebut akar kuadrat dari .
6
Definisikan peubah-peubah baru
maka model regresi menjadi atau
(10)
Dengan demikian elemen mempunyai nilai tengah nol, ragam konstan dan tak berkorelasi. Karena galat pada persaman (10) memenuhi asumsi biasa, sehingga OLS dapat digunakan. Fungsi kuadrat terkecil adalah
(11)
Dengan pendiferensialan secara parsial terhadap dan menyamakan hasil yang diperoleh dengan nol, sehingga diperoleh persamaan normal kuadrat terkecil,
(12)
dan solusi persamaan tersebut adalah :
(13)
disebut penduga kuadrat terkecil umum (Generalized Least Square, GLS) dari , dengan matriks koragam dari penduga adalah :
(14) (Montgomery and Peck, 1992).
Jika struktur dari matriks koragam tidak diketahui, atau matriks tidak diketahui maka untuk metode pendugaaan parameter GLS pada persamaan (13) perlu diduga dari data selain pendugaan parameter dengan menggunakan metode OLS. Metode GLS secara khusus memerlukan proses iterasi. Dalam prakteknya,
secara khusus tidak diketahui, maka pendugaan parameter dengan metode GLS tidak dapat diperoleh. Dengan menggantikan penduga untuk pada persamaan (13) menghasilkan penduga yaitu
(15)
dengan yang berunsur n(n+1)/2 parameter, sehingga terlalu banyak untuk diduga dari n amatan. Pendugaan yang tepat dari tidak akan mungkin kecuali pembatasan pada elemen ditentukan atau strukturnya harus ditentukan pada model jika diproses.
7
Jika galat mempunyai ragam tak sama, maka = diag dan bentuk khusus dari GLS ini disebut sebagai metode kuadrat terkecil terboboti (Weighted
Least Square, WLS). Dalam kasus ini K = diag = dan . Diasumsikan struktur sederhana dari sehingga merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonal yang mungkin berbeda,
(16)
yang artinya elemen Y tidak berkorelasi tetapi mempunyai ragam yang berbeda. Untuk menentukan penduga WLS, tansformasi matriks yang diinginkan adalah,
(17)
Algoritma WLS jika struktur tidak diketahui dapat ditulis dalam langkah-langkah sebagai berikut :
1 Regresikan Y dengan konstanta dan semua peubah bebas atau menduga parameter dengan OLS, menghasilkan sebagai dugaan awal.
2 Tentukan galat dari regresi pada langkah pertama.
3 Analisis galat dan tentukan pembobot atau dugaan dari yaitu yang merupakan matriks diagonal.
4 Duga kembali parameter dengan menyelesaikan persamaan (15) untuk memperoleh yang baru, atau dilakukan dengan memerhatikan bahwa dapat didekomposisikan sebagai dan dugaan parameter dapat diperoleh dengan membentuk pembobot dan melakukan regresi kuadrat terkecil terboboti dengan mentransformasi semua peubah pada langkah pertama dengan mengalikan setiap peubah termasuk konstanta dengan bobot yang dibentuk pada langkah sebelumnya.
5 Ulangi langkah 2, 3, 4 sampai
8
Regresi Terpotong
Menganalisis data survei rumahtangga misalnya pengeluaran rumahtangga pada suatu barang dengan menggunakan model regresi dengan memerhatikan kenyataan bahwa pengeluaran (peubah respons pada model regresi) tidak mungkin negatif.
Peubah respons dalam model regresi diamati pada seluruh daerah hasil (range). Peubah respons dikatakan terpotong jika sebagian dari amatan merupakan nilai minimum atau maksimum, karena peubah terpotong tidak diamati pada seluruh daerah hasil. Sebuah sampel dikatakan terpotong jika data hanya diperoleh pada himpunan bagian dari keseluruhan populasi.
Dalam studi ini peubah respons dikatakan terpotong pada titik c bila nilainya
c dianggap bernilai c atau Y didefinisikan sebagai berikut :
(18)
(Maddala, 1983).
Model Tobit
Model ini pertama kali dibicarakan oleh Tobin (1958), yang menganalisis pengeluaran rumahtangga pada suatu barang menggunakan model regresi dengan memerhatikan kenyataan bahwa pengeluaran (peubah respons pada model regresi) tidak mungkin negatif. Untuk data dengan beberapa nilai amatan nol, metode kuadrat terkecil tidak sesuai karena asumsi klasik tidak terpenuhi. Karena Tobin menghubungkan studinya pada analisis Probit, maka model ini juga disebut model Tobit oleh Goldberger (Amemiya, 1984).
Maddala (1983) mendefinisikan model Tobit sebagai berikut:
(19)
Pada model ini , adalah vektor parameter berukuran k × 1, adalah vektor peubah penjelas berukuran k × 1, termasuk unsur 1 bila dengan intersep, dan adalah galat yang saling bebas dan berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan ragam .
9
Pendugaan parameter menurut Maddala (1983) dilakukan dengan memisahkan amatan peubah respons yang bernilai nol dan positif. Misalkan N0 adalah banyaknya amatan di mana yi = 0 dan Ni adalah banyaknya amatan
yi > 0, dan didefinisikan:
(20)
(21)
(22)
(23)
dan masing-masing merupakan fungsi kepekatan peluang dan fungsi distribusi kumulatif normal baku yang dievaluasi pada .
Misalkan,
(24)
merupakan vektor N1 amatan tak nol berukuran 1 N1 merupakan matriks nilai-nilai untuk amatan
tak nol berukuran k N1
merupakan matriks nilai-nilai untuk amatan 0 berukuran k N0
merupakan vektor nilai-nilai untuk amatan 0 berukuran 1 N0
Untuk amatan 0, diketahui bahwa
Untuk amatan 0, diperoleh
(25)
Pada model regresi linear fungsi kemungkinan merupakan fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah respons Y. Karena faktor sisaan merupakan peubah
10
acak yang saling bebas, maka juga merupakan peubah acak yang saling bebas sehingga fungsi kemungkinan persamaan (19) adalah
(26)
di mana suku pertama meliputi N0 amatan untuk 0 dan suku kedua N1 amatan untuk 0 dan log-fungsi kemungkinan adalah
(27)
di mana penjumlahan So meliputi N0 amatan untuk 0 dan S1 meliputi N1 amatan untuk
Dengan memaksimumkan log-fungsi kemungkinan dengan menggunakan turunan pertama log L terhadap ßdan s2 akan diperoleh
(28)
(29)
sehingga solusi persamaan (28) dan persamaan (29) adalah
(30)
(31) di mana merupakan penduga yang diperoleh dari N1 nilai amatan tak nol. Persamaan (31) menunjukkan hubungan antara penduga kemungkinan maksimum (ML) dan OLS yang diperoleh dari nilai amatan tak nol.
Model Probit
Jika peubah respons merupakan peubah boneka (dummy variable), regresi OLS tidak sesuai. Regresi OLS akan menghasilkan ramalan-ramalan yang tidak tepat, yang dapat bernilai lebih besar dari 1 atau kurang dari 0, selain akan melanggar asumsi homogenitas karena sifat diskret peubah respons (Salvatore and Reagle, 2002).
Sebuah pendekatan alternatif untuk mengatasi masalah peubah respons bersifat dikotomi, disebut model analisis Probit (Golberger, 1964), diasumsikan bahwa terdapat peubah respons yi yang didefinisikan dengan hubungan regresi
11
(32) dan berdistribusi normal baku, . Dalam prakteknya tidak
teramati, yang diamati peubah boneka Y yang didefinisikan
(33)
Dalam kasus ini nilai-nilai amatan Y merupakan realisasi dari proses binomial sehingga fungsi kemungkinan diasumsikan mengikuti distribusi binomial.
Dari (32) dan (33), peluang dari amatan adalah:
= (34) di mana merupakan fungsi distribusi kumulatif (cdf) untuk . Asumsikan
saling bebas, diperoleh fungsi kemungkinan sebagai berikut
(35) Notasi dan masing-masing merupakan fungsi kepekatan dan fungsi distribusi kumulatif normal baku, sehingga fungsi kemungkinan model Probit yang berkaitan dengan persamaan (33) dapat ditulis
(36)
dan log fungsi kemungkinan
(37)
Turunan log L terhadap ß menghasilkan
(38)
Penduga kemungkinan maksimum dapat diperoleh sebagai solusi dari persamaan 0. Persamaan tersebut tidak memberikan bentuk tertutup sehingga akan diselesaikan secara numerik (Maddala, 1983).
12
Penduga dua tahap Heckman (Probit dan OLS)
Pendugaan parameter model Tobit dengan OLS untuk semua amatan atau hanya amatan positif akan menghasilkan penduga parameter yang bias dan tidak konsisten, sehingga diperlukan alternatif lain. Selain menggunakan metode kemungkinan maksimum, pendugaan parameter model Tobit dapat dilakukan dengan dua tahap atau lebih dikenal dengan istilah Heckman’s two step estimator (Maddala, 1983 dan Amemiya, 1985).
Andaikan model pada persamaan (19) dan amatan positif diperoleh,
(39) di mana suku terakhir pada ruas kanan secara umum tak nol. Hal ini menyebabkan sifat bias penduga OLS menggunakan amatan positif . Karena asumsi kenormalan pada , persamaan (39) dapat ditulis menjadi
(40)
di mana dan masing-masing merupakan fungsi kepekatan peluang dan fungsi distribusi kumulatif normal baku yang dievaluasi
pada .
Alternatif yang ditemukan Heckman (1976b) pada dasarnya terdiri dari dua tahap, yaitu pendugaan aspek kualitatif dan kemudian pendugaan aspek kuantitatif dari model Tobit (Maddala, 1983).
Tahap pertama:
Aspek kualitatif dari model Tobit menggunakan model Probit. Didefinisikan peubah boneka yaitu:
dan , dimana
Dengan menggunakan model Probit, diperoleh penduga kemungkinan maksimum dari sehingga dengan hasil tersebut diperoleh nilai penduga dari dan . Tahap kedua:
Aspek kuantitatif dari model Tobit yang berkaitan dengan amatan positif (41) Dengan demikian persamaan (41) dapat ditulis,
13
di mana
Dengan mengunakan metode kuadrat terkecil (OLS) pada persamaan (42) akan diperoleh penduga parameter dan yang konsisten, di mana menggantikan posisi sebagai peubah bebas yang nilainya diperoleh pada tahap sebelumnya.
Sifat-sifat penduga yang baik
Penduga (estimator) adalah fungsi dari contoh acak yang tidak bergantung pada parameter, sedangkan dugaan (estimate) adalah nilai dari penduga. Ada beberapa kriteria yang dapat dipakai untuk mendapatkan penduga yang baik tersebut di antaranya adalah sifat tak bias, ragam minimum, konsisten, minimum MSE, konsisten serta sifat asimtotis (Koutsoyiannis, 1973).
1 Tak bias
Bias suatu penduga didefinisikan sebagai selisih antara nilai harapan penduga dengan nilai parameter yang sebenarnya, atau
(43) Jadi dikatakan penduga tak bias dari ß jika nilai harapan dari sama dengan nilai ß atau sebaliknya jika maka dikatakan penduga tak bias. Dengan kata lain suatu penduga dikatakan tak bias jika nilai biasnya sama dengan nol.
2 Ragam minimum
Suatu penduga dikatakan penduga terbaik apabila ragam dari mempunyai nilai minimum dibandingkan dengan ragam dari penduga-penduga tak bias lainnya, atau
(44) di mana adalah penduga lain dari parameter ß.
14
3 Konsisten
Suatu penduga dikatakan penduga konsisten dari ß
jika konvergen peluang ke ß, yaitu plim = ß. Jadi untuk setiap ,
(45)
4 Best Linear Unbiased Estimator (BLUE)
Suatu penduga dikatakan penduga tak bias linear terbaik jika memenuhi: a. merupakan fungsi linear dari amatan sampel
b. bersifat tak bias atau
c. , di mana adalah penduga lain dari parameter ß.
5 Mean Square Error (MSE) Minimum
Kriteria ini juga merupakan kombinasi dari sifat ketakbiasan dan ragam minimum. Suatu penduga dikatakan mempunyai MSE minimum jika nilai harapan kuadrat selisih antara penduga dengan nilai parameter populasinya mempunyai nilai paling kecil, atau dirumuskan sebagai berikut:
6 Sifat Asimtotis
Sifat ini dimaksudkan untuk melihat perilaku dari distribusi sampling penduga dalam ukuran sampel yang cukup besar. Distribusi sampling penduga pada umumnya berubah dengan berubahnya ukuran sampel. Sifat-sifat asimtotis yang diinginkan dari suatu penduga adalah tak bias asimtotis, konsisten dan efisien asimtotis, sebagai berikut :
a. adalah penduga tak bias asimtotis dari ß jika
b. Dapat dibuktikan bahwa syarat cukup agar merupakan penduga konsisten
bagi ßadalah dipenuhi syarat-syarat berikut: adalah penduga tak bias asimtotis dari ß
konvergen menuju nol jika
15
c. merupakan penduga yang efisien asimtotis jika
(48)
di mana merupakan penduga konsisten yang lain dari .
erupakan penduga yang efisien asimtotis dari ika memenuhi ketiga syarat berikut:
i. mempunyai distribusi asimtotis dengan nilai tengah dan ragam tertentu
ii. konsisten
iii. Tidak ada penduga konsisten lain dari yang mempunyai ragam asimtotis yang lebih kecil dari .
16
METODE PENELITIAN
Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data bangkitan (generated) dari software statistika, yaitu SAS 9.1 dengan proporsi nilai amatan nol 8% (16 amatan nol dari 192 amatan contoh) seperti kasus yang diperoleh pada penelitian sebelumnya, yaitu proporsi nilai amatan nol pada konsumsi ikan (Virgantari, 2005).
Tahap Analisis
Tahap analisis meliputi hal-hal berikut: a. Simulasi/pembangkitan data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data simulasi yang dibangkitkan dengan software SAS 9.1. Simulasi merupakan suatu proses membuat desain logika matematika dari suatu sistem real dengan melibatkan batasan-batasan tertentu untuk memecahkan suatu masalah. Jadi langkah awal yang dilakukan pada tahap simulasi/pembangkitan data adalah pembentukan model atau penyusunan model.
Spesifikasi Model
Pada penelitian ini model yang digunakan merupakan hasil dari penelitian sebelumnya (Virgantari, 2005), yaitu model Almost Ideal Demand System (AIDS)
(49)
dengan anggaran pengeluaran komoditas ke-i harga unit komoditas ke-j
total pengeluaran
indeks harga Stone, didefinisikan parameter model, berturut-turut untuk intersep, pengeluaran harga dan jumlah anggota rumah tangga
Data yang digunakan dalam penelitian sebelumnya adalah data sekunder berupa data mentah Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) tahun 2002 yang
17
dilakukan oleh Biro Pusat Stastistik (BPS), di mana data yang dipakai adalah nilai pengeluaran dan konsumsi pangan sumber protein hewani yaitu ikan, daging, dan telur di wilayah DKI Jakarta. Setelah dianalisis dan diduga parameternya diperoleh model regresi, khususnya untuk konsumsi ikan yang akan digunakan untuk pembangkitan data dalam penelitian ini. Model regresi yang dikaji adalah:
(50) Algoritma pembangkitan data dilakukan dengan langkah sebagai berikut: 1 Diberikan nilai parameter dari penelitian sebelumnya, yaitu
= (0.0206, -6.37E-7, 0.0867, -0.0869, 0.1277, 0.1316).
2 Menentukan nilai X berdasarkan kombinasi berbagai nilai data asal pada penelitian sebelumnya yang dapat dilihat pada Tabel 1, sehingga diperoleh 192 kombinasi.
Tabel 1 Nilai peubah penjelas pada data asal Peubah penjelas Nilai data asal
0.5; 2.5 2.5; 3.5 2.5; 3.5 -1.1; -0.4; 1.0; 1.7
2.5; 3.5; 4.5; 5.5; 6.5; 7.5 3 Merumuskan fungsi
4 Membangkitkan bilangan acak
5 Menggunakan kombinasi X dan nilai untuk memperoleh nilai Y dengan proporsi nilai amatan nol sebanyak 8% (16 amatan).
6 Jika pada iterasi pertama belum diperoleh nilai Y 0 sebanyak 16 amatan maka iterasi akan terus berlanjut dan proses akan berhenti jika sudah diperoleh 16 amatan nol, sehingga data yang dibangkitkan berukuran 192 sesuai dengan kombinasi nilai X.
7 Langkah 1-6 dilakukan sebanyak 100 kali dan data bangkitan tersebut dibagi menjadi dua sampel, di mana sampel yang pertama digunakan untuk pendugaan dan sampel kedua untuk validasi.
18
b. Pendugaan parameter
Dari sampel pertama yang diperoleh pada tahap simulasi data, ada 50 nilai amatan (N = 50) dengan proporsi nilai amatan nol yang dicobakan, dan selanjutnya dilakukan pendugaan dengan menggunakan metode OLS, WLS dan penduga dua tahap Heckman. Nilai-nilai dugaan tersebut akan dapat digunakan untuk mendapatkan gambaran tentang distribusi sampling dari dan selanjutnya akan digunakan untuk mendapatkan gambaran tentang bias, ragam dan MSE dari nilai dugaan yang diperoleh.
c. Evaluasi penduga parameter
Penduga-penduga yang dihasilkan pada tahap sebelumnya dievaluasi dengan kriteria sifat ketakbiasan, ragam penduga, dan nilai kuadrat tengah galat (MSE) yang minimum. Sifat-sifat distribusi sampling yang diperiksa adalah nilai harapan dan ragam yang selanjutnya digunakan untuk menduga bias dan kuadrat tengah galat sebagai berikut:
Nilai bias dugaan
Nilai bias dari diperoleh dengan mengurangkan rata-rata dari dugaan yag diperoleh dengan nilai ßyang sebenarnya,
(51)
Ragam dugaan
Ragam dari distribusi sampling diduga dengan menggunakan rumus biasa untuk menduga ragam yaitu:
(52)
Kuadrat tengah galat (MSE)
Nilai MSE dari diduga berdasarkan rata-rata dari kuadrat selisih antara penduga dengan nilai sebenarnya yaitu:
19
d. Validasi model
Validasi dilakukan dengan membandingkan nilai amatan yang dibangkitkan,
Y, dengan nilai dugaan padanannya, , yang diperoleh dengan menggunakan
dugaan parameter pada tahap pendugaan.
Berdasarkan nilai tersebut kemudian dihitung nilai rata-rata penyimpangan kuadrat (MSE) dari masing-masing contoh dengan cara:
(54) dan kemudian nilai tersebut dirata-ratakan dari 50 sampel yang ada. Metode yang terbaik adalah metode yang memberikan nilai MSE yang paling kecil.
20
Tahap-tahap dari analisis tersebut dapat dilihat pada flowchart dan algoritma berikut:
Gambar 1 Flowchart dari tahap analisis penelitian.
tidak ya
Nilai dugaan dan validasi
i < 50
Evaluasi penduga dan validasi
Metode terbaik
Selesai Perumusan Model Simulasi Data i = i+1 Sampel 2 , ulangan ke – i Yij , j = 1,2, ..., 192 Sampel 1 , ulangan ke – i Yij , j = 1,2, ..., 192 Pendugaan parameter OLS GLS Heckman Mulai i = 0 tidak
21
Algoritma:
Langkah 1: Perumusan model, yaitu :
ß= (0.0206, -6.37E-7, 0.0867, -0.0869, 0.1277, 0.1316)
X ditentukan berdasarkan kombinasi beberapa nilai data asal,
yaitu: 0.5; 2.5,
2.5; 3.5,
2.5; 3.5,
-1.1; -0.4; 1; 1.7,
2.5; 3.5; 4.5; 5.5; 6.5; 7.5,
Tetapkan : i 0 (belum dilakukan proses ulangan); N 50 (banyaknya ulangan);
Proporsi nilai amatan nol 8% (16 amatan) Langkah 2: Melakukan simulasi data berdasarkan model pada langkah 1
i = i + 1: simulasi untuk ulangan ke –i
Gunakan kombinasi semua peubah , , , ,
n
nrow(X);
; ; ; ; ;
Pembangkitan data dilakukan sekaligus 2 kali untuk memperoleh dua sampel. Sampel pertama digunakan untuk pendugaan parameter dan sampel kedua untuk validasi.
Langkah 3: Melakukan pendugaan parameter pada sampel pertama dengan metode OLS, GLS, dua tahap Heckman sehingga untuk
masing-masing metode diperoleh dan
Langkah 4: Melakukan validasi dengan membandingkan nilai amatan pada sampel kedua, Y, dengan nilai dugaan padanannya, pada langkah 3
22
Langkah 5: Selama i < 50, proses kembali ke langkah 2 untuk ulangan ke – i, selain itu proses berhenti
Langkah 6: Mengevaluasi penduga parameter dari distribusi sampling penduga yang diperoleh pada langkah 4
Langkah 7: Menentukan metode yang terbaik berdasarkan hasil evaluasi dan validasi pada langkah 7
23
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini disajikan hasil utama dari penelitian, yang terdiri atas bagian utama, yaitu hasil pendugaan parameter, evaluasi dari masing-masing metode pendugaan parameter dan bagian berikutnya adalah validasi model regresi yang digunakan.
Dalam penelitian ini hasil pendugaan parameter, nilai MSE validasi model disajikan dalam bentuk diagram kotak (boxplot), sedangkan untuk evaluasi nilai dugaan masing-masing metode dan analisis validasi model menggunakan grafik garis. Dalam statistik deskriptif, diagram kotak merupakan cara yang tepat untuk menyajikan kelompok data secara ringkas, menyampaikan informasi tentang lokasi dan variasi kelompok data. Diagram kotak juga berguna untuk menampilkan perbedaan antara populasi atau kelompok data, spasi antara bagian berbeda dari kotak membantu untuk menunjukkan tingkat dispersi/penyebaran dan kecondongan dalam data.
Hasil Pendugaan Parameter
Pada tahap ini model regresi pada persamaan (50) diduga dengan menggunakan ketiga metode yaitu OLS, WLS dan dua tahap Heckman. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan data pada sampel pertama, di mana masing-masing metode menghasilkan 50 nilai dugaan untuk tiap parameter (Lampiran 3). Nilai-nilai dugaan tersebut akan dapat digunakan untuk mendapat gambaran tentang distribusi sampling dari . Hasil statistik deskriptif pendugaan parameter ketiga metode untuk masing-masing parameter dapat dilihat pada diagram kotak yang diberikan pada Gambar 2 dan 3.
24
N il a i d u g a a n Hec km an b _5 WL S b_ 5 OL S b_ 5 Hec km an b _4 WL S b_ 4 OL S b_ 4 Hec km an b _3 WL S b_ 3 OL S b_ 3 Hec km an b _2 WL S b_ 2 OL S b_ 2 He c km an b _1 WL S b_ 1 OL S b_ 1 He c km an b _0 WL S b_ 0 OL S b_ 0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 41 46 41 26 2 46 45 41 2 6 49 25 19
Boxplot Nilai Dugaan Parameter
Gambar 2 Diagram kotak dari nilai dugaan untuk keseluruhan parameter pada
tahap pendugaan parameter.
D a ta Heckman WLS OLS 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 49 25 Boxplot b_0 D a ta Heckman WLS OLS 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 19 Boxplot b_2 D a ta Heckman WLS OLS 0.10 0.05 0.00 -0.05 Boxplot b_1 D a ta Heckman WLS OLS 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 41 Boxplot b_3 D a ta Heckman WLS OLS 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 46 41 26 2 46 45 41 2 6 Boxplot b_4 D a ta Heckman WLS OLS 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 Boxplot b_5
Gambar 3 Diagram kotak dari nilai dugaan masing-masing parameter pada
25
Dari Gambar 2 diperoleh informasi atau gambaran tentang nilai dugaan ketiga metode pada tahap pendugaan parameter sehingga dapat mendeteksi lokasi dan dapat membandingkan ukuran pemusatan (central tendency), keragaman (variability), kecondongan (skewness) dan pencilan (outlier) himpunan data ketiga metode tersebut.
Secara umum dari keseluruhan metode dan parameter pada Gambar 2 diketahui bahwa metode dua tahap Heckman mempunyai median relatif paling tinggi dibandingkan dengan metode OLS dan WLS. Nilai kisaran (range) dan antar kuartil (interquartil) metode dua tahap Heckman lebih besar, sehingga ada kecenderungan ragamnya lebih besar dibandingkan dengan metode OLS dan WLS. Nilai kisaran dan antar kuartil metode OLS dan WLS untuk keseluruhan parameter relatif sama, jadi ada kecenderungan ragamnya sama. Pola distribusi dari data pada himpunan data ketiga metode berbeda untuk tiap parameter walaupun ada kecenderungan metode OLS dan WLS mempunyai kecondongan yang sama. Data pencilan sering terjadi pada metode dua tahap Heckman untuk keseluruhan parameter, kecuali pada dan Dari Gambar 2 juga dapat dilihat bahwa secara umum keragaman data untuk parameter cenderung berbeda untuk ketiga metode. Keragaman paling besar terjadi pada
jika dibandingkan dengan parameter yang lain. Pencilan banyak ditemukan pada dibandingkan dengan parameter lain, kecuali pada dan tidak terdapat pencilan.
Untuk lebih terperinci dari Gambar 3 dapat dilihat nilai dugaan untuk tiap parameter. Pada dapat dilihat bahwa metode dua tahap Heckman mempunyai median yang relatif paling tinggi dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai kisaran dan antar kuartil ketiga metode berbeda, sehingga mempunyai ragam yang berbeda. Keragaman metode dua tahap Heckman relatif lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Metode OLS dan WLS mempunyai kisaran dan antar kuartil yang hampir sama, sehingga keragamannya relatif sama. Pola distribusi data dari himpunan data metode OLS adalah simetris, sedangkan pola distribusi himpunan data metode WLS condong ke kiri. Tidak ada pencilan pada data yang diperoleh pada kedua metode tersebut. Pola distribusi data dari himpunan data metode dua tahap Heckman adalah condong ke kiri dan terdapat 2 nilai pencilan, yaitu data ke - 49 (1.49651) dan data ke - 25 (-1.26320).
26
Pada dapat dilihat bahwa metode dua tahap Heckman mempunyai median yang relatif paling tinggi dibandingkan dengan dua metode yang lain. Untuk ketiga metode mempunyai kisaran dan antar kuartil yang berbeda, sehingga keragamannya berbeda. Keragaman metode dua tahap Heckman relatif lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Pola distribusi dari data pada himpunan data untuk metode OLS dan WLS sama, yaitu condong ke kiri, sedangkan untuk metode dua tahap Heckman polanya condong ke kanan. Untuk ketiga metode pendugaan parameter tidak terdapat pencilan pada himpunan datanya.
Pada
terlihat metode WLS mempunyai median yang relatif paling rendah dibandingkan dengan dua metode yang lain. Untuk ketiga metode mempunyai kisaran dan antar kuartil yang berbeda, keragaman data metode dua tahap Heckman relatif lebih kecil dibandingkan dengan metode OLS dan WLS. Metode OLS dan WLS mempunyai kisaran dan antar kuartil yang hampir sama, sehingga keragamannya relatif sama. Pola distribusi data dari himpunan data metode OLS dan WLS adalah condong ke kanan dan untuk metode dua tahap Heckman polanya simetris. Terdapat nilai pencilan pada himpunan data metode dua tahap, yaitu data ke - 29 (0.30392).
Pada , metode dua tahap Heckman mempunyai median yang relatif lebih tinggi dibandingkan dengan dua metode yang lain. Untuk ketiga metode mempunyai kisaran dan antar kuartil yang semakin menurun, sehingga terjadi pengurangan keragaman data dari metode OLS ke metode dua tahap Heckman. Keragaman metode dua tahap Heckman relatif lebih kecil dibandingkan dengan metode OLS dan WLS. Pola distribusi data dari himpunan data metode OLS dan WLS adalah condong ke kanan, sedangkan metode dua tahap Heckman polanya simetris dan ada nilai pencilan, yaitu data ke - 41 (-0.26786).
Pada , metode OLS mempunyai median yang relatif lebih rendah dibandingkan dengan dua metode yang lain. Untuk ketiga metode mempunyai kisaran dan antar kuartil yang berbeda dan semakin menaik dari metode OLS ke metode dua tahap Heckman, sehingga keragamannya semakin besar. Keragaman metode dua tahap Heckman relatif lebih besar dibandingkan dengan metode OLS dan WLS. Metode OLS dan WLS mempunyai kisaran dan antar kuartil yang
27
hampir sama, sehingga keragamannya relatif sama. Pola distribusi data dari himpunan data metode WLS adalah condong ke kanan, sedangkan OLS dan dua tahap Heckman mempunyai pola condong ke kiri dan terdapat banyak nilai pencilan pada himpunan data untuk ketiga metode.
Pada , metode dua tahap Heckman mempunyai median yang relatif lebih rendah dibandingkan dengan dua metode yang lain. Metode OLS dan WLS mempunyai kisaran dan antar kuartil yang relatif sama walaupun keragaman metode OLS cenderung lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain, sedangkan metode dua tahap Heckman mempunyai kisaran dan antar kuartil yang lebih besar, sehingga keragaman metode dua tahap Heckman lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Pola distribusi data dari himpunan data ketiga metode berbeda, OLS berpola condong ke kanan, WLS mempunyai pola distribusi condong ke kiri dan metode dua tahap Heckman berpola simetris. Untuk ketiga metode tidak terdapat nilai pencilan.
Evaluasi Metode Pendugaan
Tahap evaluasi metode pendugaan parameter dilakukan untuk melihat sifat-sifat parameter dan perilaku metode pendugaan parameter yang diperoleh dari tahap sebelumnya. Jadi dengan mudah dapat ditentukan metode pendugaan parameter yang terbaik. Pada tahap ini evaluasi dilakukan dengan bantuan Excel 2007 dan Minitab 14. Adapun kriteria evaluasi metode pendugaan berdasarkan nilai bias, ragam dan MSE sebagai berikut :
1 Nilai bias dugaan.
Selanjutnya menentukan nilai bias dugaan dari hasil pendugaan parameter pada tahap sebelumnya dengan menggunakan persamaan (51), sehingga diperoleh nilai bias dugaan untuk masing-masing metode, yaitu OLS, WLS dan dua tahap Heckman. Hasilnya diberikan pada Tabel 2 dan secara grafik diberikan pada Gambar 4 dan 5.
Dari Gambar 4 secara umum diperoleh bahwa nilai bias dugaan parameter dari ketiga metode dapat dikatakan relatif sama antara
28
satu dengan yang lain walaupun ada kecenderungan nilai bias metode WLS lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain.
Nilai bias dugaan pada dan
bernilai positif artinya bahwa rata-rata nilai dugaan lebih besar dari nilai yang sebenarnya atau nilai dugaan berbias ke atas. Sedangkan nilai bias dugaan pada dan yang bernilai negatif artinya bahwa rata-rata nilai dugaan lebih kecil dari nilai yang sebenarnya atau berbias ke bawah. Nilai bias metode OLS dan WLS dapat dikatakan relatif sama pada semua nilai dugaan. Perbedaan bias metode dua tahap Heckman dengan metode OLS dan WLS paling besar dapat dilihat pada sedangkan pada parameter yang lain perbedaannya tidak terlalu besar. Untuk keseluruhan parameter nilai bias yang diperoleh dari ketiga metode pada relatif lebih kecil dibandingkan dengan parameter yang lain.
Tabel 2 Nilai bias dari dugaan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman
Parameter Bias OLS Bias WLS Bias Heckman
ß0 0.139340 0.125700 0.135150 ß1 -0.002750 -0.002210 0.005440 ß2 -0.015400 -0.014360 -0.013250 ß3 0.018430 0.019490 0.017980 ß4 -0.017440 -0.017070 -0.019760 ß5 -0.019930 -0.018870 -0.020210
Gambar 4 Nilai bias dugaan untuk keseluruhan parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman. -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 ß_0 ß_1 ß_2 ß_3 ß_4 ß_5 N il a i b ia s Bias OLS Bias WLS Bias Heckman
29
Metode N il a i b ia s Heckman WLS OLS 0.1400 0.1375 0.1350 0.1325 0.1300 0.1275 0.1250 Bias b_0 Metode N il a i b ia s Heckman WLS OLS 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 -0.001 -0.002 -0.003 Bias b_1 Met ode N il a i b ia s Heckman WLS OLS -0.0130 -0.0133 -0.0136 -0.0139 -0.0142 -0.0145 -0.0148 -0.0151 -0.0154 -0.0157 Bias b_2 Metode N il a i b ia s Heckman WLS OLS 0.0196 0.0194 0.0192 0.0190 0.0188 0.0186 0.0184 0.0182 0.0180 Bias b_3 Metode N il a i b ia s Heckman WLS OLS -0.0170 -0.0175 -0.0180 -0.0185 -0.0190 -0.0195 -0.0200 Bias b_4 Met ode N il a i b ia s Heckman WLS OLS -0.01900 -0.01925 -0.01950 -0.01975 -0.02000 -0.02025 Bias b_5
Gambar 5 Nilai bias dugaan untuk tiap-tiap parameter
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman.
Untuk gambaran khusus dari Gambar 5 dapat dilihat nilai bias dugaan untuk tiap parameter. Pada dan , nilai bias dugaan ketiga metode bernilai positif (berbias ke atas) dan nilai bias dugaan metode WLS relatif lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lainnya. Perbedaan bias ketiga metode tidak terlalu besar, dapat dikatakan relatif sama.
Pada nilai bias dugaan metode OLS dan WLS bernilai negatif (berbias ke bawah), sedangkan untuk metode dua tahap bernilai positif (berbias ke atas). Nilai bias dugaan metode WLS cenderung lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain. Perbedaan nilai bias ketiga metode terlihat besar terutama pada metode dua tahap Heckman.
Pada , nilai bias dugaan ketiga metode bernilai negatif (berbias ke bawah) dan nilai bias dugaan metode dua tahap Heckman relatif lebih kecil dibandingkan
30
dengan dua metode yang lain. Perbedaan nilai bias ketiga metode tidak terlalu besar. Nilai bias dugaan dan bernilai negatif (berbias ke bawah) untuk ketiga metode. Perbedaan bias ketiga metode tidak terlalu besar atau relatif sama walaupun ada kecenderungan nilai bias dugaan metode WLS lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain.
2 Ragam dugaan
Selanjutnya menentukan nilai ragam dugaan dari hasil pendugaan parameter pada tahap sebelumnya dengan menggunakan persamaan (52), sehingga diperoleh nilai ragam dugaan untuk masing-masing metode, yaitu OLS, WLS dan dua tahap Heckman. Hasilnya diberikan pada Tabel 3 dan secara grafik diberikan pada Gambar 6 dan 7.
Tabel 3 Nilai ragam dugaan dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman
Parameter Ragam OLS Ragam WLS Ragam Heckman
ß0 0.080260 0.085082 0.22852 ß1 0.000680 0.000682 0.00143 ß2 0.003612 0.004023 0.00491 ß3 0.004269 0.004230 0.00605 ß4 0.000872 0.000912 0.00252 ß5 0.000366 0.000357 0.00223
Gambar 6 Nilai ragam dugaan keseluruhan parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 ß_0 ß_1 ß_2 ß_3 ß_4 ß_5 N il a i r a g a m Ragam OLS Ragam WLS Ragam Heckman
31
Metode N il a i r a g a m Heckman WLS OLS 0.25 0.20 0.15 0.10 Ragam b_0 Metode N il a i r a g a m Heckman WLS OLS 0.0015 0.0014 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006 Ragam b_1 Metode N il a i ra g a m Heckman WLS OLS 0.00500 0.00475 0.00450 0.00425 0.00400 0.00375 0.00350 Ragam b_2 Metode N il a i r a g a m Heckman WLS OLS 0.0063 0.0060 0.0057 0.0054 0.0051 0.0048 0.0045 0.0042 Ragam b_3 Metode N il a i r a g a m Heckman WLS OLS 0.00250 0.00225 0.00200 0.00175 0.00150 0.00125 0.00100 Ragam b_4 Metode N il a i r a g a m Heckman WLS OLS 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 Ragam b_5
Gambar 7 Nilai ragam dugaan tiap-tiap parameter ( ) dengan
metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman.
Dari Gambar 6 secara umum nilai ragam dugaan yang diperoleh dari metode dua tahap Heckman relatif lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Dari keseluruhan parameter, nilai ragam dugaan metode OLS dan WLS dapat dikatakan sama walaupun ada kecenderungan nilai ragam metode OLS lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain.
Perbedaan ragam yang paling besar antara penduga dua tahap Heckman dengan dua metode yang lain dapat dilihat pada sedangkan pada parameter yang lain perbedaannya tidak terlalu besar atau relatif sama. Nilai ragam pada untuk ketiga metode relatif lebih kecil dibandingkan dengan parameter yang lain. Hal tersebut menunjukkan bahwa penduga OLS lebih efisien daripada penduga WLS dan dua tahap Heckman.
32
Untuk lebih terperinci dari Gambar 7 dapat dilihat nilai ragam dugaan untuk tiap parameter. Pada , nilai ragam dugaan metode OLS dan WLS relatif sama walaupun metode OLS cenderung lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain.
Pada nilai ragam dugaan mempunyai pola yang relatif sama untuk ketiga metode, perbedaannya tidak terlalu besar. Nilai ragam dugaan metode OLS dan WLS relatif sama walaupun ada kecenderungan metode WLS lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain.
3 Kuadrat tengah galat (Mean Square Error, MSE)
Selanjutnya menentukan nilai MSE dari hasil pendugaan parameter pada tahap sebelumnya dengan menggunakan persamaan (53), sehingga diperoleh nilai MSE untuk masing-masing metode, yaitu OLS, WLS dan dua tahap Heckman. Nilai MSE dugaan dari ketiga metode dapat diberikan pada tabel 4 dan secara grafik diberikan pada Gambar 8 dan 9.
Tabel 4 Nilai MSE dugaan dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman
Parameter MSE OLS MSE WLS MSE Heckman
ß0 0.098069 0.098037 0.242220 ß1 0.000674 0.000660 0.001430 ß2 0.003777 0.003967 0.004990 ß3 0.004523 0.004495 0.006260 ß4 0.001159 0.001179 0.002860 ß5 0.000756 0.000711 0.002590
33
Gambar 8 Nilai MSE dugaan keseluruhan parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman.
Metode N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 MSE b_0 Metode N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.0015 0.0014 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006 MSE b_1 Metode N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.0050 0.0048 0.0046 0.0044 0.0042 0.0040 0.0038 MSE b_2 Metode N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.0065 0.0060 0.0055 0.0050 0.0045 MSE b_3 Met ode N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.0022 0.0020 0.0018 0.0016 0.0014 0.0012 MSE b_4 Metode N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 MSE b_5
Gambar 9 Nilai MSE dugaan tiap-tiap parameter ( ) dengan
metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 ß_0 ß_1 ß_2 ß_3 ß_4 ß_5 N il a i M S E MSE OLS MSE WLS MSE Heckman
34
Dari Gambar 8 secara umum terlihat bahwa MSE penduga parameter yang diperoleh dari metode dua tahap Heckman relatif paling besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Dari keseluruhan parameter perbedaan nilai MSE yang paling besar dapat dilihat pada sedangkan pada parameter yang lain perbedaannya tidak terlalu besar atau relatif sama. Nilai MSE untuk ketiga metode relatif lebih kecil dibandingkan dengan parameter yang lain. Nilai MSE dari penduga parameter OLS dan WLS dapat dikatakan sama pada semua nilai dugaan, tetapi secara keseluruhan nilai MSE dari penduga parameter WLS cenderung lebih kecil dibandingkan dengan OLS.
Secara terperinci pada Gambar 9 diberikan nilai MSE untuk setiap parameter . Pada dan , perbedaan nilai MSE metode WLS dan OLS tidak terlalu besar atau relatif sama. Nilai MSE WLS relatif lebih kecil dibandingkan metode OLS dan dua tahap Heckman.
Pada nilai MSE metode OLS relatif lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain.
Validasi Model
Setelah penduga parameter dievaluasi pada tahap sebelumnya dan diperoleh suatu model penduga yang digunakan untuk peramalan, ada baiknya dilakukan tahap validasi untuk memeriksa sejauh mana model tersebut baik untuk peramalan. Gagasan dasarnya ialah membagi seluruh data kedalam dua himpunan bagian menurut kriteria tertentu dan kemudian menggunakan sebagian data untuk membangun model peramalan dan menggunakan sebagian data yang lain untuk memvalidasi data tersebut.
Dalam penelitian ini validasi dilakukan dengan membandingkan nilai amatan yang dibangkitkan, Y, yang diperoleh pada sampel kedua dengan nilai dugaan padanannya, , yang diperoleh dari tahap pendugaan dengan menggunakan sampel pertama.
Selanjutnya menentukan nilai MSE validasi model dengan menggunakan persamaan (54), sehingga diperoleh nilai MSE untuk masing-masing metode, yaitu OLS, WLS dan dua tahap Heckman (Lampiran 4). Nilai MSE validasi model disajikan dalam diagram kotak seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.
35
N il a i M S E Heckman WLS OLS 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 49 25 18 11 6
Boxplot MSE validasi model
Gambar 10 Diagram kotak nilai MSE untuk validasi model dengan metode
OLS, WLS dan dua tahap Heckman.
Nilai MSE untuk metode WLS dan OLS mempunyai pola yang sama untuk semua ulangan, sedangkan nilai MSE metode dua tahap Heckman mempunyai pola yang berbeda dibandingkan dengan dua metode yang lain. Galat metode dua tahap Heckman tiap ulangan secara keseluruhan lebih kecil dari dua metode yang lain, tetapi pada ulangan tertentu galatnya lebih besar dan selisihnya sangat jauh dibandingkan dua metode yang lain.
Dari Gambar 10 untuk tiap metode pendugaan parameter diperoleh bahwa metode dua tahap Heckman mempunyai median relatif paling tinggi dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai kisaran dan antar kuartil metode dua tahap Heckman lebih besar, sehingga keragamanya relatif lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai kisaran dan antar kuartil metode OLS dan WLS relatif sama walaupun metode OLS cenderung mempunyai ragam yang lebih kecil dibandingkan metode WLS. Ketiga metode pendugaan parameter mempunyai pola distribusi data yang berbeda. Metode WLS dan dua tahap Heckman mempunyai pola distribusi data condong ke kanan, sedangkan metode OLS mempunyai pola condong ke kiri. Data pencilan banyak ditemukan pada metode dua tahap Heckman, yaitu data ke - 6 (0.33593), data ke - 11 (0.38716) data ke - 18 (0.33591) data ke - 25 (0.34340), sedangkan pada metode OLS dan WLS tidak ada pencilan.
