SIMULASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE VERSI KRISTAL MONOATOMIK

1

SIMULASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE VERSI

KRISTAL MONOATOMIK

Oleh,

Desman Perdamaian Gulo NIM: 192010022

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Fisika

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA 2015

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat kasih karunia dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Tugas akhir ini ditulis dan disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd.) Fisika di Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga.

Penyusunan tugas akhir ini tidak lepas dari bantuan, dukungan dan kerjasama dari berbagai pihak. Atas segala bantuan dan dukungan tersebut, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. Keluarga tercinta ibu, bapak, abang-abang saya, serta seluruh keluarga yang selama ini terus mendoakan, memberikan dukungan baik materil, semangat dan perhatian sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.

2. Bapak Dr. Suryasatriya Trihandaru, S.Si., M.Sc.nat. selaku dosen pembimbing utama atas waktu, tenaga, kritik dan saran serta wejangan-wejangannya dari awal hingga akhir sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

3. Bapak Nur Aji Wibowo, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pendamping yang telah bersedia meluangkan waktu untuk memberikan saran, motivasi, dan berbagi pengalaman. Membimbing penulis dengan penuh kesabaran selama penelitian hingga tugas akhir ini selesai.

4. Seluruh Dosen FSM UKSW, khususnya Dosen Fisika dan Pendidikan Fisika: Bapak Suryasatriya T., Bapak Andreas Setiawan, Bapak Adita Sutrisno, Ibu Diane Noviandini, Ibu Santi, Ibu Marmi Sudarmi, Bapak Ferdi S. Rondonuwu, Bapak Wahyu H.K., Bapak Nur Aji Wibowo, Ibu Debora Natalia S., dan Bapak Alva atas bimbingan dan ilmu yang diberikan kepada penulis selama kuliah.

5. Mas Tri, Mas Sigit, dan Pak Tafip selaku Laboran Fisika dan Pendidikan Fisika FSM UKSW atas segala bantuannya selama ini. Maaf jika selama ini selalu merepotkan.

6. Sahabat-sahabat tercinta saya yaitu teman-teman Pendidikan Fisika dan Fisika 2010, Wahyu, David, Olik, Anisa, Nita, Galuh, Uchi, Eigche, Mariam, Lita, Dian, Erfi, Maya, Anti, Kris, Kukuh, Eskelon, Arif, Gigih, Hafidz, Pujo, terimakasih atas segala bantuan dan semangat yang kalian berikan.

7. Teman-teman seperjuangan selama skripsi, Uchi, Gigih, Hafidz, Galuh, Erfy, Dian, dan Kukuh terimakasih atas segala bantuan dan semangat yang telah diberikan.

8. Teman-teman sepelayanan di PERKANTAS Salatiga Kak Lius, Kak Yuyun, Kak Deby, Kak Eres, Kak Kris, Kak Daniel, Kak Ronald sebagai PKTBku, teman-temanku

vii

seperjuangan, terkasih, dan terhebat PMK teners (Kezia (FKIP), Inda (FEB), Dora (FKIP), Josua (FTeol), Manasye (FTeol), Lisa (FSM), Ratih (FTeol), Ko Dani (FTEK), Pujo (FSM), Kriswantoro (FSM)) yang selalu mendukung dan mendoakan saya dalam suka dan duka menjalani Tugas Akhir ini. Thank You so mach.

9. KTB HALAS Kak Ronald (FTeol), Kriswantoro (FSM), Pujo (FSM), dan Ishak (FSM) yang sudah menjadi tempat curahan hati dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini serta selalu membantu dalam doa dan kata-kata motivasi.

10. AKTBku KTB HAGAI Frenky (FBS), Ebit (FSM), dan Johan (FSM) yang selalu mendukung, mendoakan, memberi semangat dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik.

11. Teman-teman kos Kauman 32, Ishak (FSM), Frenky (FBS), Ramah (FTI), Ebit (FSM), Dexan (FIK), Andre (FSM), Willy (FEB), serta semua teman-teman kos lainnya yang tidak dapat disebutkan satu per satu terimakasih atas dukungan dan semangat yang telah diberikan.

12. Segenap pihak yang turut membantu dan terlibat dalam pelaksanaan penelitian dan penyusunan tugas akhir ini.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan dan penyelesaian tugas akhir ini.Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca bagi perbaikan penulis.Apabila dalam penyusunan tugas akhir ini ada kata-kata yang kurang berkenan dihati pembaca, penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya.Akhirnya penulis berharap tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca, khususnya bagi pihak-pihak yang berkepentingan.

Salatiga, September 2015

viii

MOTTO

“Do all things without complaining and disputing

(Philippians 2:14)”

ix DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

LEMBAR PENGESAHAN... ii

PERNYATAAN TIDAK PLAGIAT ... iii

PERNYATAAN PERSETUJUAN AKSES ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR ... v

KATA PENGANTAR ... vi MOTTO ... viii DAFTAR ISI ... ix BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Pendahuluan ... 1 1.2 Dasar Teori ... 1 1.3 Daftar Pustaka ... 2

BAB II SIMULASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE VERSI KRISTAL MONOATOMIK ... 3

2.1. Pendahuluan ... 4

2.2. Metode Penelitian ... 7

2.3. Hasil dan Diskusi ... 7

2.4. Kesimpulan ... 9

2.5. Ucapan Terimakasih ... 9

2.6. Daftar Pustaka ... 9

Lampiran ... 10

Surat Pernyataam Jurnal UNNES ... 11

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Pendahuluan

Salah satu sifat panas adalah Kapasitas panas[1]. Dalam teori zat padat, kapasitas panas di bagi menjadi dua bagian, yakni kapasitas pada tekanan tetap (Cp) dan kapasitas panas pada volume tetap (Cv). Salah satu dasar teori tentang kapasitas panas volume tetap adalah kapasitas panas Debye yang diturunkan dari fungsi energi sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan. Dalam tinjauan kristal monoatomik, penyelesaian integrasinya tidak dapat diselesaikan secara analitik.Pada penelitian sebelumnya telah dilakukan penyelesaian integrasi dengan komputasi numerik pada kisi monoatomik satu dimensi tetapi hasilnya masih belum maksimal[3]. Dalam penelitian ini akan dilakukan metode numerik untuk menyelesaikan integrasi model Debye yang berbentuk dua dimensi dan tiga dimensi.

1.2 Dasar Teori

1.2.1 Kapasitas Panas

Kapasitas panas memiliki kapasitas spesifikC_vyang besarnya pada suhu tinggi mendekati nilai 3R dengan R menyatakan tetapan gas umum. Secara matematis dapat ditulis[2] :

K mole / cal , R dT dE C o v v 3 560 (1)

Menurut Dulong-Petit (1820), Cv hampir sama untuk semua material yaitu 6 cal/mole

0 K.

1.2.2 Kapasitas Panas Debye

Menurut model Debye, energi total E getaran atom pada kisi diberikan oleh[4] :   D( )g( )d E      0 ) (





merupakan energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein sedangkan g(



) adalah rapat keadaan. Nilai energi rata-rata  dapat di tulis :

1 1 2 1       T B k / e 

Pada suhu mendekati 00K nilai   2 1

. Ini merupakan tingkat energi minimum sistem.Selain itu pada fungsi Debye, pada temperatur tinggi nilai C_v mendekati nilai yang diperoleh Einstein.

1.2.3 Kisi monoatomik satu dimensi dan tiga dimensi

Pada penelitian sebelumnya, besar energi (E) untuk sebuah atom dalam tinjauan satu dimensi adalah[3] :



 _         D B d e E _/kT        0 02 2 1 1 1 2 1 2  

Pada persamaan (4), nilai rapat keadaang()yang diberikan berbentuk satu dimensi yakni[5] : 2 2 0       a L ) ( g

Untuk mencari persamaan kapasitas panas Debye kisi monoatomik tiga dimensi harus mengubah harga rapat keadaan g() dalam bentuk dua dimensi dan tiga dimensi terlebih dahulu. ) 4 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 (

2 1.3 Daftar Pustaka

1. P. L. Gareso, E. Juarlin, A. Limbong, FMIPA Universitas Hasanuddin, Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes, vol.13, SIGMA, Juli 2010, pp 107-113

2. MIT OpenCourseWare, Physical Chemistry II, 2008. Website: http://ocw.mit.edu/terms, diakses tanggal 11 Februari 2014.

3. Desman P. G, Suryasatriya T., Univ. Kristen Satya Wacana, Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik, vol.132, UAD Yogyakarta & HFI DIY-Jateng, April 2014.

4. Darpublic, Sifat-sifat Termal. Website : www.darpublic.com, diakses tanggal 23 Maret 2014

5. A.H.Harker, Solid State Physics, In :A. S. Prasad, Ed., Phonon Heat Capacity Lecture 10, Phyics and Astronomy, UCL.

6. Jozsef G, Correlation between thermal expansion and heat capacity, Departement of Earth Sciences, Florida International University, diakses tanggal 30 Juni 2014.

3

BAB II

SIMULASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE VERSI

KRISTAL MONOATOMIK

Desman P. Gulo1*, Suryasatriya Trihandaru2, dan Nur Aji Wibowo3 1,2,3

Program Studi Pendidikan Fisika dan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro No.52–60 Salatiga 50711, Jawa Tengah-Indonesia, telp (0298) 321212 e-mail* : 192010022@student.uksw.edu

Abstrak–Kapasitas panas merupakan salah satu sifat yang ditunjukan oleh zat padat. Salah satu model kapasitas panas yang terekenal dalam teori fisika benda padat adalah kapasitas panas model Debye. Pada beberapa penelitian dan literatur tentang fisika zat padat, telah dilakukan perhitungan batas frekuensi Debye _D menggunakan model kontinu dengan perhitungan kapasitas panas menggunakan model rantai monoatomik.Seharusnya, perhitungan frekuensi Debye D menggunakan model rantai monoatomik. Pada makalah ini akan disajikan kapasitas panas Debye model rantai monoatomik dalam bentuk 1D, 2D, dan 3D dengan perhitungan frekuensi Debye _D dari model rantai monoatomik. Salah satu metode untuk menyelesaikan perhitungan frekuensi Debye D adalah menggunakan metode numerik dengan operasi integralnya menggunakan integral trapesium.

4 2.1 Pendahuluan

Salah satu model kapasitas panas yang terkenal dalam teori fisika benda padat adalah kapasitas panas model Debye. Dalam beberapa penelitian dan literatur tentang kapasitas panas Debye[1-5], perhitungan batas frekuensi Debye _D-nya masih menggunakan model materi kontinu walaupun perhitungan kapasitas panasnya sudah menggunakan model rantai atom tunggal (monoatomik). Dalam penelitian yang dilakukan S. Jacimovski et al pada tahun 2011[1], telah disimulasikan kapasitas panas Debye dengan model rantai monoatomik dalam bentuk 1D. Pada penelitian tersebut, dibahas perbedaan antara model kontinu 1D dan model rantai monoatomik 1D. Oleh karena penelitian tersebut bertujuan untuk mencari karakteristik kapasitas panas pada temperatur rendah dan tinggi, maka diperlukan bentuk _D yang eksplisit agar dapat dilakukan analisa secara asymptotics[10], walaupun model yang digunakan memakai rantai monoatomik.

Dalam penelitian ini dilakukan pendekatan yang berbeda dari penelitian tersebut, yakni pendekatan analisa secara numerik.Dengan pendekatan tersebut, _D bisa dihitung untuk model rantai monoatomik. Penelitian ini bertujuan untuk mensimulasikan kapasitas panas Debye berbentuk 1D, 2D, dan 3D model rantai monoatomik dengan perhitunganDdari model rantai monoatomik menggunakan analisa secara numerik dan untuk menghitung besar kapasitas panas Debye menggunakan metode integral trapesium.

2.1.1 Kapasitas Panas Model Debye

Besar kapasitas panas Debyedalam bentuk diferensial pada volume tetap adalah[6] :

v v

dT dE

C  (1)

dimana nilai E merupakan total energi yang ada di dalam padatan baik bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik eletron-bebas. Persamaan E untuk model Debye adalah[7] :

      g( )d e E i D T B K /



_  _ _  0 1 2 1    (2)

dimana adalah tetapan Planck, adalah frekuensi sudut, k tetapan Boltzmann, dan_B g

 

 merupakan rapat keadaan kisi kristal. Untuk menentukan besar kapasitas panas pada volume tetap, maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi :

 

                 



i D i T B K / i v _{dT e} g d d C      0 1   (3)

dimanai adalah dimensi sistem koordinat. Persamaan (3) ini akan digunakan untuk menghitung kapasitas panasC model Debye dengan tinjauan kontinu dan rantai monoatomik 1D, 2D, dan _v 3D.

Dalam vibrasi kisi kristal, kapasitas panas model Einstein menganggap bahwa atom-atom pada benda padat bergetar secara teriosilasi dengan atom tetangganya. Debye beranggapan bahwa teori tidak dapat diterapkan karena atom akan saling berinteraksi satu sama lain yang membentuk osilasi harmonik. Frekuensi getaran atom akan bervariasi dari 0sampai dengan

D 

 . Batas frekuensi



_D ini disebut sebagai frekuensi potong Debye (cutoff Debye frequency)[9]. Bentuk persamaannya adalah :

iN d ) ( g i D i 



   0 (4)

Nilai frekuensi



_Dmerupakan kumpulan dari banyaknya bentuk  di dalam suatu interval N yang membentuk suatu kerapatan yakni rapat keadaan g_i

 

 . Pada penelitian[1], nilai frekuensi

D



yang digunakan adalah2v/a. Nilai ini merupakan bentuk materi kontinu 1D. Pada penelitian ini untuk menghitung frekuensi



_Dditempuh dengan analisa numerik.

5

2.1.2 Nilai Rapat Keadaan gi(K)

Rapat keadaan gi(K) merupakan jumlah ragam gelombang (dn) dalam setiap interval panjang dK. Nilai gi(K) ini tergantung dari bentuk sistem koordinat seperti pada gambar berikut ini.

(a) (b)

(c)

GAMBAR 1. (a) bentuk kisi kristal 1D, (b) bentuk kisi kistal 2D dengan K merupakan jari-jari lingkaran

dan tebal lingkaran dK, (c) bentuk kisi kistal 3D dengan K jari-jari bola dan dK tebal kulit bola

Rapat keadaan gi(K) jugadapat dinyatakan dalamgi

 

 . Hubungan keduanya dapat diekspresikan dalam bentuk persamaan :

 

d g (K)dK

gi   i (5)

Persamaan (5) dapat ditulis juga dalam bentuk persamaan :

 

1       dK d ) K ( g g_i  _i  (6)

Berdasarkan gambar 1, dapat diperoleh nilai gi(K) sebagai berikut :

TABEL 1. Bentuk rapat keadaan gi(K) dari berbagai jenis dimensi

Dimensi (i) Bentuk rapat keadaan gi(K)

1        2 L 2 L K  2 2 2       3 2 3 4 2 K L _     

dengan mensubstitusi setiap nilai gi(K) pada masing-masing bentuk dimensi seperti pada tabel 1, maka dapat diperoleh besar rapat keadaan gi

 

 untuk 1D, 2D, dan 3D.

2.1.3 Kapasitas Panas Model Rantai Monoatomik

Pada vibrasi benda padat model kontinu, persamaan dispersi gelombang diberikan oleh[8]:

K . v 



(7) K dK K 0         L 2π K

6

dimanaadalah frekuensi sudut, v adalah kecepatan, dan K adalah vektor gelombang. Jika persamaan (7) diturunkan terhadap K, maka diperoleh persamaan :

dK d

v  (8)

Dalam tinjauan rantai monoatomik, nilai frekuensi sudutpada vibrasi harmonik kristal atom memenuhi persamaan[3] : 2 0 Ka sin   (9)

dimana₀  C/m dengan C adalah konstanta gaya antara bidang terdekat dan m adalah massa atom. a adalah jarak antar bidang dan K :

            





₀ 2 arcsin a K (10)

Jika persamaan (9) diturunkan maka diperoleh : g v Ka cos a dK d _        2 2 0   (11) dimana vg adalah kecepatan grup yang akan digunakan untuk mencari besar gi

 

 model rantai monoatomik, nilai vg tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk





1  dK /

d pada persamaan (6). Untuk gi(K) model rantai monoatomik yang mengandung variabel K akan diganti dengan persamaan (10), sehingga didapatkan besar g_i

 

 untuk masing-masing dimensi seperti pada tabel dibawah ini.

TABEL 2. Bentukg_i

 

 dari berbagai dimensi

Dimensi (i) Bentuk rapat keadaan gi

 



1 2 2 0 2     N 2 _ _  2 0 2 0 2      arcsin N 3 _      0 2 2 2 0 2 4      arcsin N

Bentuk g_i

 

 pada tabel 2 dapat disubstitusikan ke dalam persamaan (3), sehingga dapat dihitung besar kapasitas panas Debye model rantai monoatomik. Sekarang, persamaan (3) dapat ditulis menjadi:





 



 _       i D B B v g d e e T K K C _i T K / T K / B B i       0 2 2 1    (12) Untuk mencari nilai frekuensi Debye _Ddapat dinyatakan pada persamaan berikut dalam bentuk 1D, 2D, dan 3D :

7

 

                                







0 1 4 3 0 1 1 1 0 1 2 1 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 ₀2 2                     d arcsin d arcsin d f D D D D i

Akar-akar persamaan (13), (14), dan (15) dapat dicari dengan metode analisa secara numerik. 2.2 Metode Penelitian

Padapenelitian ini, langkah-langakah yang dilakukan adalah mencari nilai frekuensi Debye _D dari persamaan (14), (15), dan (16) yang dapat diselesaikan menggunakan analisa secara numerik. Kemudian, untuk menyelasaikan bentuk integral pada persamaan kapasitas panas Debye digunakan metode integral trapesium.

2.3 Hasil dan Diskusi

Pada penelitian yang dilakukan S. Jacimovski et al pada tahun 2011[1] telah memberikan informasi untuk beberapa variabel yang dapat digunakan untuk mensimulasikan kapasitas panas Debye model 1D dengan metode numerik yaitu :N 1024, 0 1,7510131/s,dan  134K. Nilai ₀ merupakan bentuk_D untuk 1D dan



adalah temperatur Debye. Dari hasil perhitungan secara numerik, diperoleh nilai 1D 1,51 10131s

0  

 . Nilai 1D

0

 ini digunakan untuk menghitung persamaan kapasitas panas Debye 1D model rantai monoatomik yang dihitung berdasarkan persamaan (12) yaitu :

 



   1 0 2 2 0 2 2 1 1 1 2 D x x B D v dx x x e e x K N C   (16) dimanax/k_BTdan x₀₀/k_BT.

GAMBAR 2. Perubahan kapasitas panas Debye 1D model rantai monoatomik terhadap temperatur T

dengan grafik perbandingan fungsi linear analisa numerik dan asymptotics kapasitas panas Debye pada temperatur tinggi dan rendah

Pada gambar 2 menunjukan pola perubahan kapasitas panas Debye 1D model rantai D 1 D 2 D 3

 

13

 

14

 

15 0 20 40 60 80 100 120 140 0 20 40 60 80 100 120 Temperatur(K) K a p a si ta s p a n a s (J /K )



numerik



C1D v



asymptotics



C1D v

8

monoatomik menggunakan analisa numerik dengan nilai Cv-nya hampir mendekati teori Dulung-petit sebesar C_v 3Nk_B[7,11] sedangkan pada kapasitas panas Debye 1D dengan analisa asymptotics menunjukan nilai kapasitas panassebesar 13.14 J/K.Dari hasil analisa kapasitas panas Debye pada temperatur tinggi



T



dan temperatur rendah



T



, grafik analisa secara asymptotics dan analisa secara numerik menunjukan hasil perpotongan fungsi linear yang berbeda. Perbedaan tersebut terletak pada hasil integrasi kapasitas panas Debye yang dihasilkan seperti pada tabel berikut.

TABEL 3.Hasil analisa secara asymptotics dan numerik

Metode analisa Cv temperatur rendah



_{ T}



Cv temperatur tinggi



_T



asymptotics NkB T 0 2 1 3     B Nk 2 numerik NkB T 0 2 2 1 3 2     B Nk 9

Berdasarkan tabel 3, perpotongan grafik fungsi linear temperatur tinggi dan temperatur rendah dengan analisa asymptotics terletak di bawah grafik kapasitas panas yaitu terletak pada temperatur 81,450K, sedangkan perpotongan grafik fungsi linear temperatur rendah dan temperatur tinggi dengan analisa numerik menunjukan pada nilai 53,24 0K. Artinya, interval temperatur Debye rendah berada diantara 00K-53,240K dan pada temperatur tinggi memberikan nilai dari 53,240K-1340K.

GAMBAR 4. Perbandingan grafik kapasitas panas Debye 1D, 2D, dan 3D dengan model rantai

monoatomik

Perbandingan kapasitas panas Debye 1D, 2D, dan 3D model rantai monoatomik ditunjukan pada gambar 4. Pola yang ditunjukan adalah perubahan kapasitas panas masing-masing bentuk dimensi terhadap temperatur Debye.Perhitungan besarnya kapasitas panas Debye 1D model rantai monoatomik dipengaruhi oleh jumlah derajat kebebasan.Untuk 1D memiliki 3 derajat kebebesan [12].Pengaruh gerak tersebut ditentukan dari karakteristik gerakan atom ketika mengalami interaksi dengan atom tetangganya. Untuk besar kapasitas panas Debye 2D dan 3D model rantai monoatomik juga dipengaruhi oleh gerakan antar atom yang tergantung pada sistem koordinat. Gerakan ini memiliki variasi jenis gerak yakni translasi, rotasi, dan osilasi yang bergerak searah sumbu koordinat sistem pada masing-masing bentuk dimensi.Grafik 1D, 2D, dan 3D menunjukan kapasitas panas yang cenderung stabil pada temperatur Debye maksimum yakni pada suhu 1340K. Nilai rata-rata kapasitas panas Debye masing-masing dimensi adalah sekitar 40,45 J/K. Nilai ini hampir mendekati nilai C_v 3Nk_B.

0 20 40 60 80 100 120 140 0 10 20 30 40 50 Temperatur(K) K a p a si ta s p a n a s (J /K ) D 1 C_v  D 2 C_v  D 3 Cv 

9 2.4 Kesimpulan

Hasil simulasi pada penelitian ini menunjukan bahwa ada perbedaan hasil analisa secara numerik dengan analisa secara asymptotics yakni pada nilai _D dan bentuk pola perubahan kapasitas panas Debye 1D terhadap temperatur Debye model rantai monoatomik. Metode dengan analisa numerik ini dapat dipergunakan untuk memodelkan kapasitas panas Debye 1D, 2D, dan 3D model rantai monoatomik.

2.5 Ucapan Terimakasih

Ucapan terimakasih kami sampaikan kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam menyusun makalah ini serta pihak yang telah bersedia untuk mempublikasi.

2.6 Daftar Pustaka

1. S. Jacimovski, D. Rakovic, Thermodynamics Characteristics of 1D Structures, Acta Phy. Polonica A, vol. 120, 2011, pp. 231-233.

2. Kittel C., Introduction to Solid State Physics, 7th ed., p. 123, United States of America, 1996.

3. Haitao W., et al.,Computation of Interfacial Thermal Resistance by Phonon Diffuse Mismatch Model, The Japan Institute of Metals, vol. 48, 2007, pp. 2349-2352

4. R. Passler., Characteristic non-Debye heat capacity formula applied to GaN and ZnO, Journal of Applied Physics, vol. 110, 2011.

5. Neil W., et al., Solid State Physics, p. 460,Cornell University, Philadelphia, 1976.

6. Mike Hermele, Classical Lattice Vibrations at Finite Temperature, p. 2,University of Colorado-USA, 2009.

7. Adrian Down, Energy of Phonons in a Solid, page 1, University of California, 2005. 8. Desman P. G, Suryasatriya T., FSM-UKSW, Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye

Kristal Monoatomik, HFI-Jateng & DIY, ISSN : 0853-0823, 2014.

9. Tatu Mas’udah, Analisis Model Kapasitas Panas Material Campuran Dengan Metode DSC, skripsi, p. 17, Dep. Fisika-FMIPA UI, 2007.

10. I Wayan S., Pendekatan-pendekatan Titik Sadel: Suatu Kajian Pustaka, Jurnal Matematika, vol. 2, No. 2, ISSN : 1693-1394, 2012, pp. 50-62.

11. Steven H.S., Lecture Notes for Solid State Physisc, 3rd Year Course 6, p. 17, Oxford University, 2012.

10