PEMODELAN & DINAMIKA PROSES ORDER SATU

(1)

DINPRO / III / 1 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

PEMODELAN & DINAMIKA

PROSES ORDER SATU

• Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistem order satu terhadap berbagai perubahan input (misalnya: step, ramp, sinus).

• Materi:

1. Respon Sistem Order Satu (respon-respon: step, ramp, sinus, dead-time, lead-lag)

2. Fungsi Transfer dan Diagram Blok (Penyederhanaan diagram blok)

3. Dinamika Proses Order Satu (proses termal pada tangki, dinamika volume (liquid level), proses tangki pencampur, dll.)

III

3.1. Respon Sistem Order Satu

PertimbangkanPD order satu linearberikut:

( )

_{( )}

t

bX

t

Y

a

dt

t

dY

a

₁

+

₀

=

( )

_{( )}

c

t

bx

t

y

a

dt

t

dy

a

₁

+

₀

=

+

( )

_{( )}

c

bx

y

a

dt

dy

a

₁

0 +

₀

0 =

0 +

… (3.1.1) Pada kondisi tunak (initial steady state):

… (3.1.2)

=0

Pers. (3.1.1) – Pers. (1.1.2):

… (3.1.3)

3.1 Respon Sistem Order Satu

dimana: Y(t) = y(t) –y(0) danX(t) = x(t) –x(0) adalah term deviasi

0 1 a a =

τ

( ) ( )

s

Y

s

KX

( )

s

sY

+

=

τ

Pers (3.1.3) dibagi dengana₀menghasilkan:

dimana:

( ) ( )

Y

t

K

X

( )

t

dt

t

dY

₊

₌

τ

0 a b K= … (3.1.4) adalah konstanta waktu (time constant)

adalah Gain kondisi tunak (steady state gain) Transformasi Laplace Pers (3.1.4) :

… (3.1.5)

( )

X

( )

s

K

s

Y

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

1 τ

… (3.1.6)

(2)

Step Response

3.1. Respon Sistem Order Satu

Jika X(t) = ∆x u(t) ; dari Tabel 2.2.1 diperoleh X(s) = ∆x/s, dan disubstitusikan ke pers. (3.1.6) lalu diekspansi parsial menghasilkan:

( )

[

( )

tτ

]

e

t

u

x

K

t

Y

=

∆

−

( )

_{( )}

s

x

K

s

x

K

s

x

s

K

s

Y

+

∆

+

∆

−

=

∆

+

=

τ

1

Kebalikan Laplace berdasarkan Tabel 2.2.1 menghasilkan:

… (3.1.7) dimana: u(t) adalahunity (=1)

∆x adalah besarnya perubahan input (magnitude)

1.000 ∞ … … 0.993 5.0 0.982 4.0 0.950 3.0 0.865 2.0 0.632 1.0 0 0

τ

t x K t Y ∆ ) ( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 x K t Y ∆ ) ( τ t

Gambar 3.1.1 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi tahap

Ramp Response

(

s

)

s Kr Kr s A s + = = → 2 2 0 2 1 lim τ

Rampadalah kenaikan input secara linear dengan waktu mulai dari nol. Fungsi input: X(t) = rt, dimana r adalah slope dariRamp. Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk laplaceX(s) = r/s2_{, disubstisusikan ke pers. (3.1.6)}

lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan:

(

τ

)

τ τ τ _s _s Kr Kr s A s ⎟⎠ + = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →₁ 2 1 1 1 lim

( )

_{( )}

s A s A s A s r s K s Y 3 2 2 1 2 ₁ 1 = + + + + = τ τ

A₁dicari dengan pers. (2.3.9) danA₂, A₃berdasarkan per. (2.3.13)

(

τs

)

s Krτ Kr s ds d A s ⎥_⎦=− ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = → 2 2 0 3 1 lim

(3)

Jadi diperolehramp response:

… (3.1.8)

( )

t Kr e

(

Krt Kr

) ( )

ut Kr e Kr

( ) ( )

t ut Y =

τ

−tτ+ −

τ

=

τ

−tτ+ −

τ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) (t X K t Y()

Gambar 3.1.2 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi ramp

τ terlambatOutput (lag) setelah waktuτ

Sinusoidal Response

(

)(

)

(

2 2

)

2 1 2 1 lim ω τ τω ω τ ω ω ₊ − − = + + = → i KA i s s KA A i s

Pertimbangkan X(t) = A sin(ωt), dimana A adalah amplitude dan

ω adalah frekuensi (radian/waktu). Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = Aω/(s2₊ω2_{), disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan}

ekspansi parsial menghasilkan:

(

)

(

2 2

)

2 2 1 1 1 1 1 lim ω τ ω ω τ ω τ τ ⎟_⎠ ₊ ₊ = ₊ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − → KA s s KA s A s

( )

_{( )}

ω ω τ ω ω τ s i A i s A s A s A s K s Y + + − + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 2 3 2 2 ₁ 1 Ingat (s2₊ω2₎₌₍_s_–_iω_{) (}_s₊_iω_{), dan}_A

1, A2, A3dicari dengan pers. (2.3.9)

(

)(

)

(

2 2

)

3 1 2 1 lim ω τ τω ω τ ω ω ₊ + − = − + = − → i KA i s s KA A i s

Dengan pers. (2.4.11) diperolehsinusoidal response:

… (3.1.9)

( )

(

ω

θ

)

ω

τ

ω

τ

ωτ

τ ₊ + + + = − t KA e KA t Y t sin 1 1 2 2 2 2 dimana: θ = arctan(–ωτ) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20 25 ) (t X ) (t Y

(4)

Response with Time Delay

( )

(

)

(

( )/τ

)

1 t tD D e t t u x K t Y = ∆ − − − −

Pertimbangkan Proses denganFirst Order Plus Dead-Timeberikut:

Jika dikenai perubahan step inputmenghasilkan respon:

( )

X

( )

s s Ke s Y D st ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − 1

τ

Dimanat_Dadalahtime delayataudead time

… (3.1.10)

… (3.1.11) Dimanau(t–t_D) menunjukkan bahwa responnya nol untuk t < t_D

FOPDT

Gambar 3.1.4 Respon sistem order satu dengantime delay

terhadap perubahan input fungsi tahap

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8t K∆x 0 ∆x t = 0 t = tD t_D X(t) Y(t)

Time delayataudead-time

0

( ) (

)

( )

_[

₍

₎

_]

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + + + − = − − _ω _θ ω τ ω τ ωτ τ D t t D t t KA e KA t t u t Y D _sin 1 1 2 2 / 2 2

Respon FOPDT terhadap Ramp Input

( ) (

₌ ₋

)

[

_τ

−(− )τ ₊

₍

₋ ₋

_τ

₎

]

D t t D Kr e Kr t t t t u t Y D / … (3.1.12) … (3.1.13) Respon FOPDT terhadap Sinusoidal Input

TUGAS 02

Buat grafik respon untuk pers. (3.1.12) dan pers. (3.1.13) ! Ambil nilai: K= 1, r= 1, tD= 3,

τ

= 1,

ω

= 1

(5)

Respon Untuk Unit Lead-Lag

Pertimbangkan FT Lead-Lagberikut:

( )

X

( )

s

Y

ld

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

1

1 τ

τ

Dimana:

τ

ldadalah konstanta waktu untuknumerator(lead)

τ

lgadalah konstanta waktu untukdenominator(lag)

Lead-Lag diaplikasikan untuk kompensasi dinamik FFC (Feed Forward Control) Ædibahas pada pertemuan y.a.d.

… (3.1.14)

Lead-Lag Unit

( ) ( )

τ

/ 1 t ld _e t u t Y _⎟⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + =

0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t Y( t)

Gambar 3.1.5 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi tahap … (3.1.15) Respon Lead-Lag Unit terhadap step input

2 =

τ

ld 1 0.5 0

( )

t =

(

τ

−

τ

)

e− τ +t+

τ

−

τ

Y _ld t/

Respon Lead-Lag Unit terhadap ramp input

… (3.1.16)

Gambar 3.1.6 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi ramp

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Y (t) X(t) (a) (b) (τ_ld− τ_lg) (τ_lg− τ_ld)

(a) Net Lead: τld> τlg (b) Net Lag: τlg> τld

(6)

3.2 Fungsi Transfer dan

Diagram Blok

Fungsi Transfer

( )

_{( )}

) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + = = ₋ − − − − s b s b s b e s a s a s a K s X s Y s G n n n n s t m m m m D L L _{… (3.2.1)} Dimana: n ≥m

G(s) = fungsi transfer (secara umum) Y(s) = transformasi laplace variabel output X(s) = transformasi laplace variabel input K, a, b= konstanta

t_D= deadtime

Diagram Blok

3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok

Diagram blok dibentuk oleh kombinasi 4 elemen dasar:

1. panah (arrow): informasi arah, yang menggambarkan variabel proses atau sinyal kontrol

2. titik penjumlahan(summing point) : penjumlahan aljabar input panah

3. titik percabangan(branch point) : posisi dimana panah bercabang menuju ke titik penjumlahan atau blok yang lain

4. blok(block) : operasi matematis dalam fungsi transfer

E(s) R(s) M(s) C(s) GC(s) M(s) + −

Summing point Block

Branch point

Arrow Arrow

M(s) = G_c(s).E(s) = G_c(s).{R(s) –C(s)}

G(s)

X(s) Y(s)

Satu-Input-Satu-Output (SISO)

Diagram Blok Sederhana

Dua-Input-Satu-Output G₁(s) X₁(s) Y(s) G2(s) X2(s) + + G1(s) X₁(s) Y(s) G2(s) X₂(s) + + + Gn(s) X_n(s) . . . n-Input-Satu-Output

(7)

( )

1 1 + = s s U s Y τ

Contoh 3.2.1: Gambarkan diagram blok untuk pers:

U(s) Y(s) 1 1 + s

τ

( )

s s K s s K s _i Γ_S + + Γ + = Γ 1 1 2 1

τ

Contoh 3.2.2: Gambarkan diagram blok untuk pers:

Γi(s) Γs(s) Γ(s) + + K1 K₂ 1 1 + s τ Γi(s) Γs(s) Γ(s) + + 1 2 + s K τ 1 1 + s K τ atau DINPRO / III / 20 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

Contoh 3.2.3: Tentukan Fungsi Transfer hubunganYterhadapX₁danX₂

berdasarkan diagram blok berikut:

G1 G2 G3 G4 + − X1(s) Y1 + + + − X2(s) Y(s) Y3 Y2 Penyelesaian dengan manipulasi aljabar: Y= Y₃+ Y₂ + + Y(s) Y3 Y2 Y= Y₁G₃+ Y₂ G3 Y1 Y3 dari diperoleh: Mencari Y₁ G1 G2 + − X1(s) Y1 Z1 Z2 Y₁= Z₁+ Z₂ Y₁= X₁G₁ – X₁G₂ Y₁= X₁(G₁ – G₂) G4 + − X2(s) Y2 Mencari Y₂ Z3 Y₂= Z₃– X₂ Y₂= X₂G₄ – X₂ Y₂= X₂(G₄ – 1)

(8)

( ) (

s G G

)

G X

( ) (

s G

) ( )

X s

Y = ₁− ₂ ₃ ₁ + ₄−1 ₂

SubstitusiY₁danY₂keY:

Diagram blok sederhana untuk soal 3.2.3:

X1(s) X₂(s) (G1–G2)G3 (G₄–1) Y(s) + + DINPRO / III / 23 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

Contoh 3.2.4: Tentukan Fungsi Transfer hubunganCterhadapLdanC set

berdasarkan diagram blok berikut, dan sederhanakan diagram bloknya:

G₁ G₂ G₄ G₅ L(s) C set_(s) − + C(s) G₆ G₃ G_c + +

Penyelesaiandengan manipulasi aljabar: E X C(s) = G₄X(s) X(s) = G_cG₂G₃E(s) + G₅L(s) E(s) = G₁C set₍_s_{) –} _G 6C(s) X(s) = G_cG₂G₃[G₁C set₍_s_{) –} _G 6C(s)] + G5L(s) C(s) = G₄{G_cG₂G₃[G₁C set₍_s_{) –} _G 6C(s)] + G5L(s)}

( )(

s G G GG G

)

GGG GG C

( )

s G G L

( )

s C 1+ _c ₂ ₃ ₄ ₆ = ₁ _c ₂ ₃ ₄ set + ₄ ₅

Penyusunan persamaan untuk mendapatkan hubungan C terhadap perubahanCset_dan_L_:

( )

s GG G GG C

( )

s GG GG G C

( )

s G G L

( )

s C = ₁ _c ₂ ₃ ₄ set − _c ₂ ₃ ₄ ₆ + ₄ ₅

( )

L

( )

s G G G G G G G s C G G G G G G G G G G s C c set c c 6 4 3 2 5 4 6 4 3 2 4 3 2 1 1 1+ + + =

Jadi, diperoleh dua fungsi transfer:

( )

2 3 4 6 4 3 2 1 1 GG G G G G G G G G s C s C s G c c set sp = = ₊

( )

_{( )}

( )

6 4 3 2 5 4 1 G G GG G G G s L s C s G c load = = ₊

(9)

6 4 3 2 4 3 2 1 1 G G GG G G G G G G c c + 6 4 3 2 5 4 1 G G GG G G G c + C set₍_s₎ L(s) C(s) + +

Diagram blok sederhana (Contoh 3.2.4) hubungan dua input: Cset₍_s_{) dan}

L(s), dengan satu output C(s) adalah:

3.3 Dinamika Proses Order Satu

Pemodelan Untuk Proses-Proses Industri

Mengapa perlu pemodelan?

1) Pelatihan operator (Operator training) 2) Perancangan proses (Process design) 3) Keselamatan sistem (Safety system) 4) Pengendalian proses (Process control)

1. variabel-variabel bebas (independent variables) dan tidak bebas (state variables) dari sistem

2. persamaan-persamaan hubungan antara variabel proses yang dapat menggambarkan kelakuan dinamik proses terhadap perubahan waktu Untuk mempelajari karakteristik sistem proses (tangki, reaktor, menara distilasi, penukar panas, dll) dan kelakuaannya, diperlukan:

Tiga kuantitas fundamental dalam Proses Kimia: (1) MASA, (2) ENERGI, dan (3) MOMENTUM

PRINSIP KEKEKALAN DARI KUANTITAS S

3.3 Dinamika Proses Order Satu

waktu periode sistem dlm konsumsi ter yg S Sejumlah waktu periode sistem dlm bangkitkan ter yg S Sejumlah waktu periode sistem keluar S aliran Laju waktu periode sistem masuk S aliran Laju waktu periode sistem dalam S Akumulasi ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ … (3.3.1) S dapat berupa: Massa Energi Momentum Massa Total Massa Komponen

(10)

Contoh 3.3.1: Tentukan Fungsi Transfer hubungan input (f₁danf₂) dan

output (h) untuk sistem proses tangki cairan berikut:

f : laju alir volumetrik, [m3_/menit] ρ : densitas cairan, [kg/m3_]

h : ketinggian cairan di dalam tangki [m] A : luas penampang tangki

R : tahanan aliran cairan

h(t), [m] f₁(t), ρ f₂(t), ρ ρ

( ) ( )

R t h t f₃ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 m menit

Asumsi: densitas cairan umpan, ρ tetap dan suhu cairan tetap

( )

dt t dh A dt V d t f t f t f₁

ρ

+ ₂

ρ

− ₃

ρ

=

ρ

=

ρ

Penyelesaian:

N.M. kondisi tidak tunak:

… (3.3.2)

( )

( ) ( )

( )

dt t dh A R t h t f t f₁ + ₂ − =

… (3.3.3) N.M. kondisi tunak: dt dh A R h f f₁_s+ ₂_s− s = s … (3.3.4)

Pers. (3.33) – pers. (3.3.4) menghasilkan:

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

( )

dt h t dh A R h t h f t f f t f₁ − ₁_s + ₂ − ₂_s − − s = − s … (3.3.5)

Persamaan keadaan (model matematik) dalam term deviasi adalah:

( )

H

( )

t dt t dH t F K t F K_p ₁ + _p ₂ =

τ

_p + … (3.3.6)

( )

t f

( )

t fs F₁ = ₁ − ₁ dimana:

( )

t f

( )

t f _s F₂ = ₂ − ₂

( ) ( )

t ht h_s H = − R K_p = AR p =

τ

Term deviasi : Gain proses

: Konstanta waktu proses

Karena pers. (3.3.6) adalah linear, maka dapat dilakukan TL:

( )

s K F

( )

s sH

( )

s H

( )

s F K_p ₁ + _p ₂ =

τ

_p +

( )

F

( )

s s K s F s K s H p p p p 2 1 1 1 + + + =

τ

… (3.3.10) … (3.3.7) … (3.3.8) … (3.3.9)

(11)

Jika laju volumetrik f₁(t)berubah, dan f₂(t) tetap, maka F₂(s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

( )

F

( )

s s K s H p p 1 1 + =

τ

Fungsi transfer pengaruh f₁(t) terhadap h(t):

… (3.3.11)

( )

_{( )}

1 1 1 = = ₊ s K s F s H s G p p

τ

… (3.3.12)

Jika laju volumetrik f₂(t)berubah, dan f₁(t) tetap, maka F₁(s) = 0, sehingga pers. (3.3.7) menjadi:

( )

F

( )

s s K s H p p 2 1 + =

τ

… (3.3.13) DINPRO / III / 32 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

Fungsi transfer pengaruh f₂(t) terhadap h(t):

( )

_{( )}

1 2 2 = = ₊ s K s F s H s G p p

τ

… (3.3.14) 1 + s K p p

τ

H(s) F₁(s) F₂(s) + +

Diagram blok proses tangki cairan (Contoh 3.3.1)

H(s) F₁(s) F₂(s) 1 + s K p p

τ

+ + 1 + s K p p

τ

atau

Contoh 3.3.2: Linearisasi persamaan laju aliran tak-linear

Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika laju alir keluar tangki dinyatakan dengan pers. tak-linear:

( )

t h

( )

t f₃ =

β

( )

dt t dh A t h t f t f₁ + ₂ −

β

= … (3.3.15) Substitusi pers. (3.3.12) ke (3.3.2): … (3.3.16) tak-linear

Linearisasi pers. tak-linear:

( )

[

() (0)

]

) 0 ( 2 1 ) 0 ( 3 ht h h h t f =

β

+

β

−

( )

[

]

s s s s s ht h h h t h h h t f 2 ) ( 2 ) ( 2 3

β

+ − = + = … (3.3.17)

(12)

dt dh A h h h f f _s _s s s s s+ − − = 2 2 2 1

β

( )

H

( )

t h dt t dH A t F t F s 2 2 1

β

+ = +

Maka diperoleh persamaan linear:

… (3.3.18) N.M. pada kondisi tunak:

( )

dt t dh A h t h h t f t f _s s = − − + 2 2 2 1

β

… (3.3.19) Pers. (3.3.14) – Pers. (3.3.15):

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

dt h t h d A h t h h f t f f t f _s s s s s − = − − − + − 2 2 2 1 1

β

( )

H

( )

t dt t dH t F K t F K_p ₁ + _p ₂ =

τ

_p +

β

τ

s p h A 2 =

β

s p h K = 2

Persamaan keadaan dalam term deviasi:

… (3.3.20)

… (3.3.21) … (3.3.22)

( )

F

( )

s s K s F s K s H p p p p 2 1 1 1 + + + =

τ

Dengan cara yang sama diperoleh transformasi laplace: dimana:

Contoh 3.3.3: Respon dinamik tangki cairan terhadap perubahanstep input

Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika diketahui data sebagai berikut:

menit m f _s 3 1 =0.2 ; menit m f _s 3 2 =0.3 ; 2 2 m menit R=

( ) ( )

R t h t f₃ =

f₃(t) dinyatakan dengan pers. linear: , dengan

Tinggi cairan:h_s= 1 [m]

( )

[ ]

m menit m menit RA p 2 1 2 2 2 ⎥⎦ = ⎤ ⎢⎣ ⎡ = =

τ

Luas alas:A= 1 [m2_{] ; Tinggi tangki = 2 [m]}

Parameter kondisi tunak:

2 2 m menit R K_p = = Dimensi tangki:

(13)

Jika tiba-tiba laju alir volumetrik f₁(t) berubah menjadi

menit m3

6 . 0

sedangkan laju alir volumetrik f₂(t) tetap, maka F₂(s) = 0 magnitude: menit m menit m menit m f f M _s _snew 3 3 3 1 1 − =0.6 −0.2 =0.4 =

Persamaan respon dinamiklevelcairanh(t):

( )

s M s F1 =

( )

s M s K s H p p 1 + =

τ

… (3.3.23)

Laplace inversepers. (3.3.23):

( )

[

]

+ _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − − − s Q s P s M s K s H p p p p 1 1 1 1 1 1

L

τ

_τ

M K M K s s M s K s P _p p p p p p p p p − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − → =

τ

1 1 1 1 lim MencariPdanQ

( )

M K M K s s M s K s Q _p p p p p p p = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + → =

τ

1 0 1 0 lim

( )

[

]

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − − − − s M K s M K s M s K s H p p p p p p 1 1 1 1 1 1

L

τ

maka:

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − = − p − p t p p t pMe K M K M e K t H τ 1 τ

Karena H

( ) ( )

t =ht −h_s

Jadi diperoleh respon dinamik level cairan terhadap perubahan input:

( )

(

t p

)

p s K M e h t h = + 1− − τ … (3.3.24) … (3.3.25)

( ) ( )

[ ]

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = − 2 3 2 0,4 1 2 1 e t menit m m menit m t h

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + =₁ ₀_,₈₁ _e−t2 t h _{… (3.3.26)}

(14)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 12 time (mnt) f 1 ( t ) [m 3 /m n t] 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0 2 4 6 8 10 12 time (mnt) Li qui d Le ve l ( m )

Respon dinamik level cairan terhadap perubahan laju alir umpan dengan step input