BAB XV DIFERENSIAL (Turunan)

BAB XV

DIFERENSIAL (Turunan)

Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dengan y’ = dx dy = f'(x) dengan dx dy = 0 → h Lim h x f h x f( + )− ( ) Rumus-Rumus Diferensial: 1. y = k → y'= 0 2. y = k x n → y'= k. n xn−1 3. y = sin x → y' = cos x 4. y = cos x → y'= - sin x 5. y = u ± v → y' = u' ± v' 6. y = u. v → y' = u' v + v' u 7. y = v u → y' = ' ₂ ' v u v v u − 8. y = k [f(x)]n → y'= k . n [f(x)]n−1 . [f’(x)] 9. y = sin f(x) → y' = f'(x). cos f(x) 10. y = cos f(x) → y' = - f'(x). sin f(x)

11. y = sinnf(x) → y' = n sinn−1f(x). cos f(x) . f'(x)

12. y = cosnf(x) → y' = - n cosn−1f(x). sin f(x) . f'(x)

13. y = af( x) → y' = af( x). ln a . f’(x) 14. y = ef( x) → y' = ef( x). f'(x) 15. y = ln f(x) → y' = ) ( ) ( ' x f x f 16. y = tan x → y' = sec2x = x 2 cos 1 17. y = cot x → y' = - cosec2x 18. y = sec x → y' = sec x tan x

19. y = cosec x → y' = - cosec x cotan x Penggunaan Turunan :

1. Garis singgung

persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f'(x)

apabila terdapat dua persamaan garis y= m₁x + c₁ dan y= m₂x + c₂ dikatakan

- sejajar apabila m₁ = m₂

- tegak lurus apabila m₁ . m₂ = -1

2. Fungsi naik/turun diketahui y = f(x); - jika f'

(x) < 0 maka f(x) turun - jika f'(x) >0 maka f(x) naik 3. Menentukan titik stasioner diketahui y = f (x).

Bila f'(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner - (a, f(a) ) titik minimum jika f''

(a) > 0 - (a, f(a) ) titik maksimum jika f'' (a) < 0 - (a, f(a) ) titik belok jika f ''(a) = 0

3. Menentukan Kecepatan dan percepatan S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka

- kecepatan v = S'(t) - percepatan a = S''(t)

15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL

EBTANAS2000

1. Turunan pertama dari f(x) = 6x2 3 adalah f ′(x) = … A. 3x2 1 B. 5x2 1 C. 6x2 1 D. 9x2 1 E. 12x2 1 jawab: f(x) = 6x2 3 f ′(x) = 2 3 .6 x23 −1 _{= 9x}2 1 Jawabannya adalah D EBTANAS1999 2. Turunan pertama f(x)= (2x - x 1 )2 _{adalah f}'_{(x) = ….} A. 8x - x 2 C. 8x + x 2 E. 8x + 2₃ x B. 8x + x 1 D. 8x - 2₃ x Jawab: f(x)=(2x - x 1 )2 f'_{(x) = 2 (2x -} x 1 ) . (2 – (-x−2₎₎ = 2 (2x - x 1 ). (2 + 1₂ x ) = 2 (4x + {(2₂ xx -x 2 ) - 1₃ x } ) = 2 (4x - 1₃ x ) = 8x - 3 2 x jawabannya adalah D EBTANAS1995 3. Diketahui f(x) = ₂ 3 1 x , maka 0 lim → t t x f t x f( + )− ( ) adalah…. A. ₃6 x − C. x 3 2 − E. x 6 1 − C. ₃ 3 2 x − D. ₂ 2 3 x Jawab: Cara 1: f(x) = ₂ 3 1 x = 3 1 x−2 f'_{(x) =} 3 1 . -2 x−3 ₌ 3 3 2 x −

Cara 2: Merupakan pembuktian dari: f'_{(x) =} 0 lim → t t x f t x f( + )− ( ) = 0 lim → t t x t x 2 3 2 1 ) ( 3 1 ₋ + = 0 lim → t t x t x t x x 2 2 2 2 ) ( 3 ) ( + + − = 0 lim → t t x t x t xt x x 2 2 2 2 2 ) ( 3 ) 2 ( + + + − = 0 lim → t t x t xt x t xt 2 2 2 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( + + + − = 0 lim → t t t x t x x t x t ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 2 3 4 _{+ +} + − = 0 lim → t 3( 2 ) ) 2 ( 2 2 3 4 t x t x x t x t + + + − . t 1 = 0 lim → t 3( 2 ) ) 2 ( 2 2 3 4 t x t x x t x + + + − = ) 0 . 0 . 2 ( 3 ) 0 2 ( 2 3 4 x x x x + + + − = ₄ 3 2 x x − = ₃ 3 2 x − Jawabannya adalah C

EBTANAS1995

4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = (2-3x)3 5 adalah f'_{(x) = …..} A. 3 5 (2-3x)3 5 D. -5 (2-3x)3 2 B. 8 3 − (2-3x)3 8 E. 5 (2-3x)3 2 C. 8 3 (2-3x)3 8 (2-3x)3 8 jawab: f(x) = (2-3x)3 5 f'_{(x) =} 3 5 (2-3x)35−1 _{. -3} = - 5 (2-3x)3 2 jawabannya adalah D UN2006

5. Turunan pertama dari y = (x-3)(4x-1)2 1 adalah…. A. 1 4 2 − x C. 2 4 1 3 − − x x E. 1 4 2 5 2 − − x x B. 1 4 5 2 − − x x D. 1 4 7 6 − − x x Jawab: y = u. v → y' _{= u}' _{v + v}' _u y = (x-3)(4x-1)2 1 y' _{= 1 .(4x-1)2}1 ₊ 2 1 (4x-1) 2 1 − . 4 . (x-3) = (4x-1)2 1 + 2 1 ) 1 4 ( ) 3 ( 2 − − x x = 2 1 ) 1 4 ( ) 3 ( 2 ) 1 4 ( − − + − x x x = 1 4 6 2 1 4 − − + − x x x = 1 4 7 6 − − x x Jawabannya adalah D EBTANAS1999 6. Diketahui fungsi f(x) = x x2 +6

Turunan pertama fungsi f(x) adalah f _{′(x) = …}

A. x x x+ 6₂ D. x x x ₂ 3 1 2 3 + B. x x x− 3₂ E. x x x 3₂ 2 3 ₋ C. x x x ₂ 3 1 − Jawab: y = v u → y' ₌ 2 ' ' v u v v u − f(x) = x x2 +6 f'_{(x) =} 2 2 2 1 ) ( ) 6 ( 2 1 . 2 x x x x x − − + = x x x x x 2 1 2 3 3 2 1 . . 2 − − − = 2 x - 2 1 x - 3x 2 3 − = 2 3 x - x x 3 = 2 3 x - ( x x 3 . x x ) = 2 3 x - (3 ₂ x x ) = 2 3 x -3 ₂ x x jawabannya adalah E

EBTANAS1998

7. Diketahui fungsi f(x) = sin2 _{(2x + 3) dan turunan} dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …

A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) Jawab:

. y = sinn_f(x) → _y' _{= n sin}n−1_{f(x). cos f(x) . f}'_(x)

f(x) = sin2 _{(2x + 3)} f' x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2 = 4 sin (2x+3) . cos(2x+3) jawabannya adalah A EBTANAS1997

8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos3_{(3-2x) adalah f}'_{(x) =….} A. -3 cos2_{(3-2x) sin (3-2x)} B. 3 cos2_{(3-2x) sin (3-2)} C. -6 cos (3-2x) sin (3-2x) D. -3 cos (3-2x) sin (6-4x) E. 3 cos (3-2x) sin (6-4x) Jawab:

y = cosn_f(x) → _y'_{=- n cos}n−1 _{f(x). sin f(x) f}'_(x) f(x) = cos3_(3-2x)

f'_{(x) = - 3 cos}2_{(3-2x) . sin (3-2x) . -2} = 6 cos2_{(3-2x) . sin (3-2x)}

(jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!) Ingat rumus trigonometri:

sin 2A = 2 sin A cosA terapkan dalam soal ini :

f'_{(x) = 6 cos}2_{(3-2x) . sin (3-2x)}

= 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x) = 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x) = 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x)

= 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x) Jawabannya adalah E

EBTANAS1986

9. Persamaan garis singgung pada kurva x2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah … A. 3x+ y - 1 = 0 B. 2x - y = 0 C. –x + 2y + 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 E. x – y – 3 = 0 jawab:

Persamaan garis singgung y – b = m(x –a) Diketahui a = 1 dan b = -2 x2 - 4x – 2y – 1 = 0 2y = x2 - 4x – 1 y = 2 1 x2- 2x – 2 1

m(gradien) = y' _{= x - 2 (di titik (1,-2) Æ x = 1 )} = 1 - 2 = -1

persamaan garis singgungya adalah : y – (- 2) =-1 (x – 1)

y + 2 = - x + 1 ⇔ x + y +1 = 0 jawabannya adalah D

EBTANAS2000

10. Garis singgung pada kurva x2 _{– y + 2x – 3 = 0} yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan … A. y + 2x + 7 = 0 B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0 D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0 jawab: x2 – y + 2x – 3 = 0 → y = x2+ 2x – 3 Persamaan garis x – 2y + 3 = 0 → 2y = x + 3 y = 2 1 x + 2 3 didapat m₁ = 2 1

garis singgung tegak lurus maka : m₁. m₂ = -1 2 1 . m₂ = -1 Æ m₂ = -2 kurva y = x2_{+ 2x – 3} y' _{= 2x + 2 = m} 2 = -2 2x + 2 = -2 2x = -4 x = -2 jika x = -2 maka y = (-2)2 _{+ 2 . (-2) – 3} = 4 – 4 – 3 = -3 didapat (x₁, y₁) = (-2,-3)

sehingga garis singgungnya adalah: y - y₁ = m₂ ( x - x₁) y +3 = -2 ( x + 2) y + 3 = -2x – 4 y = -2x - 7 ⇔ y + 2x – 7 = 0 jawabannya adalah D EBTANAS1991

11. Fungsi f yang dirumuskan dengan

f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1 naik dalam interval … A. x < –3 atau x > 1 B. x < –1 atau x > 1 C. –3 < x < 1 D. –1 < x < 1 E. x < –3 atau x > –1 Jawab: f(x) = x3 _{+ 3x}2 _{– 9x – 1} f'_{(x) = 3x}2_{+ 6x – 9} = x2 _{+ 2x – 3} ⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x₁= -3, x₂ = 1 + + -- - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 jika f'_{(x) >0 maka f(x) naik (bertanda +)} yaitu x < -3 atau x > 1

Jawabannya adalah A

EBTANAS2003

12. Fungsi f(x) = x3_{+ 3x}2 _{– 9x – 7 turun pada interval ..} A. 1 < x < 3 B. –1 < x < 3 C. –3 < x < 1 D. x < –3 atau x > 1 E. x < –1 atau x > 3 Jawab :

fungsi turun jika f'_{(x) < 0} f(x) = x3_{+ 3x}2 _{– 9x – 7} f'_{(x) = 3x}2_{+ 6x – 9} = x2_{+ 2x – 3} ⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x₁= -3, x₂ = 1 + + -- - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 jika f'_{(x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -)} yaitu x > -3 dan x < 1

dapat ditulis dengan -3< x < 1 jawabannya adalah C

EBTANAS2000

13. Nilai maksimum fungsi f(x) = x4 _{– 12x pada} interval –3 ≤ x ≤ 1 adalah …

A. 16 B. 9 C. 0 D. -9 E. -16 Jawab:

Tentukan nilai stasioner yaitu f'_{(a) = 0} f(x) = x4 _{– 12x} f'_{(x) = 4x}3 _-12x ⇔ x3 _{- 3x} ⇔ x (x2 _{- 3)} ⇔ x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 - - + + - - + + • • • - 3 0 3 max min Jika x < - 3 Æ - . - . - = - - 3 < x < 0 Æ - . - . + = + 0 < x < 3 Æ +. - . + = - x > 3 Æ +. + . + = +

terlihat pada grafik garis nilai max jika x = 0 (interval –3 ≤ x ≤ 1)

sehingga nilai maksimumnya : f(x) = x4 _{– 12x}

f(0) = 0 – 0 = 0 jawabannya adalah C EBTANAS2000

14. Nilai minimum fungsi f(x) = x3 _{- 27x pada interval} -1 ≤ x ≤ 4 adalah…. A. 26 B. 0 C. -26 D. -46 E. -54 jawab: f(x) = x3 _{- 27x} f'_{(x) = 3x}2 _{- 27} ⇔ x2 _{- 9} ⇔ (x – 3 ) (x + 3) = 0 x = 3 ; x = -3 +++ - - - - +++ • • -3 3 max min nilai minimum jika nilai x = 3 (interval -1 ≤ x ≤ 4)

sehingga nilai minimumnya adalah: f(x) = x3 _{- 27x} f(3) = 33 _{- 27. 3} = 27 - 81 = -54 jawabannya adalah E UN2005

15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka(p) tersebut, adalah :

l l p A. 16m B. 18m C. 20m D. 22m E. 24m jawab: Luas = L = p l + p . l = 2 p. l Panjang kawat = 120 m 120 = 3. p + 4. l 3p = 120 – 4. l p = 40 - 3 4 . l L = 2. l (40 - 3 4 . l ) = 80 l - 3 8 . l 2

Luas maksimum jika L' _{= 0}

L = 80 l - 3 8 . l 2 L' = 80 - 3 16 . l = 0 3 16 l = 80 l = 16 240 = 15

agar luas maksimum maka p = p = 40 - 3 4 . l = 40 - 3 4 . 15 = 40 -20 = 20 m Jawabannya adalah C UN2005

16. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x - 800 +

x 120

) ratus ribu rupiah . Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu ... A . 40 jam B . 60 jam C . 100 jam D . 120 jam E . 150 jam

Jawab:

Diketahui biaya perjam = (4x - 800 + x 120

) ditanya = waktu pengerjaan agar biaya minimum ? Waktu pengerjaan = x

Biaya Produksi (B) = Biaya perjam . waktu pengerjaan = (4x - 800 +

x 120

) . x = 4x2 _{- 800 x + 120} agar biaya minimum maka B' _{= 0}

B' _{= 8 x – 800 = 0} 8x = 800 x = 100 jam jawabannya adalah C