Rancangan Percobaan. Arum Handini Primandari, M.Sc.

Konsep Dasar Statistika untuk

Konsep Dasar Statistika untuk

Rancangan Percobaan

Operator Penjumlahan

• Operator penjumlahan: • Sifat: 1 2 1 ... n i n i x x x x     



n











1 1 1 1 1 1 1 1 n i n n i i i i n n i i i i n n n i i i i i i i k nk kx k x a bx na b x x y x y                













 

• Operator penjumlahan ganda: • Sifat:







 







1 2 1 1 1 1 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... n m n ij i i m i j i n n m m nm x x x x x x x x x x x x x                    

 

• Sifat: 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ) n m m n ij ij i j j i n m n m i j i j i j i j a x x b x y x y          







 





1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ) ) 2 n m n m n m ij ij ij ij i j i j i j n n n i i i j i i i j c x y x y d x x x x                    













Operator Perkalian

•

Operator perkalian:

1 2 1 n i n i x x x x    



Variabel Acak dan Nilai Harapan

• Variabel acak (random variabel):

– Kejadian (event) yang dinyatakan dalam bentuk bilangan nyata.

– Fungsi yang menetapkan setiap hasil dari percobaan ke dalam bentuk

bilangan nyata. • Variabel acak: a) Variabel diskrit a) Variabel diskrit b) Variabel kontinu • Contoh:

– Pengamatan produksi minuman kaleng suatu mesin dalam 1 jam, maka banyaknya produksi: 0, 1, 2, 3, …dst. Variabel acak: produksi minuman kaleng.

– Konsumsi beras seseorang dalam 1 bulan berkisar 9 – 10 kg. Variabel acak: konsumsi beras.

– Pelambungan koin, nilai 1 untuk huruf dan nilai 0 untuk gambar. Variabel acak: 1 dan 0.

Nilai Harapan

• Variabel acak Diskrit:

• Variabel acak kontinu:

 

_x ( ) x E X   



xf x

 

( ) E X  xf x dx   



• Sifat:

 

_x ( ) E X  xf x dx   



2 2 2 ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) a E b b b E aX b aE x b c E aX a E X      ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) a E XY E X E Y b E X Y E X E Y     

Jika X dan Y adalah variabel acak independent:

Variansi

• Jika X adalah variabel acak dan E(X) = μ, maka variansi dirumuskan: • Sifat:

 

₂





2

 

_{2 2} X Var X  E X   E X  • Sifat:

Jika X dan Y variabel bebas maka:

2 ) ( ) 0 ) ( ) ( ) a Var b b Var aX b a Var X   





 

 

Kovarians

• Jika X dan Y adalah variabel acak yang masing-masing mempunyai nilai harapan μ_X dan μ_Y, maka kovarians:















 

, _{X Y} X Y Cov X Y E X Y E XY         

• Jika X dan Y variabel independen, maka:













) , 0 ) , , a Cov X Y b Cov bX dY bdCov X Y  

Koefisien Korelasi

• Terdapat hubungan antara variansi dan kovarians dengan koefisien korelasi, yang dinotasikan ρ, yaitu:





   





, , X Y Cov X Y Cov X Y Var X Var Y     

• ρ mengukur hubungan linier antara dua variabel, nilainya:

   

X Y

Var X Var Y

1  1

Distribusi Peluang yang Penting

1. Distribusi Normal

• Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi normal, jika memiliki fungsi kepadatan peluang:





2 2 1 ( ) exp ; 2 2 x f x  x     _            

• Distribusi normal baku yaitu distribusi normal dengan μ = 0 dan σ2 _{= 1. Transformasi normal baku:}

• Fungsi kepadatan peluang normal baku:

2 2    _{ } X Z     2 1 1 ( ) exp 2 2 f z z     _ _  

2. Distribusi Chi-Square

• Fungsi kepadatan peluang dari variabel acak chi-square, X2, dengan derajat bebas v, adalah:

 

₂

_{ }



₂

 

₂  2 1 ₂ 2 1 exp 2 ;0 2 2 v v f v          

• Nilai harapan = v, variansi = 2v

• Teorema 1: Jika dengan derajat bebas v₁, v₂,

…,v_k, maka:

memiliki distribusi chi-square dengan derajat bebas:

 

2  v 2 2 2 2 1 , ,...,2 k    2 2 1 k i i    



1 k i i v v  



• Teorema 2: Jika Z adalah normal baku, dimana Z~N(0,1), maka Z2 _{berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v = 1.}

• Teorema 3: Jika X₁, X₂, …, X_k adalah variabel acak normal yang

saling bebas dan masing-masing memiliki nilai rata-rata μ_idan saling bebas dan masing-masing memiliki nilai rata-rata μ_idan σ2

i, untuk i = 1, 2, …, k, maka:

memiliki distribusi chi-square dengan derajat bebas v = k





2 2 2 1 k i i x     





Distribusi t-Student

• Jika Z merupakan variabel acak normal baku Z~N(0,1) serta χ2 adalah variabel acak chi-square dengan derajat bebas v, maka variabel t didefinisikan sebagai rasio keduanya:

2 Z t v  

• Fungsi kepadatan peluangnya:

dinyatakan sebagai distribusi t dengan derajat bebas v.

v 

 

2  1 2 1 1 2 ; 1 ; 2 v v t f t v t v _v v        _{ }      _{ }       _{ }    

• Nilai harapan E(t) = 0, dengan var(t) = v/(v-2)

• Teorema 4: jika x₁, x₂, …, x_n adalah data pengamatan dalam

sampel acak berukuran n yang ditarik dari populasi normal, maka rasio:

maka rasio:

akan berdistribusi t-Student dengan derajat bebas (v-1)



X



t s n   

Distribusi F (Fisher’s F Distribution)

• Jika terdapat dua variabel chi-square yang bebas, dimana χ₁2 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v₁ serta χ₂2 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v₂, maka rasio keduanya:

2 1 v1

F  

akan berdistribusi F dengan derajat bebas v₁ dan v₂

1 1 2 2 2 v F v   

• Teorema 5: apabila ada dua sampel acak berukuran n1 dan n2, yang masing-masing dipilih dari dua populasi normal, maka rasio dari:









2 2 1 1 2 2 s s  

akan memiliki distribusi F dengan derajat bebas v₁ = n₁ – 1 dan v₂ = n₂ – 1.



2 2



2 2

Pengujian Hipotesis

• Dalam pengujian hipotesis akan dijumpai:

Keadaan sesungguhnya dalam populasi H₀ benar H₀ salah

Terima H₀ Tepat Kesalahan Jenis II (β) Tolak H Kesalahan jenis I (α) Tepat

• Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1) Merumuskan hipotesis 2) Memilih taraf nyata α 3) Menentukan statistik uji 4) Perhitungan

5) Keputusan dan kesimpulan

Uji Hipotesis

1. Uji hipotesis nilai tengah untuk satu populasi

• Terdapat 3 bentuk: 1 2 3 0 0 1 0 : : H H       0 0 1 0 : : H H       0 0 1 0 : : H H      

• Jika variansi populasi diketeahui (σ2) diketahui atau ukuran sampel (n) besar, maka statistik ujinya adalah normal baku:

• Jika variansi tidak diketahui maka menggunakan statistik ujinya adalah t-student 1 : 0 H   H₁ :   ₀ H₁ :   ₀ 0 0 hitung x x x z n    _     0 0 hitung x x x t s _{s n}      

2. Uji beda nilai tengah dua populasi

• Dibedakan menjadi dua kasus: saling bebas dan berpasangan.

• Kedua kasus tersebut dibedakan oleh metode pengambilan sampelnya.

– Dua sampel dikatakan saling bebas jika pemilihan unit-unit sampel pertama tidak tergantung pada bagaimana unit-unit sampel kedua dipilih dan sebaliknya.

– Dua sampel dikatakan berpasangan jika pengambilan unit-unit sampel – Dua sampel dikatakan berpasangan jika pengambilan unit-unit sampel

pertamamemperhatikan bagaimana unit-unit sampel kedua dipilih. Keterkaitan kedua sampel tersebut ditentukan oleh variabel kontrol, misal: lokasi, kemiringan lahan, tingkat pendidikan, kondisi sosial ekonomi, dll.

Populasi Sampel 1 Sampel 2 Pasangan 1 O₁₁ O₁₂ Pasangan 2 O₂₁ O₂₂ … Pasangan n O_n1 O_n2 POPULASI

a) Dua sampel bebas • Bentuk hipotesis 1 2 3 0 1 2 0 1 1 2 0 : : H H           0 1 2 0 1 1 2 0 : : H H           0 1 2 0 1 1 2 0 : : H H           • Statistik uji: 1) Variansi sama:

dengan derajat bebas sebesar n₁+n₂-2

1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0





 1 2 1 2 0 hitung x x x x t S      _{ }





1 2 g 1 1 1 2 x x s _  s n  n









2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 g n s n s s n n      

2) Variansi beda

dengan derajat bebas efektif:





 1 2 1 2 0 hitung x x x x t S      _{ 1 2}



2 2



1 1 2 2 g x x s _  s s n s n  2 2  1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 s s n n db s s n n n n         _{   }  _{   }  _{    }   _{ }       

b) Dua sampel berpasangan

• Ukuran sampel berpasangan harus sama yaitu sebesar n.

Pasangan 1 2 … n

Sampel 1 (X) x₁ x₂ … x_n

Sampel 2 (Y) y₁ y₂ … y_n

D = X – Y d d … d

• Jika dimisalkan beda nilai tengah populasi dinotasikan dengan maka penduga tak bias adalah nilai tengah dari beda dua sampel:

D = X – Y d₁ d₂ … d_n 1 2 d     1 n i i d d n  











2 1 i d d d d n s s n n    



• Hipotesis 1 2 3 0 0 0 1 : : d d d d H H       0 0 0 1 : : d d d d H H       0 0 0 1 : : d d d d H H       • Statistik Uji: 0 d hitung d d t s n   

Latihan 1

Dari suatu populasi normal diambil sampel acak berukuran 15, diperoleh nilai tengah dan variansi sampel adalah 10.366 dan 1.946. Apabila kita mengetahui bahwa data tersebut

dibangkitkan dari populasi normal dengan variansi 2. Apakah populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10?

Latihan 2

• Seorang mahasiswa Agromet menemukan suatu alat baru untuk mengukur tingkat curah hujan. Untuk mengetahui efektifitas alat tersebut, kemudian mahasiswa tersebut

melakukan uji coba pada 10 lokasi dengan menggunakan alat baru dan sebagai pembanding, tingkat curah hujan juga

baru dan sebagai pembanding, tingkat curah hujan juga dicatat menggunakan alat biasa. Tingkat curah hujan (mm) pada ke 10 lokasi tersebut diperoleh sebagai berikut:

Lokasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lama 110 120 135 101 80 95 70 130 115 120

Latihan 3

• Berdasarkan suatu survei pada rumah tangga, diperoleh hasil bahwa rata-rata pendapatan perkapita (per orang) sebesar Rp 550.000,00/ bulan dengan simpangan baku sebesar Rp

200.000,00. Jika diasumsikan pendapatan perkapita

berdistribusi normal dan diperkirakan jumlah penduduk berdistribusi normal dan diperkirakan jumlah penduduk Indonesia 180 juta orang, maka:

a) Kira-kira berapa banyak penduduk yang berpendapatan di antara Rp 500.000,00 hingga Rp 600.000,00?

b) Jika ditetapkan batas kemiskinan adalah yang berpendapatan Rp 375.000,00 ke bawah, maka ada berapa banyak penduduk Indonesia yang tergolong miskin?

Referensi

• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian

Percobaan, Tarsito, Bandung.

• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,

Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB

Press, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of