Bab 4 Beberapa Aspek Tentang Model

(1)

FMIPA-ITB Page 4-1

Bab 4 Beberapa Aspek Tentang Model

____________________________________________________________________

4-1 Kriteria baik/buruk

a. Apakah ia mengandung semua variabel yang relevan?

b. Apakah ia cukup sederhana, baik dalam struktur atau hubungan antar variabel 2. Model bermanfaat

a. Memudahkan pengertian tentang sistem yang direpresentasikan b. Pengetahuan tentang keputusan yang diambil semakin banyak

4-2 Jenis model berdasarkan teori keputusan

1. Model matematis: model yang merepresentasikan sebuah sistem secara simbolik dalam bentuk rumus dan besaran-besaran

2. Model informasi: model yang merepresantasikan sebuah sistem dalam bentuk grafik atau tabel. Model ini biasanya multidimensional. Dapat diuraikan dalam tiga kategori:

a. Objek seperti orang, peralatan, ruang, dan gedung

b. Hubungan yang menguraikan kaitan antara objek seperti: orang memakai peralatan

c. Operasi, yang menjelaskan tugas atau pekerjaan yang dilakukan oleh objek

4-3 Model yang baik

1. Mempunyai tingkat generalisasi yang tinggi 2. Mekanismenya transparan

3. Potensial untuk dikembangkan 4. Peka terhadap perubahan asumsi

4-4 Prinsip Pengembangan Model

1. Elaborasi: mulai dengan sederhana, secara bertahap diperbaiki, diperoleh model yang lebih representative. Asumsi yang diamati harus konsisten, independen, ekivalen, dan relevan

2. Apologi: dikembangkan berdasarkan prinsip, teori yang sudah dikenal secara luas tapi belum pernah digunakan untuk memecahkan masalah

3. Dinamis: pengembangan tidak bersifat mekanistik dan linier. Pada tahap pengembangan, mungkin saja dilakukan pengulangan.

4-5 Klasifikasi Model:

(2)

FMIPA-ITB Page 4-2 a. Model deskriptif: menyajikan gambaran tentang situasi tertentu. Model tidak memberikan peramalan atau rekomendasi.

Misal: struktur organisasi dan diagram tentang tata letak pabrik. b. Model prediktif: apabila „hal ini‟ terjadi maka hal lain akan timbul. Menghubungkan variabel-variabel bebas dan tidak bebas (independent). Misal:

( )

( ) Penjualan pulang pokok (break even) dapat diramalkan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c. Model normatif: model yang memberikan jawaban terbaik terhadap sebuah problem. Memberikan arah yang direkomendasi.

Misal: budget reklame, ukuran ekonomis, dan bauran pemasaran (marketing mix) 2. Berdasarkan struktur

a. Model ikonis: mempertahankan sebagian dari sifat fisik dari hal yang diwakilinya. Misal: maket tata letak pabrik, gambar cetak gedung baru, miniature mobil masa depan

b. Model analog: mengandung substitusi komponen-komponen atau proses-proses guna menunjukkan persamaan dengan yang sedang ditelaah.

Misal:

i. Sistem aliran darah dengan membuat selang yang menyerupai aorta dan vena ii. Aliran lalu lintas dan aliran arus listrik

iii. Gelombang pantul dengan gelombang permukaan air

c. Model simbolik: menggunakan simbol untuk menerangkan realita Misal:

i. [ ( )] , yang menyatakan dalam bentuk simbol-simbol bahwa reaksi penjualan R dapat dihitung

– tetapan, – biaya reklame, – tetapan ( ) ii.

TC – biaya persediaan barang (total) PC – biaya pembelian

CC – biaya pengangkutan IC – biaya barang

3. Berdasarkan waktu

(3)

FMIPA-ITB Page 4-3 Misal:

i. Struktur organisasi

ii. Keuntungan dari suatu transaksi

– probabilitas terlaksananya

– pembayaran pertama – probabilitas terlaksananya – pembayaran kedua

b. Model dinamis: model yang bergantung pada waktu Misal: Perubahan tingkat penjualan

 



/

dS

rA t m s m YS

dt   

r – tetapan reaksi

A(t) – tingkat efektivitas promosi M – kejenuhan penjualan

S – tingkat penjualan

Y – konstanta penurunan penjualan i. Model pertumbuhan

4. Berdasarkan ketidakpastian

a. Model deterministik: model yang keluarannya bergantung pada masukan, secara unik.

Misal:

i. Laba = Hasil – Biaya

ii. Model persediaan Wilson EQQ

b. Model probabilistik: model yang diturunkan dari distribusi perluang, untuk input-input (atau proses-proses) yang diperlukan guna mengambil suatu keputusan. Misal:

i. Model persiapan probabilistik

ii. Tabel-tabel aktuaris (asuransi) yang menunjukkan kematian sebagi fungsi usia iii. Hasil dari investasi ROI (return of investment)

c. Model yang tidak pasti (uncertainty) Misal:

i. Model-model keputusan ii. Minimasi – maksimasi

5. Berdasarkan derajat umum (general)

a. Model umum: model dunia usaha yang disarikan dari model matematis yang umum.

Misal:

(4)

FMIPA-ITB Page 4-4 ii. Algoritma Antrian, dimanfaatkan dalam bidang produksi, pemasaran, dan

distribusi.

b. Model spesifik/khusus: model yang dapat diterapkan pada satu bidang tertentu. Misal reaksi penjualan sebagai fungsi reklame-Model persediaan probabilistik 6. Berdasarkan lingkungan

a. Model terbuka: model yang berinteraksi dengan lingkungannya berupa pertukaran energi.

Misal: model sosial, manusia - mesin

b. Model tertutup: model yang tidak memiliki interaksi dengan lingkungan. Model dan Simulasi Komputer

Simulasi: duplikasi (tiruan) perilaku sistem yang diamati. Model: wakil/representasi dari sistem.

Klasifikasi Sistem:

1. Sistem terbuka – sistem tertutup

2. Sistem natural/biologi – sistem artifisial 3. Sistem kontinyu – sistem diskrit

Sistem Nyata Relevan ? Solusi Analitik Solusi Numerik Verifikasi Model Stop tidak ya

(5)

FMIPA-ITB Page 4-5

4-6 Kalibrasi Model (Proses Kalibrasi)

4-7 Teknik Analitik

4-8 Teknik Numerik

No x Y 1 1 -4 2 2 -1 3 3 4 4 0 -5 Dst

PR: Coba buat model analitik dan numerik dari rangkaian RLC yang dihubungkan dengan sumber tegangan E

4-9 Ilustrasi

Antrian di Bioskop

Komponen sistem: loket, antri, pelanggan

L oke t Sistem Nyata Model Simulas i Operasi Evaluasi Tek. Numerik  Fisik  Matematis  Konsep Input - output Pemodelan

(6)

FMIPA-ITB Page 4-6 Sudut pandang pelanggan

Sudut pandang pelayan

Data Pelanggan Waktu Antar

Kedatangan (WAK) Waktu Pelayanan (WP) 1 - 2 2 5 2 3 0 2 4 6 2 5 2 2 Simulasi

Pel WAK Clock WP Selesai WT Pel.

Pelayan Lihat Jaga loket Ambil satu untuk dilayani Tidak ada Ada pelanggan Tidur Pelanggan Datang Pelayan Antri Masu k sibuk kosong

(7)

FMIPA-ITB Page 4-7 Idle 1 - 0 2 2 0 - 2 5 5 2 7 0 3 3 0 5 2 9 2 - 4 6 11 2 13 0 2 5 2 13 2 15 0 -

Rata-rata waktu tunggu: 0,4 Rata-rata pelanggan iddle: 1,4

Simulasi Probabilistik

WAK Prob WP Prob

0 0,2 2 0,25 1 0,4 3 0,25 2 0,2 4 0,25 3 0,5 5 0,25 4 0,1 5 0

(8)

FMIPA-ITB Page 4-8

4-10 Pengambilan Keputusan dan Optimasi

Pendahuluan

Kegiatan/Persoalan  Pengambilan keputusan

4-11 Alternatif penyelesaian:

a. Metoda programa linier b. Metode programa dinamis c. Metode antrian

d. Metode permainan/game

4-12 Kerangka Masalah Optimasi

Daya dan dana tetap  Maksimasi Penerimaan  Hasil Optimal Jumlah Kegiatan tetap  Minimasi daya dan dana  hasil optimal

4-13 Contoh Masalah Optimasi

Produksi barang  Keuntungan Maksimal  Hasil Optimal

Mencampur barang dengan kualitas tetap  Minimasi biaya  Hasil optimal

Contoh : Linear Programming dan Optimasi

Untuk membuat kontainer K dan L diperlukan dua mesin M1 dan M2. untuk membuat kontainer K, M1 memerlukan waktu 2 menit, M2 memerlukann 4 menit. Untuk membuat L, M membutuhkan 8 menit, M2 memerlukan 4 menit. Keuntungan

Manusi a Lingkungan Permasalahan Analitis Intuisi _Keputusan n Keputusan Jelas Keputusan Tidak Jelas Hasil

(9)

FMIPA-ITB Page 4-9 bersih untuk kontainer K, 29 US$ dan kontainer L, 45 US$. Tentukan rencana

produksi agar keuntungan menjadi maksimal.

Penyelesaian :

` Misal:

x1 = produksi kontainer L/jam x2 = produksi kontainer K/jam

keuntungan /jam : f x x



₁, ₂



29x₁45x₂ syarat batas 1 2 2x 8x 60 (dihasilkan oleh M1) 1 2 4x 4x 60 (dihasilkan M2) 1 0 , 2 0 x  x  Daerah solusi x2 Titik pemecahan 2x1+8x2=60 x1=10 4x1+4x2=60 x2=5 A=(0, 2 15 ), B=(10, 5), C=(15,0) x1 2x1+8x2=60 4x1+4x2=60 Untuk A = (0, 2 15 )



1, 2



29 1 45 2 29 0

 

45 15 / 2





337,35 f x x  x  x    (Minimum) Untuk B = (10,5)



1, 2



29 1 45 2 29 10

 

45 5

 

515 f x x  x  x    (Maksimum) Untuk C = (15,0) M1 2‟ M2 4‟ M1 8‟ M2 4‟ K L

A

B

C

(10)

FMIPA-ITB Page 4-10



1, 2



29 1 45 2 29 15

 

45 0

 

435

f x x  x  x   

Jadi keuntungan Maksimum, bila x1 = 10 dan x2 = 5

1 2 x x = 1 2 Produksi 1 2 x x =      L K adalah 1 2 menjadi maksimum.

Pengetahuan tentang Aljabar linier banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari misalnya dalam sistim:

1. Jaringan Listrik (Electrical Networks).

2. Jaringan Jalan Antar Kota (Nets of Roads Connecting City). 3. Proses Produksi (Production Processes).

IV. 1Jaringan Listrik (Electrical

Networks)

Definisi:

Node (titik simpul)= adalah pertemuan 2 cabang atau lebih dari 2 cabang (1,2,dan 3). Reference Node = Node dimana tegangan listrik menjadi nol, akibat di Bumikan (Grounded).

Network dinyatakan dalam, Matrik A = [

a

jk], dengan.

a

jk = +1 Jika cabang k meninggalkan node j

-1 Jika cabang k memasuki node j

0 Jika cabang k tidak menyinggung node j

A disebut nodal inciden matrix

Cabang 1 2 3 4 5 6

Node 1 1 -1 1 0 0 0

Node 2 0 1 0 1 1 0

Node 3 0 0 -1 0 -1 -1

Soal 1: Tuliskan Nodal Incidence Matrix untuk rangkaian dibawah ini.

1 2 3

Reference Node

(11)

FMIPA-ITB Page 4-11 Gb.2Electrical network Gb.3 Electrical network Gb. 4 One way street

Soal 2

Gambarkan jaringan listrik yang mempunyai nodal incidence matrix seperti berikut; 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 ) ) 1 1 0 0 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 a b c          _        _               _       

IV. 2 Rangkaian listrik

Review Hukum Kirchhoff.

a) Current Law (KCL): untuk tiap titik simpul pada tiap rangkaian listrik berlaku; jumlah arus masuk = jumlah arus keluar.

b) Voltage Law (KVL): untuk tiap loop tertutup. Jumlah total voltage yang hilang = voltage akibat gaya elektromagnetik.

Contoh: rangkaian listrik Ingat V IR

Pertanyaannya : Carilah I1, I2 dan I3 Penyelesaian: Gunakan hukum Kirchoff

P Q 10Ω 15Ω 10Ω I2 I1 _I₃ 90V 80V 20Ω

(12)

FMIPA-ITB Page 4-12 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 Node P : I I +I =0 Node Q :I -I +I =0 Loop kanan :10I +25I =90 Loop kiri :20I +10I =80

 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 0 10 25 90 20 10 80 1 1 1 0 0 10 25 90 20 10 0 80 I I I I I I I I I I                    _                  

Jadi dapat dihitung, I1=2, I2=4 dan I3=2

Jadi jumlah arus yang mengalir pada cabang yang bersangkutan adalah I1=2 Ampere, I2=4 Ampere dan I3=2 Ampere

(13)

FMIPA-ITB Page 4-13

IV. 3 Programa Linier (Linear

Programming) dan Optimasi

Definisi

Optimasi adalah upaya, mencari solusi yang optimal misalnya, memaksimalkan (maksimasi) keuntungan atau meminimalkan (minimasi) kerugian. Asumsi, keadaan dapat dinyatakan dalam fungsi linier terdiri dari fungsi tujuan dan fungsi pembatas

Definisi

Fungsi tujuan(objektif), meminimumkan (minimasi) atau memaksimalkan (maksimasi) Fungsi pembatas, selalu lebih besar atau sama dengan nol.

Cara penyelesaian

1. Gambarkan koordinat x-y. Dalam hal ini x dan y menunjukkan variable bebas dan variable terikat dari fungsi linier

2. Tentukan fungsi tujuan

3. Identifikasi batasan dalam sistim pertaksamaan 4. Gambarkan garis pembatas dalam sistim koordinat

5. Cari titik yang paling “menguntungkan” sesuai dengan fungsi tujuan

Contoh 1:

Untuk membuat kontainer K dan L diperlukan dua mesin M1 dan M2. Untuk membuat kontainer K, M1 memerlukan waktu 2 menit, M2 memerlukan 4 menit. Untuk membuat L, M1 membutuhkan 8 menit, M2 memerlukan 4 menit. Keuntungan bersih untuk kontainer K, 29$US dan kontainer L, 45$US. Tentukan rencana produksi (jumlah K dan L yang harus dibuat) untuk satu jam kerja agar keuntungan menjadi maksimal.

Penyelesaian :

` Misal:

1

x = produksi kontainer L/jam

2

x = produksi kontainer K/jam

keuntungan /jam : f x x



₁, ₂



29x₁45x₂ M1 2‟ M2 4‟ M1 8‟ M2 4‟ K L

(14)

FMIPA-ITB Page 4-14 batasan 1 2 1 2x 8x 60 dihasilkan M 1 2 2 4x 4x 60 dihasilkan M 1 0 dan 2 0 x  x 

Mencari titik pemecahan

1 2 1 2 2 8 60 4 4 60 x x x x    

Dari pernyataan ini diperoleh;

1 10, 2 5

x  x 

Harus diperiksa untuk titik A = (0, 2 15 ), B=(10,5) dan titik C=(15,0)



1 2



1 2

 

15 15 A (0, ) , 29 45 29 0 45 337,35 2 f x x x x 2         _ _  







1 2



1 2

 

B 10,5  f x x, 29x 45x 29 10 45 5 515







1 2



1 2

 

C  15, 0  f x x, 29x 45x 29 15 45 0 435

Jadi keuntungan Maksimum, bila x1 = 10 dan x2 = 5 1

2

2, dengan perkataan lain 1

x

x   produksi kontainer K sebanyak 2 kali kontainer L akan mendapat keuntungan maksimum.

Contoh 2:

Suatu pabrik baja memperkirakan keuntungan dari produksi sekrup panjang Rp 30/biji dan sekrup pendek Rp 15/biji. Kapasistas penuh seluruh mesin perhari 40.000 skrup panjang atau 60.000 sekrup pendek. Karena ada perbedaan cara pengolahannya, setiap jam dihasilkan 5000 sekrup panjang atau 7500 sekrup pendek. Tetapi bahan kimia khusus untuk produksi sekrup panjang hanya tersedia untuk mengolah 30.000 sekrup panjang. Bagian pengepakkan hanya mampu mengepak 50.000 sekrup perhari.Berapa jumlah sekrup dari masing-masing ukuran harus dibuat agar tercapai keuntungan maksimum? Catatan waktu kerja yang diizinkan adalah 8 jam perhari.

Penyelesaian

Misal jumlah sekrup yang harus dibuat, x sekrup panjang dan y sekrup pendek.

Fungsi tujuan : memaksimalkan keuntungan. Jadi dapat dinyatakan sebagai fungsi linier 30 15 z x y Fungsi pembatas: (1) 0 40.000, 0 60.000 (2) 8 5000 7500 (3) 50.000 (4) 30.000 x y x y x y x         

(15)

FMIPA-ITB Page 4-15 Normalisasi x dan y dinyatakan dalam ribuan maka;

(1) 30.000 30, 60.000 60 (2) 8 8 kalikan 15 3 2 120 5000 7500 5 7, 5 (3) 50.000 50 x x y y x y x y x y x y x y                    

Selanjutnya dibuat grafik berdasarkan syarat tersebut dan cari titik potong kedua grafik titik B





50 50 3 2 120 3 2 50 120 20 30 x y y x x y x x x y               

Titik potongnya adalah x = 20 dan

y = 30

Titik solusi adalah A=(0,50), B=(20,30), C=(30,15) dan D=(30,0)

Maksimumkan z30x15y untuk semua titik.

















0, 50 30(0) 15(50) 750 20, 30 30(20) 15(30) 1050 30,15 30(30) 15(15) 1125 30, 0 30(30) 15(0) 900 A z B z C z D z                    

Jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 1.125.000 akan didapat bila diproduksi x (jumlah sekrup panjang) 30 ribu dan y (jumlah sekrup pendek)15 ribu