Xi6 Momentum Sudut Dan Rotasi Benda Tegar

BAB 7

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

MOMENTUM SUDUT DAN ROTASI BENDA TEGAR

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

1

STANDAR KOMPETENSI :

Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah.

KOMPETENSI DASAR

• Setelah mempelajari bab ini kamu dapat memformulasikan hubungan antara konsep torsi , momentum sudut, dan momen inersia, berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar

Katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali memiliki momentum sudut yaitu hasil kali momen inersia katrol dengan jari-jari katrol. Katrol termasuk silinder. Silinder selain dapat berputar dengan sumbu putar menembus penampang, dapat juga berputar dengan sumbu putar sejajar permukaan penampang. Sedangkan pada bola dapat berputar dengan sumbu putar dari berbagai arah. Dalam bab ini akan dibahas tentang rotasi benda tegar beserta besaran-besaran dalam dinamika rotasi seperti momentum sudut, momen gaya, momen inersia, hukum kekekalan momentum sudut dan sebagainya.

Gerbang

Pernahkah Kamu melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Kamu melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan

keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan

dengan beban.

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang τ (baca: tau).

τ = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan. Momen gaya oleh F1 adalah τ1 = + F1 . d1

Momen gaya oleh F2 adalah τ2 = - F2 . d2

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

2 B O d1 d2 A F2

Rotasi roller coaster Gambar: Katrol Gambar: Menarik beban menggunakan katrol Gambar:

Pada sistem keseimbangan resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: ∑ τ = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol. ∑ τ = 0

- F2 . d2 + F1 . d1 = 0

F1 . d1 = F2 . d2

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi Rotasi

Momentum linier p = mv Momentum sudut* L = Iω

Gaya F = dp/dt Torsi τ = dL/dt

Benda massa

Konstan F = m(dv/dt)

Benda momen

inersia konstan* τ = I (dω/dt) Gaya tegak lurus

terhadap momentum F = ω x p

Torsi tegak lurus

momentum sudut τ = Ω× L Energi kinetik Ek = ½ mv2 Energi kinetik Ek = ½ Iω2

Daya P = F . v Daya P = τ . ω

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep Translasi Rotasi Catatan

Perubahan sudut s θ s = r.θ

Kecepatan v = ds/dt ω = dθ/dt v = r.ω

Percepatan a = dv/dt α = dω/dt a = r.α

Gaya resultan, momen F τ τ = F.r

Keseimbangan F = 0 τ = 0 Percepatan konstan v = v0 + at ω = ω0 + αt s = v0t = ½ at2 θ = ω0t + ½αt2 v2 ₌ 2 0 v + 2as ω2 ₌ 2 0 ω + 2αθ

Massa, momen kelembaman m I I = ∑miri2

Hukum kedua Newton F = ma τ = Iα

Usaha W = ∫ F ds W = ∫τ dθ

Daya P = F.v P = I ω

Energi potensial Ep = mgy

Energi kinetik Ek = ½ mv2 Ek = ½ Iω2

Impuls ∫ F dt ∫τ dt

Momentum P = mv L = Iω

B.

Momen Inersia Rotasi Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar

tersebut memiliki percepatan sudut α yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi

τ didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

τ = Σ Fi Ri Sin θi atau τ = ( Σ mi R2i ) . α

Σmi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu

penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I = Σ mi . Ri2

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut. Dirumuskan: I = α τ maka τ = I . α τ = I dt dω Karena τ = ΣF . R dan τ = I . α maka Σ F . R = I . α

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda. a = α . R α = R a persamaan menjadi : Σ F . R = I . R a

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen. Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

I = ½ M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2

Contoh:

1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses: a. sumbu AA1_, b. sumbu BB1_!

Penyelesaian:

a. I = Σ mi . Ri2

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

5 L I = ML2 Batang silinder,

poros melalui pusat

L

I = ML2

Batang silinder,

poros melalui ujung

b a

I = M(a2 _{+ b}2₎

(c) Pelat segiempat, poros melalui pusat

b a

I = Ma

Pelat segiempat tipis, poros sepanjang tepi pusat

R

2

R₁

Silinder berongga Silinder pejal Silinder tipis

berongga Bola pejal

R R R (i ) Bola tipis berongga A B 1 kg 2 kg 1 kg 3 kg 2 m 2 m 2 m m₁ m2 m3 m₃

= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42 = 1 . 02 _{+ 2 . 2}2 _{+ 1 . 4}2 _{+ 3 . 6}2 = 0 + 8 + 16 + 108 I = 132 kg m2 b. I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42 = 1 . 42 _{+ 2 . 2}2 _{+ 1 . 0}2 _{+ 3 . 2}2 = 16 + 8 + 0 + 12 I = 36 kg m2

2. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.

a. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!

A

A’

b. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan ∝ terhadap poros ini (∝ = 4 ₂

s rad

)? c. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1_!

Penyelesaian: a. I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42 = 3 . 22 _{+ 2 . 2}2 _{+ 1 . 2}2 _{+ 2 . 2}2 = 12 + 8 + 4 + 8 = 32 kg m2 b. τ = I . ∝ = 32 . 4 = 128 N.m c. I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42

3. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan

sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui

a. pusat 0, O

b. salah satu bola!

L = 1 m Penyelesaian: a. I = Σ mi Ri2 I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2 I = 5 . (0,5)2 _{+ 5 . (0,5)}2 _{+ 1/12 . 2 . 1}2 I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6 I = 2,5 + 1/6 I = 5/2 + 1/6 = = 16/6 I = 8/3 kg m2 b. I = Σ mi Ri2 I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2 I = 0 + 5 . 12 _{+ 1/3 . 2.1}2 I = 5 + 2/3 I = 5 3 2 kg m2

C. Persamaan Lain Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut ω, yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut ω.

Sehingga dapat dirumuskan : L = I .

ω

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L = R × P atau L = R × mV L = mR × V

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

7 0 ω L r m v 90°

Hubungan vektor antara kecepatan sudut dan momentum sudut pada gerak melingkar

Lintasan Bidang gerak L 0 r F m v

Momentum sudut sebuah partikel A B 6 1 15+

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V = ω R

Sehingga L = m R v

L = m R ωR L = m R2 _ω

Arah L dam ω adalah sama, maka:

L = m R2 _ω atau L = I ω karena ω = dt dθ maka : L = m R2 dt dθ L = I dt dθ

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L = R × P = m (R × v) Bila diturunkan, menjadi:

      × +       _× = dt dp R P dt dR dt dL ) F R ( ) mV V ( dt dL × + × =

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

8

) F R ( 0 dt dL _{= + ×} F R dt dL _{= ×} karena τ = F × R maka τ = dt dL

Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total ΣL, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir ΣL’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir

ΣL = ΣL’

L1 + L2 = L1’ + L2’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut. I1ω1 + I2ω2 = I1’ ω1’ + I2’ ω2’

D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1 dan m2 dan

rotasi bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah

½ m1v12. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik

partikel ke 2 adalah ½ m2v22 ) :

EK = ½ m1 v12 + ½ m2v22

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya: EK = Σ ½ mi vi2

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut ω, kecepatan tiap partikel adalah vi = ω . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi EK = Σ ½ mivi2 = Σ ½ mi Ri2 ω2 = ½ (Σ mi Ri2) ω2 EK = ½ I . ω2 karena L = I . ω maka EK = ½ L . ω atau EK = ½ I L2

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

EK = ½ mv2 + ½ I . ω2

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah: E = EK + EP = konstan

½ mv2 _{+ ½ I ω}2 _{+ mgh = konstan}

Contoh:

Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V = gh

3 4 a. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,

b. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi! Penyelesaian

Jawab:

v1 = 0, ω1 = 0

s h a. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 (½ m v12 + ½ I ω12) + mgh1 = ( ½ mv22 + ½ I ω22) + mgh2 0 + 0 + mgh = ½ mv2 _{+ ½ . ½ mR}2 _{( )}2 _{+ 0} gh = ½ v2 _{+ ¼. R}2 _{. v/r} gh = ¾ v2 v2 ₌ 3 4 gh v = gh 3 4 (terbukti) b. hukum II dinamika rotasi

Σ F = m . a m g . s h - ½ m . a = m . a s gh = 2 3 a a = 3 2 . s gh v2 _{= v} o2 + 2 a s v2 _{= 0}2 _{+ 2.} 3 2 s gh . s v2 ₌ 3 4 gh v = gh 3 4 _(terbukti)

E.

Menghitung Momen Inersia/Kelembaman Benda-benda

Homogen

1) Batang homogen (panjang 1, massa m, penampang A)

a. Momen kelembaman terhadap sumbu melalui ujung batang (O) tegak lurus penampang batang.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

11 sumbu 0 x  A dx r v

Massa jenis batang l.A m V m ₌ = ρ

Kita ambil bagian kecil dx yang jaraknya x dari ujung O massa bagian itu: dm =

ρ

.

dV dm =

ρ

A dx dm = A dx A 1 m dm = dx 1 m

momen inersia batang : I =

∫

1 0 2 _dm x I =

∫

1 0 2 _dx 1 m x I =

∫

1 0 2 _dx x 1 m I = 1 3x3

]

1₀ 1 m I = 1 o 1 m 3 1 3 ₋ I = 1/3 ml2

b. Momen kelembaman batang terhadap titik beratnya (z)

maka: I =

∫

+ − 1 2 1 1 2 1 2 _dm x I =

∫

+ − I 2 1 I 2 1 2 _dx x 1 m I =

∫

+ − I 2 1 I 2 1 2 _dx x m 

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

12  -½  sumbu +½  z

I =

]

2 1 1 1 2 1 3 x 3 1 1 m + − I = 1/3 (1/8 1 1/8 1 ) 1 m 3 ₊ 3 I = 1/3 13 4 1 . 1 m I = 1/12 m 12

2) Batang tipis (tanpa tebal) bentuk lingkaran (massa m)

a. Momen kelembamannya terhadap sumbu rotasi melalui pusat lingkaran tegak lurus bidang lingkaran.

b. Momen kelembaman terhadap garis tengah sebagai sumbu rotasi

3. Keping (plat) berbentuk lingkaran (massa m)

a. Momen kelembaman terhadap sumbu rotasi melalui pusat lingkaran tegak lurus keping.

b. Momen kelembaman terhadap garis tengah sebagai sumbu rotasi

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

13 x sumbu R I = ½ m R2 sumbu R I = ¼ m R2 sumbu R I = m R 2 sumbu R I = ½ m R2

4. Keping berbentuk segi empat

Keping tipis dengan panjang a dan lebar b, massa m sumbu x sejajar a dan sumbu y sejajar b.

5. Silinder pejal homogen

Momen kelembaman terhadap sumbu silinder sebagai sumbu rotasi:

I = ½ mR2

6. Silinder berongga homogen

Momen kelembaman terhadap sumbu silinder sebagai sumbu rotasi: I = ½ m ( R12 + R22 )

7. Bola pejal homogen

Momen kelembaman terhadap garis tengahnya sebagai sumbu rotasi: I = 2/5 mR2

Contoh:

1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0 O -1/4 l +3/4 l Penyelesaian:

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

14 b x a z y Ix = m b2 Iy = m a2 Iz = m ( a2 _{+ b}2 ₎ R Sumbu R R Sumbu

∫

+ − l l xdm 4 / 3 4 / 1

∫

+ − l l dx l m x 4 / 3 4 / 1 . . l m

∫

+ − l l dx x 4 / 3 4 / 1 .

I = → dm = l m . dx I = = I = l m l l x 4 3 4 1 3 3 1 + −     I = l m . 3 1 ._ 3 − − )3_ 4 1 ( ) 4 3 ( l l I = l m . 3 1 ._ 3 + 3_ 64 1 64 27 l l I = l m . 3 1 . 64 28 .l 3 I = m . 192 28 .l 2 I = 48 7 m .l 2

2. Tentukan momen inersia bola pejal! Jawab: • massa bola m • volume bola V = 4/3 π R3 • massa keping = dm • volume keping = dV = πr2 _dx V dV m dm ₌ dm = V m dV dm = dm = ¾ dx d I = ½ r2 _dm = . ₃ 4.R m . 3 (R2 _{- x}2_{) dx}

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

15 3 2 4/3π/3 .dx r. m.π 3 2 2 ₎ R .( R x m −

∫

IdI 0

∫

+ − − R R ) x R ( 2 / 1 2 2 +R − R dx R x r

I - 0 =

(

R 2R x x

)

.dx 8R 3m 4 2 2 4 3

∫

+ − + − R R I =

]

RR 4 2 2 4 3 ₃R x x 2 -x R 8R 3m + −       ₊ I = _           _{− + −} −       5₋ 5₊ 5 5 5 5 3 ₅x 1 R 3 2 R x 5 1 R 3 2 R 8R 3m I = _            + −       + 5 5 3 ₁₅ R 3 -10 15 -R 15 3 10 -15 8R 3m I = _            −       5 5 3 ₁₅R 8 R 15 8 8R 3m I = ₃ R5 15 16 . 8R 3m I = 5 2 m.R2

3. mencari momen kelembaban silinder pejal

massa = m volume = V = π R2 _l massa selubung = dm volume selubung = dv = 2 π r l dr V dV m dm ₌ dm = V m dV dm = l π.R m.2π.2π. 2 dr dm = ₂ R 2.m.r dr d I = r2 _dm d I = r2 _. 2 R 2.m.r dr

∫

I 0 dI =

∫

R 0 2 3 R m 2 r dr

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

16 l Sumbu x dr R r

I – 0 = r dr R m 2 3 2

∫

I = R 0 4 2 ₄r 1 R m 2     I = ₂ R4 4 1 . R m 2 I = ½ m R2

F. Katrol Tetap

a. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = m

Jari-jari = R

Momen kelembaman = I Gerak translasi beban :

F = m . a

+ T1 – m1g = m1a ...(i)

+ m2g – T2 = m2a ...(ii)

Gerak rotasi katrol :

τ = I . a

(T2 – T1) R = I

R a

...(iii)

b. Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban : F = m . a

+ T1 – m1g sin θ – f = m1a ...(i)

+ m2g – T2 = m2a ...(ii)

Gerak rotasi katrol :

τ = I . a

(T2 – T1) R = I

R a

...(iii)

c. Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrol

Gerak translasi beban : F = m . a

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

17

B

A

mg – T = m . a ...(i) Gerak rotasi katrol :

τ = I . a T . R = I . R a ...(ii)

G. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

F F

f f

Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu. 1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:

- gerak translasi berlaku : F – f = m . a

- gerak rotasi berlaku : f . R = I . α di mana (α =

R a

)

2. Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a

- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I . α (α =

R a

) Contoh:

1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg (dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg.

jari- jari katrol = 50 cm. Tentukan: a. percepatan beban, b. tegangan tali! Penyelesaian: a. Tinjau benda m1 Σ F = m1 . a

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

18 m 2 m 1

w1 – T1 = m1 . a 5 . 10 – T1 =5 . a T1 = 50 – 5a. Tinjau benda m2: Σ F = m2 . a T2 – W2 = m2 . a T2 – 3.10 = 3 . a T2 = 30 + 3a Tinjau katrol Σ τ = I . ∝ T1 . R – T2 . R = ½ m . R2 a/r T1 – T2 = ½ . 4 . 2 50 – 5a – 30 – 3a = 2a 20 = 10 . a a = 2 m/s2 b. T1 = 50 – 5 . 2 = 40 N T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N 2.

Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m1 = 50 kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2

Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg.

hitunglah:

a. percepatan sistem, b. gaya tegang tali! Penyelesaian:

a. Tinjau m1:

Σ F = m . a T1 – f1 = m . a Ti – µk . N = m1 . a Ti – 0,1 . m1 . g = m1 . a T1 – 0,1 50 . 10 = 50 . a T1 = 50 + 50a Tinjau m2: Σ F = m . a w2 – T2 = m2 . a m2 . g – T2 = m2 . a 200 . 10 – T2 =200 . a T2 = 2000 – 200 . a Tinjau katrol: Σ = I . ∝ T2 . R – T1 . R = ½ m . r2 . a/R T2 – T1 = ½ m . a 2000 – 200a – 50 – 50 a = ½ . 10 . a 1950 = 255 a a = 1950₂₅₅ = 7,65 m/s2 b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N T2 = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N

3. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah

katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila:

a. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol b. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali

Penyelesaian: a. katrol licin (µk = 0), T1 = T2 = T Tinjau m1 : Σ F = m . a T = m1 . a T = 3 . a Tinjau m2 : Σ F = m . a w2 – T = m2 . a m2 . g – T = m2 . a 5 . 10 – T = 5 . a T = 50 – 5a • T = T 3a = 50 – 5a 3a + 5a = 50 8a = 50 a = 50 = 6,25 ₈ m_s 2 b. katrol kasar Katrol : Σ τ = I . ∝ T2 . R – T1 . R = ½ mk . R2 . a/r 50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a 50 = ½ a + 8a = 8,5 a a = 50/8,5 = 5,88 sm 2

4. Bidang miring dengan sudut kemiringan θ = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung vertikal

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

21

5 kg 3 kg

diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut!

Penyelesaian: Tinjau m1 Σ F1 = m1 . a T1 – fk – w1 sin 30 = m1 . a T1 – µk . N – m1 g sin 30 = m1 . a T1 – µk . m1 . g . cos 30 – m1 . g sin 30 = m1 . a T1 – 0,2 . 4 . 10 . ½ - 4 . 10 . ½ = 4 . a T1 – 4 - 20 = 4a T1 = 26,928 + 4a Tinjau m2 Σ F = m . a w2 – T2 = m2 . a w2 . g – T2 = m2 . a 10 .10 – T2 = 10 .a T2 = 100 – 10a Tinjau katrol Σ τ = I . ∝ T2 . R – T1 . R = ½ m . R2 . a/R 100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a 100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a 73,072 = 14,3 a a = 5,1 m/s2 • T1 = 26,928 + 4 . 5,1 T1 = 47,328 N T2 = 100 – 10 . 5,1 = 49 N

5. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.

Tentukan:

a. gaya tarik oleh tali b. percepatan B

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

23 3 3 θ m1 m2

Penyelesaian:

Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti sA = 2 sB atau aA = 2 aB Tinjau benda A wB – 2T = mB . aB 3mg – 2T = 3m aB aB = m T mg 3 2 3 − Tinjau benda B T – f = mA aA T – 0,5 NB = m . aA T – 0,5 m g = m aA aA = m mg T −0,5

a. gaya tarik oleh tali Substitusi aA = 2 aB m mg T −0,5 = 2 ( m T mg 3 2 3 − ) 3 T m – 1,5 m2 _{g = 6 m}2 _{g – 4 T m} 0 5 , 7 7 0 5 , 7 7 2 = − = − mg T g m Tm : m T = 7 5 , 7 mg b. percepatan B aB = m T mg 3 2 3 − = m mg mg 3 ) 7 5 , 7 ( 2 3 − = m mg mg 3 7 15 21 − = m mg 21 6

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

24 A B

aB =

7 2

g

H. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol.

Kesetimbangan biasa terjadi pada :

1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain.

2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.

Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar. Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:

1. Kesetimbangan partikel 2. Kesetimbangan benda 1. Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).

Syarat kesetimbangan partikel ΣF = 0  ΣFx = 0 (sumbu X)

ΣFy = 0 (sumbu Y)

2. Kesetimbangan Benda

Syarat kesetimbangan benda: ΣFx = 0, ΣFy = 0, Στ = 0

Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya.

Dirumuskan: τ = F . d

Putaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya positif, sedang yang berlawanan putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja.

Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus. Kerja Mandiri

1. Suatu batang AB yang homogen, massanya 30 kg, panjangnya 5 meter, menumpu pada lantai di A dan pada tembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 3 meter; batang AB

menyilang tegak Lurus garis potong antara lantai dan tembok vertikal. Berapa besarnya gaya K mendatar yang harus di berikan pada batang di A supaya batang tetap seimbang ? dan Hitung juga gaya tekan pada A dan B.

3. Titik Berat

Titik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem benda. Titik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi 3 antara lain:

a. Benda berbentuk garis/kurva, contoh : kabel, lidi, benang, sedotan, dan lain-lain.

b. Benda berbentuk bidang/luasan, contoh : kertas, karton, triplek, kaca, penggaris, dan lain-lain.

c. Benda berbentuk bangunan/ruang, contoh : kubus, balok, bola, kerucut, tabung, dan lain-lain

a. Benda berbentuk partikel massa

Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda partikel titik digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = m X . Σ Σm = ... m ... X X X m 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + + m m m m Jadi zo (Xo,Yo) Yo = m m Σ Σ .Y = ... m ... Y Y Y m 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + + m m m m

b. Benda berbentuk garis/kurva

Daftar titik beberapa benda berbentuk garis dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda garis digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = l X . l Σ Σ = ... l l l ... X l X l X l 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + + Jadi zo (Xo,Yo) Yo = l Y . l Σ Σ = ... l l l ... Y l Y l Y l 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + +

c. Benda berbentuk bidang/luasan

Daftar titik berat berbagai macam bidang beraturan dan bidang selimut benda dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = A X . A Σ Σ = ... A A A ... X A X A AX 3 2 1 3 3 2 2 1 + + + + + + Jadi zo (Xo,Yo) Yo = A Y . A Σ Σ = ... A A A ... Y A Y A Y A 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + +

d. Benda berbentuk volume/ruang (homogen)

Daftar titik berat berbagai macam benda ruang beraturan dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan benda, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Bila terbuat dari bahan-bahan yang sama (homogen) Xo = V X . V Σ Σ = ... V V V ... X V X V X V 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + + Jadi zo (Xo,Yo) Yo = V Y . V Σ Σ = ... V V V ... Y V Y V Y V 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + +

e. Bila terbuat dari bahan-bahan yang berbeda (heterogen) Xo = W X . W Σ Σ = ... W W W ... X W X W X W 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + + Jadi zo (Xo,Yo) Yo = W Y . W Σ Σ = ... W W W ... Y W Y W Y W 3 2 1 3 3 2 2 1 1 + + + + + + ] keterangan : W = mg = ρ . V . g karena S = ρ . g  W = S . V ρ = massa jenis (kg/m3₎ S = berat jenis (N/m3₎

Tabel titik berat bentuk teratur linier

Nama benda Gambar benda letak titik berat keterangan 1. Garis lurus x0 = 21l z = titik tengah garis 2. Busur lingkaran y R tali busur AB busur AB 0 = × R = jari-jari lingkaran

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

27

3. Busur setengah lingkaran

y₀ = 2R

π

Tabel titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogen Nama benda Gambar benda Letak titik

berat Keterangan 1. Bidang segitiga y0 = 13t t = tinggi z = perpotongan garis-garis berat AD & CF 2.Jajaran genjang, Belah ketupat, Bujur sangkar Persegi panjang y0 = 12 t t = tinggi z = perpotongan diagonal AC dan BD 3. Bidang juring lingkaran y R tali busur AB busur AB 0 = 23 × R = jari-jari lingkaran 4.Bidang setengah lingkaran y₀ 4R 3 = π R = jari-jari lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk bidang ruang homogen

Nama benda Gambar benda Letak titik berat Keterangan 1. Bidang kulit

prisma z pada titik

tengah garis z1z2 y0 = 12 l z1 = titik berat bidang alas z2 = titik berat bidang atas l = panjang sisi tegak.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

28

2. Bidang kulit silinder. ( tanpa tutup ) y0 = 12 t A = 2 π R.t t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran alas A = luas kulit silinder 3. Bidang Kulit limas _{T’z =} 1 3T’ T T’T = garis tinggi ruang 4. Bidang kulit kerucut _{zT’ =} 1 3 T T’ T T’ = tinggi kerucut T’ = pusat lingkaran alas 5. Bidang kulit setengah bola. _{y0 =} 1 2 R R = jari-jari

Tabel titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogen

Nama benda Gambar benda Letak titik berat Keterangan 1. Prisma

beraturan.

z pada titik tengah garis z1z2

y0 = 12 l

V = luas alas kali tinggi z1 = titik berat bidang alas z2 = titik berat bidang atas l = panjang sisi tegak V = volume prisma 2. Silinder Pejal y0 = 12 t V = π R2 _t t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran alas 3. Limas pejal beraturan _{y0 =} 1 4T T’ = 1 4t V = luas alas x T T’ = t = tinggi limas beraturan

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

29

30° 30° tinggi 3 4. Kerucut pejal y0 = 14 t V = 1 3 π R2 t t = tinggi kerucut R = jari-jari lingkaran alas 5. Setengah bola pejal _{y0 =} 3 8R R = jari-jari bola. 4. Macam-macam Keseimbangan Dibedakan menjadi 3: a. Keseimbangan stabil/mantap

Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke posisi keseimbangan semula.

Contoh: Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi potensialnya). b. Keseimbangan labil/goyah

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.

Contoh: Keseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi potensialnya).

c. Keseimbangan indeferen/netral

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda.

Contoh : Keseimbangan indiferen dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energipotensialnya).

Soal-soal Ulangan 7

Soal –soal Pilihan Ganda

Berilah tanda silang (x) pada pilihan jawaban yang benar! 1.

F

45°

m = 3 kg

Sebuah benda bermassa 3 kg diikat dengan tali pada langit-langit. Berapakah tegangan pada tali tersebut ? (g = 9,8 m/det2₎

a. 30,0 N b. 29,4 N c. 17,0 N d. 14,7 N e. 8,5 N 2. α Tali T w

Sistem seperti terlihat pada gambar berada dalam keadaan seimbang. Berat batang dan tali diabaikan. Gaya-gaya yang berkerja pada sistem adalah T, F, dan w. Manakah di antara pernyataan berikut yang tidak benar?

a. F2 _{+ w}2 _{= T}2

b. F = w tg α

c. T = w sec α

d. F dan w adalah komponen gaya T e. w = T cos α

3.

Sebuah balok yang massanya 80,5 kg tergantung pada dua utas tali yang bersambungan seperti yang terlihat pada gambar. Jika percepatan gravitasi bumi g = 9,8 m/det2 _{maka besar tegangan pada tali horizontal A adalah ...}

a. 80,5 N b. 385 N

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

31

c. 598,5 N d. 643,7 N e. 788,9 N 4.

Sistem pada gambar di atas berada dalam keadaan seimbang. Berat balok A adalah 600 N dan koefisien gesekan static antara balok A dan meja adalah 0,2. Berat balok B adalah ... a. 20 2 N

b. 20 3 N c. 40 N d. 40 2 N e. 40 3 N

5. Sebuah gaya F yang bekerja pada sebuah benda tegar dapat diganti dengan . . . .

a. sebuah gaya lain yang sama besar, sejajar, dan searah tetapi mempunyai garis kerja yang berbeda dengan F.

b. sebuah koppel

c. sebuah gaya dan sebuah Koppel yang sebidang d. sebuah gaya atau sebuah koppel

e. sebuah gaya yang sebidang atau dengan sebuah Koppel yang sebidang

6. Sebuah penggaris homogen mempunyai keseimbangan di titik tengahnya (P) pada suatu poros. Sebuah benda seberat 10 N digantung pada penggaris itu dalam berbagai posisi tetapi tidak pada titik P. Mana salah satu di antara momen-momen gaya terhadap titik P berikut ini yang tidak mungkin ?

a. -1 Nm b. 0 Nm c. +1 Nm d. +5 Nm e. +10 Nm

7. Seseorang memikul dua beban dengan tongkat homogen (AB) yang panjangnya 1,5 m. Beban yang satu di ujung A dan yang lainnya di ujung B. Beban di A 100 N dan di B 500 N. Supaya batang AB horizontal (seimbang), pundak (bahu) orang tersebut harus ditempatkan pada . . . . a. 0,2 m dari B b. 0,25 m dari B

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

32 A B 30°

1 m 2 m 1 m

c. 0,3 m dari B d. 0,5 m dari B e. 0,75 m dari B

8. Sebuah balok homogen (AB) memiliki panjang 5 m dan berat 100 N. Pada ujung A digantungkan beban 25 N. Di manakah balok itu harus ditumpu agar balok tetap seimbang ? a. 1,5 m dari ujung A b. 2 m dari ujung A c. 2 m dari ujung B d. 2,5 m dari ujung B e. 3 m dari ujung A

9. Sumbu kedua roda muka dan sumbu kedua roda belakang sebuah truk yang bermassa 3000 kg, berjarak 3 m. Pusat massa truk terletak 2 m di belakang roda muka. Diandaikan percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/detik2_{. Beban yang dipikul oleh kedua roda muka}

truk itu sama dengan ... a. 5000 newton b. 10000 newton c. 15000 newton d. 20000 newton e. 25000 newton 10. P R S Q F

Pada diagram, PQ adalah sebuah batang homogen dengan panjang 4 m. Batang itu diam pada penopang di R (1 m dari P) dan S (1 m dari Q). Jika berat batang 150 N, berapakah minimum gaya ke bawah F yang dikerjakan di Q yang akan mengangkat batang lepas dari penopang di R? a. 50 N b. 75 N c. 100 N d. 125 N e. 150 N

11. Sebuah bola pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni bidang miring kasar yang membentuk sudut 30o _{dengan arah mendatar. Kelajuan linier bola ketika sudah menempuh}

lintasan sepanjang 3,5 m adalah … m/s

a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2

12. Dari gambar di sampjng, massa katrol 300 gram. Katrol mula-mula diam, kemudian dilepas sehingga berputar turun. Maka besar gangan tali adalah … N

a. 1 b. 1,5 c. 2 d. 3,3 e. 4

13. Seorang penari balet berputar 3 putaran per detik dengan lengan direntangkan, saat itu momen inersianya 8 kg m2_{. jika kedua lengannya dirapatkan sehingga momen inersianya}

menjadi 2 kg m2_{, maka frekwensi putarannya menjadi …. putaran per detik.}

a. 0,75 b. 3 c. 5,3 d. 8 e. 12

14. Dalam waktu 2 detik, sebuah roda yang berotasi murni, mengalami perubahan kecepatan dari 4 rad/s menjadi 20 rad/s secara beraturan. Sebuah titik terletak 30 cm dari poros roda. Besar percepatan tangensial yang dialami titik tersebut adalah … m/s2

a. 240 b. 26,7 c. 4,8 d. 2,4 e. 0,27

15. Silinder pejal dengan massa 4 kg ditarik pada pusat F massanya dengan gaya 56 N sehingga silinder gerak sepanjang bidang miring ke atas, tanpa slip. tg α = 4/3. Besarnya energi kinetik pada

t = 2 detik, jika mula-mula silinder diam adalah ....

a. 234 J b. 243 J c. 324 J d. 342 J e. 432 J 16. Gerak menggelinding terjadi karena….

a. gaya yang diberikan jumlahnya tidak nol b. jumlah torsi tidak nol

c. jumlah gaya dan jumlah torsi tidak nol d. hanya bias terjadi di bidang miring

e. dapat terjadi di bidang yang licin sempurna

17. Gambar berikut adalah sebuah batang yang ditarik dengan gaya. Momen gaya terhadap titik O adalah…. a. 75 N b. 50 3 N c. 100 N d. 100 3 N e. 250 3 N

18. Perhatikan gambar berikut ini. Bila massa batang AB diabaikan, maka besar dan titik tangkap gaya resultannya adalah….

a. 30 N dan 0,7 m di kiri A

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

34 60º F = 50 N A 10 m O 20 N 10 N 40 N A B C 0,4 m 1 m

b. 30 N dan 0,7 m di kanan A c. 30 N dan 1,0 m di kiri A d. 30 N dan 2,0 m di kanan A e. 30 N dan 2,0 m di kiri A

19. Sebuah benda begerak melingkar berubah beraturan dengan kelajuan anguler mula-mula 6 rad/s. Setelah 4 detik kelajuan angulernya 14 rad/s. Jika jari-jari 10 meter, maka percepatan linier yang dialami benda tersebut adalah …. m/s2

a. 280 b. 120 c. 60 d. 40 e. 20

20. Sebuah partikel A bermassa m diputar pada jari-jari R, dan partikel B bermassa 2 m diputar pada jari-jari R

2 1

. Jika kelajuan sudut putaran kedua partikel tersebut sama, maka perbandingan momentum anguler partikel A dan partikel B adalah : …

a. 2 : 1 b. 1 : 2 c. 3 : 1 d. 1 : 3 e. 1 : 1

21. Sebuah bola pejal menggelinding tanpa slip dengan kelajuan linier v, jika massa bola pejal 5 kg, maka energi kinetik bola pejal saat menggelinding tersebut adalah .…v2

a. 1,0 b. 2,5 c. 3,5 d. 5,0 e. 7,5

22. Massa katrol adalah 2 kg dan besar F = 122 newton, maka gaya tegangan tali T adalah …newton a. 100 b. 120 c. 122 d. 220 e. 242

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

35 10 kg F w T

23. Tangga homogen, panjang 10 m, massa 10 kg, bersandar pada dinding licin dan lantai kasar. Ujung atas tangga berada 8 meter dari lantai. Bila tangga tepat akan menggeser tentukan besarnya koefisien gesek statis lantai dengan tangga.

a. 0,80 b. 0,75 c. 0,60 d. 0,375 e. 0,30 24. F

Sebuah silinder pejal dengan diameter 1 meter berada pada bidang datar kasar didorong tepat pada pusat massanya dengan gaya F = 6 kali massa benda sehingga meng gelinding tanpa slip, maka percepatan liniernya adalah … (gaya dan massa bersatuan sesuai SI). a. 1 m/s2 b. 2 m/s2 c. 3 m/s2 d. 4 m/s2 e. 5 m/s2 25. R 30o P Q

Batang PQ horizontal beratnya 60 N menggunakan engsel pada titik P, sedang ujung Q diikat tali bersudut 30o _{ke dinding. (lihat gambar di atas) Pada titik Q digantungkan beban}

40 N, maka besar gaya tegangan tali QR … a. 30 N b. 35 N c. 70 N d. 120 N e. 140 N

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

36 40 N

Soal-soal Uraian

Jawablah dengan benar! 1.

2 benda A dan B masing–masing bermassa 5 kg dan 2 kg dihubungkan dengan sebuah tali dengan sebuah katrol bermassa 2 kg dan berjari-jari 10 cm . Hitung percepatan benda dan tegangan tali!

2.

Diketahui m1= 4 kg, M = 1 kg, r = 1 cm,

m2= 2 kg. Hitung percepatan benda dan tegangan

tali!

3. Suatu sistem katrol digunakan untuk mempertahankan beban 49 N seperti pada gambar. Bila massa katrol diabaikan dan sistem dalam keadaan setimbang, tentukan besarnya tegangan tali pada kabel paling atas (T) !

4. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya 60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m, AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?

A B C D

5. Hitunglah T1 dan T2 dari susunan kesetimbangan di bawah ini.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

37 B A 49 N F T m 2 m1 M

6. Hitunglah Gaya T pada susunan kesetimbangan ini.

7. Seandainya benda-benda yang massanya mA = 20 kg dan mB = 50 kg disusun

sedemikian hingga terjadi kesetimbangan, dengan tg θ = 3/4 Hitunglah mC jika lantai pada bidang miring licin sempurna.

Hitunglah 2 kemungkinan jawab untuk mC jika bidang miring kasar dengan koefisien

gesekan statis 0,3

8. Gaya 8 N, 6 N, 5 N, 3 N, 7 N, 9 N dan 4 N bekerja terhadap persegi panjang yang sisi-sisinya berukuran : 4 m x 2 m seperti terlihat pada gambar.

Tentukan jumlah aljabar momen gaya dengan pusat :

a. Titik A b. Titik B c. Titik C d. Titik O

9. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

10. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg θ = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

11. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.

12. Sebuah batang homogen AB panjangnya 6m dan massanya 40 kg ditahan pada kedua ujungnya. Dimana kita harus menempatkan beban 2000 N pada batang itu agar tekanan-tekanan di A dan B berbanding sebagai 2 : 1 . Berat batang dianggap bertitik tangkap di tengah-tengah batang.

13. Suatu batang AB yang homogen, massanya 30 kg, panjangnya 6 meter, bersandar di atas tembok yang tingginya 3 meter ujung A dari batang menumpu pada lantai dan berjarak 4 meter dari tembok. Berapa besarnya gaya K mendatar yang harus diberikan pada batang di A supaya batang tetap seimbang ? dan Hitung juga gaya-gaya tekanan pada A dan C.

14. Pada sebuah balok kayu yang massanya 10 kg dikerjakan gaya K = 50 N yang mengarah kebawah dan garis kerjanya berimpit dengan garis kerja gaya berat balok itu. Tentukan letak dan besar gaya tekanan N ( gaya reaksi ) yang dilakukan bidang terhadap balok itu.

15. Pada sebuah balok kayu, massanya 20 kg, panjangnya 30 cm dikerjakan gaya K = 100 N ( lihat gambar ). Tentukan letak dan besar gaya tekanan N ( gaya reaksi ) yang dilakukan bidang terhadap balok itu.

16. Sebuah papan berbentuk empat persegi panjang ABCD ( beratnya diabaikan ) dapat berputar pada bidangnya di sekeliling titik A sebagai engsel, AB = 4 meter ; AD = 3 meter. Persegi panjang itu setimbang karena gaya-gaya yang bekerja pada bidang persegi panjang itu adalah : K1 = 30 N pada titik C dengan arah BC; K2 = 150 N pada

titik D dengan arah sejajar AC ; K pada titik B dengan arah BD.

Hitunglah : a. Besar gaya K itu b. Besar dan arah gaya engsel.

17. Sebuah batang AB massanya 10 kg, panjangnya 6 meter. Ujung B diikat dengan tali dan ujung tali yang lain diikat di C pada sebuah tembok vertikal. Ujung A dari batang bertumpu pada tembok itu juga. Dalam sikap seimbang ini tali membuat sudut 300

dengan tembok. Tentukan : a. Gaya tegangan tali. b. Tekanan tembok di A

c. Sudut yang dibuat batang dengan tembok.

18. Sebuah batang dengan berat 50 N seperti tampak pada gambar di bawah ini. Berapa besar tegangan dalam kabel pendukungnya dan berapa komponen dari gaya yang dikerjakan oleh engsel pada batang.

19. Sebuah batang lurus homogen AB ( massanya 10 kg ) di A dihubungkan pada tembok vertikal oleh sebuah engsel, sehingga batang AB dapat berputar pada bidang yang tegak lurus pada tembok. Tengah-tengah batang AB dihubungkan dengan tali pada tembok sedemikian sehingga tali tersebut tegak lurus pada tembok dan kencang. Batang tersebut membentuk sudut 600 _{dengan tembok ke atas. Pada ujung B dari}

batang digantungkan benda massanya 30 kg. Tentukan :

a. Diagram gaya-gaya b. Gaya tegangan dalam tali c. Besar dan arah gaya engsel.

20. Sebuah bidang miring AB ( panjangnya 40 meter ) bersendi/engsel pada kakinya yaitu titik A. Puncak B bidang condong dihubungkan oleh tali BC dengan tembok vertikal yang melalui A. Bidang miring ini bersudut 300 _{dengan horisontal dan tali BC arahnya}

mendatar. Pada bidang miring dan tembok vertikal bersandar sebuah bola jari-jarinya 5 meter dan massanya 10 kg. berat bidang miring diabaikan.

Tentukanlah :

a. Gaya-gaya tekanan oleh bidang miring dan tembok pada bola b. Gaya tegangan dalam tali

c. Gaya engsel.

21.

21. Sebuah bola pejal massa 5 kg berada di atas bidang miring Sebuah bola pejal massa 5 kg berada di atas bidang miring

kasar, mula-mula dalam keadaaan diam, kemudian mengge- kasar, mula-mula dalam keadaaan diam, kemudian

linding tanpa slip (jika tg 37linding tanpa slip (jika tg 37oo = ¾ ) hitung energi kinetik = ¾ ) hitung energi kinetik

37 37oo setelah bergerak 7 detik. setelah bergerak 7 detik.

22. Massa A = massa B = 5 kg, jika tg 53 Massa A = massa B = 5 kg, jika tg 53oo _{= 4/3 dan koe- = 4/3 dan} fisien gesekan antara benda A dan bidang miring 0,2

fisien gesekan antara benda A dan bidang miring 0,2

massa katrol 4 kg, Hitung percepatan sistem.

massa katrol 4 kg, Hitung percepatan sistem.

53

53oo

23. Silinder pejal dengan massa 4 kg ditarik pada pusat F massanya dengan gaya 56 N sehingga silinder gerak sepanjang bidang miring ke atas, tanpa slip. tg α = 4/3. Tentukan besarnya energi kinetik pada t = 2 detik, jika mula-mula silinder diam.

24.

massa A = 8 kg, massa B = 6 kg

massa katrol = 4 kg, koefisien gesek bidang dengan benda A = 0,25. Hitung percepatan benda A !

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

42

A

B

A

Rangkuman

1. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang τ (baca: tau). Dirumuskan dengan:

τ = F . d

2. Pada sistem keseimbangan resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ τ = 0

3. Momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I = Σ mi . Ri2

4. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut ω. Sehingga dapat dirumuskan :

L = I .

ω

5. Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut. I1ω1 + I2ω2 = I1’ ω1’ + I2’ ω2’

6. Energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut. EK = ½ mv2 + ½ I . ω2

7. Hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah: E = EK + EP = konstan

½ mv2 _{+ ½ I ω}2 _{+ mgh = konstan}

8. Syarat keseimbangan partikel ΣF = 0  ΣFx = 0 (sumbu X)

ΣFy = 0 (sumbu Y)

9. Syarat keseimbangan benda: ΣFx = 0, ΣFy = 0, Στ = 0

Glosarium

• Benda tegar = benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar.

• Gaya resultan = jumlah gaya-gaya.

• Geometri = ilmu ukur sudut ruang.

• Gerak rotasi = gerak perputaran pada porosnya.

• Gerak translasi = gerak lurus tanpa rotasi.

• Hukum kekekalan momentum sudut = momentum sudut awal sama dengan momentum sudut akhir.

• Inersia = kelembaman yaitu kecenderungan suatu benda untuk mempertahankan keadaan semula.

• Keseimbangan indiferen = keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda.

• Keseimbangan labil = keseimbangan pada suatu benda dimana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.

• Keseimbangan stabil = keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke posisi keseimbangan semula..

• Mekanika dinamika = mekanika yang mempelajari gerak dengan memperhitungkan gaya-gayanya.

• Momen gaya = hasil kali antara gaya dengan jarak terpendek gaya ke sumbu putar.

• Momen inersia = momen kelembaman yang dimiliki oleh benda

• Momentum linier = hasil kali antara massa dengan kecepatan.

• Momentum sudut = hasil kali antara momen inersia dengan kecepatan sudut.

• Resultan = jumlah.

• Rotasi benda tegar = perputaran benda pada porosnya dimana benda tidak mengalami perubahan bentuk.

• Torsi = momen gaya.

• Translasi = pergeseran linier.