MODUL 6 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

DINAMIKA ROTASI DAN

KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Fisika Kelas XI SCI Semester I

Oleh:

Kompetensi Inti :

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah Kompetensi Dasar :

Menerapkan konsep torsi, momen inersia, titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) dalam kehidupan sehari-hari

A.

PETA KONSEP

6

DINAMIKA ROTASI DAN

KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Momen Gaya

Momen Inersia Momentum Sudut

Kesetimbangan

Benda Tegar _{Rotasi Benda Tegar}

Percepatan

Kecepatan

MOMEN GAYA

Jika sebuah benda diletakkan di atas bidang datar licin diberi gaya (F) maka benda tersebut akan mengalami gerak translasi.

Bagaimana jika sebuah batang dengan panjang meter, salah satu ujungnya ( titik O) di buat poros dan ujung lainnya di beri gaya F maka batang akan mengalami gerak rotasi.

Besaran fisika yang menyebabkan benda mengalami rotasi di sebut momen gaya (Torsi). Momen gaya didefinisikan sebagai perkalian silang antara lengan gaya dan lengan gaya.

Secara matematika dituliskan:

�⃑ = � ⃑ |�⃑| = . sin

Keterangan :

� = Momen gaya ( N.m) = Lengan gaya (m) F = Gaya (N)

 = sudut antara gaya dan lengan gaya

Catatan:

Momen gaya bertanda (+) jika putaran searah putaran jarum jam

Momen gaya bertanda (-) jika putaran berlawanan arah putaran jarum jam

Contoh 1:

Tentukan momen gaya di titik O ! F

F O

F

O 

F = 100 N

O 30o

Penyelesaian:

� = − . sin

� = − . . sin = − . , = − �.

(100 Nm berlawanan arah putaran jarum jam )

Contoh 2 :

Gaya F1, F2, F3, dan F4 bekerja pada batang seperti pada gambar. Jarak AB = BC = CD = 1 m.

Hitung momen gaya yang bekerja pada batang AD jika batang diputar di titik C ¡ (massa batang diabaikan)

Penyelesaian:

F3 tidak memiliki lengan sehinggan � =

�� = . sin − . . sin + . 4sin

�� = . . − . . + . . = 20-20+5 = +5 Nm

(5 Nm searah putaran jarum jam )

Soal Latihan Mandiri !

Batang AB panjangnya 2 m. Jika massa batang AB diabaikan, Tentukan besar dan arah momen gaya yang bekerja pada batang AB jika diputar di titik O ( titik O adalah titik pusat massa batang) !

F1 = 10 N

F2 = 20 N

F3 = 30 N

F4 = 5 N

A B C D

F1 = 200 N

F2 = 100 N 30o _{O 0,5 m}

MOMEN INERSIA

Momen Inersia adalah ukuran kelembaman benda dalam gerak melingkar, maksudnya kelemban adalah sifat untuk mempertahankan kedudukannya. Maksudnya kalau benda sedang diam maka ia akan bertahan untuk diam, sedangkan kalau benda sedang berputar maka dia akan bertahan untuk berputar.

Momen Inersia Dirumuskan dengan:

� = �

Keterangan:

I = momen inersia ( kg.m2₎

m = massa benda (kg)

r = jarak antara benda dan sumbu putar (m) Contoh Soal 1:

Sebuah titik massa berotasi dengan jari-jari 0,2 m mengelilingi sumbu. Jika massa titik massa tersebut massanya 3 kg , berapakah momen inersianya ?

Penyelesaian:

Karena berupa titik massa maka momen inersianya dihitung dengan rumus I = mr2_.

I = 3 . (0,2)2 _{= 0,12 Kg m}2_.

Contoh Soal 2:

Dua benda bermassa 2 kg dan 3 kg dihubungkan dengan batang yang massanya diabaikan !

Tentukan momen inersia jika kedua benda diputar di sumbu Y ! Penyelesaian :

� = �

� = � + � � = . , + . , � = , + ,

� = , kg.

2 kg 3 kg 40 cm

Momen Inersia Benda Tegar

Teori Sumbu Sejajar

Sebuah batang homogen bermassa m panjangnya L berpusat massa di titik P. Jika batang diputar di titik O yang berjarak d dari pusat massa, besar momen inersia di titik O adalah:

� = � �+ �

Keterangan:

� = Momen inersia batang di titik O

� � = Momen inersia di pusat massa

= massa batang (kg)

� = jarak sumbu putar ke pusat massa (m) Contoh Soal :

Batang AB homogen panjang 6 m dengan massa 2,0 kg diletakkan seperti pada gambar.

Jika batang diputar dengan sumbu putar melalui titik O, Hitung momen inersianya (Gunakan teorema sumbu sejajar!)

5 m O 1 m

A B

L d

Penyelesaian:

� = � �+ �

� = � + �

� = . . + . � = + = �

HUBUNGAN MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA

Dengan menggunakan Hukum II Newton kita dapat memperoleh hubungan antara momen gaya dan momen inersia:

= � = . �. � x

. � = � . �  karena � = � dan � = � sehingga diperoleh hubungan:

� = �. �

Dengan demikian berlaku persamaan GMBB:

� = � ± ��

� = � � ± ��

� = � ± ��

Soal Latihan Mandiri

1. Sebuah batu gerinda memiliki massa 4 kg dan jari-jari 8 cm. Ketika sebuah momen gaya tetap dikerjakan, roda mencapai kecepatan sudut 1200 rpm dalam waktu 15 s. Anggap roda mulai dari keadaan diam dan batu gerinda berbentuk silinder pejal. Tentukan : (a)

percepatan sudut, (b) resultan momen gaya, (c) sudut putar yang ditempuh dalam 15 s.

2. Sebuah roda dengan momen inersia 15 kg m2 _{berputar pada 90 rad/s. (a) berapa momen}

3. Sebuah katrol berbentuk silinder pejal dengan massa 2 kg dan jari-jari 10 cm dililit tali bagian tepinya. Kemudian ujung tali yang lepas digantungi beban 2 kg. jika kemudian beban dibiarkan meluncur ke bawah dari keadaan diam. Berapa lama waktu yang diperlukan katrol untuk mencapai 5 putaran

MOMENTUM ANGULER DAN HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM ANGULER

Momentum anguler adalah ukuran tingkat kesukaran benda untuk dihentikan bila sedang berputar. Besarnya momentum anguler ditentukan oleh momen inersianya dan kecepatan angulernya. Besar momentum anguler dihitung dengan rumus:

� = ��

mirip seperti momentum linier P = mv. Satuan momentum anguler adalah kgm2 _{rad s}-1_.

Bila tidak ada gaya yang bekerja pada benda, maka momentum anguler bersifat kekal, secara matematis dinyatakan dengan :

� = �

� � = � �

sehingga kecepatan anguler benda yang berpuar dapat diubah-ubah dengan mengubah besarnya momen inersia benda. Inilah yang digunakan oleh penari ice skating sewaktu memutar

ENERGI KINETIK ROTASI

Benda yang bergerak translasi memiliki energi kinetik :

� � = �

Benda yang bergerak rotasi memiliki energi kinetik :

� = ��

Benda yang menggelinding artinya benda tersebut selama berotasi juga mengalami translasi, sehingga benda yang menggelinding memiliki energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi yang besarnya :

� � + � = � + ��

Contoh Soal :

Sebuah roda mobil memiliki massa 20 kg melaju di jalan dengan kecepatan 10 m/s. jika roda mobil dianggap berbentuk silinder pejal, maka berapakah energi kinetiknya ketika roda tersebut menggelinding ?

Penyelesaian:

Soal Latihan Mandiri:

1. Sebuah bola pejal dengan jari-jari 10 cm dengan berat 5 kg menggelinding dilantai dengan kecepatan 4 m/s. Berapakah energi kinetik yang dimikili bola tersebut ketika menggelinding ?

2. Sebuah bola pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni bidang miring yang tingginya 10 m. Tentukan kecepatran linier di dasar bidang miring ( g = 10 m/s2)

3. Sebuah silinder pejal dengan jari-jari 20 cm dan massa 2 kg yang berada di puncak bidang miring menggelinding menuruni bidang miring. Berapakah kecepatan sudut silinder ketika sampai di dasar bidang ?

KESEIMBANGAN PARTIKEL

Suatu partikel dikatakan seimbang jika Resultan gaya yang bekerja pada partikel tersebut sama

dengan nol

0 F



Untuk partikel yang dipengaruhi gaya-gaya sebidang pada bidang xoy, maka syarat keseimbangan benda dapat ditulis :

0

Pada kasus-kasus tertentu keseimbangan partikel dapat diselesaikan dengan sistem keseimbangan 3 gaya

Apabila ada tiga buah gaya yang seimbang, maka resultan dari dua buah gaya akan sama besar dan berlawanan arah dengan gaya yang lain.

Hasil bagi setiap besar gaya dengan sinus sudut diseberangnya selalu bernilai sama.

Contoh Soal :

Dari gambar berikut tentukan gaya tegang tali T1 dan T2, jika sistem dalam keadaan seimbang !

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR

Benda tegar adalah suatu benda yang tidak mengalami perubahan bentuk ketika diberikan gaya luar.

1. Momen gaya.

adalah efek putar dari sebuah gaya terhadap suatu sumbu putar.

Besar momen gaya merupakan hasil kali gaya dengan jarak dari sumbu putar, secara matematis dapat ditulis :

 = F.d

 = momen gaya ( N.m ) F = gaya ( N )

d = jarak sumbu putar terhadap garis keja gaya (m).

2. Koordinat titik tangkap gaya resultan

Dari gambar di bawah, misalkan pada bidang datar xoy terdapat 2 gaya yaitu F1 dan F2

maing-masing bertitik tangkap (x1 , y1) dan (x2 , y2) maka resultan gaya R bertitik tangkap di Z (x , y).

secara matematis :

Momen gaya resultan = ∑ momen gaya Momen gaya terhadap sumbu x :

2

Momen gaya terhadap sumbu y :

Contoh Soal :

Dari gambar di atas tentukan resultan dan letak titik tangkap gaya resultannya.

Penyelesaian :

Reseultan gaya R = F1y + F2y + F3y

R = 4 + (-3) + 8 = 9 N

Koordinat titik tangkap resultan :

y

3. Syarat-syarat keseimbangan benda.

Syarat agar benda tegar seimbang, resultan gaya dan resultan momen gaya terhadap titik sembarang sama dengan nol, atau ditulis :

0

Untuk benda yang terletak pada bidang datar xoy maka, syarat keseimbangan benda dapat ditulis :

Jika jumlah gaya yang mempengaruhi ada 3, maka benda seimbang jika ketiga gaya tersebut melalui satu titik tertentu.

Contoh-contoh konstruksi keseimbangan benda karena pengaruh 3 gaya :

Apabila pada sistem keseimbangan benda tegar terdapat sebuah titik tumpu tetap maka ambillah titik tetap tersebut sebagi pusat momen gaya.

Contoh Soal :

1. Batang AB disandarkan pada dinding licin dan lantai kasar dengan sudut kemiringan 60 terhadap lantai, jika panjang batang 4 m dan berat batang w pada saat batang tepat akan tergelincir maka koefisien gesekan antara batang dengan lantai adalah ... .

Penyelesaian :

Kita pilih titik A sebagai pusat momen gaya.

A = 0

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh : NB = fA = .NA = .w ... (4)

Persamaan (4) substitusikan ke persama-an (1).

.w = 3.w batang dalam keadaan seimbang tentukan :

Penyelesaian :

a. untuk menghitung gaya tegang tali, pusat momen gaya pilih titik B yang merupakan titik tetapnya.

B = 0

w. 2

1_{AB – T cos} _{.AB = 0}

40. ₂1 = T. ₅4 T = 25 N

b. untuk menghitung gaya engsel, gunakan syarat keseimbangan Fx = 0 dan Fy = 0:

Fx = 0

T sin – H = 0 25.

5

3_{= H H = 15 N.}

Fy = 0

T cos  + V – w = 0

25. ₅4 + V – 40 = 0 V = 20 N.

maka gaya engsel :

FB = H2 V2

= 152 202

= 25 N.

B A

4 m

T sin  w

H V T

T cos 

 C

TITIK BERAT

Setiap partikel dalam suatu benda memiliki berat. Berat seluruh benda adalah resultan dari semua gaya gravitasi berarah vertikal ke bawah dari semua partikel ini. Rersultan ini bekerja melalui suatu titik tunggal, yang disebut titik berat (Pusat gravitasi)

Koordinat titik berat dapat dihitung dengan rumus sbb :

Bila benda berada pada medan gravitasi yang homogen, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

Untuk benda dalam satu dimensi rumus diatas dapat ditulis menjadi :

Untuk benda dalam dua dimensi rumus diatas dapat ditulis menjadi :

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah T1 dan T2 dari susunan kesetimbangan di bawah ini.

2. Hitunglah Gaya T pada susunan kesetimbangan ini.

3. Seandainya benda-benda yang massanya mA = 20 kg dan mB = 50 kg disusun sedemikian hingga terjadi kesetimbangan, dengan tg  = 3/4

a. Hitunglah mC jika lantai pada bidang miring licin sempurna.

4. Gaya 8 N, 6 N, 5 N, 3 N, 7 N, 9 N dan 4 N bekerja terhadap persegi panjang yang sisi-sisinya berukuran : 4 m x 2 m seperti terlihat pada gambar.

Tentukan jumlah aljabar momen gaya dengan pusat :

a. Titik A b. Titik B c. Titik C d. Titik O

5. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

6. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

7. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.

8. Sebuah batang homogen AB panjangnya 6m dan massanya 40 kg ditahan pada kedua ujungnya. Dimana kita harus menempatkan beban 2000 N pada batang itu agar tekanan-tekanan di A dan B berbanding sebagai 2 : 1 . Berat batang dianggap bertitik tangkap di tengah-tengah batang.

9. Suatu batang AB yang homogen, massanya 30 kg, panjangnya 5 meter, menumpu pada lantai di A dan pada tembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 3 meter; batang AB menyilang tegak Lurus garis potong antara lantai dan tembok vertikal. Berapa besarnya gaya K mendatar yang harus di berikan pada batang di A supaya batang tetap seimbang ? dan Hitung juga tekanan pada A dan B.

Gambar no. 13 Gambar no. 14

11.Pada sebuah balok kayu yang massanya 10 kg dikerjakan gaya K = 50 N yang mengarah kebawah dan garis kerjanya berimpit dengan garis kerja gaya berat balok itu. Tentukan letak dan besar gaya tekanan N ( gaya reaksi ) yang dilakukan bidang terhadap balok itu.

12.Pada sebuah balok kayu, massanya 20 kg, panjangnya 30 cm dikerjakan gaya K = 100 N ( lihat gambar ). Tentukan letak dan besar gaya tekanan N ( gaya reaksi ) yang dilakukan bidang terhadap balok itu.

13.Sebuah papan berbentuk empat persegi panjang ABCD ( beratnya diabaikan ) dapat berputar pada bidangnya disekeliling titik A sebagai sendi, AB = 4 meter ; AD = 3 meter. Persegi panjang itu setimbang karena gaya-gaya yang bekerja pada bidang persegi panjang itu ialah : K1 = 30 N pada titik C dengan arah BC; K2 = 150 N pada titik D dengan arah sejajar AC ; K pada titik B dengan arah BD.

14.Sebuah batang AB massanya 10 kg, panjangnya 6 meter. Ujung B diikat dengan tali dan ujung tali yang lain diikat di C pada sebuah tembok vertikal. Ujung A dari batang bertumpu pada tembok itu juga. Dalam sikap seimbang ini tali membuat sudut 300 dengan tembok. Tentukan :

a. Gaya tegangan tali. b. Tekanan tembok di A

c. Sudut yang dibuat batang dengan tembok.

15.Sebuah batang dengan berat 50 N seperti tampak pada gambar di bawah ini. Berapa besar tegangan dalam kabel pendukungnya dan berapa komponen dari gaya yang dikerjakan oleh engsel pada batang.

Tentukan :

a. Diagram gaya-gaya

b. Gaya tegangan dalam tali

c. Besar dan arah gaya sendi.

17.Sebuah bidang miring AB ( panjangnya 40 meter ) bersendi pada kakinya yaitu titik A. Puncak B bidang condong dihubungkan oleh tali BC dengan tembok vertikal yang melalui A. Bidang miring ini bersudut 300 _{dengan horisontal dan tali BC arahnya} mendatar. Pada bidang miring dan tembok vertikal bersandar sebuah bola jari-jarinya 5 meter dan massanya 10 kg. berat bidang miring diabaikan.

Tentukanlah :

a. Gaya-gaya tekanan oleh bidang miring dan tembok pada bola

b. Gaya tegangan dalam tali