Bab 6 Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Bab 6 : Dinamika Rotasi

Bab 6 : Dinamika Rotasi

Dan Keseimbangan

Dan Keseimbangan

Benda

Benda T

Tegar

egar

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar 

Tegar 

Menentukan koordinat titik berat suatu Menentukan koordinat titik berat suatu  benda.

 benda.

Gerak Translasi dan Rotasi Gerak Translasi dan Rotasi Indikator :

Indikator :

Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif 

secara kuantitatif 

Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus  pengaruh torsi pada benda dalam kaitann  pengaruh torsi pada benda dalam kaitannaa

dengan gerak rotasi benda tersebut dengan gerak rotasi benda tersebut

Dibuat analogi hukum II !e"ton tentang Dibuat analogi hukum II !e"ton tentang gerak translasi dan gerak rotasi

gerak translasi dan gerak rotasi Pernahkah #n

Pernahkah #nda melihat permainan da melihat permainan rollerroller coaster di pekan raa$ Kereta meluncur dan coaster di pekan raa$ Kereta meluncur dan  berputar menurut sumbu putaran tertentu.  berputar menurut sumbu putaran tertentu.

Pernahkah #n

Pernahkah #nda melihat katrol$ da melihat katrol$ %ebuah alat%ebuah alat ang dapat berputar dan memberikan

ang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda ang berotasi keuntungan mekanik. Benda ang berotasi  pasti ada momen gaa ang beker&a pada  pasti ada momen gaa ang beker&a pada  benda itu.  benda itu. Gambar: Gambar: Katrol Katrol #. Momen Gaa #. Momen Gaa

Momen gaa merupakan salah satu bentuk Momen gaa merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalna anak ang bermain acuan. Misalna anak ang bermain

 &ungkat'&ungkit( dengan titik acuan adalah  &ungkat'&ungkit( dengan titik acuan adalah  poros &ungkat'&ungkit. Pada k

 poros &ungkat'&ungkit. Pada katrol angatrol ang  berputar karena bergesekan dengan tali ang  berputar karena bergesekan dengan tali ang

ditarik dan dihubungkan dengan beban. ditarik dan dihubungkan dengan beban. Momen gaa adalah hasil kali gaa dan Momen gaa adalah hasil kali gaa dan  &arak terpendek arah garis ker&a terhadap  &arak terpendek arah garis ker&a terhadap titik tumpu. Momen gaa sering disebut titik tumpu. Momen gaa sering disebut dengan momen putar atau torsi( diberi dengan momen putar atau torsi( diberi lambang t )baca: tau*.

lambang t )baca: tau*. Gambar:

Gambar:

Menarik beban menggunakan katrol Menarik beban menggunakan katrol t + , . d

t + , . d

%atuan dari momen gaa atau torsi ini %atuan dari momen gaa atau torsi ini adalah !.m ang setara dengan &oule. adalah !.m ang setara dengan &oule. Momen gaa ang menebabkan putaran Momen gaa ang menebabkan putaran  benda searah putaran &arum &am disebut  benda searah putaran &arum &am disebut

momen gaa positif. %edangkan ang momen gaa positif. %edangkan ang menebabkan putaran benda berla"anan menebabkan putaran benda berla"anan arah putaran &arum &am disebut momen gaa arah putaran &arum &am disebut momen gaa negatif.

negatif. Gambar: Gambar:

%kema permainan &ungkat &ungkit %kema permainan &ungkat &ungkit Titik - sebagai titik poros atau tit

Titik - sebagai titik poros atau titik acuan.ik acuan. Momen gaa oleh , adalah t + / , . d Momen gaa oleh , adalah t + / , . d Momen gaa oleh ,0 adalah t0 + 1 ,0 . d0 Momen gaa oleh ,0 adalah t0 + 1 ,0 . d0 Pada sistem keseimbangan rotasi benda Pada sistem keseimbangan rotasi benda  berlaku resultan momen gaa selalu bernilai  berlaku resultan momen gaa selalu bernilai

nol( sehingga dirumuskan: nol( sehingga dirumuskan: 2 t +

2 t +

-Pada permainan &ungkat'&ungkit dapat Pada permainan &ungkat'&ungkit dapat diterapkan resultan momen gaa + nol. diterapkan resultan momen gaa + nol. 2 t + 2 t + - 1 ,0 . d0 / , .  1 ,0 . d0 / , . d + -d + -, . d + ,0 . d0 , . d + ,0 . d0

Pada sistem keseimbangan translasi benda Pada sistem keseimbangan translasi benda  berlaku resultan gaa selalu bernilai nol(  berlaku resultan gaa selalu bernilai nol(

sehingga dirumuskan: sehingga dirumuskan: 2 , +

2 , +

-Pada mekanika dinamika untuk translasi dan Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banak kesamaan'kesamaan besaran rotasi banak kesamaan'kesamaan besaran ang dapat dibandingkan simbol

ang dapat dibandingkan simbol  besaranna.

 besaranna.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi Perbandingan dinamika translasi dan rotasi Translasi Translasi Rotasi Rotasi Momentum linier  Momentum linier   p + m3  p + m3 Momentum sudut4 Momentum sudut4 ω ω5 + I5 + I Gaa Gaa , + dp6dt , + dp6dt Torsi Torsi

 + d56dt  + d56dtττ Benda massa Benda massa Konstan Konstan , + m)d36dt* , + m)d36dt* Benda momen Benda momen inersia konstan4 inersia konstan4 6dt* 6dt*ωω + I )d + I )dττ

Gaa tegak lurus Gaa tegak lurus terhadap momentum terhadap momentum  7 p

 7 pωω, +, + To

Torsi tegak lurursi tegak luruss momentum sudut momentum sudut  5  5×× ΩΩ + +ττ 8nergi kinetik  8nergi kinetik  8k + 9 m30 8k + 9 m30 8nergi kinetik  8nergi kinetik  00ωω8k + 9 I8k + 9 I Daa Daa P + , . 3 P + , . 3 Daa Daa ω ω . . ττP +P +

#nalogi antara besaran translasi dan besaran #nalogi antara besaran translasi dan besaran rotasi rotasi Konsep Konsep Translasi Translasi Rotasi Rotasi atatan atatan Perubahan sudut Perubahan sudut ss θθ θθs + r.s + r. Kecepatan Kecepatan 3 + ds6dt 3 + ds6dt 6dt 6dtθθ + d + dωω ω ω3 + r.3 + r. Percepatan Percepatan a + d36dt a + d36dt 6dt 6dtωω + d + dαα α αa + r.a + r.

Gaa resultan( momen Gaa resultan( momen ,, ττ  + ,.r   + ,.r ττ Keseimbangan Keseimbangan , + , +  + - + -ττ Percepatan konstan Percepatan konstan 3 + 3- / at 3 + 3- / at ttαα- /- /ωω + +ωω s + 3-t + 9 at0 s + 3-t + 9 at0 t0 t0αα-t / 9-t / 9ωω + + θθ 30 + / 0as 30 + / 0as θα θα0 + / 00 + / 0ωω

Massa( momen kelembaman Massa( momen kelembaman m

m II

miri0∑I +

;ukum kedua !e"ton , + ma α + Iτ <saha  , ds∫ = + θ dτ ∫ = + Daa P + ,.3 ωP + I 8nergi potensial 8p + mg 8nergi kinetik  8k + 9 m30 0ω8k + 9 I Impuls  , dt∫   dtτ ∫  Momentum P + m3 ω5 + I ontoh ,0 >-o ? # B >@o ,

Dari gambar di atas( tentukan momen total terhadap poros ?. Aarak 

?# + m dan ?B + C m( gaa , + - !( dan ,0 +  !.

Aa"ab

Pada sistem keseimbangan translasi benda  berlaku resultan gaa selalu bernilai nol(

<ntuk gaa , r + ?B + C m

. rαBesar momen gaa t + , sin . C°+ - . sin >@

+ - . -( . C + C !.m

#rah momen gaa t searah perputaran &arum  &am

<ntuk gaa ,0 r0 + ?# +  m

0. r0αBesar momen gaa t0 + ,0 sin . °+  . sin

>-+  . -(E .  + 0 !.m

#rah momen gaa t0 berla"anan arah  perputaran &arum &am

Momen gaa total adalah t + t0 / t0

+ C / 0 + - !m Momen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaa ang se&a&ar( sama besar dan berla"anan arah. Kopel ang beker&a pada sebuah benda akan

menghasilkan momen kopel ang

mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M , , , 1  / M , d d d d , , , )a* )b* )c*

Gambar )a* menun&ukkan sebuah kopel beker&a  pada suatu benda. <ntuk 

gambar )b* menun&ukkan bah"a kopel bertanda  positif &ika putaranna searah

dengan perputaran &arum &am( tetapi &ika  perputaran kopel berla"anan dengan arah  perputaran &arum &am( maka kopel bertanda

Aika pada benda beker&a beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah M + M / M0 / M> / F / Mn ontoh , , P m 0m m  ,> ,0 Aa"ab:

Batang P pan&angna m. Pada batang tersebut beker&a empat buah gaa , + ,> + E  !( dan ,0 + , + C !( seperti tampak pada

gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang P tersebut. Gaa , dan ,> ang ber&arak d + >m membentuk kopel ang arahna searah  perputaran &arum &am )/* dan besarna:

M  + , 7 d + E 7 > + E ! m

Gaa ,0 dan , ang ber&arak d + > m membentuk kopel ang arahna berla"anan arah perputaran &arum &am )'* dan besarna:  0 ! m−M 0 + , 7 d + C 7 > +

Resultan momen kopel adalah: M + M / M0

 0*−+ E / ) H ! m−+

Tanda negatif )'*( menun&ukkan bah"a momen kopel resultan

arahna berla"anan dengan arah perputaran  &arum &am.

Koordinat Titik Tangkap Gaa Resultan

Aika terdapat beberapa gaa ang beker&a pada  bidang J( maka setiap gaa tersebut dapat

diuraikan atas komponen'komponenna pada sumbu' dan sumbu'J. Misalkan( komponen' komponen gaa pada sumbu' adalah ,7( ,07( ,>7(F(,n7( ang &arakna masing'masing terhadap sumbu' adalah ( 0( >(F(n . %edangkan komponen'komponen gaa pada sumbu'J adalah ,  ( , 0 ( , > ( F(,n ( ang &arakna masing'masing terhadap sumbu' J adalah 7( 70( 7>(F(7n . %emua komponen gaa pada sumbu' dapat digantikan oleh sebuah gaa resultan , 7 ang &arakna o dari sumbu'( demikian &uga semua komponen

gaa pada sumbu'J dapat digantikan oleh sebuah gaa resultan ,  ang &arakna 7o dari sumbu'J.

Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut. 7o + +

o + +

Aadi koornitat titik tangkap )7o(o* ontoh

J ,0+E! ,>+@! 

Dari gambar di samping( tentukan besar( arah( dan letak titik tangkap resultan.

'> ' - 0 > ,+'>! ,+'0! Aa"ab

%emua gaa se&a&ar sumbu'J( gaa ke atas  positif dan ke ba"ah negatif( resultan gaa

adalah:

, + , / ,0 / ,> / ,

+ '> / E / @ 1 0 + @ ! )arah ke atas* 5etak titik tangkap gaa resultan adalah: 7o +

7o + 7o +

Momen Inersia Benda Tegar 

Benda tegar adalah benda padat ang tidak  berubah bentuk apabila dikenai gaa luar.

Dalam dinamika( bila suatu benda tegar

 berotasi( maka αsemua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut

didefinisikanτang sama. Momen gaa atau gaa resultan gerak rotasi sebagai berikut. #pabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap( maka resultan gaa putar )torLue( baca torsi* luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut. Dirumuskan sebagai berikut.

α mi R0 i * . Σ + )τi atau θ ,i Ri %in Σ +τ

mi Ri0 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbuΣ putar( aitu pen&umlahan hasil kali massa tiap partikel

dalam suatu benda tegar dengan kuadrat  &arakna dari sumbu.

Dirumuskan:  mi . Ri0ΣI +

Definisi lain dari momen inersia adalah

 perbandingan gaa resultan )momen* terhadap  percepatan sudut. Dirumuskan: I + α + I . τmaka + Iτ α + I . τ, . R dan Σ +τKarena α , . R + I . Σmaka

Percepatan tangensial adalah &uga percepatan linier a( aitu percepatan singgung tepi roda.  . R αa +

+α

 persamaan men&adi :  , . R + I .Σ

Momen inersia harus dinatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan &arak. <ntuk menghitungna harus diperhatikan  bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menun&ukkan momen inersia  beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda ang umum dikenal

I + 9 M )R0 / R00* I + 6> MR0 I + MR0 I + 06E MR0 I + 06> MR0

ontoh:

8mpat buah partikel seperti ditun&ukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan ang massana dapat diabaikan.

Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses: sumbu ##( s # B  kg 0 kg  kg > kg 0 m 0 m 0 m # B umbu BB Penelesaian: I + N mi . Ri0 + m R0 / m0 . R00 / m> R>0 / m R0 +  . -0 / 0 . 00 /  . 0 / > . 0 + - / C /  / -C I + >0 kg m0 I + N mi Ri0 + m R0 / m0 R00 / m> R>0 / m R0 +  . 0 / 0 . 00 /  . -0 / > . 00 +  / C / - / 0 I + > kg m0

8mpat buah partikel massana kg( 0 kg( 0 kg( > kg seperti ditun&ukkan pada gambar(

dihubungkan oleh rangka melingkar ringan &ari'  &ari 0 meter ang massana dapat diabaikan.

Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada  bidang kertas

# #O

 +  *$∝ terhadap poros ini )∝Berapa besar momen gaa harus diker&akan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan

<langi pertanaan )a* dan )b* untuk poros ## Penelesaian: I + N mi Ri0 + m R0 / m0 R00 / m> R>0 / m R0 + > . 00 / 0 . 00 /  . 00 / 0 . 00 + 0 / C /  / C + >0 kg m0  + >0 .  + 0C !.m∝ + I . I + m0 R0 / m0 R00 / m0 R00 / m> R>0 / mR0

%ebuah benda sistem ang terdiri atas dua bola dengan massa masing' masing E kg

dihubungkan oleh sebuah batang kaku ang  pan&angna  m. Bola dapat diperlakukan

Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu ang tegak lurus batang dan melalui  pusat -( ?

salah satu bola 5 +  m Penelesaian: I + N mi Ri0 I + m# . R#0 / mB . RB0 / 60 m . 50 I + E . )-(E*0 / E . )-(E*0 / 60 . 0 . 0 I + E . -(0E / E . -(0E / 6 I + 0(E / 6 I + E60 / 6 + + 6 I + C6> kg m0  b. I + N mi Ri0 I + m#.R#0 / Mb.RB0 / 6> .m.l0 I + - / E . 0 / 6> . 0.0 I + E / 06> I + E kg m0 <&i Kompetensi I

%eorang tukang cat )massa EE kg* mengatur  papan homogen ang beratna

- ! dengan kuda'kuda di B dan  seperti pada gambar. Pan&ang #D +  m(

#B + D +  meter. Aarak kaleng cat )0 kg* dari # + -(E m. %ecara perlahan

ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada  &arak berapa meter dari  dia

dapat menggeser sebelum papan ter&ungkit $ # B  D

Pada sebuah batang horisontal # ang

 pan&angna - m beker&a tiga buah gaa > !( 0  ! dan  ! seperti terlihat pada gambar 

Tentukan :

a. Resultan dari gaa'gaa tersebut.

 b. Momen gaa ang beker&a pada sumbu' sumbu ang melalui #( B dan 

c. 5etak titik tangkap gaa Resultanna. Batang #B ang pan&angna E meter dan  beratna boleh diabaikan( padana beker&a E

 buah gaa seperti tampak pada gambar di  ba"ah ini. + >6.θAika tg

Tentukan besar dan letak dari gaa resultanna. Batang #B ang mempunai pan&ang  m

mendapat gaa pada u&ung'u&ungna seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaa resultanna.

Tentukan momen inersia batang ang berputar  pada poros ber&arak Q l dari u&ung titik

-?

'6 l />6 l

8mpat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat J seperti tampak pada gambar di ba"ah ini. M+M> +kg( M 0 +> kg( dan M  + 0 kg. Tentukan momen inersia sistem &ika sumbu putarna adalah )a* sumbu J( )b* sumbu ang tegak lurus bidang J melalui titik ?. J M 0 m M> ? > m M0 > m M

Tentukan momen inersia bola pe&al  massa bola m

 R>π3olume bola  + 6> massa keping + dm

r0 d7π3olume keping + d +

Perhatikan gambar di ba"ah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaa dari gaa , + -- ! dan gaa ,0 + 0-- ! terhadap poros di titik # dan titik ( &ika #D + 5( #B + 560( dan # + >56. D

 B ,0 # >-o ,

Pada sebuah batang horisontal # ang

 pan&angna - m beker&a tiga buah gaa > !( 0  ! dan  ! seperti terlihat pada gambar 

Tentukan :

a. Resultan dari gaa'gaa tersebut.

 b. Momen gaa ang beker&a pada sumbu' sumbu ang melalui #( B dan 

c. 5etak titik tangkap gaa Resultanna. Batang #B ang pan&angna E meter dan  beratna boleh diabaikan( padana beker&a E  buah gaa seperti tampak pada gambar di  ba"ah ini. + >6.θAika tg

Tentukan besar dan letak dari gaa resultanna. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk  berbagai kondisi

Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis

. Momentum %udut Gerak Rotasi Benda Tegar  Dalam dinamika( bila suatu benda berotasi

terhadap sumbu inersia (ωutamana( maka momentum sudut total 5 se&a&ar dengan kecepatan sudut ang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut )5* adalah hasil kali . %ehingga dapat dirumuskan :ωmomen

kelembaman I dan kecepatan sudut

ω5 + I .

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh$ Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik - dari sebuah partikel dengan massa m ang bergerak dengan kecepatan  )memiliki momentum P + m3* didefinisikan dengan perkalian 3ektor(

 P×5 + R

m×atau 5 + R ×5 + mR

Aadi momentum sudut adalah suatu 3ektor ang

tegak lurus terhadap bidang ang dibentuk oleh R dan 3.

Dalam ke&adian gerak melingkar dengan -sebagai pusat lingkaran( maka 3ektor R dan 3 saling tegak lurus.

 R ω +

%ehingga 5 + m R 3 R ω5 + m R

ω5 + m R0

adalah sama( maka:ω#rah 5 dam

ω5 + m R0

ωatau 5 + I +ωkarena

maka : 5 + m R0 5 + I

Momentum sudut sebuah partikel( relatif terhadap titik tertentu adalah besaran 3ektor( dan secara 3ektor ditulis:

 3*× P + m )R×5 + R Bila diturunkan( men&adi:  R × + ,τkarena

+τmaka

5( danΣ#pabila suatu sistem mula'mula

mempunai memontum sudut total 5O( setelah  beberapa "aktu(Σsistem mempunai

momentum sudut total akhir maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet ang menari sambil

 berputar dalam dua keadaan ang berbeda. Pada keadaan pertama( penari merentangkan tangan mengalami putaran ang lambat( sedangkan pada keadaan kedua( penari  bersedekap tangan rokna berkibar'kibar

dengan putaran ang cepat.

momentum sudut total a"al + momentul sudut total akhir 

5OΣ5 +Σ

5 / 50 + 5O / 50O

;ukum Kekekalan momentum rotasi sebagai  berikut.

0 +ω / I0ωI 0OωO / I0OωIO D. 8nergi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel ang massana m dan m0 dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier 3 dan 30( maka energi kinetik partikel ke  adalah 9 m30. ?leh karena itu( energi kinetik sistem dua partikel itu

adalah )energi kinetik partikel ke 0 adalah 9 m0300 * :

8K + 9 m 30 / 9 m0300

Dalam sistem benda tegar energi kinetikna:  9 mi 3i0Σ8K +

(ωBenda tegar ang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut . Ri ( di mana Ri adalah &arak ωkecepatan tiap partikel adalah 3i + partikel ke sumbu rotasi.

 9 mi3i0Σ &adi 8K + 0ω 9 mi Ri0 Σ+ 0ω mi Ri0* Σ+ 9 ) 0ω8K + 9 I . ωkarena 5 + I . ωmaka 8K + 9 5 . atau 8K + 9

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu ang melalui pusat massana dan pada saat ang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu( energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

0ω8K + 9 m30 / 9 I .

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:

8 + 8K / 8P + konstan

0 / mgh + konstanω9 m30 / 9 I ontoh %oal

%ebuah silinder pe&al homogen dengan &ari'&ari R dan massa m( ang berada di puncak bidang miring( menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah

kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah  +

dengan menggunakan hukum kekekalan energi( dengan menggunakan hukum II dinamika

rotasi Penelesaian Aa"ab:  + -ω3 + -( s h a. 8k / 8p + 8k0 / 8p0 00* / mgh0ω0* / mgh + ) 9 m300 / 9 I ω)9 m 30 / 9 I / / mgh + 9 m30 / 9 . 9 mR0 ) *0 / -gh + 9 30 / Q. R0 . 36r  gh + S 30 30 + gh 3 + )terbukti*

;ukum II dinamika rotasi N , + m . a m g . 1 9 m . a + m . a + a a + . 30 + 3o0 / 0 a s 30 + -0 / 0. . s 30 + gh 3 + )terbukti* 8. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi )titik pusat massa* dan gerak rotasi )penampang bentuk lingkaran*.

, , f f 

Penelesaian kita tin&au dari masing'masing gerakan itu.

Bila gaa , berada tepat di sumbu:  1 gerak translasi berlaku : , 1 f + m . a

α 1 gerak rotasi berlaku : f . R + I . + *αdi mana )

Bila gaa , berada di titik singgung :  1 gerak translasi berlaku : , / f + m . a

 + *α )α 1 gerak rotasi berlaku : ), 1 f* . R + I . Katrol

%umbu dianggap licin tanpa gesekan Massa + m

Aari'&ari + R 

Momen kelembaman + I Gerak translasi beban : , + m . a

/ T 1 mg + ma FFFFFFF.)i* / m0g 1 T0 + m0a FFFFFFF.)ii* Gerak rotasi katrol :

α + I . τ

)T0 1 T* R + I FFFFFF.)iii* Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban : , + m . a

 1 f + ma FF.)i*θ/ T 1 mg sin / m0g 1 T0 + m0a FFFFFFF..)ii* Gerak rotasi katrol :

α + I . τ

)T0 1 T* R + I FFFFFFFF)iii* %

atu u&ung talina terikat pada sumbu katrol Gerak translasi beban :

, + m . a

mg 1 T + m . a FFFFF..)i* Gerak rotasi katrol :

α + I . τ

T . R + I . FFFFF..)ii* ontoh %oal

C.Pesa"at #t"ood seperti pada gambar( terdiri atas katrol silinder ang masana  kg

)dianggap silinder pe&al*. Masa m dan m0 masing' masing E kg dan > kg. &ari' &ari katrol + E- cm. Tentukan: a. percepatan beban(  b. tegangan tali Penelesaian: a. Tin&au benda m N , + m . a " 1 T + m . a E . - 1 T +E . a T + E- 1 Ea Tin&au benda m0: N , + m0 . a T0 1 =0 + m0 . a T0 1 >.- + > . a T0 + >- / >a Tin&au katrol ∝N  + I . T . R 1 T0 . R + 9 m . R0 a6R  T 1 T0 + 9 .  . 0 E- 1 Ea 1 >- 1 >a + 0a 0- + - . a a + 0 m6s0 T + E- 1 E . 0 + - ! T0 + >- / > . 0 + > ! 0.

Pesa"at #t"ood seperti pada gambar( terdiri dari katrol silinder ang licin tanpa gesekan Aika m + E- kg dan m0 + 0-- kg ( g + -m6det0

#ntara balok m dan bidang datar ada gaa gesek dengan  + -(. massa katrol - kg. hitunglah:

 percepatan sistem( gaa tegang tali Penelesaian: a. Tin&au m: N , + m . a T 1 f + m . a k . ! + m . aµTi 1 Ti 1 -( . m . g + m . a T 1 -( E- . - + E- . a T + E- / E-a Tin&au m0: N , + m . a "0 1 T0 + m0 . a m0 . g 1 T0 + m0 . a 0-- . - 1 T0 +0-- . a T0 + 0--- 1 0-- . a Tin&au katrol: ∝N  + I . T0 . R 1 T . R + 9 m . r0 . a6R  T0 1 T + 9 m . a 0--- 1 0--a 1 E- 1 E- a + 9 . - . a HE- + 0EE a a + + @(E m6s0  b. T + E- / E- . @(E + >0(E ! T0 + 0--- 1 0-- . @(E + @- !

Dua buah benda ang massana m dan m0 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katrol bermassa M dan ber&ari'&ari R seperti ditun&ukkan pada gambar. Permukaan me&a

licin. Tentukan percepatan masing' masing  benda bila:

katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol

katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali

katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali Penelesaian: k + -*( T + T0 + Tµkatrol licin ) Tin&au m : N , + m . a T + m . a T + > . a Tin&au m0 : N , + m . a "0 1 T + m0 . a m0 . g 1 T + m0 . a E . - 1 T + E . a T + E- 1 Ea T + T >a + E- 1 Ea >a / Ea + Ca + E-a + + (0E 0 katrol kasar  Katrol : ∝N  + I . T0 . R 1 T . R + 9 mk . R0 . a6r  E- 1 Ea 1 >a + 9 .  . a E- + 9 a / Ca + C(E a a + E-6C(E + E(CC 0

 + >-U. KoefisienθBidang miring dengan sudut kemiringan gesek -(0. <&ung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa -- gram. Aari' &ari - cm )dianggal silinder pe&al*. <&ung tali di atas bidang miring diberi beban  kg. <&ung tali ang tergantung 3ertikal diberi beban dengan massa - kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut

Penelesaian: Tin&au m N , + m . a T 1 fk 1 " sin >- + m . a k . ! 1 m g sin >- + m . aµT 1 k . m . g . cos >- 1 m . g sin >- + m . aµT  1 T 1 -(0 .  . - . 9 1  . - . 9 +  . a T 1  1 0- + a T + 0(H0C / a Tin&au m0 N , + m . a "0 1 T0 + m0 . a "0 . g 1 T0 + m0 . a - .- 1 T0 + - .a T0 + -- 1 -a ∝Tin&au katrol N  + I . T0 . R 1 T . R + 9 m . R0 . a6R  -- 1 -a 1 0(H0C 1 a + 9 . -( . a -- 1 0(H0C + -(>a / -a / a @>(-@0 + (> a a + E( m6s0 T + 0(H0C /  . E( T + @(>0C ! T0 + -- 1 - . E( + H !

Balok # ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara  balok # dengan lantai + -(E . Aika massa # + m(

massa B + >m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gra3itasi g.

Tentukan:

gaa tarik oleh tali  percepatan B

Penelesaian:

=aktu sama( &arak ang ditempuh # adalah 07  &arak tempuh B berarti

s# + 0 sB atau a# + 0 aB Tin&au benda # "B 1 0T + mB . aB >mg 1 0T + >m aB aB + Tin&au benda B T 1 f + m# a#

2m 3m a m 2a a X  Y  T 1 -(E !B + m . a# T 1 -(E m g + m a# a# +

gaa tarik oleh tali %ubstitusi a# + 0 aB + 0 )* > T m 1 (E m0 g +  m0 g 1  T m : m T +  percepatan B aB + + + + aB + g

Kesetimbangan Benda Tegar 

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaa dan resultan momen gaa sama dengan nol.

Kesetimbangan biasa ter&adi pada :

Benda ang diam )statik*( contoh : semua  bangunan gedung( &embatan( pelabuhan( dan

lain'lain.

Benda ang bergerak lurus beraturan )dinamik*( contoh : gerak meteor di ruang hampa( gerak kereta api di luar kota( elektron mengelilingi inti atom( dan lain'lain.

Benda tegar adalah benda ang tidak berubah  bentukna karena pengaruh gaa dari luar.

Kesetimbangan benda tegar dibedakan men&adi dua:

Kesetimbangan partikel Kesetimbangan benda Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda ang ukuranna dapat diabaikan dan hana mengalami gerak translasi )tidak mengalami gerak rotasi*.

,7 + - )sumbu *Σ ◊, + -Σ%arat kesetimbangan partikel

SOAL

. Dengan menetapkan arah keluar bidang kertas sebagai arah V positif dengan 3ektor  satuan k ( maka torsi total ang beker&a pada  batang terhadap poros ? )lihat gambar*

adalah . . .

#. /k  m ! D. '0k  m ! B. 1 k  m ! 8. /Ek  m ! . /0k  m !

0. Berikut ini pernataan tentang faktor 1  faktor gerak rotasi :

)* Kecepatan sudut )0* 5etak sumbu rotasi )>* Bentuk benda )* Massa benda

,aktor 1 faktor ang mempengaruhi besar  momen inersia adalah . . .

A. (1), (2), (), dan (!) B. )*( )0*( dan )>* . )*( )>*( dan )* D. )0*( )>*( dan )* 8. )0* dan )*

>. Perhatikan gambar berikut. Tiga buah  pertikel dengan masa m( 0m( d a n >m

dipasang pada u&ung kerangka ang massana diabaikan. %istem terletak pada  bidang  XY . Aika sstem diputar terhadap

sumbu Y ( maka momen inersia sistem adalah

. . .

#. Ema D. ma2

B. @a ". #ma2

37o g 2 kg T2 T1 B A M = 4 kg

. %ekeping papan berbentuk cakram )silinder* diberi poros tanpa gesekan tepat pada  pusatna( sehingga papan dapat berputar 

mengitari porosna. #u mendorong tepi  papan dengan sudut >@o _{)sin >@}o _{+ -(*} terhadap arah tangensial papan )lihat gambar*. Begitu papan berputar( #u berlari mengikuti  papan dan terus mendorong dengan gaa konstan. Papan mula 1 mula berada pada keadaan diam. Papan memiliki massa M ( &ari

 1 &ari  R( dan momen inersia 60M R2. Aika

 papan menempuh satu putaran lengkap dalam "aktu T ( gaa dorong #u adalah . . .

#. 2_πMR 5_T 2 D. 2 _MR 5_πT 2 B. 5_πMR 2_T 2 8. 2 _{M R}2 5_πT  . 5 _MR 2_πT 2

E. %uatu batang tipis dengan pan&ang L dan massa m dapat berputar pada sumbu ang terletak di

u&ung batang. Pada a"alna( batang berada  pada posisi horiWontal dan kemudian dilepas.

Pada saat batang membuat sudut θ dengan

arah 3ertikal( percepatan sudut rotasi batang adalah . . . A.  _Lg D. 3_gcos_θ  L B. 3_gsin_θ 2 _L 8. 6_g  Lcos_θ . 6_g  Lsin_θ

. %ebuah bola pe&al bermassa M  dan &ari 1 &ari  R  menggelinding menuruni sebuah bidang

miring dengan sudut kemiringan θ   terhadap

arah mendatar. Percepatan bola adalah . . . #. 2 5 gsinθ D. gsinθ B. 3 7 g sin_θ 8. 7 5 g sin_θ $. 5 7 gsinθ

@. Pada gambar di ba"ah(C  adalah roda katrol

dan massa beban  B lebih besar daripada

massa beban A. Aika percepatan gra3itasi +

- m6s0 _{dan tegangan tali T} 

1  + 0E !(

tegangan tali T 2 adalah . . .

#. 0C ! D. 00 ! B. 0 ! ". 2% & . 0 !

C. Pada gambar berikut( roda katrol pe&al C 

T

C

h

Poros

m _2m

Massa roda C  adalah >-- gram. Aika

 percepatan gra3itasi adalah - m6s0₍ tegangan tali T  adalah . . .

#.  ! D. >(> ! B. 1,' & 8.  ! . 0 !

H. %ebuah bola sepak( massa M ( &ari 1 &ari R( dan

momen inersia 2 3 M R

2

  menggelinding menuruni suatu bidang miring dari ketinggian

h )lihat gambar*. Aika percepatan gra3itasi

adalah g ( kela&uan bola sepak di dasar bidang

adalah . . . A. √ 2gh D.

√

6_gh 5 B.

√

3_gh 2 8.

√

 4_gh 3 . 10_gh 7

-. %ebuah bola pe&al menggelinding dari keadaan diam menuruni suatu bidang miring ang membentuk sudut >-o _{terhadap arah}

mendatar. Kela&uan linear bola ketika telah menempuh lintasan se&auh >(E m pada bidang adalah . . .

#.  m6s D. > m6s B. ' ms 8. 0 m6s .  m6s

. Berapakah kecepatan sudut sebuah silinder   pe&al pada dasar bidang miring( sehingga

silinder dapat menggelinding sampai ke  puncak bidang ang memiliki pan&ang -(- m

dan tinggi >(-- m$ )Massa silinder adalah 0(-- kg dan &ari'&ari -(--*.

#. H(E rad6s D. 0C( rad6s B. 1', rads 8. >0( rad6s . 0(@ rad6s

0. %ebuah batang tipis dengan pan&ang -(-meter diberi poros pada pusatna dan poros ditempelkan pada dinding( sehingga batang  bebas berotasi se&a&ar terhadap bidang dinding. Di u&ung'u&ung batang terpasang  balok'balok kecil bermassa m dan 0m.

#nggap sistem dibebaskan dari keadaan diam dari posisi horiWontal )lihat gambar*. Balok  0m akan mengaun ke ba"ah. Kela&uan linear 

 balok 0m ketika mencapai titik terendah

adalah )abaikan massa batang dan ambil g + - m6s0_{* . . .}

#. 1,% ms D. ( m6s B. (0 m6s 8. (C m6s . ( m6

6 kg 3 kg 3 m/s 2 m/s 1 m 2 m v

>. Dua silinder P   danQ berotasi pada porosna

masing' masing dengan kecepatan sudut ω p

dan ωq denganω p : ωq +  : 0. Momentum

sudut P  dan Q masing'masing adalah  L p dan

 Lq  dengan L p :  Lq  + 0 : >. Berapakah nilai

 perbandingan energi kinetik P terhadap energi

kinetikn Q$ #. 1 6 D. 4 3 B. 1 3 8. 3 2 . 1 4

. Dua benda sedang bergerak seperti ditun&ukkan pada gambar. Besar momentum sudut total terhadap titik asal O( dalam satuan

kgm0_s'_{( adalah . . .}

#. - D. 0

B.  8.

>-. 

E. %ebuah cakram horiWontal dengan inersia I 1

 berputar dengan kecepatan sudut ω0 terhadap

suatu poros 3ertikal tanpa gesekan. akram kedua dengan momen inersia I 2  dan mula'

mula tidak berputar( &atuh pada permukaan cakram pertama. Karena permukaan kasar( kedua cakram akhirna mencapai kela&uan sudut ang sama ω. !ilai perbandingan

ω ω0  adalah . . #.  I 1  I 2 D.  I 2 ( I 1+ I 2) B.  I 2  I 1 8.  I 1 I 2 ( I 1+ I 2) .  I 1 ( I 1+ I 2)

. %ebuah cakram mendatar berputar bebas terhadap suatu sumbu 3ertikal dan membuat H- putaran per menit. %epotong kecil dempul dengan massa 0(- 7 -'0 _{kg &atuh 3ertikal dan} menempel pada cakram dengan &arak E(- 7 -' 0 _{m dari poros. Aika banak putaran per menit}  berkurang men&adi C-( momen inersia cakram

)dalam kg cm0_{* adalah . . .}

#. 0(- D.

E(-B. >(- 8.

(-$. !,%

@. %ebuah balok bermassa m berotasi dalam

suatu lingkaran dengan &ari'&ari  R1  dengan

kela&uan v1( pada suatu permukaan me&a

mendatar tanpa gesekan. Balok diikat pada seutas tali ang melalui suatu lubang pada me&a )lihat gambar*. Tidak ada gesekan antara me&a dan tali. <&ung tali di ba"ah me&a ditaik  ke ba"ah sehingga setelah penarikan balok   berotasi dalam suatu lingkaran dengan &ari'&ari

 R2 dengan kela&uan v2. !ilai perbandingan

tegangan tali sesudah dan sebelum penarikan tali adalah . . . #.  R1  R2 D.

(

 R1  R2

)

4 B.

(

 R 1  R2

)

2 ".

(

 R 2  R1

)

2

T S Q R w P X A B 30o m M M E A D C 30o .

(

 R 1  R2

)

3 C.

Gambar di atas menun&ukkan sebatang kau  berat diengselkan di  P . <&ung kau Q

didukung oleh seutas ka"at ang diikat pada dinding di  P . Berat kau adalah * dan

tegangan dalam ka"at adalah T. #rah gaa  pada kau di P  adalah sepan&ang . . .

#.  PQ D. SP 

B. QP  8. SR

.  PS 

H. %istem pada gambar berikut ini berada dalam keadaan seimbang. Berat balok # adalah -- ! dan koefisien gesekan statis antara balok # dan me&a adalah -0(0. Berat balok B adalah . . .

#. 0-X0 ! D. -X0 ! B. 0-X> ! ". !%+ & . - !

0-. Tiga buah bola masing'masing ber&ari'&ari >-cm( >- >-cm( dan 0- cm disusun seperti pada gambar dengan bola kecil berada diatas kedua  bola besar. Massa bola kecil sebesar m( massa

 bola besar masing'masing  M ( percepatan

gra3itasi g . Besar gaa ang diker&akan oleh

salah satu bola besar pada bola kecil adalah . . . #. 5 _Mg 8 D. 3_mg 5 B. 3 _Mg 8 8. 2( _M +_m)_g 5 . 2 _Mg 5 0.

Pada gambar sistem katrol( benda A  dan  E 

masing'masing -- ! dan - !. #pabila tali

 AC  horiWontal dan tali AB se&a&ar bidang( serta

 bidang miring dan katrol licin( maka sistem seimbang untuk berat D sebesar . . .

#. E-(E ! D. @0(E ! B. ',' & 8. C(E ! . 0(E !

00. %umbu kedua roda depan dan sumbu kedua roda belakang sebuah truk ang bermassa >--- kg ber&arak > m. Pusat massa truk  terletak 0 m di belakang roda depan. Diandaikan percepatan gra3itasi Bumi adalah - m6s0_{. Beban ang dipikul oleh kedua roda} depan truk itu sama dengan . . .

#. E--- !e"ton B. 1% %%% &e*ton . E --- !e"ton D. 0- --- !e"ton

M P Q R Papa B!"a #$%&mp&kka #$ s$$ 8. 0E --- !e"ton

0>. %uatu pipa seragam dengan pan&ang 0- m dan massa 0- kg disangga oleh penumpu pada salah satu titik di pipa tersebut. Ketika u&ung kiri pipa diberi beban - kg dan titik tumpu  berada pada &arak 0 m dari tengah pipa(

tentukan massa beban ang harus diberikan  pada u&ung kanan pipa agar ter&adi

keseimbangan.

#. - kg D. - kg

B. 2% kg 8. E- kg

. >- kg 0.

Gambar diatas menun&ukkan sebuah beban  bermassa M ditopang oleh seutas ka"at PR

dan sebuah batang ringan QR ang diberi

engsel pada Q. %usunan ini dapat diubah

dalam cara'cara ang didaftar berikut ini( tetapi dalam tiap kasus batang QR  tetap

horiWontal.

)* Meningkatkan pan&ang batang dan ka"at( dengan P  dan Q tetap pada posisi asalna

dan massa terletak di u&ung batang.

)0* Meningkatkan pan&ang ka"at dan memindahkan P  ke atas( dengan men&aga

 pan&ang batang konstan.

)>* Meningkatkan  M ( sedangkan ukuran'

ukuran lainna di&aga konstan.

Manakah dari perubahan di atas ang dapat menebabkan peningkatan tegangan dalam ka"at PR$ #. )>* sa&a B. )* dan )0* sa&a $. (1) dan () saa D. )0* dan )>* sa&a 8. )*( )0*( dan )>*

0E. %ebuah papan kau pan&ang L + >(- m( massa m  + C- kg diam pada dua penumpu )lihat

gambar*. Penumpu kedua berada pada &arah >6 L dari u&ung kiri papan. Juli ingin

meletakkan sebuah beban bermassa M  +

>--kg di sisi kanan papan se&auh mungkin tanpa  papan terguling. Berapa &auh di kanan  penumpu kedua( beban itu harus diletakkan$

#. -(0- m D. %,!% m B. -(0E m 8. -(E- m . -(>- m

0. %ebuah toko memasang papan nama bermassa m ang digantung pada u&ung sebuah batang dengan pan&ang 5 dan massana dapat diabaikan. Batang ini disandarkan pada dinding took dengan engsel pada poros ?. Batang ditahan mendatar oleh seutas ka"at ang merentang dari titik tengah batang ke dinding( pada ketinggian h di atas engsel )lihat gambar*. Aika ka"at akan putus ketika tegangan T mencapai Tmaks 1 >mg( maka ketinggian minimum hmin di mana ka"at harus dipasang ke dinding adalah . . . ..

#. 5 D.  L2 B. _√  L2 8.  L 3 . _√  L3 O h L

0@. %atu u&ung dari sebuah batang homogen  pan&ang (- m( ditopang oleh seutas kabel. <&ung lainna bersandar pada dinding di mana batang ditahan di tempatna oleh gesekan )lihat gambar*. Koefisien gesekan statis antara dinding dan batang adalah us +

-(E-. Aarak minimum( 7( dan titik # di mana suatu berat tambahan " )sama dengan berat  batang* dapat digantung tanpa menebabkan  batang tergelincir pada titik # adalah . . .

#. 0(0 m D. 0(C m B. 0( m 8. >(- m . 0( M

0C. Batang bersandar pada dinding licin dan  bertumpu pada lantai kasar( seperti gambar. Bila # + E m( B +  m( maka koefisien gesekan di titik # pada saat batang tepat akan  bergeser adalah . . . #. 1 8 D. 3 5 B. 2 8 8. 4 5 . 3 8

0H. %eseorang menaiki tangga homogen ang disandarkan pada dinding 3ertikal ang licin. Berat tangga >-- ! dan berat orang @-- !. Bila orang tersebut dapat naik se&auh > m sesaat sebelum tangga itu tergelincir( maka koefisien gesekan antara lantai dan tangga adalah . . .

#. -(>C D. -(E

B. %,! 8. -(CE

. -(C

>-. %ebuah batang bermassa  kg dan pan&ang 0 m dihubungkan ke dinding oleh sebuah engsel dan ditopang oleh seutas tali mendatar )lihat gambar*. Aika g + - m6s0  _{dan sudut ang} membentuk batang terhadap horiWontal( Y + >@Z )sin >@Z + -(*( besar tegangan dalam tali adalah . . . #. E- ! D. 0E ! B  A 37 w x  A C 4 m 5 m B  A 37 w x licin kasar  4 m 3 m

B. !% & 8. 0- ! . >- !

>. %ebuah penggaris siku bergantung diam seperti ditun&ukkan pada gambar. Penggaris dibuat dari lembaran logam serbasama. 5engan ang satu pan&angna l cm( sedangkan lengan ang lain pan&angna 0 5 cm. Besarstem Y adalah . . .

#. (- D. %,2'

B. -(E- 8. -.E

.

-(->0. Beberapa kegiatan untuk menentukan titik   berat sepotong karton dengan bantuan benang  berbeban( aitu :

. menggantung benang berbeban bersama' sama karton pada lubang #(

0. menarik garis lurus a pada karton berimpit dengan benang(

>. menarik garis lurus b pada karton berimpit dengan benang(

. menggantungkan benang berbeban bersama' sama karton pada lubang B(

E. perpotongan a dan b adalah titik berat karton.

<rutan kegiatan ang benar agar titik berat karton dapat ditentukan adalah . . .

#. ( 0( >( ( E D. 1, !, 2, , ' B. ( 0( ( >( E 8. 0( >( ( ( E . 0( >( ( E( 

>>. Gambar berikut ini adalah bidang homogen. #pabila V adalah titik berat dari luasan #BG;( dan V- adalah titik berat luasan #BD8,G( maka &arak V-Vadalah . . .

#. -(C cm D. 6,% -m B. (0 cm 8. -(- cm . (- cm

>. %ebuah bidang stem PR% tampak 

seperti pada gambar. Tentukan letak titik   berat benda tersebut terhadap sisi P . . .

A. 2, -m B. 0(>> cm . 0(0- cm D. 0E(> cm 8. E-(0 cm >E.

Dari gambar di atas( benda ang mengalami keseimbangan labil adalah . . .

#.  dan / D. R dan % B.  dan R 8. ( R( dan % . P dan %

>. Dua partikel bermassa m  dan m0  terpisah  pada &arak tetap r. Aika kedua partikel berotasi

L 2L  A B _C  A B C D E F G H 8 cm 12 cm 5 cm 12 cm 5 cm 8 cm Q  ! " 4# cm " Q  !

terhadap poros ang melalui pusat massa kedua partikel tersebut dan tegak lurus terhadap garis ang menghubungkan kedua  partikel( maka momen inersia sistem partikel ang dinatakan dalam u( di mana

u= m1m2 m1+m2  ( adalah . . . #. 1 2 u r 2 D. 0 u r2 B. u r2 8. 5 3u r 2 . 3 2u r 2