Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

1

Fisika XI Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:

1. menjelaskan konsep dinamika rotasi dan keseimbangan benda tegar;

2. menerapkan konsep dinamika rotasi dan keseimbangan benda tegar dalam kehidupan sehari-hari.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik:

1. mensyukuri nikmat Tuhan atas diciptakannya keseimbangan pada setiap makhluk di bumi;

2. cermat dan memiliki perhitungan yang matang pada setiap kegiatan.

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

Dinamika Rotasi Keseimbangan Benda Tegar

• Mendeskripsikan torsi atau momen gaya.

• Menemukan faktor-faktor yang memengaruhi jenis gerak benda melalui per- cobaan.

• Mendiskusikan peran jari- jari terhadap momen inersia benda.

• Mendiskusikan faktor yang memengaruhi keseim- bangan benda tegar.

• Menemukan peran momen gaya dalam memengaruhi keseimbangan benda tegar melalui percobaan.

• Menentukan titik berat suatu benda.

• Mengagumi ciptaan Tuhan atas adanya konsep titik berat dan keseimbangan benda tegar yang mempermudah kehidupan manusia.

• Cermat dan teliti dalam melakukan setiap kegiatan.

• Memiliki sikap cermat serta memiliki perhitungan matang dalam menerapkan konsep keseimbangan dalam kehidupan.

• Bekerja sama dan saling menghargai kerja antarindividu dalam melaksanakan setiap percobaan.

• Mampu menjelaskan konsep torsi dan momen gaya.

• Mampu menjelaskan faktor-faktor yang memengaruhi jenis gerak suatu benda.

• Mampu menjelaskan peran jari-jari terhadap momen inersi benda yang berotasi.

• Mampu menjelaskan faktor-faktor yang memengaruhi keseimbangan benda tegar.

• Mampu menerapkan konsep momen gaya pada kehidupan.

• Mampu menentukan titik berat suatu benda yang tidak beraturan morfologinya.

2 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

τ₁= τ₂ τ₁= F₂R₂ 80 N = F₂ F₂ =
^
= 80 N

Jadi, supaya sistem seimbang gaya F yang harus diberikan sebesar 80 N.

5. Jawaban: e

Diketahui: F = 20 N = 20 kg m/s² m = 4 kg

R = 10 cm = 0,1 m Ditanyakan: α

Jawab:

τ = Iα FR = ^_mR²α

F = _^mRα

20 kg m/s²= (_^)(4 kg)(0,1 m) α

α = _ ^



  

= 100 rad/s²

Jadi, percepatan sudut katrol sebesar 100 rad/s². 6. Jawaban: b

Diketahui: m₁= 2 kg m₂= 3 kg Ditanyakan: a

Jawab:

F = ma w₂ – T + T – w₁= (m₁ + m₂)a

w₂ – w₁= (m₂ + m₂)a (m₂ – m₁)g = (m₁ + m₂)a

a = ^{ }

 

 

 

−

+ g

= ^{   }

   

 − 

 + 

 (10 m/s²)

= ^

 

 

 

 (10 m/s²) = 2 m/s² Jadi, benda B mengalami percepatan sebesar 2 m/s².

7. Jawaban: b

Diketahui: m = 2 kg h = 1,5 m s = 4 m

= 30 cm = 0,3 m R = 5 cm = 0,05 m Ditanyakan: v

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b

Diketahui: m = 3 g = 3 × 10^–3 kg R = 0,75 cm = 7,5 × 10^–3 m Ditanyakan: I

Jawab:

I = mR²

= (3 × 10^–3 kg)(7,5 × 10^–3 m)²

= (3 × 10^–3 kg)(5,625 × 10^–5 m²)

= 1,69 × 10^–7 kg m²

Jadi, momen inersia cincin sebesar 1,69 × 10^–7 kg m². 2. Jawaban: a

Putaran benda berlawanan arah jarum jam.

τ₁ = –F₁R₁

= –(F)(_^ )

= –^_F

Putaran enda searah jarum jam.

τ₂ = F₂R₂

= (2F sin 30°)(_^ )

= (2F)(^_)(^_ )

= ^

F

Momen gaya total = τ₁ + τ₂ = –^

F + ^

F = 0.

Jadi, momen gaya total yang bekerja pada benda sebesar nol.

3. Jawaban: e

Diketahui: m = 0,2 kg

R = 30 cm = 0,3 m Ditanyakan: I

Jawab:

I = mR² = (0,2 kg)(0,3 m)²

= (0,2 kg)(0,09 m²)

= 0,018 kg m²

Jadi, momen kelembaman partikel sebesar 0,018 kg m².

4. Jawaban: c

Diketahui: m = 12 kg R₁= ^_ R₂=

Ditanyakan: F supaya sistem seimbang Jawab:

w = mg = (12 kg)(10 m/s²) = 120 N τ₁ = F₁R₁ = (120 N)(^_ ) = 80 N

T T

w₁

w₂

3

Fisika XI

B. Uraian

1. a. τ = FR

= (15 N)(0,8 m)

= 12 Nm

b. τ = F sin 53°R

= (15 N)(0,8)(0,8)

= 9,6 Nm

Jadi, torsi yang diberikan Novita terhadap daun pintu dengan dua cara secara berturut-turut adalah 12 Nm dan 9,6 Nm.

2. Diketahui: m₁ = 100 gram = 0,1 kg m₂ = 300 gram = 0,3 kg R₁ = 10 cm = 0,1 m R₂ = 30 cm = 0,3 m Ditanyakan: I

Jawab:

I = m₁R₁² + m₂R₂²

= (0,1 kg)(0,1 m)² + (0,3 kg)(0,3 m)²

= (0,1 kg)(0,01 m²) + (0,3 kg)(0,09 m²)

= 0,001 kg m² + 0,027 kg m²

= 0,028 kg m²

Jadi, momen inersia sistem sebesar 0,028 kg m². 3. Diketahui: d = 16 cm → r = 8 cm = 0,08 m

m = 0,5 kg L = 1,6 kg m²/s Ditanyakan: a. I

b. ω Jawab:

a. I = _^mR²

= (^_)(0,5 kg)(0,08 m)²

= (^_)(0,5 kg)(0,0064 m²)

= 0,0016 kg m²

= 1,6 × 10^–3 kg m² b. L = Iω

1,6 kg m²/s = 1,6 × 10^–3 kg m²ω

ω =  ^ 

    

  × ⁻  

= 1.000 rad/s

Jadi, momen inersia dan kecepatan sudut roda peng- giling secara berturut-turut adalah 1,6 × 10^–3 kg/m² dan 1.000 rad/s.

4. Diketahui: m = 5 kg s = 1,5 m θ = 37°

Ditanyakan: v Jawab:

E_m

1= E_m

2

E_p

1 + E_k

Trans 1 + E_{k rot}

1 = E_p

2 + E_k

Trans 2 + E_{k rot}

2

mgh + 0 + 0 = 0 + _^mv₂² + ^_Iω₂² mgh = ^_mv₂² + ^_(_^mR²)(









 ) mgh = ^

mv₂² + ^

mv₂² gh = ^v₂²

v₂²= 





v₂=





v₂=    ^{ } = _{ } m/s Jadi, kecepatan silinder saat menyentuh lantai sebesar _{ } m/s.

8. Jawaban: d

Diketahui: m = 0,1 kg R₁= 1 m T₁ = 0,314 s R₂= 0,5 m Ditanyakan: ω₂

Jawab:

I₁ω₁= I₂ω₂ mR₁²







π = mR₂²ω₂

(0,1 kg)(1 m)² _{ } ^{ }= (0,1 kg)(0,5 m)² ω₂ 2 kg m²/s = 0,025 ω₂ kg m²

ω₂=





   

   

ω₂= 80 rad/s

Jadi, kecepatan sudut putaran menjadi 80 rad/s.

9. Jawaban: a

Berdasarkan persamaan τ = R F sin θ, maka besar momen gaya dipengaruhi oleh panjang lengan gaya dan gaya yang diberikan. Sudut yang dibentuk oleh gaya dan lengan gaya memengaruhi besar gaya yang mengenai benda atau besar gaya yang bekerja, sedangkan letak titik tumpu memengaruhi panjang lengan gaya.

10. Jawaban: b Ibola berongga = ^

mR² I_cincin = mR² Isilinder pejal = ^

mR² I_{bola pejal} = ^_mR²

I_cincin > Ibola berongga > Isilinder pejal > Ibola pejal

0,8 m

0,8 m 15 N

53° 15N

4 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

Jawab:

sin θ = ^_ sin 37° = _{  }^

0,6 = _{  }^ h = 0,9 m

E_m

1= E_m

2

E_p

1 + E_k

1= E_p

2 + E_k

2

mgh₁ + 0 = 0 + ^

mv₂² + ^

Iω₂² mgh₁= ^

mv₂² + ^





mR²











mgh₁= ^

mv₂² + ^

mv₂² mgh₁= _^ mv₂²

v₂²= _ ^





v₂²= ^{ }





v₂= ^{ }





=





= 3 ^

 m/s

Jadi, kecepatan bola saat di dasar bidang miring sebesar 3 ^

 m/s.

5. Diketahui: m₁= 15 kg R₁= 1 m m₂= 18 kg Ditanyakan: R₂

Jawab:

τ₁= τ₂ m₁ R₁= m₂ R₂ (15 kg)(1 m) = (18 kg)(R₂)

R₂= ^{  }_
 = 0,83 m

Jadi, benda bermassa 18 kg harus diletakkan sejauh 0,83 m dari titik tumpu.

A. Pilihlan Ganda 1. Jawaban: e

Diketahui: m = 20 kg

= 5 m h = 4 m g = 10 m/s² cos α =  ^_{ } cos α = 0,8

α = arc cos 0,8 α = 37°

Ditanyakan: f Jawab:

Gaya normal dinding pada ujung atas tangga

N N_y

N_x α

α

W

Σ

τ = 0 N – xw = 0

(5 m) N = (4 m)(20 kg)(10 m/s²) N =

 

   

 

N = 160 N

Gaya gesek lantai dengan tangga

Σ

^F_x^{= 0}

f – N_x= 0 f = N cos α

= (160 N) cos 37°

= (160 N)(0,8)

= 128 N

Jadi, gaya gesek lantai dengan tangga 128 N.

2. Jawaban: c

Diketahui: m_j = 15 kg m_A = 10 kg m_B = 15 kg R_A = 2 m

Ditanyakan: R_B supaya seimbang Jawab:

Σ

τ = 0 w_AR_A + w_jR_j – w_BR_B= 0

5

Fisika XI

(10 kg)(10 m/s²)(2 m) + (15 kg)(10 m/s²)(0) – (15 kg)(10 m/s²)(R_B) = 0

200 kg m²/s²= 150 kg m/s² R_B R_B=

 



   

  

= 1,33 m

Jadi, B diletakkan 1,33 m dari titik tumpu supaya jungkat-jungkit seimbang.

3. Jawaban: a

Gaya-gaya horizontal

Σ

^F_x^{= 0}

T_1x= T_2x T₁ cos θ₁= T₂ cos θ₂

T₂= ^{ }







 θ

θ

Gaya-gaya vertikal

Σ

^F_y^{= 0}

T_1y + T_2y – w = 0 T₁ sin θ₁ + T₂ sin θ₂ – w = 0 T₁ sin θ₁ + ^{  }



 



 θ θ

θ – w = 0

     



   



 θ θ  θ θ

θ

+ = 0

T₁ sin (θ₁ + θ₂) = w cos θ₂ T₁= ^

 



 

θ

θ +θ

Jadi, nilai T₁ = ^

 



 

θ

θ +θ . 4. Jawaban: c

Diketahui: m_L= 0,5 kg m_B= 1 kg

B = 0,5 m Ditanyakan: T

Jawab:

Tegangan kawat

Σ

τ = 0

BT_y – _Bw_L – _Bw_B = 0

(0,5 m)T_y – (0,5 m)(0,5 kg)(10 m/s²) – (^

)(0,5 m) (1 kg)(10 m/s²) = 0

0,5 T_y m – 2,5 kg m²/s² – 2,5 kg m²/s² = 0

θ₁ θ₂

T₁ T₂

W

T_1x T_2x

T T_y

N

T_x 37°

W_B

W_L

0,5 T_y m = 0,5 kg m²/s² T_y=

 

   

  

T_y= 10 kg m/s² = 10 N Jadi, tegangan kawat sebesar 10 N.

5. Jawaban: b A_I = s²

= (4 cm)²

= 16 cm² A_II= _^at

= (_^)(4 cm)(3 cm) = 6 cm² I → (x_pm, y_pm) = (2, 2) II → (x_pm, y_pm) = (2; 5,5) x_pm= ^{   }

 

 

 

+ +

=

 

 

   

+ +

= ^{   }_ ^

 

+ =





 

  = 2 (x_pm, y_pm) = (2; 2,95)

y_pm= ^{   }

 

   

 

+ +

=

 

 

   

+ +

=

 



   

 

+ = ^{ }_

  = 2,95

Jadi, letak titik berat benda pad akoordinat (2; 2,95).

6. Jawaban: e x_pm

A= r x_pm

B= ^r L_A = πr_A² = πr²

L_B = πr_B² = π(^r_A)² = _^ πr²

x_pm =



  

 

  



  

π π

π π

−

−

=

  



  



π π

π π

−

−

=

 



 



π π

= ^_r² = 1,05 r

Jadi, letak titik berat sejauh 1,05 r.

II

I

A B

6 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

7. Jawaban: c V_kubus= s³

V_limas = ^_L_At = (^_)(s)²(^_)s = ^_s³ (x_pm, y_pm)_kubus = (^

s, ^

s) (x_pm, y_pm)_limas = (_^s, ^_s) x_pm= ^{   }

 

 

 

+

+ =

    

  

  



     

 

+ +

=

   

 

 



 

 +

=

  

 





 = ^_s y_pm= ^{   }

 

   

 

+

+ =

    

  

  



     

 

+ +

=

   

 

 



 

 +

=

  

 





 = ^_s (x_pm, y_pm) = (^

s, ^

s) 8. Jawaban: a

Keseimbangan stabil adalah keseimbangan benda yang mantap, artinya jika gangguan dihilangkan benda akan kembali ke posisi semula. Pada kasus tersebut titik berat benda berada pada (s, ^_s) dan kembali ke (s, _^s) sehingga benda memiliki keseimbangan stabil.

9. Jawaban: b

Keseimbangan labil adalah keseimbangan benda jika gangguan yang diberikan pada benda tersebut dihilangkan, titik beratnya tidak kembali ke posisi semula. Saat koin diputar titik keseimbangan terletak di jari-jari koin, saat berhenti dan jatuh titik keseimbangan turun di ^

 ketebalannya.

10. Jawaban: e (x_pm, y_pm)_A = (1, 2) (x_pm, y_pm)_B = (1,5; 2) L_A = p

= (4)(2) = 8 L_B = p

= (1)(2) = 2 x_pm = ^{  }

 

 

 

−

−

=


−

− =
^



− = ^



y_pm = ^{  }

 

   

 

−

−

=
⁻_−

= ^ 



−

= ^_ = 2 (x_pm, y_pm) = (^_, 2) B. Uraian

1. ΣF_y= 0 T_y – w₂= 0 T_y= w₂ T sin 37° = w₂ T^_ = m₂g

3T = 5m₂g T = ^_m₂g

Σ

F_x= 0 T_x= f_ges T cos 37°= µN₁

T_ = µN₁ 4T = 5µN₁ 4(^

m₂g) = 5µN₁ 20 m₂g = 15µ(m₁g)

µ = ^







 

 

µ = ^











Jadi, besar koefisien gesekan antara m, dengan meja sebesar ^









 . 2.

Σ

F_x= 0 T_x + T – T_x – T = 0

Σ

^F_y^{= 0}

2T_y= 2w T_y= w

A 4 B

2

T T

T T_x T_x

2w Y

X 2y

30° 30°

7

Fisika XI

T cos 30° = mg T^

  = (5 kg)(10 m/s²)



 T = 50 N T = _



 

 = ^

 N Jadi, besar tegangan tali adalah ^

 N.

3. (x_pm, y_pm)_A = (2, 4) (x_pm, y_pm)_B = (1, ^

) L_A = (4)(2)

= 8 L_B = (2)(3)

= 6

x_pm = ^{  }

 

 

 

+

+ =
₊⁺_

= ^_^+

= ^_

= 1_

= 1_

Y

X 5

4 3 2 1 0

1 2 3 4 5

y_pm = ^{  }

 

   

 

+

+ =





 + +

= ^_^+

= _^ = 2^_

Jadi, koordinat titik berat bangun adalah (1_, 2^_).

4. Jawaban:

Sebuah benda dikatakan memiliki keseimbangan indiferen jika titik berat atau titik pusat massa benda ketika sebelum, saat, dan setelah diberi gangguan tidak berubah kedudukannya dalam hal ini ketinggiannya. Contohnya adalah kelereng yang menggelinding pada bidang datar.

5.

Ketika koin masih di atas meja, koin memiliki kese- imbangan indiferen. Saat koin mencapai titik meja, koin memiliki keseimbangan labil akibatnya koin meluncur melewati bidang miring. Setelah koin men- capai dasar bidang miring, koin kembali memiliki keseimbangan indiferen/netral. Namun, ketika energi kinetik habis dan koin ambruk, keseimbangan yang dimilikinya adalah keseimbangan stabil.

A. Pilihlan Ganda 1. Jawaban: a

Diketahui: F₁ = 8 N F₂ = 5 N

R₁= ^_ = ^_(1,2 m) = 0,6 m R₂= = 1,2 m

Ditanyakan: arah dan besar τ Jawab:

Putaran pintu keluar atau berlawanan arah putaran jarum jam.

τ₁ = –F₁R₁

= –(8 N)(0,6 m)

= –4,8 Nm

Putaran pintu masuk atau searah putaran jarum jam.

τ₂ = F₂R₂

= (5 N)(1,2 m)

= 6 Nm

τ = τ₁ + τ₂

= –4,8 Nm + 6 Nm

= 1,2 Nm

Jadi, pintu terdorong masuk dengan momen gaya sebesar 1,2 Nm.

2. Jawaban: a

Diketahui: m = 400 g = 0,4 kg

R = ^_ = ^{ }_ = 35 cm = 0,35 m Ditanyakan: I

Jawab:

I = ^_mR²

= (^_)(0,4 kg)(0,35 m)²

= (^_)(0,4 kg)(0,1225 m)²

= 0,033 kg m²

Jadi, momen inersia bola sebesar 0,033 kg m².

8 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

3. Jawaban: b

Diketahui: m = 50 gram = 0,05 kg h = 0,4 m

r = 2 cm = 0,02 m Ditanyakan: v₂

Jawab:

E_m

1= E_m

2

mgh₁ +

mv₁² +

Iω₁²= mgh₂ +

mv₂² +

Iω₂²

Ketika di puncak energi kinetik nol dan ketika di dasar bidang miring energi potensial mol. Oleh karena itu, persamaan hukum Kekekalan Energi Mekanik menjadi:

mgh₁=
_mv₂² + _
Iω₂²

(0,05 kg)(10 m/s²)(0,4 m) = (_
)(0,05 kg)v₂² + (_
)mR²











0,2 kg m²/s²= 0,025 kg v₂² + (
_)(0,05 kg)v₂² 0,2 kg m²/s²= 0,025 kg v₂² + 0,025 kgv₂² 0,2 kg m²/s²= 0,05 kg v₂²

v₂²=     ^{ }

 

v₂²= 4 m²/s²

v₂=    ^{ } = 2 m/s

Jadi, kecepatan bola bekel saat menyentuh tanah sebesar 2 m/s.

4. Jawaban: c

Diketahui: m₁= m₂ = m R₁= R R₂= 3R Ditanyakan: I Jawab:

I = m₁R₁² + m₂R₂²

= mR² + m(3R)²

= mR² + 9mR² = 10mR²

Jadi, momen kelembaman sistem sebesar 10mR². 5. Jawaban: b

Diketahui: w₁= 200 N w₂= 240 N R₁= 2 m Ditanyakan: R₂ Jawab:

τ₁= τ₂ w₁R₂= w₂R₂ (200 N)(2 m)= (240 N)(R₂)

R₂= ^{ }_  R₂= 1,67 m

Jadi, gaya 240 N harus diberikan pada jarak 1,67 dari titik tumpu.

6. Jawaban: e

Diketahui: m_A= 1 kg m_B= 2 kg g = 10 m/s² θ = 90°

Ditanyakan: a Jawab:

w_A= m_Ag = (1 kg)(10 m/s²) = 10 N w_B= m_Bg = (2 kg)(10 m/s²) = 20 N

Σ

^{F= ma}

w_B cos θ – T + T – w_A cos θ = (m_A + m_B)a (20 N)(cos 45°) – (10 N)(cos 45°) = (1 kg + 2 kg)a (20 N)(_
 ) – (10 N)(_
 )= (3 kg)a

 N = 3 kg a a =

   



a =

 m/s² Jadi, percepatan yang dialami beban B sebesar

 m/s². 7. Jawaban: e

Diketahui: m = 4 kg A₁ = 1,2 m T = 0,628 s l₂ = 1,5 m A₂ = 0,9 m Ditanyakan: ω₂

Jawab:

I₁=
_
m₁A₁² = (
_
)(4 kg)(1,2 m)² = 0,8 kg m²

I₂=
_
m₂A₂² = (
_
)(4 kg)(0,9 m)² = 0,27 kg m² ω₁ = ^



π = ^{ 
}_ = 10 rad/s I₁ω₁ = I₂ω₂

(0,48 kg m²)(10 rad/s) = (0,27 kg m²)(ω₂) ω₂=     ^ _

  

ω₂= 17,8 rad/s

Jadi, kecepatan sudutnya menjadi 17,8 rad/s.

A B

T T

w_A cos θ

w_B cos θ w_B cos θ

w_A w_B

9

Fisika XI

8. Jawaban: a

Gaya yang menyebabkan benda berputar adalah gaya pada arah vertikal.

F_1y= F₁ sin 30° F_4y= F₄ sin 30°

= (30 N)(

) = (40 N)(

)

= 15 N = 20 N

Benda berputar Benda berputar berlawanan arah berlawanan arah

jarum jam jarum jam

τ₁ = F_1y R₁ τ₂ = F₂ R₂

= (15 N)(1 m) = (10 N)(0 m)

= 15 Nm = 0 Nm

Benda berputar Benda berputar berlawanan arah berlawanan arah

jarum jam jarum jam

τ₃ = F₃ R₃ τ₄ = F_4y R₄

= (5 N)(1 m) = (20 N)(2 m)

= 5 Nm = 40 Nm

Semua komponen momen gaya menyebabkan benda berputar berlawanan arah jarum jam.

τ = τ₁ + τ₂ + τ₃ + τ₄

= 15 Nm + 0 Nm + 5 Nm + 40 Nm

= 60 Nm

Jadi, momen gaya total pada benda sebesar 60 Nm.

9. Jawaban: a

Diketahui: I₁ = 18 kg m² I₂ =

I₁ = (

) (18 kg m²) = 6 kg m² ω₂= 6 rad/s

Ditanyakan: ω₁ Jawab:

I₁ω₁= I₂ω₂

(18 kg m²)(ω₁) = (6 kg m²)(6 rad/s) ω₁=





     

  

ω₁= 2 rad/s

Jadi, pada atraksi pertama pemain sirkus dapat berputar 2 putaran per detik.

10. Jawaban: a

Ketika diberi gangguan bola akan bergerak, tetapi setelah energi habis bola kembali pada posisi semula. Keadaan semacam ini disebut kese- imbangan stabil.

11. Jawaban: c L_ABCD = (AB)(AE)

= (10 cm)(12 cm)

= 120 cm² (x_pm, y_pm)_ABCD = (5,6) cm

L_ABE = (
_)(AB)(EF)

= (
_)(10 cm)(6 cm) = 30 cm² (x_pm, y_pm)_ABE = (5,4) cm

x_pm= ^{   }

 

   

 

−

−

=

 

 

 
       

   

−

−

=

 
 

 

− = 5 cm

y_pm= ^{   }

 

   

 

−

−

=

 

 

 
       

   

−

−

=

 
 

 

− = 6,67 cm

Jadi, letak titik berat bangun (5; 6,67) cm.

12. Jawaban: b

Diketahui: m = 2 kg

R = 10 cm = 0,1 m F = 4 N

Ditanyakan: α Jawab:

Roda dianggap silinder pejal tipis τ = Iα

FR = Iα FR =

mR²α

(4 N)(0,1 m)= _
(2 kg)(0,1 m)²α 4 N =

 (0,2 kg m²) α α = ^ ^

   


 = 40 rad/s²

Jadi, percepatan sudut yang dialami roda sebesar 40 rad/s².

13. Jawaban: c w_A= m_A g

= (3 kg)(10 m/s²)

= 30 N w_B= m_B g

= (4 kg)(10 m/s²)

= 40 N f_ges= µN_A

= (0,2)(30 N)

= 6 N

Σ

^{F = 0}

w_B – T + T – T_x – f_ges= 0 40 N – T_x – 6 N = 0 34 N – T_x= 0

T_x= 34 N

T

T_x 60°

A T

W_A

T

W_B f_ges

10 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

T_x = T cos 60°

T = _^ _°

=



  = 68 N

Jadi, tegangan tali sebesar = 68 N.

14. Jawaban: e

Diketahui: m = 3 kg v₁ = 2 m/s θ = 37°

Ditanyakan: h Jawab:

E_m

1= E_m

2

mgh₁ +

mv₁² +

(^

mR²





 ) = mgh₂ +

mv₂² +

(^

mR²







 ) mv₁²= mgh₂

v₁²=
^

 gh₂ (2 m/s)²= (
^

 )(10 m/s²) h₂ 4 m²/s²= 7 m/s² h₂

h₂=

 



   

 

h₂= 0,57 m

Jadi, ketinggian yang mampu dicapai bola 0,57 m.

15. Jawaban: a

Diketahui: m_A= 2 kg m_B= 1 kg M = 4 kg Ditanyakan: a

Jawab:

a = ^{ }

  

 

  

 − 

 

 − + 

 

g

=





 

 


  

 − 

 

+ +

 

 

10 m/s²

=
^



 

 

 (10 m/s²) = 2 m/s²

Jadi, sistem mendapat percepatan sebesar 2 m/s². 16. Jawaban: a

1) τ_a= F_aR_a

= (40 N)(0,3 m)

= 12 Nm 2) τ_b= F_bR_b

= (50 N)(0,2 m)

= 10 Nm 3) τ_c= F_cR_c

= (30 N)(0,25 m)

= 7,5 Nm

Momen gaya semakin besar, mur semakin cepat kencang sehingga urutannya adalah a), b), dan c).

17. Jawaban: d

Diketahui: (x_pm, y_pm)_T= (7, 5) cm (x_pm, y_pm)_B= (7; 13,5) cm Ditanyakan: y_pm

Jawab:

V_T = πR²T

= (^_ )(7 cm)²(10 cm) = 1.540 cm³ V_B=
_( πR³)

=
_( )(^_ )(7 cm³)

= (^ ) (^_ )(7 cm)³ = 718,67 cm³ y_pm = ^{  }

! 


_ 


+ +

=


 
  


"   
   +

+

=

 

"  " 

" 

+

= 7,70 cm

Jadi, jarak titik berat dari alat tabung 7,70 cm.

18. Jawaban: d

A₁ = 4, (x₁, y₁) = (2, 2) A₂ = 4, (x₂, y₂) = (1, 4) A₃ = 4, (x₃, y₃) = (3, 4) x =

^{ }



 + +

+ +

A A A

A A A

= ^{+
}_{+ +}^{+ }

= ^{+ +
}
_

= ^

 = 2 y =

^{ }



 + +

+ +

A A A

A A A

= ^{+}_{+ +}^+

= ^

+
_⁺

= ^

 = 3

Jadi, koordinat titik berat sistsem (2, 3
).

19. Jawaban: a

Diketahui: m₁= 2 kg m₂= 4 kg

R₁= R₂ = 20 cm = 0,2 m Ditanyakan: I

11

Fisika XI

Jawab:

I = m₁R₁² + m₂R₂²

= (2 kg)(0,2 m)² + (4 kg)(0,2 m)²

= 0,08 kg m² + 0,16 kg m² = 0,24 kg m² Jadi, momen inersia sistem 0,24 kg m². 20. Jawaban: d

Diketahui: F₁ = 30 N F₂ = 10 N F₃ = 25 N θ₃ = 53°

R₁= 0 m R₂= 1 m R₃= 2 m Ditanyakan: τ terhadap P Jawab:

τ searah putaran jarum jam τ₁ = F₁R₁

= (30 N)(0 m)

= 0 Nm

τ berlawanan arah putaran jarum jam τ₂ = –F₂R₂

= –(10 N)(1 m)

= –10 Nm

τ berlawanan arah putaran jarum jam τ₃ = –F₃ sin θ₃ R₃

= –(25 N)(

)(2 m)

= –40 Nm τ = τ₁ + τ₂ + τ₃

= 0 Nm + (–10 Nm) + (–40 Nm)

= –50 Nm

Jadi, resultan momen gaya yang bekerja 50 N berlawanan arah putaran jarum jam.

21. Jawaban: a

Diketahui: F₁ = 2 N F₂ = 5 N F₃ = 2 N R₁= 3 m R₂= 2 m R₃= 2 m Ditanyakan: τ terhadap D Jawab:

Berlawanan putaran jarum jam τ₁ = –F₁R₁

= –(2 N)(3 m)

= –6 Nm

Searah putaran jarum jam τ₂ = F₂R₂

= (5 N)(2 m)

= 10 Nm

Berlawanan putaran jarum jam τ₃ = –F₃ sin θ₃ R₃

= –(2 N)(sin 30°)(2 m)

= –(2 N)(_
)(2 m)

= –2 Nm τ = τ₁ + τ₂ + τ₃

= –6 Nm + 10 Nm – 2 Nm

= 2 Nm

Jadi, momen inersia batang terhadap titik D sebesar 2 Nm searah putaran jarum jam.

22. Jawaban: e 1) τ = FR

= (F cos 60°)(

A)

= (

F)(

A)

=

FA 2) τ = FR

= (F)(
_A)

=
_FA 3) τ = FR

= (F)(A) τ_c = FA> τ_b > τ_a 23. Jawaban: c

Diketahui: m = 3 kg A = 1,5 m Ditanyakan: I

Jawab:

I =

mA²

= (

)(3 kg)(1,5 m)²

= (

)(3 kg)(2,25 m²)

= 0,56 kg m²

Jadi, momen inersia tersebut 0,56 kg m². 24. Jawaban: d

Diketahui: I₁ = I I₂ =
_I₁ ω₁= 10 rad/s Ditanyakan: ω₂

Jawab:

I₁ω₁= I₂ω₂ (I)(10 rad/s) = (
_I)(ω₂)

ω₂= 20 rad/s

Jadi, kecepatan sudut bandul menjadi 20 rad/s.

12 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

25. Jawaban: a

Diketahui: m = 12 kg

R = 50 cm = 0,5 m θ = 37

A = 1 m Ditanyakan: T

Jawab:

Σ

T = 0 A T sin 37° = wR

A T (0,6) = m g R

(1 m)(T)(0,6)= (12 kg)(10 m/s²)(0,5 m) 0,6 m T = 60 kg m²/s²

T =

 

   

 

T = 10 kg m/s² = 10 N Jadi, besar tegangan tali T adalah 10 N.

B. Uraian

1. Diketahui: M = 3 kg m = 6 kg g = 10 m/s²

R = 15 cm = 0,15 m Ditanyakan: a. I

b. a Jawab:

a. I =

MR²

= _
(3 kg)(0,15 m)²

=

(3 kg)(0,0225 m²)

= 0,03375 kg m² b. α =

 



− 

=





 
  

  −  


=

   

−

=

   

  

− = –266,67 rad/s² a = Rα

= (0,15 m)(–266,67 rad/s²) = –40 m/s² Jadi, momen inersia katrol sebesar –266,67 rad/s dan ember mengalami perlambatan sebesar –40 m/s².

2. Diketahui: F = 20 N

R = 20 cm = 0,2 m Ditanyakan: τ

Jawab:

τ = FR

= (20 N)(0, 2 m) = 4 Nm

Jadi, besar momen gaya yang dikerjakan montir sebesar 4 Nm.

3. Diketahui: x_A = 7 cm x_B = 24,5 cm x_C= 21 cm Ditanyakan: (x, y) Jawab:

L_A = πr² = (^

 )(7 cm)(7 cm) = 154 cm² L_B = πr² = (^

 )(3,5 cm)(3,5 cm) = 38,5 cm² L_C = pA = (14 cm)(7 cm) = 98 cm²

x = ^{     }

  

     

  

+ +

+ +

=  
  ^ _{ } ^ 
  _ ^

     

+ +

+ +

=



"     " 

 

+ +

=



" 

  = 14,04 cm

Letak titik berat bangun dari pusat A adalah 14,04 cm – 7 cm = 7,04 cm.

4. Diketahui: m = 11,5 g = 1,15 × 10^–2 kg R = 5,25 mm = 5,25 × 10^–3 m h = 20 cm = 0,2 m

Ditanyakan: I dan v Jawab:

I =

mR²

= (_
)(1,15 × 10^–2 kg)(5,25 × 10^–3 m)²

= (_
)(1,15 × 10^–2 kg)(2,75 × 10^–5 m²)

= 1,58 × 10^–7 kg m² E_m

1= E_m

2

mgh₁ + _
mv₁² +
_Iω₁²= mgh₂ + _
mv₂² +
_Iω₂² mgh₁ + 0 + 0 = 0 + _
mv₂² + _{ }

mR²









mgh₁= _
mv₂² +
mv₂² mgh₁= mv₂²

v₂= 



v₂= 



=


   

v₂= ^{   }

= ^

 m/s Jadi, momen inersia baterai 1,58 × 10^–7 kg m² dan kecepatan baterai saat mencapai dasar bidang miring sebesar ^

 m/s.