Bab 6 Rotasi Benda Tegar

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 1

Perhatikan gerak CD, daun kipas angin, baling-baling, atau jarum alat-alat ukur? Masing-masingnya melibatkan benda yang berputar disekitar suatu titik yang diam. Gerak berputar pada suatu sumbu tetap ini disebut Gerak Rotasi.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 3

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 5

Gerak rotasi = gerak dalam lintasan lingkaran.

Apakah arti begerak dalam sebuah lingkaran? Jari-jari (radius) harus tetap!

Dalam gerak melingkar radius tetap, tetapi sudut (arah) selalu berubah. Jadi gerak melingkar adalah gerak

dipercepat.

Di sini dianggap sudut berubah dengan laju tetap. Tipe gerak ini disebut gerak melingkar seragam ---> Gerak dengan percepatan tetap.

A _B

Perhatikan dua buah titik A dan B pada sebuah piringan yang berputar. Kedua titik menempuh sudut atau putaran yang sama dalam waktu yang sama. Tetapi kelajuna linier Huruf mana yang bergerak

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 7

Besaran-Besaran Angular

Salah satu cara mendeskripsikan gerak rotasi benda ini adalah

dengan menentukan koordinat (x, y) dari titik terntu pada

benda, misalnya titik P. Tetapi cara ini kurang menguntungkan karena setiap saat harus

ditentukan dua buah nilai, yaitu

x dan y. Sebagai gantinya

perhatikan garis OP. Garis OP ini posisinya tetap pada jarum.

Sudut (θ) yang dibentuk garis OP dengan sumbu-x dapat

digunakan untuk

mendeskripsikan posisi rotasi benda. Besaran tunggal θ dapat digunakan sebagai koordinat rotasi.

Posisi Sudut (θ) Angular Position

O

1 rad

r

s = r

Satu Radian = besar sudut yang dibentuk di pusat lingkaran saat panjang busur yang dibentuk sama panjang dengan jari-jari lingkaran (r).

Satuan yang umum dipakai untuk

menyatakan besar suatu sudut adalah radian.

Panjang satu keliling lingkaran adalah 2πr. Sedangkan besar sudut untuk satu putaran penuh adalah 360o.

Sehingga,

0

360

2





Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 9

Perhatikan sebuah titik pada

sebuah roda yang berotasi pada sumbu tetap O.

Kecepatan Sudut (ω) Angular Velocity

Gerak melingkar dapat dideskripsikan dalam laju perubahan sudut θ. Misalnya pada waktu t₁ garis OP membentuk sudut

θ₁ terhadap sumbu-x. Pada waktu

berikutnya (t₂) sudut berubah menjadi θ₂. Maka dapat didefenisikan kecepatan sudut rata-rata (ω_av)

t t t av          1 2 1 2 Kecepatan sudut sesaat, ω

Percepatan Sudut (α)

Angular Acceleration

Saat mengayuh pedal sepeda lebih kuat atau mengerem, maka roda sepeda sedang mendapat percepatan sudut.

Percepatan sudut sesaat, α

t t

t_{f i} i f

av

   



   



Misalnya pada waktu t₁, keceptan sudut adalah ω₁ . Pada waktu berikutnya (t₂) kecepatan sudut berubah menjadi ω₂. Maka dapat didefenisikan percepatan sudut rata-rata (α_av):

Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas

11

Jarak dari sumbu putar (R)

Jarak (R) dari suatu titik (misalnya P) ke sumbu putar (O) adalah jarak tegak lurus dari titik tersebut ke sumbu

Arah Kecepatan Sudut





v



r



r

v

















r

sin

v









x

y z

Aturan tangan kanan

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 13

R





( / 2)

sin / 2 AB

R 

 

sin_{ }

Untuk θ kecil berlaku

AB  s





sin _ / 2 _{ } / 2

/ 2 / 2

AB  s

( / 2) / 2 s

R    

s R

  

av s R v R

t t t

  

  

  

v R





0 0 0

lim _av lim lim

t t t

v v R R R

t t                 

Hubungan Kinematika Linier dan Angular

Percepatan Tangensial (a_tan)

tan

dv

a

dt







tan d d

a R R

dt dt





 

tan

a



R



R

Percepatan rata-rata dalam selang waktu

Δt :

t v a

  



Percepatan sesaat:

0

lim

t

v

a

t

 









Dengan arah menuju Percepatan Radial (a_rad)

Disebut Percepatan centripetal (a_c)

Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas 15 B A 2 sin 2

v v  

  _{ }

 

Untuk θ kecil berlaku

v v _   

s AB _{ }

sin

2 2

 

 



s R



  

s R

 

 

s v t

  

v t R

 

 

Untuk θ kecil berlaku 0 lim t v a t      

v v 

   2

v

a

R





Dengan arah menuju pusat putaran 2 ˆ c v a r R    R s /2 2

sin _ 

        sin 2 2

sin  _ 

             2 sin

2R 

Percepatan gerak melingkar

2

ˆ

c

v

a

r

R

 



dengan arah menuju pusat

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 17

2 2

dt d dt

d_{ }

  

Pada kasus α konstan maka α dapat diintegralkan untuk memperoleh ω dan θ sebagai fungsi waktu

konstan

 

2 0

0

2

1

t

t















0

t

Perbandingan kinematika rotasi dan translasi

Angular Linear

konstan





t

0











2 0 0 2 1 t t _      

konstan

a



at

v

v



₀



2 0 0 2 1 at t v x

x   

Untuk sebuah titik pada jarak R dari sumbu rotasi:

2 2 c v a R R   



R

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 19

CD berputar dengan kelajuan sudut

w

=

33,33 putaran/menit. Berapa sudut yang

ditempuh per detik?

sec

60

/

rot

33

,

33

min

rot/

33

,

33







sec

/

rot

5555

,

0





sec / 98 , 199 sec / 360 5555 ,

0 o o

 

Sebuah grindstone berputar dengan percepatan sudut tetap a = 0,35 rad/s2_{. Pada t = 0, kecepatan angularnya}

w_o= - 4.6 rad/s2 _{dan garis referensi berada pada posisi}

horizontal q_o=0.

(a) Berapa waktu untuk garis referensi untuk mencapai posisi q = 5,0 putaran?

(b) Gambarkan rotasinya antara t = 0 dand t = 32 s. (c) Kapan grindstone berhenti?

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 21

***Rotational intro: The blades of an electric blender are whirling with an angular velocity of +375 rad/s while the

“puree” button is pushed in, as Figure 8.11 shows. When the “blend” button is pressed, the blades accelerate and reach a greater angular velocity after the blades have rotated through an angular displacement of +44.0 rad (seven revolutions). The

angular acceleration has a constant value of +1740 rad/s2. Find

the fnal angular velocity of the blades.

Gambar menunjukkan suatu peralatan yang dapat digunakan untuk mengukur kelajuan peluru. Alat mempunyai dua

peringan berputar, yang terpisah pada jarak d = 0,850 m dan berotasi dengan kelajuan sudut 95,0 rad/s. Peluru awalnya

menembus piringan kiri kemudian piringan kanan. Jika

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 23

Seseorang menurunkan ember ke dalam sumur dengan pemutar yang berdiameter 0,4 m. Pemuatar bergerak dengan kelajuan tangesial konstan 1,20 m/s dalam lintasan lingkaran. Pemutar terhubung dengan sebuah kumparan dimana tali ember

dililitkan. Bila diameter kumparan adalah 0,1 m, berapa kelajuan ember turun?

Seseorang menurunkan ember ke dalam sumur dengan pemutar yang berdiameter 0,4 m. Pemuatar bergerak dengan kelajuan tangesial konstan 1,20 m/s dalam lintasan lingkaran. Pemutar terhubung dengan sebuah kumparan dimana tali ember

dililitkan. Bila diameter kumparan adalah 0,1 m, berapa kelajuan ember turun?

k p







p k

k p

v

v

r



r

0,05m

1,2m/s=0,3m/s

k

r

v



v





Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas

25

Kombinasi dua-rodagigi digunakan untuk mengangkat

beban L dengan kelajuan konstan arah ke atas 2,50 m/s. Tali penggantung beban dililitkan pada silinder dibelakang

Suatu roda dengan jari-jari R = 0,4 m berotasi pada sumbu tetap. Sebuah tali dililitkan pada roda. Dimulai pada t = 0, tali ditarik sehingga roda bergerak dengan percepatan

konstan a = 4 m/s2. Berapa putaran yang dibuat roda

dalam 10 sekond? (Satu putaran = 2 radians)

a

R

α

= a / R = 4 / 0,4 = 10

rad/s

2

2 0 0

1 2

t t

      

= 0 + 0(10) + ½ (10)(10)2 =

500 rad

1 500 rad x

2

rot rad



Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 27

Energi dalam Gerak Rotasi

Suatu benda tegar terdiri atas sejumlah partikel dengan massa m₁, m₂, ….

Masing-masing pada jarak r₁, r₂, … dari sumbu rotasi. Benda tegar berotasi

dengan kecepatan sudut ω. Saat benda tegar berotasi, kecepatan partikel ke v_i

dinyatakan oleh  i i r v  EK rotasi 2 2 2 2 1 2 1



i i i

iv m r

m _

Besaran dalam tanda kurung disebut momen inersia (I) benda.

2 2 2 2

1 1 2 2

1 1

...

2 2

K _ m r _{ } m r _{ }

Apa arti I secara fsis? r₁ r₂ r₃ r₄ m₄ m₁ m₂ m₃  2 2 1  I K _

Energi kinetik partikel ke-i:

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1   _       





i i i

i i i

r m r m K 2 2 1 mv K _ EK translasi

Jadi, momen inersia (I) dalam gerak rotasi analogi dengan massa dalam gerak tranlasi





i i i

r

m

I

2

Perhatikan sistem N

partikel diskrit yang

diputar terhadap

suatu titik tetap O.

Momen inersianya

adalah

I

:







N

i i i

r

m

1

2

I

dimana

Menghitung Momen Inersia

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 29

Contoh: moment inersia sisitem partikel

Empat buah titik massa dengan massa yang sama yaitu m berada pada sudut-sudut bujursangkar dengan jari-jari L. Tentukan

momen inersianya bila diputar dengan sumbu putar tegak lurus pusat bujursangkar. m m m m L r L/2 2 L 2 L 2 r 2 2 2        

Keempat partikel mempunyai jarak yang sama ke sumbu putar yaitu r.

2

1

2

I



mL

2

2

2

2

2 2 2 1 2 2

L

m

L

m

L

m

L

m

r

m

I

i i i

Hitung I untuk benda yang sama dengan contoh yang sama, tetapi dengan sumbu putar melewati titik pusat, sejajar dengan bidang (lihat gambar):

2 1

N

i i i

I m r 





Contoh: moment inersia sisitem partikel

2

1

N

i i i

I

mr







2

2

I



mL

Untuk suatu objek tertentu, I dapat

2 2 2 2

L

L

L

L

I m





m



m



m

2 2 2 2

0

0

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 31

Suatu bentuk segitiga dibuat dari bola-bola identik dan batang kaku tak-bermassa. Tentukan momen inersia, bila sumbu putar masing-masing adalah I_a, I_b, dand I_c.

B. Momen Inersia Benda kontinu

2 2 2

0

lim

i

i i m i

I

r

m

r dm

r

dV























dm

2

I







r dV

2

I







x dx

Benda 1 dimensi:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 33

dx

dm













x

dm

x

dx

I

2 2



                              



3 3 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2 2 2 3 1 3

1 L L

x dx x I L L L L







 

2 2

3 12 1 12 1 12 1 ML L L L

I     

L

M





Batang 1 Dimensi

Suatu batang 1 dimensi dengan panjang L dan massa M diputar ditengah-tengah batang tegak lurus bidang xy. Benda

2

MR

I



2

2

1

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 35

2

MR

I



2

2

1

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 37

Jadi jika I_CM, akan mudah

menghitung momen inersia terhadap sumbu lain yang sejajar.

Teorema Sumbu Sejajar

Bila momen inersia benda padat dengan massa M yang

diputar terhadap sumbu yang melewati pusat massa (I_CM) diketahui. Maka momen inersia terhadap sumbu yang

sejajar dengan sumbu yang melewati pusat massa dan berada pada jarak h diberikan oleh:

2

CM

I



I



Md

CM d

2

1 2

CM o I  MR

?



2

1 12

CM

I  ML

Suatu batang 1 dimensi: panjang L, massa M, rapat massa homogen. Berapa momen inersia bila sumbu putar pada salah satu ujung batang.

2 2

U

I _



x dm _



_x dx

2

0

L U

I _





x dx





3 2

1 1

3 3

U

I _{ }L _{ }L L

   

3 3

3 0 1 1 0 3 3 L U

I _{ } x  _{ } L _ 

   

 

Hitung langsung

Dengan Teorema Sumbu Sejajar

2 / L D _ 2 CM

I _ I _MD





2

2

1

/ 2 12

U

I _ ML _ M L

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 39

d

2 0

2 0 2

0

2 cm

MR

2

3

MR

MR

2

1

Md

I

I







Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 41

Torsi (Torque,

τ

)

F

Benda yang awalnya diam akan mengalami gerak translasi bila ada gaya total yang bekerja.

Apa yang menyebabkan suatu benda berputar (berotasi) dan apa yang menentukan besar

percepatan sudut benda? Bagaimana cara membuat mainan ini berputar?

Faktor yang menentukan percepatan benda:

Diberi gaya! Didorong atau ditarik.

Massa  Makin besar

massa makin kecil percepatan

Gaya  makin besar gaya

(makin cepat kelajuannya bertambah).

Bagaimana sifat gaya yang menentukan seberapa efektif gaya tersebut menyebabkan atau mengubah gerak rotasi? Bayangkan anda akan membuka pintu yang berputar pada engsel atau akan membuka baut dengan sebuah kunci. Faktor apa saja yang

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 43

Gaya F₁, F₂ dan F₃ bekerja di titik yang sama dan arah yang sama terhadap sumbu putar (engsel pintu). Tetapi gaya F₃

yang terbesar akan memberikan perubahan kecepatan sudut yang paling besar terhadap pintu.

F₁

F





F₂

Gaya F₁, F₂ dan F₃ sama besar, tetapi gaya F₃ menghasilkan torsi (τ) yang lebih besar dalam memutar pintu daripada gaya F₂ dab F₃ karena jaraknya (r) ke sumbu putar lebih jauh.

F₁

F₂

F₂

r



Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 45

Suatu gaya F bekerja pada suatu sudut f terhadap lengan yang sedang berputar terhadap suatu titik pivot. R adalah jarak antara titik pivot dan F. Maka bagian gaya yang

efektif dalam memutar pintu adalah sebesar F sinf_.

r F





 





Jadi, torsi dapat ditulis sebagai perkalian silang antara vektor perpindahan dengan vektor gaya:







rF

sin

Besar torsi adalah putar sumbu ke gaya jarak   r r  gaya Besar F

Torsi adalah sebuah vektor, dimana

F

r























rF

sin

r



F







r



F







Arah torsi sesuai arah gerak

sekrup putar kanan bila diputar dari menuju

r



F

F



Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 47

Bila terdapat beberapa torsi bekerja pada sebuah

benda, maka torsi total adalah jumlah vektor dari

masing-masing torsi. {Hati-hati dengan

penjumlahan vektor}

1. Torsi positif bila arah rotasi berlawanan dengan arah putaran jam dan torsi negatif bila rotasi searah putaran jam.

2. Dapat juga digunakan aturan yang merupakan kebalikan dari aturan pertama.

3. Dapat juga ditetapkan, torsi yang menyebabkan putaran yang searah dengan arah gerak translasi sebagai torsi positif.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 49

Contoh: Tentukan torsi total pada roda

1 2

1 2

(c.c.w)

(c.w.)

( 1)

( 1)

(15,0 Nm)- (21,7 Nm)

-6,7 Nm

6,7 Nm (c.w.)

net

















 









2

(

60 )











F R sin

2 2

(50,0 N)(0,500 m)(0,866)

21,7 Nm

1

(

)











F R sin

1 1

90

(50,0 N)(0,300 m) 15,0 Nm

c.w: clock wise

Calculate the torque on the 2.00-m long beam due to a 50.0 N force (top) about (a) point C (= c.m.)

(b) point P

Calculate the torque on the 2.00-m long beam due to a 60.0 N force about

(a) point C (= c.m.) (b) point P

Calculate the torque on the 2.00-m long beam due to a 50.0 N force (bottom) about (a) point C (= c.m.)

(b) point P

Latihan:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 51

Momentum Sudut

Telah dilihat beberapa besaran fsis yang memiliki analogi dalam gerak rotasi. Analogi momentum dalam gerak rotasi disebut momentum sudut ( ).

L

Hubungan momentum linier dengan momentum sudut

mirip dengan hubungan antara gaya dengan torsi, di mana



_ r_F

Untuk partikel dengan massa m,

kecepatan

v



Momentum Linier:

v

m

p







Momentum sudut didefenisikan sebagai:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 53

L





r





p



dt

p

d

F







dt

p

d

r

F

r



















dt

p

d

r

p

dt

r

d

p

r

dt

d























 

d

L

v mv r F

dt

 

 



















dt

L

d

0

Perubahan momentum sudut sama dengan torsi.

Pada gerak translasi hubungan ini mirip dengan,





L





r





p





r





mv





r





m







r



r

v





















L





m









r r

 





r r

 













r r r

 

 

2

dan

r



 





0







₂

mr

L



Untuk banyak partikel





2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

...=

1 1 2 2 3 3

L m r











m r







m r







m r



m r



m r





2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

i

...= _{i i}

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 55

Jika torsi total yang bekerja pada suatu sistem adalah nol,

maka momentum sudut sistem tetap (kekal)  Hukum

kekekalan momentum sudut.

dL

dt 











0  0  L kekal

dt L

d 





f i

L





L



Kekekalan Momentum Sudut

f _i

f f i i f i

f i

v

v

I

I

I

I

r

r















Bila pemain ski yang berputar menarik

lengannya ke arah badan, maka kecepatan putarnya naik.

Momen inersia besar

Kecepatan rotasi

Momen inersia kecil

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 57

Suatu platform datar berbentuk piringan lingkaran berputar

dalam bidang datar pada sumbu tak-bergesekan. Platform

bermassa M = 100 kg dan jari-jari R = 2 m. Seorang siswa mempunyai massa m = 60 kg berjalan dengan lambat dari pinggir piringan menuju pusat. Jika kelajuan angular sistem adalah 2 rad/s saat siswa di

pinggir, berapa kelajuan angular sistem saat dia mencapai titik r

= 0,5 m dari pusat.

Momen inersia sistem setelah siswa berjalan menuju pusat (I_f): _{2 2}

2

1

MR

mr

I

I

I

f f S P

f









Pada sistem ini tidak ada torsi luar yang bekerja, sehingga berlaku hukum kekekalan momentum angular.

f f i i

I





I





MR mR





i



MR mr





f

2 2 2 1 2 2 2 1   









2 2 1 2 2 2 1 f i MR mR MR mr      2 2 2

1

MR

mR

I

I

I

_i



_Pi



_Si





Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 59

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 61

I













Hukum ke-2 Newton untuk Rotasi







I

L



dt

L

d

F

r



































I

dt

d

I

I

dt

d

dt

L

d









Gerak lurus dengan percepatan tetap, a.

t

a

v

v

_xf



_xi



_x

2

2

1

t

a

t

v

x

x

_f



_i



_xi



_x

t

v

v

x

x

_f



_i



₂1

(

_xi



_xf

)

Gerak rotasi dengan percepatan tetap, a.

t

i

f











2

2

1

t

t

i i

f















t

f i

i

f ₂

(

)

1















Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 63

2

1

2

R

K



I



I











Energi Kinetik:

Torsi:

2

1

2

K



mv

F





ma



Energi Kinetik:

Gaya:

Momentum

:

p



mv





L I









Momentum Sudut:

Kerja:

W



F





s



Kerja:

W









Gerak lurus dengan

percepatan tetap, a. Gerak rotasi dengan percepatan tetap, a.

Sebuah piringan homogen dengan massa M = 2,5 kg dan radius R = 20 cm, dipasang pada sumbu horizontal tetap. Sebuah balok dengan massa m = 1,2 kg digantung dengan kawat tak-bermassa

yang dililitkan pada piringan. Tentukan

percepatan balok jatuh, percepatan angular piringan, dan tegangan tali.

Contoh: Dinamika Gerak Rotasi



F





m

a



ma

T

mg





Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 65

Dinamika Rotasi

F

r













RT

RT





sin

90



I











2

2

1

MR

I





2

2

1

MR

RT



1 2

T



MR



1

2 ... (2)

T _ Ma

1

2

Ma mg ma





1 2

(

)

a m



M



g

Dua massa m₁ (5 kg) dan m₂ (10 kg) digantung pada katrol dengan massa M (3 kg) and radius R (0,1 m). Tidak ada slip antara tali dengan katrol.

(a) Apa yang akan terjadi bila massa dilepas? (b) Tentukan kecepatan massa setelah jatuh 0,5

m?

(c) Berapa percepatan angular katrol pada saat itu?

Contoh:

Dinamika Translasi

... (1)

F ma









1 1 1 1 1 1

T

m g m a

T

m a m g













m g T

m a

T

m g m a

a

Anggap balok1 yang akan naik dan balok2 yang akan turun. Tetapkan gaya yang searah a sebagai gaya

posistif, dan sebaliknya. _a

1 1

F



m a



Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas 67 r F



 







 

... (3)

I











1

RT

1



 

Dinamika Rotasi

Tetapkan torsi yang mengahasilkan putaran searah dengan percepatan sebagai torsi positif, dan sebaliknya.

T₁ menyebabkan putaran yang berlawanan dengan

percepatan yang ditetapkan 

τ₁ : negatif.

Sebaliknya untuk T₂.  τ₁ : positif. 2 2 1 MR I _

2

RT

2



 

2 1

(

)

R T

T











R a   2 2 1 12

( ) a

R T T MR

R   2 1

1

... (4)

2

T



T



Ma

(3)

2 2 1 1

1 2

m g m a m a m g_{   } Ma

)

4

(

)

2

(



Dalam bab dinamika partikel massa katrol diabaikan (M

= 0) atau rotasi katrol tidak diperhitungkan Sehingga percepatan adalah

2 1 1 2

... (percepatan bila massa dan rotasi katrol diabaikan)

m m

a g

m m

 



2 1 1 2 1₂

.... Percepatan bila massa katrol diperhitungkan

m m

a g

m m M

 _ 

 _ _

 

 

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 69

Tentukan kecepatan massa setelah jatuh 0,5 m?

2 3 30 rad/s 0,1 a R    

0 3(0,577) 1, 73 m/s

o

v v_{ } at _{  }

Berapa percepatan angular katrol pada saat itu?

2

2 1

1 2 1₂

10 5

10 3 m/s 10 5 1,5

m m

a g

m m M

     _{ }    _   _ 2 1 2

t o o

x



x



v t



at

2 1

2

0,5 0 0_{  } (3)t

577 ,

0



Contoh: Bola mengelinding menuruni bidang miring

Sebuah bola dengan massa m dan

radius R mulai dari keadaan diam pada ketinggian 2 m dan

menggelinding tanpa slip.

Tentukan percepatan linier bola turun.

mg



sin

mg

s

f

N



F  ma

0

cos _

mg 

N

sin _{s R}

mg _{ } f _ma





 I



2 2

5

R s

a f R mR

R



2 5

s R

f



ma

Dinamika Translasi

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 71

mg



sin

mg

N

s

F ma





sin

_s

mg





ma

Bola slip (Lantai Licin)

sin

s

a



g



Tiga buah benda (bola padat , silinder padat, dan

silinder tipis atau hoop) dilepas dari atas bidang

miring dari keadaan diam tanpa slip. Bagaiamana

urutan benda-benda sampai di bawah bidang

miring?

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Andalas 73