Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 1
Perhatikan gerak CD, daun kipas angin, baling-baling, atau jarum alat-alat ukur? Masing-masingnya melibatkan benda yang berputar disekitar suatu titik yang diam. Gerak berputar pada suatu sumbu tetap ini disebut Gerak Rotasi.
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 3
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 5
Gerak rotasi = gerak dalam lintasan lingkaran.
Apakah arti begerak dalam sebuah lingkaran? Jari-jari (radius) harus tetap!
Dalam gerak melingkar radius tetap, tetapi sudut (arah) selalu berubah. Jadi gerak melingkar adalah gerak
dipercepat.
Di sini dianggap sudut berubah dengan laju tetap. Tipe gerak ini disebut gerak melingkar seragam ---> Gerak dengan percepatan tetap.
A B
Perhatikan dua buah titik A dan B pada sebuah piringan yang berputar. Kedua titik menempuh sudut atau putaran yang sama dalam waktu yang sama. Tetapi kelajuna linier Huruf mana yang bergerak
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 7
Besaran-Besaran Angular
Salah satu cara mendeskripsikan gerak rotasi benda ini adalah
dengan menentukan koordinat (x, y) dari titik terntu pada
benda, misalnya titik P. Tetapi cara ini kurang menguntungkan karena setiap saat harus
ditentukan dua buah nilai, yaitu
x dan y. Sebagai gantinya
perhatikan garis OP. Garis OP ini posisinya tetap pada jarum.
Sudut (θ) yang dibentuk garis OP dengan sumbu-x dapat
digunakan untuk
mendeskripsikan posisi rotasi benda. Besaran tunggal θ dapat digunakan sebagai koordinat rotasi.
Posisi Sudut (θ) Angular Position
O
1 rad
r
s = r
Satu Radian = besar sudut yang dibentuk di pusat lingkaran saat panjang busur yang dibentuk sama panjang dengan jari-jari lingkaran (r).
Satuan yang umum dipakai untuk
menyatakan besar suatu sudut adalah radian.
Panjang satu keliling lingkaran adalah 2πr. Sedangkan besar sudut untuk satu putaran penuh adalah 360o.
Sehingga,
0
360
2
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 9
Perhatikan sebuah titik pada
sebuah roda yang berotasi pada sumbu tetap O.
Kecepatan Sudut (ω) Angular Velocity
Gerak melingkar dapat dideskripsikan dalam laju perubahan sudut θ. Misalnya pada waktu t1 garis OP membentuk sudut
θ1 terhadap sumbu-x. Pada waktu
berikutnya (t2) sudut berubah menjadi θ2. Maka dapat didefenisikan kecepatan sudut rata-rata (ωav)
t t t av 1 2 1 2 Kecepatan sudut sesaat, ω
Percepatan Sudut (α)
Angular Acceleration
Saat mengayuh pedal sepeda lebih kuat atau mengerem, maka roda sepeda sedang mendapat percepatan sudut.
Percepatan sudut sesaat, α
t t
tf i i f
av
Misalnya pada waktu t1, keceptan sudut adalah ω1 . Pada waktu berikutnya (t2) kecepatan sudut berubah menjadi ω2. Maka dapat didefenisikan percepatan sudut rata-rata (αav):
Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas
11
Jarak dari sumbu putar (R)
Jarak (R) dari suatu titik (misalnya P) ke sumbu putar (O) adalah jarak tegak lurus dari titik tersebut ke sumbu
Arah Kecepatan Sudut
v
r
r
v
r
sin
v
x
y z
Aturan tangan kanan
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 13
R
( / 2)sin / 2 AB
R
sin
Untuk θ kecil berlaku
AB s
sin / 2 / 2
/ 2 / 2
AB s
( / 2) / 2 s
R
s R
av s R v Rt t t
v R
0 0 0
lim av lim lim
t t t
v v R R R
t t
Hubungan Kinematika Linier dan Angular
Percepatan Tangensial (atan)
tan
dv
a
dt
tan d da R R
dt dt
tan
a
R
R
Percepatan rata-rata dalam selang waktu
Δt :
t v a
Percepatan sesaat:
0
lim
t
v
a
t
Dengan arah menuju Percepatan Radial (arad)
Disebut Percepatan centripetal (ac)
Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas 15 B A 2 sin 2
v v
Untuk θ kecil berlaku
v v
s AB
sin
2 2
s R
s R
s v t
v t R
Untuk θ kecil berlaku 0 lim t v a t
v v
2
v
a
R
Dengan arah menuju pusat putaran 2 ˆ c v a r R R s /2 2
sin
sin 2 2
sin
2 sin
2R
Percepatan gerak melingkar
2
ˆ
c
v
a
r
R
dengan arah menuju pusat
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 17
2 2
dt d dt
d
Pada kasus α konstan maka α dapat diintegralkan untuk memperoleh ω dan θ sebagai fungsi waktu
konstan
2 0
0
2
1
t
t
0
t
Perbandingan kinematika rotasi dan translasi
Angular Linearkonstan
t
0
2 0 0 2 1 t t konstan
a
at
v
v
0
2 0 0 2 1 at t v x
x
Untuk sebuah titik pada jarak R dari sumbu rotasi:
2 2 c v a R R
R
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 19
CD berputar dengan kelajuan sudut
w
=
33,33 putaran/menit. Berapa sudut yang
ditempuh per detik?
sec
60
/
rot
33
,
33
min
rot/
33
,
33
sec
/
rot
5555
,
0
sec / 98 , 199 sec / 360 5555 ,0 o o
Sebuah grindstone berputar dengan percepatan sudut tetap a = 0,35 rad/s2. Pada t = 0, kecepatan angularnya
wo= - 4.6 rad/s2 dan garis referensi berada pada posisi
horizontal qo=0.
(a) Berapa waktu untuk garis referensi untuk mencapai posisi q = 5,0 putaran?
(b) Gambarkan rotasinya antara t = 0 dand t = 32 s. (c) Kapan grindstone berhenti?
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 21
***Rotational intro: The blades of an electric blender are whirling with an angular velocity of +375 rad/s while the
“puree” button is pushed in, as Figure 8.11 shows. When the “blend” button is pressed, the blades accelerate and reach a greater angular velocity after the blades have rotated through an angular displacement of +44.0 rad (seven revolutions). The
angular acceleration has a constant value of +1740 rad/s2. Find
the fnal angular velocity of the blades.
Gambar menunjukkan suatu peralatan yang dapat digunakan untuk mengukur kelajuan peluru. Alat mempunyai dua
peringan berputar, yang terpisah pada jarak d = 0,850 m dan berotasi dengan kelajuan sudut 95,0 rad/s. Peluru awalnya
menembus piringan kiri kemudian piringan kanan. Jika
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 23
Seseorang menurunkan ember ke dalam sumur dengan pemutar yang berdiameter 0,4 m. Pemuatar bergerak dengan kelajuan tangesial konstan 1,20 m/s dalam lintasan lingkaran. Pemutar terhubung dengan sebuah kumparan dimana tali ember
dililitkan. Bila diameter kumparan adalah 0,1 m, berapa kelajuan ember turun?
Seseorang menurunkan ember ke dalam sumur dengan pemutar yang berdiameter 0,4 m. Pemuatar bergerak dengan kelajuan tangesial konstan 1,20 m/s dalam lintasan lingkaran. Pemutar terhubung dengan sebuah kumparan dimana tali ember
dililitkan. Bila diameter kumparan adalah 0,1 m, berapa kelajuan ember turun?
k p
p k
k p
v
v
r
r
0,05m
1,2m/s=0,3m/s
k
r
v
v
Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas
25
Kombinasi dua-rodagigi digunakan untuk mengangkat
beban L dengan kelajuan konstan arah ke atas 2,50 m/s. Tali penggantung beban dililitkan pada silinder dibelakang
Suatu roda dengan jari-jari R = 0,4 m berotasi pada sumbu tetap. Sebuah tali dililitkan pada roda. Dimulai pada t = 0, tali ditarik sehingga roda bergerak dengan percepatan
konstan a = 4 m/s2. Berapa putaran yang dibuat roda
dalam 10 sekond? (Satu putaran = 2 radians)
a
R
α
= a / R = 4 / 0,4 = 10
rad/s
22 0 0
1 2
t t
= 0 + 0(10) + ½ (10)(10)2 =
500 rad
1 500 rad x
2
rot rad
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 27
Energi dalam Gerak Rotasi
Suatu benda tegar terdiri atas sejumlah partikel dengan massa m1, m2, ….
Masing-masing pada jarak r1, r2, … dari sumbu rotasi. Benda tegar berotasi
dengan kecepatan sudut ω. Saat benda tegar berotasi, kecepatan partikel ke vi
dinyatakan oleh i i r v EK rotasi 2 2 2 2 1 2 1
i i iiv m r
m
Besaran dalam tanda kurung disebut momen inersia (I) benda.
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1
...
2 2
K m r m r
Apa arti I secara fsis? r1 r2 r3 r4 m4 m1 m2 m3 2 2 1 I K
Energi kinetik partikel ke-i:
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
i i i
i i i
r m r m K 2 2 1 mv K EK translasi
Jadi, momen inersia (I) dalam gerak rotasi analogi dengan massa dalam gerak tranlasi
i i i
r
m
I
2Perhatikan sistem N
partikel diskrit yang
diputar terhadap
suatu titik tetap O.
Momen inersianya
adalah
I
:
N
i i i
r
m
1
2
I
dimana
Menghitung Momen Inersia
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 29
Contoh: moment inersia sisitem partikel
Empat buah titik massa dengan massa yang sama yaitu m berada pada sudut-sudut bujursangkar dengan jari-jari L. Tentukan
momen inersianya bila diputar dengan sumbu putar tegak lurus pusat bujursangkar. m m m m L r L/2 2 L 2 L 2 r 2 2 2
Keempat partikel mempunyai jarak yang sama ke sumbu putar yaitu r.
2
1
2
I
mL
2
2
2
2
2 2 2 1 2 2L
m
L
m
L
m
L
m
r
m
I
i i i
Hitung I untuk benda yang sama dengan contoh yang sama, tetapi dengan sumbu putar melewati titik pusat, sejajar dengan bidang (lihat gambar):
2 1
N
i i i
I m r
Contoh: moment inersia sisitem partikel
2
1
N
i i i
I
mr
2
2
I
mL
Untuk suatu objek tertentu, I dapat
2 2 2 2
L
L
L
L
I m
m
m
m
2 2 2 2
0
0
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 31
Suatu bentuk segitiga dibuat dari bola-bola identik dan batang kaku tak-bermassa. Tentukan momen inersia, bila sumbu putar masing-masing adalah Ia, Ib, dand Ic.
B. Momen Inersia Benda kontinu
2 2 2
0
lim
i
i i m i
I
r
m
r dm
r
dV
dm
2
I
r dV
2
I
x dx
Benda 1 dimensi:
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 33
dx
dm
x
dm
x
dx
I
2 2
3 3 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2 2 2 3 1 31 L L
x dx x I L L L L
2 23 12 1 12 1 12 1 ML L L L
I
L
M
Batang 1 Dimensi
Suatu batang 1 dimensi dengan panjang L dan massa M diputar ditengah-tengah batang tegak lurus bidang xy. Benda
2
MR
I
22
1
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 35
2
MR
I
22
1
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 37
Jadi jika ICM, akan mudah
menghitung momen inersia terhadap sumbu lain yang sejajar.
Teorema Sumbu Sejajar
Bila momen inersia benda padat dengan massa M yang
diputar terhadap sumbu yang melewati pusat massa (ICM) diketahui. Maka momen inersia terhadap sumbu yang
sejajar dengan sumbu yang melewati pusat massa dan berada pada jarak h diberikan oleh:
2
CM
I
I
Md
CM d
2
1 2
CM o I MR
?
2
1 12
CM
I ML
Suatu batang 1 dimensi: panjang L, massa M, rapat massa homogen. Berapa momen inersia bila sumbu putar pada salah satu ujung batang.
2 2
U
I
x dm
x dx2
0
L U
I
x dx
3 2
1 1
3 3
U
I L L L
3 33 0 1 1 0 3 3 L U
I x L
Hitung langsung
Dengan Teorema Sumbu Sejajar
2 / L D 2 CM
I I MD
22
1
/ 2 12
U
I ML M L
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 39
d
2 0
2 0 2
0
2 cm
MR
2
3
MR
MR
2
1
Md
I
I
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 41
Torsi (Torque,
τ
)
F
Benda yang awalnya diam akan mengalami gerak translasi bila ada gaya total yang bekerja.
Apa yang menyebabkan suatu benda berputar (berotasi) dan apa yang menentukan besar
percepatan sudut benda? Bagaimana cara membuat mainan ini berputar?
Faktor yang menentukan percepatan benda:
Diberi gaya! Didorong atau ditarik.
Massa Makin besar
massa makin kecil percepatan
Gaya makin besar gaya
(makin cepat kelajuannya bertambah).
Bagaimana sifat gaya yang menentukan seberapa efektif gaya tersebut menyebabkan atau mengubah gerak rotasi? Bayangkan anda akan membuka pintu yang berputar pada engsel atau akan membuka baut dengan sebuah kunci. Faktor apa saja yang
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 43
Gaya F1, F2 dan F3 bekerja di titik yang sama dan arah yang sama terhadap sumbu putar (engsel pintu). Tetapi gaya F3
yang terbesar akan memberikan perubahan kecepatan sudut yang paling besar terhadap pintu.
F1
F
F2
Gaya F1, F2 dan F3 sama besar, tetapi gaya F3 menghasilkan torsi (τ) yang lebih besar dalam memutar pintu daripada gaya F2 dab F3 karena jaraknya (r) ke sumbu putar lebih jauh.
F1
F2
F2
r
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 45
Suatu gaya F bekerja pada suatu sudut f terhadap lengan yang sedang berputar terhadap suatu titik pivot. R adalah jarak antara titik pivot dan F. Maka bagian gaya yang
efektif dalam memutar pintu adalah sebesar F sinf.
r F
Jadi, torsi dapat ditulis sebagai perkalian silang antara vektor perpindahan dengan vektor gaya:
rF
sin
Besar torsi adalah putar sumbu ke gaya jarak r r gaya Besar F
Torsi adalah sebuah vektor, dimana
F
r
rF
sin
r
F
r
F
Arah torsi sesuai arah gerak
sekrup putar kanan bila diputar dari menuju
r
FF
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 47
Bila terdapat beberapa torsi bekerja pada sebuah
benda, maka torsi total adalah jumlah vektor dari
masing-masing torsi. {Hati-hati dengan
penjumlahan vektor}
1. Torsi positif bila arah rotasi berlawanan dengan arah putaran jam dan torsi negatif bila rotasi searah putaran jam.
2. Dapat juga digunakan aturan yang merupakan kebalikan dari aturan pertama.
3. Dapat juga ditetapkan, torsi yang menyebabkan putaran yang searah dengan arah gerak translasi sebagai torsi positif.
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 49
Contoh: Tentukan torsi total pada roda
1 2
1 2
(c.c.w)
(c.w.)
( 1)
( 1)
(15,0 Nm)- (21,7 Nm)
-6,7 Nm
6,7 Nm (c.w.)
net
2
(
60 )
F R sin
2 2
(50,0 N)(0,500 m)(0,866)
21,7 Nm
1
(
)
F R sin
1 1
90
(50,0 N)(0,300 m) 15,0 Nm
c.w: clock wise
Calculate the torque on the 2.00-m long beam due to a 50.0 N force (top) about (a) point C (= c.m.)
(b) point P
Calculate the torque on the 2.00-m long beam due to a 60.0 N force about
(a) point C (= c.m.) (b) point P
Calculate the torque on the 2.00-m long beam due to a 50.0 N force (bottom) about (a) point C (= c.m.)
(b) point P
Latihan:
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 51
Momentum Sudut
Telah dilihat beberapa besaran fsis yang memiliki analogi dalam gerak rotasi. Analogi momentum dalam gerak rotasi disebut momentum sudut ( ).
L
Hubungan momentum linier dengan momentum sudut
mirip dengan hubungan antara gaya dengan torsi, di mana
rFUntuk partikel dengan massa m,
kecepatan
v
Momentum Linier:
v
m
p
Momentum sudut didefenisikan sebagai:
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 53
L
r
p
dt
p
d
F
dt
p
d
r
F
r
dt
p
d
r
p
dt
r
d
p
r
dt
d
d
L
v mv r F
dt
dt
L
d
0
Perubahan momentum sudut sama dengan torsi.
Pada gerak translasi hubungan ini mirip dengan,
L
r
p
r
mv
r
m
r
r
v
L
m
r r
r r
r r r
2dan
r
0
2mr
L
Untuk banyak partikel
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
...=
1 1 2 2 3 3L m r
m r
m r
m r
m r
m r
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
i
...= i i
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 55
Jika torsi total yang bekerja pada suatu sistem adalah nol,
maka momentum sudut sistem tetap (kekal) Hukum
kekekalan momentum sudut.
dL
dt
0 0 L kekaldt L
d
f i
L
L
Kekekalan Momentum Sudut
f i
f f i i f i
f i
v
v
I
I
I
I
r
r
Bila pemain ski yang berputar menarik
lengannya ke arah badan, maka kecepatan putarnya naik.
Momen inersia besar
Kecepatan rotasi
Momen inersia kecil
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 57
Suatu platform datar berbentuk piringan lingkaran berputar
dalam bidang datar pada sumbu tak-bergesekan. Platform
bermassa M = 100 kg dan jari-jari R = 2 m. Seorang siswa mempunyai massa m = 60 kg berjalan dengan lambat dari pinggir piringan menuju pusat. Jika kelajuan angular sistem adalah 2 rad/s saat siswa di
pinggir, berapa kelajuan angular sistem saat dia mencapai titik r
= 0,5 m dari pusat.
Momen inersia sistem setelah siswa berjalan menuju pusat (If): 2 2
2
1
MR
mr
I
I
I
f f S Pf
Pada sistem ini tidak ada torsi luar yang bekerja, sehingga berlaku hukum kekekalan momentum angular.
f f i i
I
I
MR mR
i
MR mr
f2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 1 2 2 2 1 f i MR mR MR mr 2 2 21
MR
mR
I
I
I
i
Pi
Si
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 59
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 61
I
Hukum ke-2 Newton untuk Rotasi
I
L
dt
L
d
F
r
I
dt
d
I
I
dt
d
dt
L
d
Gerak lurus dengan percepatan tetap, a.
t
a
v
v
xf
xi
x2
2
1
t
a
t
v
x
x
f
i
xi
xt
v
v
x
x
f
i
21(
xi
xf)
Gerak rotasi dengan percepatan tetap, a.
t
i
f
22
1
t
t
i if
t
f i
i
f 2
(
)
1
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 63
2
1
2
R
K
I
I
Energi Kinetik:
Torsi:
2
1
2
K
mv
F
ma
Energi Kinetik:
Gaya:
Momentum
:
p
mv
L I
Momentum Sudut:
Kerja:
W
F
s
Kerja:W
Gerak lurus dengan
percepatan tetap, a. Gerak rotasi dengan percepatan tetap, a.
Sebuah piringan homogen dengan massa M = 2,5 kg dan radius R = 20 cm, dipasang pada sumbu horizontal tetap. Sebuah balok dengan massa m = 1,2 kg digantung dengan kawat tak-bermassa
yang dililitkan pada piringan. Tentukan
percepatan balok jatuh, percepatan angular piringan, dan tegangan tali.
Contoh: Dinamika Gerak Rotasi
F
m
a
ma
T
mg
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 65
Dinamika Rotasi
F
r
RT
RT
sin
90
I
22
1
MR
I
22
1
MR
RT
1 2T
MR
1
2 ... (2)
T Ma
1
2
Ma mg ma
1 2
(
)
a m
M
g
Dua massa m1 (5 kg) dan m2 (10 kg) digantung pada katrol dengan massa M (3 kg) and radius R (0,1 m). Tidak ada slip antara tali dengan katrol.
(a) Apa yang akan terjadi bila massa dilepas? (b) Tentukan kecepatan massa setelah jatuh 0,5
m?
(c) Berapa percepatan angular katrol pada saat itu?
Contoh:
Dinamika Translasi
... (1)
F ma
1 1 1 1 1 1
T
m g m a
T
m a m g
m g T
m a
T
m g m a
a
Anggap balok1 yang akan naik dan balok2 yang akan turun. Tetapkan gaya yang searah a sebagai gaya
posistif, dan sebaliknya. a
1 1
F
m a
Afdal, Jurusan Fisika Universitas Andalas 67 r F
... (3)
I
1
RT
1
Dinamika Rotasi
Tetapkan torsi yang mengahasilkan putaran searah dengan percepatan sebagai torsi positif, dan sebaliknya.
T1 menyebabkan putaran yang berlawanan dengan
percepatan yang ditetapkan
τ1 : negatif.
Sebaliknya untuk T2. τ1 : positif. 2 2 1 MR I
2
RT
2
2 1
(
)
R T
T
R a 2 2 1 12( ) a
R T T MR
R 2 1
1
... (4)
2
T
T
Ma
(3)
2 2 1 1
1 2
m g m a m a m g Ma
)
4
(
)
2
(
Dalam bab dinamika partikel massa katrol diabaikan (M
= 0) atau rotasi katrol tidak diperhitungkan Sehingga percepatan adalah
2 1 1 2
... (percepatan bila massa dan rotasi katrol diabaikan)
m m
a g
m m
2 1 1 2 12
.... Percepatan bila massa katrol diperhitungkan
m m
a g
m m M
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 69
Tentukan kecepatan massa setelah jatuh 0,5 m?
2 3 30 rad/s 0,1 a R
0 3(0,577) 1, 73 m/s
o
v v at
Berapa percepatan angular katrol pada saat itu?
2
2 1
1 2 12
10 5
10 3 m/s 10 5 1,5
m m
a g
m m M
2 1 2
t o o
x
x
v t
at
2 1
2
0,5 0 0 (3)t
577 ,
0
Contoh: Bola mengelinding menuruni bidang miring
Sebuah bola dengan massa m dan
radius R mulai dari keadaan diam pada ketinggian 2 m dan
menggelinding tanpa slip.
Tentukan percepatan linier bola turun.
mg
sin
mg
s
f
N
F ma0
cos
mg
N
sin s R
mg f ma
I
2 2
5
R s
a f R mR
R
2 5
s R
f
ma
Dinamika Translasi
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 71
mg
sin
mg
N
s
F ma
sin
smg
ma
Bola slip (Lantai Licin)
sin
s
a
g
Tiga buah benda (bola padat , silinder padat, dan
silinder tipis atau hoop) dilepas dari atas bidang
miring dari keadaan diam tanpa slip. Bagaiamana
urutan benda-benda sampai di bawah bidang
miring?
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
Andalas 73