ELEKTROMAGNETİK ALAN TEORİSİNİN
TEMELLERİ
MİTHAT İDEMEN
ÖNSÖZ
Çağdaş mühendislik dallarının oldukça geniş bir grubu elektrik (veya, elektromagnetik) sözcüğü ile ifade edilen olayların üzerine oturur. Bir mühendisin amacı, veya görevi, bunlardan yararlanarak insanın yaşamını daha güvenli ve daha konforlu yapacak önlemler almak, aletler geliştirmektir. Söz konusu olaylar doğada karşımıza kolayca sayamayacağımız kadar çok değişik biçimde çıkmaktadır. Örneğin, Güneş’ten çıkıp bize kadar erişen ve hem görmemizi hem de ısınmamızı sağlayan ışık olayı bu gurubun içindedir.Işık, biraz önce sözü edilen iki önemli etkinin yanı sıra, özellikle de göremediğimiz haliyle, bitkilerin bünyesinde oluşan biyolojik olayların gelişmesine de katkıda bulunur ve, böylece, hayatın en önemli etkenlerinden biri olur. Duyu organlarımızla ışığı bazan hissederiz, bazan da hissedemeyiz. Bunun gibi, sinirlerin iletim mekanizmasının, kalbin düzenli hareketinin, beyindeki olayların temelinde de hep elektrik olaylar yer alır. Bu saydıklarımızda oldukça küçük ölçekte güçler açığa çıkar ve bunların aksaması her şeyi altüst eder. Buna karşılık, güncel hayatımızda çok kullandığımız elektrik motorları ve diğer kontrol ve kumanda cihazlarında oldukça büyük çapta güçler harcanır. Yıldırım ve şimşek de bu türden olaylar arasındadır. Aslında maddenin temel davranışları, genellikle, sadece elektrik olaylara dayanır ve, dolayısyla, bu olayların kimya, fiziko-kimya, biyoloji v.b. doğal bilimlerde de önem kazanmasına neden olur. Bu nedenle, konuları doğrudan doğruya elektrik olan elektrik ve elektronik mühendislerinin yanı sıra, konuları değişik türden doğal olayları içerenlerin de (doktor, eczacı, biyolog, meteorolog, jeofizikçi, jeolog, tarımcı, v.b.) görevlerini iyice yapabilmeleri ancak elektrik olayın temelinde yer alan evrensel yasaları bilmekle mümkündür. Bu kitabın amacı, sözü edilen dallarda üniversite öğrenimi gören gençlere elektriğin temel yasalarını öğretmekten ibarettir.
Elektrik kökenli olaylar, biraz önce de belirtildiği gibi, maddenin var olması ile beraber ortaya çıkmış bulunmaktadır. Buna karşın, insanın bunu farkedebilmesi oldukça geç, ancak ikibinbeşyüz yıl önceleri mümkün olabilmiştir.Bu güne kadar geçen zaman içinde harcanan ve git gide yoğunlaşan çabalar bugün bizi belirli bir bilgi düzeyine eriştirmiş bulunmaktadır. Bu bilgi düzeyi, geçmişte, yeryüzünün değişik köşelerinde, bazan biribirinden habersiz olarak peş peşe tekrar edilmiş bulunan sayısız deneyler, iddialar, tartışmalar, yanılgılar ve yeni iddialar üzerine oturur ve bugün bize, gözlemekte olduğumuz bütün elektrik olayları çok az sayıda yasa ve temel kavram arcılığı ile açıklamak olanağını verir. İnsanoğlunun elektrik bilgisinin tarihsel gelişimi hem uygarlığın hem de bütün doğal bilimlerin ve felsefenin
tarihsel gelişimi ile apaçık bir parallelik gösterir. Aşağıdaki küçük tablo bu konuda özet bir bilgi edinmemize olanak verir.
Yıl Olay
_____________ _____________________________________________________ M.Ö.VI. yüzyıl Thales’in yaşadığı zamanlar.Kehribar’ın sürtünme ile tozları çekme
özelliği kazanabildiğinin keşfi. Demir tozlarını çeken mıknatıs taşların keşfi.
M.S.XVI. yüzyıl Cam, reçine, kükürt vb maddelerin çekme özelliğine sahibolduğunun keşfi. Yalıtkan ve iletken deyimlerinin kullanılmaya başlanması (Gilbert, 1544-1603).
1730 Yalıtılmış iletkenlerin dokunma ile elektriklenebileceğinin keşfi (Stephan Gray, 1670-1736).
1733 Sürtünme ile camın kazandığı elektriğin ebonitin kazandığından farklı olduğunun keşfi. (+) ve (-) yük kavramı (Charles du Fay, 1698-1739). 1750-1754 Uzaktan etki (induction) ile elektriklenmenin keşfi (Canton, 1718-1722 ;
Benjamin Franklin, 1706-1790).
1770 Sürtünmenin elektrik yaratmadığının, iki cisim arasındaki elektrik dengesini bozduğunun keşfi (Watson, 1710-1787; Benjamin Franklin, 1706-1790).
1785 Coulomb yasasının keşfi. İletkenlerdeki yükün sadece yüzeyde bulunduğunun keşfi (Coulomb, 1736-1806).
1787 Altın yapraklı elektroskop’un keşfi (Bennet). 1799 İlk üretecin yapımı (A.Volta, 1745-1827).
1800 Suyun elektrolizi (W.Nicholson, 1753-1815; A. Carlisle, 1768-1840). 1801 Akımın teli akkor hale getirdiğinin keşfi (Thenard, 1777-1857). 1807 Elektrik aracılığı ile alkali madenlerin ayrılması (Davy, 1778-1829). 1811 Elektrik arkının keşfi (Davy, 17778-1829).
1819 Elektrik akımının mıknatıslı iğneyi saptırdığının keşfi (Örsted, 1777-1851).
1820 Elektrik akımı ile çelik iğnenin mıknatıslanması (F.Arago, 1786-1853). Elektrik akımının yarattığı magnetik alanın ölçülmesi (Biot, 1774-1862; Savart, 1791-1841) ve bir yasa şeklinde ifade edilmesi (Laplace, 1747-1827).
1821 Termoelektrik pil (Seeback, 1770-1831).
1822 Bobinin elektrodinamik teorisi (Ampère, ******). 1823 İlk elektromıknatıs ( Sturgeon, ******).
1827 Direnç kavramı ve Ohm yasası (Ohm, 1787-1854).
1831 Endüksiyon olayının keşfi ve mekanik enerjinin elektrik enerjisine dönüştürülmesi (Faraday, *****).
1832 Öz-indükleme katsayısı kavramı (Henry, 1797-1878).Lenz kuralının keşfi (Lenz, 1804-1865).
1837 Lenz kuralının kapalı devrelere uygulanması (Pouillet, 1790-1868). 1841 Akımın ısı etkisinin ve buna ilişkin yasanın keşfi (Joule, 1818-1889). 1843 İlk telgraf aletinin kullanılışı (Morse, 1791-1872).
1845 Öz-indükleme katsayısının teorik hesabı, potansiyel kavramı (Nuemann, 1798-1895).
Yıl Olay
_____________ _____________________________________________________ 1855 Foucault akımlarının keşfi (Foucault, 1819-1868).
1873 Elektromagnetizmanın genel teorisi (Maxwell, 1831-1879).
1876 Hızlı dönen bir elektrikli çarka yaklaştırılan mıknatıslı iğnenin saptığının keşfi (Rowland, 1840-1901).
1880 Piezoelektrik olayın keşfi (J.Curie, 1855-1941; P.Curie, 1859-1906). 1882 Histerezis olayının keşfi (Ewing, 1855-1935).
1887 Elektromagnetik dalgaların deneyle gözlenmesi, Hertz dipolü kavramı (H.Hertz, 1857-1894).
1890 İlk radyo alıcısının yapımı (Branly, 1844-1940).
1895 İlk anten (Popoy, 1859-1905).Uzak mesafelere telsiz telgraf işareti nakli (Marconi, 1874-1937).
1895-1896 Elektron’un, fotoelektrik olayın, gazlarda deşarjın, X ışınlarının ve radyoaktivite’nin keşfi (H. Becquerell, 1852-1908; M.Curie, 1867-1934; P.Curie, 1859-1906).Elektron teorisi (H.A.Lorentz, 1853-1928).
1897 e/m nin ölçülmesi (J.J.Thomson, 1856-1940).
1905 Özel rölativite teorisi, foton kavramı (Einstein, 1879-1955).
1911 Elektron’un yükünün ve kütlesinin deneyle belirlenmesi (Millikan, 1868-1953).
1961-1968 Elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerin birleşik teorisi (Glasgow, 1961- ; Weinberg, 1964- ; Salam, 1968- ).
Bugün yeryüzünün hemen her tarafında, bütün dillerde aynı şekilde kullanılmakta olan elektrik ve magnetik sözcükleri de 2500 yıllık bir serüvene sahiptirler. Elektrik sözcüğü, bu türden olayların ilk defa farkedilmesine neden olan sarı kehribar’ın Grek dilindeki karşıtı olan elektron’dan türemiştir. M.Ö. VI. yüzyıldan itibaren elektron ile belirtilen olay klasik latin dilinde electrum şeklinde ifade edilmiş ve XVII. yüzyıldan itibaren de bilimsel latincede electricitas sözcüğü kullanılmaya başlanmıştır. 1733 den sonra yazılan fransızca metinlerde électricité sözcüğü gözükmeye başlamış ve büyük değişikliklere uğramadan diğer dillere girmiştir. Benzer şekilde, magnetik sözcüğü de mıknatıslı taşların ilk defa görüldüğü bir Grek kolonisinden, Magnezya’dan gelir. Bugün Manisa olarak adlandırdığımız bu yörede bolca bulunan ve demiri çekme özelliğine sahip olan bir maddeyi belirtmek için önceleri magnezya taşı anlamına gelmek üzere magneslitos deyimi kullanılıyordu. Bu sözcük latinceye magneticus şeklinde geçti ve 1617 den sonra yazılan fransızca metinlerde de magnétique olarak yer almaya başladı.
İÇİNDEKİLER
BİRİNCİ BÖLÜM. Temel varsayımlar 1.1 Giriş
1.2 Galile referans sistemleri ve eylemsizlik ilkesi 1.3 Evrensel çekim ilkesi
1.4 Evrensel çekim yasası 1.5 Hareket yasası
1.6 Elektrik etki ve elektrik yük İKİNCİ BÖLÜM.Elektrostatik A. Boşlukta elektrostatik olay 2.1 Coulomb yasaı
2.2 Elektrostatik alan ve alan çizgileri
2.3 Elektrostatik potansiyel ve potansiyel enerji 2.3.1 Örnek (elektrik dipol)
2.4 Gauss ve Poisson denklemleri
2.5 Değişik türden yük dağılımları ve Dirac distribüsyonu 2.5.1 Dirac distribüsyonu
2.5.2 Dipol dağılımları
B. Boş olmayan uzayda elektrostatik olay 2.6 Alan ve bünye denklemleri
2.7 Sınır koşulları ve elektrostatiğin esas problemi 2.8 Yüzeysel yüke etki eden kuvvet
2.9 Logaritmik potansiyel kavramı
2.10 Denk problemler ve denk kaynaklar. Görüntü kavramı 2.11 Elekrtostatik enerji yoğunluğu
2.12 Kapasite ve kondansatör kavramı ÜÇÜNCÜ BÖLÜM. Magnetostatik A. Boşlukta magnetostatik olay 3.1 Lorentz kuvveti
3.2 Akım alanı ve Biot-Savart yasası 3.2.1 Örnek. Bir çizgisel akımın alanı
3.3 Vektör potansiyel ve magnetik alanın temel denklemleri B. Boş olmayan uzayda magnetostatik olay
3.4 Alan ve bünye denklemleri. Sınır koşulları
3.5 Akım devrelerinin birbirine etkisi. Ampère formülü 3.6 Magnetik alanın sirkülasyonu. Ampère formülü 3.7 Magnetik devre kavramı
3.8 Magnetik enerji yoğunluğu
3.9 İletken ortamlar ve durgun elektromagnetik alanlar 3.9.1 Ohm bağıntısı ve bazı sonuçları
3.9.2 Joule olayı ve Poynting bağıntısı 3.10 Bir yüzeysel akıma etki eden kuvvet
DÖRDÜNC BÖLÜM. Elektromagnetizma 4.1 Maxwell denklemleri
4.2 Bazı ilk sonuçlar
4.2.1 Genişletilmiş Ampère formülü 4.2.2 Faraday endüksiyonu
A. Elektromotor kuvvet
B. Öz vekarşıt endüktans kavramları. Devre teorisinin temel denklemleri 4.3 Bünye denklemleri
4.4 Basit ortamlarda temel bağıntılar 4.4.1 Rölaksasyon zamanı 4.4.2 Dalga denklemi 4.5 Basit olmayan bazı ortamlar 4.5.1 Anizotrop ortamlar 4.5.2 Bellekli ortamlar
4.5.3 Yöresel olmayan ortamlar 4.5.4 Lineer olmayan ortamlar 4.6 Elektromagnetik enerji akısı 4.7 Enerjinin yayılma hızı
4.8 Elektromagnetik alanın potansiyellerle ifadesi 4.8.1 Vektörel ve skaler potansiyeller
4.8.2 Gecikmeli potansiyel kavramı ( = 0 hali) 4.8.3 Hertz vektörü ( = 0 hali)
4.8.4 İki skaler yardımıyla gösterilim ( = 0, J= 0, = 0 hali) 4.8.5 (4.19b) nin ispatı
4.8.6 Uygulama-1. Basit dielektrik ortamda düzgün doğrusal hareket yapan bir noktasal yüke ilişkin potansiyeller
4.8.7 Uygulama-2. Basit dielektrik ortamda ivmeli hareket yapan bir noktasal yüke ilişkin potansiyeller (v < c hali)
BEŞİNCİ BÖLÜM. Distribüsyon anlamında Maxwell denklemleri. Yüzeysel yükler ve süreksizlikler
5.1 Distribüsyon anlamında Maxwell denklemleri 5.2 Basit ortamların sınırındaki koşullar
5.2.1 Bir mükemmel iletken yüzeyin üzerindeki sınır koşulları
5.2.2 Sınırlı iletkenliğe sahip bölgelerin arakesitindeki sınır koşulları 5.3 Maddesel yüzeyler üzerindeki sınır koşulları
ALTINCI BÖLÜM. Elektromagnetik alanın farklı Galile sistemlerinde geçerli olan ifadeleri.Özel rölativite teorisi
6.1 Skaler ve vektörel potansiyelin dönüşüm kuralı
6.2 Poincaré- Einstein rölativite ilkesi. Lorentz dönüşüm formülleri 6.3 Lorentz dönüşümünün bazı ilk sonuçları
6.3.1 Limit hız kavramı 6.3.2 Uzunlukların dönüşümü 6.3.3 Zaman aralıklarının dönüşümü 6.3.4 Hızların toplamı ve dönüşümü 6.4 Elektromagnetik alanın dönüşümü
6.5 Elektromagnetik alanın bağıl görünümünün bazı sonuçları 6.5.1 Elektrik yükünün değişmezliği (gereksiz)
6.5.2 Kuvvetin dönüşüm kuralı 6.5.3 Kütlenin hızla değişimi 6.5.4 Görünen bünye bağıntıları
YEDİNCİ BÖLÜM (EK). Bazı matematik hatırlatmalar
BİRİNCİ BÖLÜM
TEMEL VARSAYIMLAR
1.1 Giriş
Birbirinin yakınında bulunan cisimlerin birbirine uzaktan bir etki uyguladığı, eğer herhangi bir engel yoksa bu etki ile birbirinin konumunu ve durumunu değiştirmeye çalıştığı, çok eski zamanlardan beri gözlenmekte olan bir gerçektir. Fizik, bu türden etkileşmelerin, bazan farkedemeyeceğimiz kadar küçük olsalar bile, bütün cisimler arasında varolduğu varsayımına dayanarak fiziksel olaylar diye tanınan olayları açık-lamayı amaçlayan bir bilimdir. Yüzyıllar, hatta binyıllar boyunca süren bu incele-meler bizde, sözünü ettiğimiz etkinin iki kısımdan oluştuğu inancını yaratmıştır*
. Mekanik etki adını verebileceğimiz birinci kısım her zaman çekme şeklinde kendini gösterir ve bütün cisimler arasında, karşılıklı olarak, her zaman hissedilir. Etkinin ikinci kısmı ancak bazı cisimler arasında, bazı özel durumlarda birinci kısma ek ola-rak gözlenir. Bu etki bazan çekme, bazan da itme hatta, hareket sözkonusu oldu-ğunda, daha da değişik bir yöndedir. Örneğin, bir kehribar çubuk bir kumaşa birkaç defa sürtüldükten sonra etrafındaki tozları gözle görülebilir bir etkiyle çeker duruma gelir. Önceleri kehribar aracılığı ile sezinlenmiş bulunan ve Thales† zamanından beri bilinen bu etki, daha sonraları, kehribarın Yunanca karşılığı olan elektrondan esinle-nerek, elektrik etki adını almıştır. Çoğu kez var olmayan (veya, hissedilmeyen) elek-triksel etki bazan mekanik etkiye göre çok daha şiddetli olur. Elektromagnetik teori-nin amacı elektriksel etkileşmeleri, büyük ölçekte (makroskopik boyutta) incele-mektir. Bu inceleme, bütün bilimlerde yapıldığı gibi, mümkün olduğu kadar az sayı-da olan ve mümkün olduğu kasayı-dar basit bir biçimde ifade edilmiş bulunan bir takım varsayımlar üzerine oturtularak yapılır. Bu varsayımlar kümesi, şüphesiz, tek ve be-lirli değildir. İncelemenin kapsamına ve incelemeyi yapanın sahip olduğu matematik bilgisinin düzeyine göre değişik varsayımlar sözkonusu olabilir. Bu kitapta bizim temel olarak alacağımız varsayımların bazıları son derecede basit ifadelere sahip olduğu halde bazıları oldukça karmaşık matematik bağlantılar şeklinde olacaklardır. Yüzyıllar boyunca harcanmış çabaların mirasına konmuş bulunan bizlerin bu türden varsayımlar ortaya koymamız yadırganır olmamak gerekir.
* Farklı cisimler arasında söz konusu olan bu etkileşmelerin yanı sıra, atomun ve çekirdeğin iç
yapısında söz konusu olan iki etkileşme daha vardır. Bakınız: Böl. 2.1, uyarı 3.
Esas konumuza ilişkin varsayımları sıralamadan önce, şüphesiz, bazı temel mate-matik ve kinemate-matik kavramlara ve bilgilere sahip olduğumuzu varsaymak gerekir. Örneğin, nasıl ölçeceğimizi bildiğimiz bir zaman, hız ve ivme kavramına sahip bu-lunduğumuzu kabul ediyoruz. Bundan sonra, elektromagnetik teoriyi dayandıracağı-mız varsayımlar ve bunlardan çıkaracağıdayandıracağı-mız ilk sonuçlar şunlar olacaktır:
Temel varsayımlar______________ İlk kavramlar ve sonuçlar________ 1. Eylemsizlik ilkesi (Newton) Galile referans sistemi
2. Evrensel çekim ilkesi (Newton) Sükunetteki kütle, kuvvet 3. Evrensel çekim yasası (Newton) Çekim alanı
4. Hereket yasası Hareketteki kütle
5. Elektrik etki ilkesi Elektrik yükü
6. Elektrik çekim yasası (Coulomb) Elektrik alan, deplasman alanı
7. Lorentz kuvveti Magnetik endüksiyon
8. Biot-Savart yasası Magnetik alan
9. Maxwell denklemleri Deplasman akımı, Faraday
endüksiyonu, elektromotor kuvvet 10.Distribüsyon anlamında Maxwell Yüzeysel yük ve yüzeysel akım,
denklemleri sınır koşulları
11.Elektromagnetik Alanın Değişik Lorentz dönüşüm formülleri, sistemlerde geçerli olan ifadeleri. Dört boyutlu uzay- zaman,
Özel Rölativite teorisi (Einstein) Elektromagnetik alanın, kuvvetin ve Konu:kütlenin dönüşüm formülleri, Doppler olayı.
Yukarıdaki ilkelerden 1, 2, 3, 4 ve 11 rasyonel mekaniğin dayandığı ilkeler ara-sında da yer alırlar. Biz incelememizi ilkelerin yukarıdaki sıralanışına uygun bir şe-kilde yürütmeye çalışacağız. Sadece onuncu varsayım daha ikinci bölümden itibaren, devamlı bir şekilde kullanılacaktır.
Aşağıda sık sık noktasal cisim, maddesel nokta, noktasal yük gibi deyimler kulla-nılacaktır. Bu deyimlerdeki noktasal sözcüğünün belirtmek istediği özellik şudur: Eğer bir cismin boyutları incelemeye konu olan diğer boyutlara ve uzaklıklara oranla aşırı derecede çok küçük ise, bu cisme noktasal cisim adı verilir.
Vektörel analize ait formüller ve teoremler kitapta yaygın bir şekilde kullanıl-maktadır.Okuyucunun bunlara ve diğer matematik kurallara ilişkin bilgilere önceden sahip bulunması veya, gerektikçe, başka kaynaklardan yararlanarak eksiklikleri ta-mamlaması gerekir. Kitabın sonundaki EK bölüm bazı matematik kavramları hatır-latmak bakımından yararlı olabilir.
1.2 Galile Referans Sistemleri ve Eylemsizlik İlkesi (Newton)
Bütün varlıkların konumunu ve durumunu belirtmeye elverişli bir referans sistemi-nin, örneğin bir Oxyz kartezyen koordinatlar sisteminin net bir şekilde tanımlanmış buluduğunu düşünelim. Bu referans sisteminin maddesel bir niteliğinin bulunmadı-ğını ve, dolayısıyla, diğer cisimler üzerine hiç etki uygulamadıbulunmadı-ğını varsayacağız. Böyle ideal bir sistemin iyi bir yaklaşıklıkla nasıl belirlenebileceğine biraz sonra
de-ğineceğiz. Aksini açıkça söylemediğimiz durumlarda incelemelerimiz hep bu türden ideal referans sistemlerine göre yapılmış olacaktır.
Şimdi bir maddesel noktanın uzayda tek başına var olduğunu düşünelim. Bu hal-de, varsayıyoruz ki; yukarıda sözü edilen ideal referans sistemi öyle saptanabilir ki; söz konusu maddesel noktanın ivmesi her zaman sıfıra eşit olur. Newton’un*
eylem-sizlik ilkesi olarak tanınan bu varsayımın açık anlamı şudur: Öyle referans sistemleri bulabiliriz ki; uzayda tek başına var olan bir maddesel nokta, bu sisteme göre hare-ketsiz veya düzgün doğrusal bir hareket yapıyor, gözükür. Bu özelliğe sahip referans sistemlerine Galile† referans sistemleri adı verilir.
Eylemsizlik ilkesinin geçerli olması bakımından Galile sistemlerinin diğer herhan-gi referans sistemlerine göre bir ayrıcalığı vardır. Örneğin, K0 bir Galile sistemi
ol-sun.Tanım uyarınca, uzayda tek başına var olan bir A maddesel noktasının K0 a göre
ivmesi sıfırdır. K0 a göre düzgün doğrusal hareket yapan bütün referans sistemlerinde
de A nın ivmesinin sıfır olacağını daha sonra göreceğiz (Bakınız:Böl. 6.3.4).Bu de- mektir ki; bir Galile sistemine göre düzgün doğrusal hareket halinde bulunan bütün referans sistemleri de birer Galile sistemidirler. Buna karşılık, K0 a göre ivmeli bir
hareket yapan herhangi bir sisteme göre A nın ivmesi sıfır olamaz. Yani, böyle bir referans sistemi Galile sistemi olarak düşünülemez.
Bir tek Galile referans sistemi saptayıp bütün incelemeleri bu sistemde yapmanın söz konusu olamayacağı açıktır. Bu nedenle, her özel problem için Galile sistemleri-nin uygun bir yaklaşığını referans sistemi olarak saptar, incelemeyi bu sistemde yü-rütürüz. Örneğin, laboratuar içinde yer alan olayları incelemek için laboratuarın ken-disini referans sistemi olarak almak ve bunu bir Galile sistemi olarak düşünmek iyi bir yaklaşımdır. Buna karşılık, dünyanın etrafında oluşan olayları incelemek istedi-ğimizde, dünyanın kendisini referans sistemi olarak düşünmek uygun olmaz. Çünkü yeryüzü bir Galile sistemi değildir. Bu halde, dünyanın dönüşünden etkilenmeyen bir sistem saptamak gerekir. Örneğin, merkezi dünyanın kütle merkezinde bulunan, bir ekseni dünyanın dönme eksenine çakışık olan ve diğer eksenleri de sabit iki yıldıza yönelen bir koordinat sistemi referans olarak kullanılabilir. Böyle bir sisteme göre dünya dönen bir cisim durumundadır ve bu dönme hareketinin olaylar üzerine etki-sini açığa çıkarmak olanağı da vardır (Foucault sarkacının salınım düzleminin dön-mesi, yukarı atılan cisimlerin batıya düşmesi vb.‡). Benzer şekilde, güneş sistemin-deki olayların incelenmesinde elverişli olacak bir referans sistemi de, merkezi güne-şin kütle merkezinde bulunan ve eksenleri sabit üç yıldıza doğru yönelmiş olan bir koordinat sistemi olarak düşünülebilir.
Biz, aksi söylenmedikçe, kullandığımız referans sistemlerinin hep Galile sistemle-ri veya bunların yaklaşıkları olduklarını kabul edeceğiz.
1.3 Evrensel Çekim İlkesi (Newton)
Uzayda sadece A0 ve A1 gibi maddesel iki noktanın bulunduğunu düşünelim. Bu
hal-de, Galile referans sistemlerinde bunların ivmelerinin hiç bir zaman sıfıra eşit olama-yacağını varsayacağız.A1 in varlığı nedeniyle A0 ın kazandığı ivme 10, A0 ın varlığı
nedeniyle A1 in kazandığı ivme de 01 olsun. Kabul edeceğiz ki; her zaman 10
*
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincoln 1642 - Kensington, Middlesex 1727).
† Galileo Galilei (Piza 1564 - Arcetri 1642).
‡ Bk. Böl. 1.5, Pr.-2. Ayrıca Bakınız: A. Y. Özemre, Teorik Fizik Dersleri, Cilt 2, sayfa: 37-44,
ivmesi A0 dan A1 e, 01 ivmesi de A1 den A0 a doğrudur (Şekil-1.1). Bu, A0 ve A1 in
birbirini çekmekte oldukları, demektir. Karşı karşıya bulunan bütün maddesel nokta-ların birbirlerini çekmeye çalıştığını ifade eden bu varsayım evrensel çekim ilkesi adını alır.
Şekil-1.1
Şimdi A0 ı boşlukta, olduğu yerde sabit tutarak A1 i serbest bırakalım ve serbest
bırakma anında A1 e bir ilk hız verilmediğini düşünelim. Bu durumda A1 noktası
A1A0 doğrusu üzerinde A0 a doğru harekete geçer. Bu hareketteki ivmenin başlangıç
değeri 01 olsun. Aynı işlemi, A1A0 uzaklığını değiştirmeden, A1 i sabit tutup, A0 ı
serbest bırakarak tekrar edelim ve A0 ın hareketine ait ivmenin başlan-gıç değerini de
10 ile gösterelim. Varsayıyoruz ki; bu başlangıç ivmelerinin oranı A1A0
uzaklığın-dan bağımsızdır.Bu halde, m1 = 01 10 γ γ (1.1a)
sayısı, A0 referans alındığında A1 in bir fiziksel niteliğini tanımlar. Buna A1 maddesel
noktasının A0 a göre bağıl kütlesi adı verilir. Eğer A0 kütle için birim kabul edilirse,
m0 = 1 olmak ve A0 ın kütlesini göstermek üzere (1.1a) nın yerine
m1 = 01 10 γ γ m0 (1.1b) yazabiliriz*.
A0 maddesel noktası referans alınarak yukarıdaki deney bütün maddesel noktalar
için tekrarlanırsa, bütün maddesel noktalara birer kütle karşı getirilmiş olunur. Geo-metrik ve kinematik kavramlarla açıklanamayan bir özelliği, yani, maddesel cisimle-rin karşılıklı çekme yeteneğini, belirleyen kütle kavramı ile, uzunluk ve zaman bo-yutlarının yanına yeni bir boyut daha getirilmiş bulunmaktadır. Kütle birimi kilogram olarak adlandırılır.
(1.1a) da gözüken ivmelerin serbest hareketin başlangıcındaki ivmeler olduğunu ısrarla vurgulamak yerinde olacaktır. Bu durum, maddesel noktanın hızının sıfır ol-duğu durumdur. Bu nedenle, yukarıdaki gibi tanımlanmış bulunan kütleye, bazan, sü-kunetteki kütle de denir.19. yüzyılın sonları ile 20. yüzyılın başlarında, özellikle atom
* Kütlenin bu şekildeki tanımı ilk önce Ernst Mach tarafından önerilmiştir. Bk. E. Mach. Science of
Mechanics. 6th American ed., Open Court pub. Co., Lasalle, III, 1960, Ch. III, Sec. V. Eserin aslı 1883’te almanca basılmıştır.
Mach’dan önce yapılmış olan kütle tanımları oldukça karmaşıktır. Örneğin, Newton’a göre kütle madde miktarıdır ve, dolayısıyla, bulunması oldukça zordur. Euler’e göre ise kütle, kuvvet ile ivmenin oranına eşittir; yani, kuvvet’den daha sonra tanımlanan bir kavramdır.
10 01
fiziği çerçevesinde yapılan deneyler göstermiştir ki, kütleyi tanımlamaya yarayan deneyleri yaparken noktaları ilk hızsız olarak serbest bırakacak yerde belirli bir v hızı ile serbest bırakacak olursak, ivmelerin oranı için bulunacak değerlerin (1.1a) ile verilenden farkı (v/c)2
mertebesinde olur. Burada c ışığın boşluktaki hızını göster-mektedir. Bu hal, ışığa göre çok yavaş olan hareketlerin söz konusu olduğu durum-larda kütleyi sabit bir sayı kabul ederek olayları incelemenin tatminkar sonuçlar vere-ceğini gösterir. Klasik mekanik bu yaklaşıklığın bir ürünüdür.
01 ile 10 ın zıt yönlü olduklarını göz önünde bulundurarak (1.1b) yi
m010 =-m101 (1.2)
şeklinde de yazarız. Yani, A0 ın sükunetteki kütlesi ile başlangıçtaki ivmesinin
çarpı-mı, zıt işaretle, A1 in sükunetteki kütlesi ile başlangıçtaki ivmesinin çarpımına eşittir.
F10 = m010 , F01 = m101 (1.3)
ile tanımlı F01 vektörel büyüklüğüne A0 ın A1 e uyguladığı kuvvet adı verilir. Benzer
şekilde, F10 da A1 in A0 a uyguladığı kuvvettir. İvmelerin özel yönleri nedeniyle bu
kuvvetler çekim kuvvetleridir ve (1.2) nedeniyle de bunlar biribirine zıttır. (1.3) deki ivmeler ve kütleler sükunet anındaki değerler oldukları için, F01 ve F10 kuvvetleri de
sükunet halinde A0 ve A1 in biribirine uyguladığı kuvvetlerdir. Uzunluğun metre,
kütlenin kilogram ve zamanın da saniye ile ölçüldüğü MKS birim sisteminde kuvve-tin birimi Newton olarak adlandırılır.
1.4 Evrensel Çekim Yasası (Newton, 1687
*)
Boşlukta duran ve kütleleri m ve M olan maddesel A ve B noktaları arasındaki uzak-lık r’ olsun. Bunların birbirine
FAB = - k 2 ' r mM eAB (1.4a) FBA = - FAB (1.4b)
ile belirli bir çekim kuvveti etki ettirdiklerini kabul edeceğiz. Burada eAB ile AB
yönündeki birim vektör, k ile de, kullanılan birim sistemine bağlı bir sabit gösteril-mektedir (Şekil-1.2). Mekaniğin temelini oluşturan bu varsayım Newton’un evrensel
Şekil-1.2
* Newton’un bu yasası 1687’de basılmış bulunan “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”
adlı eserinde yayınlanmıştır. Fakat bunun keşfinin 1666’dan daha önce olduğu sanılmaktadır.
FBA FAB
A B
m M
çekim yasası olarak tanınmaktadır. MKS sisteminde
k = 6,670.10-11Newton.m2/kg2 (1.5) dir.
Kütleleri m1, m2, ..., mn olan maddesel A1, A2, ... , An noktalarının, kütlesi m0 olan
A0 noktasına uzaklıkları r’1, r’2, ... ,r’n olsun. A1, A2, ... , An nin A0 a etki ettirdiği F0
kuvvetinin, (1.4a) ya benzer olarak,
F0 = - k m0
n 1 j 2j j ' r m ej (1.6)şeklinde yazılabileceğini varsayıyoruz. Burada ej ile AjA0 yönündeki birim vektör
gösterilmekte ve A0, A1, ... , An noktalarının referans sistemine göre hareketsiz
ol-dukları düşünülmektedir.
A0 a çekim kuvveti uygulayan maddesel noktalar sayılamayacak kadar çok ise,
(1.6) nın yerini, çeken noktaların dağılım kuralına uygun olan bir toplama işlemi alır. Örneğin, çeken noktalar bir hacmini sürekli bir şekilde dolduruyorsa ve d hacim elemanın kütlesi dm = d şeklinde yazılabiliyorsa,
F0 = - k m0
r'2
ed (1.7a)
yazılır.Önceden seçilmiş bir Oxyz kartezyen koordinatlar sisteminde A0 ın
koordi-natları (x0,y0,z0) olsun ve içindeki değişken nokta (,, ) ile gösterilsin
(Şekil-1.3).Bu halde (1.7a) nın açık ifadesi şudur: F0(x0,y0,z0) = - k m0
r'2 ) ζ η, ξ, ( eddd . (1.7b) Şekil-1.3 A0(x0,y0,z0) e r’ (,,) d
Burada
r’2 = (- x0)2 + (- y0)2 + ( - z0)2 (1.7c)
ve
e = {(x0 - )ex + (y0 - )ey + (z0 - )ez}/ r’ (1.7d)
konmuştur ve ex, ey, ez kartezyen koordinatlar sisteminin bilinen birimsel koordinat
vektörleridir. dm = d de gözüken ya cisminin kütle yoğunluğu adı verilir. Dünyanın yüzeyine yakın noktalarda bulunan 1 kg’lık bir kütleye 9,81 Newton civarında bir çekim uygulandığı deneylerle saptanmıştır. Çekim kutuplarda bu değer-den daha fazla, ekvatorda daha azdır.
Problemler
Pr.-1. R yarıçaplı bir kürenin içinde kütle yoğunluğu sabit olsun. Bu kürenin herhangi bir maddesel noktaya uyguladığı (1.7a) çekim kuvvetinin, bütün kütleyi merkezde toplanmış düşünerek (1.4a) ile bulunacak olana eşit oldu-ğunu gösteriniz (Bakınız: Böl. 2.4, Pr.-1).
Pr.-2. yoğunluğu sadece kürenin merkezine olan uzaklığın fonksiyonu olsun. Bu halde, (Pr.-1) deki sonucun gene doğru olduğunu gösteriniz (Bakınız: Böl. 2.4, Pr.-1).
1.5 Hareket Yasası
(1.3) bağıntısı, indisleri yazmadığımız takdirde
F = m0 =
dt d
(m0v) (1.8a)
şeklinde de yazılabilir. Buradaki türev ve m0, başlangıçtaki değerler; F de A0 a
başlangıçta etki eden kuvvettir. Eğer, A0 ın her konumu için F bilinseydi ve (1.8a) da
bütün hareket süresince geçerli olsaydı, bu bağıntı A0 ın konumunu t nin fonksiyonu
olarak belirlemek olanağını verirdi. Hareketin c ye göre küçük bir v0 ilk hızı ile
başlaması ve bütün hareket süresince de böyle kalması halin-de (1.8a) nın verdiği sonuçların çok iyi bir yaklaşıklık sağladığı deneylerle kanıtlan-mıştır. Biz, m0 yerine
hızın fonksiyonu olan uygun bir m(v) değeri konmak koşulu ile (1.8a) nın bütün hareket süresince geçerli olduğunu kabul edeceğiz:
F = dt
d
[m(v)v]. (1.8b)
Bu varsayım, ilk hızın sıfırdan farklı bir v0 değerine eşit olması halinde de geçerlidir.
m(v) fonksiyonu ileride*, onbirinci varsayım’la,
m(v) = 2 0 2 0 c / v -1 m (1.9) * Bakınız: Bölüm 6.5.4.
olarak belirlenecektir.Burada c0, ışığın boşluktaki hızıdır. m(v) ye noktanın
hareket-teki kütlesi adı verilir. (1.9) bağıntısı, hızın kütlenin artmasına neden olduğunu gös-termektedir.
Pr.-1.Sükunetteki kütlesi m0 olan bir maddesel noktanın, bir F kuvvetinin etkisi
altında çizdiği yörünge C olsun. C nin bir A noktasından bir B noktasına gidin- ceye kadar yapılan W işinin
W = m0c2
[
2 2 B/c v -1 1 -2 2 A/c v -1 1]
ye eşit olduğunu gösteriniz. vA = 0, vB << c2 halinde W için yaklaşık bir ifade
bulunuz.
Pr.-2.(Foucault Sarkacı.1851). O kartezyen koordinatlar sisteminin orijini dünya-nın merkezinde olsun ve O ekseni dünyanın dönme ekseni ile çakışık, O ve O eksenleri de sabit iki yıldıza doğru yönlenmiş bulunsun. Buna ek olarak, bir de Pxyz sistemi şöyle tanımlansın: P orijini yeryüzündeki bir nokta, Pz ekseni OP ye paralel, Px ekseni P den geçen meridyen dairesine teğet, Py ekseni de P den geçen paralel dairesine teğettir. Bu halde, kütlesi m olan ve Pz ekseni üzerindeki bir Q noktasına ince, kütlesi ihmal edilebilen, uzun bir iple asılı bulunan bir maddesel M noktası denge konumundan ayrılarak, ilk hızsız, serbest bırakılıyor.
a) M nin O sistemindeki hareket denklemini yazınız. b)(a) da sözü edilen denklemi Pxyz sistemine dönüştürünüz.
c) 2 mertebesindeki terimleri ihmal ederek M nin x ve y koordinatlarının t ile değişimini gösteren fonksiyonları bulunuz ve bunların T = (2)/(cos)
per-yotlu fonksiyonlar olduklarını gösteriniz (Burada yerin açısal hızı; da P deki kutup açısıdır).
A B C F m O z x y Q P ey P’
1.6 Elektrik Etki ve Elektrik Yük
Cisimler arasındaki karşılıklı etki bazan (1.4) formülleriyle verilenlerden daha az veya daha çok, hatta, bazan da değişik yönde olmaktadır. Mahiyeti kolaylıkla anlaşılama-yan bazı işlemlerle bu ek çekimi ortadan kaldırmak veya büyültmek mümkündür. Örneğin, bir kumaşa sürülen kehribar, ebonit, cam, reçine, kükürt vb. bazı maddeler veya ısıtılan bazı kristaller*
(1.4) ile verilenden çok daha büyük bir çekme özelliğine sahip bulunurlar. Başka cisimlerle temas sonucunda bu ek çekim özelliğinin kaybol-duğu deneylerle saptanmış bulunmaktadır.Bir cismin ek çekim özelliğine sahip bu-lunduğunu belirtmek için onun elektriklenmiş olduğunu veya elektrikle yüklenmiş bulunduğunu söyleriz. Deneyler sürtünme ile camın ve ebonitin kazandığı elektrik yüklerinin biribirinden farklı olduğunu göstermişti†. Sürtünme sonucunda camın sa-hibolduğu elektrik yükü (+), ebonitin sahibolduğu elektrik yükü de (-) işaretle belir-tilmektedir. Deneyler bu işaretlere sahip elektrik yüklerinin bilinen cebir kuralları ile toplanabildiğini göstermiştir. Elektrik yüküne ilişkin olarak yapılan deneyler bizi şu varsayımı kabul etmeye zorlamış bulunmaktadır:
Varsayım:Bazı cisimler üzerinde, Newton çekimini arttırıcı veya azaltıcı şekilde etki eden bir elektriksel yük bulunur. Bu yük ölçülebilir ve sakınımlıdır.
Yükün ölçülebilir olması, bilindiği gibi, yüklerin eşitliğinin tanımlı bulunması ve q1 ve q2 gibi iki yükün toplamının belirli bir kurala göre yapılabilir olması demektir.
q1 ve q2 yüklerinin herhangi bir cisme aynı mesafeden etkileri birbirinin aynı ise, bu
iki yük birbirine eşittir, deriz. q yüküne elektriklenmiş cam gibi etki eden bütün yük-leri (+), elektriklenmiş ebonit gibi etki eden bütün yükyük-leri de (-) işaretle belirtiriz. q yu ölçmek için kullandığımız birimin tanımı Böl. 2.1 de verilecektir. Bir q3 yükünün
herhangi bir cisme etkisi, q1 ve q2 yüklerinin aynı cisme aynı mesafeden yaptıkları
etkilerin cebirsel toplamına eşit ise, q3 = q1 + q2 yazarız. Yani, elektriksel yüklerin
toplama kuralı adi cebirsel toplama kuralıdır.
Yükün sakınımlı olması da, yoktan var edilemeyeceği, var olanın da yok edilemeyeceği anlamındadır. Bu varsayım, elektrik yükünün bir cisimden diğerine taşınıp duracağını söylemektedir.Kütlenin hız ile değiştiğini ve, dolayısıyla, sükûnetteki kütle diye bir deyimin zaman zaman söz konusu olduğunu daha önce belirtmiştik. Burada sözkonusu olan sakınımlı’ lık böyle bir durumun elektrik yükü için söz konusu olmadığını, yani, izole bir cismin sahibolduğu elektrik yükünün her durumda aynı olduğunu, bir varsayım olarak, iddia etmektedir. Deneylere uygun olan bu varsayım, ileride göreceğimiz gibi, özel rölativite teorisinin temelini oluşturacak-tır (bak. bölüm-6).
Duran elektrik yüklerinin yarattığı çekme ve itme kuvvetlerinin neden olduğu olaylar elektrostatik adını alır. Bu olayları İkinci Bölümde ele alacağız.
*
Bugün piroelektrik olay olarak bilinen bu özelliği kızılderililer, ısıtılan bazı kristallerin sıcak külleri çekmesi şeklinde, çok eski çağlarda farketmişlerdi.
† Sürtünme ile elektriklenmenin M. Ö. VII. yüzyılda keşfedilmiş olmasına karşın, elektriklenmenin
İKİNCİ BÖLÜM
ELEKTROSTATİK
A. BOŞLUKTA ELEKTROSTATİK OLAY
2.1 Coulomb Yasası (1785)
Elektrostatik olayları açıklayabilmek için, Coulomb’un*
1785’de yapmış olduğu bazı deneylerle† ortaya çıkardığı itme ve çekme özelliğini, aşağıda ifade edilmiş bulunan şekliyle, bir varsayım olarak kabul edeceğiz:
Varsayım: Elektrik yükleri q1 ve q2 olan ve boşlukta karşı karşıya duran‡ iki
maddesel noktanın arasındaki uzaklık r’ olsun. Bunlar biribirine, Newton kuvvetine ek olarak, (q1q2)/r’2 ile orantılı§ bir itme kuvveti uygularlar. İkiden fazla yükün
varlığı halinde süperpozisyon geçerlidir.
* Charles de Coulomb (Angoulême 1736-Paris 1806). †
Bakınız: Collection des Mémoires Publiés par la Société Française de Physique, Gauthier-Villard, Vol. I, 1884, pp. 116-146.
‡ Buradaki hareketlilik veya durgunluk ölçmeyi yapan gözlemciye göre tanımlanmış bulunan
özelliklerdir.
§
Coulomb’dan bir yüzyıl kadar önce Newton böyle bir varsayımı mekanik etkileşim için söylemiş bulunmaktadır. Elektrik etkileşiminin de (1/r’2) ile orantılı olacağı Coulomb’dan önceleri
başkaları tarafından da ileri sürülmüştür. Örneğin bak.:
- J. Priestley; The History of Present State of Electricity, with Original Experiments, London, 1767, p: 732 ve
- J. Robinson; Mechanical Philosophy, Edinburg, Vol. IV, 1769, p: 73. Yasanın Coulomb adıyla anılmasının nedeni, Coulomb’un burkulma sarkacıyla yaptığı deneylerin daha güven verici ve inandırıcı bulunmuş olmasıdır, diye düşünülebilir. Bütün bu çabaların başlangıcını B. Franklin’e kadar götürmek de mümkündür. Franklin, bir iletken kabuk içinde elektrik alanının sıfır oldu-ğunu gözlemiş; Priestley buna dayanarak elektrik alanının (1/r’2) ile orantılı olması gerektiğini
ileri sürmüştür. Çünkü, böyle bir değişimi gösteren kütlesel çekim alanında da Franklin’in gözle-diği özellik vardır. Etkinin r’-2+
şeklinde olabileceğini düşünenler de olmuştur. Böyle bir kabul ile Maxwell <10-4 ; Plimpton ve Laughton (1936) ise <10-9 olduğunu deneylerle gös-terdiler. Daha sonraki çalışmalar = - (2,73,1)10-16 olduğunu göstermiştir (Bakınız: E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, Phys. Rev. Letters, 26, 721 (1971)).
Coulomb yasası adı verilen bu varsayım elektrostatik adıyla bilinen bilim dalının temelini oluşturur. 0, kullanılan birim sistemine bağlı bir sabit olmak üzere, bu yasa,
vektörel notasyonla F12 = 0 4 1 2 2 1 r' q q e12 (2.1a) F21 = -F12 (2.1b)
şeklinde yazılır. F12 ile q1 yükünün q2 üzerine uyguladığı kuvvet gösterilmektedir. e12
ise q1 den q2 ye giden yönde birimsel vektördür. Eğer kuvvetler Newton, uzunluklar
da metre ile ölçülecek olursa, elektrik yüklerinin birimi kulon olarak adlandırılır. Ta-rihi gelişmeler nedeniyle 0 ın değeri
0 =
36 1
10-9 (2.1c)
olarak saptanmıştır. Bu halde, aralarında bir metre bulunan eşit iki yük boşlukta bir-birine 9.109 Newton değerinde* bir itme kuvveti etki ettiriyorlarsa, bunların yükü bir kulon’dur. 0, boşluğun dielektrik sabiti veya permitivitesi adını alır.
Coulomb yasasının ikinci varsayımı, birçok yükün karşılıklı etkileşmesinin söz konusu olduğu hallerde (2.1a) nın yerini, (1.6) gibi,
F = 0 4 q
2 i i ' r q ei (2.2a)nin alacağını ifade etmektedir.
1911 yıllarında Millikan’ın† gerçekleştirdiği ve daha sonraları başkaları tarafın-dan da tekrarlanan deneyler elektrik yükünün istenildiği kadar küçük düşünülemeye-ceğini göstermiştir.Gözlenebilen en küçük elektrik yükü (1,602.10-19
) kulon’dur ve her yük, muhakkak, e ile gösterilen bu değerin bir tam katı kadardır. Bununla bera-ber, eğer bir hacmi içinde elektrik yükü taşıyan maddesel noktalar çok yoğun bir şekilde bulunuyorlarsa, yükün sürekli bir yoğunlukla dağılmış bulunduğunu kabul et-mek ve (1.7a) gibi,
F = 0 4 q
3 r' ' r d, ( r’ = r’e) (2.2b)yazmak oldukça iyi bir yaklaşım olur (Bakınız: Şekil-1.3). Buradaki d ile d ha-cım elemanı içindeki yük miktarı gösterilmektedir. Yüklerin bulunmadığı bölgelerde
= 0 yazmak koşuluyla (2.2b) yi, bütün uzaya genişletilmiş bir integralle,
F = 0 4 q
3 r' ' r d (2.2c)* Bu kuvvet, 1 milyon tonluk bir kütleye yeryüzünde etki eden çekim kuvveti kadardır. † Robert Andrews Millikan (Morrison, Illinois 1868-San Marino, California 1953).
şeklinde de yazabiliriz. Bu ifade, sağdaki integralin yakınsaması koşuluyla yüklerin bütün uzaya dağılmış olması halinde de anlamlı ve geçerlidir*. Yüklerin sonlu bir
bölge içinde bulunması halini de içerdiğinden, bundan sonraki incelemeleri, genellik- le, hep (2.2c) ifadesi üzerinde sürdüreceğiz.
Modern atom teorisine göre, maddenin en küçük parçası olan atom pozitif elektrik yükü taşıyan ve çekirdek adını alan bir parçacık ile negatif elektrik yükü taşıyan ve elektron adını alan bir çok parçacıktan oluşmuş bir sistemdir. Elektronların yükü bir-biri kadardır ve (-e) ye eşittir. J. J. Thomson’un† 1897’de yaptığı deneylere dayanı-larak elektronların sükunet halinde m=9,1072.10-31
kg lık bir kütleye sahip bulunduk-ları ortaya çıkarılmıştır. Çekirdeğin bizzat kendisi de proton adı verilen yüklü parça-cıklarla nötron adını alan yüksüz parçacıklardan oluşur. Protonun yükü e kadardır. Proton ve nötron eşit kütleye sahiptir ve bu kütle 1,6724.10-27
kg dır. Uyarılar
1.İki yük arasındaki uzaklık çok küçüldüğü takdirde, örneğin, r’<10-15 m oldu-ğunda, Coulomb yasası geçerli olmamaya başlar‡. Bu uzunluk, proton ve nötronun çapı kadardır. Daha yakın mesafelerdeki etkileşim kuvantum mekaniği kapsamında incelenmektedir. Bu halde, yukarıda sözü edilen etkileşmelere ek olarak, çekirdeğin içindeki olayların açıklanmasını sağlayan kuvvetli ve zayıf etkileşmeler de söz konu-sudur.Bunlar da göz önüne alınırsa, teorik fizikteki son gelişmelere göre, etkileşme-leri dört gruba ayırmak gerekir. Elektromagnetik, gravitasyonel, zayıf ve kuvvetli etkileşmeler olarak adlandırılmış bulunan bu etkilerin etkin oldukları uzaklıklar ile içlerinden birine oranlanmış bağıl şiddetleri aşağıdaki temel etkileşmeler tablosunda gösterilmiştir:
Temel Etkileşmeler
etkileşim etkin olduğu uzaklık bağıl etkinlik şiddeti
gravitasyonel 10-40
zayıf 10-16 m 10-5
elektromagnetik 10-2
kuvvetli 10-15 m 1
Yukarıda sözü edilen ve ayrı ayrı gözönüne alınan etkileşmelerin gerçekte bir tek etkileşimin değişik bileşenleri oldukları da düşünülmektedir. Böylesine genel bir etkileşimi ortaya koyacak bir birleşik alan kuramı oluşturmak amacıyla yoğun çaba harcanmaktadır. Örneğin, 1960’lı yıllarda S. L. Glashow, S. Weinberg ve A. Salam, zayıf etkileşme ile elektromagnetik etkileşmeyi birleştiren ve elektro-zayıf etkileşme adını alan bir kuram geliştirmeyi başardılar.
* Bakınız Bölüm 2.8.
† Sir Josheph Thomson (Cheetham Hill 1856-Cambridge 1940). Tarihsel gelişim içinde Thomson’un
deneyi Millikan’ınkinden daha önce yapılmış ve (e/m) oranını (1,758.10-11
kulon/kg) olarak vermiştir.
‡ Lamb ve Rutherford’un 1947 de hidrojen’in enerji seviyeleri ile ilgili olarak yaptıkları ölçmeler
Coulomb yasasının r’ 10-10m mertebesindeki uzaklıklar için de doğru olduğunu göstermiştir. Buna karşılık, protonları yüksek enerjili elektronlarla bombalayıp saçılmayı inceleyerek ortaya ko-nan bazı deneysel sonuçlar, r’ 10-16m mertebesindeki uzaklıklarda Coulomb yasasının geçerlili-ğinin artık şüpheli olduğunu göstermiştir.
2.(2.2a) da sözü geçen q1 yükü sabit olduğu halde, q2 yükü herhangi bir şekilde
hareket halinde bulunsa da q1 in q2 ye uyguladığı F12 kuvveti (2.1a) ile verilen
ifa-deye eşit olur, yani değişmez. Bu özellik üçüncü bölümde göreceğimiz varsayımların doğal bir sonucudur. Buna karşılık, hareketli q2 yükünün duran q1 yüküne uyguladığı
kuvvet için benzer şey söylenemez; çünkü böyle bir halde kaynak zamanın fonk-siyonu olur ve hareketin neden olduğu vektörel potansiyel de elektrik alana katkıda bulunur (Bakınız. Bölüm 4).
3. Yukarıda, evrendeki varlıkları oluşturan en küçük parçacıklar olarak elek-tron, nötron ve protondan söz etmiştik. Teorik fizikteki son gelişmeler, nötron ve pro-tonun aslında basit parçacıklar olmadıklarını, kuvark adı verilen ve bazıları (2e/3), bazıları da (-e/3) kadar elektrik yüküne sahip bulunan bir takım basit parçacıklardan oluştuklarını göstermektedir. Burada sözünü ettiğimiz basitlik, bir iç yapıya sahip olmamak, şekil ve boyut bakımından gözlenememek anlamındadır. Kuvarklar şimdi-ye kadar hiç bir şekilde tek başlarına ayrılabilmiş değildirler. Bu nedenle, yukarıda söylemiş olduğumuz, her yük e nin tam katıdır sözü, bizim göz önüne alacağımız olaylar için geçerliliğini henüz korumaktadır. Aşağıdaki basit parçacıklar tablosu, bugün için temel bir kabul görmüş bulunan standart model’e göre, başlıca basit parça-cıkları ve bunların elektrik yükünü göstermektedir.
Basit Parçacıklar basit parçacık kütlesi elektrik
yükü etkilendiği etkileşim öngörüldüğü veya gözlendiği tarih le ptonl ar (h afif p arç ac ıkl ar
) elektron, e m -e elektro-zayıf gravitasyon 1898
muon, 200 m -e elektro-zayıf gravitasyon 1936-1947 tau, (ağır lepton) 3600 m -e elektro-zayıf gravitasyon 1975 nötrino e 0 0 zayıf 1920-1954 nötrino 0 0 zayıf 1957-1982 nötrino 0 0 zayıf 1975 k uva rkla r u c t 10 m 3500 m 2e/3 kuvvetli 1963- 1970-1974 1977- d s b 20 m 500 m 11000 m -e/3 kuvvetli 1963- 1963-1974 -1977 Problemler
Pr.-1. Bir küre içindeki yüke ait yoğunluk sadece merkeze olan uzaklıkla değiş-mektedir. Küre dışındaki bir noktasal yüke etki eden kuvvetin, bütün yük kürenin merkezinde imiş gibi hesaplanabileceğini gösteriniz(Bakınız Bölüm 2.4, Pr.-1).
Pr.-2. Bir proton ile elektron arasında oluşan mekanik ve elektrik çekim kuvvetle-rinin oranını hesaplayınız. Aynı şeyi iki elektron için tekrarlayınız.
Pr.-3. Newton çekim kuvvetinin Coulomb kuvveti yanında ihmal edilebilecek ka-dar küçük olduğunu göz önünde bulundurarak, bir elektronun çekirdek etra-fındaki hareketini belirten denklemi yazınız.
2.2 Elektrostatik Alan ve Alan Çizgileri
(2.2a-c) formülleri bir q yüküne etki eden kuvvetin, her zaman,
F(x,y,z) = qE(x,y,z) (2.3a) şeklinde olduğunu gösterir. Daha genel durumu yansıtan (2.2c) halinde E,
E(x,y,z) = 0 4 1
(,,) 3 r' r' ddd (2.3b) ile verilir ve birim yüke etki eden kuvveti gösterir. Bu formül ile uzayın her noktasın-da bir E büyüklüğü tanımlanmaktadır. Bu özelliği ifade etmek için, E bütün uzaynoktasın-da tanımlı bir vektörel alan’dır, deriz. Hareketsiz elektrik yükleri tarafından yaratılmış bulunan bu alana elektrostatik alan adı verilir. (2.2a) daki qi yükleri ve (2.2c) de yoğunluğu ile dağılmış bulunan yük E alanının kaynağı adını alır. Elektrik alan için kullanılan pratik birim volt/m dir.
Bir E(x,y,z) elektrostatik alanına karşılık öyle bir eğri ailesi bulunabilir ki; bu ai-leye ait eğrilerin teğetleri değme noktalarında elektrostatik alan vektörlerine parallel-dir.Bu eğri ailesine elektrostatik alan çizgileri veya kuvvet çizgileri adı verilir. Alan çizgilerinden birinin denklemi
x = x(s), y = y(s), z = z(s) (2.4a) olsun. Burada s, çizgi üzerinde belirli bir noktadan itibaren ölçülen yay uzunluğudur. Çizginin teğeti, her noktada dr = (dx,dy,dz) diferansiyeline paralel olduğundan, ta-nım uyarınca, z) y, , x ( E dx x = z) y, , x ( E dy y = z) y, , x ( E dz z (2.4b)
yazılır. Bu diferansiyel denklem takımı E nin alan çizgilerini belirlemeye yararlar. Problemler
Pr.-1.E alanının dairesel silindirik koordinatlardaki bileşenleri E , E, Ez olsun.
Alan çizgilerini belirleyen denklemlerin
ρ E dρ = E ρd = z E dz olduğunu gösteriniz.
r E dr = θ E rdθ = E d rsinθ
ile belirleneceğini gösteriniz.
Pr.-3. Bölüm 2.3.1 de sözü edilecek olan elektrik dipol’ün alanı küresel koordi-natlarda E = 3 0r 4 q [2coser + sine] dır. Alan çizgilerinin = sabit, rcosec2 = sabit
denklemleri ile belli olduğunu gösteriniz.
Pr.-4. x2 + y2 a2, z = 0 dairesi üzerinde, s = sabit yoğunluğu ile yayılmış bir
yü-zeysel yük bulunsun.
1. P+(0,0,h) noktasında yaratılan E(P+) alanının e(h,a)ez şeklinde olduğunu
gösteriniz ve e(h,a) yı bulunuz.
2. P-(0,0,-h) noktasında yaratılan E(P-) alanının E(P-) =-E(P+) den ibaret
olduğunu gösteriniz.
3. h0 için E(P+) ve E(P-) nin limitleri E+(0) ve E-(0) ile gösterilsin. E+(0) ve
E-(0) ın a dan bağımsız ve E+(0) = - E-(0) = (s/20)ez ye eşit olduğunu
göste- riniz.
4. a halinde E(P) nın h dan bağımsız olduğunu gösteriniz.
Pr.-5. z = 0 ve z = h düzlemleri üzerinde, sırasıyla, 0 ve h yoğunlukları ile
düz-gün yayılı yükler vardır.
a) Pr.-4 ün sonucundan yararlanarak E nin açık ifadesini yazınız. b) 0 = h halini inceleyiniz.
c) 0 = - h halini inceleyiniz.
2.3 Elektrostatik Potansiyel ve Potansiyel Enerji
(2.3b) formülü ile hesap yapmak çoğu kez büyük güçlükler doğurur. Bu güçlüklerin başta gelen nedeni formülde gözüken r’ vektörüdür.Oysa, kolayca görülebileceği ü-zere, bazı yakınsaklık koşullarının gerçeklenmesi halinde (Bk. Şekil-2.1)
Şekil-2.1 (x,y,z) e r’ (,,) d
E(x,y,z) = 0 4 1
(,,) grad(- r' 1 ) ddd = - grad[ 0 4 1
r' ς) η, , ρ( ddd ]yazılabilir*.Buradaki grad işlemi (x,y,z) noktasının koordinatlarına göre alınmış tü-
revlerle hesaplanmıştır. Açıkça görülüyor ki; köşeli parantezin içinde gözüken skaler integrali hesaplamak doğrudan doğruya (2.3b) yi hesaplamaya göre çok daha kolay-dır. Bu skaler fonksiyon E nin Coulomb potansiyeli adını alır.
Daha genel olarak, V0 herhangi bir sabit olmak üzere,
V(x,y,z) = 0 4 1
r' ς) η, , ρ( ddd + V0 (2.5a) ve E(x,y,z,) = - gradV(x,y,z) (2.5b) yazılabileceği açıktır. (2.5b) ye uyan her V(x,y,z) fonksiyonuna E nin bir skaler po-tansiyeli’dir, deriz. Bunların genel ifadesi (2.5a) gibi olup keyfi bir sabit içerir. Elektrik alan, kuvvet ve diğer ölçülebilen büyüklükleri hesaplamak bakımından bu sabitin özel değerlerinin hiç bir önemi yoktur. Aksi söylenmedikçe, sonsuz uzakta V0 olacak şekilde bir V0 belirlenir. Sonlu bir bölgenin içinde bulunan yüklereiliş-kin Coulomb potansiyelinin sonsuzda sıfır olacağı kolayca gösterilebilir (Bk.Pr.-1). (2.5b) bağıntısı elektrostatiğin temel özelliklerinden birini, yani her yerde
rotE = 0 (2.6) olduğunun gösterir. Böyle bir alan için irrotasyonel’dir, deriz. Ayrıca, orijini içer-meyen her bölgede (1/r) = 0 olduğu gözönünde tutularak doğrudan doğruya türet-mekle de, kaynakları içermeyen her bölgede
V = 0 ( = 0 olan noktalarda) (2.7) olduğu görülür.
V(x,y,z) = sabit olan yüzeylere E alanının eş potansiyel yüzeyleri adı verilir.(2.5b) bağıntısı, her noktada, bu noktadan geçen alan çizgisinin, bu noktadan geçen eşpo-tansiyel yüzeye dik olduğunu ve E nin yönünün V nin en büyük azalış yönü olduğu-nu gösterir†.
Şekil-2.2
* Bunun için, (x,y,z) nin içinde düşünüldüğü bölgede ilk integralin düzgün yakınsak olması yeterlidir. † Bak.Pr.-2. A B C F q
Potansiyel fonksiyonunun bir fiziksel anlamını açığa çıkarabilmek amacıyla, E alanı içinde bir noktasal q yükünü hareket ettirirken yapılan işi hesaplayalım. q yükü bir C eğrisi üzerinde A noktasından B noktasına kadar götürülmüş olsun (Şekil-2.2). Her konumda noktasal yüke etkiyen kuvvet F = qE ye eşit olduğundan, hareketi sağ- lamak için dıştan yapılan W işi,
W = -
B A F.dc = - q
B A E.dc = q
B A gradV.dc veya W = q
B A c V dc = q[VB – VA} (2.8)ya eşit olur. Burada c ile, C üzerinde bir noktadan itibaren ölçülen yay uzunluğu; VB
ile, potansiyelin B noktasındaki, VA ile de A daki değeri gösterilmektedir. (2.8) e
bakarak diyebiliriz ki:
1)Bir yükü belirli bir A noktasından B noktasına götürürken yapılan iş izlenen yola bağlı değildir.
2) Birim yükü bir A noktasından daha yüksek potansiyele sahip bir B noktasına götürmek için pozitif bir iş yapmak gerekir. Tersine VA> VB ise bu iş
nega-tiftir.Yani, böyle bir halde yükün hareketi ile dış ortama enerji verilmiş olu-nur.
Bu özelliklerden anlaşıldığı üzere, potansiyel fonksiyonunun bir noktada aldığı değe-rin değil, iki noktada almış olduğu değerledeğe-rin farkının fiziksel bir anlamı ve önemi vardır. Bu bize (2.5a) daki V0 ı istediğimiz seçilde seçmek olanağını veren önemli bir
özelliktir. Ayrıca, sonlu bir bölge içindeki yüklere ilişkin Coulomb potansiyeli son-suzda sıfır olduğundan, böyle bir alana ilişkin Coulomb potansiyelinin, birim yükü sonsuzdan bu noktaya getirinceye kadar yapılmış bulunan işe eşit olduğunu da söy-leyebiliriz.
(2.5a) ve (2.7) denklemlerinden açıkça görülüyor ki; doğrudan doğruya E alanı ile uğraşmak yerine, potansiyel fonksiyonunu araya katmak incelemeleri büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Önceleri Newton alanlarını incelemek için Laplace*
tarafından dü-şünülen bu yöntem, daha sonra Poisson† ve Green‡ tarafından elektromagnetizma-ya uygulanmaya başlandı. Potansiyel için kullanılan pratik birim Volt diye adlandırı-lır. 2.3.1 Örnek (elektrik dipol)
Oz ekseni üzerinde (0,0,d/2) ve (0,0,-d/2) noktalarında, sırasıyla, Q ve (-Q) değerinde iki yük bulunsun (Bk.Şekil-2.3).Böyle bir sisteme dipol adı verilir.Eğer Qd = p = sabit kalacak şekilde d 0 ve Q yapılırsa, ortaya çıkacak limit sistem noktasal dipol adını alır. Burada sözü edilen ve C.m boyutuna sahip bulunan p ye dipolün momenti denir. Bazan, yüklerin Oz ekseni üzerinde bulunduklarını belirtmek amacıyla, p = pez yazılarak bir p vektörü tanımlanır ve buna da noktasal
* P. S. Laplace, Mém. Acad. 1785, p:113. †
S. D. Poisson; Sur la distribution de l’électricité à la surface des corps conducteurs. Mém. de l’Institut 1 (1811), pp: 1-274.
‡ G. Green; An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Şekil-2.3
dipolün momenti adı verilir.Dipolün yarattığı Coulomb potansiyeli, tanım uyarınca,
V(x,y,z) = 0 4 Q [R1 1 - 2 R 1 ] den ibarettir.Burada R1 = r2(d/2)2- rdcosθ, R2 = r2(d/2)2rdcosθ
konmuştur (bk.Şek.-2.3).d0 olurken R1R2 r olduğundan, V(x,y,z) nin limit
değeri V(x,y,z) 0 4 Q 2z ( 2rzcos -2 z 2 1 r )z = 0 2 d = 0 4 p r2 cos
ye eşit olur.Buradan da, hemen
E = gradV = -r V er - r 1 θ V e- rsin 1 V e = 3 r 0 4π p [2cos er + sin e] bulunur. Problemler
Pr.-1.Sonlu bir bölgesi içinde yoğunluğu ile dağılmış bulunan yüklerin yarattığı Coulomb potansiyeli V olsun ve nın içindeki (veya yakınındaki) bir orijinden itibaren ölçülen uzaklık r ile gösterilsin. V nin (ve E nin) r için geçerli asimptotik ifadelerine söz konusu yüklerin uzak alanı adı verilir. Uzak alanda,
V r 4 1 0
d , E 2 0r 4 1
d er, (r ) olduğunu gösteriniz. Q - Q O z P e er r d/2 -d/2 R1 R2Pr.-2.V = sabit yüzeyi üzerinde gradV nin yüzeye dik olduğunu ve gradV yönünde V nin en büyük artışı kazandığını ispat ediniz (Bak. Ek .****).
Pr.-3.Bir elektrostatik alanda alan çizgilerinin kendi kendilerini kesemeyeceklerini, pozitif yüklü kaynaklardan çıkıp negatif yüklü kaynaklara doğru uzayacaklarını gösteriniz.
Pr.4. z = 0 ve z = d düzlemleri, sırasıyla, V = 0 ve V = V0 potansiyellerine sahiptirler
ve bu düzlemler arasındaki bölgede yük yoktur. Bu bölgede
V = d V0 z, E = -d V0 ez olduğunu gösteriniz.
Pr.-5.Aynı eksenli, a ve b yarıçaplı, sonsuz uzun iki silindir arasındaki bölgede kay-nak yoktur ve bu silindirler üzerinde potansiyel sabit Va ve Vb değerlerine
sa-hiptir. Potansiyel fonksiyonun açık ifadesini yazınız.Alan şiddetinin bir iletken-den diğerine nasıl değiştiğini gösteren eğriyi çiziniz.
Pr.-6.Yukarıdaki problemi iç içe iki küre için çözünüz.
Pr.-7.Bir elektrostatik alanda, potansiyeli V1 olan bir noktaya sıfıra eşit bir ilk hızla
bırakılan bir noktasal q yükünün, potansiyeli V2 olan bir noktaya eriştiğinde
v = 2 -2 0 2 1 1 c m ) q(V -1 V
ile verilen bir hıza sahip olacağını gösteriniz. v2/c2<<1 iken v nin yaklaşık bir ifadesini bulunuz.
Pr.-8.1(x,y,z) yük dağılımının neden olduğu potansiyel V1(x,y,z), 2(x,y,z)
dağılı-mının neden olduğu potansiyel de V2(x,y,z), olsun.
1V2d =
2V1dolduğunu gösteriniz (Gauss özdeşliği)*
. Pr.-9.Bir elektrostatik alanda
E = A 3 r cosθ er + B 3 r sin θ e
olduğu gözlenmiştir (A,B = sabit).
* Bu özdeşlik, uzayın boşluktan ibaret olmadığı, basit bir malzeme ile dolu olduğu halde de
geçerli-dir ve, özellikle, iletken cisimler üzerinde birikecek yükleri hesaplamakta yararlı olur (Bk.Böl.2.7, pr.-12, 13).
Va
Vb
a b
a) A ile B arasındaki ilişkiyi bulunuz. b) Potansiyel fonksiyonunu belirleyiniz.
Pr.-10.a yarıçaplı küre yüzeyi üzerinde düzgün yayılı bir Q yükü vardır.
a) Potansiyelin integral ifadesini açıkça yazınız ve bu integrali hesaplayarak potansiyeli bulunuz.
b) E nin açık ifadesini bulunuz.
c) V ve E nin r ile değişimini gösteren eğrileri çiziniz.
2.4 Gauss ve Poisson Denklemleri
Orijine yerleştirilmiş noktasal q yükünün yarattığı
E = 0 4 q r2 1 er = -0 4 q grad (r 1 ) (2.9a)
alanının kapalı bir S yüzeyinden dışa doğru geçirdiği akıyı gözönüne alalım. Eğer S yüzeyi orijini kuşatmıyorsa, S in içinde kalan kapalı bölgede (1/r) = 0 olduğundan, Gauss-Ostrogradski teoremi uyarınca, D = 0E olmak üzere,
S D.dS = - 4 q
S grad( r 1 ).dS = - 4 q
( r 1 )d = 0 (2.9b)dır. Aksine, S yüzeyi orijini kuşatıyorsa, (1/r) in orijindeki tekilliği nedeniyle sonuç sıfırdan farklıdır. Böyle bir halde akının değeri, biraz önce sözü edilen Gauss-Ostrog-radski teoremi uyarınca, S in içinde kalan herhangi bir SR küresinden geçen akıya
eşittir (Bakınız Şekil-2.4). Bu özellik bize akının değerini kolayca hesaplamak olana-ğını verir. Gerçekten, SR üzerinde
r = R, dS = dSer ve, dolayısıyla,
S D.dS =
R S D.dS = 2 R 4π q
R S dS = q (2.9c) dir. Şekil-2.4 S SR R n n O y x zŞimdi, uzaya herhangi bir şekilde dağılmış noktasal q1,q2,... yüklerinin yarattığı E
alanını gözönüne alalım (Şekil 2.5). (2.9b) ve (2.9c) yi göz önünde bulundurarak,
S
D.dS = (S içindeki yüklerin toplamı) (2.9d)
yazarız. Bunu yazarken yüklerden hiç birinin S üzerinde bulunmadığını düşünü-yoruz. Eğer E yi yaratan kaynaklar bütün uzaya yoğunluğu ile yayılmış ise, (2.9d) nin yerini
S D.dS =
d (2.9e)alacaktır. Burada ile S nin içindeki bölge gösterilmiştir.
Şekil-2.5 (2.9e) bağıntısı Gauss*
eşitliği olarak tanınır. Bazı simetrik alanları bu eşitlikten yararlanarak kolayca hesaplamak olanağı vardır (Bakınız Pr.-1).
Gauss-Ostrogradski teoremini uygulayarak (2.9e) yi
divDd =
d
şeklinde yazalım. Bu eşitlik her hacmi için geçerli olduğundan,
divD = (2.10a) veya
V = - /0 (2.10b)
olmak zorundadır. Poisson† denklemi olarak bilinen bu son denklem elektrostatiğin temel denklemidir (yüklerin dışında (2.10b) ile (2.7) nin aynı olduğu açıkça görülü-yor). İleride, Bölüm 2.7 de ayrıntılı bir şekilde göreceğimiz gibi, elektrostatiğin esas problemi bu denklemi bazı sınır koşulları altında çözmekten ibarettir. Sözü edilen sınır koşulları, uzayda bulunan değişik cisimlerin yüzeyinde gerçeklenmesi zorunlu olan koşullar olup onuncu varsayımın sonucu olarak ortaya çıkarlar. Bölüm 5 de
* Carl Friedrich Gauss (Braunschweig 1777-Göttingen 1855). † Denis Poisson (Pithiviers 1781-Paris 1840).
S n q2 q1 q3 q4
niş bir şekilde inceleyeceğimiz bu husus, Bölüm 2.7 de, sadece elektrostatik yönün-den ele alacağız.
Uyarı. (2.9d) bağıntısı S yüzeyi üzerinde yük bulunmadığı düşünülerek çıkarıl-mıştır. Eğer S üzerinde yük varsa bu formülü olduğu gibi kullanmak doğru değildir. Çünkü, herşeyden önce, bu yükün bulunduğu noktada alan sınırsız büyük değer alacağından integralin anlamı kaybolacaktır (veya, değişecektir!). Böyle bir halde or-taya çıkacak olan durumu kavramak için, bir tek noktasal q yükünün söz konusu ol-duğunu ve bunun S üzerinde, belirli bir teğet düzleme sahip olan bir A noktasında bulunduğunu düşünelim. Bu durumda, A merkezli ve yarıçaplı çok küçük bir küre daha gözönüne alalım. S nin küre içinde bulunan parçası S’, kürenin S dışında kalan parçası da Sk olsun (Bakınız Şekil-2.6). (2.9c) uyarınca
S' -S D.dS +
k S D.dS = qdir. Şimdi, 0 yapalım. Limitte S-S’S olur ve sol yandaki ilk terim S üzerindeki akının Cauchy*
asal değeri adını alır. Bunu, integral işareti ozerine bir çizgi koyarak belirteceğiz. Öte yandan, A noktasında S nin belirli bir teğet düzlemi olduğundan,
0 olurken S’ bir düzlem parçasına, Sk da yarım küreye yaklaşır. Bu, Sk üzerindeki
integralin limitinin (2.9c) dekinin yarısı olduğunu gösterir. Yani,
S D.dS = 2 q dir. Şekil-2.6Yukarıdaki sonuç bir çok yükün bulunduğu hale genişletilirse,
k S D.dS = Qiç + 2 1 Qyüzeyyazılır. Buradaki Qiç ve Qyüzey, sırasıyla, S in içindeki ve üzerindeki yüklerin toplamı-
nı göstermektedir.
*
Augustin Cauchy (Paris 1789-Sceaux 1857). __ n Sk n S’ S-S’ A
__Problemler
Pr.-1.Bölüm 1.4 Pr.-1-2 ve Bölüm 2.1 Pr.-1 i Gauss eşitliğinden yararlanarak çözü-nüz.
Pr.-2.Bölüm 2.3 Pr.-5 i Gauss eşitliğinden yararlanarak çözünüz. İçteki ve dıştaki si-lindirin birim yükseklikteki kısmında bulunan yükü Va ve Vb cinsinden
yazı-nız.
Pr.-3.Bölüm 2.3 Pr.-6 yı Gauss eşitliğinden yararlanarak çözünüz. İçteki küre üzerin-deki yükü Va ve Vb cinsinden yazınız.
Pr.-4. AS noktası S nin bir köşe noktası olsun ve bu noktada bir q yükü bulunsun (aşağıdaki şekle bakınız). Bu halde, Bölüm 2.4 deki uyarıda sözü edilen Cauchy asal değerinin
S
D.dS = q/4 ye eşit olacağını gösteriniz., A da S nin oluşturduğu katı açı (yani, A da S ye teğet olan koninin, A merkezli ve birim yarı çaplı küre üzerinde ayırdığı alan) dır.
2.5 Değişik Türden Yük Dağılımları ve Dirac Distribüsyonu
Yukarıda göz önüne almış bulunduğumuz olaylar hep boşlukta duran yüklerle ilgili olan olaylardı ve (2.3a,b) formülleri ile incelenebilmekteydi. Oysa, içinde yaşadığı-mız uzay boş değildir, değişik fiziksel özelliklere sahip bir çok maddesel cisim içerir. Bu cisimlerin atomsal yapısında bulunan iç yükler de, Bölüm 2.6 da açıklanacağı üzere, ölçülen elektrik alana katkıda bulunurlar. Bu nedenle, sadece, kaynak olarak tanınan yükleri değil, bir takım cisimleri de içeren uzayda elektrostatik olayı (2.3a,b) formülleri ile inceleyebilmek çok zor, hatta çoğu kez olanak dışıdır. Buna karşılık, Bölüm 2.6 da göreceğimiz gibi, (2.3a,b) den çıkarılmış bulunan (2.6) ve (2.10a) ba-ğıntıları söz konusu halde de kolaylıkla kullanılabilecek biçimde genelleştirilmeye elverişlidirler. Çok basit özel hallerin dışında bütün olaylar bu diferansiyel denklem-lerin genelleştirilmiş halleri çözülerek açıklanırlar. Oysa, herhangi bir olayı (2.6) ve (2.10a) denklemlerinden yararlanarak çözebilmek için, her şeyden önce, (2.10a) da gözüken yu açıkça ifade etmek gerekir. Bu, alanı yaratan iç ve dış yüklerin uzay-daki dağılımını gösteren, 3
m
kulon boyutunda bir ifadedir. Oysa, daha karmaşık yapıya sahip yük sistemlerini düşünmeye zorlanmadan, sadece ayrık noktasal yüklere bakarak diyebiliriz ki; yu ifade edebilecek uygun fonksiyonlar bulabilmek her zaman mümkün değildir. Benzer şekilde, hem teorik hem de pratik bakımdan büyük önemi olan yüzeysel ve çizgisel yüklerin veya dipollerin de yoğunluklarını fonksi-yonlarla ifade edemeyiz. Çünkü, yüzeysel yükün yoğunluğu 2
m
kulon , çizgisel yü-künkü ise kulonm dir. Dipol halindeki güçlük daha da büyüktür. Çünkü, dipol, zıt işaretli eşit iki yükün üst üste yerleşmesiyle oluşur. Buna ilişkin yoğunluk,
q S
A __
