Homomorfisma grup pada matriks yang mempunyai balikan

HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN. SKRIPSI. OLEH IKA ROHMAWATI NIM. 09610105. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015.

HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN. SKRIPSI. Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si). Oleh Ika Rohmawati NIM. 09610105. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015.

HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN. SKRIPSI. Oleh Ika Rohmawati NIM. 09610105. Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal 23 Desember 2014. Pembimbing I,. Pembimbing II,. Drs. H. Turmudi, M.Si NIP. 19571005 198203 1 006. Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 1975006 200312 1 001. Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika. Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001.

HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN. SKRIPSI. Oleh Ika Rohmawati NIM. 09610105. Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal 07 Januari 2015. Penguji Utama. : H. Wahyu H. Irawan, M.Pd. ....................................... Ketua Penguji. : Abdul Aziz, M.Si. ....................................... Sekretaris Penguji. : Drs. H. Turmudi, M.Si. ....................................... Anggota Penguji. : Dr. Abdussakir, M.Pd. ....................................... Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika. Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001.

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN. Saya yang bertanda tangan di bawah ini:. Nama. : Ika Rohmawati. NIM. : 09610105. Jurusan. : Matematika. Fakultas. : Sains dan Teknologi. Judul Skripsi. : Homomorfisma. Grup. pada. Matriks. yang. Mempunyai. Kebalikan. menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.. Malang, 12 Januari 2014 Yang membuat pernyataan,. Ika Rohmawati NIM. 09610105.

MOTO. .        “Barangsiapa yang mengerjakan kebaikan seberat biji “dzarrah” niscaya Dia akan melihat (balasan)nya” (Q.S. Al-Zalzalah : 7)”.

PERSEMBAHAN         Dengan iringan do’a serta rasa syukur yang tidak terbatas, karya ini penulis persembahkan kepada:. Ibunda (Toyibatun) dan Ayahanda (Rolis Wijaya) yang senantiasa dengan ikhlas mendoakan, memberikan dukungan, motivasi, dan restunya kepada penulis dalam menuntut ilmu, serta selalu memberikan teladan yang baik bagi penulis..

KATA PENGANTAR. Assalamu’alaikum Wr. Wb Segala puji bagi Allah Swt. Atas rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis mampu menyelesaikan penyusunan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana dalam bidang matematika di Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Dalam proses penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Untuk itu ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya dan penghargaan yang setinggi-setingginya penulis sampaikan terutama kepada: 1.. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 2.. Dr. drh. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 3.. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang dan dosen pembimbing agama.. 4.. Drs. H. Turmudi, M.Si, selaku dosen pembimbing I yang telah banyak memberikan arahan, nasihat, motivasi, dan berbagai pengalaman yang berharga kepada penulis.. 5.. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang terutama seluruh dosen, terima kasih atas segala ilmu dan bimbingannya.. viii.

6.. Ayah dan ibu yang selalu memberikan doa, semangat, seta motivasi kepada penulis sampai saat ini.. 7.. Seluruh teman-teman di Jurusan Matematika angkatan 2009, terutama Rohatul Wardah, Amanatul Husnia, Sukris Tri Handayani, Rita Anis Zulfia, Faza Trinawati, Luvi Dika Widyawati, dan Lina Putri yang berjuang bersama-sama untuk meraih mimpi, terimakasih atas kenangan-kenangan indah yang dirajut bersama dalam menggapai impian.. 8.. Semua pihak yang ikut membantu dalam menyelesaikan skripsi ini baik moril maupun materil. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi penulis dan. pembaca. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Malang, 12 Januari 2015. Penulis. ix.

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR .................................................................................. viii DAFTAR ISI ................................................................................................ x. ABSTRAK ..... ............................................................................................... xii ABSTRACT ..... ............................................................................................. xiii ‫ ملخص‬............................................................................................................... xiv. BAB I. PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6. BAB II. Latar Belakang ........................................................................ Rumusan Masalah .................................................................. Tujuan Penelitian ..................................................................... Manfaat Penelitian ................................................................... Metode Penelitian ................................................................... Sistematika Penulisan .............................................................. 1 4 4 4 5 6. KAJIAN PUSTAKA 2.1 Grup ....................................................................................... 2.1.1 Definisi Grup ................................................................. 2.1.2 Sifat – sifat Grup ........................................................... 2.2 Homomorfisma ....................................................................... 2.3.1 Definisi Homomorfisma ................................................ 2.3.2 Sifat-sifat Homomorfisama ........................................... 2.4 Matriks ..................................................................................... 2.4.1 Definisi Matriks ............................................................. 2.4.2 Macam-macam Matriks ................................................. 2.4.3 Operasi pada Matriks ..................................................... 2.4.4 Invers Matriks ................................................................ 2.5 Kajian Islam Mengenai Grup .................................................. x. 7 8 9 14 14 15 17 17 18 20 22 27.

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Grup matriks GLn  R  ........................................................... 29 3.1.1 Definisi Grup Matriks GLn  R  .................................... 29 3.1.2 Matriks GLn  R  terhadap operasi + adalah grup ......... 30 3.1.3 Matriks GLn  R  terhadap operasi  adalah grup ......... 34 3.1.4 Sifat-sifat Grup Matriks GLn  R  .................................. 40 3.2 Homomorfisma Grup GLn  R  ................................................ 51 3.2.1 Homomorfisma Grup GLn  R  yang didefinisikan.  ( An )  det An ................................................................ 51 3.2.2 Homomorfisma Grup GLn  R  yang didefinisikan.  ( An )  trAn ................................................................... 55 3.2.3 Sifat-sifat Homomorfisma Grup GLn  R  yang didefinisikan  ( An )  det An ........................................... 59 3.3 Inspirasi Al-Qur’an dalam Kajian tentang Grup ..................... 62 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ............................................................................. 69 4.2 Saran ....................................................................................... 69 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 70 RIWAYAT HIDUP ...................................................................................... 71. xi.

ABSTRAK Rohmawati, Ika. 2014. Homomorfisma Grup pada Matriks yang Mempunyai Balikan. Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing:(I) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) Dr. Abdussakir, M.Pd Kata kunci: grup, homomorfisma, matriks yang mempunyai balikan Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Matriks invertibel GLn  R   adalah himpunan matriks bujur sangkar berukuran n  n yang entrinya. merupakan bilangan real  R  dan mempunyai balikan. Grup adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma diantaranya tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memiliki elemen invers. Homomorfisma grup adalah suatu fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam grupnya. Sifat   x  y     x     y  , dinamakan mengawetkan operasi artinya peta hasil operasi x  y  G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu   x     y  . Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keberlakuan sifat-sifat homomorfisma grup pada matriks yang mempunyai balikan. Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh bahwa suatu himpunan matriks invertibel yang entrinya adalah bilangan real yang didefinisikan GLn  R  dengan operasi pertambahan dan perkalian dengan skalar memenuhi 4 aksioma grup yaitu tertutup, asosiatif, mempunyai identitas, dan mempunyai invers. Grup GLn  R  dengan  ∶ GLn  R   R yang didefinisikan An  det An dan  ∶ GLn  R   R yang didefinisikan An  trAn adalah homomorfisma grup dan memenuhi sifat-sifat homomorfisma grup.. xii.

ABSTRACT Rohmawati, Ika. 2015. The Group Homomorphism on Invertible Matrix. Thesis. Department of Mathematics Faculty of Science and Technology of the State Islamic University Maulana Malik Ibrahim of Malang. Advisor: (I) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) Dr. Abdussakir, M.Pd Keywords: group, homomorphism, invertible matrix The matrix is a rectangular-shaped arrangement of numbers, the numbers in the array are called members in the matrix. Invertible matrix (𝐺𝐿𝑛 (ℝ))is the set of squares matrix whose entries are real (𝑅)numbers and has an inverse. A group is a non empty set equipped with a binary operation that satisfies some axioms there are closed, associative, has the identity element, and has a group invers. Group homomorphism is a function that preserves tho operation in the group. The property of 𝜙(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝜙(𝑥)∎𝜙(𝑦) is called preserving operation, that is the resultions wap of 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) is equal to its map operaton in it, that is 𝜙(𝑥)∎𝜙(𝑦). This study aims to determine the validity of the properties of the group homomorphism on invertible matrix. Based on the results of the discussion, we obtain that A set invertible matrix whose entries are real numbers defined 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) with addition operation and scalar multiplication satisfy the four axioms of group that is closed, associative, has an identity, and has an inverse. Groups 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) with 𝜙: 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) → ℝ defined 𝐴𝑛 → 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑛 and 𝜙: 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) → ℝ defined by 𝐴𝑛 → 𝑡𝑟𝐴𝑛 is a group homomorphism and meet the properties of a group homomorphism.. xiii.

‫امللخص‬ ‫رمهوت‪ ،‬إيكا‪ .‬لديها مهمرسم ‪ .‬اجملموعة ىف املصفوفة العكسية‪ .‬حبث جا معى الشعبت‪ .‬قسم‬ ‫الرياضيات كلية العلوم والتكنولوجيا جلامعة اإلسالمية ا لعكو ميت موالنا مالك إبراهيم ماالنج‪.‬‬ ‫مستشار‪)1( :‬الدكاترة هج ترمد ‪ ,‬مسئ (‪ )II‬الدكتور ابدسسكر مفد‬ ‫كلمات البحث‪ :‬جمموعة ممرفسم‪ ،‬مصفوفة عكسيت‬ ‫املصفوفة هو ترتيب مستطيلة الشكل من األرقام‪ ،‬وتسمى األرقام يف جمموعة أعضاء يف‬ ‫املصفوفة‪ .‬انفرتبل املصفوفة هي جمموعة من املربعات املصفوفة اليت مداخل هي أرقام حقيقية وهلا‬ ‫العكس‪.‬‬ ‫الز حرهي جصمو عث غري فا رغ الىت جمهزة بعما ليت ثنا ئىت و فاء الربيهيم منها‬ ‫مغلقة‪ ،‬النقايب‪ ،‬لديه عنصر اهلوية‪ ،‬وحيتوي على عنصر معكوس‪ .‬تشاكل الزمر هي دالىت اليت‬ ‫حافظت على طبيعة العملية يف اجملموعة‪ .‬طبيعة‪ ،‬وامسه احلفاظ على العملية تعين النتائج خريطة‬ ‫جنبا إىل جنب مع نتائج عملية جراحة اخلرائط يف ه‪.‬‬ ‫هتدف هذه الدراسة إىل حتديد صالحية خصائص تشاكل الزمر لديها مصفوفة عكسية‪.‬‬ ‫وبناء على نتائج املناقشة‪ ،‬وجدت أ جمموعة مصفوفة العكسيىت اليت إدخاالت هي األعداد‬ ‫احلقيقية اليت حددهتا عملية الزيادة العددية والضرب تلبية جمموعة أربعة البديهيات مغلقة‪ ،‬النقايب‪ ،‬له‬ ‫هوية‪ ،‬وهلا ردود الفعل‪.‬‬ ‫الزحر مع تعريفها وحتديدها هو تشاكل الزمر والوفاء خصائص تشاكل الزمر‪.‬‬. ‫‪xiv‬‬.

15.

BAB I PENDAHULUAN. 1.1. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari sering diajarkan tentang betapa pentingnya. mencari ilmu, baik ilmu agama maupun ilmu umum, karena pada dasarnya semua ilmu di dunia ini adalah ilmu Allah Swt. Salah satu ayat yang menjelaskan tentang pentingnya mencari ilmu adalah Q.S. al-Mujadalah ayat 11:                                  “Hai orang-orang beriman apabila kamu dikatakan kepadamu: ‘Berlapanglapanglah dalam majlis’, Maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan untukmu dan apabila dikatakan: ‘Berdirilah kamu’, Maka berdirilah, niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. dan Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan” (QS. Al-Mujadalah/58:11) Dalam ayat tersebut dijelaskan bahwa ketika seseorang disuruh melapangkan majelis yang berarti melapangkan hati, bahkan jika disuruh berdiri sekalipun lalu memberikan tempatnya kepada orang yang patut didudukkan di muka janganlah dia berkecil hati. Melainkan hendaklah dia berlapang dada karena orang yang berlapang dada itulah kelak yang akan diangkat imannya dan ilmunya oleh Allah Swt. sehingga derajatnya bertambah naik. Orang yang patuh dan sudi memberikan tempat kepada orang lain itulah yang akan bertambah ilmunya. Salain itu ada orang yang diangkat Allah Swt. derajatnya lebih tinggi dari pada orang kebanyakan, pertama karena imannya, kedua karena ilmunya. Setiap hari kita dapat melihat pada raut rnuka, pada wajah, pada sinar mata orang yang 1.

2 beriman dan berilmu. Dengan kata lain, betapa ilmu bisa mengangkat derajat manusia di hadapan Allah Swt dan di hadapan manusia lainya. Baik itu ilmu agama atau ilmu sains pada hakikatnya semua ilmu adalah ilmu Allah Swt. Aljabar adalah salah satu ilmu yang paling tua dari semua cabang matematika. Sejarahnya adalah sepanjang sejarah dari peradapan. Barang kali lebih panjang. Sejarawan yang terkenal tentang matematika B. L. Van der Waerden percaya ada suatu peradapan yang mendahului. peradapan dari. mesopotamia, mesir, china, dan india dan bahwa peradapan itu adalah sumber akar dari konsep matematika yang paling awal (Tabak, 2004:xi). Sebagai cabang matematika seperti halnya teori bilangan, geometri, maupun matematika terapan lainnya, aljabar merupakan salah satu bidang matematika yang mempunyai banyak sekali materi yang dapat dibahas, diantaranya adalah bilangan, himpunan, operasi himpunan, grup, latis, dan sebagainya. Salah satu sistem aljabar yang paling sederhana adalah grup. Grup didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma, diantaranya tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memiliki elemen invers. Apabila salah satu aksioma tidak terpenuhi maka bukan grup. Sistem aljabar (G, ) dengan himpunan tidak kosong di G dan operasi biner  , didefinisikan di G adalah grupoid. Grupoid juga disebut semigrup jika operasi biner  di G adalah asosiatif. Sedangkan semigrup yang mempunyai elemen identitas di G disebut monoid (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:32). Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks, ukuran (size).

3 suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal) yang biasanya digunakan dengan simbol M nm untuk matriks M dengan n baris dan m kolom (Anton dan Rorres, 2004:26 ). Jika diberikan matriks persegi. Ann maka matriks Bnn yang memenuhi kondisi AB  I dan BA  I disebut invers dari A dan dilambangkan dengan B  A1 . Tidak semua matriks persegi mempunyai invers. Matriks nol adalah contoh sederhana tetapi banyak juga matriks tak nol yang tidak mempunyai invers. Matriks yang mempunyai invers dikatakan nonsingular, dan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular (Meyer, 2000:115 ). Homomorfisma grup yaitu salah satu jenis fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam grupnya.. Sifat.   x  y    x   y ,. dinamakan mengawetkan operasi artinya peta hasil operasi x  y  G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu   x    y  (Cholily, 2013:3). Novi Rustiana Dewi (2011) telah membahas mengenai kajian struktur aljabar grup pada matriks yang invertibel. Pada penelitian tesebut telah dibuktikan bahwa matriks yang mempunyai invers memenuhi sifat-sifat grup di antaranya tertutup, asosiatif, mempunyai identitas dan ada invers terhadap operasi pertama. Pada jurnal tersebut hanya meneliti tentang keberlakuan grup terhadap matriks yang mempunyai balikan. Sehingga penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian tersebut dengan perluasan dari sifat-sifat grup, yaitu homomorfisme grup yang akan dikenakan pada matriks yang mempunyai balikan..

4 Dari latar belakang di atas maka penulis akan mengkaji dan meneliti dengan judul “Homomorfisma Grup pada Himpunan Matriks yang Mempunyai Balikan”.. 1.2. Rumusan Masalah Rumusan skripsi. ini. adalah. bagaimana. keberlakuan. sifat-sifat. homomorfisma grup pada himpunan matriks yang mempunyai balikan?. 1.3. Tujuan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui keberlakuan sifatsifat homomorfisma grup pada himpunan matriks yang mempunyai balikan.. 1.4. Manfaat Penelitian Dari penulisan skripsi ini diharapkan dapat bermanfaat bagi 1.. Penulis Penelitian ini digunakan untuk menambah pemahaman tentang konsepsi yang ada dalam matematika khususnya struktur aljabar dan sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman penguasaan penulis tentang grup, homomorfisma grup, matriks, dan matriks mempunyai balikan.. 2.. Pembaca Sebagai tambahan literatur bagi mahasiswa khususnya yang sedang menempuh mata kuliah struktur aljabar..

5 1.5.Metode Penelitian 1.5.1. Pendekatan Penelitian Dalam penelitian ini menggunakan pendekatan library research, dimana. dalam pendekatan library research ini dikaji secara literatur yang diambil dari buku pustaka dan artikel ilmiah yang diunduh dari sumber internet. 1.5.2. Langkah-langkah Penelitian Untuk menyelesaikan penelitian dalam skripsi ini, penulis membuat. langkah-langkah dalam keberlakuan syarat-syarat homomorfisma grup. pada. matriks yang mempunyai balikan sebagai berikut: 1. Grup matriks GLn  R  -. Mendefinisikan GLn  R . -. Menunjukkan GLn  R  adalah grup. -. Menjelaskan sifat-sifat grup pada GLn  R . 2. Homomorfisma dari GLn  R   R -.  ∶ GLn  R   R yang di definisikan   An   det An , An  GLn  R . -.  ∶ GLn  R   R yang di definisikan   An   trAn , An  GLn  R . 3. Sifat-sifat Homomorfisma dari GLn  R   R -.  ∶ GLn  R   R yang di definisikan   An   det An , An  GLn  R . -.  ∶ GLn  R   R yang di definisikan   An   trAn ,, An  GLn  R . 4. Membuat kesimpulan..

6 1.6.Sistematika Penulisan Untuk lebih mudah memahami penulisan ini secara keseluruhan isinya, maka penulis memberikan gambaran umum tentang sistematika penulisan sebagai berikut: Bab I. Pendahuluan Pada bab pertama ini dibahas tentang latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.. Bab II. Kajian Pustaka Pada bab kedua ini akan dibahas beberapa teori yang ada kaitannya dengan hal-hal yang penulis bahas.. Bab III Pembahasan Pada bab ketiga ini dibahas tentang pembuktian dari beberapa teorema homomorfisma grup pada matriks yang mempunyai balikan. Bab IV Penutup Pada bab keempat ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan berdasarkan rumusan masalah dan saran yang berkaitan dengan penulisan. Saran ini diharapkan dapat memberikan masukan yang positif untuk dikembangkan..

7.

BAB II KAJIAN PUSTAKA. 2.1 Grup 2.1.1. Definisi Grup Grup merupakan salah satu pokok bahasan yang terdapat dalam. matematika aljabar. Grup membahas tentang himpunan tak kosong yang dikenai operasi biner dan memenuhi aksioma asosiatif, mempunyai identitas terhadap operasi biner, dan mempunyai invers. Jadi sebelum membahas lebih jauh tentang grup, maka perlu diketahui dahulu pembahasan mengenai operasi biner. Operasi biner didefinisikan sebagai berikut Definisi 1 (Dummit dan Foote, 1980:17) 1.. Operasi biner  pada himpunan G merupakan sebuah fungsi  : G  G  G dan untuk setiap a, b  G berlaku (a, b)  a  b .. 2.. Operasi biner  pada G dikatakan assosiatif jika setiap a, b, c  G maka. a  b  c    a  b   c . 3.. Elemen a dan b dari G dikatakan komutatif jika a  b  b  a .. Contoh 1.. Operasi penjumlahan    dan perkalian   merupakan operasi biner yang komutatif pada himpunan bilangan bulat.  ,. himpunan bilangan real. kompleks.  ,.  .. 7.  ,. himpunan bilangan rasional. maupun pada himpunan bilangan.

8 2.. Operasi pengurangan. . merupakan operasi biner yang tidak komutatif. pada himpunan bilangan bulat.  . karena untuk setiap a, b . pada saat. a  b berlaku a  b  b  a. 3.. Operasi pengurangan    merupakan operasi yang tidak biner di jika a  b maka a  b . . untuk setiap a, b  . fungsi yang tidak memetakan. . . ke. . . artinya. . . karena. merupakan. .. Adapun definisi dari grup adalah sebagai berikut: Definisi 2 (Dummit dan Foote, 1980:17) 1.. Grup adalah pasangan terurut.  G, . dimana G adalah himpunan tidak. kosong dan  adalah operasi biner di G yang memenuhi beberapa aksioma. i..  a  b   c  a  b  c . untuk semua a, b, c  G (operasi  adalah. asosiatif). ii.. Ada elemen e di G sedemikian hingga a  e  e  a  a untuk semua a G .. iii.. Untuk setiap a  G ada elemen a 1 dari G sedemikian sehingga. a  a1  a 1  a  e ( a 1 dinamakan invers dari a ) 2.. Grup  G,  disebut abelian atau komutatif jika a  b  b  a untuk setiap. a, b  G . Contoh Himpunan bilangan bulat. merupakan grup terhadap operasi + karena:.

9 1.. Operasi + memenuhi syarat operasi biner di yang memetakan. . karena + merupakan fungsi. artinya a, b  maka a  b . ke. atau bersifat. tertutup. 2.. Operasi + bersifat assosiatif di. , karena untuk setiap a, b, c . berlaku. a  b  c    a  b   c . mempunyai elemen identitas pada operasi  yaitu 0, karena untuk setiap. 3.. a. 4.. berlaku 0  a  a  0  a .. Setiap elemen identitas di karena untuk setiap a . 2.1.2. mempunyai invers yaitu a. dimana a . berlaku a  a  a  a  0. Sifat – Sifat Grup. Teorema 1 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75) Elemen identitas dalam suatu grup adalah tunggal. Bukti Misal  G,  adalah grup Andaikan e dan e ' adalah elemen identitas di G dan  e  e ' , maka berlaku: (i) e  e '  e ' e  e '. ………….. e sebagai elemen identitas. (ii) e ' e  e  e '  e. ………….. e ' sebagai elemen identitas. Dari (i) dan (ii) berakibat e  e ' e '  e  e '  e ' e  e e'  e. Jadi, elemen identitas di G adalah tunggal. Teorema 2 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75) Invers dari invers suatu elemen di grup adalah elemen itu sendiri..

10 Bukti Akan dibuktikan  a 1   a 1. a  G maka a 1  G , sehingga. Ambil. a  a 1  a 1  a  I. ( I = elemen. identitas) (i) a  a 1  I. a  a a . 1 1. 1.  I   a 1 . 1. ……….. (Dioperasikan dengan. a . 1 1. di. sebelah kanan). . a  a 1   a 1 . a  I   a 1  a   a 1 . 1.   a. . 1 1. ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif). 1. ……….. (Sifat ketiga dari grup). 1. ……….. (Sifat keempat dari grup). juga, (ii) a 1  a  I. a  a 1 1. 1.  a    a 1   I 1. ……….. (Dioperasikan dengan. a . 1 1. sebelah kiri).  a. . 1 1. .  a 1  a   a 1 . I  a   a 1  a   a 1 . 1. ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif). 1. ……….. (Sifat ketiga dari gup). 1. Dari (i) dan (ii), maka a   a 1 . ……….. (Sifat keempat dari grup) 1. Teorema 3 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:76) Dalil kanselasi dipertahankan atau berlaku pada suatu grup.. di.

11 Bukti Akan ditunjukkan bahwa pada grup berlaku dalil kanselasi kiri maupun kanan. Misal  G,  adalah grup, dan a, b, c G berlaku: (i) b  a  c  a , maka b  c. ………. kanselasi kanan. (ii) a  b  a  c , maka b  c. ……….. kanselasi kiri. Selanjutnya a  G , maka a 1  G (i). b a  c a. b  a   a1   c  a   a1. ………... (Dioperasikan. dengan. a 1. di. sebelah kanan). (ii). b   a  a 1   c   a  a 1 . ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif). b I  c I. ……….. (Sifat keempat dari grup). bc. ……….. (Sifat ketiga dari grup). ab  ac. a 1   a  b   a 1   a  c . ………... (Dioperasikan. dengan. a 1. sebelah kiri). a. 1.  a   b   a 1  a   c. ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif). I b  I c. ……….. (Sifat keempat dari grup). bc. ……….. (Sifat ketiga dari grup). Jadi dalil kanselasi berlaku pada sebarang grup. di.

12 Teorema 4 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:76) Balikan dari hasil operasi dua elemen di grup adalah hasil operasi balikan elemen kedua dan pertama. Bukti.  a  b. 1.  b1  a 1. Untuk setiap a, b  G , maka ada a 1  G dan b1  G (setiap elemen punya.  a  b. invers). a, b  G maka a  b  G , begitu pula ada.  a  b   a  b. 1. 1.  G . Sehingga,.  I dan  a  b    a  b   I 1.  a  b   b1  a1  a  b  b1   a 1.  a  b. 1. ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif).  a  I  a 1. ……….. (Sifat keempat dari grup).  a  a 1. ……….. (Sifat ketiga dari grup). I. ……….. (Sifat keempat dari grup).   a  b   b1  (a 1  a)  b ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif).  b1  I  b. ……….. (Sifat keempat dari grup).  b1  b. ……….. (Sifat ketiga dari grup). I. ……….. (Sifat keempat dari grup). Diperoleh  a  b    a  b    a  b   b1  a 1 dan 1.  a  b. 1.   a  b   (b1  a 1 )  (a  b). Kanselasi kiri dan kana berlaku pada grup maka  a  b   b1  a 1 . 1. Teorema 5 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:78) G dengan operasi biner dengan susunan merupakan perkalian i.. Susunan itu adalah asosiatif.

13 ii. Untuk setiap a, b  G dengan persamaan a  x  b dan y  a  b mempunyai penyelesaian tunggal. Bukti Pertama kita akan menunjukkan bahwa a  x  b memiliki selesaian. a, b  G. maka ada. a 1  G. dan a 1  b  G (karena G bersifat tertutup. terhadap operasi  ). Selanjutnya,. a x  b. a 1   a  x   a 1  b. ………..(Dioperasikan dengan a 1 di sebelah kanan). a. 1.  a   x  a 1  b. ……….. (Operasi  bersifat Asosiatif). I  x  a 1  b. ………..(Sifat keempat dari grup). x  a 1  b. ……….. (Sifat ketiga dari grup). untuk mengecek a 1  b adalah selesaian dari a  x  b , maka kita substitusikan yaitu a  x  b. a  (a 1  b)  b. ……….. (Subtitusi dari x  a 1  b ). a  a b  b. ……….. (Sifat Asosiatif dari grup ). I b  b. ……….. (Sifat keempat dari grup ). bb. ……….. (Sifat ketiga dari grup ). 1. Kedua, penulis akan menunjukkan bahwa selesaian tersebut adalah tunggal. Andaikan a  x  b memiliki selesaian tidak tunggal yaitu x1 dan x2 dengan. x1  x2 ..

14 Selanjutnya a  x1  b dan a  x2  b Diperoleh a  x1  a  x2. x1  x2 Ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi a  x  b memiliki selesaian tunggal. Selanjutnya untuk menujukkan bahwa y  a  b memiliki selesaian tunggal adalah analog dengan cara di atas.. 2.2. Homomorfisma. 2.2.1. Definisi Homomorfisma. Definisi 3 (Dummit dan Foote, 1980:35) Misal (G, ) dan ( H , ) merupakan dua buah grup. Sebuah fungsi.  : G  H disebut homomorfisma jika berlaku   x  y     x    y  , untuk setiap x, y  G . Contoh Misal. . . , adalah grup bilangan real dan x . serta grup bilangan bulat. , . Didefinisikan suatu fungsi. : . dengan   x   2 x. Setiap fungsi x  . Fungsi  ini merupakan homomorfisma karena setiap x, y di. berlaku.   x  y   2x y  2x  2 y    x     y .

15 2.2.2. Sifat-sifat Homomorfisma. Teorema 5 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:255) Misalkan (G, ) dan (G , ) dua buah grup dan  : G  G adalah homomorfisma. Hal berikut ini benar. a. Pemetaan elemen identitas pada G adalah elemen identitas pada G  b. Pemetaan invers setiap elemen g dari G adalah invers bayangan dari g. c. Jika a merupakan sembarang elemen berhingga pada G maka hasil pemetaan a juga berhingga dan merupakan pembagi dari a Bukti a.. Ambil iG = identitas G. iG = identitas G  Adib   iG   iG Jawab.  :G  H i.. gI  g.  (g  I )   ( g ).  ( g )  ( IG )   ( g ).  ( IG )  IG. . ii. I  g  g.  (I  g )   ( g ).  ( IG )   ( g )   ( g ).

16.  ( IG )  IG. . Dari (i) dan (ii) maka operasi identitas  ( IG )  IG b.. Ambil g  G Akan dibuktikan   g 1     g  . 1. Jawab.  :G  H i.. g  g 1  iG.   g  g 1     iG   iH   g    g 1   iH.   g 1     g   ii.. 1. g 1  g  iG.   g 1  g     iG   iH   g 1    g   iH.   g 1     g  . 1. Dari (i) dan (ii) diperoleh   g 1     g   c.. Ambil g  G, m  1, 2,3,..., n. I G  elemen identitas di G Didefinisikan g m  I G Akan dibuktikan   g      I G  m. 1.

17 Jawab g m  IG    g m     IG .      g  g  ...  g     I G    m  .    g     g   ...    g     I G  m.    g      I G  m. 2.3. Matriks 2.3.1 Definisi Matriks Definisi 4 (Anton, 2000:45) Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilanganbilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Contoh :  a11   a21 a  31. a12   a22  ,  a11 a32 . a12. a  a13  ,  11   a21 . Definisi 5 (Baker, 2006:1) Diberikan M n,n  R  adalah himpunan matriks bujur sangkar. n  n yang. entrinya merupakan bilangan real  R  . Selanjutnya dinotasikan matriks M n,n  R   a11  dengan A  (aij )   a  n1. a1n    , dimana A adalah matriks bujur sangkar n  n . ann .

18. M n,n  R  dapat disimbulkan dengan M n  R  yaitu merupakan suatu ruang vektor- R dengan operasi matriks penjumlahan dan perkalian dengan skalar. 2.4.2. Macam-macam Matriks. Definisi 6 (Supranto, 2003:8). Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n), maka matriks A disebut matriks segi empat. Contoh :.  3 5    2 3 Definisi 7 (Supranto, 2003:8) Matriks identitas adalah suatu matriks dimana elemen–elemen mempunyai nilai 1 pada diagonal pokok dan 0 pada tempat–tempat lain di luar diagonal pokok. Jadi kalau matriks A  (aij ), i  j  1, 2,..., n dan. aij  1 untuk i  j. aij  0 untuk i  j maka matriks A disebut matriks identitas dan biasanya diberi simbol I n Contoh : n = 2,. 1 0 In    0 1 Definisi 8 (Supranto, 2003:9).

19 Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen di luar diagonal pokok mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok tidak 0, biasanya diberi simbol D. Contoh : 1 0 0   D  0 2 0 0 0 5  . Definisi 9 (Supranto, 2003:10) Skalar adalah suatu bilangan konstan. Kalau k, suatu bilangan konstan, maka hasil kali kI dinamakan matriks skalar. Contoh : 1 0 0  k 0 0     k .I 3  k  0 1 0    0 k 0  0 0 1  0 0 k     . Definisi 10 (Supranto, 2003:10) Apabila A  (aij ); ij  1, 2,..., n dan aij  a ji , maka A disebut matriks simetris (symmetric matrix). Contoh : 2 4 6   A   4 5 2  , a12  a21 , a13  a31 , a23  a32  6 2 3  . Definisi 11 (Supranto, 2003:11) Matriks null adalah suatu matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai 0 (null), biasanya diberi simbol 0 dibaca matriks nol. .

20 Contoh : 0 0 0   0 = 0 0 0 0 0 0  . 2.4.3. Operasi pada Matriks Untuk dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan pada matriks A. dan B, kedua matriks tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama atau dimensinya sama. Definisi 12 (Anton, 2000:47) Jika A dan B adalah matriks-matriks dengn ukuran yang sama, maka jumlah (sum) A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entrientri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B dan selisih (difference) A  B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada A. dengan entri-entri yang bersesuaian ada B. Matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, jika A   aij  dan B  bij  memiliki ukuran yang sama, maka.  A  B mn  Amn  Bmn  aij  bij . dan.  A  B mn  Amn  Bmn.   aij  bij  , untuk i  1, 2,3,..., m dan j  1, 2,3,..., n .. Contoh : a A   11  a21. a12   b11 b12   c11  , B   ,c    a22   b21 b22   c21 . Maka  (a  b)11 (a  b)12   (a  b)11 (a  b)12  A B    dan A  B     (a  b)21 (a  b)22   (a  b)21 (a  b)22 .

21 a A  C   11  a21. a12   c11   a11  c11     a22   a21   a21  c21. a12  ...   a22  ... . Untuk A + C, B + C, A – C, dan B – C tidak terdefinisi. Definisi 13 (Anton, 2000:48) Jika A adalah matriks sembarang dan c adalah skalar sebarang, maka hasil kalinya (product) cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A dengan blangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar (scalar mutiple) dari A. Dalam notasi matriks, jika A   aij  dan cA  A  A  ...  A , maka.  cAmn  cAmn  caij . untuk i  1, 2,3,..., m dan j  1, 2,3,..., n .. i  1, 2,3,..., m dan j  1, 2,3,..., n . cA  A  A  ...  A. Contoh : a A   11  a21. a12   b11 b12   c11 c12  , B   ,c    a22   b21 b22   c21 c22 . Didapatkan.  2a 2 A   11  2a21. 2a12   b11  , (1) B   2a22   b21. 1  2 c11 b12  1 , c   b22  2 1c  21 2. 1  c12 2   1  c22  2 . Definisi 14 (Anton, 2000:49) Jika A adalah sebuah matriks m  r dan B adalah sebuah matriks r  n , maka hasil kali AB adalah matriks m  n yang anggota-anggotnya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari AB, pilih baris I dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan anggota-anggota yang.

22 berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasilnya. Contoh a A   11  a21. a12   b11 b12 , B   a22   b21 b22. b13   b23 . Karena A adalah matriks 2  3 dan B adalah matriks 3  4 , maka hasil kali AB adalah sebuah matriks 2  4 . Misalnya, untuk menentukan anggota pada baris ke 2 dan kolom 3 dari AB, dipilih baris 2 dari A kolom 3 baris B. Selanjutnya, sebagai mana yang diilustrasikan di bawah ini, kalikan anggota-anggota yang berpadanan secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kali-hasil kali ini. b13   a11b11  a12b21  b23   a21b11  a22b21.  a11   a21. a12   b11 b12  a22  b21 b22. 2.4.4. Invers Matriks. a11b12  a12b22 a21b12  a22b22. a11b13  a12b23   a21b13  a22b23 . Matriks mempunyai kolom dan baris berbeda dan ada yang mempunyai baris dan kolom. yang sama, hanya matriks kuadrat (square matrix) saja yang. mempunyai invers. Banyak metode atau cara dalam mencari suatu invers matriks diantaranya dengan substitusi, menggunakan adjoint, metode counter, matrix partisi. Di bawah ini akan dijelaskan bagaimana mencari invers matriks dengan menggunakan adjoint. Definisi 15 (Supranto, 2003:130) Misalkan A merupakan suatu matriks kuadrat dengan n baris dan n kolom dan I n suatu identitas matriks. Apabila ada square matrix A1 sedemikian rupa sehingga berlaku hubungan sebagai berikut:. AA1  A1 A  I n , maka A1 ini disebut invers matris A..

23. Definisi 16 (Supranto, 2003:50) Kalau dari matriks kuadrat A dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, maka determinan dari matriks kuadrat dengan (n  1) baris dan (n  1) kolom, yaitu sisa matriks yang tinggal (disebut minor matriks dari elemen aij ) diberi simbol Aij atau M ij . Apabila pada setiap minor kita tambahkan tanda + (plus) atau – (minus) sebagai tanda pada determinan dan kemudian kita beri simbol : (1)i  j M ij maka diperoleh apa yang sering disebut kofaktor elemen aij dan biasanya diberi simbol K ij jadi Kij  (1)i  j M ij , ini berarti bahwa setiap elemen mempunyai kofaktor sendiri-sendiri. Nilai determinan dari matriks A sama dengan penjumlahan hasil kali semua elemen dari suatu baris (kolom) matriks A dengan kofaktor ( Kij ) masingmasing, yaitu : 1. Dengan menggunakan elemen-elemen baris ke-i. det( A)  A  ai1Ki1  ai 2 Ki 2  ...  ain Kin n. det( A)   ait Kit ; i  1, 2,..., n t 1. 2. Dengan menggunakan elemen-elemen baris ke-j. det( A)  A  a1 j K1 j  a2 j K2 j  ...  anj Knj n. det( A)   atj Ktj ; j  1, 2,..., n t 1.

24 Contoh :.  a11 Misalkan matriks A    a21. a12   , maka determinan A  det( A)  a11a22  a12 a21 . a22 . Definisi 17 (Supranto, 2003:135) Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemenya terdiri dari transpos semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu apabila K  ( Kij ) dimana K ij adalah kofaktor dari elemen aij , maka adjoint matriks A yaitu:. adj ( A)  K T  ( K T ij  Kij ) . Jadi, jelasnya adj ( A) adalah transpose dari matriks kofaktor K, yaitu :  K11  K adj ( A)  K T   21    K n1. K12 K 22 Kn2. K1n   K2n    K nn . Contoh :  2 1 2   A  1 2 3 4 2 1  .  2 3 11 M 11    dan K11  (1) det( M11 )  1.(2  6)  4 2 1    1 3 1 2 M 12    dan K11  (1) det( M12 )  1.(1 12)  11  4 1 1 2 13 M 13    dan K13  (1) det(M13 )  1.(2  8)  6 4 2   1 2 21 M 21    dan K21  (1) det(M 21 )  1.(1  4)  3 2 1.

25.  2 2 2 2 M 22    dan K22  (1) det( M 22 )  1.(2  8)  6 4 1   2 1 2 3 M 23    dan K23  (1) det( M 23 )  1.(4  4)  0  4 2 1 2 31 M 31    dan K31  (1) det(M 31 )  1.(3  4)  1  2 3  2 2 3 2 M 32    dan K32  (1) det(M 32 )  1.(6  2)  4 1 3   2 1 33 M 33    dan K33  (1) det(M 33 )  1.(4  1)  3 1 2  K11  Jadi adj ( A)  K   K 21 K  31 T. K12 K 22 K32. K13   4 3 1     K 23    11 6 6  K33   6 0 3 . Definisi 18 (Supranto, 2003:136) Apabila matriks A yang kuadrat dengan n baris dan n kolom dan merupakan matriks yang non-singular yaitu det( A)  0 dan K ij merupakan kofaktor dari elemen aij , maka matriks invers A yaitu A1 dirumuskan sebagai berikut: A1 . 1 KT adj ( A)  , KT  K det( A) det( A). Jadi  K11  1  K 21 A1  det( A)    K n1. K12 K 22 Kn2. K1n   K2n    K nn .

26.  K11  det( A)   K12 1 A   det( A)    K1n  det( A) . K 21 det( A) K 22 det( A) K2n det( A). K n1  det( A)   Kn2  det( A)    K nn  det( A) . Contoh. 4 1 A  , det( A)  4.2  3.1  8  3  5  3 2 A1 . 1  K11  det( A)  K 21. K12   K 22 . K11  (1)2 (2)  2 K12  (1)3 (3)  3. K21  (1)3 (1)  1 K22  (1)4 (4)  4  2 1  2 1  5 A1    5  3 4   3   5. 2.5. 1  5   4   5 . Kajian Islam Mengenai Grup Suatu himpunan dikatakan sebagai grup jika memiliki penyusun-penyusun. seperti himpunan tak kosong, operasi biner, dan aturan atau aksioma yang harus dipenuhi agar menjadi suatu grup. Sebagai contoh seperti yang telah disebutkan adalah grup ulul albab. Ulul albab awalnya merupakan himpunan manusia yang saling berinteraksi sebagaimana manusia lainnya. Namun selain berinteraksi, mereka juga senantiasa mengingat Allah, baik saat berdiri, duduk, dan berbaring,.

27 serta memikirkan segala penciptaan Allah baik yang di langit maupun di bumi dengan keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Inilah yang membedakan mereka dengan manusia lain sehingga disebut sebagai manusia yang ulul albab. Dengan demikian dapat dilihat perbedaan sifat yang jelas antara ulul albab dengan manusia biasa umumnya. Seseorang yang senantiasa mengingat Allah belum tentu disebut ulul albab. Begitu juga seseorang yang memikirkan penciptaan-Nya belum tentu disebut ulul albab. Namun, seseorang sudah tentu disebut ulul albab jika senantiasa mengingat Allah dan memikirkan penciptaan-Nya (Khotimah, 2010:57). .            .                      Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu) orangorang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata): "Ya Tuhan Kami, Tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha suci Engkau, Maka peliharalah Kami dari siksa neraka (QS. Ali Imron, 3:190-191) Dalam QS Ali Imron ayat 190-191 tersebut dijelaskan bahwa sekelompok manusia yang disebut ulul albab adalah orang-orang yang senantiasa mengingat Allah, baik saat berdiri, duduk, dan berbaring, serta memikirkan segala penciptaan Allah baik yang di langit maupun di bumi dengan keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Dalam matematika sifat-sifat yang dimiliki kelompok manusia yang ulul albab tersebut dikenal dengan aturan atau aksioma. Aturan atau aksioma tersebut harus dipenuhi agar suatu kelompok dapat disebut kelompok tertentu atau kelompok. yang. lebih. khusus. lagi..

28.

BAB III PEMBAHASAN. Pada penelitian ini akan dibuktikan bahwa matriks yang mempunyai invers memenuhi sifat-sifat grup diantaranya tertutup, asosiatif, mempunyai identitas, ada invers terhadap operasi pertama dan memenuhi sifat–sifat homomorfisme grup.. 3.1. Grup Matriks GLn  R  3.1.1. Definisi Matriks GLn  R  Diberikan M n,n  R  adalah himpunan matriks bujur sangkar n  n yang entrinya merupakan bilangan real  R  . Selanjutnya dinotasikan matriks M n,n  R   a11  dengan A  aij   a  n1. a1n    , dimana A adalah matriks bujur sangkar n  n . ann . M n,n  R  dapat disimbulkan dengan M n  R  yaitu merupakan suatu ruang vektor- R dengan operasi matriks penjumlahan dan perkalian dengan skalar (Baker, 2006:1). Untuk himpunan M n  R  yang invertibel penulis menggunakan notasi. GLn  R  =  A|A  M n  R  ,det( A)  0. 28.

29 3.1.2 Matriks GLn  R  terhadap Operasi  adalah Grup Akan dibuktikan bahwa GLn  R . merupakan grup terhadap operasi. penjumlahan matriks. Berdasarkan definisi 2, akan dibuktikan bahwa GLn  R  terhadap operasi penjumlahan matriks memenuhi 4 aksioma grup, yaitu : i.. Bersifat Tertutup Jika untuk setiap An , Bn , Cn  GLn  R  , maka An  Bn  GLn  R  dikatakan bersifat tertutup. Bukti : Ambil An , Bn , Cn  GLn  R   a11  An  Bn   a  n1. a1n   b11    ann   b1.  (a  b)11    ( a  b) n1 . (a  b)1n    (a  b) nn .  n   aij  bij  i , j 1   n  a b nj nj  i  , j 1  c11   c  n1. b1n    bn .  bin  i , j 1    n ann bnn   i , j 1  n. a. in. c1n     GLn  R  cnn .

30 ii. Bersifat Asosiatif Jika. untuk. An  Bn  Cn  GLn  R  ,. setiap.  An  Bn   Cn  An   Bn  Cn . maka. dikatakan bersifat asosiatif.. Bukti : Jika An  Bn  Cn  GLn  R  maka.   a11    An  Bn   Cn       an1   n   aij  bij  i , j 1    n  anj bnj  i , j  1  .   i , j 1    n cnn     i , j 1 .   n bin    cij i , j 1   i , j 1    n n ann bnn    cnj  i , j 1   i , j 1 n. n. a. c. in.  n   aij  bij  cij  i , j 1   n  a b  c nj nj nj  i  , j 1  n   aij  i , j 1    n  anj  i  , j 1. c1n     cnn  . b1n    c11      bnn    cn1. a1n   b11    ann   bn1. in.  bin  cin  i , j 1    n ann bnn  cnn   i , j 1  n. a. in.   n a bij  cij  in   i i , j 1 , j 1      n n ann    bnj cnj  i , j 1   i , j 1 n.  cin   i , j 1    n bnn cnn     i , j 1  n. b. in.   An   Bn  Cn . iii. Untuk setiap An  GLn  R  , terdapat matriks identitas penjumlahan atau null matriks 0 sehingga 0  An  An  0  An ..

31 Bukti : Berdasarkan definisi 11 matriks identitas penjumlahan atau null matriks adalah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya adalah 0. Secara umum matriks idetitas penjumlahan atau null matriks dapat ditulis sebagai berikut : Ambil An  GLn  R . An  0  0  An  a11   a  n1. a1n   0    ann   0.  n   aij  0  i , j 1   n  a 0 nj  i  , j 1  n   aij  i , j 1   n  a nj  i  , j 1. 0  0    0   0. 0   a11    0   an1.   n 0    0  aij i , j 1   i , j 1    n n ann 0    0  anj  i , j 1   i , j 1.   i , j 1    n 0  ann   i , j 1 . n. n. a.  0a. in.   n a aij  in   i i , j 1 , j 1      n n ann    anj  i , j 1   i , j 1 n. a1n    ann . in.   i , j 1    n ann   i , j 1  n. a. in. An  An iv. Untuk setiap An  GLn  R  terdapat matriks invers tunggal yang dinotasikan. An 1  GLn  R  , sedemikian rupa sehingga An 1  An  An  An 1 . Bukti : Ambil An  GLn  R  Maka An 1  An  An  An 1 Berdasarkan definisi 18 maka.

32. An 1 . 1 adj ( An ) det( An ). det( A)  a1 j K1 j  a2 j K2 j  ...  anj Knj n.   atj Ktj ; j  1, 2,..., n t 1.  K11  1 1  K 21 An  a1 j K1 j  a2 j K 2 j  ...  anj K nj    K n1  K11  1 1  K 21 An  n  atj Ktj   t 1  K n1.  K11  n   atj K tj  t 1  K  n 21 An 1    atj K tj t 1    K  n n1  a K   tj tj  t 1  x11  x 1 A   21    xn1. x12 x22 xn 2. A  A1  A1  A. K 22 Kn2. tj. tj. K 22 t 1. tj. tj. Kn2 n. a K t 1. tj. x1n   x2 n    xnn .   a K  tj tj   t 1 K2n   n atj K tj    t 1   K nn   n atj K tj   t 1  n. n. a K. Kn2. K1n. K12 n. t 1. K 22. K1n   K2n    K nn . K12. a K. K12. tj. K1n   K2n    K nn .

33  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. a1n   x11 x12   a2 n   x21 x22      ann   xn1 xn 2.  n   aij  xij  i , j 1   n  anj xij  i , j  1   c11   c  n1.   n a  x xij  aij  in ij   i i , j 1 , j 1      n n ann xij    xij  anj  i , j 1   i , j 1 n. c1n   c11    cnn   cn1. 1.1.3. x1n   x11 x12   x2n   x21 x22      xnn   xn1 xn 2. x1n   a11 a12   x2n   a21 a22      xnn   an1 an 2. a1n   a2 n    ann .   ain  i , j 1    n xij  ann   i , j 1  n. x. ij. c1n    cnn . Matriks GLn  R  terhadap Operasi  adalah Grup Akan dibuktikan bahwa GLn  R  merupakan grup terhadap operasi. perkalian matriks. Berdasarkan definisi 2, akan dibuktikan bahwa GLn  R  terhadap operasi perkalian matriks memenuhi 4 aksioma grup, yaitu: i.. Bersifat Tertutup Jika untuk setiap An , Bn  GLn  R  , maka An Bn  GLn  R  dikatakan bersifat tertutup. Bukti : Ambil An , Bn , Cn  GLn  R   a11  An Bn   a  n1. a1n  b11   ann   bn1.  (ab)11  a12b21  ...  a1nbn1    a b  a b  ...  a b nn n1  n1 11 n 2 21. b1n    bnn  a11b1n  a12b2 n  ...  a1nbnn    an1b1n  an 2b2 n  ...  annbnn .

34.  n   aij bij  i , j 1   n  a b nj i1  i  , j 1  c11   c  n1.  b  i , j 1    n anj bin   i , j 1  n. a. 1 j in. c1n     GLn  R  cnn . ii. Bersifat Asosiatif Jika untuk setiap An BnCn  GLn  R  , maka  An Bn  Cn  An  BnCn  dikatakan bersifat asosiatif. Bukti : Jika An BnCn , maka n.  AB  C  ij    AB ij Cij i 1. n  n     aij bij  cij i 1  j 1 . n. n.  aij bij cij i 1 j 1. n. n.  aij bij cij j 1 i 1. n  n   aij  bij cij  j 1  j 1 . n.  aij bc ij j 1.   A  BC   ij.

35 iii. Untuk setiap An  GLn  R  terdapat matriks identitas I n  GLn  R  sehingga. I n An  An I n  An . Bukti : Berdasarkan definisi 7 matriks identitas adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur diagonal utamanya sama dengan 1, dan semua unsur lainya sama dengan nol. Secara umum matriks identitas dapat ditulis sebagai berikut :. 1  0 In    0 0 . 0 1 0 0. 0 0  0 0   1 0 0 1 . An I n  I n An  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. a1n  i11 i12  a2 n  i21 i22   ann  in1 in 2. i1n   i11 i12   i2 n   i21 i22      inn   in1 in 2. i1n  a11 a12  i2 n  a21 a22   inn  an1 an 2. a1n   a2 n    ann .  a11i11  a12i21  ...  a1nin1 a11i12  a12i22  ...  a1nin 2   a21i11  a22i21  ...  a2 nin1 a21i12  a22i22  ...  a2nin 2    an1i12  an 2i22  ...  anninn an1i12  an 2i22  ...  annin 2. a11i1n  a12i2n  ...  a1ninn   a21i1n  a22b2n  ...  a2ninn     an1i1n  an 2i2 n  ...  anninn .  i11a11  i12 a21  ...  i1n an1 i11a12  i12 a22  ...  i1n an 2   i21a11  i22 a21  ...  i2 n an1 i21a12  i22 a22  ...  i2 n an 2    i31a12  i32 a22  ...  i3n an 2 i31a12  i32 a22  ...  i3n an 2. i11a1n  i12a2 n  ...  i1n ann   i21a1n  i22 a2 n  ...  i2 n ann    in1a1n  in 2 a2 n  ...  inn ann .

36  n   a1 j ii1  i , j 1  n   a2 j ii1  i , j 1   n    anj ii 2  i , j 1. n.  a1 jii 2. i , j 1 n. a. i , j 1. i. 2 j i2. n. a. i , j 1.  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. i. nj i 2.  i  i , j 1  n  a2 j iin   i , j 1    n  anj iin   i , j 1  n. a. 1 j in. a1n   a11 a12   a2 n   a21 a22      ann   an1 an 2. a1n   a2 n    ann . An  An iv. Untuk setiap An  GLn  R  terdapat matriks invers tunggal yang dinotasikan. A1  GLn  R  , sedemikian rupa sehingga A1 An  An A1  I n . Bukti : Misal. An  GLn  R . Berdasarkan definisi 18. An 1 . 1 adj ( An ) det( An ). det( A)  a1 j K1 j  a2 j K2 j  ...  anj Knj n.   atj Ktj ; j  1, 2,..., n t 1.  K11  1 1  K 21 An  a1 j K1 j  a2 j K 2 j  ...  anj K nj    K n1. K12 K 22 Kn2. K1n   K2n    K nn .

37.  K11  1 1  K 21 An  n  atj Ktj   t 1  K n1.  K11  n   atj K tj  t 1  K  n 21 An 1    atj K tj t 1    K  n n1  a K   tj tj  t 1  x11  x 1 A   21    xn1. K1n   K2n    K nn . K12 K 22 Kn2.   atj K tj    t 1 K2n   n atj K tj    t 1   K nn   n atj K tj   t 1  K1n. K12 n. a K t 1. tj. n. tj. K 22 n. a K t 1. tj. tj. Kn2 n. a K t 1. tj. tj. x1n   x2 n    xnn . x12 x22 xn 2. Andaikan An A1  I n Maka An A1  I n. A1  An 1I n  x11   x21    xn1  x11   x21    xn1. x12 x22 xn 2 x12 x22 xn 2. 1. x1n   a11 a12   x2 n   a21 a22      xnn   an1 an 2. a1n   a2 n    ann . x1n   x11   x2 n   x21      xnn   xn1. x1n  i11 i12  x2 n  i21 i22   xnn  in1 in 2. x12 x22 xn 2.  i11 i12   i21 i22    in1 in 2. i1n   i2 n    inn  i1n   i2 n    inn .

38.  x11   x21    xn1. x12 x22 xn 2. x1n   x11   x2 n   x21      xnn   xn1. x12 x22 xn 2. x1n   x2 n    xnn . Andaikan A1 A  I n Maka A1 A  I n. A1  I A1  x11   x21    xn1  x11   x21    xn1  x11   x21    xn1. x12 x22 xn 2 x12 x22 xn 2 x12 x22 xn 2. x1n   i11 i12   x2 n   i21 i22      xnn   in1 in 2. i1n  a11 a12  i2 n  a21 a22   inn  an1 an 2. a1n   a2 n    ann . x1n   i11 i12   x2 n   i21 i22      xnn   in1 in 2. i1n  x11  i2 n  x21   inn  xn1. x1n   x2 n    xnn . x1n   x11   x2 n   x21      xnn   xn1. x12 x22 xn 2. x12 x22 xn 2. 1. x1n   x2 n    xnn . Terbukti bahwa A1 An  An A1  I n 1.1.4. Sifat – Sifat Grup pada Matriks GLn  R  Berdasarkan teorema 1, maka akan dibuktikan bahwa elemen identitas. dari matriks GLn  R  adalah tunggal..

39 Bukti : Andaikan.  a11 a12  a a22 An   21    an1 an 2. a1n   a2 n    ann .  b11 b12  b b Bn   21 22    bn1 bn 2. b1n   b2 n    bnn . Keduanya adalah matriks identitas An  Bn , maka berlaku: i.. An Bn  Bn An  An. … Bn sebagai matriks identitas. An Bn  Bn An  a11 a12   a21 a22    an1 an 2  n   a1 j bi1  i , j 1  n   a2 j bi1  i , j 1   n    anj bi 2  i , j 1. a1n  b11 b12  a2 n  b21 b22   ann  bn1 bn 2 n.  a1 jbi 2. i , j 1 n.  a2 jbi 2. i , j 1. n. a. i , j 1. b. nj i 2. b1n   b11 b12   b2 n   b21 b22      bnn   bn1 bn 2 n   n a b b1 j ai1  1 j in   i i , j 1 , j 1   n   n a b b2 j ai1  2 j in    i i , j 1   , j 1     n n   anj bin    bnj ai 2  i , j 1   i , j 1. b1n  a11 a12  b2 n  a21 a22   bnn  an1 an 2 n. b. i , j 1. a. 1 j i2. n. b. i , j 1. a. 2 j i2. n. b. i , j 1. a. nj i 2. a1n   a2 n    ann  n  b1 j ain   i , j 1  n  b2 j ain   i , j 1    n  bnj ain   i , j 1 .

40  n   a1 j ii1  i , j 1  n   a2 j ii1  i , j 1   n    anj ii 2  i , j 1  a11 a12   a21 a22    an1 an 2.   n a i i1 j ai1  1 j in   i i , j 1 i , j 1 , j 1   n n   n a i a i i2 j ai1  2 j i2  2 j in    i i , j 1 i , j 1   , j 1     n n n   anj ii 2 anj iin    inj ai 2   i , j 1 i , j 1   i , j 1 a1n   a11 a12 a1n     a2 n   a21 a22 a2 n         ann   an1 an 2 ann  n.  a1 jii 2. n. n.  i1 j ai 2. i , j 1 n. i. a. 2 j i2. i , j 1. n. i. a. nj i 2. i , j 1.  a  i , j 1  n  i2 j ain   i , j 1    n  inj ain   i , j 1  n. i. 1 j in. An  An ii.. An Bn  Bn An  Bn. … An sebagai matriks identitas. An Bn  Bn An  a11 a12   a21 a22    an1 an 2  n   a1 j bi1  i , j 1  n   a2 j bi1  i , j 1   n    anj bi 2  i , j 1. a1n  b11 b12  a2 n  b21 b22   ann  bn1 bn 2 n. a. i , j 1. b. n. i , j 1. n. b. 2 j i2.  anjbi 2. i , j 1.   n b1 j ai1  a1 jbin   i i , j 1   , j 1 n   n a2 j bin    b2 j ai1  i , j 1    i , j 1     n n   anj bin    bnj ai 2  i , j 1   i , j 1 n. 1 j i2. a. b1n   b11 b12   b2 n   b21 b22      bnn   bn1 bn 2. b1n  a11 a12  b2 n  a21 a22   bnn  an1 an 2 n. b. i , j 1. a. 1 j i2. n. b. i , j 1. a. 2 j i2. n. b. i , j 1. a. nj i 2. a1n   a2 n    ann  n  b1 j ain   i , j 1  n  b2 j ain   i , j 1    n  bnj ain   i , j 1 .

41  n   i1 j bi1  i , j 1  n   i2 j bi1  i , j 1   n    inj bi 2  i , j 1  b11 b12   b21 b22    bn1 bn 2.   n i b b1 j ii1  1 j in   i i , j 1 i , j 1 , j 1   n n   n i b i b b2 j ii1  2 j i2  2 j in    i i , j 1 i , j 1   , j 1     n n n   inj bi 2 inj bin    bnj ii 2   i , j 1 i , j 1   i , j 1 b1n   b11 b12 b1n     b2 n   b21 b22 b2 n         bnn   bn1 bn 2 bnn  n. n.  i1 jbi 2. n.  b1 jii 2. i , j 1 n. b. i , j 1. i. 2 j i2. n. b i. i , j 1. nj i 2.  i  i , j 1  n  b2 j iin   i , j 1    n  bnj iin   i , j 1  n. b. 1 j in. Bn  Bn Karena An Bn dan Bn An adalah elemen tunggal pada matriks GLn  R  maka (i) dan (ii) berakibat An  Bn (kontradiksi dengan pengandaian) ini berarti bahwa matriks identitas di GLn  R  adalah tunggal. Berdasarkan teorema 2, maka akan dibuktikan invers dari invers suatu elemen di grup GLn ( ) adalah elemen itu sendiri. Misal: An  GLn  R  adalah grup untuk setiap An  GLn  R  berlaku An   An 1 . 1. Bukti : a.. An  GLn  R  maka An 1  GLn  R  sehingga An An 1  An 1 An  I n ,  a11 a12  a a22 A   21    an1 an 2. a1n   a2 n    ann .

42.  x11  x 1 A  X   21    xn1. xn 2.  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. a1n  x11  a2 n  x21   ann  xn1.  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. x12 x22. x1n   x2 n    xnn  x12 x22 xn 2. a1n    x11 x12  a2n    x21 x22   ann    xn1 xn 2 . x1n  x11  x2n  x21   xnn  xn1.  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. a1n  i11 i12  a2 n  i21 i22   ann  in1 in 2.  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. a1n   x11   a2 n   x21      ann   xn1.  a11   a21    an1. a1n    a11   a2 n    a21      ann    an1 . a12 a22 an 2. x1n   i11 i12 i1n     x2 n   i21 i22 i2 n         xnn   in1 in 2 inn  1 x12 x1n    i11 i12 i1n   x11 x12     x22 x2n    i21 i22 i2n   x21 x22          xn 2 xnn    in1 in 2 inn   xn1 xn 2 . i1n   i11 i12   i2 n   i21 i22      inn   in1 in 2 x12 x22 xn 2 a12 a22 an 2. x1n   x2 n    xnn . i1n  x11  i2 n  x21   inn  xn1. 1. a1n   a2 n    ann . 1.       . 1. Juga. b..  x11   x21    xn1. x12 x22 xn 2. x1n  a11 a12  x2 n  a21 a22   xnn  an1 an 2. a1n   i11 i12   a2 n   i21 i22      ann   in1 in 2. i1n   i2 n    inn . x12 x22 xn 2. x1n   x2n    xnn . 1. x1n   x2 n    xnn . 1.

43   x11    x21     xn1 . x1n   x2 n    xnn . x12 x22 xn 2.  i11  i   21    in1. 1.  x11   x21    xn1. i1n   x11  i2 n   x21   inn   xn1. i12 i22 in 2.  i11 i12   i21 i22    in1 in 2. i1n  a11 a12  i2 n  a21 a22   inn  an1 an 2.  a11 a12   a21 a22    an1 an 2. a1n   x11   a2 n   x21      ann   xn1.  a11   a21    an1. a1n    a11   a2 n    a21      ann    an1 . a12 a22 an 2. Dari a dan b maka An   An 1 . xn 2. x1n   x2 n    xnn . x12 x22 xn 2. a1n   x11   a2 n   x21      ann   xn1. x12 x22 xn 2. An   An 1 . x1n    a11  x2 n    a21   xnn    an1 . x12 x22. a12 a22 an 2. x1n   x2 n    xnn . 1.  i11   i21    in1. x12 x22 xn 2. a1n   a2 n    ann . a12 a22 an 2 i1n   i2 n    inn . i12 i22 in 2. x1n   x2 n    xnn . 1.  i11 i12   i21 i22    in1 in 2. 1. a1n   a2 n    ann . 1.       . 1. 1. 1. Berdasarkan teorema 3, maka akan dibuktikan bahwa dalil kanselasi dipertahankan atau berlaku pada GLn ( ) . Bukti : Akan ditunjukkan bahwa pada grup berlaku dalil kanselasi kiri maupun kanan, misal An , Bn , Cn  GLn  R  adalah grup dan  An , Bn , Cn  GLn ( ) berlaku: a.. Bn An  Cn An , maka. i1n   i2 n    inn .

44. Bn  Cn b.. … kanselasi kanan. An Bn  AnCn , maka Bn  Cn. … kanselasi kiri. Selanjutnya. a..  a11 a12   a21 a22    an1 an 2  b11 b12   b21 b22    bn1 bn 2  n   b1 j ai1  i , j 1  n   b2 j ai1  i , j 1   n    bnj ai 2  i , j 1  n   b1 j ai1  i , j 1  n   b2 j ai1  i , j 1   n    bnj ai 2  i , j 1  n   c1 j ai1  i , j 1  n   c2 j ai1  i , j 1   n    cnj ai 2  i , j 1. a1n   x11   a2 n  x  GLn ( ) maka  21     ann   xn1 b1n  a11 a12  b2 n  a21 a22   bnn  an1 an 2 n.  b1 j ai 2. i , j 1 n. b. i , j 1. a. 2 j i2. n.  bnj ai 2. i , j 1. n. b. i , j 1. a. 1 j i2. n. b. i , j 1. a. 2 j i2. n. b. a. nj i 2. i , j 1 n. c. i , j 1. a. 1 j i2. n. c. i , j 1. a. 2 j i2. n. c. i , j 1. a. nj i 2. x1n   x2 n   GLn ( )   xnn . x12 x22 xn 2. a1n   c11 c12   a2 n   c21 c22      ann   cn1 cn 2 n   n b a c1 j ai1  1 j in   i i , j 1 , j 1   n   n c2 j ai1  b2 j ain    i i , j 1   , j 1     n n   bnj ain    cnj ai 2  i , j 1   i , j 1 n  b1 j ain   i , j 1  x x12 n   11  b2 j ain   x21 x22 i , j 1     xn1 xn 2 n  bnj ain   i , j 1  n  c1 j ain   i , j 1  x x12 n   11  c2 j ain   x21 x22 i , j 1     xn1 xn 2 n  cnj ain   i , j 1 . c1n  a11 a12  c2 n  a21 a22   cnn  an1 an 2 n. c. i , j 1. a. 1 j i2. n. c. i , j 1. a. 2 j i2. n. c. i , j 1. a. nj i 2. x1n   x2 n     xnn . x1n   x2 n    xnn . a1n   a2 n    ann  n  c1 j ain   i , j 1  n  c2 j ain   i , j 1    n  cnj ain   i , j 1 .

45 n n  n  b a x b a x b1 j ain xin     1 j i1 11  1 j i 2 i 2 i , j 1 i , j 1  i , j 1  n n n   b2 j ain xin    b2 j ai1 xi1  b2 j ai 2 xi 2  i , j 1 i , j 1  i , j 1     n  n n   bnj ain xin     bnj ai 2 xi 2  bnj ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1  i , j 1  n n n   c1 j ain xin     c1 j ai1 x11  c1 j ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1  i , j 1  n n n   c2 j ain xin    c2 j ai1 xi1  c2 j ai 2 xi 2  i , j 1 i , j 1  i , j 1     n  n n   cnj ain xin     cnj ai 2 xi 2  cnj ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1  i , j 1  n n n n n n    b b b a i a x a1 j xin     1 j    1 j i1 1 j i2   1j  1j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1  i , j 1   i , j 1  n n n n n n    b2 j    a2 j ii1  a2 j xi 2 a2 j xin    b2 j  b2 j   i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1  i , j 1   i , j 1      n    n n n n   n  bnj    anj ii 2  anj xi 2 anj xin      bnj  bnj i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1  i , j 1   i , j 1  n n n n n   c1 j    a1 j xi1  a1 j xi 2    c1 j  c1 j i , j 1 i , j 1 i , j 1  i , j 1   i , j 1 n n n  n  n c a x   c2 j  c2 j    2 j i  a2 j xi 2 2 j i1 i , j 1 i , j 1 i , j 1  i , j 1   , j 1    n  n n n n   c c c a x anj xi 2   nj    nj i 2   nj  nj i , j  1 i , j  1 i , j  1 i , j  1 i , j  1  .  xin  i , j 1  n  a x  2 j in  i , j 1    n  anj xin   i , j 1  n. a. 1j.