Persamaan Diferensian Orde 2

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 1

Model persamaan diferensial orde 2 terdiri dari 4 type, yaitu :

 Tipe d y dx f x

2

2 = ( )

 Tipe d y dx f x

dy dx

2

2 = ( , )

 Tipe a d y dx b

dy dx c y

. . .

2

2 + + =0

 Tipe ad y dx b

dy

dx cy f x

2

2 + + = ( )

A. PD Orde 2 Tipe d y dx f x

2

2 = ( )

Contoh : carilah jawaban umum persamaan deferensial

d y

dx

x

x

x

2

2

3 2

4

3

=

+

+

Jawab :

d y

dx

x

x

x

2

2

3 2

4

3

=

+

+

∫

+ +

= x x xdx

dx

dy _{3 2}

3

4

1 2 3

4

2 1

c x x

x dx dy

+ +

+ =

y=

∫

x4 + +x3 x2 +c1 1

2 dx

2 1

3 4

5

6

1

4

1

5

1

c

x

c

x

x

x

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 2 B. PD Orde 2 Tipe d y

dx f x dy dx

2

2 = ( , )

Contoh : x d y dx

dy dx x .

2

2 + + = 0  Carilah jawaban umumnya.

Penyelesaian :

misal :

p

dy

dx

=

maka 2 2

dx

y

d

dx

dp

=

...(1)

apabila persamaan (1) dimasukkan ke soal

x

dp

dx p x . + + =. 0

x

dp

dx

p

x

.

+ = −

_...(2)

ingat rumus

dx dx p dx dp x dx

p x d

. .

) . (

+ =

.

1

)

.

(

p

dx

dp

x

dx

p

x

d

+

=

...(3)

Jika persamaan (2) = persamaan (3) maka

d xp

dx

x

(

)

= −

Kemudian kedua ruas diintegralkan

xp

= −

∫

x dx

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 3

Dari persamaan (1) diketahui bahwa

=

dx

maka harga p dapat diganti

dengan

dx

dy

menjadi

1

2 2

1

x

c

dx

dy

x

=

−

+

_{kemudian semua ruas dibagi x}

x

c

x

dx

dy

₁

2

1

+

−

=

=

∫

−

+

x

c

x

y

12 1

y

= −

14

x

+

c

n x

+

c

2

1

.



2

C. PD Orde 2 Yang Berbentuk a d y dx b

dy dx c y

. . .

2

2 + + = 0

Persamaan tersebut, jika harga

2 1

2 2 2

2

dan

tik. karakteris persamaan

disebut 0

: menjadi ya

persamaann sehingga

, 1 dan ,

m m m

m

c m b m a

y m dx dy m dx

y d

= =

→ = + +

= =

=

Dimana m = akar-akar penyelesaian

 Jika m1 ≠ m2 maka harga :

y

=

A e

m x1

+

B e

m x2

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 4 Jika m1 = m2 maka

Y

e

A

B x

m x

=

1

(

+

)

Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks), atau m = a + b j, atau m = a + bi

[

A

x

B

x

]

e

Y

=

ax

cos

β

+

sin

β

.

Contoh soal :

1. Carilah penyelesaian Persamaan Deferensial berikut ini.

0

2

3

2 2

=

+

+

y

dx

dy

dx

y

d

Jawab :

, 1 dan ,

2 2 2

= =

= m y

dx dy m dx

y d

jika _maka

Persamaan karakteristiknya :

1 m2 + 3 m + 2 = 0

(m+1)(m+2)=0

sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠m2)

Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 5 2. Carilah penyelesaian PD berikut: 2

+

6

+

9

y

=

0

dx

dx

Jawab :

m

2

+

6

m

+ =

9

0

(

m

+

3

)(

m

+ = ⇒ = −

3

)

0

m

3

akar kembar sehingga

Y

=

e

−3x

(

A

+

B x

)

3. Carilah penyelesaian PD berikut: 2

4

9

0

2

=

+

+

y

dx

dy

dx

y

d

Jawab :

0

9

4

2

+

+

=

m

m

Dengan menggunakan rumus ABC didapat

2

36

16

4

±

−

−

=

m

_⇔

2

20

4

±

−

−

=

m

2

5

.

4

.

1

4

±

−

−

=

m

_⇔

2

5

.

2

.

4

j

m

=

−

±

5

2

j

m

=

−

±

Sehingga a=-2 dan β = 5

Dan akhirnya memberikan

Y

=

e

ax

[

A

cos

β

x

+

B

sin

β

.

x

]

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 6 D. PD Orde 2 Yang Berbentuk ad y

dx b dy

dx cy f x

2

2 + + = ( )

Pada persamaan deferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu :

1). FUNGSI KOMPLEMENTER : diperoleh dengan memecahkan

persamaan bila f(x)=0, seperti dalam bagian program sebelum ini.

Adapun pemecahannya, jika f(x)=0, adalah :

 Untuk akar yang berbeda

Y

=

A e

m x1

+

B e

m x2

 Untuk akar kembar

Y

e

A

B x

m x

=

1

(

+

)

 Untuk akar imaginer

Y

=

e

ax

[

A

cos

β

x

+

B

sin

β

.

x

]

2). INTEGRAL KHUSUS : Diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi ruas kanan persamaan yang diberikan, yaitu dengan

mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam persamaannya dan

kemudian menyamakan koefisien-koefisiennya.

 Jika ruas kanan adalah fungsi berderajat dua, bentuk umum nya :

Y

=

C x

2

+

D x

+

E

 Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya : Y= Cx + D.

3). Jawaban yang sesungguhnya = jawaban fungsi komplemerter + integral khusus.

Contoh :

Selesaikan persamaan deferensial dari d y

dx

dy

dx y x

2

2

2

5 6

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 7

1). Fungsi Komplementer, pemecahannya dengan persamaan kiri = 0, yaitu :

0 6 5

2 2

= +

− y

dx dy dx

y d

yang memberikan

m2 - 5m + 6 = 0

(m - 2)(m - 3)= 0

m = 2 atau m = 3

Jawaban fungsi komplementer :

Y

=

A e

2x

+

B e

3x

2). Integral khusus :

Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2)sehingga bentuk umum

persamaan berderajat dua adalah :

Y

=

C x

2

+

D x

+

E

maka

dy

dx

=

2

C x

+

D

d y

dx

C

2

2

=

2

harga y,

dy

dx

dan

d y

dx

2

2 dimasukkan ke persamaan semula (soal) , yaitu :

d y

dx

dy

dx

y

x

2

2

2

5

6

−

+

=

2C - 5 (2 Cx + D) + 6 (Cx2 + Dx+ E) = x2

2C - 10 Cx - 5D + 6Cx2 + 6Dx+6 E = x2

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 8

bentuk tersebut bisa ditulis :

6 Cx2 + (6D - 10C)x + (2C-5D + 6E) =1x2 + 0x + 0

dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita dapatkan :

x2 ⇒ 6c = 1

c = 1 6

x ⇒ 6 D -10 c = 0

6 10 1 6 0

5 18

D− . = ⇒ =D

0 ⇒ 2c−5D+6E = 0

2 1

6 5

5

18 6 0

. − . + .E =

E = 19

108

Jadi Integral khususnya adalah :

Y cx Dx E

x x

= + +

= + +

2

2 1 6

5 18

19 108

Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah :

Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus

x x

e

B

e

A

2

+

3

=

+

108

19

18

5

6

1

2

+

+