i
APLIKASI MATRIKS PADA PENYELESAIAN
RANGKAIAN LISTRIK
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh: Putriana Setiarini NIM: 091414045
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kesuksesan tidak datang secara tiba-tiba, kesuksesan adalah buah dari
ketekunan, kerja keras, dan kesabaran disertai dengan doa
Kupersembahkan karya ini untuk:
Ayah dan Ibukutercinta
Adikku tersayang
Seseorang yang selalu mencintaiku
vi ABSTRAK
Putriana Setiarini. 2013. Aplikasi Matriks Pada Penyelesaian Rangkaian Listrik.Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan analisis pada rangkaian listrik menggunakan matriks.
Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, sehingga dalam penulisan ini belum ditemukan hal-hal yang baru.
Pada rangkaian seri yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan resistor, namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi menggunakan resistor pengganti digunakan analisis loop. Persamaan untuk arus yang dihasilkan adalah = ∑
∑ .
Pada rangkaian listrik yang terdiri dari beberapa loop dan tidak mengandung sumber arus digunakan analisis jaring, dimana rangkaian disusun atas jaring dan disimbolkan dengan , , … , . Pada analisis ini digunakan Hukum Tegangan Kirchhoff dan akan dihasilkan persamaan RI= Vs, dimana R adalah matriks koefisien arus,Iadalah matriks dari arus, danVsadalah matriks sumber tegangan. Untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan digunakan analisis simpul. Simpul-simpul ini disimbolkan dengan , , … , . Pada analisis ini digunakan Hukum Arus Kirchhoff dan akan dihasilkan persamaan GV=Cs, dimanaGadalah matriks koefisien tegangan, Vadalah matriks dari tegangan, dan Csadalah matriks sumber arus. Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan-persamaan tersebut, dapat digunakan beberapa cara, antara lain dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau dengan menggunakan invers matriks.
vii ABSTRACT
Putriana Setiarini. 2013. Application of Matrix on Completion Of Electrical Circuits. Research. Mathematics Education Program, Department of Mathematics and Natural Sciences, Faculty of Teaching and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
The purpose of this research is to solve the electrical circuits analisys by using matrix.
The method that used in this research is study literature method, so we haven’t found new things in this research yet.
In the series electric circuit that consisting of some voltage source and resistors, but the resistors can’tbe reduced using a replacement resistors, we used loop analysis. The current equation is = ∑
∑ .In the electrical circuit which is composed of several loop and does not contain the current source is used mesh analysis. The circuits is prepared on the smaller loops or mesh and currents is symbolized by the , , … , . Kirchhoff's Voltage Law applied to each mesh and formed current equation RI =Vs, withR is the magnitude of the resistance of the resistor, I is the current flowing in the mesh, and Vs is the voltage source in the circuit. Nodal analysis is used to find the voltage that flows in the circuit that does not contain a voltage source. Voltage at the node symbolized by , , … , .. Apply Kirchhoff's Current Law at node and formed voltage equation GV = Cs, where G is the magnitude of the conductance of the resistor, V is the voltage of the node, and Cs is the source of the current flowing in the circuit. In order to obtain completion of such equations, can be used several ways, among others, by using Gauss-Jordan elimination method or by using the inverse matrix.
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan atas segala kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik”.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam memperoleh gelar sarjana di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas sanata Dharma. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menemaniku dan mendengarkan setiap doaku,
2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi dan dosen pembimbing akademik yang telah memberikan arahan dalam proses penulisan skripsi ini,
3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. dan Bapak Drs. A. Sardjana, M.Pd.selaku dosen penguji yang memberikan kritik dan saran guna menyempurnakan skripsi ini,
4. Bapak Andi Rudhito, S.Pd., M.Si. selaku kepala Program Studi Pendidikan Matematika,
5. Segenap dosen Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sanata Dharma,
7. Kedua orang tuaku Bapak F.X. Wisnu Broto dan Ibu Veronika Samiasih, juga adikku Leonardus Prasetyo Andy yang tak henti-hentinya memberikan cinta, kasih sayang mendukung dan selalu mendoakanku,
8. Mas Denny yang selalu setia dan sabar menemani dan mendukung setiap langkahku,
9. Dian, Ririn, Merry, Adi, Chintia, dan semua teman-temanku dari Pendidikan Matematika angkatan 2009. Terimakasih telah berbagi hari yang menyenangkan dan penuh kenangan selama proses perkuliahan di kampus ini, 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, terimakasih atas
bantuan dalam penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun. Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi segenap pembaca.
Yogyakarta, 31 Juli 2013 Penulis
BAB II KAJIAN PUSTAKA ... A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear ... B. Istilah-istilah pada Rangkaian Listrik ... C. Simpul, Lintasan, Loop, Cabang, Jaring, dan Rangkaian Planar.... D. Hukum-hukum pada Rangkaian Listrik ... E. Kerangka Pikir ... BAB III Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik ... A. Analisis Loop Tunggal pada Rangkaian Seri yang Tidak Mengandung Sumber Arus ... B. Analisis Jaring (Mesh Analysis) pada Rangkaian yang Tidak
Mengandung Sumber Arus ... C. Analisis Simpul(Nodal Analysis)pada Rangkaian yang Tidak
DAFTAR GAMBAR Sumber tegangan bebas dan tak bebas ... Sumber arus bebas dan tak bebas ... Resistor, kapasitor, dan induktor ... Rangkaian seri ... Rangkaian paralel ... Rangkaian dengan dua sumber tegangan dan tiga resistor untuk contoh 2.29 ... Rangkaian listrik dengan simpul untuk contoh 2.30…….. Rangkaian planar dan non planar ... Penerapan Hukum Arus Kirchhoff pada simpul sederhana ... Rangkaian tiga sumber tegangan ... Rangkaian dua sumber tegangan dan sebuah resistor ... Rangkaian seri dengannelemen ... Rangkaian yang dilengkapi dengan referensi arus dan tegangan ... Sumber tegangan dan arah arusnya ... Loop rangkaian listrik dengan dua sumber tegangan dan
Gambar 3.5
Gambar 3.6 Gambar 3.7
Gambar 3.8 Gambar 3.9
Gambar 3.10
resistor ... Rangkaian yang tersusun dari dua sumber tegangan dan resistor ... Rangkaian dengan dua jaring ... Rangkaian yang tersusun atas dua sumber tegangan dan sembilan resistor ... Rangkaian yang dilengkapi dengan arah jaring ... Rangkaian yang tersusun atas dua sumber arus dan sembilan resistor ... Rangkaian beserta tanda simpul dan arusnya ...
53
55 56
60 60
xv
DAFTAR NOTASI
Cs sumber arus
G konduktansi resistor
I arus
R resistansi resistor V tegangan
1 BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah aljabar linear elementer, yang di dalamnya memuat materi tentang matriks. Matriks merupakan himpunan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom.
Banyak persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan matriks. Salah satu diantaranya adalah untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi, substitusi, maupun campuran keduanya. Akan tetapi untuk sistem persamaan linear dengan banyak variabel dan persamaan, metode ini dirasa kurang praktis. Oleh karena itu dibutuhkan alat bantu yaitu menggunakan matriks. Sistem persamaan linear diubah menjadi bentuk matriks dan kemudian penyelesaiannya dapat dicari menggunakan sifat-sifat dari matriks.
Persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan sistem persamaan linear dan matriks antara lain adalah permasalahan di bidang ekonomi, dimana matriks digunakan untuk mencari penyelesaian dari analisis input-output. Selain itu, dalam bidang fisika matriks dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari analisis rangkaian listrik.
elemen-elemennya terdiri dari sebuah sumber tegangan dan resistor-resistor yang disusun secara seri atau paralel sederhana, besarnya arus dan tegangan yang mengalir melalui elemen dapat diketahui. Dengan mengaplikasikan Hukum Ohm, maka nilai-nilai dari arus dan tegangan pada elemen rangkaian akan dapat ditentukan. Namun jika rangkaian listrik tidak dirangkai secara seri atau paralel sederhana, besar arus dan tegangan tidak mudah ditentukan jika hanya menggunakan Hukum Ohm.
Gambar 1.1. Rangkaian paralel sederhana
Pada gambar 1.1 di atas, besarnya arus yang mengalir dapat ditentukan menggunakan Hukum Ohm dan mereduksi resistor-resistor tersebut menjadi sebuah resistor pengganti.
Aplikasi Hukum Kirchhoff pada analisis rangkaian tersebut nantinya menghasilkan persamaan-persamaan yang akan membentuk sistem persamaan linear dalam variabel I maupun V. Dimana I adalah arus dan V adalah tegangan. Oleh karena itu diperlukan suatu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut. Sistem persamaan linear tersebut diubah menjadi bentuk matriks. Sehingga untuk penyelesaiannya dapat dicari menggunakan matriks yang diperbesar kemudian diselesaikan menggunakan operasi baris elementer dan invers matriks.
Materi tentang matriks pernah dipelajari dalam perkuliahan, namun hanya sebatas perhitungan-perhitungannya saja. Dari beberapa uraian di atas, dapat dilihat bahwa aplikasi matriks untuk menyelesaikan permasalahan dalam bidang lain sangat menarik untuk dipelajari. Oleh karena itu penulis berminat untuk mengangkat judul “APLIKASI MATRIKS PADA
PENYELESAIAN RANGKAIAN LISTRIK”, hasil penulisan ini diharapkan dapat menarik minat untuk mempelajari matriks dan aplikasinya dalam ilmu yang lain.
B. Pembatasan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini dibatasi pada menentukan penyelesaian analisis loop tunggal, analisis jaring (mesh analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber arus, dan analisis simpul (nodal analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan
mengalir melalui tiap elemen pada rangkaian listrik. Rangkaian yang dianalisis pun dibatasi hanya pada rangkaian planar saja.
C. Rumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini antara lain:
1. Bagaimana mencari besar tegangan dan arus yang mengalir pada tiap-tiap elemen pada rangkaian listrik menggunakan analisis loop, analisis jaring (mesh analysis), dan analisis simpul (nodal analysis)?
2. Bagaimana mencari penyelesaian dari suatu analisis rangkaian listrik menggunakan matriks?
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini antara lain:
1. Untuk menentukan besarnya tegangan dan arus yang mengalir pada tiap-tiap elemen pada rangkaian listrik menggunakan analisis loop, analisis jaring (mesh analysis), dan analisis simpul (nodal analysis).
2. Untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu analisis menggunakan matriks, sehingga diperoleh besar tegangan dan arus yang mengalir.
E. Manfaat Penulisan
2. Bagi pihak lain, hasil penulisan ini diharapkan dapat memperjelas aplikasi dari matriks dalam mencari penyelesaian khususnya dalam analisis rangkaian listrik.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku acuan yang digunakan, sehingga belum ditemukan hal-hal yang baru.
G. Sistematika Penulisan
Skripsi ini terdiri dari empat bab. Bab I membahas tentang pendahuluan yang berisi latar belakang, pembatasan masalah, perumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.
terakhir definisi invers sebuah matriks dan cara mencarinya menggunakan determinan dan adjoin, metode operasi baris elementer,dan metodepartisi. Ada pula definisi sistem persamaan linear dan cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan dan invers matriks.
Selain itu terdapat pula istilah-istilah pada rangkaian listrik meliputi definisi muatan, arus, tegangan, elemen rangkaian, dan rangkaian listrik. Selain itu terdapat definisi simpul, lintasan, loop, cabang, jaring, dan rangkaian planar pada rangkaian listrik. Ada pula hukum-hukum pada rangkaian listrik antara lain Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Pada bab ini juga disampaikan kerangka pikir.
Pada bab III, penulis memaparkan pembahasan rumusan masalah yang diangkat dalam skripsi ini, yaitu tentang menganalisis rangkaian listrik menggunakan analisis loop tunggal pada rangkaian listrik, analisis jaring (mesh analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber arus dan analisis simpul (nodal analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan dan penggunaan matriks untuk mencari penyelesaian dari beberapa permasalahan dalam rangkaian listrik beserta contohnya.
7 BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Pada pembahasan untuk bab selanjutnya, akan digunakan beberapa teori tentang matriks. Berikut disajikan beberapa definisi tentang matriks dan sistem persamaan linear yang dibutuhkan.
1. Matriks
Definisi 2.1. Matriks (Ayres, 1989: 1)
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diapit
sepasang kurung siku. ■
Bentuk umum suatu matriks A adalah:
Misalkan terdapat matriks A yang disajikan sebagai berikut:
[ ]
Matriks A tersebut memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka dapat dikatakan bahwa matriks A berukuran 2 3, ditulis . Sedangkan anggota pada matriks A adalah
Dua buah matriks, misalkan matriks A dan B, dikatakan berukuran sama jika banyaknya baris pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya kolom pada matriks B, sehingga jika matriks A berukuran
maka matriks B juga berukuran , atau jika dinotasikan: dan .
Contoh 2.2
Misalkan terdapat matriks A, B, dan C yang disajikan sebagai berikut:
[ ] [ ] [ ]
Matriks A berukuran , matriks B berukuran , dan matriks C berukuran . Matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama yaitu
matriks A dan C ukurannya tidak sama, maka matriks A dan matriks C bukan matriks yang berukuran sama, begitu pula dengan matriks B dan C.
Matriks yang mempunyai ukuran atau disebut matriks persegi. Berikut bentuk umum matriks persegi:
persegi ditunjukkan pada contoh 2.3 berikut:
Contoh 2.3. Misalkan terdapat matriks A dan B sebagai berikut:
[ ] dan [
]
Matriks A adalah matriks persegi berordo 2 dengan entri-entri pada diagonal utamanya adalah 2 dan 6. Matriks B adalah matriks persegi berordo 3 dengan entri-entri pada diagonal utamanya 4, 3, dan 3.
Matriks persegi yang entri-entri di bawah diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi yang entri-entri di atas diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga bawah.
Berikut disajikan contoh dari matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah:
Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks [
] dan
[
]. Matriks A merupakan matriks segitiga atas dan matriks B
merupakan matriks segitiga bawah.
Matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris. Sedangkan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom.
Untuk memperjelas pengertian matriks baris dan matriks kolom, berikut disajikan contoh dari matriks baris dan matriks kolom:
Contoh 2.5
Misalkan diketahui matriks [ ] dan [ ].
A adalah matriks baris berukuran dan B adalah matriks kolom berukuran .
Matriks yang semua entrinya nol disebut matriks nol. Berikut diberikan definisi matriks nol:
Definisi 2.2. Matriks Nol (Howard Anton, 2000: 62)
Matriks nol adalah matriks berukuran yang semua entrinya adalah nol dan dinotasikan dengan atau 0. ■
Berikut disajikan contoh dari matriks nol:
[ ] [ ] [ ]
Selain matriks nol, ada pula matriks diagonal. Definisi matriks diagonal adalah sebagai berikut:
Definisi 2.3. Matriks Diagonal (Jain & Gunawardena, 2004: 42)
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang setiap entri, kecuali pada diagonal utamanya adalah nol. ■ Matriks diagonal dinotasikan sebagai berikut:
[
] (2.3)
Contoh 2.7
Berikut adalah contoh matriks diagonal:
[ ] [ ]
Matriks diagonal yang setiap entri pada diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas. Berikut definisi dari matriks identitas:
Definisi 2.4. Matriks Identitas (Howard Anton, 2000: 63)
Contoh 2.8. Berikut adalah contoh matriks identitas:
[ ] [
]
Pada sebarang matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu dengan menukarkan baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan
Definisi 2.5. Transpose suatu Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 49) Misalkan terdapat matriks yang berukuran . Transpose dari matriks A ditulis adalah matriks berukuran dimana entri
adalah untuk semua i, j. ■
Dengan kata lain, jika A adalah sebarang matriks berukuran , maka adalah matriks berukuran yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Kolom pertama matriks adalah baris pertama matriks A, kolom kedua matriks adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut:
Contoh 2.9
Misalkan terdapat matriks [ ] dan [
Maka [ ] dan [
] [
].
Jika matriks persegi A=AT maka matriks A merupakan matriks simetris.
Matriks merupakan susunan bilangan yang berbentuk persegipanjang. Oleh karena itu, seperti halnya bilangan, matriks juga dapat dioperasikan. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Berikut disajikan definisi penjumlahan pada matriks.
Definisi 2.6. Penjumlahan pada Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 34) Jika dan , A dan B matriks berukuran sama, maka adalah suatu matriks dimana
untuk setiap i dan j. ■
Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut: Contoh 2.10
Misalkan terdapat matriks [
] dan [ ] maka [ ] [ ] [ ] [ ]
Definisi 2.7. Pengurangan pada Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 35) Jika dan , A dan B matriks berukuran sama, maka adalah suatu matriks dimana
untuk setiap i dan j. ■
Contoh 2.11. Pengurangan dua buah matriks: Misalkan terdapat matriks [
] dan [ ] maka [ ] [ ] [ ] [ ]
Matriks dapat dikalikan, baik dengan skalar maupun dengan matriks lain. Berikut disajikan definisi perkalian matriks dengan skalar:
Definisi 2.8. Perkalian Matriks dengan Skalar (Howard Anton, 2000: 48) Jika adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar,
maka ■
Contoh 2.12. Berikut contoh perkalian suatu matriks dengan skalar: Misalkan terdapat matriks [
]. Jika matriks A dikalikan
dengan 2, maka akan diperoleh [
] dan jika matriks A
dikalikan dengan akan diperoleh [ ].
Definisi 2.9. Perkalian Matriks dengan Matriks (Howard Anton, 2000: 49) Jika A adalah sebuah matriks berukuran dan B adalah matriks berukuan , maka hasil kali AB adalah matriks berukuran yang anggota-anggotanya disefinisikan sebagai berikut:
Untuk mencari entri-entri dalam baris i dan kolom j pada matriks AB, pilih baris i pada matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian
jumlahkan hasil kalinya. ■
Contoh 2.13. Perkalian dua buah matriks Misalkan terdapat matriks [
] dan matriks [ ].
Jika matriks A dikalikan dengan matriks B, maka:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
Selain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, terdapat pula operasi baris elementer. Menurut Ayres (1989: 39) operasi baris elementer merupakan operasi pada sebuah matriks yang dilakukan dengan cara: a. mempertukarkan baris ke-i dan baris ke-j dan dinyatakan dengan , b. mengalikan baris ke-i dengan konstanta yang dinyatakan dengan
c. menjumlahkan entri-entri baris ke-i dengan k kali entri-entri padanannya dari baris ke-j, dimana k suatu skalar dan dinyatakan dengan .
Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh dari operasi baris elementer, sebagai berikut:
Contoh 2.14
Misalkan terdapat matriks [
].
Operasi baris elementer yang dilakukan terhadap matriks A tersebut antara
lain [
], [
] dan
[
].
Operasi baris elementer akan menghasilkan matriks baru yang disebut dengan matriks ekuivalen dan disimbolkan dengan “~”.
Contoh 2.15
Misalkan terdapat matriks [
].
Matriks ekuivalen yang dapat dibentuk dari matriks A adalah
[ ]
[
] .
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Berikut disajikan definisi dari determinan:
Definisi 2.10. Determinan suatu Matriks (Howard Anton, 2000: 114) Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan dengan det, dan mendefinisikan det (A) sebagai jumlah semua hasil kali bertanda
dari A. Angka det (A) disebut determinan A. ■ Determinan suatu matriks A dilambangkan dengan | | atau .
Secara umum, determinan matriks A dengan ordo n dapat dituliskan sebagai berikut:
| | ∑
∑
dimana:
|A| adalah determinan matriks A,
adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks dari determinan matriks A,
adalah minor dari unsur yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari determinan matriks A, dan
kofaktor dari unsur .
Determinan untuk matriks berukuran misal, [ ], ditentukan dengan cara |
Untuk matriks berukuran , misalkan [
],
determinannya ditentukan oleh
|
|
Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut:
Contoh 2.16. Determinan dari matriks berukuran dan
Misalkan terdapat matriks [
] dan [
] maka
| |
dan | |
Berikut disajikan definisi dari minor dan kofaktor dari suatu matriks dalam definisi 2.11 dan definisi 2.12:
Definisi 2.11. Minor (Howard Anton, 2000: 135)
Berikut disajikan contoh mengenai minor dari suatu matriks: Contoh 2.17
Misalkan terdapat matriks A sebagai berikut:
[
]. Tentukan minor anggota dan !
Minor anggota dan adalah |
| dan | |.
Definisi 2.12. Kofaktor (Howard Anton, 2000: 135)
Jika minor dari dikalikan dengan hasilnya dinamakan kofaktor dari dan dinyatakan dengan . ■ Contoh 2.18
Misalkan terdapat matriks [
]. Tentukan kofaktor anggota
dan !
Minor anggota adalah |
|, sehingga kofaktornya adalah
| |
Minor anggota adalah |
| sehingga kofaktornya adalah
| |
Definisi 2.13. Matriks Kofaktor (Howard Anton, 2000: 140)
| |
Matriks kofaktornya adalah [
] dan
[
].
Jika suatu matriks mempunyai determinan nol maka disebut matriks singular. Sebaliknya, jika determinan matriks tidak nol maka disebut matriks taksingular.
Determinan untuk matriks diagonal A atau diperoleh dari perkalian entri pada diagonal utama. Demikian pula jika A adalah matriks segitiga, diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada diagonal utamanya. Untuk memperjelas, disajikan contoh berikut:
Contoh 2.20
Misalkan terdapat matriks [
]
dan [
]
.
dan .
Ada sifat determinan yang terkait dengan operasi baris elementer. Misalkan terdapat matriks A, jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta , maka
. Sifat yang lain adalah jika A’ diperoleh dari A dengan menukar
cara menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris yang lain, maka
Perhitungan determinan dapat dipermudah menggunakan sifat-sifat tersebut. Metode ini disebut metode reduksi baris. Untuk lebih jelasnya, berikut disajikan contohnya:
Contoh 2.21
Misalkan terdapat matriks [
]. Carilah det(A)
menggunakan metode reduksi baris!
Determinan dari matriks A lebih mudah dicari jika matriks tersebut diubah menjadi matriks segitiga. Sehingga nantinya merupakan perkalian dari entri-entri pada diagonal utamanya saja. Oleh karena itu untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga digunakan bantuan operasi baris elementer.
Langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mengubah salah satu entri pada kolom pertama menjadi bernilai 1. Perlakuan ini tidak mengubah tanda maupun nilai dari determinan.
|
|
diperoleh |
|
.
|
| maka diperoleh |
| .
Selanjutnya, untuk mengubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga dilakukan operasi baris elementer untuk membuat entri-entri pada
menjadi nol.
| |
maka |
|
.
|
|
maka |
| .
Jadi,
Suatu matriks persegi akan mempunyai invers jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Berikut disajikan definisi invers dari sebuah matriks:
Definisi 2.14. Invers sebuah Matriks (Howard Anton, 2000: 65)
Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama dan bisa didapatkan sedemikian sehingga maka matriks A disebut bisa dibalik dan matriks B disebut invers dari matriks A. ■
Untuk matriks persegi berukuran inversnya dapat ditentukan dengan menggunakan determinan dan adjoin. Misalkan untuk sebarang matriks A maka
. Dengan syarat .
Invers dari matriks berukuran misalkan [ ], dapat langsung dicari dengan aturan sebagai berikut:
[
].
Contoh 2.22
Misalkan terdapat matriks [
] dan [ ].
Invers dari matriks A dapat diperoleh dengan [
]
[ ] [ ].
Invers dari matriks B dicari dengan menggunakan . Kofaktor dari matriks B adalah:
| |
| |
| |
| |
| |
Invers matriks juga dapat dicari dengan bantuan matriks identitas I. Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat matriks gabungan [ | ] kemudian mereduksi matriks A pada ruas kiri menjadi matriks I dengan menggunakan operasi baris elementer. Operasi baris elementer yang sama juga dilakukan pada matriks identitas, sehingga matriks I pada ruas kanan akan tereduksi menjadi matriks B. Karena maka matriks B ini adalah matriks . Untuk lebih jelasnya disajikan contoh sebagai berikut: Contoh 2.23
Misalkan terdapat matriks [
].
Sehingga diperlukan matriks gabungan [ | ], sedemikian sehingga
direduksi menggunakan operasi baris elementer, sedemikian sehingga menghasilkan matriks identitas.
Partisi matriks [
]. [ ] [ ]
[ ] [ ].
[ ] [ ],
[ ] [ ] [ ],
[ ] [ ] [ ],
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],
[ ],
( ) ( )
[ ] [ ] [ ][ ] [ ],
( ) [ ] [ ] [ ],
( ) [ ][ ] [ ],
Maka [ ] [
].
2. Sistem Persamaan Linear
Suatu persamaan linear dengan n variabel adalah persamaan dengan bentuk:
dimana dan b adalah bilangan real, adalah variabel.
Dengan demikian, suatu sistem persamaan linear dari n persamaan dalam n variabel adalah
(2.5)
dengan dan adalah bilangan real.
Berikut disajikan contoh dari sistem persamaan linear dalam variabel
: Contoh 2.25
[
atau jika diubah menjadi bentuk perkalian matriks
[
matriks untuk konstanta, matriks-matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai
(2.8)
Untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut, dapat digunakan beberapa cara, antara lain:
a. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan
[ | ]
Kemudian dilakukan operasi baris elementer pada matriks tersebut untuk mendapatkan matriks identitas pada matriks sebelah kiri dan penyelesaian pada matriks sebelah kanan.
Contoh 2.26
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear:
Sitem persamaan tersebut jika dituliskan dalam bentuk matriks yang
[
Suatu sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk
(2.10)
Untuk mencari penyelesaiannya, dapat digunakan bantuan invers matriks, yaitu
(2.11)
Invers dari matriks A diperoleh dengan menggunakan metode partisi. Untuk lebih jelasnya berikut disajikan contoh.
Contoh 2.27
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut:
Bentuk perkalian matriks untuk sistem persamaan linear tersebut
adalah [
] [ ] [
]
. Dengan [
]
,
[ ], dan [
]
.
maka
dicari dengan menggunakan metode partisi.
Partisi matriks [
]. [ ] [ ]
[ ] [ ].
[ ] [ ],
[ ] [ ] [ ],
[ ] [ ] [ ],
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ],
[ ],
( ) ( ) [ ]
[ ] [ ][ ] [ ],
( ) [ ] [ ] [ ],
Maka [
Salah satu konsep dasar dalam analisis rangkaian listrik adalah konsep muatan. Dalam ilmu fisika, muatan terdiri dari dua macam, yaitu muatan positif (proton) dan muatan negatif (elektron). Muatan yang tidak berubah terhadap waktu dipresentasikan oleh Q, sedangkan muatan yang berubah terhadap waktu dipresentasikan dengan q. Namun arus sendiri didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.15. Arus (Sears & Zemansky, 1963: 502)
Arus (dinotasikan dengan I) adalah jumlah pemindahan rata-rata dari muatan positif yang melewati suatu penampang penghantar atau dapat dikatakan bahwa arus adalah jumlah muatan positif yang melewati penghantar per satuan
waktu. ■
Secara matematis arus dirumuskan dengan:
(2.9)
Dimana dq adalah muatan listrik yang bergerak dalam satuan Couloumb dan dt adalah waktu yang dibutuhkan muatan tersebut untuk bergerak dalam
(a) (b)
Gambar 2.1. Salah satu cara mempresentasikan arus
Gambar 2.1 menunjukkan dua buah arus yang besarnya sama yaitu 2 A, namun arahnya berlawanan, sehingga tandanya pun berlawanan.
Arus listrik mengalir pada rangkaian tertutup. Adanya arus listrik yang mengalir pada suatu rangkaian listrik disebabkan oleh adanya perbedaan potensial di antara dua buah titik dalam rangkaian tersebut. Arah aliran berasal dari titik yang mempunyai beda potensial tinggi ke beda potensial rendah. Beda potensial juga disebut dengan tegangan. Definisi beda potensial atau tegangan disajikan sebagai berikut:
Definisi 2.16. Tegangan (Hayt & Kemmerly, 1990: 12)
Tegangan yang melewati suatu elemen listrik didefinisikan sebagai kerja yang diperlukan untuk menggerakkan muatan positif sebesar 1 Couloumb dari satu titik ujung ke titik ujung yang lain dari elemen tersebut. ■ Satuan dari tegangan adalah Volt (V).
Misakan terdapat suatu sumber tegangan yang digambarkan sebagai berikut:
Misalkan diketahui besarnya tegangan pada gambar tersebut adalah 5 Volt. Sehingga dapat dinyatakan bahwa tegangan atau beda potensial antara titik A dengan titik B sebesar 5V. Dapat juga dikatakan titik A mempunyai tegangan 5 V lebih tinggi daripada titik B. Dengan demikian
atau dapat juga dinyatakan
Seperti yang sudah disebutkan, arus listrik dapat mengalir pada rangkaian tertutup. Rangkaian tertutup merupakan rangkaian listrik yang tidak mempunyai ujung dan pangkal. Rangkaian listrik disusun oleh beberapa alat listrik. Dalam pembahasan ini digunakan istilah elemen rangkaian pada alat listrik. Berikut definisi dari elemen rangkaian listrik:
Definisi 2.17. Elemen Rangkaian (Hayt dkk, 2005:17)
Sebuah elemen rangkaian adalah model matematika dari sebuah alat listrik yang mempunyai dua terminal (titik ujung), yang dapat dinyatakan oleh hubungan antara tegangan dan arusnya seta tidak dapat dibagi lagi menjadi alat lain yang mempunyai dua titik ujung. ■
1. Sumber Tegangan
Sumber tegangan dibagi menjadi dua, yaitu sumber tegangan bebas dan sumber tegangan tak bebas. Sumber tegangan bebas merupakan sumber tegangan yang menghasilkan tegangan secara konstan, tidak dipengaruhi kuat arus yang dihasilkan. Sedangkan sumber tegangan tak bebas menghasilkan tegangan yang dipengaruhi oleh kuat arus yang dihasilkan. Berikut adalah simbol tegangan bebas dan tak bebas:
(a) (b)
Gambar 2.3 Sumber tegangan bebas (a) dan sumber tegangan tak bebas (b) 2. Sumber Arus
Sumber arus juga dibagi menjadi dua, yaitu sumber arus bebas dan sumber arus tak bebas. Pada sumber arus bebas, arus yang dihasilkan tidak tergantung pada tegangan. Sedangkan pada sumber arus tak bebas, arus yang dihasilkan dipengaruhi oleh tegangan pada komponen lain. Berikut adalah simbol arus bebas dan sumber arus tak bebas:
(a) (b)
Elemen pasif merupakan elemen-elemen yang menyerap atau menyimpan energi dari sumber. Contoh dari elemen pasif adalah resistor, kapasitor, dan induktor. Berikut ini adalah simbol dari resistor, kapasitor, dan induktor tersebut:
(a) (b) (c)
Gambar 2.5. Resistor (a), kapasitor (b), dan induktor (c)
Susunan dari elemen-elemen rangkaian menghasilkan jaringan maupun rangkaian. Jaringan dan rangkaian didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.18. Jaringan dan Rangkaian Listrik (Hayt dkk, 2005: 20)
Jaringan adalah sambungan antara dua atau lebih elemen rangkaian. Sedangkan rangkaian listrik adalah jaringan mengandung sedikitnya satu buah
lintasan tertutup. ■
Elemen rangkaian dapat disusun menjadi rangkaian seri, paralel, dan campuran seri paralel. Jika elemen listrik disusun menjadi suatu rangkaian listrik yang hanya memiliki satu jalan bagi arus maka rangkaian yang dihasilkan adalah rangkaian seri. Sedangkan jika terdapat beberapa jalan bagi arus, maka rangkaian yang terbentuk adalah rangkaian paralel.
Contoh 2.28
Gambar 2.6. Rangkaian seri
Pada gambar 2.6 disajikan sebuah rangkaian seri dengan tiga buah resistor R1, R2, dan R3 disusun secara berdampingan. Arus yang mengalir dari sumber tegangan hanya memiliki satu jalur dan besarnya arus yang melalui masing-masing resistor sama.
Contoh rangkaian paralel ditujukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.7. Rangkaian paralel
C. Simpul, Lintasan, Loop, Cabang, Jaring, dan Rangkaian Planar pada
Rangkaian Listrik
Elemen-elemen pada rangkaian listrik membentuk suatu hubungan. Selanjutnya akan dibahas beberapa istilah mengenai hubungan antar elemen rangkaian di dalam jaringan sederhana yang terdiri dari dari dua atau lebih elemen rangkaian. Antara lain node, lintasan, loop, cabang, jaring dan rangkaian planar. Berikut disajikan definisi dari istilah-istilah tersebut menurut Hayt dkk (2005).
Jika terdapat dua atau lebih elemen rangkaian yang terhubung, maka titik tempat terhubungnya elemen-elemen rangkaian tersebut dinamakan simpul atau node. Berikut contoh simpul dalam suatu rangkaian:
Contoh 2.29
Gambar 2.8. Rangkaian listrik dengan dua sumber tegangan dan tiga resistor
Pada rangkaian tersebut, banyaknya simpul adalah 4 yaitu a, b, c, dan d. Dalam hal ini simpul d=e=f, karena merupakan titik pertemuan dari
.
yang dilewati lebih dari datu kali maka kumpulan simpul dan elemen yang dilalui didefinisikan sebagai lintasan. Sebagai contoh, pada gambar 2.8, jika bergerak dari simpul a menuju simpul c, maka akan terbentuk sebuah lintasan yaitu .
Lintasan tunggal di dalam sebuah jaringan yang terbentuk dari sebuah elemen sederhana dan simpul pada masing-masing ujung elemen tersebut disebut cabang. Sedangkan loop didefinisikan sebagai suatu lintasan tertutup dimana simpul awal pergerakan sama dengan simpul akhir pergerakan. Sebuah loop yang tidak mengandung loop lain di dalamya disebut sebagai jaring.
Contoh 2.30. Lintasan, loop dan jaring:
Misal terdapat rangkaian listrik sederhana yang digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.9. Rangkaian listrik dengan simpul
Jika terdapat pergerakan yang dimulai dari simpul a menuju simpul c, maka akan terbentuk sebuah lintasan yaitu . Rangkaian listrik tersebut mempunyai 5 cabang, yaitu
. Loop yang terbentuk pada rangkaian listrik tersebut antara lain dan
rangkaian listrik tersebut adalah dan
.
Selain itu, terdapat pula istilah rangkaian planar. Berikut disajikan definisi dari rangkaian planar beserta contohnya:
Definisi 2.19. Rangkaian Planar (Chi Kong Tse, 2002: 39)
Rangkaian planar adalah rangkaian yang tidak mengandung cabang yang melewati sebelah atas atau bawah cabang-cabang lain manapun. ■ Dengan kata lain, tidak ada elemen rangkaian yang saling tumpang tindih. Berikut disajikan contoh dari rangkaian planar dan non planar:
Contoh 2.31
(a) (b)
Gambar 2.10. Rangkaian planar (a) dan rangkaian non planar (b)
D. Hukum-hukum pada Rangkaian Listrik
1. Hukum Ohm
mengukur arus dan tegangan serta menerangkan dan menghubungkannya secara matematis. Berikut bunyi Hukum Ohm:
Definisi 2.20. Hukum Ohm (Hayt & Kemmerly, 1990: 21)
Hukum Ohm mengatakan bahwa tegangan yang melintasi berbagai jenis bahan pengantar adalah berbanding lurus kepada arus yang mengalir
melalui bahan tersebut. ■
Atau secara matematis, Hukum Ohm dinyatakan sebagai berikut:
(2.10)
Dimana adalah tegangan, adalah resistansi atau hambatan yang terdapat pada penghantar, dan adalah arus yang mengalir melalui penghantar tersebut. Karena maka , dalam hal ini dilambangkan dengan . G merupakan konduktansi atau kebalikan dari R.
2. Hukum Kirchhoff
Dalam suatu rangkaian listrik, tegangan dan arus yang mengalir dapat dihitung dengan hukum Kirchhoff. Berikut isi dari hukum tersebut:
Definisi 2.21. Hukum Arus Kirchhoff (Hayt & Kemmerly, 1990: 23)
Hukum pertama Kirchhoff disebut Hukum Arus Kirchhoff (Kirchhoff’s
Current Law atau disingkat KCL) yang mengatakan bahwa jumlah aljabar semua arus yang memasuki simpul atau titik cabang pada suatu rangkaian
listrik adalah nol. ■
∑
∑ ∑
Arus yang menuju simpul dinyatakan positif dan arus yang meninggalkan simpul dinyatakan negatif (Zukhri, 2007:8).
Gambar 2.11. Penerapan Hukum Arus Kirchhoff pada simpul sederhana
Berdasarkan Hukum Arus Kirchhoff rangkaian pada gambar 2.11 dinyatakan sebagai:
atau (2.12)
Definisi 2.22. Hukum Tegangan Kirchhoff (Hayt & Kemmerly, 1990: 24)
Hukum kedua Kirchhoff disebut Hukum Tegangan Kirchhoff (Kirchhoff’s
Voltage Law atau disingkat KVL) yang mengatakan bahwa jumlah aljabar seluruh tegangan mengelilingi sebuah jalan tertutup dalam sebuah
rangkaian adalah nol. ■
Secara matematis, Hukum Tegangan Kirchhoff ditulis:
∑
Gambar 2.12. Rangkaian tiga sumber tegangan
Misalkan pergerakan tegangan dimulai dari titik a menuju titik b, lalu dari b ke c dan kembali menuju titik a atau searah perputaran jarum jam. Tegangan pada bertanda positif (+), tegangan pada bertanda negatif (-) dan tegangan pada juga negatif (-). Sehingga diperoleh persamaan:
(2.14) Untuk memperjelas pernyataan di atas, disajikan contoh dari Hukum Tegangan Kirchhoff pada suatu rangkaian sederhana.
Contoh 2.31
Misalkan terdapat rangkaian sederhana seperti pada gambar 2.13:
Gambar 2.13. Rangkaian dua sumber tegangan dan sebuah resistor
, dengan mensubstitusi nilai dari masing-masing sumber tegangan didapat . Sehingga nilai dari diketahui, yaitu 12V.
E. Kerangka Pikir
Pada suatu rangkaian listrik, yang terdiri dari sebuah sumber tegangan dan resistor yang disusun secara seri atau paralel sederhana, arus dan tegangan yang melewati masing-masing elemen dapat dicari menggunakan Hukum Ohm dan menggunakan resistor-resistor pengganti. Sedangkan untuk rangkaian yang tersusun dari beberapa sumber tegangan dan resistor yang disusun secara seri, namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi menggunakan resistor pengganti digunakan analisis loop.
Analisis simpul (nodal analysis) digunakan untuk mencari tegangan yang mengalir pada elemen rangkaian untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan. Rangkaian disederhanakan sehingga tampak simpul-simpul yang menghubungkan elemen rangkaian. Kemudian salah satu simpul dipilih sebagai simpul referensi. Pada simpul-simpul yang lain, tegangan simpul yang relatif terhadap simpul referensi dilambangkan dengan
. Setelah itu, aplikasikan Hukum Arus Kirchhoff pada masing-masing simpul sehingga diperoleh persamaan-persamaan dalam I. Setelah itu, aplikasikan Hukum Ohm pada arus-arus resistor sehingga akan terbentuk persamaan-persamaan dalam V pada masing-masing simpul. Jika dalam rangkaian terdapat n buah simpul, setelah dipilih satu simpul referensi, akan tersisa (n-1) simpul, yang nantinya akan menghasilkan (n-1) persamaan pula.
48 BAB III
Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik
Permasalahan yang sering dihadapi pada suatu rangkaian listrik adalah bagaimana menentukan tegangan atau arus yang mengalir pada tiap-tiap elemen rangkaian dengan nilai dari sumber-sumbernya diketahui. Rangkaian listrik, yang terdiri dari satu sumber tegangan dan beberapa resistor, yang disusun secara seri atau paralel sederhana besarnya arus dan tegangan yang melewati masing-masing elemen dapat dicari menggunakan Hukum Ohm dan dengan menggunakan resistor-resistor pengganti.
Untuk rangkaian yang tersusun dari beberapa sumber tegangan dan resistor yang disusun secara seri, namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi menggunakan resistor pengganti digunakan analisis loop. Aplikasi Hukum Tegangan Kirchhoff pada loop akan menghasilkan persamaan tegangan dalam V. Untuk memperoleh arus yang mengalir pada resistor, digunakan Hukum Ohm yaitu . Sehingga nantinya akan didapat persamaan dalam I.
Pada rangkaian yang terdiri dari dua atau lebih loop besarnya arus atau tegangan dicari menggunakan bantuan Hukum Kirchhoff. Untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber arus digunakan analisis jaring, sedangkan untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan digunakan analisis simpul.
A. Analisis Loop Tunggal pada Rangkaian Seri yang Tidak Mengandung
Sumber Arus
Misalkan terdapat n buah sumber tegangan dan n buah resistor yang dirangkai dalam sebuah rangkaian seri sebagai berikut:
Gambar 3.1. Rangkaian seri dengan n elemen
Pada rangkaian tersebut resistor tidak dapat direduksi langsung menjadi sebuah resistor pengganti, sehingga arus dan tegangan yang mengalir tidak dapat langsung dicari menggunakan Hukum Ohm saja.
Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mencari besarnya arus dan tegangan yang mengalir adalah menggunakan analisis loop. Rangkaian tersebut hanya memiliki satu buah jalan arus. Hal ini berarti rangkaian tersebut hanya terdiri dari satu buah loop saja. Arah loop ini diasumsikan searah dengan perputaran jarum jam. Sedangkan arah arus sendiri diasumsikan sama dangan arah loop.
sumber tegangan tersebut bertanda positif pula ( ). Loop yang bertemu dengan resistor, selalu diasumsikan bertemu dengan terminal positif dari resistor tersebut, sehingga tegangan dari resistor ( ) akan selalu bernilai positif.
Aplikasikan Hukum Arus Kirchhoff pada loop tersebut, maka akan didapat persamaan-persamaan dalam V. Setelah itu, Hukum Ohm digunakan pada elemen-elemen resistif sehingga akan didapatkan persamaan-persamaan dalam I.
Perhatikan gambar berikut:
Gambar 3.2. Rangkaian yang dilengkapi dengan referensi arus dan tegangan
menuju simpul a, sehingga akan diperoleh sebuah persamaan tegangan sebagai berikut:
(3.1)
Untuk mencari besarnya arus yang mengalir digunakan Hukum Ohm untuk resistor, dimana Sehingga persamaan (3.1) akan menjadi:
(3.2)
Adanya Hukum Arus Kirchhoff menjamin bahwa arus yang mengalir besarnya sama, karena arus masuk melalui satu simpul dan keluar melalui satu simpul juga. Oleh karena besarnya arus yang mengalir pada masing-masing elemen sama, maka maka persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi:
( ) ( ) ( ) (3.3)
Atau
( ) ( ) ( )
Secara umum, persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai: ∑∑
( )
ini sumber tegangan tersebut diberi tanda positif, begitu juga sebaliknya, dan ∑ adalah jumlah seluruh resistansi resistor yang terdapat pada rangkaian. Arus inilah yang mengalir pada masing-masing resistor. Jika arus yang dihasilkan bernilai positif, maka arah arus yang sebenarnya searah dengan arah loop, sebaliknya jika arus yang dihasilkan bernilai negatif, maka arah arus yang sebenarnya berlawanan dengan arah loop. Arus negatif akan mengakibatkan tegangan pada resistor bernilai negatif juga. Jika tegangan pada resistor benilai negatif, maka hal ini berarti arah tegangan yang sebenarnya berlawanan dengan arah loop. Untuk lebih jelasnya disajikan gambar berikut:
Gambar 3.3. Sebuah sumber tegangan dan arah arusnya
Untuk lebih jelasnya, berikut disajikan contoh yang berkaitan dengan analisis loop:
Contoh 3.1
Misalkan terdapat rangkaian dua sumber tegangan dan serta dua resistor dan seperti gambar 3.3 berikut:
Gambar 3.4. Loop rangkaian listrik dengan dua sumber tegangan dan resistor
atau . Jika digunakan rumus ∑∑
, maka
.
Arus tersebut bertanda negatif, artinya arah arus yang sebenarnya berlawanan dengan arah loop.
Besarnya arus sudah diketahui, maka tegangan pada resistor dapat diketahui, yaitu tegangan pada atau dan pada resistor atau . Ini berarti tegangan yang mengalir pada resistor berlawanan arah dengan arah loop.
B. Analisis Jaring (Mesh Analysis) pada Rangkaian yang Tidak Mengandung Sumber Arus
Analisis jaring merupakan perluasan dari analisis loop, dimana rangkaian yang dianalisis terdiri lebih dari satu loop. Analisis jaring ini berlaku pada rangkaian listrik yang tidak mengandung sumber arus atau dalam hal ini rangkaian yang tersusun atas sumber tegangan dan resistor saja. Rangkaian yang dianalisis biasanya merupakan rangkaian paralel dengan lebih dari satu sumber tegangan dan resistor, dimana resistor-resistor ini sulit direduksi menggunakan resistor pengganti.
Gambar 3.5. Rangkaian yang terdiri dari 2 sumber tegangan dan resistor
Untuk menganalisis rangkaian menggunakan analisis jaring, rangkaian disusun atas jaring atau loop-loop paling sederhana (dimana loop tidak mengandung loop lain di dalamnya). Arus-arus pada rangkaian diasumsikan mengalir mengelilingi jaring (searah dengan jaring yang sudah ditentukan). Jaring-jaring yang terbentuk ini disimbolkan dengan Arus-arus yang mengalir mengelilingi jaring diasumsikan saling independen. Independen di sini maksudnya arus pertama tidak mempengaruhi arus kedua, arus kedua tidak mempengaruhi arus pertama dan ketiga, dan seterusnya.
Setelah itu, aplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff pada masing-masing jaring. Dengan pengaplikasian Hukum Tegangan Kirchhoff akan diperoleh persamaan-persamaan tegangan dalam V. Untuk mencari besarnya arus yang mengalir pada jaring, digunakan Hukum Ohm untuk tegangan-tegangan pada resistor, sehingga akan didapatkan persamaan-persamaan linear dalam I.
arah jaring yang melalui elemen rangkaian tersebut. Misalkan resistor R dilalui oleh dua buah jaring yang berlawanan arah, maka arus yang melalui resistor tersebut adalah atau tergantung dari jaring yang sedang ditinjau. Sebagai contohnya disajikan gambar berikut:
Gambar 3.6. Rangkaian dengan dua jaring
Pada rangkaian tersebut dilalui oleh dua buah jaring yang saling berlawanan arah. Jika ditinjau dari maka arus yang mengalir melalui resistor tersebut adalah , sedangkan jika ditinjau dari arus yang mengalir melalui resistor tersebut adalah
Jika terdapat n buah jaring pada rangkaian, maka akan diperoleh n buah persamaan linear pula dalam n variabel.
Persamaan linear untuk jaring pertama:
(3.6)
Jaring kedua:
(3.7)
Dan seterusnya, hingga didapat persamaan untuk jaring ke-n:
(3.8)
[
Atau jika dibentuk perkalian dua buah matriks adalah sebagai berikut:
[
Koefisien ini merupakan besarnya resistansi dari resistor-resistor pada rangkaian. Sedangkan adalah arus yang mengalir pada jaring, dinyatakan dengan matriks kolom I, dan , adalah sumber-sumber tegangan yang mengalir pada rangkaian, dinyatakan dengan matriks kolom Vs.
Matriks resistansi R merupakan matriks simetris yang tersusun atas resistansi-resistansi dari resistor. Secara langsung, matriks R dapat disusun sebagai berikut:
Entri-entri selain diagonal utama atau merupakan nilai-nilai negatif dari resistansi yang terletak pada jaring ke-i dan ke-j. Misalkan, untuk merupakan nilai negatif dari resistansi yang dilalui oleh jaring 1 dan jaring 2.
merupakan nilai negatif dari resistansi yang dilalui oleh jaring 1 dan jaring
3, dan seterusnya.
Untuk entri pada matriks sumber Vs dikonstruksikan sedemikian sehingga untuk entri ke-j adalah jumlah sumber tegangan yang mengelilingi jaring ke-j. Tegangan diberi tanda positif jika arah jaring menuju terminal negatif sumber tegangan, begitu pula sebaliknya.
Jika koefisien dari arus dinyatakan dengan matriks R, variabel tegangan dinyatakan dengan matriks kolom I, dan sumber-sumber arus dengan matriks kolom Vs, maka bentuk perkalian matriks tersebut dapat dinyatakan dengan:
RI= Vs (3.11)
Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan tersebut, yaitu nilai-nilai dari I dapat digunakan beberapa cara, antara lain dengan menggunakan invers matriks R. Karena R merupakan suatu matriks, maka nilai-nilai dari I dapat diketahui dengan
I=R-1 Vs (3.12)
Nilai dari R-1 dapat dicari dengan menggunakan partisi matriks.
Jika arus yang dihasilkan positif, maka arah arus sama dengan arah jaring. Begitu sebaliknya, jika arus yang dihasilkan negatif maka arah arus yang sebenarnya berlawanan dengan arah jaring.
Setelah arus-arus pada jaring diketahui, maka arus yang mengalir melalui masing-masing resistor dapat diketahui. Misalkan pada suatu resistor dikelilingi dua arus jaring, maka arus yang mengalir pada resistor tersebut merupakan jumlah dari dua arus jaring tersebut dengan memperhatikan arah jaring yang melaluinya. Misalkan resistor R dilalui dua buah arus jaring
yang aranya berlawanan, maka arus pada resistor tersebut adalah
(3.13)
Jika arus pada masing-masing resistor diketahui, maka besarnya tegangan pada resistor tersebut dapat diketahui menggunakan Hukum Ohm, sehingga tegangan pada resistor yang dilalui oleh dua jaring i dan j adalah
( ) (3.14)
Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh 3.2 berikut: Contoh 3.2
Gambar 3.7. Rangkaian yang tersusun atas 2 sumber tegangan dan 9 resistor Arus dan tegangan yang mengalir dalam rangkaian dapat dicari dengan menggunakan analisis jaring.
Pada rangkaian tersebut terdapat 5 buah jaring. Jika diperjelas, rangkaian tersebut akan tampak seperti pada gambar 3.8 berikut:
Gambar 3.8. Rangkaian yang sudah dilengkapi dengan arah jaring
Andaikan arah arus sama dengan arah jaring, beri simbol pada masing-masing jaring.
Secara langsung, entri-entri pada matriks resistansi dapat ditentukan sebagai berikut:
,
(resistor yang dilalui jaring 1 dan 2 yaitu ), (tidak ada resistor yang dilalui jaring 1 dan 3),
(resistor yang dilalui jaring 1dan 4 yaitu ), (tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 1dan 5),
(resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 3, yaitu ), (resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 4, yaitu ), (tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 5),
(tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 3 dan 4),
(resistor yang dilalui oleh jaring 3 dan 5, yaitu ), (resistor yang dilalui oleh jaring 4 dan 5, yaitu ),
Sehingga, matriks resistansi, matriks arus jaring, dan matriks sumber tegangan dapat dinyatakan dengan:
5 -2 0 -1 0 143
-2 4 -1 -1 0 0
0 -1 6 0 -3 = 0
-1 -1 0 3 -1 -43
0 0 -3 -1 5 0
Atau jika dilakukan langkah-langkah melalui Hukum Kirchhoff adalah sebagai berikut:
Kemudian aplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff pada masing-masing jaring, maka didapat:
Pada jaring ke-1: Pada jaring ke-2:
Pada jaring ke-3: Pada jaring ke-4: Pada jaring ke-5:
Kemudian aplikasikan Hukum Ohm, dimana , pada arus yang melewati resistor, akan diperoleh persamaan tiap simpul sebagai berikut:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Masukkan nilai-nilai dari sumber tegangan dan resistor pada masing-masing jaring, maka akan diperoleh persamaan-persamaan linear sebagai berikut: ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Sederhanakan persamaan-persamaan di atas, menjadi:
Jika persamaan-persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh bentuk sebagai berikut:
5 -2 0 -1 0 143
-2 4 -1 -1 0 0
0 -1 6 0 -3 = 0
-1 -1 0 3 -1 -43
0 0 -3 -1 5 0
Bentuk tersebut dapat disimbolkan dengan RI=Vs
Untuk mencari nilai-nilai dari I digunakan cara sebagai berikut: 1. Dengan menggunakan matriks yang diperbesar
5 -2 0 -1 0 143 H1(1/5)
-2 4 -1 -1 0 0 0 -1 6 0 -3 0 ~ -1 -1 0 3 -1 -43
0 0 -3 -1 5 0
1 -2/5 0 -1/5 0 143/5
-2 4 -1 -1 0 0 H21(2)
0 -1 6 0 -3 0 ~ -1 -1 0 3 -1 -43 H41(1)
0 0 -3 -1 5 0
1 -2/5 0 -1/5 0 143/5
0 16/5 -1 -7/5 0 286/5 H2(5/16)
0 -1 6 0 -3 0 ~ 0 -7/5 0 14/5 -1 -43/5
1 -2/5 0 -1/5 0 143/5 H12(2/5)
0 1 -5/16 -7/16 0 143/8 ~ 0 -1 6 0 -3 0 H32(1)
0 -7/5 0 14/5 -1 -72/5 H42(7/5)
0 0 -3 -1 5 0
1 0 -1/8 -3/8 0 143/4 0 1 -5/16 -7/16 0 136/8
0 0 91/16 -7/16 -3 143/8 H3(16/91)
0 0 -7/16 35/16 -1 85/8 ~ 0 0 -3 -1 5 0
1 0 -1/8 -3/8 0 143/4 H13(1/8)
0 1 -5/16 -7/16 0 136/8 H23(5/16)
0 0 1 -1/13 -48/91 22/7 ~ 0 0 -7/16 35/16 -1 85/8 H43(7/16)
0 0 -3 -1 5 0 H53(3)
1 0 0 -5/13 -6/91 252/7 0 1 0 -6/13 -15/91 132/7
0 0 1 -1/13 -48/91 22/7 ~ 0 0 0 28/13 -16/13 12 H4(38/12)
0 0 0 -16/13 311/91 66/7
1 0 0 -5/13 -6/91 253/7 H14(5/13)
0 1 0 -6/13 -15/91 132/7 H24(6/13)
0 0 1 -1/13 -48/91 22/7 H34(1/13)
0 0 0 1 -4/7 39/7
0 0 0 -16/13 311/91 66/7 H54(16/13)
1 0 0 0 -2/7 268/7 0 1 0 0 -3/7 150/7 0 0 1 0 -4/7 25/7 ~ 0 0 0 1 -4/7 39/7
1 0 0 0 -2/7 268/7 H15(2/7)
2. Dengan menggunakan invers dari matriks R
R-1 diperoleh dengan menggunakan partisi matriks R, sebagai berikut:
Besarnya arus yang mengalir melalui masing-masing resistor adalah
.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa arus yang mengalir melalui sebesar 16 A searah dengan jaring pertama, arus yang mengalir melalui sebesar 15 A dan arus yang mengalir melalui sebesar 17 A searah dengan jaring kedua, arus yang mengalir melalui sebesar 1 A dan yang melalui sebesar 7 A searah dengan jaring ketiga. Arus yang mengalir melalui sebesar 31 A searah dengan jaring pertama, arus yang mengalir melalui sebesar 3 A searah dengan jaring keempat, arus yang mengalir melalui sebesar 40 A searah dengan jaring pertama dan terakhir arus yang mengalir melalui sebesar 6 A searah dengan jaring kelima.
Tegangan yang mengalir pada masing-masing resistor dapat dicari, yaitu:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
