Chapter 6 Multivariate Analysis of Variance MANOVA

(1)

Chapter 6

Multivariate Analysis

of Variance

MANOVA

Chapter 6

Multivariate Analysis

of Variance

MANOVA

(2)

PENDAHULUAN

• Dikembangkan sebagai konstruk teoritis

oleh S.S. Wilks pada tahun 1932 dan

dipublikasikan dalam

Biometrika

.

• Manova merupakan multivariate

perluasan dari konsep dan teknik

univariate

ANOVA digunakan untuk

(3)

ANOVA vs MANOVA

• ANOVA (Analysis of Variance) adalah bagian dari prosedur satistika yang digunakan untuk menganalisis perbedaan mean dari beberapa populasi dengan menggunakan data yang

diperoleh yang diambil dari populasi yang diamati.

• Pengujian ANOVA hanya melibatkan satu variabel dependen metrik dengan variabel independen non metrik.

• Manova menguji dua atau lebih variable

(4)

MANOVA

• Pada kasus univariate, ukuran variable dependen tunggal diuji untuk kesamaan diantara kelompok.

• Pada MANOVA, peneliti sebenarnya

mempunyai dua variate, satu untuk variabel dependent dan yang lain variabel independen. Variabel variabel dependen lebih menarik

karena ukuran dependen metrik dapat

dikombinasikan pada satu kombinasi linier, seperti pada multiple regresi dan analisis

discriminan. Aspek unik dari MANOVA adalah variate secara optimal mengkombinasikan

ukuran multiple dependen ke dalam nilai tunggal yang memaksimalkan perbedaan antar

(5)

Prosedur univariate

• t Test

– untuk menguji perbedaan antara dua kelompok – t-statistik merupakan rasio dari perbedaan antara

mean sample (_1 – _2) terhadap standar errornya. Standar error merupakan estimasi perbedaan antara mean yang diharapkan karena kesalahan sample, bukan perbedaan sesungguhnya antara mean

– Jika nilai absolut t lebih besar dari nilai kritis t, maka kita dapat menolak Ho yang mengatakan tidak ada perbedaan. Hal ini berarti perbedaan aktual secara statistik lebih besar dari perbedaan yang diharapkan dari kesalahan sample.

1 – 2

(6)

Prosedur univariate

• Analysis of Variance (ANOVA)

– untuk menguji perbedaan antara tiga kelompok atau lebih terhadap dua atau lebih variabel independen menggunakan uji F

– ANOVA digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa perbedaan dalam mean antar beberapa kelompok adalah berdasarkan kesalahan sample.

– Pengujian ANOVA secara langsung membandingkan dua estimasi independen dari variance untuk variabel dependen. Yang pertama mewakili variabilitas umum dari responden dalam kelompok (MSW) dan yang

lainnya mewakili perbedaan antar kelompok yang mempunyai pengaruh treatment (MSB).

MSB

(7)

PROSEDUR MANOVA

• Jika pada t test dan ANOVA, pengujian

hipotesis nol adalah kesamaan mean

dari variable dependen antar kelompok.

Pada MANOVA pengujian hipotesis nol

adalah kesamaan mean dari vector

(8)

PROSEDUR MANOVA

• The Two-Group Case: Hotelling's T2

• bentuk yang merupakan perluasan khusus dari univariate t test.

• Hotelling’s T2 menyediakan pengujian statistik

variabel yang dibentuk dari variabel dependen yang menghasilkan perbedaan kelompok

terbesar. Hotelling’s T2 juga digunakan untuk

masalah “inflating” jenis kesalahan I yang timbul ketika membuat serangkaian t test mean

kelompok pada beberapa ukuran dependen. Hal ini mengendalikan inflasi dari jenis kesalahan I dengan menyediakan pengujian keseluruhan secara tunggal dari perbedaan kelompok

(9)

Hotelling’s T

2

• C = W1Y1 + W2Y2 +... + WiYi Dimana

– C = komposit atau skor variate untuk responden – Wi = bobot untuk variabel dependen i

– Yi = variabel dependen i

• Untuk bobot tertentu, kita harus menghitung skor komposit untuk setiap responden dan kemudian menghitung t statistik biasa untuk

(10)

Hotelling’s T

2

• Bobot ini dapat sama dengan fungsi diskriminan antar dua kelompok. Nilai t statistik maksimum yang dihasilkan dari skor komposit yang

dihasilkan oleh fungsi diskriminan di kuadratkan untuk menghasilkan nilai Hotelling’s T2.

Perhitungan formula Hotelling’s T2 mewakili hasil

derivasi matematika yang di gunakan untuk

menyelesaikan t statistik maksimum (dan secara implisit diskriminasi kombinasi linear terhadap variabel dependen). Hal ini sama dengan jika kita dapat menemukan fungsi diskriminan untuk dua kelompok yang menghasilkan T2 yang

(11)

nilai kritis bagi Hotelling’s T

2

•

P(N1+N2-2)

•

T2crit = --- x Fcrit

(12)

PROSEDUR MANOVA

• The k-Group Case: MANOVA

• Manova dapat dianggap sebagai perluasan dari prosedur Hotelling’s T2 dimana kita menemukan

bobot variabel dependen untuk menghasilkan skor variate bagi setiap responden.

• Dengan MANOVA kita akan mendapatkan

seperangkat bobot yang memaksimumkan nilai F hitung ANOVA atas skor variate bagi seluruh

kelompok. Namun MANOVA juga dianggap sebagai perluasan dari analisis diskriminan

dengan multiple variate ukuran dependen yang dapat dibentuk jika jumlah kelompok tiga atau lebih. Variate yang pertama disebut fungsi

(13)

PROSEDUR MANOVA

• Nilai maksimum F sendiri memungkinkan kita untuk menghitung secara langsung apa yang disebut the

greatest characteristic root(gcr) statistic yang

memungkinkan untuk pengujian statistik atas fungsi

diskriminan pertama. The greatest characteristic root(gcr) statistic dapat dihitung sebagai gcr = (k-1)Fmax/(N-K).

• Untuk mendapatkan pengujian tunggal terhadap hipotesis dari tidak ada perbedaan antar kelompok pada vector

pertama dari skor mean, kita dapat mengacu pada table distribusi gcr. Sama halnya dengan statistic F mengikuti distribusi yang diketahui atas hipotesis nol dari kesamaan mean kelompok atas variable dependen tunggal, gcr

statistic mengikuti distribusi yang diketahui atas hipotesis nol dari kesamaan mean vector kelompok(mean

kelompok sama dengan seperangkat ukuran dependen). Perbandingan gcr yang diobservasi dan gcrcrit memberi kita dasar untuk menolak seluruh hipotesis nol dari

(14)

PROSEDUR MANOVA

• Fungsi diskriminan selanjutnya adalah

orthogonal, yang memaksimalkan perbedaan antar kelompok berdasarkan variance sisa yang tidak dijelaskan oleh fungsi sebelumnya.

Dengan demikian dalam beberapa hal pengujian untuk perbedaan antar kelompok melibatkan

tidak hanya skor variate pertama tetapi juga

seperangkat skor variate yang dievaluasi secara simultan. Sejumlah pengujian multivariate(Wilks’ lambda,Pillai’s criterion) yang

(15)

Number of Dependent Variables

Number of Groups in

Independent Variable (Univariate)One (Multivariate)Two or More

Two Groups

(Specialized Case) t-test Hotelling’s T

2

Two or More Groups

(Generalized Case) Analysis of Variance (ANOVA)

Multivariate Analysis of Variance

(MANOVA)

hubungan antara prosedur

univariate dan multivariate

(16)

MANOVA dan Discriminant

Analysis

• MANOVA dan Discriminant Analysis merupakan suatu hubungan seperti gambar dalam cermin dimana variabel dependen dalam MANOVA

(variabel metrik) merupakan independen variabel dalam Discriminant Analysis dan variabel dependen nonmetrik tunggal dalam Discriminant Analysis menjadi variabel independen dalam MANOVA. Lebih lagi

keduanya menggunakan metode yang sama dalam membentuk variate dan menguji signifikansi statistik antar kelompok.

• Perbedaan pada intinya adalah pada tujuan analisis dan peran dari variabel nonmetrik. Discriminant Analysis menggunakan variabel nonmetrik tunggal sebagai variabel dependen. Kategori variabel

dependen diasumsikan given dan variabel independen digunakan untuk membentuk variate yang memaksimalkan perbedaan antar kelompok yang dibentuk oleh variabel dependen kategori. Pada MANOVA

seperangkat variabel metrik bertindak sebagai variabel dependen dan tujuan untuk menemukan kelompok reponden yang menampilkan

perbedaan pada perangkat variabel dependen.

(17)

Kapan seharusnya

menggunakan MANOVA?

• Karena kemampuannya untuk menganalisis

beberapa pengukuran dependen secara

simultan, MANOVA memiliki keunggulan:

– Menyediakan Kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa derajat inter-korelasi

diantara variabel dependen.

(18)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Tahap 1: Tujuan MANOVA

– Untuk menganalisis hubungan dependensi yang diwakili sebagai perbedaan dalam

seperangkat ukuran dependen lintas seri

kelompok yang dibentuk oleh satu atau lebih ukuran independent kategorial.

– Untuk menyediakan pengertian yang

mendalam mengenai sifat dan kekuatan sifat prediksi dari ukuran independen seperti juga keterkaitan dan perbedaan dalam ukuran

(19)

Proses Keputusan untuk MANOVA

• Tiga jenis pertanyaan yang cocok diajukan untuk MANOVA: • Multiple Univariate Questions.

– Peneliti yang mempelajari pertanyaan-pertanyaan multiple univariate

mengidentifikasi sejumlah variabel dependen secara terpisah yang akan dianalisis secara terpisah tetapi memerlukan beberapa kontrol terhadap kesalahan

eksperimen dalam kejadian ini, MANOVA digunakan untuk menguji apakah perbedaan menyeluruh ditemukan di antara kelompok, dan kemudian pengujian univariate yang terpisah dilakukan untuk mendapatkan setiap isu untuk masing-masing variable dependen

• Structured Multivariate Questions.

– Peneliti berurusan dengan pertanyaan multivariate terstruktur mengumpulkan dua atau lebih ukuran dependen yang memiliki hubungan khusus diantaranya. Situasi yang umum dalam kategori ini adalah ukuran yang berulang dimana ada multiple respon dari setiap subjek yang mungkin selama atau setelah pretest-posttest memberikan stimulus seperti iklan. Disini MANOVA menyediakan metode terstruktur untuk menspesifikasi perbandingan perbedaan antar kelompok

terhadap seperangkat ukuran dependen dalam menjaga efisiensi secara statistic.

• Intrinsically Multivariate Questions.

– Pertanyaan ini meliputi sejumlah ukuran dependen dimana mempertimbangkan prinsip bagaimana mereka berbeda sebagai keseluruhan lintas kelompok.

(20)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Tahap 2: Disain Riset MANOVA

• Membutuhkan ukuran sample yang lebih besar dibandingkan univariate ANOVA dan harus melebihi batasan khusus pada setiap sel (kelompok) analisis yang

direkomendasikan adalah minimal ukuran sel 20 observasi. Sample pada setiap sel harus lebih besar dari jumlah variable dependen.

• Disain Faktorial – Analisis dengan dua treatmen atau lebih.

• Pemilihan Treatments, penggunaan yang umum dari disain faktorial meliputi pertanyaan riset yang berhubungan dengan dua atau lebih variable independent nonmetrik terhadap seperangkat variable dependen. Dalam masalah ini variabel independen dispesifikasikan dalam disain eksperimen atau termasuk dalam disain eksperimen lapangan atau survey menggunakan kuesioner. Namun beberapa hal treatmen ditambahkan setelah disain analisis. Treatment tambahan yang sering digunakan adalah blocking factor dimana karakteristik nonmetrik digunakan post hoc untuk segmentasi responden untuk mendapatkan homogenitas kelompok yang lebih besar dan mengurangi sumber variance MSW. Dengan demikian kemampuan uji statistik untuk mengidentifikasi perbedaan dapat ditingkatkan. Sebagai contoh misalnya pada contoh iklan sebelumnya laki-laki dianggap akan mempunyai reaksi yang berbeda dengan perempuan terhadap tampilan iklan dan jika gender

ditambahkan sebagai blocking factor, perbedaan setiap pesan menjad lebih jelas, sedangkan perbedaan akan menjadi samar jika laki-laki dan perempuan di

(21)

Contoh dua treatment sederhana

disain faktorial

• Sebuah perusahaan manufaktur cereal

ingin menganalisis kemungkinan

pengaruh tiga warna (merah, biru, hijau)

dan tiga bentuk yang berbeda (bintang,

kotak, bulat).

• Akan diuji pengaruh kedua variabel

independent secara simultan dengan

disain faktorial 3 x 3. Responden secara

random ditugaskan untuk mengevaluasi

satu dari sembilan kemungkinan

kombinasi warna dan bentuk

(22)

Contoh dua treatment sederhana

disain faktorial

• perbedaan tiga pengaruh dapat diuji dengan ANOVA: – Pengaruh utama dari warna : apakah ada perbedaan antara

rating mean terhadap warna merah (termasuk rating merah bintang, merah kotak, dan merah bulat), biru dan hijau?

– Pengaruh utama dari bentuk : apakah ada perbedaan antara rating mean terhadap bentuk bintang (termasuk rating merah bintang, merah kotak, dan merah bulat), kotak dan bulat?

– Pengaruh interaksi warna dengan bentuk sebagaimana

perbedaan antara warna keseluruhan apakah perbedaan yang sama terjadi jika pengujian dilakukan secara terpisah untuk

bintang, kotak dan bulat. Misalnya jika merah mempunyai rating yang tertinggi secara keseluruhan tetapi menerima rating yang sangat rendah jika di rating sebagai bulat (terhadap biru dan hijau) hasil ini membuktikan adanya pengaruh interaksi yaitu pengaruh warna tergantung bentuknya. Kita dapat

(23)

Contoh dua treatment sederhana

disain faktorial

• Dalam disain faktorial ANOVA pengaruh masing-masing dari ketiganya akan diuji dengan F statistik. Disain faktorial

MANOVA merupakan perluasan dari ANOVA. Untuk setiap F statistic di ANOVA yang mengevaluasi pengaruh variable dependen tunggal dikaitkan dengan statistic multivariate (gcr atau Wilks’ lambda) yang mengevaluasi pengaruh yang sama dari mean variable dependen.

• Istilah interaksi mewakili pengaruh bersama dari dua treatment dan pengaruh ini yang harus diuji lebih dulu. Jika pengaruh interaksi tidak signifikan secara statistic maka pengaruh dari treatment adalah independent. Independensi dalam disain faktorial berarti bahwa pengaruh dari satu treatment adalah sama untuk setiap level terhadap treatment lainnya dan bahwa pengaruh utama dapat diinterpretasi secara langsung. Jika interaksi signifikan maka jenis interaksi harus ditentukan.

(24)

Contoh dua treatment sederhana

disain faktorial

• Perbedaan antar interaksi dapat di lihat secara jelas pada gambar 6.4 yang merupakan contoh bentuk dan warna sereal. Garis vertikal mewakili evaluasi mean setiap kelompok responden

diantara level kombinasi garis horizontal mewakili tiga kategori untuk warna. Garis

(25)

disain faktorial

• Tiga bentuk interaksi di tunjukkan pada gambar tersebut. gambar a. Tidak ada interaksi terlihat setiap garis paralel mewakili perbedaan berbagai bentuk untuk setiap level warna. Pengaruh setiap treatment adalah konstan pada setiap level dan garisnya paralel pada gambar b terlihat bahwa pengaruh setiap treatment tidak konstan sehingga garisnya tidak parallel. Perbedaan untuk merah besar

tetapi menurun secara tajam untuk biru sereal demikian juga untuk hijau.sehingga perbedaan setiap warna

bervariasi antar bentuk. Namun urutan relatif antar level bentuk adalah sama dengan bintang selalu lebih tinggi diikuti kotak kemudian bulat. Pada gambar c perbedaan dalam warna bervariasi tidak hanya besaran tetapi juga arah. Hal ini digambarkan dengan garis yang tidak paralel dan saling berpotongan antar level yaitu kotak

(26)

disain faktorial

• Jika interkasi signifikan ordinal peneliti harus menginterpretasikan interaksi dan memastikan bahwa hasilnya sesuai dengan konsep.

Kemudian pengaruh setiap treatment dapat dijelaskan. Tetapi jka interaksi signifikan

disordinal maka pengaruh utama dari treatment tidak dapat diinterpretasikan dan penelitian

(27)

Menggunakan

covariate-ANCOVA dan Mcovariate-ANCOVA

• ANCOVA. Covariate metrik umumnya

dimasukkan dalam disain eksperimental untuk menghilangkan pengaruh extraneous dari

variable dependen sehingga dapat

meningkatkan varian dalam kelompok (MSW). Hal ini sama dengan mengunakan blocking factor hanya saja variablenya metrik.

Prosedurnya sama dengan regresi linier yang digunakan untuk menghilangkan variasi dalam variable dependen yang berhubungan dengan satu atau lebih covariate kemudian ANOVA

(28)

Menggunakan

covariate-ANCOVA dan Mcovariate-ANCOVA

• MANCOVA merupakan perluasan dari

prinsip ANCOVA untuk multivariate

(multipel variable dipenden) analisis yaitu

MANCOVA dipandang sebagai MANOVA

terhadap regresi residual atau varian

(29)

Tujuan dari Covariance

Analysis

•

Untuk mengeliminasi pengaruh:

– yang hanya mempengaruhi sebagian responden atau

– yang bervariasi antar responden

•

Sama halnya dalam menggunakan

blocking factor

, covariates dapat

mencapai dua tujuan khusus yaitu:

– mengeliminasi beberapa kesalahan

sistematis diluar kontrol dari peneliti yang dapat membuat hasil yang bias, dan

(30)

MANOVA

• Tahap 3: Asumsi dalam Multiple MANOVA

– Untuk prosedur pengujian multivariate menggunakan MANOVA yang valid obeservasi harus independent, variance-covariance matriks harus sama (atau dapat diperbandingkan) untuk setiap kelompok treatment. Variable dependen harus memiliki distribusi normal multivariate.

– Normalitas multivariate dapat diasumsikan tetapi sulit dalam pengujian. Normalitas univariate tidak

menjamin normalitas multivariate, namun jika seluruh variable memenuhi normalitas univariate maka

kemencengan dari normalitas multivariate tidak

konsekuensial. Criteria lainnya adalah Linearitas dan multicollinearity diantara variable dependen serta

(31)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Tahap 4: Estimasi Model MANOVA dan Menguji Fit keseluruhan

• Saat analisis MANOVA telah diformulasikan dan uji asumsi telah terpenuhi, pengujian terhadap signifikansi perbedaan antar kelompok yang dibentuk dengan treatment dapat dilakukan. Dalam melakukan pengujian ini peneliti harus memilih pengujian statistic yang tepat untuk tujuan penelitiannya. Namun dalam situasi tertentu khususnya jika analisis menjadi lebih

kompleks, peneliti harus mengevaluasi kekuatan dari pengujian statistic untuk menyediakan

(32)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Empat pengukuran yang banyak digunakan

untuk menguji signifikansi secara statistic antar kelompok terhadap variable independent

adalah:

– Roy’s Greatest Characteristic Root – Wilk’s Lambda

– Pillai’s Criterion – Hotelling’s Trace

(33)

MANOVA

• Tahap 5: Interpretasi Hasil MANOVA

• Jika covariates termasuk dalam model

(34)

MANOVA

• Jika dua atau lebih variable independent

(treatments) termasuk dalam analisis, interaksi harus diuji sebelum mengambil kesimpulan

mengenai pengaruh utama dari variable independent:

• Jika interaksi tidak signifikan secara statistik, maka pengaruh utama dapat diinterpretasi langsung karena perbedaan antar treatments dipertimbangkan konstan antar level kombinasi. • Jika interaksi signifikan secara statistik, dan

(35)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Jika variable independent memiliki dua atau lebih kelompok, dua jenis prosedur dapat digunakan untuk mengisolasi sumber perbedaan:

• Post-hoc tests menguji perbedaan potensial secara statistic antar seluruh mean kombinasi yang mungkin. Post-hoc tests memiliki kekuatan yang terbatas dan sangat cocok untuk mengidentifikasi pengaruh yang besar.

• Post Hoc Methods – Scheffe

– Tukey’s honestly significant difference (HSD)

– Tukey’s extension of the Fisher least significant difference (LSD)

(36)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Planned comparisons adalah cocok jika

a

priori theoretical reasons

menyatakan

bahwa kelompok tertentu akan berbeda

dari satu kelompok dengan kelompok

lainnya. Kesalahan Type I akan

(37)

MANOVA

• Tahap 6: Validasi terhadap Hasil

• Teknik analisis varian (ANOVA dan MANOVA)

dikembangkan untuk situasi eksperimen, dengan replikasi sebagai pengertian utama terhadap validasi. Ketegasan perlakuan treatment eksperimen memungkinkan

penggunaan yang luas dari eksperimen yang sama pada multiple populasi untuk menguji generalizability dari hasil. Dalam penelitian ilmu pengetahuan sosial dan bisnis,

bagaimanapun, eksperimen kerap kali digantikan dengan uji statistik dengan keadaan nonexperimental seperti

(38)

Proses Keputusan untuk

MANOVA

• Dalam beberapa hal karakteristik demografi seperti umur,

gender, income dan sejenisnya di gunakan sebagai treatment. Treatment ini harus memenuhi kriteria

comparability, namun peneliti harus memastikan bahwa penambahan elemen terhadap pengujian random

terhadap sel juga harus terpenuhi namun kadang kadang dalam riset survey hal ini tidak terpenuhi. Misalnya umur dan gender sebagai variable independen merupakan

contoh umum penggunaan ANOVA atau MNOVA didalam riset survey. Dalam validasi peneliti harus berhati hati

menganalisis multiple populasi dan membandingkan hasil sebagai pembuktian validitas tunggal karena responden dipilih secara sederhana treatment dalam kasus ini tidak dapat diuji oleh peneliti karena tidak random, sehingga peneliti mempertimbangkan penggunakan covariate untuk mengontrol fitur lain yang menjadi karakteristik umur atau