The Full Title of an AMS Book or Monograph The Author Author Two

(1)

The Full Title of an AMS Book or Monograph

The Author

Author Two

(A. U. Thor)Author address line 1, Author address line 2

Current address, A. U. Thor: Author current address line 1, Author current address line 2

E-mail address, A. U. Thor: author@institute.edu

URL:http://www.author.institute

(2)

2000 Mathematics Subject Classi…cation. Primary 05C38, 15A15; Secondary 05A15, 15A18

The Author thanks V. Exalted.

(3)

6. Serii Fourier

Seriile Fourier sunt folosite in analiza semnalelor, in acustica, mecanica cuan-tica, in telecomunicatii, in analiza vibratiilor, in compresia datelor, ¸si, in general in analiza oricarui fenomen periodic. Tehnica folosita consta in scrierea functiei care modeleaza fenomenul periodic ca suma unei serii al carei termen general este un polinom trigonometric ¸si in analiza fenomenului cu ajutorul acestor polinoame. De exemplu prin aceasta procedura se poate optimiza proiectarea unui sistem de tele-comunicatii care transporta date analizand informatiile furnizate de componentele spectrale ale unui semnal al acestor date.

1. 6.1. Serii trigonometrice. Conditiile lui Dirichlet

Seriile trigonometrice sunt serii de functii al caror termen general este un poli-nom trigopoli-nometric de formaancosn!x+bnsinn!x, undexeste variabila reala.

De…nitia 6.1.1. Serie trigonometrica. Pulsatie. Fie! >0;¸sian; bn 2R

pentru orice nnatural. O serie de functii de forma

a0

2 +

1

P

n=1

ancosn!x+bnsinn!x ( )

se numesteserie trigonometrica. Numarul pozitiv !se numeste pulsatie(sau faza) (pentru seria ( )).

Observatia 6.1.1. Fie seria trigonometrica( )¸si S :C!Rsuma sa. Daca multimea de convergenta este nevida atunci functia suma este periodica, de perioada principalaT :=2

!:Intr-adevar

S(x+T) =a0

2+ 1

P

n=1

ancosn! x+2_! +bnsinn! x+2_! =a₂0+ 1

P

n=1

ancosn!x+

bnsinn!x=S(x)

pentru oricex2C:

Exemplul 6.1.1. Seria trigonometrica P1 n=1

1

n2sinnx are pulsatia ! = 1:

Deoarece _n12 sinnx

1

n2 pentru oricexreal, iar seria numerica

1

P

n=1 1

n2 este

con-vergenta, urmeaza , conform teoremei lui Weierstrass, ca multimea de convergenta esteR¸si seria este uniform convergenta pe toata axa reala.

De…nitia 6.1.2. Conditiile lui Dirichlet pentru o functie periodica.

Fie f :R_!Ro functie periodica de perioada principala T >0:Spunem ca functia

f satisface conditiile lui Dirichletdaca pe orice interval de lungime T de forma [ ; +T]

(6)

vi 1. 6. SERII FOURIER

f este continua pe portiuni pe [ ; +T], intelegand prin aceasta ca

f este continua sau are un numar …nit de discontinuitati de prima speta (reamintim ca a₂[ ; +T] este o discontinuitate de speta intai daca f

admite limite laterale …nite in a,cel putin una dintre ele …ind diferita de valoarea functiei in a; deci

– exista si este …nita limita laterala la stanga

f(a 0) := lim

x_!a x<a

f(x) ;

– exista si este …nita limita laterala la dreapta

f(a+ 0) := lim

x_!a x>a

f(x)

¸si f(a)6=f(a 0) sau f(a)6=f(a+ 0);

f estemonotona pe portiunipe [ ; +T], adica intervalul [ ; +T] admite un numar …nit de subintervale de monotonie ale functiei f (deci exista o diviziune a intervalului [ ; +T] de forma x0 = < x1 <

::: < xn = +T astfel ca f sa …e monotona pe (xi 1; xi) pentru orice

i2 f1; :::; ng).

Exemplul 6.1.2. Functiaf :R_!Rde…nita prinf(x) = cos x;unde >0

este o functie periodica de perioada principalaT = 2 :Sa consideram un interval de lungimeT;de exemplu[ ; ]:Cum functiaf este continua pe acest interval (deci este continua pe portiuni) ¸si intervalul[ ; ]are doua subintervale de monotonie - pe( ;0) functia este crescatoare iar pe(0; )este descrescatoare - (decif este monotona pe portiuni) rezulta ca functiaf satisface conditiile lui Dirichlet.

De…nitia 6.1.3. Conditiile lui Dirichlet petru o functie de…nita pe un interval marginit. Fie f :I_!Ro functie, unde I Reste un interval marginit de forma [a; b); (a; b) sau (a; b]. Fie fe: R _! R functia periodica, de perioada

T := b a a carei restrictie la intervalul I este chiar functia f; adica extensia (sau extinderea) prin periodicitatea functiei f. Spunem ca functia f :I_!R

satisface conditiile lui Dirichlet daca si numai daca extensia sa fesatisface conditiile lui Dirichlet.

Reamintim ca dacaf : [a; b)!Ratunciextinderea prin periodicitate a functiei f este functiafe:R_!Rde…nita prin

e

f(x) :=f(x kT); x₂[a+kT; b+kT); k₂Z

undeT :=b aeste perioada extensiei (si desigur,fe_j[a;b)=f).

Observatia 6.1.2. Conform de…nitiilor 6.1.2 si 6.1.3 functia periodicaf :R_! Rveri…ca conditiile lui Dirichlet daca si numai daca exista un interval [a; b], unde

b aeste perioada luif astfel incat restrictiaf j[a;b]satisface conditiile lui Dirichlet. Reamintim ca dacaf :A!RsiB Afunctiaf jB:B !R; fjB (x) =

f(x)se numesterestrictia functieif la multimeaB:

Observatia 6.1.3. Fie f : I _! R o functie, unde I R este un interval marginit de forma[a; b);(a; b);sau(a; b]. Conform de…nitiilor 6.1.2 si 6.1.3 functiaf

(7)

2. 6.2. SERII FOURIER vii

pe portiuni (adica admite un numar …nit de subintervale de monotonie). Prin urmare veri…carea conditiilor lui Dirichlet nu impune extinderea functiei f prin periodicitate.

Exemplul 6.1.3. Functia de…nita prin

f(x) = x+ 1dacax2[ 1;1)

x2 dacax2[1;2)

este continua pe portiuni pe I = [ 1;2) (deoarece f este marginita sia = 1este singurul punct de discontinuitate de speta intai, intrucat f(1 0) = f(1) = 06=

f(1 + 0) = 1); f este monotona pe portiuni: este descrescatoare pe subintervalul

( 1;1)¸si crescatoare pe(1;2). In consecinta functiaf satisface conditiile lui Dirich-let.

2. 6.2. Serii Fourier

In cele ce urmeaza vom construi o serie trigonometrica pornind de la o functie periodica ce satisface conditiile lui Dirichlet.

De…nitia 6.2.1. Seria Fourier asociata unei functii periodice. Fie f :

R _!R o functie periodica, de perioada principala T, care satisface conditiile lui Dirichlet si !:= 2_T . Atunci numerele

an:=

2

T

2

R

T

2

f(x) cosn!xdx; n₂Nsi

bn:=

2

T

2

R

T

2

f(x) sinn!xdx; n2N

se numesc coe…cientii Fourier ai functiei f iar seria trigonometrica construita cu acesti coe…cienti, i.e.

a0

2 +

1

P

n=1

ancosn!x+bnsinn!x ( )

se numeste seria Fourier a functiei f, sau dezvoltarea functiei f in serie Fourier.

Remarcam faptul ca, in conditiile de…nitiei de mai sus

dacaf este o functie para (i.e. f( x) =f(x);8x2R) atunci

an =

4

T

2

R

0

f(x) cosn!xdx; n₂N; iar bn= 0;8n2N : In acest caz seria Fourier( )asociata functieif este

a0

2 +

1

P

n=1

ancosn!x;

vom spune, in acest caz, caseria( ) estedezvoltarea in serie de cos-inusuri a functiei f j[0;T

(8)

viii 1. 6. SERII FOURIER

dacaf este o functie impara (i.e. f( x) = f(x);₈x₂R) atunci

an= 0; n2N ; iarbn =

4

T

2

R

T

2

f(x) sinn!xdx;8n2N :

In acest caz seria Fourier( )asociata functieif este

a0

2 +

1

P

n=1

bnsinn!x;

vom spune, in acest caz, ca seria ( ) este dezvoltarea in serie de si-nusuri a functiei f j[0;T

2):

Observatia 6.2.1.Reamintim ca, in conditiile de…nitiei precedente, coe…cientii Fourier ai functiei f se pot calcula pe orice interval de lungimeT (functiilexp_!

f(x) cosn!x, respectivxp_!f(x) sinn!x …ind periodice, de perioadaT). Deci

an=

2

T

a+T_R

a

f(x) cosn!x dx; n₂Nsi

bn =

2

T

b+T_R

b

f(x) sinn!x dx; n2N

oricare ar …a; b₂R:

Urmatoarea de…nitie este de fapt o conventie: prin dezvoltarea in serie Fourier a unei functii de…nite pe un interval marginit vom intelege de fapt dezvoltarea pre-lungirii acesteia prin periodicitate, perioada …ind lungimea intervalului de de…nitie.

De…nitia 6.2.2. Seria Fourier asociata unei functii de…nite pe un in-terval marginit.Fie a < b <₁sif : [a; b)!Ro functie care satisface conditiile lui Dirichlet. De…nim T :=b asi !:=2_T . Functia

F :R_!R; F(x) =f(x kT);8x2[a+kT; b+kT);8k2Z

este o functie periodica de perioada T care satisface conditiile lui Dirichlet, si, a carei restrictie la intervalul [a; b)este chiar functia f. Vom spune ca seria Fourier si coe…cientii Fourier ai functiei F sunt seria Fourier, respectiv coe…cientii Fourier ai functiei f. Analog de…nim seria , respectiv coe…cientii Fourier pentru o functie de…nita pe un interval de forma (a; b]:

Observatia 6.2.2. Daca avem o functie f : I ! R, unde I este de forma

[0; b);( b;0];[0; b];[ b;0] si b < 1 iar functia satisface conditiile lui Dirichlet si dorim sa o dezvoltam in serie de cosinusuri, atunci -cum functia f nu este para-trebuie sa prelungim functiaf prin paritate, deci sa dezvoltam functia

fp: ( b; b)!R; fp(x) =

f(x) dacax2[0; b)

f( x) dacax2( b;0) :

Sa remarcam faptul ca, in acest caz, perioada este lungimea intervalului de de…nitie a functieifp; adicaT = 2b, pulsatia este!= _b; iar coe…cientii Fourier se pot calcula folosind functia f direct, deoarecebn = 0;8n2N si

an=

4

T

2

R

0

fp(x) cos (n!x)dx=

2

b

R

0

(9)

2. 6.2. SERII FOURIER ix

Observatia 6.2.3. Daca avem o functie f : I _! R, unde I este de forma

[0; b);( b;0];[0; b];[ b;0] si b < ₁ iar functia satisface conditiile lui Dirichlet si dorim sa o dezvoltam in serie de sinusuri, atunci -cum functia f nu este impara-trebuie sa prelungim functiaf prin imparitate, deci sa dezvoltam functia

fi: ( b; b)!R; fi(x) =

f(x) dacax2[0; b)

f( x) dacax2( b;0) :

Sa remarcam faptul ca, in acest caz, perioada este lungimea intervalului de de…nitie a functieifi;adicaT = 2b, pulsatia este != _b; iar coe…cientii Fourier se pot calcula folosind numai functia f direct, deoarecean= 0;8n2N si

bn =

4

T

2

R

0

fp(x) sin (n!x)dx=

2

b

R

0

f(x) sin (n!x)dx; n₂N :

Instrumentul esential de lucru cu seriile Fourier este dat de teorema lui Dirich-let.

Teorema 6.2.1. Teorema lui Dirichlet. Fie f :R_!R o functie periodica de perioada T care satisface conditiile lui Dirichlet. Atunci seria Fourier asociata functiei f este convergenta pe R, iar suma sa S:R_!Rare expresia analitica

S(x) = f(x 0) +f(x+ 0)

2 :

Observatia 6.2.4. Sa remarcam ca, in conditiile teoremei, daca x este un punct de continuitate pentru functiaf atunci S(x) =f(x).

Exemplul 6.2.1.Sa incercam sa a‡am care este seria Fourier asociata functiei

f(x) =tgx; x₂ ₂;₂ :Primul pas pe care trebuie sa-l facem este sa vedem daca Exemplul 6.2.2. Fie f(x) = 1 dacax2[0;1)

0 dacax= 1 : Sa se determine

urma-toarele.

(1) Seria Fourier asociata acestei functii si suma sa. (2) Seria Fourier de cosinusuri.

(3) Seria Fourier de sinusuri. (4) Sumele seriilor numerice. (5) s= P1

m=0 ( 1)m

2m+1:

Rezolvare. 1. Primul lucru pe care trebuie sa-l facem pentru o asocia o serie Fourier unei functii este sa veri…cam conditiile lui Dirichlet (daca acestea nu sunt veri…cate, atunci nu se pune problema seriei Fourier asociate). Cum functia noastra este marginita si are un singur punct de discontinuitate de speta intai (x = 1), functia este continua pe portiuni; este si crescatoare pe (0;1); deci monotona pe portiuni; prin urmare satisface conditiile lui Dirichlet. Lungimea intervalului de de…nitie este chiar perioada sumei seriei Fouriei asociate, deci aici T = 1. Suma seriei Fourier a functiei f este, conform teoremei lui Dirichlet, este chiar extinsa prin periodicitate a functiei noastre in punctele de continuitate, adicaS(x) = 1;

pentru x 2 R Z, iar in punctul de discontinuitate al functiei f limitele laterale pentru extensia prin periodicitate sunt egale cu1, adica S(x) = 1; pentrux2Z:

Deci

(10)

x 1. 6. SERII FOURIER

este suma seriei Fouriei asociate, iar an = bn = 08n 1 si a0 = 2, adica seria Fourier are forma triviala: 1:

2.: Prelungita prin paritate -pe care trebuie sa o consideram in cazul unei serii de cosinusuri- veri…ca de asemenea conditiile lui Dirichlet si este

fp(x) = 1dacax2( 1;1)

0 dacax= 1 ; deci, ca in primul caz, seria este

triv-iala, i.e. 1, iar suma ei este functiaS:R_!R; S(x) = 1:

3.: Trebuie sa prelungim functia prin imparitate. Aceasta prelungire este

fi(x) = 1 dacax2[0;1)

0 dacax= ( 1;0)[ f1g : In acest caz perioada este

lungimea intervalului, adica T = 2, pulsatia este ! = si, conditiile Dirichlet …ind satisfacute, avem an = 0;8n2 N ; a0 = _T2

T

2

R

T

2

fi(x)dx =

1

R

0

dx= 1sibn= _T4

T

2

R

0

f(x) sin (n!x)dx=

1

R

0

sin (n x)dx= 1

n cos (n x) 1 0 =

1 n [( 1)

n

1] = 2 0 dacan= 2m n dacan= 2m+ 1; m2N

: In consecinta seria de sinusuri a functiei f si suma sunt date de

1 2+

2 _P1

m=0

1

2m+ 1sin (2m+ 1) x= 8 < :

1dacax₂(2k;2k+ 1)

1

2 dacax=k

0dacax₂(2k 1;2k)

; k₂Z:

4.: Punand in identitatea precedentax=1₂;deoarecesin(2m+1)₂ = ( 1)m;

obtinem 1₂+2 P1

m=0 ( 1)m

2m+1 = 1;de unde s= 4:

3. 6.3. Probleme rezolvate

Problema 6.3.1. Fief : [0;2 )!R de…nita prin:

f(x) = 8 < :

1; dacax2[0; ) 0; dacax= 2; dacax2( ;2 )

(a) Aratati ca functiaf veri…ca conditia lui Dirichlet si scrieti suma S pentru seria lui Fourier asociata functieif.

(b) Scrieti seria lui Fourier asociata luif.

(c) Scrieti extinderea functieif intr-o serie cosinus; (d) Demonstrati cas1=

1

P

m=0 ( 1)m

2m+1 = 4 sis2= 1

P

k=0 ( 1)k

(2k+1) (4k+1)2_(4k+3)2 =

2p

2 128 :

Solutie. (a) Functia f este marginita (de fapt f(x)2[0;2]; pentru toti

x₂[0;2 )), crescatoare, si are un punct unic de prima specie de discontinuitate in

a= :f( 0) = 1sif( + 0) = 2:

Prin urmare conditia lui Dirichlet este veri…cata. In acest caz suma S :

R _!R este o functie periodica, si conform teoriei lui Dirichlet: S(x) = 1₂[g(x

(11)

3. 6.3. PROBLEM E REZOLVATE xi

(b). De fapt vom dezvolta, la fel ca în de…ni ie (v), functia periodica

g:R_!R,cu perioadaT = 2 si pulsatia!=2

T = 1:Vom calcula coe…cientii lui Fourier: an =_T2

in consecinta, seria lui Fourier asociata luif este: 3 (a). Particular pentrux= ₂ obtinem sumas1 (din punctul (d)):

1 =S(₂) = 3

(12)

xii 1. 6. SERII FOURIER

Pe de alta parte o primitiva a termenului general al seriei (1) este 2_(2m+1)1 2cos(2m+

1)x: Este natural sa punem intrebarea: poate … integrata egalitatea termen cu termen:3₂ 2 P1

m=0 1

2m+1sin(2m+ 1)x= 1; x2(0; )?

Raspunsul este a…rmativ (vezi ex. 6). Atunci avem: 3x

16; aici vom folosit faptul c¼a serile P1

(4k+3)2 sunt convergente absolut. Prin urmare, folosind (2): 2p₂

pentrun 1avem

an= ₄4

Prin urmare, cosinusul seriei pentru functia f este: 3

Din teorema lui Dirichlet stim ca suma acestei serii este

S(x) =1₂[H(x 0) +H(x+ 0)]

undeH este prelungirea functieihprin perioada cuT = 4 . Prin urmare:

S(x) =

(13)

3. 6.3. PROBLEM E REZOLVATE xiii

(c) Construiti seria lui Fourier a sinusului pentruf:

Solution.(a) Prelungirea functieif la o functie para este:

g(x) =jxj; x2( 1;1);

De fapt seria (1) are suma

S(x) =1₂[g(x kT 0) +g(x kT+ 0)] =jx 2k_j; x₂[2k 1;2k+ 1); k₂Z;

cu diagrama:

LIPSESTE DIAGRAMA ! (b)Din(1), pentrux= 0avem:

(2m+1)2 convergent,

prin urmare din criteriul lui Weierstrass ajungem la concluzia ca (*) este convergenta uniform si putem integra termen cu termen in (1):

x

(2m+1)3 convergent, prin urmare din criteriul lui Weierstrass seria (2)

(14)

xiv 1. 6. SERII FOURIER

este seria lui Fourier a sinusului.Suma este prelungirea periodica pentru functia:

h(x) = 1 x; dacax2( 1;1)

(a) Extindeti in seria lui Fourier aceasta functie si gasiti suma, (b) Gasiti suma seriilor:

1

Solutie. In timp cef 2C0( ; ]este marginita si crescatoare, conditiile lui Dirichlet sunt veri…cate, prin urmare seria lui Fourier este asociata luif :

a0

este convergent peR, unde

T = ( ) = 2

este perioada si

$=2 T = 1

este pulsatia; sumaS:R_!R este o functie periodica cu perioadaT = 2 si

S(x) = e

x 2k _{; x}₂₍₍₂_k ₁₎ _;₍₂_k_{+ 1) )}_{; k}₂_Z 1

2[S(2k 0) +S(2k+ 0)] =ch ; if x= (2k+ 1) ; k2Z Sa determinam coe…cientii lui Fourier:

a0=T2

pentru oricaren₂N*. In consecinta:

S(x) =sh ₊2sh P1 n=1

( 1)n

n2₊₁(cosnx nsinnx)

(15)

3. 6.3. PROBLEM E REZOLVATE xv

Dar seriile (1) si (2) sunt absolut convergente, prin urmare, adunandu-le obtinem: (1+ch )

si prin scaderea (1) si (2) urmeaza: 1

(a) Extindetif in seria lui Fourier. (b) Scrieti seria sinusurilor asociata luif:

(c) Extindetif in cosinusul seriei. (d) Gasiti suma seriilor P1

n=1

Solutie. (a) Functia f este continua, marginita si crescatoare, prin urmare potrivit teoremei lui

Dirichlet, seria lui Fourier asociata e convergenta pe R si suma ei S :R_!R

este o functie periodica avand perioadaT = 1si pulsatia$= 2 :Mai mult,

S(x) =x;dacax2(0;1);siS(0) = 1

Si acum sa gasim coe…cientii lui Fourier. In timp ce:

an= _T2

(16)

xvi 1. 6. SERII FOURIER

(b) Extindem functia prin imparitate si o dezvoltam in seria trigonometrica. In acest caz, seria obtinuta este convergenta peR si suma ei S1 :R! Rva …i o

unde sumaS2este o functie periodica avand perioadaT = 2;

(17)

4. 6.4. EXERCITII xvii

Criteriul lui Weierstrass si teorema continuitatii implica, din (*): x3

unde, pentru x = 0 obtinem A = 0; integram dinou termen cu termen si obtinem:

4. 6.4. Exercitii

(1) Fie f : [ a;0]!Ro functie care satisface conditiile lui Dirichlet. Care sunt formulele de calcul a coe…cientilor Fourier pentru seria Fourier de sinusuri asociata?

(2) Fie f : [ a;0]!Ro functie care satisface conditiile lui Dirichlet. Care sunt formulele de calcul a coe…cientilor Fourier pentru seria Fourier de cosinusuri asociata?

(3) Fief : [0; a]!Ro functie care satisface conditiile lui Dirichlet. Demostrati ca prelungirea prin paritate a acestei functii veri…ca conditiile lui Dirichlet. (4) Fief : [0; a]!Ro functie care satisface conditiile lui Dirichlet. Demostrati

ca prelungirea prin imparitate a acestei functii veri…ca conditiile lui Dirich-let.

(5) Scrieti seria Fourier pentru f(x) =x2 _{pe intervalul} _[0_;_{2 ]}_{apoi pe} inter-valul[ ; ].

(6) Incercati sa scrieti seria Fourier pentru functia

f(x) =

p

xdacax2[0;1]

x2 dacax2(1;2] :

(7) Folosind seria de cosinusuri pentru functia f(x) =xpe intervalul [0; ];

(18)

xviii 1. 6. SERII FOURIER

(a) P1 n=2

1 n2

(b) P1 n=2

( 1)n 1 n2

(c) P1 n=2

1 (2n 3)2:

(8) Scrieti seria Fourier pentru functia

f(x) = 8 < :

1dacax₂( ;0) 1dacax₂(0; ) 0dacax2 f ;0; g

:

Trasati apoi gra…cele functieif si a sumei seriei Fourier gasite.

(9) Scrieti si reprezentati gra…c suma seriei Fourier asociate functiei f(x) =

ex_,_x

2[0; ];fara a determina coe…cientii Fourier. (10) Determinati seria Fourier a functieif(x) =

x

2 dacax2[0;2]

xdacax₂(2;3] :

Reprezen-tati in acelasi sistem de axe gra…cele sumei acestei serii si al functieif:

(11) Fiea₂R Z:Aratati ca

cosax= 2asina 1

2a2 + 1

P

n=1

( 1)n cosnx

a2 _n2 8x2[ ; ]

Determinati apoi sumele seriilor numerice (a) P1

n=1 ( 1)n

a2 _n2

(b) P1 n=1

1 a2 _n2

(12) Gasiti ; ; ₂Rastfel incat sumaS:R_!Rtrigonometrica a seriei lui Fourier asociata functieif :I _!R are perioada egala cu lungimea luiI

siS(x) =f(x);pentru toti x2I;unde: (a) f : [1;3]!R,f(x) =

8 < :

; x2[1;2]

; x= 2

; x2[2;3]

(b) f : (0;5]!R, f(x) = 8 > > > > > > < > > > > > > :

sinx; x₂(0;₂)

; x= ₂ cosx; x2(₂; )

; x= 13; x2( ;5)

; x= 5

(c) f : [ 1;1]!R, f(x) = 8 > > < > > :

x; x₂[ 1;0)

; x= 0

x2+ ; x2(0;1)

; x= 1

Raspunsuri: a) = = 2R, b) = ₂1; = 6; = 13₂; c)

= = 1; = 2:

(13) Fie f : (a; b) ! R. Folosind teorema lui Dirichlet aratati ca exista o serie trigonometrica peR a carei sumeS este o functie periodica avand perioadaT =b aastfel incatS(x) =f(x);pentru toate punctele continue

(19)

4. 6.4. EXERCITII xix

(a) f : (1;3)!R,f(x) = 3x x

2_{; x}₂₍₁_;_2]

3x2 x; x2(2;3)

(b) f : ( ; )!R,f(x) = sinx; x2( ;0)

shx; x₂(0;2 )

(c) f : (0; )!R,f(x) = tanx; x2(0;4]

12; x2(₄; ) :

Raspunsuri: a) S(x) = f(x 2k ); daca x 2 (2k+ 1;2k+ 3)nf2(k+ 1)g; S(2k+ 1) = 13; S(2k) = 6undek2Z

b)S(x) =f(x 3k )dacax2((3k 1) ;(3k+2) )nf3k g; S(3k ) = 0; S((3k 1) ) = 1₂sh4 , undek₂Z

c)S(x) =f(x k );dacax₂(k ;(k+ 1) )nf(4k+ 1)₄g; S(k ) = 6; S((4k+ 1)₄) = 13

2 undek2Z.

(14) Fief : [0; a)!R. Demonstrati ca exista o serie cosinus, convergenta pe

R a carei sumeS este o functie periodica continua, a carei perioade este

2aastfel incatS(x) =f(x), pentru totix₂[0; a);si gasitiS(x); x₂R in urmatoarele cazuri:

(a) f : [0;2)!R, f(x) = ln(x+ 1)

(b) f : [0; )!R,f(x) = x

2_{; x}₂_[0_;_1]

3 x x2; x₂(1; )

(c) f : [0;2)!R, f(x) = 1 x; x2[0;1] sin(x 1); x₂(1;3)

Raspunsuri: a) S(x) = ln(1 x 4k) daca x₂ [4k 2;4k]; S(x) = ln(x+ 1 4k)dacax₂[4k;4k+ 2];undek₂Z

b) S(x) = (x 2k )2_;_daca _x₂ _[2_k ₁_;₂ _k_{+ 1]}_{; S}₍_x_{) = 3} _x₊

2k (x 2k )2_;_daca_x₂₍₂_k _{+ 1}_;₍₂_k_{+ 1) )}_;

S(x) = 3 +x 2k (x 2k )2_;_daca_x₂_[(2_k ₁₎ _;₂_k _1]_;_unde

k₂Z

c) S(x) = sin(6k x 1);dacax₂[6k 1;6k]; S(x) = 1 6k+x;

dacax₂[6k;6k+1]siS(x) = sin(x 6k 1);dacax₂[6k+1;6k+3]:

(15) Fief : [ ; ]!R,f(x) =x2cu ajutorul seriei trigonometrice obtinute aratati ca:

1 1

22 +₃12 +:::= 2

12 si1 + 1

22 +₃12 +:::= 2

6:

(16) Construiti o serie Fourier pentru urmatoarele functii periodice cu perioada

2 :

(a) f(x) = 1;pentrux2(0; );sif( x) = f(x)

(b) f(x) =xpentrux₂[0; ] sif( x) =f(x); aratati ca P1 n=0

1 (2n+1)2 = 2

8

(c) f(x) = ; pentrux2( ;0)

x; pentrux₂[0; ]

Raspunsuri: a) 4 P1 n=1

sin(2n 1)x

2n 1 ; b)4 4 1

P

n=1

cos(2n 1)x (2n 1)2 ; c)

3 4 +

1

P

n=1

( 1)n 1 sinnx n +

2 cos(nx) n2 :

(17) Extindeti in serii Fourier urmatoarele functii periodice cu perioada2l:

(a) f(x) = 1;pentrux2(0;1); f( x) = f(x)

(20)

xx 1. 6. SERII FOURIER

(18) Extindeti urmatoarele functii in serii Fourier: (a) f(x) = x

(a) Extindetif in serie Fourier. (b) Extindetif in serie sinus.

(c) Extindetif in serie cosinus. (d) Gasiti suma seriei P1

n=1

este suma serilor pentru: (a) f(x) = cosax; a2R_nN;

(21)

4. 6.4. EXERCITII xxi

(b) 2 +4 P1

n=1 ( 1)n

cos 2nx 4n2 ₁ =

cosx; x2[0;₂] cosx; x2(₂; ) ;

(c) ₃2 + 4P1

n=1 ( 1)n

cosnx

n2 =x2; x2[0; ];

(d) P1 n=1

( 1)n 1

(2n 3)3 = 3

32;

(e) P1 n=1

( 1)n 1

(2n 1)5 =

5 5

1536:

(22) Fief : (0; )!R, f(x) =x+ 1:

(a) Extindetif intr-o serie Fourier trigonometrica. (b) Extindetif intr-o serie Fourier a functiei sinus.

(c) Extindetif intr-o serie Fourier a functiei cosinus. (d) Gasiti sumele seriilor numerice:

1

P

n=0 1 (2n+1)2;

1

P

n=1 1 (2n)2;

1

P

n=1 ( 1)n 1

(2n 1)3:

Raspunsuri: a) si b)f(x) = ₂ + 1 4 P1 n=1

sin 2nx

n ; x2(0; )

c) f(x) = ₂ + 1 4 P1

n=0

cos(2n+1)x

(2n+1)2 ; x2(0; )

The Full Title of an AMS Book or Monograph The Author Author Two