APLIKASI KALMAN FILTER PADA
PREDIKSI KASUS POSITIF COVID-19 DKI JAKARTA
SKRIPSI
Vernia Meischawati 11150940000048
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOHI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
APLIKASI KALMAN FILTER PADA
PREDIKSI KASUS POSITIF COVID-19 DKI JAKARTA
SKRIPSI
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh :
Vernia Meischawati 11150940000048
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN
SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
202
1 M / 1442 H
iii
iv
PERSEMBAHAN
Skripsi ini adinda persembahkan untuk keluarga tercinta yang di dalam sholatnya tidak pernah berhenti untuk mendoakan adinda, serta atas segala dukungan, nasihat serta kasih sayang yang selalu adinda rasakan..
Kalian adalah alasan terbesar untuk segera menyelesaikan skripsi ini. Teruntuk kalian,
Bapak, Ibu dan Mas Ferry
MOTTO
“Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari sesuatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk urusan
yang lain).”
v
KATA PENGANTAR
assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Aplikasi Kalman Filter Pada Prediksi Kasus Positif
Covid-19 DKI Jakarta”. Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada
junjungan alam yakni Nabi Muhamad SAW, serta kepada keluarganya, para sahabatnya dan kita selaku umatnya yang mudah-mudahan mendapatkan syafatul uzma kelak di yaumil qiyamah.
Skripsi ini merupakan persyaratan wajib untuk mendapatkan gelar Sarjana Matematika (S.Mat). Dalam penulisan skripsi ini penulis memperoleh pembelajaran berharga seperti kerja keras dan melatih kesabaran. Dan tidak terlepas dari banyak dukungan, bimbingan, motivasi saran, kritikan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan maksimal. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih kepada :
1. Prof. Dr. Lily Surayya Eka Putri, M. Env. Stud, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Jakarta.
3. Irma Fauziah, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Jakarta dan selaku dosen pembimbing akademik
4. Dr. Nina Fitriyati, M. Kom sebagai Pembimbing I, terima kasih atas pengarahan, pembelajaran, motivasi dan kesabarannya dalam memberikan saran serta bantuan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
vi
5. Madona Yunita Wijaya, M.Sc sebagai Pembimbing II, terima kasih atas pengarahan, pembelajaran, saran serta kritikan kepada penulis.
6. Dr. Nur Inayah, M.Si Sebagai Penguji I yang telah memberikan masukan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
7. Mahmudi, M.Si Sebagai Penguji II yang telah memberikan masukan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini
8. Seluruh Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Jakarta atas ilmu yang bermanfaat.
9. Bapak, ibu dan mas Ferry yang tidak pernah berhenti berdo’a atas kesuksesan penulis, limpahan kasih sayang, semangat, dukungan serta pengingat agar segera menyelesaikan skripsi ini.
10. Teman-teman Matematika 2015, terutama Afra, Eka, Wina, Intan, Dyah, Nengtya, Rara, Indri, Early, Nadya dan Nurul yang sudah menemani penulis sejak awal perkuliahan dimulai.
11. Kepada akhwat Tahfidz Al-Qur’an Indonesia yang selalu menjadi pengingat akan kewajiban sebagai seorang muslim di tengah-tengah kesibukan penulis dalam menyelesaikan skripsi.
12. Dan seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak penulis sebutkan satu-persatu tanpa mengurangi rasa hormat.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan. Penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis dan pembaca sekalian. Ciputat, 01 Februari 2021
vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
viii
ABSTRAK
Vernia Meischawati, Aplikasi Kalman Filter Pada Prediksi Kasus Positif Covid-19 DKI Jakarta, di bawah bimbingan Dr. Nina Fitriyati, M. Kom dan Madona Yunita Wijaya, M. Sc.
Coronavirus Disease 2019 (Covid-19) telah dinyatakan oleh WHO sebagai
pandemi global berkelanjutan yang telah menimbulkan permasalahan yang berkaitan dengan kesehatan masyarakat hingga menyebabkan kematian dan kerugian ekonomi yang cukup besar, sehingga perlu dilakukan upaya penanggulangan dan pengendalian dalam memutus mata rantai Covid-19. Salah satu upaya yang dapat dilakukan adalah dengan memprediksi penambahan jumlah kasus positif Covid-19, sehingga dapat diprakirakan jumlah ruang isolasi berserta tenaga kesehatan yang diperlukan. Pada penelitian ini, prediksi penambahan jumlah kasus positif Covid-19 dilakukan dengan pendekatan Kalman Filter berdasarkan model ruang keadaan yang dibentuk dari model ARIMA (3,1,0). Berdasarkan data training pada tanggal 1 Mei 2020 sampai 8 Oktober 2020, model runtun waktu terbaik adalah model ARIMA (3,1,0) yang di pilih berdasarkan nilai AIC terkecil dan memenuhi uji asumsi residual. Hasil akhir dari penelitian ini menunjukkan bahwa penerapan algoritma Kalman Filter ke dalam model ARIMA (3,1,0) mampu memberikan peforma prediksi yang lebih baik dengan toleransi kesalahan sebesar 14% dibandingkan dengan hasil prediksi menggunakan model ARIMA(3,1,0).
Kata Kunci : Pandemi Covid-19, Model Ruang Keadaan, Prediksi, Kalman
ix
ABSTRACT
Vernia Meischawati, Kalman Filter Application on Prediction of Positive
Covid-19 Cases in DKI Jakarta, under the guidance of Dr. Nina Fitriyati, M. Kom and
Madona Yunia Wijaya, M. Sc.
Coronavirus Disease 2019 (Covid-19) has been declared by WHO as a
sustainable global pandemic that has caused problems related to public health to cause death and significant economic losses, so it is necessary to take control and control efforts to break the Covid-19 chain. One effort that can be done is to predict the increase in the number of positive cases of Covid-19, so that the number of isolation rooms and health personnel needed can be predicted. In this study, the prediction of increasing the number of positive cases of Covid-19 was carried out using the Kalman Filter approach based on the state space model formed from the ARIMA (3,1,0) model. Based on training data from 1 May 2020 to 8 October 2020, the best time series model is the ARIMA (3,1,0) model which is selected based on the smallest AIC value and meets the residual assumption test. The final results of this study indicate that the application of the Kalman Filter algorithm to the ARIMA (3,1,0) model is able to provide a better predictive performance with an error tolerance of 14% compared to the prediction results using the ARIMA (3,1,0) model.
Keywords : Pandemi Covid-19, Model Ruang Keadaan, Prediksi, Kalman
x
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO ... iv
KATA PENGANTAR ... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... vii
ABSTRAK ... viii
ABSTRACK ... ix
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 5 1.3 Batasan masalah ... 5 1.4 Tujuan Penelitian ... 5 1.5 Manfaat Penelitian ... 6
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
2.1 Coronavirus Diases 2019 ... 7
2.2 Data Runtun Waktu... 7
2.3 Stasioneritas ... 8
2.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial ... 10
xi
2.6 Model Moving Average (MA) ... 12
2.7 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ... 12
2.8 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ... 13
2.9 Perumusan Model ARIMA ... 13
2.10 Prose Whine Noise ... 16
2.11 Model Ruang Keadaan ... 16
2.12 Kalman Filter ... 19
2.13 Ketepatan Model Prakiraan ... 22
BAB III METODELOGI PENELITIAN ... 23
3.1 Data Penelitian ... 23
3.2 Teknik Pengolahan Data ... 23
3.3 Alur Penelitian ... 24
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 27
4.1 Deskriptif Data ... 27
4.2 Kestasioneran Data ... 27
4.3 Identifikasi Model ... 29
4.4 Estimasi Parameter... 30
4.5 Diagnosis Model ... 31
4.6 Pembentukan Model Ruang Keadaan ... 33
4.7 Simulasi Kalman Filter ... 34
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 40
5.1 Kesimpulan ... 40
5.2 Saran ... 41
REFERENSI ... 42
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1. Transformasi Box-Cox ... 9
Tabel 2.2. Karakteristik Umum ACF dab PACF ... 13
Tabel 2.3. Algoritma Kalman Filter ... 21
Tabel 2.4. Kriteria Nilai dari MAPE ... 22
Tabel 4.1. Statistika Deskriptif... 27
Tabel 4.2. Uji Augmented Dickey Fuller ... 28
Tabel 4.3. Uji Augmented Dickey Fuller ... 29
Tabel 4.4. Estimasi Parameter Kandidat Model... 30
Tabel 4.5. Uji Normalitas Jarque Bera ... 32
Tabel 4.6. Uji Autokorelasi Ljung-Box ... 32
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1. Grafik Perkembangan Kasus Positif Covid-19 Nasional ... 2
Gambar 1.2. Grafik Perkembangan Kasus Positif Covid-19 DKI Jakarta ... 3
Gambar 3.1 Diagram Alur Model ARIMA ... 24
Gambar 3.2 Diagram Alur Kalman Filter ... 25
Gambar 4.1. Plot Box-Cox ... 28
Gambar 4.2. Plot Data Stasioner ... 29
Gambar 4.3. Plot ACF dan PACF Kasus Positif Covid-19 ... 30
Gambar 4.4. Plot Residual Model ARIMA (3,1,0) ... 31
Gambar 4.5. Histogram dan QQ-Plot Residual ... 32
Gambar 4.6. Hasil Perbandingan Prediksi Model ARIMA dan Data Aktual ... 33
Gambar 4.7. Plot Estimasi data Training ... 36
Gambar 4.8. Plot Dari Kovarian Error Tahap Prediksi ... 36
Gambar 4.9. Plot Kalman Gain ... 37
Gambar 4.10. Plot Dari Kovarian Error Tahap Koreksi ... 37
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Allah Subhanahu wa Ta’ala telah menurunkan Al-Qur’an kepada Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam sebagai pedoman hidup manusia. Melalui Al-Qur’an Allah telah mengatur seluruh aspek kehidupan manusia, salah satunya yang berkaitan tentang pemenuhan kebutuhan akan makanan yang dapat memelihara kesehatan manusia. Makanan yang layak di konsumsi oleh tubuh tidak hanya memperhatikan cita rasa, zat gizi, kebersihan pada makanan yang akan dikonsumsi , tapi juga harus memperhatikan status halal dan haram. Sebagaimana Allah berfirman dalam surat Al-Baqarah ayat 168.
ُكَل ۥُهَّنِإ ۚ ِن ََٰطأيَّشلٱ ِت ََٰوُطُخ ۟اوُعِبَّتَت َلَ َو اابِ يَط الًََٰلَح ِض أرَ ألْٱ ىِف اَّمِم ۟اوُلُك ُساَّنلٱ اَهُّيَأَََٰٰٓي أم
نيِبُّم ٌّوُدَع
Artinya : “Wahai manusia! Makanlah dari (makanan) yang halal dan baik yang terdapat di bumi dan janganlah kamu mengikuti langkah-langkah setan. Sungguh, setan itu musuh yang nyata bagimu.” (QS. Al-Baqarah : 168)
Ayat di atas merupakan sebuah perintah yang tegas dan jelas yang ditunjukkan kepada manusia untuk mengkonsumsi makanan yang halal dan baik. Karena makanan sangat berpengaruh terhadap pertumbuhan dan kesehatan manusia yang dapat memperkuat sistem imunitas sehingga tubuh tidak rentan terhadap serangan virus penyakit.
Salah satu virus yang saat ini menjadi topik perbincangan adalah wabah virus
Corona. Akhir tahun 2019 dunia digemparkan dengan mewabahnya kasus
pneumonia yang disebabkan oleh virus Corona jenis baru yang pertama kali dilaporkan di Wuhan, Provinsi Hubei, China dengan resiko pandemi yang berkelanjutan. Awalnya penyakit yang menyerang sistem pernapasan ini dinamakan 2019 Novel Coronavirus, kemudian World Health Organization
2
(WHO) secara resmi menamai penyakit ini dengan Coronavirus Diseases 2019 (COVID-19) yang disebabkan oleh virus Severe Acute Respiratory Syndrome
Coronavirus-2 (SARS-CoV-2) [1].
Sejak kasus pertama dilaporkan, terus terjadi peningkatan kasus positif Covid-19 di China setiap harinya dan menyebar dengan cepat dari Wuhan ke provinsi-provinsi di China. Setidaknya sejak Januari sampai 06 Februari 2020 sudah terkonfirmasi sebanyak 31.481 kasus positif Covid-19, termasuk 639 berakhir dengan kematian dan sebesar 70.89% berasal dari Provinsi Hubei dengan total 22.112 kasus terkonfirmasi [2]. Seperti yang sudah dipahami, bahwa WHO telah menyatakan bahwa wabah covid-19 sebagai pandemi global karena beberapa alasan yaitu; belum tersedianya vaksin yang sesuai dan obat yang tepat, tingkat penularan virus yang relatif tinggi dan sifat dari virus SARS-CoV-2 yang belum diketahui secara pasti [3]. Sehingga dalam kurun waktu 3 bulan, virus ini telah menginfeksi lebih dari 5.000.000 orang di seluruh dunia dengan angka kematian mencapai 353.334 yang tersebar di Afrika, Amerika, Eropa, kawasan Asia bagian tenggara, Eastern
Mediterranean dan Westren Pasific [4].
3
Gambar 1.2 Grafik Perkembangan Kasus Covid.19 per-Hari DKI Jakarta [6]
Gambar 1.1 merupakan grafik perkembangan kasus harian positif Covid-19 di Indonesia yang terus mengalami peningkatan hingga November 2020 sejak pemerintah melaporkan kasus pertama positif pada tanggal 02 Maret 2020 sejumlah 2 orang. Sedangkan Gambar 1.2 merupakan grafik kasus positif Covid-19 tingkat provinsi DKI Jakarta, jumlah pasien terkonfirmasi positif setiap harinya terus mengalami kenaikan hingga November 2020 dengan lonjakan tertinggi sebanyak 1505 kasus baru pada 15 November 2020. Berdasarkan data dari satgas penangan
Covid-19, saat ini DKI Jakarta masih menjadi provinsi dengan jumlah kasus positif
terbanyak secara nasional sebanyak 127.164 atau sekitar 25.01% dari total terkonfirmasi 502.110 orang [5].
Penyebaran virus SARS-CoV-2 dari orang yang terinfeksi menjadi transmisi utama sehingga penyebaran Covid-19 menjadi sangat cepat dan meluas ke sejumlah negara. Rute penularan Covid-19 dapat melalui droplet yang keluar saat bersin atau batuk dari seseorang yang terinfeksi, melalui droplet nuclei (aerosol) yang melayang di udara dan terkontaminasinya suatu permukaan benda oleh droplet yang dikeluarkan oleh penderita sehingga terbentuk fomit (permukaan yang
terkontaminasi) [7]. Untuk mengantisipasi adanya lonjakan yang semakin tinggi, maka perlu dilakukan prediksi jumlah pasien terinfeksi untuk menyusun langkah-langkah kesehatan masyarakat dalam mengembangkan pencegahan dan pengendalian
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 01 -Me i-2 0 12 -Me i-2 0 23 -Me i-2 0 03 -J u n -20 14 -J u n -20 25 -J u n -20 06 -J u l-20 17 -J u l-20 28 -J u l-20 08 -Agt-20 19 -Agt-20 30 -Agt-20 10 -Se p -20 21 -Se p -20 02 -Ok t-2 0 13 -Ok t-2 0 24 -Okt-2 0 04 -N o v-20 15 -N o v-20 Positif
4
terhadap mata rantai Covid-19. Selain itu, prediksi jumlah kasus positif juga dapat dimanfaatkan untuk menghitung jumlah ruang isolasi yang diperlukan, menghitung jumlah dana Badan Penyelenggara Jaminan Sosial (BPJS) untuk membiayai pengobatan pasien positif, dan jumlah dokter dan staf kesehatan yang diperlukan. Karena penyebaran Covid-19 banyak berasal dari klaster keluarga, maka perhitungan dana BPJS juga dapat menggunakan joint life insurance [8] sehingga perhitungan premi dan cadangan dana yang harus disediakan oleh BPJS dapat lebih akurat.
Beberapa model mengenai Covid-19 telah dikembangkan. Saleh I. Alzahrani, Ibrahim A. Aljamaan, Ebrahim A. Al-Fakih [9] melakukan prediksi penyebaran
covid-19 di Arab Saudi menggunakan empat model prediksi yaitu Model
Autoregressive, Moving Average, kombinasi keduanya (ARMA), dan ARMA terintegrasi (ARIMA). Setiaklasana [10] meneliti prediksi kasus postif covid-19 di Indonesia, pada penelitian ini model yang digunakan adalah model Multi Layer Perceptron (MLP) dan Extreme Learning Machine (ELM) sebagai pembanding. Dengan menggunakan data Johns Hopkins, Schaback [11] memodelkan Covid-19 menggunakan Susceptible, Infectious, or Recovered (SIR) klasik dan pengembangan SIR dengan penambahan kompartemen Infectious dan unconfirmed Recovered untuk mengeksplorasi tingkat kematian akibat infeksi dan tingkat pemulihan (recovery) pada kasus Covid-19. Sedangkan M. Aslam [12] menggunakan pendekatan Kalman Filter untuk memprediksi kasus COVID-19 di Pakistan berdasarkan model
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) sebagai model ruang keadaan.
Hasil penelitian M. Aslam [12] menunjukkan bahwa pendekatan Kalman Filter lebih akurat dibandingkan dengan metode Holt’s Winter dan SuitteARIMA.
Pada penelitian ini, prediksi kasus positif Covid-19 dilakukan menggunakan metode Kalman Filter dengan ruang keadaan dibentuk dari model runtun waktu ARIMA. Metode Kalman filter pertama kali diperkenalkan oleh Rudolph E. Kalman (1960) sebagai teknik filtering dalam melakukan pengolahan data yang mampu memberikan hasil estimasi dan forecast yang baik [13]. Metode ini juga dikenal sebagai prosedur umpan balik yang mengoreksi hasil yang sudah diperoleh dari tahap
5
pra-estimasi sehingga mendapatkan nilai pasca-estimasi dengan tingkat akurasi yang baik sehingga mendekati kondisi yang sebenarnya.
Prediksi yang dilakukan pada penelitian ini di batasi pada penambahan kasus positif Covid-19 di DKI Jakarta. Data training yang di gunakan adalah penambahan kasus positif pada tanggal 1 Mei 2020 s.d. 8 Oktober 2020, sedangkan data validasi yang digunakan adalah 53 hari setelahnya. Data training digunakan untuk membuat representasi ruang keadaan berdasarkan model ARIMA. Sedangkan data validasi digunakan untuk menghitung akurasi dari prediksi kasus positif yang dihasilkan. Selain itu, hasil prediksi Kalman Filter akan dibandingkan dengan hasil prediksi menggunakan model ARIMA.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan pemaparan di atas maka permasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini adalah sebagai berikut,
1. Bagaimana representasi ruang keadaan untuk kasus positif Covid-19 di DKI Jakarta berdasarkan model ARIMA?
2. Bagaimana hasil prediksi dari kasus positif Covid-19 wilayah DKI Jakarta selama tujuh hari ke depan dengan menggunakan Kalman Filter?
1.3 Batasan Masalah
Agar penelitian lebih terarah maka batasan masalah dari penelitian ini adalah, 1. Data yang digunakan adalah jumlah kasus positif Covid-19 DKI Jakarta dari
periode 01 Mei 2020 – 30 November 2020.
2. Ruang keadaan dibentuk berdasarkan model ARIMA.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah,
1. Mendapatkan model ruang keadaan yang sesuai untuk data jumlah kasus positif Covid-19 di DKI Jakarta berdasarkan model ARIMA.
2. Memperoleh hasil prediksi jumlah kasus postif Covid-19 di DKI Jakarta selama tujuh hari ke depan berdasarkan metode Kalman Filter.
6
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut, 1. Hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan mengenai
penerapan teori yang telah didapat dari mata kuliah yang telah diterima ke dalam penelitian sebenarnya.
2. Hasil penelitian ini diharapkan mampu memberikan kontribusi ilmiah
sehingga dapat dijadikan rujukan dalam menentukan kebijakan atau pengambilan keputusan.
7
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Coronavirus Diases 2019
Covid-19 merupakan penyakit yang menyerang sistem pernapasan dan
disebabkan oleh virus SARS-CoV-2. Coronavirus termasuk jenis virus ribonucleic
acid (RNA) dengan ukuran partikel 120 − 160 𝑚𝑚 [14] dan berkembang biak dengan cara memperbanyak diri di dalam sel inang yang ditumpanginya termasuk tubuh manusia.. Sebelum dikonfirmasi bahwa transmisi pneumonia mampu menular dari manusia ke manusia, penyebaran Coronavirus Ini hanya menginfeksi hewan dan bersikulas di hewan dan menyababkan penyakit berat pada hewan [15].
Saat ini penyebaran dari manusia ke manusia menjadi sumber transmisi utama karena penyebarannya melalui droplet yang keluar saat bersin atau batuk dari seseorang yang terinfeksi, melalui droplet nuclei (aerosol) yang melayang di udara dan terkontaminasinya suatu permukaan benda oleh droplet yang dikeluarkan oleh penderita sehingga terbentuk fomit (permukaan yang terkontaminasi) [7].
Secara umum, seseorang yang terinfeksi Covid-19 biasanya menunjukkan gejala klinis utama seperti demam, batuk dan kesulitan dalam bernapas. Gejala lain yang ditimbulkan adalah kelelahan, nyeri otot dan kasus lain, pasien Covid-19 dengan pneumonia berat memiliki gejala klinis berupa demam, infeksi saluran pernapasan dengan frekuensi napas > 30 kali/menit, distress pernapasan berat atau saturasi oksigen < 90% udara bebas [15].
2.2 Data Runtun Waktu
Data runtun waktu merupakan data yang dikumpulkan berdasarkan urutan waktu atau kronologis kejadian pada variabel yang diamati. Umumnya, data yang dikumpulkan memiliki periode waktu yang sama, misalnya harian, mingguan, bulanan, triwulan atau tahunan. Dasar pemikiran data runtun waktu
8
adalah pengamatan saat ini (𝑍𝑡) dipengaruhi oleh beberapa pengamatan sebelumnya (𝑍𝑡−𝑘). Menganalisis data yang berorientasi pada waktu serta memperkirakan kejadian di masa yang akan datang menjadi salah satu permasalahan yang banyak dianalisis di berbagai bidang; mulai dari keuangan dan ekonomi, mengelola operasi produksi, hingga analisis kebijakan politik dan sosial sebagai bahan perencanaan serta pertimbangan dalam memutuskan arah suatu kebijakan yang akan dibuat [16].
2.3 Stasioneritas
Kestasioneran data merupakan kondisi yang harus diperhatikan dalam menganalisis data runtun waktu karena dapat memperkecil nilai error pada model. Suatu data dikatakan stasioner apabila sifat-sifat statistiknya berada dalam ekuilirium atau stabilitas statistik, akibatnya data runtun waktu memiliki nilai rata-rata dan varians tidak mengalami perubahan untuk semua periode waktu [16].
Kestasioneran data secara varians dapat dilihat melalui proses transformasi perpangkatan dengan nilai rounded value (𝜆) bernilai 1 yang diperoleh dari analisis
box-cox. Secara umum, bentuk persamaan dari transformasi pangkat (power transforrmations) adalah sebagai berikut [17]:
𝑇(𝑍𝑡) =
(𝑍𝑡𝜆− 1) 𝜆
(2.1) Dimana 𝑍𝑡 adalah data pada waktu ke- t dan nilai parameter dari transformasi di lambangkan dengan λ. Dalam tranformasi Box-Cox akan diperoleh nilai 𝜆, yang nantinya akan menjadi tolak ukur jenis transformsi yang akan digunakan. Untuk nilai 𝜆 = 0 bentuk tranformasi dapat dituliskan dalam bentuk,
lim
𝜆→0𝑇(𝑍𝑡) = lim𝜆→0
(𝑍𝑡𝜆− 1)
𝜆 = ln(𝑍𝑡)
(2.2)
Pada Tabel 2.1 disajikan beberapa nilai λ yang umum digunakan beserta aturan bentuk tranformasinya [17].
9
Tabel 2.1 Transformasi Box Cox.
Apabila data sudah stasioner terhadap varian maka selanjutnya melihat kestasioneran data terhadap rata-rata dengan melakukan uji akar unit. Pada prinsipnya, uji akar unit digunakan untuk mengamati apakah koefisien dari model
autoregressive (AR) yang telah diestimasi memiliki nilai satu atau tidak [18]. Salah
satu metode pengujian yang digunakan dalam melakukan uji akar unit adalah uji
Augmented Dickey Fuller (ADF) yang merupakan perluasan dari uji Dickey-Fuller
(DF). Adapun hipotesisnya adalah, [19]. 𝐻0 ∶ 𝛿 = 0 (terdapat akar unit)
𝐻1 ∶ 𝛿 < 0 (tidak terdapat akar unit) Statistik uji: 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝛿
𝑆𝑒 (𝛿), dengan 𝛿 adalah estimasi least square dan 𝑆𝑒 (𝛿)
adalah standar error dari estimasi dari 𝛿. Kriteria Penolakan ADF: jika 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < −𝑡(𝑛−1 , 𝛼) atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 0.05 maka tolak 𝐻0 yang artinya data sudah
stasioner terhadap rata-rata.
Apabila hasil uji ADF menunjukkan bahwa data tidak stasioner pada nilai rata-rata, maka perlu dilakukan transformasi dengan memberikan perlakukan differencing (pembedaan). Banyaknya differencing yang dilakukan dinotasikan dengan 𝑑. Bentuk
differencing pertama (𝑑 = 1) adalah sebagai berikut,
∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1. (2.3)
sedangkan bentuk differencing kedua (𝑑 = 2) yaitu [20], λ (lambda) Tranformasi −1.0 1 𝑍𝑡 −0.5 1 √𝑍𝑡 0.0 ln (𝑍𝑡) 0.5 √𝑍𝑡 1.0 𝑍𝑡 (tidak tranformasi)
10
∇2𝑍𝑡 = ∇(∇ 𝑍𝑡) = ∇(𝑍𝑡− 𝑌𝑡−1) = ∇𝑍𝑡− ∇𝑍𝑡−1
(2.4)
dengan: 𝑍𝑡= observasi pada waktu ke- 𝑡, 𝑍𝑡−1 = observasi pada waktu ke-
(𝑡 − 1), ∇𝑍 = hasil differencing pertama pada waktu ke- 𝑡, ∇2𝑍
𝑡 = hasil differencing kedua pada waktu ke- 𝑡.
2.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungi autokorelasi pada data runtun waktu menggambarkan suatu korelasi antara nilai 𝑍𝑡 dan nilai pada periode lain yaitu 𝑍𝑡+𝑘 pada proses yang sama dan dipisahkan dalam lag 𝑘. Fungsi autokorelasi dapat di tulis sebagai berikut [16]:
𝜌̂𝑘 = 𝐶𝑜𝑣 (𝑍𝑡, 𝑍𝑡+𝑘) √𝑉𝑎𝑟 (𝑍𝑡) √𝑉𝑎𝑟 (𝑍𝑡+𝑘) = 𝐶𝑜𝑣 (𝑍𝑡, 𝑍𝑡+𝑘) 𝑉𝑎𝑟 (𝑍𝑡) = 𝛾̂𝑘 𝛾̂0, (2.5)
dengan: 𝑉𝑎𝑟 (𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟 (𝑍𝑡+𝑘) = 𝛾̂0, 𝛾𝑘: fungsi autokovarian , 𝑘 = 0,1,2, … , 𝜌𝑘: koefisien autokorelasi pada lag 𝑘 antara 𝑍𝑡 dengan 𝑍𝑡+𝑘.
Sedangkan fungsi Autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara nilai 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡+𝑘 setelah menghilangkan efek ketergantungan linear pada variabel intervensi 𝑍𝑡+1, 𝑍𝑡+2, … , dan 𝑍𝑡+𝑘−1. PACF dapat didekati dengan persamaan sebagai berikut [17],
ϕ̂k+1,k+1= ρ̂k+1−∑ ϕ̂kj ρ̂k+1−j k−1 j=1 1−∑k−1j=1ϕ̂kj ρ̂j , (2.6) dan ϕ̂k+1,j= ϕ̂kj− ϕ̂k+1,k+1 ϕ̂k,k+1−j. (2.7) Dengan 𝑗 = 1,2, … 𝑘
2.5 Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive (AR) dikenal sebagai model yang meregresikan nilai 𝑍𝑡 pada nilai di periode-periode sebelumnya. Secara umum proses AR dengan orde 𝑝 atau biasanya dinotasikan dengan 𝐴𝑅(𝑝) yang memenuhi persamaan berikut [17].
11
𝑍𝑡− 𝜙1𝑍𝑡−1− 𝜙2𝑍𝑡−2− ⋯ − 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 = 𝑎𝑡. (2.8)
Persamaan (2.8) dapat diubah ke dalam bentuk.
𝑍𝑡 = 𝜙1𝑍𝑡−1+ 𝜙2𝑍𝑡−2+ ⋯ + 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝+ 𝑎𝑡. (2.9) Jika diubah ke dalam bentuk operator autoregrresive order 𝑝 adalah sebagai berikut:
𝜙𝑝(𝐵)𝑍𝑡 = 𝑎𝑡, (2.10) dengan
𝜙𝑝(𝐵) = (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2− ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝)
𝜙1, 𝜙2, … , 𝜙𝑝 : parameter dari model AR.
𝑎𝑡 : Residual pada saat 𝑡 dan bersifat white noise. 2.6 Model Moving Average (MA)
Model Moving Average (MA) menyatakan bahwa nilai 𝑍𝑡 diperoeh dengan
memberikan bobot 1, −𝜃1, −𝜃2, … −𝜃𝑞 terhadap variabel 𝑒𝑡, 𝑒𝑡−1, 𝑒𝑡−2, … , 𝑒𝑡−𝑞. Dengan kata lain model MA merupakan hubungan ketergantungan antara nilai-nilai
error di periode-periode sebelumnya. Proses MA dengan orde 𝑞 atau model ARIMA (0, 0, 𝑞) secara umum dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut [21],
𝑍𝑡 = 𝑎𝑡− 𝜃1 𝑎𝑡−1− 𝜃2 𝑎𝑡−2− ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞. (2.11)
Jika diubah ke dalam bentuk operator Moving Average order 𝑞 adalah sebagai berikut [17]:
𝑍𝑡= 𝜃(𝐵)𝑎𝑡, (2.12)
dengan:
𝜃(𝐵) : (1 − 𝜃1− 𝜃2− ⋯ − 𝜃𝑞𝐵𝑞)
𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑞 : parameter dari model MA.
12
2.7 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model ARMA menyatakan bahwa 𝑍𝑡 merupakan kombinasi antara prosesl AR (𝑝) dan model MA (𝑞). Sehingga bentuk umum dari model ARMA (𝑝, 𝑞) atau ARIMA (𝑝, 0, 𝑞) adalah sebagai berikut [17],
𝜙𝑝(𝐵)𝑍𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡 (2.13) Sehingga dapat ditulis dalam bentuk,
𝑍𝑡 = 𝜙1𝑍𝑡−1+ ⋯ + 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝+ 𝑎𝑡− 𝜃1 𝑎𝑡−1− ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 (2.14)
2.8 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model ARIMA merupakan gabungan antara model yaitu model AR dan model MA dengan perlakuan differencing karena data tidak stasioner terhadap mean. Sehingga Integrated mengacu pada proses differencing dengan orde 𝑑.
Deret waktu 𝑍𝑡 dikatakan mengikuti model ARIMA jika pembedaan ke- 𝑑 𝑊𝑡 = ∇𝑑 𝑍
𝑡 adalah proses ARMA yang stasioner. Misalkan data diberikan
pembedaan pertama, maka :
𝑊𝑡= ∇ 𝑍𝑡 = 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1 = (1 − 𝐵)𝑍𝑡
(2.15) Pembedaan ke- 𝑑 yang didefiniskan dengan 𝑊𝑡 = (1 − 𝐵)𝑑𝑍𝑡 akan
menghasilkan model ARMA (𝑝, 𝑞) yang stasioner. Secara umum persamaan dari model ARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) adalah sebagai berikut [16],
𝜙𝑝(𝐵)(1 − 𝐵)𝑑𝑍
𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡 (2.16)
2.9 Perumusan Model ARIMA
Ada tiga tahapan yang akan dilakukan dalam merumuskan model yaitu identifikasi model, estimasi parameter dan melakukan pengusian asumsi pada residual.
13
Setelah data stasioner, maka identifikasi orde AR dan MA mengacu pada plot ACF dan PACF yang dirangkum pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Karakteristik Umum ACF dan PACF.
Model ACF PACF
AR (p) Menurun secara eksponensial
(Tails off)
Terputus setelah lag ke 𝑝 MA (q) Terputus setelah lag ke 𝑞 Menurun secara eksponensial
(Tails off)
ARMA (p,q)
Menurun secara eksponensial
(Tails off)
Menurun secara eksponensial
(Tails off)
Grafik ACF dan PACF yang ditujukkan pada Tabel 2.2 merupakan alat yang efektif dalam mengidentifikasi model 𝐴𝑅(𝑝) dan 𝑀𝐴(𝑞) murni. Ketentuannya adalah jika pada plot ACF nilai nya menutun secara eksponensial atau menuju nol dan PACF nya terputus setelah lag ke-𝑝, maka kandidat model yang terbentuk adalah AR(𝑝) murni. Sedangkan jika nilai pada ACF terputus setelah lag ke-𝑝 dan PACF menurun menuju eksponensial atau menuju nol maka kandidat modelnya adalah MA(𝑞) murni [17].
2.9.2 Estimasi dan Pengujian Sinifikansi parameter
Setelah melakukan identifikasi model, maka tahapan selanjutnya adalah mengestimasi parameter. Estimasi parameter dapat di lakukan dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk menduga parameter dari model ARIMA yaitu 𝜙 dan 𝜃. Prinsip dari metode ini adalah dengan memaksimumkan fungsi likelihood dalam mengestimasi parameter.
Setelah memperoleh estimasi parameter dari model ARIMA, langkah selanjutnya adalah melakukan pengujian kesignifikanan parameter untuk melihat kelayakan dari suatu model. Hipotesis yang akan digunakan adalah sebagai berikut:
𝐻𝑜: ∅̂ ≠ 0 (parameter model tidak signifikan) 𝐻1: ∅̂ = 0 (parameter model signifikan)
14 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = ∅ ̂ 𝑠𝑒(∅̂) Kriteria Pengujian :
Jika nilai |𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔| > 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 dengan nilai 𝛼 = 0.05 maka
tolak 𝐻0 yang artinya estimasi parameter pada model signifikan.
2.9.3 Pengujian Asumsi Residual
Setelah melakuka prosedur identifikasi model, estimasi parameter dan uji signifikansi parameter, langkah selanjutnya adalah melihat kelayakan model dengan memeriksa apakah asumsi pada model terpenuhi. Adapun uji kecukupan model yang akan dilakukan adalah uji white noise dan uji normalitas residual.
Uji white noise dilakukan untuk memeriksa apakah residual dari model saling berkorelasi atau tidak. Uji white noise dapat dilajukan dengan melakukan uji Ljung-Box dengan hipotesis [17].
Hipotesis :
𝐻0 ∶ 𝜌1 = 𝜌2 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0 (residual memenuhi asumsi white noise). 𝐻1 ∶ minimal terdapat satu 𝜌𝑖 ≠ 0 , untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘 ( residual tidak memenuhi asumsi white noise ).
Statistik Uji : 𝑄 = 𝑛( 𝑛 + 2) ∑(𝑛 − 𝑘)−1 𝐾 𝑘=1 𝜌̂𝑘2 (2.17) dengan 𝑛 : Jumlah data
𝐾 : Panjang maksimum lag 𝜌𝑘 : Nilai ACF pada lag ke- 𝑘
Kriteria Pengujian : Tolak 𝐻0 jika 𝑄 > 𝜒(𝐾 − 𝑚)2 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 =
15
Sedangkan uji normalitas pada residual menggunakan uji Jarque bera yang didasarkan pada skewnes dan kurtosis mengikuti disrtribusi normal [21]. Adapun tahapan dalam melakukan uji normalitas adalah sebagai berikut,
Hipotesis :
𝐻0 ∶ residual berdistribusi normal.
𝐻1 ∶ Rasidual tidak berdistribusi normal. Statistik Uji : 𝐽𝐵 =𝑛𝛽1 2 6 + 𝑛 𝛽22 24 (2.18) Dimana 𝛽1 = ∑(𝑍𝑖− 𝑍̅) 3 (𝑛 𝜎̂3) 𝑛 𝑖=1 𝛽2 = ∑(𝑍𝑖 − 𝑍̅) 4 (𝑛 𝜎̂4) − 3 𝑛 𝑖=1 𝜎̂2 = ∑(𝑍𝑖− 𝑍̅) 2 𝑛 Kriteria Pengujian :
Tolak 𝐻0 jika 𝐽𝐵 > 𝜒𝛼 ,22 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 0.05
2.10 Proses White Noise
Proses 𝑎𝑡 dikatakan proses white noise jika 𝑎𝑡 merupakan barisan variabel acak yang tidak saling berkorelasi dari distribusi tetap dengan rata-rata yang konstan 𝐸(𝑎𝑡) = 0 , varians konstan 𝑣𝑎𝑟(𝑎𝑡) = 𝜎2 dan 𝛾
𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑡, , 𝑎𝑡+𝑘 ) = 0 untuk
𝑘 ≠ 0. Secara definisi proses white noise (𝑎𝑡) yang stasioner dengan fungsi
autokavarian adalah sebagai berikut [17], 𝛾𝑘= {𝜎𝑎
2 , 𝑘 = 0
0 , 𝑘 ≠ 0 dan fungsi autokorelasi nya adalah sebagai berikut,
𝜌𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑍𝑡 , 𝑍𝑡+𝑘) = {1 , 𝑘 = 0 0 , 𝑘 ≠ 0
2.11 Model Ruang Keadaan
Penerapan Kalman filter membutuhkan suatu model yang direpresentasikan ke dalam bentuk model ruang keadaan. Ruang keadaan memberikan kerangka kerja
16
dalam menghasilkan taksiran parameter dan prediksi yang efisien [13]. Hal dasar dari model ruang keadaan adalah pembentukan state vector yaitu sekumpulan informasi dari periode saat ini dan periode sebelumnya pada data deret waktu yang dapat sepenuhnya memprediksi nilai di masa yang akan datang [17]. Model ruang keadaan secara umum direpresentasikan ke dalam dua persamaan yaitu,
Persamaan Keadaan :
𝑿𝒕 = 𝑨 𝑿𝒕−𝟏+ 𝒘𝒕 (2.19) Persamaan Pengukuran :
𝒁𝒕 = 𝑯 𝑿𝒕+ 𝒗𝒕 (2.20) dengan :
𝑋𝑡 : State vector berukuran 𝑛 × 1 A : Matriks koefisien berukuran 𝑛 × 𝑛 𝑍𝑡 : Variabel pengukuran.
𝐻 : Matriks pengukuran berukuran 1 × 𝑛 𝑅 dan 𝑄 : Matriks Kovarian.
𝑤𝑡 : Noise pada persamaan keadaan.
𝑣𝑡 : Noise pada persamaan pengukuran.
Variabel 𝑤𝑡~𝑁(0, 𝑄) dan 𝑣𝑡~𝑁(0, 𝑅) dengan 𝑄 ∈ ℝ𝑛×𝑛 dan 𝑅 ∈ ℝ𝑚×𝑚 yang diasumsikan tidak saling berkorelasi satu sama lain [22].
2.10.1 Representasi Ruang Keadaan Pada Model AR (𝒑) Bentuk umum model AR (𝑝) adalah,
𝑍𝑡− 𝜇 = 𝜙1(𝑍𝑡−1− 𝜇) + 𝜙2(𝑍𝑡−2− 𝜇) + ⋯ + 𝜙𝑝(𝑍𝑡−𝑝− 𝜇) + 𝑒𝑡
(2. 21) Representasi ruang keadaan untuk persamaan (2.21) adalah sebagai berikut [23], Persamaan keadaan : 𝑿𝒕 = 𝑨 𝑿𝒕−𝟏+ 𝒘𝒕
Persamaan pengukuran : 𝒁𝒕 = 𝑯 𝑿𝒕+ 𝒗𝒕
17 𝑋𝑡 = [ 𝑍𝑡− 𝜇 𝑍𝑡−1− 𝜇 𝑍𝑡−2− 𝜇 ⋮ 𝑍𝑡−𝑝+1− 𝜇] 𝐴 = [ 𝜙1 𝜙2 … 𝜙𝑝−1 𝜙𝑝 1 0 … 0 0 0 1 … 0 0 ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ 0 0 … 1 0 ] 𝑤𝑡 = [ 𝑒𝑡 0 0 ⋮ 0 ] 𝐻 = [1 0 0 … 0]
2.10.2 Representasi Ruang Keadaan Model MA (𝒒) Bentuk umum model MA (𝑞) adalah,
𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝑎𝑡− 𝜃1 𝑎𝑡−1− 𝜃2 𝑎𝑡−2− 𝜃3𝑎𝑡−3… − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 (2. 22) Representasi ruang keadaan untuk persamaan (2.22) adalah sebagai berikut [23], Persamaan keadaan : 𝑿𝒕 = 𝑨 𝑿𝒕−𝟏+ 𝒘𝒕 Persamaan pengukuran : 𝒁𝒕 = 𝑯 𝑿𝒕+ 𝒗𝒕 Dengan : 𝑋𝑡 = [ 𝑎𝑡 𝑎𝑡−1 𝑎𝑡−2 ⋮ 𝑎𝑡−𝑞+1] , 𝐴 = [ 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 0 ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ 0 0 … 1 0] , 𝑤𝑡 = [ 𝑒𝑡 0 0 ⋮ 0 ] , 𝐻 = 𝜇 + [1 𝜃1 𝜃2 … 𝜃𝑞]
18
Secara umum model ARMA (𝑝, 𝑞) dengan 𝑟 = 𝑚𝑎𝑥(𝑝, 𝑞 + 1) dapat ditulis dalam bentuk,
𝑍𝑡− 𝜇 = 𝜙1(𝑍𝑡−1− 𝜇) + ⋯ + 𝜙𝑝(𝑍𝑡−𝑟− 𝜇) + 𝑎𝑡− 𝜃1 𝑎𝑡−1− ⋯ − 𝜃𝑟−1 𝑎𝑡−𝑟+1 (2. 23) Representasi ruang keadaan untuk persamaan (2.23) adalah sebagai berikut [23], Persamaan keadaan : 𝑿𝒕 = 𝑨 𝑿𝒕−𝟏+ 𝒘𝒕 Persamaan pengukuran : 𝒁𝒕 = 𝑯 𝑿𝒕+ 𝒗𝒕 Dengan : 𝑋𝑡 = [ 𝑍𝑡− 𝜇 𝑍𝑡−1− 𝜇 𝑍𝑡−2− 𝜇 ⋮ 𝑍𝑡−𝑝+1− 𝜇] , 𝐴 = [ 𝜙1 𝜙2 … 𝜙𝑟−1 𝜙𝑟 1 0 … 0 0 0 1 … 0 0 ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ 0 0 … 1 0 ] , 𝑤𝑡 = [ 𝑒𝑡 0 0 ⋮ 0 ] 𝐻 = 𝜇 + [1 𝜃1 𝜃2 … 𝜃𝑟−1]. 2.12 Kalman Filter
Kalman Filter merupakan suatu algoritma yang terdiri dari sekumpulan persamaan matematika yang menerapkan perhitungan komputasi secara rekursif dalam mengestimasi state dari sebuah proses, dan dianggap sebagai solusi yang optimal dalam melakukan prediksi suatu data, filter yang dibuat mampu miminimumkan nilai error. Dalam prosesnya Algoritma Kalman Filter terbagi menjadi dua tahapan yaitu tahap prediksi (time update) dan tahap koreksi
(measurement update). Tahap prediksi dilakukan untuk mendapatkan informasi saat
ini dengan memasukkan informasi pada periode sebelumnya. Sedangkan di tahap koreksi, informasi yang diperoleh pada tahap prediksi akan di koreksi sehingga dapat memperbaiki informasi yang ada dan memperoleh hasil yang lebih akurat [24]. Untuk menurunkan algoritma Kalman Filter, definisikan 𝑥̂𝑡− sebagai a priori state estimate yang merupakan nilai pra-estimasi pada waktu ke- 𝑡 sedangkan 𝑥̂𝑡
19
sebagai posteriori state estimate yang merupakan hasil koreksi dari a priori state
estimate. Definisikan juga a prior dan a posteriori estimate error yang ditujukkan
oleh (2. 24) dan (2. 25).
𝑒𝑡− = 𝑥𝑡− 𝑥̂𝑡− (2.24)
𝑒𝑡 = 𝑥𝑡− 𝑥̂𝑡 (2.25)
Maka kovarian error pada a prior estimate dirumuskan dengan, 𝑃𝑡− = 𝐸(𝑒𝑡− 𝑒 𝑡−𝑇) = 𝐸[(𝑥𝑡− 𝑥̂𝑡−)(𝑥 𝑡− 𝑥̂𝑡−)𝑇] = 𝐸[(𝐴 𝑥𝑡−1+ 𝑤𝑡− 𝐴 𝑥̂𝑡−1)(𝐴 𝑥𝑡−1+ 𝑤𝑡− 𝐴 𝑥̂𝑡−1)𝑇] = 𝐸[(𝐴(𝑥𝑡−1− 𝑥̂𝑡−1) + 𝑤𝑡)(𝐴(𝑥𝑡−1− 𝑥̂𝑡−1) + 𝑤𝑡)𝑇] = 𝐴 𝐸[(𝑥𝑡−1− 𝑥̂𝑡−1)(𝑥𝑡−1− 𝑥̂𝑡−1)𝑇]𝐴𝑇+ 𝐸[𝑤 𝑡 𝑤𝑡𝑇] = 𝐴 𝐸[𝑒 𝑡−1 𝑒𝑡−1𝑇 ] 𝐴𝑇+ 𝐸[𝑤𝑡 𝑤𝑡𝑇] (2.26)
Untuk memperoleh hasil yang optimal dengan nilai error yang minimum, maka kovarian dari masing-masing model diasumsikan konstan yang didefinisikan oleh.
𝑄 = 𝐸[𝑤𝑡 𝑤𝑡𝑇] (2.27)
𝑅 = 𝐸[𝑣𝑡 𝑣𝑡𝑇] (2.28)
Sehingga diperoleh kovarian error pada a prior estimate berdasarkan persamaan (2.26).
𝑃𝑡− = 𝐴 𝑃𝑡−1 𝐴𝑇+ 𝑄 (2.29) Selanjutnya persamaan (2.30), untuk menghitung nilai pasca-estimasi pada
state 𝑥̂𝑡 yang dibangun dari kombinasi nilai pra-estimasi 𝑥̂𝑡− dan selisih antara nilai aktual 𝑍𝑡 dan prediksi nilai ukur (𝐻 𝑥̂𝑡−).
𝑥̂𝑡 = 𝑥̂𝑡−+ 𝐾
20
Parameter 𝐾𝑡 memiliki peranan yang penting untuk mengendalikan hasil koreksi estimasi sehingga dapat meminimumkan kovarian error. Parameter ini disebut Kalman Gain, yang di tuliskan ke dalam bentuk persamaan dibawah ini.
𝐾𝑡 = 𝑃𝑡− 𝐻𝑇 (𝐻 𝑃
𝑡− 𝐻𝑇+ 𝑅)−1 (2.31) Untuk memproleh nilai yang minimum substitusikan persamaan (2.30), ke
dalam persamaan (2.25), sehingga kovarian error pada posterior estimate yaitu, 𝑃𝑡 = E(et etT) = E[(xt− x̂t)(xt− x̂t)T] = E [(xt− (x̂t−+ Kt(zt− H x̂t−))) (xt− (x̂t−+ Kt(zt− H x̂t−))) T ] = E [(xt− x̂t−− Kt(zt− H x̂t−))(xt− x̂t−− Kt(zt− H x̂t−)) T ] = E [(xt− x̂t−− Kt(H xt+ vt− H x̂t−))(xt− x̂t−− Kt(H xt+ vt− H x̂t−)) T ] = E [((xt− x̂t−) − KtH(xt− x̂t−) − Ktvt)((xt− x̂t−) − KtH(xt− x̂t−) − Ktvt)T] = (𝐼 − 𝐾𝑡𝐻) 𝐸[(xt− x̂t−)(xt− x̂t−)𝑇](𝐼 − 𝐾 𝑡𝐻)𝑇+ 𝐾𝑡 𝐸[𝑣𝑡 𝑣𝑡𝑇]𝐾𝑡 = (𝐼 − 𝐾𝑡𝐻)𝑃𝑡−(𝐼 − 𝐾 𝑡𝐻)𝑇+ 𝐾𝑡 𝑅 𝐾𝑡 = (𝐼 − 𝐾𝑡 𝐻)𝑃𝑡− (2.32)
Secara umum algoritma Kalman Filter dapat dilihat pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Algoritma Kalman Filter. Inisialisasi Awal
𝑥̂0 dan 𝑃0
Tahap Prediksi (time update)
Estimasi : 𝑥̂𝑡−= 𝐴 𝑥̂ 𝑡−1
Kovarian Error : 𝑃𝑡− = 𝐴 𝑃𝑡 𝐴𝑡+ 𝑄 Tahap Koreksi (measurement update) Kalman gain : 𝐾𝑡 = 𝑃𝑡− 𝐻𝑡 (𝐻 𝑃
𝑡− 𝐻𝑡+ 𝑅)−1
Estimasi : 𝑥̂𝑡 = 𝑥̂𝑡−+ 𝐾𝑡(𝑧𝑡− 𝐻 𝑥̂𝑡−) Kovarian Error : 𝑃𝑡 = (𝐼 − 𝐾𝑡 𝐻) 𝑃𝑡−
21
2.13 Ketepatan Model Prakiraan
Hasil prediksi tidak akan tepat 100% maka untuk mengukur ketepatan dari model yang adalah dengan melihat nilai kesalahan sekecil mungkin. Salah satu cara dalam mengevaluasi hasil prediksi adalah dengan menghitung Mean Absolute
Percent Error (MAPE).
MAPE merupakan ukuran kesalahan dengan menghitung nilai rata-rata absolute antara data aktual dan data hasil prediksi yang di dinyatakan dalam bentuk presentase. Semakin kecil nilai MAPE maka dapat dikatakan model semakin baik. ketepatan dari model bisa dilihat dari kriteria nilai MAPE yang ditunjukkan pada Tabel 2.4. Sedangkan rumus MAPE dirumuskan dengan [25].
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑛∑ |𝐹𝑡− 𝐴𝑡| 𝐴𝑡 𝑛 𝑡=1
dimana 𝐹𝑡 adalah nilai dari prediksi pada periode 𝑡, 𝐴𝑡 adalah nilai aktual periode 𝑡 dan 𝑛 adalaj banyaknya periode.
Tabel 2.4 Kriteria Nilai dari MAPE.
MAPE Kriteria
10% Sangat Baik
10% - 20% Baik
20% - 50% Cukup Baik
22
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kasus pasien yang terkonfirmasi positif Covid-19 di DKI Jakarta. Data tersebut merupakan data periodik harian dari 01 Mei 2020 sampai 30 November 2020 yang diakses melalui situs web https://corona.jakarta.go.id/id/data-pemantauan.
Data yang diperoleh akan di bagi menjadi dua bagian, yaitu data pada tanggal 01 Mei 2020 sampai 8 Oktober 2020 digunakan untuk pembentukan model (data
training) sedangkan 9 Oktober 2020 – 30 November 2020 digunakan untuk validasi
model (data testing).
3.2 Teknik Pengolaha Data
Dalam penelitian ini data diolah menggunakan software Rstudio 1.0.153, dan Matlab R2018a. Langkah-langkah analisis data dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Eksplorasi data dengan melihat statistika deskriptif serta plot data untuk melihat pola data pada data runtun waktu
2. Melihat kestasioneran data training dalam varian dengan melihat grafik
Box-Cox yang kemudian dilakukan transformasi perpangkatan menggunakan persamaan 2.1. Jika nilai 𝜆 ≠ 1 maka data perlu dilakukan tranformasi
3. Melihat kestasioneran data dalam rata-rata dengan melakukan uji ADF berdasarkan sub bab 2.3
4. Identifikasi dugaan model ARIMA sementara degan menentukan orde AR dan MA dari plot ACF dan PACF serta pengambilan keputusan dapat dilakukan dengan mengacu pada Tabel 2.2.
23
5. Estimasi dan uji kesignifikanan parameter dari model ARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) 6. Memilih model dengan melihat nilai AIC terkecil.
7. Melakukan uji diagnosis model menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) dari model ARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) yang terpilih.
8. Pembentukan ruang keadaan dengan menentukan state vector dan matriks A dan H berdasarkan model ARIMA yang terpilih.
9. Melakukan prediksi menggunakan teknik Kalman Filter dengan langkah-langkah yang dijelaskan pada sub bab 2.11.
24
25
26
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskrptif Data
Variabel yang digunakan dalam studi kasus penelitian ini adalah penambahan kasus positif covid-19 di DKI Jakarta pada periode harian dari 01 Mei 2020 – 30 November 2020. Dari 214 data tersebut akan dibagi menjadi 75% data training yaitu sebanyak 161 data yang akan digunakan dalam pembentukan model sedangkan 25% data akan digunakan untuk mengecek ketepatan model. Deskripsi data positif
covid-19 secara umum di tampilkan dalam Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Statistika Deskriptif Data Harian Covid-19 DKI Jakarta. Variabel Rata-rata Std.Deviasi Maksimum Minimum
Covid-19 591 440.37 1579 55
Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa pengamatan selama 7 bulan terakhir jumlah seseorang yang terkonfirmasi positif covid-19 terendah terjadi pada 04 Mei 2020 sebanyak 55 orang, sedangkan jumlah tertinggi terjadi pada 21 November 2020 sebanyak 1579 orang dan rata-rata peningkatan pasien positif adalah 591 orang dengan standar deviasi sebesar 440.37. Grafik data covid-19 di DKI Jakarta selama 7 bulan terakhir dapat dilihat pada gambar 1.2 yang menunjukkan bahwa jumlah yang terkonfirmasi positif covid-19 terus mengalami kenaikan.
4.2 Kestasioneran Data
Sebelum pembentukan ruang keadaan dari model ARIMA berdasarkan data harian positif covid-19, terlebih dahulu melakukan analisis stasioneritas terhadap varian maupun mean. Sebab agar memperoleh model yang baik data yang dianalisis harus dalam keadaan stasioner.Kestasioneran data terhadap varian dapat dilihat dari transformasi Box-Cox dengan nilai rounded value (𝜆 = 1).
27
Gambar 4.1 Plot Box-Cox Harian Positif Covid-19 DKI Jakarta.
Dari Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa hasil rounded value (𝜆) untuk data kasuus positif covid-19 memiliki nilai 𝜆 yang belum mencapai satu sehingga diperlukan perlakuan transformasi (𝑍𝑡)0.35. Setelah melihat kestasioneran terhadap
varian, maka akan dilihat apakah data telah stasioner dalam mean melalui uji ADF yang disajikan pada Tabel 4.3.
Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller.
Uji t-statistic p-value
Augmented Dickey Fuller -2.7526 0.3143
Berdasarkan Tabel 4.2 terlihat bahwa nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 pada tingkat signifikansi sebesar 5% sehingga terima 𝐻0, yang artinya data yang akan dianalisis tidak stasioner terhadap mean sehingga harus diberikan perlakuan pembedaan
(differencing) agar menghasilkan data yang tingkat kestasionerannya lebih kuat.
Setelah data ditransformasi dan di differencing satu kali, maka diperoleh plot data pada Gambar 4.2.
Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa data sudah stasioner dalam rata-rata dan varian, terlihat dari data pengamatan sudah berada di sekitar nilai rata-rata yang konstan . Untuk memastikan bahwa data sudah stasioner, maka dapat di lakukan uji ADF. Hasil dari uji ADF dapat dilihat dalam Tabel 4.3 yang menghasilkan nilai 𝑝 −
28
𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 dengan taraf signifikansi 5%, sehingga tolak 𝐻0 yang artinya data harian positif Covid-19 di DKI Jakarta sudah stasioner.
Gambar 4.2 Plot Hasil Transformasi Box-Cox dan Diffferencing Data Covid-19
DKI Jakarta.
Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller.
Uji t-statistic p-value
Augmented Dickey Fuller -2.7526 0.01
4.3 Identifikasi Model
Setelah data yang dianalisis sudah dalam keadaan stasioner maka asumsi dalam pembentukan model runtun waktu sudah terpenuhi. Selanjutnya dilakukan identifikasi model berdasarkan plot ACF dan PACF pada data kasus positif Covid-19 di DKI yang disajikan pada Gambar 4.4. Pada Gambar 4.4 dapat diamati pada plot ACF lag terputus pada lag-1, sedangkan pada plot PACF terputus pada lag-1, lag-2 dan lag-3. Sehingga kemungkinan model yang sesuai untuk data harian positif
covid-19 adalah model ARIMA (0,1,1), ARIMA (1,1,0), ARIMA (2,1,0) dan ARIMA
(3,1,0). Setelah memperoleh kandidat model, langkah selanjutnya adalah estimasi parameter dan uji signifikan terhadap setiap parameter pada model.
29
Gambar 4.3 Plot ACF dan PACF data harian positif Covid-19 di DKI Jakarta.
4.4 Estimasi Parameter
Nilai taksiran parameter untuk setiap model adalah sebagai berikut,
Tabel 4.4 Estimasi Parameter Kandidat Model ARIMA.
No ARIMA (p,d,q) Koefisien Estimasi Parameter Standar Error 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 AIC 1. ARIMA (1,1,0) ∅1 -0.5388 0.0673 1.161𝑒 − 15 351.77 2. ARIMA (2,1,0) ∅1 -0.6980 0.0763 2.2𝑒 − 16 339.38 ∅2 -0.2971 0.0765 0.0001023 3. ARIMA (3,1,0) ∅1 -0.7896 0.0762 2.2𝑒 − 16 326.14 ∅2 -0.5164 0.0911 1.429𝑒 − 08 ∅3 -0.3088 0.0770 6.110𝑒 − 05 4. ARIMA (0,1,1) 𝜃1 -0.7022 0.0454 2.2𝑒 − 16 328.47
Berdasarkan Tabel 4.4 terlihat bahwa seluruh kandidat model memiliki nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 yang artinya setiap nilai parameter pada model sudah signifikan, sehingga model yang layak dugunakan adalah dengan melihat nilai AIC terkecil yaitu model ARIMA (3,1,0). Sehingga persamaan model ARIMA (3,1, 0) dari hasil estimasi adalah sebagai berikut,
30 (1 − 𝐵)(1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2− 𝜙3𝐵3)𝑌𝑡 = 𝑎𝑡 𝑌𝑡 = (1 + 𝜙1)𝑌𝑡−1+ (𝜙2− 𝜙1) 𝑌𝑡−2+ (𝜙3− 𝜙2) 𝑍𝑡−3− 𝜙3𝑌𝑡−4+ 𝑎𝑡 𝑌𝑡 = 0.2104 𝑌𝑡−1+ 0.2732 𝑌𝑡−2+ 0.2076 𝑌𝑡−3+ 0.3088 𝑌𝑡−4+ 𝑎𝑡 dengan 𝑌𝑡 = (𝑍𝑡)0.35 4.5 Diagnosis Model
Pada tahap ini model yang terpilih akan dilakukan uji asumsi residual untuk menentukan apakah model sudah terspesifikasi dengan benar. Jika model terspesifikasi dengan benar maka nilai residualnya tidak saling berkorelasi dan mengikuti distribusi normal. Berikut Gambar 4.4 adalah plot residual dari model ARIMA (3,1,0).
Gambar 4.4 Plot Residual Model ARIMA (3,1,0).
Berdasarkan Gambar 4.4 residual sudah mengikuti pola data aslinya yaitu data penambahan kasus positif covid-19 di DKI Jakarta. Berikut merupakan hasil diagnosis model ARIMA (3,1,0).
4.5.1. Uji Normalitas
Pengujian normlitas pada model ARIMA (3,1,0) dapat dilihat dari histogram dan QQ-plot pada Gambar 4.5.
31
Gambar 4.5 Histogram dan QQ-Plot Rasidual Model ARIMA (3,1,0).
Berdasarkan histogram dan QQ-Plot pada Gambar 4.5 terlihat bahwa residual sudah berdistribusi normal, selanjutnya untuk lebih memastikan dapat dilakukan uji Jarque Bera yang disajikan pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5. Hasil Uji Jarque Bera. Uji Normalitas 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆
Jarque Bera 0.4016
Berdasarkan Tabel 4.5 diperoleh nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 pada uji Jarque
Bera adalah 0.4016 yang lebih besar dari taraf signifikansi yaitu 0.05 yang
berarti terima 𝐻0 yang artinya residual berdistribusi normal. 4.5.2. Uji autokorelasi
Selanjutnya dalam diagnosis model ARIMA yaitu uji autokorelasi pada residual yang disajikan dalam Tabel 4.6.
Tabel 4.6. Hasil Uji Autokorelasi dengan Ljung-Box. Uji Autokorelasi 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆
Ljung-Box 0.132
Pada Tabel 4.6 terlihat bahwa nilai probabilitas sebesar 0.132 lebih besar dari taraf signifikansinya yaitu 0.05, maka terima 𝐻0 yang artinya adalah residual bersifat white noise atau tidak ada korelasi antar residual.
Setelah memastikan model memenuhi asumsi residual, maka langkah selanjutnya adalah melakukan prediksi penambahan kasus positif Covid-19 dan dibandingkan dengan data aktual pada data validasi. Hasil perbandingan
32
prediksi model ARIMA (3,1,0) dan data aktual dapat dilihat pada Gambar 4.6.
Gambar 4.6 Hasil Perbandingan Prediksi Model ARIMA dan Data Aktual.
Berdasarkan Gambar 4.6 terlihat bahwa hasil prediksi pada data validasi menunjukkan hasil yang sangat berbeda dari data aktualnya dengan nilai MAPE sebesar 22% . Langkah selanjutnya adalah melakukan simulasi prediksi dengan Kalman Filter berdasarkan model ruang keadaan ARIMA (3,1,0).
4.6 Pembentukan Model Ruang Keadaan
Selanjutnya simulasi prediksi Kalman Filter didasari dengan pembentukan model ruang keadaan dari model ARIMA (3,1,0) yang di dituliskan pada persamaan (4.1). Adapun bentuk model ruang keadaan nya adalah sebgaii berikut,
Persamaan Keadaan : Xt = A Xt−1+ Wt , Wt~ N(0, Q) Persamaan Pengukuran : Zt = H Xt+ Vt , Vt~ N(0, R) dimana 𝑋𝑡 = [ 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 ]
33
A adalah matriks koefisien , 𝐀 = [
1 + ϕ1 ϕ2− ϕ1 ϕ3− ϕ2 −ϕ3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] = [ 0.2104 0.2732 0.2076 0.3088 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ]
H adalah matriks pengukuran : 𝑯 = [1 0 0 0]
𝑊 ~ 𝑁(0, 𝑄), 𝑸 = [ 0.05 0 0 0 0 0.05 0 0 0 0 0.05 0 0 0 0 0.05 ] 𝑉 ~ 𝑁(0, 𝑅), 𝑹 = 0.001
4.7 Simulasi Kalman Filter
Setelah diperoleh model sistem dan model pengukuran dari model ARIMA (3,1,0) maka tahap selanjutnya adalah penerapan Kalman Filter dalam memprediksi penambahan kasus positif covid-19. Simulasi dilakukan setelah diperoleh parameter-parameter yang dibutuhkan dalam proses rekursif Kalman Filter, di antaranya, 𝐴 = [ 0.2104 0.2732 0.2076 0.3088 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] 𝑄 = [ 0.05 0 0 0 0 0.05 0 0 0 0 0.05 0 0 0 0 0.05 ] 𝐻 = [1 0 0 0] 𝑅 = 0.001
Pada tahap inisialisasi pada simulasi Kalman Filter nilai awal 𝑋̂0 diambil dari data pertama 𝑌𝑡. Untuk nilai awal diberikan sebagai berikut,
34 𝑃0 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]
Nilai estimasi awal : 𝑋̂0 = [ 5.7 4.5 4.2 4.1 ]
Kemudian setelah melakukan simulasi Kalman Filter diperoleh Gambar 4. 7 yang merupakan plot dari data training yang terdiri dari data aktual (𝑧𝑡), nilai
𝑥𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 (𝑋̂𝑡(1,1)− ) dan nilai 𝑥𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 (𝑋̂𝑡(1,1)).
Dari gambar 4.7 terlihat bahwa nilai 𝑋̂𝑡(1,1)− hampir mendekati data aktual, dimana nilai ini merupakan hasil prediksi dari variabel pengukuran. Nilai 𝑋̂𝑡(1,1) merupakan hasil koreksi pada waktu ke- 𝑡 dari variabel pengukuran. Oleh karena itu jika nilai dari 𝑋̂𝑡(1,1) sudah sesuai dengan data aktual maka hasil prediksi telah menunjukkan hasil yang baik maka dapat dikatakan pemilihan vektor keadaan awal dan kovarian awal sudah tepat.
Kemudian tingkat akurasi dari estimasi Kalman Filter dapat dilihat pada Gambar 4.8, dimana nilai kovarian error pada tahap prediksi (𝑃𝑡−) mengalami
kenaikan dan stabil pada iterasi ke- delapan. Nilai dari Kalman Gain dan Kovarian error tahap koreksi (𝑃𝑡) yang dihasilkan masing-masing tertera pada Gambar 4.9 dan 4.10, dimana Gambar 4.9 munjukkan nilai Kalman gain yang konvergen ke nilai 0.9986, hal ini disebabkan oleh nilai R dan Q yang konstan. Kemudian setelah nilai 𝑃𝑡−, terlihat bahwa nilai 𝑃
𝑡 lebih kecil jika dibandingkan dengan nilai 𝑃𝑡− dan
konvergen ke suatu nilai, yaitu 0.000986. Hal ini sesuai dengan fungsi dari kalman gain yang mampu meminimumkan nilai dari kovarian error.
35
Gambar 4.7. Plot Estimasi Data Training.
36
Gambar 4.9 Plot dari Kalman Gain.
37
Selanjutnya, Gambar 4.11 merupakan perbandingan hasil prediksi menggunakan Kalman Filter dengan data aktual pada 09 Oktober 2020 sampai 30 November 2020, dimana nilai yang dihasilkan oleh Kalman Filter lebih mendekati data aktual dibandingkan dengan hasil dari ARIMA.
Gambar 4.11 Plot Data Validasi Kalman Filter.
Dari hasil simulasi ini, dilakukan perhitungan MAPE untuk melihat keakuratan model dalam melakukan prediksi 𝑛 langkah ke depan, dimana hasil prediksi yang dihasilkan oleh Kalman Filter sebesar 14% dan memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan ARIMA berdasarkan kriteria MAPE pada subbab 4.13. Kemudian untuk meghasilkan prediksi 7 hari kedepan, dapat menggunakan perhitungan a prior estimate pada tabel 2.3 dengan melibatkan matriks koefisien dari model ARIMA (3,1,0). Hasil prediksi yang diperoleh tidak bisa sepenuhnya menjadi acuan, hal ini disebabkan jika terdapat data observasi terbaru maka selanjutnya hasil prediksi yang sudah diperoleh akan diperbaharui sehingga hasil prediksi mengalami
38
perubahan nilai. Dan hasil prediksi tujuh hari ke depan dari Kalman Filter dan ARIMA (3,1,0) dapat dilihat pada Tabel 4.7.
Tabel 4.7 Nilai Prediksi Tujuh Hari Ke depan Terkait Penambahan Kasus
Positif COVID-19 di DKI Jakarta.
Periode Data Aktual Prediksi ARIMA Prediksi Kalman Filter
1/12/2020 1058 1077 1327 2/12/2020 1166 1077 1286 3//12/2020 1153 1077 1303 4/12/2020 1032 1077 1241 5/12/2020 1360 1077 1294 6/12/2020 1331 1077 1279 7/12/2020 1466 1077 1283
39
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 KesimpulanBerdasarkan hasil penelitian mengenai penambahan kasus positif Covid-19 di DKI Jakarta maka dapat disimpulkan bahwa model yang terbentuk berdasarkan data adalah model ARIMA(3,1,0) dengan persamaan sebagai berikut,
𝑌𝑡 = 0.2104 𝑌𝑡−1+ 0.2732 𝑌𝑡−2+ 0.2076 𝑌𝑡−3+ 0.3088 𝑌𝑡−4+ 𝑎𝑡. Representasi model ruang keadaan berdasarkan model ARIMA(3,1,0) adalah,
Persamaan Keadaan : 𝑿𝒕 = [ −0.2104 0.2732 0.2076 0.3088 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] 𝑿𝒕−𝟏+ 𝑾𝒕 Persamaan Pengukuran : 𝒁𝒕= [1 0 0 0] 𝑿𝒕+ 𝑽𝒕 dengan 𝑾𝒕 ~ 𝑁(0, 𝑄) dan 𝑽𝒕 ~ 𝑁(0, 𝑅).
Dengan adanya implementasi Kalman Filter pada model ARIMA, hasil prediksi penambahan kasus positif Covid-19 DKI Jakarta menjadi lebih akurat. Hal ini ditunjukkan dengan menurunnya toleransi kesalahan pada hasil prediksi dari 22% menggunakan model ARIMA(3,1,0) menjadi 14% setelah menerapkan algoritma Kalman Filter. Hasil prediksi penambahan kasus positif Covid-19 di DKI Jakarta selama 7 hari ke depan berdasarkan prediksi Kalman Filter yaitu,
Tanggal Hasil Prediksi
1/12/2020 1327 2/12/2020 1286 3/12/2020 1303 4/12/2020 1241 5/12/2020 1294 6/12/2020 1279 7/12/2020 1283
40
5.2 Saran
Pada penelitian ini prediksi kasus positif Covid-19 menggunakan metode Kalman filter berdasarkan model ruang keadaan ARIMA (3,1,0). Diharapkan Untuk penelitian selanjutnya, prediksi kasus positif dapat dilakukan menggunakan Kalman Filter berdasarkan representasi model lain seperti; model Susceptible, Infectious,
Recovered (SIR) dan model Susceptible, Exposed, Infected, Recovered SEIR
41
REFERENSI
[1] Y. Y. Zheng, Y. T. Ma, J. Y. Zhang, dan X. Xie, “COVID-19 and the cardiovascular system,” Nat. Rev. Cardiol., vol. 17, no. 5, pp. 259–260, 2020, doi: 10.1038/s41569-020-0360-5.
[2] D. Kang, H. Choi, J. H. Kim, dan J. Choi, “Spatial epidemic dynamics of the COVID-19 outbreak in China,” Int. J. Infect. Dis., vol. 94, no. January, pp. 96–102, 2020, doi: 10.1016/j.ijid.2020.03.076.
[3] M. Mandal, S. Jana, S. K. Nandi, A. Khatua, S. Adak, dan T. K. Kar, “A model based study on the dynamics of COVID-19: Prediction and control,”
Chaos, Solitons and Fractals, vol. 136, p. 109889, 2020, doi:
10.1016/j.chaos.2020.109889.
[4] World Health Organization, “Coronavirus disease (COVID-19),” 2020. [Online]. Available: https://www.who.int/docs/default-
source/coronaviruse/situation-reports/20200528-covid-19-sitrep-129.pdf?sfvrsn=5b154880_2.
[5] Satuan Tugas Percepatan Penanganan Covid-19, “Peta Sebaran,”
https://covid19.go.id/, 2020. https://covid19.go.id/peta-sebaran (accessed Sep.
30, 2020).
[6] Dinas Kesehatan Provinsi DKI Jakarta, “Data Pemantauan Covid-19,” 2020. https://corona.jakarta.go.id/id/data-pemantauan (accessed Nov. 30, 2020). [7] World Health Organization, “Transmission of SARS-CoV-2 : implications for
infection prevention precautions,” no. July, pp. 1–10, 2020.
[8] N. Nadilia, N. Fitriyati, dan I. Fauziah, “The Constant Annual Premium and Benefit Reserve for Four Participants in Joint Life Insurance,” Inpr. Indones.
![Gambar 1.1 Grafik Perkembangan Kasus Covid.19 Secara Nasional [5]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/2709272.3644088/16.914.188.755.349.989/gambar-grafik-perkembangan-kasus-covid-secara-nasional.webp)
