KONSEP DASAR BESARAN DAN KINEMATIKA GERAK

i

i

Erni Kusrini Sitinjak, M.Pd

KONSEP DASAR BESARAN DAN KINEMATIKA GERAK

Yayasan Barcode

2021

ii

Judul Buku : KONSEP DASAR BESARAN DAN KINEMATIKA GERAK ISBN : 978-623-285-457-4

Penulis : Erni Kusrini Sitinjak, M.Pd Cetakan : Pertama Oktober 2021 Ukuran Buku : 15x23 cm

Layout oleh : Sulaiman

Diterbitkan Oleh

Penerbit Yayasan Barcode Divisi Publikasi dan Penelitian

Jl. Kesatuan 3 No. 9 Kelurahan Maccini Parang Kecamatan Makassar Kota Makassar

Sanksi Pelanggaran Pasal 72

Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta

1. Barang siapa dengan sengaja dan tampa hak melakukan perbuatan Sebagaimana dimaksud dalam pasal 2 ayat (1) atau pasal 49 ayat (1) dan ayat 2 dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan / atau denda paling sdikit Rp.

1.000.000.00 (satu juta), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) Tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 5.000.000.000;00 (lima milyar rupiah.

2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta terkait bagaimana dimaksud pada ayat (1) pidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000.00; (lima ratus juta rupiah).

i

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan Anugerahnya sehingga buku : “ Konsep Dasar Besaran dan Kinematika Gerak” ini dapat diselesaikan.

Buku ini disusun untuk dapat digunakan sebagai bahan kuliah serta pendukung dalam bidang Fisika dan Pendidikan Fisika di FKIP maupun FMIPA. Buku ini juga dapat digunakan oleh para pendidik/guru dan siswa di tingkat sekolah menengah sebagai salah satu sumber referensi pembelajaran Sains dan Fisika di sekolah.

Pembahasan dalam buku ini diawali dengan pendahuluan tentang Hakikat Fisika sebagai Sikap (a way of thinking), sebagai Proses (a way of investigating) dan sebagai Produk (a body of knowledge) diikuti pembahasan Produk Fisika dan Cara Kerja Fisika.

Buku ini membahas materi Besaran dalam Fisika, Pengukuran, Dimensi Besaran, Vektor, Gerak Satu Dimensi dan Gerak Dua Dimensi. Selain materi disajikan juga contoh – contoh soal yang menekankan pada pemahaman konsep untuk setipa topik materi yang dibahas.

Contoh soal yang disajikan disusun terstruktur dengan baik sehingga memudahkan untuk mengikuti serta memahami teknik penyelesaian serta pemecahan soal – soal.

Selain contoh soal yang diberikan dengan penyelesaian yang terstruktur dengan baik, buku ini juga memberikan latihan soal yang akan mengasah kemampuan serta disusun dengan tingkat kesulitan soal yang bervariasi. Buku ini tentunya diharapkan dapat bermanfaat bagi mahasiswa bidang fisika dan pendidikan fisika, pendidik/guru sains fisika, siswa dan para pembaca lainnya.

Medan, Januari 2021 Penulis,

Erni Kusrini Sitinjak, M.Pd

ii DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Hakikat Fisika ... 1

A. Fisika sebagai Sikap (a way of thinking) ... 1

B. Fisika Sebagai Proses (a way of investigating) ... 1

C. Fisika Sebagai Produk (a body of knowledge) ... 1

1.2 Produk Fisika ... 2

1.3 Cara kerja Fisika ... 2

BAB II KONSEP BESARAN DAN SATUAN 2.1 Defenisi Besaran, Pengukuran dan Satuan ... 3

2.2 Sistem Satuan Internasional ... 3

2.3 Besaran Pokok dan Besaran Turunan ... 3

2.3.1 Besaran Pokok ... 3

2.3.2 Besaran Turunan ... 4

2.3.3 Dimensi ... 5

2.4 Pengukuran ... 7

2.4.1 Pengukuran Panjang Benda ... 7

2.4.2 Pengukuran Massa ... 10

2.4.3 Pengukuran Waktu ... 11

2.4.4 Pengukuran Suhu ... 11

2.5 Ketidakpastian Pengukuran... 12

2.6 Angka Penting ... 13

2.7 Soal Latihan ... 14

BAB III KONSEP VEKTOR 3.1 Pengertian Vektor ... 18

3.2 Vektor Satuan ... 19

3.3 Aljabar Vektor ... 19

3.3.1 Penjumlahan Vektor ... 19

3.3.2 Selisih Vektor ... 20

3.3.3 Perkalian Vektor ... 21

3.4 Soal Latihan ... 26

BAB IV KONSEP KINEMATIKA GERAK SATU DIMENSI 4.1 Posisi, Jarak dan Perpindahan ... 29

4.2 Kecepatan dan Percepatan ... 29

4.2.1 Kecepatan Sesaat ... 30

4.2.2 Kecepatan Rata - Rata ... 30

4.2.3 Percepatan Sesaat ... 30

iii

4.2.4 Percepatan Rata - Rata ... 31

4.3 Gerak Satu Dimensi ... 34

4.3.1 Gerak Lurus Beraturan ... 34

4.3.2 Gerak Lurus Berubah Beraturan ... 37

4.3.3 Gerak Jatuh Bebas... 39

4.3.4 Gerak Vertikal Ke atas ... 39

4.4 Soal Latihan ... 41

BAB V KONSEP KINEMATIKA GERAK DUA DIMENSI 5.1 Posisi, Jarak dan Perpindahan ... 44

5.2 Gerak Peluru ( Gerak parabola) ... 44

5.3 Analisis Gerak Peluru ... 45

5.3.1 Tinjau Gerak Horizontal ... 45

5.3.2 Tinjau Gerak Vertikal ... 46

5.4 Soal Latihan ... 48

DAFTAR PUSTAKA ... 57

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1. Hakikat Fisika

Fisika adalah cabang ilmu pengetahuan alam (IPA) yang mempelajari gejala alam yang tidak hidup atau materi dalam lingkungan hidup ruang dan waktu, serta semua interaksi yang menyertainya. Aspek hakikat fisika ada tiga yaitu fisika sebagai sikap (a way of thinking), fisika sebagai proses (a way of investigating) dan fisika sebagai produk (a body of knowledge).

A. Fisika Sebagai Sikap

Fisika sebagai sikap merupakan gambaran sikap ilmiah dalam melakukan penelitian dan menemukan suatu pengetahuan atau konsep. Sikap ilmiah dalam fisika meliputi tanggungjawab, jujur, bekerja sama, objektif, terbuka, percaya diri, peduli dan ingin tahu.

B. Fisika Sebagai Proses

Fisika sebagai proses menunjukkan bagaimana pengetahuan atau konsep diperoleh, diuji dan divalidasikan. Fisika sebagai proses berkaitan erat dengan ketrampilan proses saians (KPS) yang mencakup mengamati, mengklasifikasi, mengukur, mengajukan pertanyaan , merumuskan hipotesis, melakukan penyelidikan, menginterpretasikan dan mengkomunikasikan.

C. Fisika Sebagai Produk

Fisika sebagai produk dapat diartikan sebgaia kumpulan pengetahuan/informasi yang diperoleh melalui pengalaman empiris dan proses ilmiah yang dilandasi dengan sikap – sikap ilmiah.

1.2. Produk Fisika

Produk fisika sebagai kumpulan pengetahuan dapat berupa fakta, konsep, prinsip, hukum, rumus, teori dan model.

 Fakta : keadaan atau kenyataan yang sesungguhnya dari segala peristiwa yang terjadi di alam.

 Konsep : abstraksi dari berbagai fenomena yang memiliki atribut – atribut tertentu.

2

 Prinsip : hukum yang menjadi dasar hukum – hukum fisika.

 Hukum : penjelasan dar suatu fenomena fisika yang telah memenuhi kebenaran ilmiah.

 Rumus : pernyataan matemtais yang saling berkaitan antara konsep dan variable.

 Teori : informasi yang digunakan untuk menjelaskan sesuatu yang tidak dapat langsung diamati.

 Model : representasi dari sesuatu yang sangat sulit atau bahkan tidak dapat dilihat.

1.3. Cara Kerja Fisika

Metode ilmiah adalah cara kerja dari ilmu pengetahuan, bersifat ilmiah serta merupakan langkah-‐ langkah sistematis yang digunakan dalam ilmu-‐ ilmu tertentu baik direfleksikan atau diterima begitu saja. Sehingga dengan demikian bahwa metode ilmiah juga merupakan cara kerja fisika itu sendiri.

Metode ilmiah adalah cara untuk menyelidikifenomena, untuk mendapatkan pengetahuan baru,atau memperbaiki dan menggabungkan penyelidikan dengan pengetahuan sebelumnya.

3 BAB II

KONSEP BESARAN DAN SATUAN

2.1 Defenisi Besaran , Pengukuran dan Satuan Besaran

Besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan hasil pengukurannya dapat dinyatakan dengan angka/nilai. Besaran fisika meliputi sifat benda atau gejala alam yang dapat diukur.

Secara umum, besaran dikelompokkan menjadi dua yaitu besaran pokok dan besaran turunan.

Pengukuran

Pengukuran adalah proses mengukur suatu besaran yaitu membandingkan nilai besaran yang kita ukur dengan nilai besaran lain sejenis yang dipakai sebagai acuan.

Satuan

Satuan adalah ukuran dari besaran yang diukur atau dapat didefenisikan juga sebagai ukuran suatu besaran. Dalam Fisika dikenal sistem satuan MKS (meter, kilogram, sekon) atau disebut juga sistem Metrik dan sataun CGS (centimeter, kilogram dan sekon) sering disebut system Gaussian. Selain itu ada juga system satuan British yang popular digunakan seperti dinegara Amerika Serikat, inggris, Myanmar dan Liberia. Dalam system Bristish besaran panjang dalam satuan feet(ft), massa dalam slug dan waktu dalam detik.

2.2 Sistem Satuan Internasional

Sistem satuan internasional ditetapkan melalui konvensi internasional yang bertujuan untuk menyeragamkan penggunaan satuan diseluruh dunia. Pada konvensi internasional tersebut ditetapkan tujuh besaran pokok. Satuan tersebut disebut satuan internasional (SI).

2.3 Besaran Pokok dan Besaran Turunan 2.3.1 Besaran Pokok

Besaran pokok adalah besaran yang satuannya telah ditetapkan terlebih dahulu dan tidak bergantung pada besaran lain. Tujuh besaran pokok yang telah ditetapkan antara lain: panjang, massa, waktu, kuat arus listrik, suhu, intensitas cahaya dan jumlah zat. Besaran Pokok beserta satuan dan simbol satuan masing – masing disajikan dalam tabel beriku ini.

4

Tabel 2.1 Besaran pokok Dalam SI

Besaran Pokok Satuan SI Simbol Satuan

Panjang Meter m

Massa Kilogram Kg

Waktu Sekon/Detik s

Kuat Arus Listrik Ampere A

Suhu Kelvin K

Intensitas Cahaya Candela Cd

Jumlah Zat Mol M

2.3.2 Besaran Turunan

Besaran turunan adalah besaran yang diturunkan dari besaran pokok. Sebagai contoh besaran turunan yaitu luas, volume, kecepatan, percepatan, gaya, daya, tekanan, energi dan lainnya. Besaran turunan memiliki satuan dalam sistem CGS dan system SI yang dapat dilihat pada tabel dibawah ini.

Tabel 2.2 Besaran Turunan dalam CGS dan Dalam SI

Besaran Turunan Satuan CGS Satuan SI

Gaya dyne (dyn) newton (N)

Tekanan barye (ba) pascal (Pa)

Percepatan galileo (Gal) m/s²

Usaha erg joule (J)

Arus Listrik biot (Bi) ampere (A)

Energi calorie (cal) joule (J)

Muatan Listrik franklin (Fr) coulomb (C)

Fluks Magnet line (li) weber (Wb)

Intensitas lambert (Lb) candela (Cd)

Rapat Fluks Magnet gauss (G) tesla (T)

5 2.3.3 Dimensi

Dimensi suatu besaran dalam fisika adalah ukuran besaran yang dinyatakan dengan simbol. Dimensi digunakan untuk menyederhanakan pernyataan suatu besaran turunan dengan besaran pokok. Hasil perjanjian internasional sudah ditentukan tujuh dimensi besaran pokok sehingga untuk mencari dimensi besaran turunan diperoleh dari dimensi besaran pokok. Dimensi besaran pokok diberikan pada tabel berikut ini.

Tabel 2.3 Dimensi Besaran Pokok

No Besaran Pokok Dimensi

1. Panjang [L]

2. Massa [M]

3. Waktu [T]

4. Kuat Arus Listrik [I]

5. Suhu [ϴ]

6. Intensitas Cahaya [J]

7. Jumlah Zat [N]

Untuk mencari dimensi besaran turunan dapat dilakukan dengan langkah seperti berikut : 1. Menentukan rumus/persamaan dimensi besaran turunan

2. Menentukan satuan dari rumus yang telah ditentukan 3. Memasukkan simbol dimensi besaran

Contoh Soal

1. Tentukanlah dimensi besaran turunan berikut!

a. Kecepatan (v) b. Gaya (F) Penyelesaian:

a. Kecepatan (v) = _{( )} ^{( )} Kecepatan (v) =

Kecepatan (v) = = [L][T]^-1 Jadi dimensi kecepatan adalah :

= [L][T]^-1

6

b. Gaya (F) = massa x percepatan , dengan Percepatan (a) = ( ) ( ) Sehingga diperoleh:

Gaya (F) =

Gaya (F) =

Gaya (F) = [M][L][T]^-2

Jadi dimensi gaya adalah : [M][L][T]^-2 Kegunaan dimensi adalah:

- Untuk mengetahui adanya kesetaraan antara dua besaran yang kelihatan berbeda.

Misalnya dimensi besaran usaha dan energi kinetik.

- Untuk menyatakan benar tidaknya suatu persamaan yang ada hubungannya dengan besaran fisika.

Dalam fisika juga sering ditemukan simbol-simbol besaran fisis serta beberapa satuan lainya sebagai faktor pengali. Simbol besaran fisis dituliskan dengan huruf-huruf yunani.

Tabel 2.4 Simbol Besaran Fisis

Huruf Yunani Huruf Kecil Huruf Besar

Alpha α Α

Betha β Β

Gamma γ Γ

Theta θ θ

Epsilon ε Δ

Lamda λ Λ

Miu μ Μ

Phi φ Φ

Psi ψ Ψ

Tau τ Τ

Omega ω Ω

7

Tabel 2.5 Faktor Pengali dalam Fisika

Nama awalan Faktor Pengali Simbol

Kilo 10³ K

Mega 10⁶ M

Giga 10⁹ G

Tera 10¹² T

Peta 10¹⁵ P

Eksa 10¹⁸ E

Zetta 10²¹ Z

Yotta 10²⁴ Y

Mili 10^-3 m

Mikro 10^-6 μ

Nano 10^-9 n

Piko 10^-12 p

Femto 10^-15 f

Atto 10^-18 a

Zepto 10^-21 z

Yokto 10^-24 y

2.4 Pengukuran

Pengukuran adalah membandingkan nilai besaran yang dimiliki benda dengan nilai besaran alat ukur. Dalam kegiatan pengkukuran memerlukan alat ukur yang sesuai. Pengukuran besaran panjang memerlukan alat ukur panjang, pengukuran besaran waktu memerlukan alat ukur waktu dan sebagainya.

2.4.1 Pengukuran Panjang Benda 1. Penggaris

Penggaris dapat digunakan untuk mengukur panjang suatu benda dalam dimensi yang lebih besar. Skala terkecil dari penggaris adalah 1 mm (0,1 cm). Ketelitian alat ukur adalah setengah dari skala terkecil yakni 0,5 mm (0,05cm) sehingga pembacaan pada penggaris kurang teliti meskipun dapat mengukur benda yang lebih panjang.

8

Gambar 2.1 Penggaris/Mistar

2. Jangka Sorong (Venier Calliper)

Venier caliper merupakan nama seorang matematikawan berkebanggsaan Perancis, seorang penemu yang telah melakukan penelitian mengenai [rinsi-prinsip pengukuran pada tahun 1631. Namanya diabadikan sebagai nama alat ukur panjang benda. Jangka sorong terdiri dari jangka sorong biasa dan jangka sorong digital yang ditunjukkan pada gambar 2.2 berikut.

Gambar 2.2.a Jangka Sorong Biasa

Gambar 2.2.b Jangka Sorong Digital

Jangka sorong dapat digunakan untuk mengukur panjang dan lebar, diameter, ketebalan kedalaman/ketinggian suatu benda. Jangka sorong memiliki dua skala yaitu skala utama satuan cm dan skala nonius atau venier satuan mm. Pada skala nonius memiliki goresan yang dapat digeser. Jangka sorong memiliki batas ketelitian 0,1 mm . Cara membaca jangka sorong sebagai berikut.

9

1. Perhatikan skala nonius yang tepat berimpit dengan salah satu skala utama. Pada gabar diatas skala nonius yang tepat berimpit dengan skala utama adalah pada angka 4 yang berarti skala noniusnya 0,4 mm (0,04 cm).

2. Perhatikan skala utama. Pada gambar skala utama menunjukkan pada angka 4,7 cm.

3. Hasil pengukuran menjadi : 4,7 cm + 0,04 cm = 4,74 cm.

3. Mikrometer

Mikrometer memiliki ketelitian mencapai 0,01. Mikrometer terdiri atas mokrometer jenis biasa dan mikrometer digital. Pada mikrometer biasa terdapat dua skala yaitu skala tetap dan skala putar. Skala tetap berada pada batang tetap dan skala putar terdapat pada silinder yang dapat diputar. Mikrometer biasa dan digital ditunjukkan pada gambar 2.3 berikut.

Gambar 2.3.a Mikrometer Biasa

Gambar 2.3.b Mikrometer Digital

10

Mikrometer sekrup biasa digunakan untuk mengukur tebal/diameter sebuah benda. Cara membaca mikrometer sebagai berikut.

a. Amati skala tetap yang dilewati oleh silinder putar

b. Amatai skala pada silinder putar yang tepat berimpit dengan garis horizontal pada batang tetap

c. Jumlahkan hasil pengukuran 2.4.2 Pengukuran Massa

Dalam sistem Satuan Internasional (SI) massa diukur dalam kilogram. Alat ukur yang biasa digunakan untuk mengukur massa adalah tombangan atau neraca. Neraca dibuat dengan sejumlah ketelitian bergantung fungsi masing-masing. Neraca terdiri dari beberapa jenis seperti ditunjukkan gambar 2.5 berikut.

Gambar 2.5.a Neraca Dua lengan

Gambar 2.5.b Neraca Buchart (education.scichem.com)

11

Gambar 2.5.c Neraca Ohauss

Gambar 2.5.d Neraca Digital

Massa yang ukurannya sangat kecil seperti massa atom, molekul atau partikel diukur menggunakan alat ukur yang canggih yang disebut Spektrometer massa.

2.4.3 Pengukuran Waktu

Alat yang dapat digunakan untuk mengukur waktu adalah arloji, jam dinding dan stopwatch. Alat ukur waktu tersebut memiliki ketelitian yang berbeda. Arloji dan jam diding umumnya memiliki ketelitian satu detik sedangkan stopwatch memiliki ketelitian yang lebih akurat bisa mencapai 0,001 detik.

2.4.4. Pengukuran Suhu

Temperatur suatu objek dapat diukur menggunakan Termometer. Termometer terdiri dari beberapa jenis. Berdasarkan cara kerjanya termometer terdiri atas:

1. Termometer air raksa 2. Termometer bimetal 3. Termokopel

4. Termometer inframerah 5. Termometer galileo 6. Termistor

12 2.5 Ketidakpastian Pengukuran

Pengukuran pasti menghasilkan kesalahan. Kesalahan dalam pengukuran bisa disebabkan oleh alat ukur yang digunakan, orang yang melakukan pengukuran dan faktor lingkungan.

Kesalahan dalam pengukuran disebut ketidakpastian. Ketidakpastian pengukuran disimbolkan dengan ΓX. Ketidakpastian pengukuran muncul karena dalam kegiatan pengukuran tidak pernah menghasilkan nilai yang persis sama dengan yang seharusnya. Hasil pengukuran dituliskan dengan persamaan:

(2.1) Dimana: x adalah nilai yang terukur dan Γx adalah ketidakpastian pengukuran.

Aturan untuk menuliskan hasil pengukuran adalah sebagai berikut:

1. Ketidakpastian pengukuran hanya menyertakan satu angka yang paling meragukan dibelakang tanda koma.

2. Angka penting paling akhir dari hasil pengukuran biasanya memiliki orde yang sama dengan ketidakpastian.

Contoh : Pengukuran suatu benda menghasilkan nilai 14, 35 satuan dengan ketidakpastian 0,3 satuan. Nyatakan hasil pengukuran tersebut sesuai dengan aturan penulisan.

Penyelesaian:

Menurut aturan 1 penulisan hasil pengukuran, ketidakpastian 0,3 berarti angka 3 merupakan angka yang paling meragukan . Menurut aturan 2 angka penting hasil pengukuran (x) = 14,3 memiliki orde yang sama dengan ketidakpastian (Γx ) = 0,3, sehingga ditulis:

X = (x ± Γx)

X = (14,3 ± 0,3) satuan.

Ketidakpastian dalam pengukuran terbagi dalam dua yaitu ketidakpastian sistematik dan ketidakpastian random (acak) Sumber-sumber ketidakpastian sistematik dalam pengukuran adalah:

- Ketidakpastian alat

- Waktu respon yang kurang tepat - Kondisi yang tidak sesuai - Kesalahan nol

Sumber – sumber ketidakpastian random (acak) adalah:

- Ketidakpastian pengamatan X = x ± Γx

13 - Kesalahan paralaks

- Pengaturan atau kalibrasi alat ukur yang kurang tepat - Adanya fluktuasi

- Gerak acak pada molekul atau benda 2.6 Angka Penting

Angka penting adalah semua angka yang diperoleh dari hasil pengukuran. Angka penting terdiri dari angka pasti dan anga taksiran. Aturan penulisan angka penting dalam pengukuran dalah :

1. Semua angka yang tidak nol adalah angka penting. Contoh: 62,538 (5 angka penting).

2. Angka nol adalah angka penting jika berada diantara angka bukan nol dan terletak setelah tanda koma angka bukan nol. Contoh : 205 (3 angka penting), 5,007 (4 angka penting), 0,00042 (2 angka penting)

3. Semua angka dalam notasi ilmiah adalah angka penting. Contoh : 1,50 x 10² (3 angka penting), 2,5000 x 10² (5 angka penting).

Operasi matematik angka penting berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian memiliki ketentuan, yakni:

1. Untuk operasi penjumlahan dan pengurangan, hasil ynag diperoleh harus memiliki jumlah angka dibelakang koma yang sama dengan jumlah angka dibelakang koma yang paling sedikit dari kuantaitas yang dioperasikan.

2. Untuk operasi pembagian dan perkalian, hasil yang diperoleh harus memiliki angka penting yang sama dengan kuantitas yang dioperasikan yang memiliki jumlah angka penting ynag lebih sedikit.

Contoh penjumlahan dan pengurangan angka penting:

2,15 cm 0,365 cm

+

2, 515 cm Hasilnya ditulis 2,51 cm 24, 56 m

4, 235 m -

20, 325 m Hasilnya ditulis 20,32

14

Contoh pembagian dan perkalian angka penting:

12,321 0,12

x

1,47852 Hasilnya ditulis 1,5 (dua angka penting)

1,546 2,14

:

0,722429 Hasilnya ditulis 0,722 (tiga angka penting)

2.7 Soal Latihan

1. Tentukan dimensi dari besaran berikut ini:

a. Energi kinetik b. Tekanan c. Daya d. Momentum e. Tekanan f. Impuls

2. Konversilah satuan berikut

a. 50 yard = meter b. 2,7 Newton = dyne c. 100 km/jam = m/menit

d. 2,5 atm = cmHg

e. 8 kaki = inchi

f. 3 mil = kaki

g. 4 rpm = rps h. 40^o C = ^oF i. 50,5 m³ = cm³ j. 0,5.10⁶ m = mikro k. 20 gr/cm³ = kg/m³ l. 5,8 Joule = erg

15

3. Selesaikan operasi matematik dibawah ini dengan menggunakan aturan angka penting.

a. 121,6 + 6,0005 + 13,46 b. 128,05 cm – 73, 26 cm c. 12,45 x 2,34

d. 0,24 x 4,5

4. Gambar dibawah merupakan hasil pengukuran panjang menggunakan jangka sorong dan mikrometer. Tentukan nilai hasil pengukurannya.

a.

b.

c.

d.

16

5. Sebidang tanah berukuran panjang 40 m dan lebar 20 m. Berapa keliling dan luas tanha tersebut sesuai aturan angka penting?

6. Perhatikan gambar berikut.

Sebuah benda diukur panjangnya menggunakan penggaris. Hitung hasil pengukuran panjang benda diatas.

7. Sebuah koin diukur ketebalannya menggunakan mikrometer sekrup. Hasil pengukurannya ditunjukkan seperti gambar dibawah. Tuliskan hasil pengukuran ketebalan koin tersebut.

8. Bulatkan penulisannya dalam dua angka penting a. 6,4456

b. 70,4562 c. 0,000459 d. 1,0208

9. Periode suatu getaran pegas secara sederhana dirumuskan dengan T = 2π√ . Jika T bersatuan sekon, m bersatuan kg dan 2π tidak bersatuan. Tentukan dimensi dari k.

10. Bulatkan angka berikut ini sampai denagn satu angka decimal a. 345,72

b. 23,29 c. 10,093

17

11. Hasil pengukuran sebuah pelat seng panjang = 1,70 cm dan lebar = 1,08. Hitunglah luas pelat seng tersebut menurut aturan penulisan angka penting.

12. Seorang pelari marathon putra menciptakan rekor dunia dengan waktu 2 jam 3 menit 59 detik dengan panjang lintasan 42, 195 km. Hitunglah:

a. Rekor tersebut dalam satuan jam b. Rekor tersebut dalam satuan detik

c. Panjang lintasan yang dilalui dalam satuan mm.

13. Jika selembar kertas memiliki ketebalan kurang dari satu millimeter. Anda memiliki penggaris yang memiliki skala terkecil satu millimeter. Jika anda diminta mengukur kertas tersebut menggunakan penggaris, dapatkan pengukuran tersebut dilakukan?

Jelaskan.

14. Jelaskan bagaimana anda melakukan jika diminta untuk mengukur volume sebuah paku yang kecik dengan teliti.

15. Sebongkah batu akan diukur volumenya. Ke dalam sebuah gelas ukur di isi air dan dibaca volumenya 12,8 mL. Batu tersebut kemudian dimasukkan ke dalam gelas ukur berisi air tersebut sehingga terbaca volume di gelas ukur menjadi 32,6 mL. Setelah itu gelas ukur ditutup rapat. Keesokan hari volume air yang ditunjukkan gelas ukur menjadi 28,8 mL.

a. Berapa volume batu saat dimasukkan ke dalam air?

b. Berapa volume batu setelah disimpan satu hari di dalam gelas ukur yang berisi air?

c. Mengapa terjadi perbedaan volume air?

18

BAB III VEKTOR 3.1 Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang memiliki nilai dan arah. Besar atau kecilnya suatu vektor ditunjukkan oleh panjang dan pendeknya suatu garis dan arah vektor ditunjukkan dengan arah anak panah. Secara grafis vektor ditunjukkan seperti gambar berikut.

B

A ̅̅̅̅ = ̅ = ⃗ Gambar 3.1 Vektor

Pada gambar diatas, titik A merupakan titik awal (initial point) dan titik B merupakan merupakan titik terminal (terminal point). Simbol vektor dapat dituliskan dengan huruf yang dicetak tebal A, AB atau dengan tanda garis diatasnya ̅ , ̅̅̅̅, ⃗. Panjang atau besarnya sebuah vektor dapat dituliskan dengan | |, | |, | ̅|, | ⃗| atau | |. Dua vektor yang berlawanan arah mempunyai tanda yang berlawanan. Contoh representasi vektor lainnya ditunjukkan pada gambar

̅

̅̅̅ = 2 x ̅ ̅ = - ̅

Gambar 3.2 Representasi Arah Vektor

Skalar adalah suatu besaran yang memiliki nilai tetapi tidak mempunyai arah. Suatu skalar terdiri dari bilangan nyata dan dapat dituliskan dengan huruf kecil. Contoh besaran skalar adalah panjang, waktu, massa, energi dan lain-lain. Perhitungan besaran skalar dapat dilakukan menggunakan konsep aljabar biasa. Sebagai contoh:

- Suhu suatu benda ( 120 K + 300 K ) = 420 K

- Usaha yang dilakukan oleh A = 300 J dan B = 250 J maka usaha total yang dilakukan 300 J + 250 J = 550 J.

19 3.2 Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor digambarkan menggunakan vektor satuan. Vektor satuan tersebut adalah ̂, ̂, ̂. Vektor pada sistem koordinat kartesian tiga dimensi dapat dilihat seperti gambar berikut

Y

̂

̂ ̂ X

Z

Gambar 3.3 Vektor pada koordinat kartesian

Pada gambar 3.3 diatas sumbu X memiliki vektor satuan ̂, sumbu Y vektor sataun ̂ dan sumbu z vektor satuan . Jika dinyatakan dalam bentuk vektor satuan maka dapat dituliskan V = X ̂ + Y ̂ + Z ̂.

3.3 Aljabar Vektor 3.3.1 Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dengan a dan b menyatakan besar vektor ̅ dan ̅ , dan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor ̅ dan ̅ .Penjumlahan sebuah vektor dapat dilakukan menggunakan aturan segitiga , aturan jajar genjang dan aturan polygon.

a) Aturan Segitiga

20 b) Aturan Jajar Genjang

Pada aturan jajar genjang besarnya vektor resultan dinyatakan dengan persamaan:

|R| = √ (3.1) c) Aturan Poligon

3.3.2 Selisih Vektor

Selisih atau pengurangan vektor diperoleh ketika arah vektor berlawanan dengan arah vektor lainnya. Secara grafis selisih vektor dua vektor ditunjukkan gambar berikut

Resultan pada dua buah vektor yang memiliki selisih dituliskan dengan persamaan berikut

|R| = √ (3.2)

21

Dengan a dan b menyatakan besar vektor ̅ dan ̅ dengan arah yang berlawanan, dan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor ̅ dan ̅ .

Contoh Soal

Dua buah vektor ̅ dan ̅ masing – masing besarnya 4 cm dan 8 cm membentuk sudut sebesar 60^o. Tentukan besarnya vektor resultan |R| dari:

a. ̅ + ̅ b. ̅ - ̅ Penyelesaaian:

a. |R| = √

|R| = √

|R| = √

|R| = √

|R| = √

|R| = 10,5 cm

b. |R| = √

|R| = √

|R| = √

|R| = √

|R| = √

|R| = 6,9 cm 3.3.3 Perkalian Vektor

Ada dua macam perkalian vektor yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Perkalian titik disebut juga skalar produt karena mengahasilkan suatu skalar sedangkan perkalian silang disebut vektor product karena menghasilkan vektor baru.

A. Perkalian Skalar Antara Dua Vektor 2D

Jika ̅ dan adalah dua buah vektor, maka Perkalian skalar (titik) antara vektor dan ̅ didefenisikan sebagai berikut

̅ • ̅ = ab Cos θ (3.3)

22

Dimana θ adalah sudut yang diapit oleh vektor ̅ dan ̅.

Contoh Soal:

Dua buah vektor yaitu ̅̅̅ dan ̅̅̅ masing – masing besarnya 2 satuan dan 3 satuan membentuk sudut sebesar 60^o. Tentukanlah besarnya ̅̅̅ ̅̅̅

Penyelesaian :

Diketahui : ̅̅̅ = 2 satuan , ̅̅̅ = 3 satuan dan θ = 60^o Kita gunakan persamaan :

̅ • ̅ = Cos θ Sehingga berlaku:

̅̅̅ • ̅̅̅ = Cos θ ̅̅̅ • ̅̅̅ = (2)(3) Cos 60^o ̅̅̅ • ̅̅̅̅= 3 satuan B. Perkalian Skalar Antara Dua Vektor 3D

Jika : ̅ = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅̅

̅ = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅

Maka :

̅ . ̅ = ( ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅̅ ) ( ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅) ̅ . ̅ = ̅̅̅ . ̅ + ̅̅̅ . ̅̅̅+ ̅̅̅. ̅̅̅

Rumus diatas dibuktikan dengan perhitungan berikut:

̅ . ̅ = ( ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅̅ ) ( ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅)

̅ . ̅ = [( ̅̅̅ . ̅ )i.i + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) i.j +( ̅̅̅ . ̅̅̅) i.k] + [( ̅̅̅ . ̅ )j.i + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) j.j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) j.k ] + [( ̅̅̅ . ̅ ) k.i + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) k.j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) k.k]

Ingat bahwa:

i.i = j.j = k.k = 1.1 . Cos 0^o = 1 i.j = j.k = k.i = 1. 1 Cos 90^o = 0 Sehingga diperoleh:

̅ . ̅ = ̅̅̅ . ̅ + ̅̅̅ . ̅̅̅+ ̅̅̅. ̅̅̅

Contoh Soal:

1. Jika ̅ = 6i + 5j dan ̅ = 3i – 7j, tentukan perkalian skalar vektor ̅ . ̅

23

2. Dua buah vektor masing – masing ̅ = 2i + 4j + 5k dan ̅ = 4i + 2j + 6k. tentukan perkalian skalar vektor ̅ . ̅.

Penyelesaian:

1. ̅ = 6i + 5j dan ̅ = 3i – 7j ̅ . ̅ = (6i + 5j)( 3i – 7j) ̅ . ̅ = (6.3)i.i + (5.-7) j.j ̅ . ̅ = (6.3) + (2.-7) ̅ . ̅ = 18 – 14 ̅ . ̅ = 2

2. ̅ = 2i + 4j + 5k dan ̅ = 4i + 2j + 6k ̅ . ̅ = (2i + 4j + 5k) (4i + 2j + 6k) ̅ . ̅ = (2.4) + (4.2) + (5.6)

̅ . ̅ = 8 + 8 + 30 ̅ . ̅ = 46

C. Perkalian Vektor Antara Dua Vektor

Perkalian silang antara dua vektor dan ̅ didefenisikan sebagai berikut

̅ x ̅ = ̅ ̅ Sin θ (3.4)

Dengan θ adalah sudut vektor antara vektor ̅ dan ̅.

Contoh Soal:

Dua buah vektor yaitu ̅̅̅ dan ̅̅̅ masing – masing besarnya 2 satuan dan 3 satuan membentuk sudut sebesar 60^o. Tentukanlah besarnya ̅̅̅ ̅̅̅

Penyelesaian :

Diketahui : ̅̅̅ = 2 satuan , ̅̅̅ = 3 satuan dan θ = 60^o Kita gunakan persamaan :

̅ x ̅ = Sin θ Sehingga berlaku:

̅̅̅ x ̅̅̅ = Sin θ ̅̅̅ x ̅̅̅ = (2)(3) Sin 60^o ̅̅̅ ̅̅̅̅= 3√ satuan

24 Jika θ = 0 maka ̅ x ̅ = ̅ ̅ Sin 0 = 0

Jika θ = 90^o maka ̅ x ̅ = ̅ ̅Sin 90^o = ̅ ̅ Sehingga diperoleh:

i x i = j x j = k x k =1. 1 sin 0^o = 0 i x j = 1. 1 x sin 90^o = 1

Ketentuan berdasarkan arah putar:

i x j = k j x i = - k J x k = i k x j = - i k x i = j i x k = - j Jika : ̅ = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅̅

̅ = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅

Maka :

̅ x ̅ = ( ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅̅) x ( ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅)

̅ x ̅ = [( ̅̅̅ . ̅ )ixi + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) ixj + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) ixk] + [( ̅̅̅ . ̅ )jxi + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) jxj + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) jxk ] + [( ̅̅̅ . ̅ ) kxi + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) kxj + ( ̅̅̅ . ̅̅̅) kxk]

̅ x ̅ = 0 + ( ̅̅̅ . ̅̅̅)k + ( ̅̅̅ . ̅̅̅)-j + ( ̅̅̅ . ̅ )-k + 0 + ( ̅̅̅ . ̅̅̅)i + ( ̅̅̅ . ̅ )j + ( ̅̅̅

. ̅̅̅)-i+ 0

̅ x ̅ = ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) i + ( ̅̅̅ . ̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅ ) k Jika susunannya dibalik akan diperoleh:

̅ x ̅ = ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) i – ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅ ) j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅ . ̅̅̅) k

Jika disusun dalam bentuk determinan maka rumus perkalian silang vektor diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

̅ x ̅ = | |

̅ x ̅ = | | - j | | + k | | Contoh Soal:

1. Jika ̅ = 2i – 4j + 5k dan ̅ = 4i + 2j – k. Hitunglah ̅ x ̅ menggunakan cara determinan dan cara rumus.

25

2. Diketahu ̅ = 3i + 2j + 4k dan ̅ = i + 3j – 2k. Hitunglah ̅ x ̅ menggunakan cara rumus.

Penyelesaian :

1. Menggunakan cara Determinan:

̅ x ̅ = |

|

̅ x ̅ = i | | - j |

| + k | |

̅ x ̅ = i (4 -10) – j (-2 – 20) + k (4 + 16)

̅ x ̅ = - 6i + 22j + 20k Menggunakan rumus :

̅ x ̅ = ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) i – ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅ ) j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅ . ̅̅̅) k Untuk memudahkan, kita substitusikan ̅ = ̅ dan ̅ = ̅

Diperoleh rumus :

̅ x ̅ = ( ̅̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅̅ . ̅̅̅) i – ( ̅̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅̅ . ̅̅̅) j + ( ̅̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅̅) k

̅ x ̅ = (-4.-1 – 5.2) i – (2.-1 – 5.4) j + (2.2 – 4.-4) k

̅ x ̅ = -6i + 22j + 20 k

Dari perhitungan menggunakan cara determinan dan menggunakan cara rumus diperoleh hasil yang sama, yakni ̅ x ̅ = - 6i + 22j + 20k.

2. ̅ = 3i + 2j + 4k dan ̅ = i + 3j – 2k Menggunakan rumus :

̅ x ̅ = ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) i – ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅ ) j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅ . ̅̅̅) k Untuk memudahkan, kita substitusikan ̅ = ̅ dan ̅ = ̅

Diperoleh rumus :

̅ x ̅ = ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) i – ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) j + ( ̅̅̅ . ̅̅̅ - ̅̅̅ . ̅̅̅) k ̅ x ̅ = (2.(-2) – 4.3) i – (3.(-2) – 4.1) j + (3.3 – 3.1.2) k

̅ x ̅ = (-4 – 12) i – (-6 – 4 ) j + (9 – 6) k ̅ x ̅ = (-16)i – (-10) j + (3)k

̅ x ̅ = -16i + 10j + 3k

26 3.4 Soal Latihan

1.

60^o

Perhatikan gambar diatas. Hitung besar dan arah vektor resultan terhadap sumbu x positif.

2. Dua buah vektor ̅ dan ̅ dengan besar vektor ̅ = 4 satuan dan vektor ̅ = 8 satuan.

Membentuk sudut 30^o. Tentukan:

a. ̅ + ̅ b. ̅ + ̅ c. ̅ - ̅ d. ̅ - ̅

3. Dua buah vektor ̅ dan ̅ membentuk sudut θ dengan masing – masing besar vektor tersebut adalah ̅ = 6 sataun dan ̅ = 8 satuan. Tentukan besarnya resultan vektor serta gambarkan dengan metode jajar genjang dari:

a. ̅ + ̅ dengan θ = 60^o b. ̅ + ̅ dengan θ = 45^o c. ̅ - ̅ dengan θ = 60^o d. ̅ - ̅ dengan θ = 45^o

4. Diketahui dua buah vektor ̅ = 2i + 4j – 5k dan ̅ = i + 2j + 3k . tentukan a. Resultan vektor ̅ dan ̅

b. Besar dan arah vektor

5. Jika ̅ = 4i – 2j + 8k dan ̅ = 5i + 2j + 3k, tentukan : a. ̅ x ̅

b. ̅ • ̅

6. Dua buah vektor pada system koordinat kartesian dinyatakan dengan:

̅̅̅ = 5i + 2j dan ̅̅̅ = 2i -3j. Tentukan vektor resultan dari ̅̅̅ + ̅̅̅ dengan vektor satuan i dan j.

F2 = 10N F1 = 6N

27

7. Seorang anak berjalan ke utara sejauh 40 meter, kemudian berbelok ke barat sejauh 20 meter, dan berbelok lagi ke selatan sejauh 20 meter. Besar perpindahan anak ini adalah

8. Besar hasil perkalian tiitk dan perkalian silang dua buah vektor ̅ dan ̅ adalah ̅ • ̅ = 6 satuan dan | ̅ ̅| = 4 satuan. Tentukan besarnya sudut antara kedua vektor tersebut.

9. Dua buah vektor ̅̅̅ dan ̅̅̅ membentuk sudut 60^o dan besar masing – masing vektor

̅̅̅ = 5 cm dan ̅̅̅ = 12 cm. Tentukan a. Resultan vektor

b. ̅̅̅ • ̅̅̅

c. ̅̅̅ x ̅̅̅

10. Jika vektor ̅ = 6 satuan, membentuk sudut 45^o dengan sumbu x positip. Tentukan besar vektor tersebut dalam sumbu x dan sumbu y.

11. Jika ̅ = 6i – j + 4k dan ̅ = 4i + 2j + 5k, Hitunglah ̅ x ̅ menggunakan cara determinan dan cara rumus.

12. Dua buah vektor ̅ dan ̅ masing – masing besarnya 3 cm dan 4 cm membentuk sudut sebesar 45^o. Tentukan besarnya vektor resultan |R| dari:

a. ̅ + ̅ b. ̅ - ̅

13. Terdapat tiga buah vektro gaya seperti terlihat pada gambar dibawah. Hitunglah besar resultan ketiga vektor gaya.

60^o 45

o

F1 = 4 N

F2 = 6 N F3= 8 N

28

14. Uraikan vektor berikut ini atas komponen – komponen terhadap sumbu x dan sumbu y.

a. ̅ = 30 satuan membentuk sudut 45^o b. ̅̅̅ = 60 satuan membentuk sudut 135^o c.

15. Diketahui koordinat titik P (8, 2, -6). Tuliskan dalam bentuk vektor dan hitung besarnya vektor ̅.

29

BAB IV

KINEMATIKA GERAK SATU DIMENSI

4.1 Posisi, Jarak dan Perpindahan

Gerak adalah perubahan posisi atau kedudukan suatu benda terhadap kerangka acuan.

Sistem koordinat Cartesian dapat dijadikan kerangka acuan. Benda dikatakan bergerak ketika benda mengalami perpindahan atau perubahan kedudukan. Dalam gerak dikenal adanya istilah posisi, jarak dan perpindahan. Posisi ( ) adalah letak benda pada suatu sumbu koordinat. Jarak (Γx) dapat di defenisikan sebagai panjang lintasan yang dilalui benda tanpa memperhitungkan arahnya. Sementara untuk perpindahan ( ) diartikan sebagai panjang lintasan yang dilalui benda dengan memperhitungkan arahnya. Arah dalam hal ini dapat dilihat pada posisi atau kedudukan awal atau kedudukan akhir benda.

Jarak dan Perpindahan dapat dilihat seperti pada gambar 4.1 berikut:

Gambar 4.1 Ilustrasi Jarak dan Perpindahan

4.2 Kecepatan dan Percepatan

Misalkan sebuah benda yang bergerak pada satu lintasan lurus sepanjang sumbu x seperti terlihat pada gambar.

Gambar 4. 2 Gerak Sepanjang Sumbu-x

Pada gambar titik O merupakan kerangka acuan. Dari titik O benda bergerak ke titik A yang memiliki jarak x1 dengan waktu sebesar t1 lalu dari titik A kemudian bergerak ke

30

titik B. Jarak dari titik O ke titik B adalah x2 dengan waktu sebesar t2. Dari gambar besaran yang diperoleh secara matematis dapat dituliskan :

Selang waktu Γt = t2 - t1

Jarak Γx = x₂ - x₁ 4.2.1 Kecepatan Sesaat

Gambar 4.3 Perubahan Kecepatan

Jika selang waktu Γt sangat kecil hingga mendekati nol , Γt 0, maka dianggap benda tidak mengalami perubahan kedudukan atau posisi awal sehingga pada kondisi ini kecepatannya dianggap kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat di tuliskan dengan persamaan:

v = (4.1)

Dapat juga dituliskan kedalam bentuk diferensial v =

(4.2)

Dari persamaan 4.2 diperoleh bahwa kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari kedudukan,perubahan posisi terhadap waktu.

4.2.2 Kecepatan Rata – Rata

Kecepatan rata – rata ( ̅) merupakan perubahan posisi ( ) yang ditempuh suatu benda terhadap waktu (Γt). Secara matematis besarnya kecepatan rata-rata dituliskan dengan persamaan:

̅ = (4.3)

4.2.3 Percepatan Sesaat

Jika kecepatan suatu benda tidak konstan atau berubah terhadap suatu waktu maka dapat dkatakan benda tersebut mengalami percepatan atau pun perlambatan. Percepatan terjadi bila perubahan kecepatan bertambah sedangkan perlambatan terjadi ketika perubahan

31

kecepatan berkurang. Jika selang waktu Γt sangat kecil hingga mendekati nol , Γt 0, maka percepatannya adalah percepatan sesaat, dutuliskan dengan persamaan:

a = (4.4)

Dalam bentuk diferensial persamaan 4.4 dituliskan a =

(4.5)

4.2.4 Percepatan Rata – Rata

Pada gambar 4.3 diatas pasa saat benda berada di titik A memiliki kecepatan sebesar v1

dan waktu dan ketika berada di titik B dengan kecepatan v2 dengan waktu t2 maka besaran yang diperoleh:

Selang waktu Γt = t2 - t1

Perubahan Kecepatan Γv = v2 - v₁ , maka percepatan rata – rata ( ̅ ) secara matematis dituliskan dengan:

̅ = (4.6)

Dari pembahasan diatas mengenai percepatan dapat dikatakan bahwa percepatan adalah turunan pertama kecepatan terhadap waktu. Denagna saaun SI dari percepatan adalah meter per second kuadrat (m/s²).

Jika diketahui kecepatan atau percepatan, kita dapat menentukan posisi atau kecepatan dengan cara:

v = ∫ (4.7)

s = ∫ (4.8)

Contoh Soal

1. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan : x = t³ + 2t² – 6t + 2, x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:

a. Kecepatan dan percepatan saat t = 4 sekon

b. Kecepatan rata – rata dan Percepatan rata – rata saat t₁ = 3s dan t₂ = 5s

32

2. Seorang anak mengayuh sepeda dari rumah ke sekolah dengan percepatan rata-rata 20m/menit². Jika mula – mula anak bergerak dari keadaan diam, berapakah kecepatan anak mengayuh sepeda setelah 15 menit?

3. Seorang pelari menempuh satu putaran sepanjang 300 m dalam waktu 20 detik.

Tentukan kecepatan rata – ratanya.

Penyelesaian:

1. Diketahui :

x = t³ + 2t² – 6t + 2 Ditanya:

a. v dan a saat t = 4s

b. ̅ dan ̅ saat t1 = 3s dan t2 = 5s Jawab:

a. Dari persamaan yang di ketahui : x = t³ + 2t² – 6t + 2, untuk mencari v maka kita turunkan satu kali, sehingga menjadi:

v = = ^{( )} v = 3t² + 4t – 6

untuk t = 4s, v = 3.4² + 4.4 – 6 v = 48 + 16 – 6 v = 58 m/s

Mencari a kita turunkan persamaan x sebanyak dua kali atau turunkan persamaan v yang sudah diperoleh sebanyak satu kali, sehingga menjadi:

a = =

= ^{( )}

a = 6t + 4 untuk t = 4s, a = 6.4 + 4

a = 24 m/s²

b. Untuk mencari nilai kecepatan rata – rata kita perlu mencari nilai x1 saat t1 = 3s dan nilai x2 saat t2 = 5s dengan mensubstitusikan ke persamaan yang diketahui diawal.

Menjadi:

33 x = t³ + 2t² – 6t + 2 x1 saat t1 = 3s

x1 = 3³ + 2.3² – 6.3 + 2 x₁ = 29 m

x₂ saat t₂ = 5s

x2 = 5³ + 2.5² – 6.5 + 2 x2 = 147 m

maka kecepatan rata – ratanya:

̅ = = = ̅ =

̅ = 59 m/s

Untuk mencari nilai percepatan rata – rata kita perlu mencari nilai v1 saat t1 = 3s dan v2 saat t2 = 5s dengan mensubstitusikan ke persamaan kecepatan :

v = 3t² + 4t – 6 v₁ saat t₁ = 3s

v₁ = 3.3² + 4.3 – 6 v₁ = 33 m/s v₂ saat t₂ = 5s

v2 = 3.5² + 4.5 – 6 v2 = 89 m/s maka percepatan rata – ratanya:

̅ = = ̅ = ̅ = ̅ = 28 m/s² 2. Diketahui:

̅ = 20 m/ menit v₁ = 0 , t₁ = 0 t₂ = 15 menit

34 Ditanya : v2 ?

Jawab:

̅ =

=

20 =

v₂ = 300 m/menit 3. Diketahui :

x = 300 m t = 20 detik Ditanya : ̅ ?

Jawab :

Dari soal dapat diketahui bahwa titik awal pelari bergerak berimpit dengan titik akhirnya sehingga vektor perpindahan pelari adalah nol. Sehingga dapat diselesaikan dengan:

̅ = = = 0 m/s 4.3 Gerak Satu Dimensi

Gerak satu dimensi adalah gerak benda dengan lintasan berupa garis lurus. Ditinjau dari percepatannya gerak satu dimensi dibedakan atas Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB).

4.3.1 GERAK LURUS BERATURAN

Gerak lurus beraturan adalah gerak dengan lintasan berupa garis lurus dengan arah dan besar kecepatan tetap. Sebuah benda yang mengalami gerak lurus menepuh jarak yang sama untuk selang waktu yang sama. Karakteristik Gerak Lurus Beraturan:

 Memiliki lintasan berupa garis lurus

 Besar dan arah kecepatan tetap

 Besar percepatan = 0

Secara matematis persamaan gerak lurus beraturan (GLB) adalah:

x = v t (4.9)

Dimana:

x = jarak yang di tempuh (m)

35 v = kecepatan (m/s)

t = waktu (s)

Dari persamaan 4.9 juga diperoleh persamaan lainnya

v = (4.10)

Dan

t = (4.11)

Hubungan kecepatan (v) degan waktu (t) pada gerak lurus beraturan dalam grafik digambarkan sebagai berikut:

Gambar 4.4 Grafik hubungan v-t

Dari grafik di atas, hubungan v-t pada gerak lurus beraturan merupakan garis lurus yang sejajar dengan waktu . Jarak yang ditempuh adalah luasan yang dibatasi grafik dengan sumbu t dalam selang waktu tertentu.

Hubungan jarak yang di tempu (x) dengan waktu (t) dalam grafik adalah:

Gambar 4.5 Grafik hubungan x-t

Dari grafik diperoleh bahwa jarak yang di tempuh (x) berbanding lurus dengan waktu tempuh (t). Artinya makin besar waktunya maka makin besar jarak yang ditempuh. Untuk kasus berbeda jika kedudukan awal (xo) berimpit dengan titik acuan, berlaku persamaan:

x = xo+ v.t (4.12)

Dengan:

36 xo = jarak mula-mula (m)

x = jarak yang ditempuh (m) Contoh Soal

1. Gilbert berlari pada sebuah lintasan lurus dan menempuh jarak 200 m dalam 10 detik.

Tentukan kecepatan dan waktu yang diperlukan Gilbert untuk menempuh jarak sejauh 50 m.

2. Sebuah kereta api bergerak dengan kecepatan tetap 80km/jam setelah menempuh jarak 2 km dari stasiun. Jika waktu dihitung setelah kereta memiliki kecepatan tetap tentukanlah:

a. Kecepatan kereta saat t = 30 menit

b. Jarak kereta dari stasiun setelah bergerak selama 3 jam Penyelesaian:

1. Diketahui:

x = 200 m

t = 10 detik

Ditanya: v dan t (saat x = 50 m)?

Jawab:

Kecepatan Gilbert untuk x = 200 m , berlaku:

v = =

v = 20 m/detik

Waktu untuk menepuh jarak x = 50 m,

t = =

t = 2,5 detik

2. Diketahui :

v = 80 km/jam x_o = 2 km Ditanya:

a. v saat t = 30 menit

37 b. x saat t = 3 jam

Jawab:

a. Dari soal diketahui bahwa kereta api bergerak lurus beraturan (GLB), sehingga kecepatannya tetap = 80 km/jam saat t = 30 menit.

b. x = x_o+ v.t

x = 2 km + 80 km/jam . 3 jam x = 242 km

4.3.2 GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN

Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak suatu benda pada lintasan garis lurus dengan arah dan besar percepatan tetap. Secara matematis persamaan – persamaan pada gerak lurus berubah beraturan adalah:

vt = vo + at (4.13)

Persamaan untuk Posisi/Kedudukan lintasannya dapat kita turunkan menjadi:

s = v_ot + at² (4.14)

Untuk mementukan kecepatan akhir sebuah benda yang mengalami percepatan tetap maka persamaan menjadi:

vt2

= vo2

+ 2as (4.15)

Dimana:

vt = Kecepatan akhir (m/s) vo = Kecepatan awal (m/s) so = Kedudukan/Posisi awal (m) s = Kedudukan/Posisi akhir (m) t = Waktu (s)

a = Percepatan (m/s²)

Contoh Soal

1. Sebuah benda bergerak lurus dengan kecepatan awal 10 m/s dan percepatan 4 m/s². Tentukan kecepatan dan kedudukan benda setelah bergerak selama 20 s?

2. Benda yang mula – mula diam dipercepat dengan percepatan 12m/s² dengan lintasan berupa garis lurus. Tentukanlah:

38

a. Kecepatan benda pada saat t = 10 sekon

b. Keduukan/jarak benda tersebut dalam 10 sekon tersebut.

Penyelesaian:

1. Diketahui :

v_o = 10 m/s a = 4 m/s² so = 0 m Ditanya :

a. v_t (saat t = 20 sekon) b. s (saat t = 20 sekon) Jawab:

a. vt = vo + at

= 10 m/s + 4 m/s² .20 sekon = 10 + 80

= 90 m/s b. s = vot + at²

s = 10.20 + 4 (10)² s = 600 m

2. Diketahui:

a = 12 m/s² vo = 0 Ditanya :

a. vt (saat t = 10 sekon) b. s (saat t = 10 sekon) Jawab:

a. vt = vo + at vt = 0 + 12.10 vt = 120 m/s b. s = vot + at²

s = 0.10 + .12 10

39 s = 0 + 60

s = 60 m

4.3.3 Gerak Jatuh Bebas

Gerak jatuh bebas adalah gerak lurus vertikal ke bawah tanpa kecepatan awal (v_o = 0) disebabkan oleh pengaruh gravitasi bumi (g ). Arah gravitasi bumi menuju pusat bumi (vertikal ke bawah). Nilai g = 9,8 m/s². Persamaan – persamaan yang ada pada gerak jatuh bebas analog dengan persamaan yang ada pada gerak lurus berubah beraturan. Pada gerak jatuh bebas substitusikan nilai :

 kecepatan awal (v_o = 0)

 percepatannya adalah percepatan gravitasi bumi (g)

 kedudukan benda adalah ketinggian (h) Sehingga pada persamaan 4.13 diatas menjadi

vt = gt (4.16)

Persamaan 4.14 menjadi

h = gt ² (4.17)

Persamaan 4.15 menjadi vt2

= 2gh (4.18)

4.3.4 Gerak Vertikal Ke Atas

Gerak vertikal ke atas merupakan kebalikan dari gerak jatuh bebas. Pada gerak vertikal ke atas percepatan gravitasi bumi berlawanan dengan arah gerak sehingga mengalami perlambatan. Perlambatan ini ditandai dengan tanda negatif dari percepatan gravitasi bumi. Persamaan – persamaan yang ada pada gerak vertikal k atas ini juga analog dengan persamaan pada gerak lurus berubah beraturan. Secara matematis persamaan gerak vertikal ke atas dituliskan:

vt = vo – gt (4.19)

h = vot – gt² (4.20)

vt2

= vo2

- 2gh (4.21)

40 Contoh Soal

1. Sebuah benda di jatuhkan bebas dari ketinggian 20 m dengan g = 10 m/s². Tentukanlah:

a. Waktu yang diperlukan untuk sampai ke tanah b. Kecepatan saat sampai di tanah

2. Batu di lempar vertikal ke atas dengan kecepatan 25 m/s. Denagn mengabaikan gesekan udara dan g = 10 m/s².

a. Hitunglah ketinggian maksimum yang di capai

b. Waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian tersebut Penyelesaian:

1. Diketahui:

ho = 20 m vo = 0 m/s g = 10 m/s² ht = 0 m Ditanya:

a. t untuk sampai ke tanah b. vt mencapai tanah Jawab:

a. h = gt ² t = √

t = √

t =√

t = √ t = 2 s b. vt = gt

vt = 10 . 2 vt = 20 m/s

41 2. Diketahui:

vo = 25 m/s vt = 0 m/s Ditanya:

a. h _max ? b. t max ? Jawab:

a. v_t² = v_o² - 2gh 0 = 25² – 2.10.h_max 20 h_max = 625

h_max =

hmax = 31,25 m

b. vt = vo – gt 0 = 25 – 10t t =

t = 2,5 s

4.4 Soal Latihan

1. Dari keadaan diam sebuah mobil bergerak dengan percepatan tetap sebesar 8 m/s². Tentukan kecepatan dan jarak yang di tempuh mobil setelah bergerak selama 2 menit.

2. Kecepatan mobil bertambah dari 20 m/s menjadi 50 m/s dan menempuh jarak 120 m.

Berapakah percepatan mobil dan berapa waktu yang diperlukan untuk mencapai jarak tersebut?

3. Seorang anak mengayuh sepeda dengan kelajuan 20 m/s yang kemudian secara perlahan mengurangi kecepatannya sebanyak 2 m/s setiap detik. Berapakah jarak yang di tempuh anak tersebut tepat sebelum berhenti.

4. Bola di lempar vertikal ke atas , dan setelah 5 detik kembali ke tempat semula. Berapakah kecepatan awal pelemparan bola tersebut?

42

5. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan lintasan : x = 10t² + 4.

Hitunglah:

a. Kecepatan rata – rata dan percepatan rata – rata saat t = 3s dan t = 5s b. Kecepatan dan percepatan saat t = 5 s

6. Percepatan sebuah benda dituliskan dengan persamaan : a = 8x + 4. Saat x = 0, v_o = 12 m/s. Tentukan kecepatan pada setiap tempat.

7. Percepatan sebuah benda yang bergerak lurus a = - 4x, dengan x dalam meter dan a dalam m/s². Tentukan hubungan v dan x jika di ketahui saat x = 0, v = 8 m/s.

8. Sebuah gaya bekerja pada benda yang bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan:

x = 8 – 16t + 6t². Dengan x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:

a. Persamaan kecepatan dan percepatannya b. Jarak yang ditempuh

c. Kecepatan awal

9. Sebuah lift bergerak turun dalam sebuah mall dengan kecepatan tetap 5 m/s. Setelah bergerak 6s bagian atap lift mengalami baut longgar yang menempel didinding lorong lift, baut tersebut jatuh dari keadaan diam. Jika setelah jatuh baut menabrak bagian atas lift tepat ketika lift sampai dilantai dasar. Asumsikan bahwa ketinggian setiap lantai adalah 3 m maka hitunglah ketinggian baut saat jatuh.

10. Sebuah bola dilempat vertikal ke atas dengan kecepatan 20 m/s. Tentukanlah:

a. Lama bola tersebut naik

b. Ketinggian yang di capai bola tersebut

c. Waktu yang diperlukan agar bola yang dilempar kembali di tangkap

11. Dua mobil P dan Q bergerak melalui jalan yang sama dan berangkat bersamaan dari titik awal yang sama.

v(m/s) 6

3

6 t(s) Tentukan:

Mobil P

Mobil Q

43

a. Persamaan jarak mobil P dan Q sebagai fungsi waktu b. Kapan dan dimana mobil P akan menyusul mobil Q

12. Sebuah peluru ditembakkan daro dasar tanah dengan sudut 45^o terhadap garis horizontal dengan kecepatan awal 20 m/s. Tentukan:

a. Tinggi ynag dapat dicapai peluru b. Lama peluru di udara

c. Jarak peluru dari penembak ketika mendarat di tanah

13. Sebuah kapal motor mula – mula bergerak dengan kecepatan 36 km/jam, tiba – tiba mesinnya mati sehingga mengalami perlambatan a = 1 m/s². Hitunglah jarak yang ditempuh oleh kapal setelah berhenti.

14. Evan dan Shane mengendarai sepeda dan bergerak dari titik dan arah yang sama dengan kecepatan 10 m/s. Setelah 5 sekon Shane menyusul Evan dengan kecepatan 20 m/s . Hitung jarak yang ditempuh Shane tepat setelah menyusl Evan.

15. Terdapat dua buah batu yang akan dilempar. Jarak kedua batu adalah 60 m. Batu pertama dilemparkan keatas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 40 m/s . Batu kedua dilemparkan ke bawah dari sebuah gedung dengan kecepatan awal 80 m/s. Hitunglah waktu dimana kedua batu tersebut tepat bertemu.

44 BAB V

KONSEP KINEMATIKA GERAK DUA DIMENSI 5.1 Defenisi Gerak Dua Dimensi

Gerak dua dimensi adalah gerak pada bidang datar. Gerak dua dimensi yang dibahas pada bab ini adalah gerak peluru dan gerak melingkar. Berikut ini akan dipelajari satu persatu dari kedua macam gerak dua dimensi tersebut.

5.2 Gerak Peluru ( Gerak Parabola)

Gerak peluru adalah gerak lengkung benda pada bidang vertikal seperti lintasan peluru ataupun meriam yang di tembakkan. Gerak peluru merukan jenis gerak benda yang diberikan kecepatan awal dengan menempuh lintasan yang arahnya sepenuhnya di pengaruhi oleh gravitasi bumi. Jika peluru di tembakkan dengan sudut elevasi (sudut kemiringan terhadap horizontal) maka peluru akan bergerak dengan lintasan lengkung hingga sampai ke tanah. Atau misalnya sebuah bola yang di lemparkan dengan sudut ekevasi maka bola tersebut juga akan bergerak dengan lintasan lengkung hingga mencapai tanah. Lintasan gerak peluru yang melengkung ini menyerupai parabola sehingga sering juga di sebut dengan gerak parabola. Adapun lintasan gerak peluru/

gerak parabola seperti disajikan gambar berikut:

Gambar 5.1 Lintasan gerak Peluru/Parabola

45 5.3 Analisis Gerak Peluru

Gerak peluru adalah gerak dua dimensi yang melibatkan sumbu horizontal dan vertikal.

Sehingga gerak peluru merupakan superposisi atau gabungan dari gerak horizontal dan vertikal. Untuk menganalisis gerak parabola dapat dilakukan dnegan manganalisis komponen – komponen yang horizontal dan vertikal secara terpisah.

5.3.1 Tinjau Gerak Horizontal

Gerak horizontal berada pada sumbu x yang di analisis dengan gerak lurus beraturan (GLB). Persamaan yang ada pada GLB adalah persamaan 4.10 yaitu:

v =

Gambar 5.2 Komponen Sumbu Horizontal-Vertikal Pada gerak horizontal, terdapat:

vo = kecepatan awal

vox = kecepatan awal pada sumbu x Xmax = jarak maksimum

Persamaan gerak peluru pada sumbu x : a. Persamaan kecepatan

v_x = v_ox (5.1)

vx = vo Cosα (5.2)

b. Persamaan Kedudukan/posisi

 Jika posisi awal diketahui

x = x_o + v_ox t (5.3)