Jawaban: B Pembahasan:

(1)

PEMBAHASAN SOAL PEMBAHASAN SOAL

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT

SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN KOTA/KABUPATEN TAHUN 2016

TAHUN 2016

BIDANG MATEMATIKA BIDANG MATEMATIKA

BAGIAN A: PILIHAN GANDA BAGIAN A: PILIHAN GANDA

1.

1. Nilai dariNilai dari

)) 1 1 2016 2016 ((

2020 2020

2015 2015 ))

16 16 2016 2016 ((

2017 2017

2 2 2 2









adalah ... . adalah ... .

A.

A. 20122012 B.

B. 20132013 C.

C. 20142014 D.

D. 20152015 Jawaban: A Jawaban: A Pembahasan:

Pembahasan:

Misalkan 2016 =

Misalkan 2016 = xx , maka , maka

4 4

)) 1 1 ((

)) 4 4 ((

)) 4 4 )(

)(

4 4 ((

)) 1 1 ((

)) 4 4 ((

)) 1 1 ((

)) 16 16 ((

)) 1 1 ((

)) 1 1 2016 2016 ((

2020 2020

2015 2015 ))

16 16 2016 2016 ((

2017 2017

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2



















 



















 

 









x x

x x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x x x

x x

x

Jadi nilainya 2016 – 4 = 2012 Jadi nilainya 2016 – 4 = 2012

2.

2. MisalkanMisalkan

  

^x^x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama denganbesar daripada atau sama dengan xx..

Jika Jika

1010 1010 10 ... 10 1003 ...

1003 3 3 1002 1002

2 2 1001 1001

1 1

2 2





x



x , maka , maka

  

^x^x = ...= ...

A.

A. 3535 B.

B. 3636 C.

C. 3737 D.

D. 3838 Jawaban: C Jawaban: C Pembahasan:

Pembahasan:

Nilai minimum untuk

Nilai minimum untuk xx adalah adalah 3636,,44

55 55 2002 2002 1001

551001 55

2 2

1001 1001 10 ... 10 1001 ...

1001 3 3 1001 1001

2 2 1001 1001

1 1

2

     





x



x

Nilai maksimum untuk

Nilai maksimum untuk xx adalah adalah 3636,,7373

55 55 2020 2020 1010

551010 55

2 2

1010 1010 10 ... 10 1010 ...

1010 3 3 1010 1010

2 2 1010 1010

1 1

2

     





x



x

Artinya

Artinya 3636,,44

 

_x_x

 

3636,,7373_..

Bilangan bulat terkecil yang lebih bes

Bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama denganar daripada atau sama dengan xx adalah 37adalah 37

(2)

3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . ... . 2 .1, maka

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = ...

A. (n – 1)! + 1 B. (n + 1 )! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n Jawaban: B Pembahasan:

Perhatikan pola berikut:

1 . 1! = 1

1 . 1! + 2 . 2! =1 + 4 = 5 = 6 – 1 = 3! - 1

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 5 + 18 = 23 = 24 – 1 = 4! – 1

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 23 + 96 = 119 = 120 – 1 = 5! – 1 ...

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = (n + 1)! - 1

4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah ... cm²

A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75 Jawaban: B Pembahasan:

Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga BCE diperoleh BE = 15 cm, sehingga AE = 2 cm.

Perhatikan bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga BCE , sehingga,

4 33

8 2 15



AF AF

BC AE BE

AF

Luas EFDC dapat dihitung sbb:

(3)

L = 17 x 8 – ½ .8.15 – ½ .2. 3 ¾ L = 72,25

Jadi luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm²

5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, - 1). Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B. Jarak antara titik A dan garis l adalah ... satuan panjang.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Jawaban: B Pembahasan:

Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B(12, - 1) adalah y – (-1) = – ¾ (x – 12)

y + 1 = – ¾ x + 9 4 y + 4 = -3x + 36 3x + 4 y – 32 = 0

Jarak titik A (1,1) terhadap garis l dicari dengan 5 5

25 4

3

32 1 . 4 1 . 3

2 2







 

d

Jadi jarak titik A (1,1) terhadap garis l adalah 5 satuan

6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah ... cm

A. 4 6

B. 3 6

C. 4 3

D. 3

3 2

Jawaban: D Pembahasan:

Gunakan kesebangunan pada segitiga ABC dengan garis tinggi AF didapat AF² = BF x CF

AF² = 8 x 4

(4)

AF = 32  4 2

Karena segitiga BDE dan BCA sebangun, maka

3 3 2

12 2 3 4



DE DE

Jadi panjang DE adalah 3

3

2 cm.

7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di

samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah ... m.

A. 10 3

15



B. 10 3

15



C. 5 2

10



D. 5 2

10



Jawaban: A Pembahasan:

Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABC diperoleh AC = 10 m



ABC sebangun dengan



EFG sehingga:

5 3 15 1



EF EF

BC FG AB

EF

dan,

10 5

1 5 0 1



EG EG

AB EF AC

EG

Sehingga

15 10

5 

ED 

(5)

Segitiga EDO sebangun segitiga EFG , sehingga

3 10

15 3 10

1 15

3 10

9 10 15

3 10

3 10 1

3 10 15

1 3 10 15

5 15 10 5 15

 



 



 

 



r r r r r r

EF ED FG

OD

8. Banyak bilangan real x yang memenuhi x²⁰¹⁶



x²⁰¹⁴



x²⁰¹⁵



x²⁰¹³ adalah ... . A. 0

B. 1 C. 2 D. 3 Jawaban: D Pembahasan:

0 ) )(

1 ( ) 1 (

0 ) )(

1 )(

1 (

0 ) )(

1 )(

1 (

0 ) )(

1 (

0 ) (

) (

2013 2

2013 2013 2

2013 2015

2014 2016





























x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x x

x x

x = 1, atau x = -1, atau x = 0

Jadi ada 3 bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut.

9. Jika sistem persamaan mx + 3 y = 21 4x – 3 y = 0

Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y , maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ... . A. 9

B. 10 C. 11 D. 12

(6)

Jawaban: B Pembahasan:

mx + 3 y = 21

4x – 3 y = 0 y = x 3 4

Kedua persamaan di atas dijumlahkan diperoleh (m + 4) x = 21

Dengan memperhatikan x dan y bilangan bulat, dan faktor 21 = 1, 3, 7, 21, Untuk m = 17, maka x = 1, sehingga y =

3 1 4 3.

4



, dan m + x + y bukan bilangan bulat

Untuk m = 3, maka x = 3, sehingga y = .3 4 3

4



, dan m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10

Jadi nilai m + x + y yang mungkin adalah 10

10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:

 25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;

 90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.

Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di s ekolah tersebut adalah ... . A. 9 : 1

B. 9 : 2 C. 9 : 3 D. 9 : 4 Jawaban: B Pembahasan:

Misalkan banyaknya siswa peminat paskibra adalah N , maka

 Siswa putri peminat paskibra adalah 90%N , dan ini merupakan 50% = ½ dari total siswa putri. Ini berarti total siswa putri = 2 x 90%N =180%N

 Siswa putra peminat paskibra adalah 10%N , dan ini merupakan 25% = ¼ dari total siswa putra. Ini berarti total siswa putra = 4 x 10%N = 40%N

Total siswa putri : total siswa putra = 180%N : 40%N = 9 : 2 Jadi rasionya adalah 9 : 2

11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

 





 

ganjil untuk

, 1 2

genap untuk

, 1 ) 2

( x x

x x x

f

Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f (a) adalah ... . A. 21

B. 39 C. 61 D. 77

(7)

Andaikan untuk a bilangan asli f(a) = 39.

Kasus 1: jika a genap , maka 2a + 1 = 39a=17 merupakan bilangan ganjil Kasus 2: jika a ganjil , maka 2a – 1 = 39a = 20 merupakan bilangan genap

Dari kasus 1 dan 2 tidak mungkin ada bilangan asli a yang merupakan bilangan ganjil dan sekaligus bilangan genap.

Jadi nilai f(a) tidak mugkin 39

12. Banyak bilangan bulat k > - 20 sehingga parabola y = x² + k tidak berpotongan dengan lingkaran x² + y² = 9 adalah ... .

A. 20 B. 19 C. 11 D. 10 Jawaban: D Pembahasan:

Ralat : menurut saya kalimat “bilangan bulat k > - 20” perlu diganti “ bilangan bulat negatif k > - 20”.

Coba amati untuk semua bilangan bulat k >3 parabola jelas tidak memotong lingkaran. Jadi ada tak hingga nilai k yang memenuhi.

y = x² + k x² = y - k

Subtitusikan x² = y - k ke persamaan lingkaran x² + y² = 9, diperoleh:

y – k + y² =9 y² + y – (k + 9) = 0

a = 1, b = 1, c = -(k+9)

Syarat kedua grafik tidak berpotongan nilai diskriminan D < 0.

D = b² – 4 a c < 0 1² – 4 . 1 . (-(k+9)) < 0 1 + 4k + 36 <0

4k < - 37 k < -9,25

Ini berarti -20 < k < -9,25, dengan k bilangan bulat k = -19, -18, ..., -10

banyaknya k adalah 19 – 10 + 1 = 10

(8)

13. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut.

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun 2012 2013 2014 2015 Produk A 1200 2400 2400 3600 Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ... .

A. 1000 B. 1340 C. 1350 D. 1500 Jawaban: C Pembahasan:

Penjualan produk B dapat dihitung dari prosentasenya dibandingkan produk A sbb:

Tahun 2012 : 1200 800

% 60

%

40

 

Tahun 2013 : 2400 600

% 80

%

20

 

Tahun 2014 : 2400 3600

% 40

%

60

 

Tahun 2015 : 3600 400

% 90

%

10

 

Rata-rata penjualannya = 1350

4

400 3600

600

800

   

Jadi rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah 1350

14. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1

sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ... .

A. 13 5

(9)

B. 26 8

C. 52 19

D. 104 31

Misalkan A = Kejadian terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 P(A) = P(merah) + P(bernomor 13) – P(merah dan bernomor 13)

26 8 52 16 52

1 52

4 52 13 52

1 13

1 4 ) 1

(_A

       

P

15. Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ... .

A. 50 B. 49 C. 48 D. 45 Jawaban: C Pembahasan:

Misalkan bilangan itu a< b<c<d<e Jangkauan : e – a = 10

Rata-rata 40 , berarti a + b + c + d + e = 40 x 5 = 200

a + b + c + d + e a e b+c+d

b min = 3

d c

b

 

_Keterangan

200 40 50 110 36,7 b<a (Tidak Memenuhi)

200 39 49 112 37,3 b<a (Tidak Memenuhi)

200 38

48

¹¹⁴ ³⁸ b=c=d=a (Memenuhi)

200 35 45 120 40 b<d(Tidak Memenuhi)

(10)

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Nilai dari

23

9 . 3 . ...

18 . 6 . 2 9 . 3 . 1

4 . 2 . ...

8 . 4 . 2 4 . 2 .

1





 







n n n

n n

n adalah ... .

JAWAB : 3 4 Pembahasan:

9 4 3

2 3

2

) ...

3 2 1 ( 27

) ...

3 2 1 ( 8

....) ...

27 8 1 ( 9 . 3 . 1

....) ...

27 8 1 ( 4 . 2 . 1 9

. 3 . ...

18 . 6 . 2 9 . 3 . 1

4 . 2 . ...

8 . 4 . 2 4 . 2 . 1

3 3 2 23

3 3

23 3 3

3 3

23 23

  

 



   



 

 

 



 





 

 



 





   

 









n n n

n n

n n n

2. Bilangan bulat terbesar n agar 2 . 6. 10 .14 . 18 . ... . 198 dapat dibagi 6ⁿ adalah ... . JAWAB : 26

Pembahasan:

2 . 6. 10 .14 . 18 . ... . 198 = (2.1)x(2.3)x(2.5)x(2.7)x(2.9)x ... x(2.99)

= 2⁴⁹(1357...99)

= 2⁴⁹(39152127333945515763697581879399)(15711...97)

= 2⁴⁹(315213339515769758793) ₍₉₂₇₄₅₆₃₈₁₉₉₎₍₁₅₇₁₁_...₉₇₎

= 2⁴⁹3¹¹(1571113171923252931) ₍₃² ₃³₃²₅₃²₇₃⁴₃² ₁₁₎ )

97 ...

11 7 5 1

(     



= 2⁴⁹3¹¹3¹⁵(1571113171923252931) ₍₅₇₁₁₎



(1



5



7



11



...



97)

= 2⁴⁹3²⁶(1571113171923252931) ₍₅₇₁₁₎



(1



5



7



11



...



97)

= 6²⁶ 2²³(1571113171923252931) ₍₅₇₁₁₎₍₁₅₇₁₁_...₉₇₎ Jadi bilangan bulat terbesar n yang dimaksud adalah 26

3. Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut dengan volume 392^cm³. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan volume 1344^ cm³. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah ... cm.

JAWAB : 25 Pembahasan: