Muhammad Zidny Naf an, M.Kom. Gasal 2015/2016

(1)

MKB3383 - Teknik Pengolahan Citra

Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi

(Transformasi Fourier)

Muhammad Zidny Naf’an, M.Kom. Gasal 2015/2016

(2)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS

Kawasan Frekeunsi

• Fourier Transform 1D

• Fourier Transform 2D

(3)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS

Kawasan Frekuensi

• Fourier Transform 1D

• Fourier Transform 2D

(4)

Pengolahan Citra di Kawasan Spasial

VS Kawasan Frekuensi

Image

Input

Image

Processing

Image

Output

(5)

Pengolahan Citra di Kawasan Spasial

VS Kawasan Frekeunsi

Image Input Frequency Distribution Processing Inverse Transformation Image Output

(6)

Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi

• Diperlukan pasangan transformasi dan

transformasi balik (invers)

(7)

Transformasi Fourier

• Ditemukan oleh Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), ahli fisika dari Prancis

• Digunakan untuk memetakan citra dari kawasan spasial ke dalam kawasan frekuensi

• Melihat karakteristik spektrum citra

• Ide dasar: semua fungsi yang bersifat periodis, betapapun kompleks fungsi tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinusoid.

Kuncinya terletak pada komposisi amplitude dan fase sinus setiap frekuensi.

(8)

(9)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS

Kawasan Frekuensi

• Fourier Transform 1D

• Fourier Transform 2D

(10)

Fourier Transform 1D

Discrete Fourier Transform 1D

• Terdapat fungsi f(x) yang memiliki N data (f(0),

f(1), f(2), f(3), f(4), …, f(N-1))

• Jika dikenakan DFT, maka didapatkan:

(11)

Fourier Transform 1D

Proses perubahan fungsi dari ranah ranah spasial ke ranah frekuensi dilakukan melalui Transformasi Fourier. Sedangkan perubahan fungsi dari ranah frekuensi ke ranah spasial dilakukan

(12)

 Rumus Invers-DFT 1 Dimensi

Rumus FT – 1 Dimensi



   f x j ux dx N u F( ) 1 ( )exp[ 2  ]

 Rumus DFT 1 Dimensi (DFT = Discrete Fourier Transform)



    1 0 ( )exp[ 2 / ] 1 ) ( N x f x j ux N N u F 

 Rumus FT Kontinyu 1 Dimensi





 F u j ux du

x

f ( ) ( )exp[2  ]

 Rumus Invers-FT Kontinyu 1 Dimensi



   1 0 ( )exp[2 / ] ) ( N x F u j ux N x f  j = −1

(13)

13

Transformasi Fourier 1-D

• Nilai u disebut dengan domain frekuensi.

• Masing-masing dari M buah dari F(u) disebut komponen frekuensi dari transformasi.

• Transformasi Fourier seringkali dianalogikan dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu alat yang

dapat memisahkan cahaya menjadi berbagai

komponen warna. Masing-masing komponen warna memiliki panjang gelombang yang berbeda.

(14)

Euler Formula’s pada DFT 1D

𝑒

𝑖𝜃

= cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑒

−𝑖𝜃

= cos 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃

ux

j

ux

j



]

cos

2 

sin

2 

2 exp[









        1 0 1 0 ))] / 2 sin( ) / 2 )(cos( ( 1 ] / 2 exp[ ) ( 1 ) ( N x N x N ux j N ux x f N N ux j x f N u F



Karena: Maka:



    1 0 ( )(cos(2 / ) sin(2 / ))] 1 N x f x ux N j ux N N



(15)

Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi

(Gonzalez hlm 90-92)

j j F F j j j j j j x j x x f F f f f f N x j N x x f N F f f f f contoh N ux j N ux x f N N ux j x f N u F x N x N x N x 25 . 0 5 . 0 ] 2 [ 4 1 ) 3 ( 25 . 0 ] 1 [ 4 1 ) 2 ( 25 . 0 5 . 0 ) 2 ( 4 1 ) 4 4 3 2 ( 4 1 ) 0 ( 4 ) 0 1 ( 4 ) 0 ( 3 ) 0 1 ( 2 [ 4 1 ))] 4 / 2 sin( ) 4 / 2 )(cos( ( 4 1 ) 1 ( 25 . 3 )] 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( [ 4 1 ))] / 0 2 sin( ) / 0 2 )(cos( ( 1 ) 0 ( 4 ) 3 ( , 4 ) 2 ( , 3 ) 1 ( , 2 ) 0 ( : ))] / 2 sin( ) / 2 )(cos( ( 1 ] / 2 exp[ ) ( 1 ) ( 3 0 1 0 1 0 1 0                                              



             

(16)

Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi

(Gonzalez hlm 90-92)

Hasil FT 1D pada slide sebelumnya terdiri dari bilangan real dan imajiner. Maka dapat digambarkan pada tabel berikut:

Real 2 3 4 4 f(x) Real Imajiner 3.25 -0.5 0.25 -0.25 -0.5 -0.25 F(u) DFT

(17)

18

Transformasi Fourier 1-D

• |F(u)| = [R

2

_{(u) + I}

2

_(u)]

1/2

_{disebut magnitude}

atau spektrum dari transformasi Fourier dan :

disebut sudut fase atau spektrum fase dari

transformasi.

        ) ( ) ( tan ) ( 1 u R u I u



(18)

Soal Latihan DFT 1D

Misalkan terdapat fungsi f(x) = (2,4,1,5)

Bagaimanakah bentuk Transformasi Fourier-nya?



    1 0 ( )(cos(2 / ) sin(2 / ))] 1 ) ( N x f x ux N j ux N N u F



(19)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS

Kawasan Frekuensi

• Fourier Transform 1D

• Fourier Transform 2D

(20)

21

Transformasi Fourier 2-D

• Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu dengan (-1)x+y sebelum dilakukan perhitungan transformasi Fourier, karena titik pusat dari transformasi Fourier perlu digeser.

Persamaan di atas menetapkan bahwa titik pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(-1)x+y_[yaitu

F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan v=N/2.



f

(

x

,

y

)(



1 )

x y





F

(

u



M

/

2 ,

v



N

/

2 )

(21)

23

Rumus DFT – 2 dimensi

kolom) (jumlah citra lebar N baris) (jumlah citra tinggi M ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( ) , ( : ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( 1 ) , ( : 1 0 1 0 1 0 1 0          



        M v N u M y N x M vy N ux j M vy N ux u v F x y f InversFT M vy N ux j M vy N ux x y f MN v u F FT    

Dalam hal ini, citra berukuran MxN (M baris dan N kolom). Komponen v bernilai dari 0 sampai dengan M-1 dan u bernilai dari 0 sampai dengan N-1. Dalam hal ini, u dan v

menyatakan frekuensi, sedangkan nilai F(u, v) dinamakan koefisien Fourier atau spektrum frekuensi diskret.

(22)

24

Fast Fourier Transform (FFT)

• Merupakan algoritma penghitungan yang

mengurangi kompleksitas FT biasa dari N2 menjadi N log N saja

• Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret

• InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log₂N (IFFT)

– Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft(x) atau ifft2(X) untuk invers FT

(23)

Visualisasi DFT

Spektrum FT

|𝐹 𝑢, 𝑣 | = 𝑅

2

_{𝑣, 𝑢 + 𝐼}

2

_{(𝑣, 𝑢)}

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner

Sudut Fase Transformasi

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner

        ) , ( ) , ( tan ) , ( 1 v u R v u I v u 

Power Spectrum FT

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 2 v u I v u R v u F v u P   

(24)

26

(25)

27

Comparison : Low Frequency

Low Frequency

Small variation between image’s component, major frequency is low.

Shown by the Fourier Transform Result

Original Images

Showing a silhoutte of spaceship (Girty Lue).

(26)

28

Comparison : High Frequency

High Frequency

High variation between image’s component, major frequency is High.

Shown by the Fourier Transform Result

Original Images

Showing image of Freedom and Justice with METEOR unit also the Eternal Spaceship from Gundam SEED.

(27)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS

Kawasan Frekuensi

• Fourier Transform 1D

• Fourier Transform 2D

(28)

Filtering pada Domain Frekuensi

• Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi

adalah:

1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y_{untuk memusatkan}

transformasi.

2. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1). 3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v).

4. Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3). 5. Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4)

(29)

31

(30)

32

Filter Penghalusan

• Model filtering pada domain frekuensi adalah : G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari citra yang akan dihaluskan.

• Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v) yang

menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).

(31)

33

Contoh Filtering pada Domain

Frekuensi

• Filter yang didefinisikan sebagai berikut:

disebut filter notch karena filter tersebut

adalah fungsi konstan dengan sebuah lubang

(notch) di pusatnya.

     otherwise N M v u if v u H 1 ) 2 / , 2 / ( ) , ( 0 ) , (

(32)

34

(33)

HIGHPASS DAN LOWPASS FILTERING

PADA DOMAIN FREKUENSI

(34)

36

Filtering pada Domain Frekuensi

• Filter lowpass adalah filter yang mengubah

(menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan

melewatkan (passing) komponen frekuensi rendah. Citra yang difilter menggunakan filter lowpass

memiliki detail yang kurang tajam dibandingkan citra asal.

• Filter highpass adalah filter yang mengubah

(menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan melewatkan (passing) kompinen frekuensi tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter menggunakan filter highpass memiliki detail yang lebih tajam

(35)

37

(36)

38

(37)

39

Sample: Monochrome

Low Pass High Pass Gaussian Blur Sharpen More

(38)

40

Sample: Color

Low Pass High Pass Gaussian Blur Sharpen More

(39)

41 Original Image Gau ssia n Lo w Pa ss Enhanced Image

Other Implementation :

Low Pass Filter

“Noised” image Smooth image

(40)

42 Original Image Gau ssia n Hi gh Pa ss Enhanced Image

Other Implementation :

High Pass Filter

Hard to read text Easier to read text

Flare effect (beam) More Flare Effect Reduced Eye Point

(41)

43

Other Implementation :

High Pass Filter

Original Image Hard to read text

Sharpe

n

Easier to read text

Enhanced Image

Flare effect (beam)

More Flare Effect Exposure of Eye Point

(42)

44

Other Implementation :

High Boost Filtering

Original Image Un sha rp Mask Enhanced Image

Unsharp Mask: Generating Sharp Image by substracting blur version of the image itself Flare effect (beam)

Enhanced Flare Effect Reduction of Eye Point

(43)

45

Other Implementation :

Combination Filtering

Original Image Enhanced Image Multiplied High Pass Low Pass

Slight Flare Effect Reduction of Eye Point

(44)

Tugas Kelompok

• Ada tiga tipe filter lowpass, yaitu:

1. Filter Ideal  fungsi filter yang sangat tajam.

2. Filter Gaussian  fungsi filter yang sangat halus.

3. Filter Butterworth  transisi di antara dua fungsi ekstrim.

Filter Butterworth memiliki parameter yang disebut order

filter. Nilai order filter tinggi  mendekati filter Ideal.

Nilai order filter rendah  mendekati filter Gaussian.

Buatlah ringkasan yang berisi penjelasan dan contoh hasil pengolahan citra dengan tiga tipe filter lowpass di atas