03 Sifat Sifat Sudut

(1)

1 K

1 L

2 K

2 L

3 K

3 L

4 K

4 L

1 K 1

L K2

2 L

3 K 3

L L4 K₄

1 K 1

L K2

2 L

3 K 3

L L4 K4

GEOMETRI BIDANG

B. Sifat-Sifat Sudut

Ada beberapa dalil dan sifat sudut yang harus dipahami sebagai pengetahuan pendukung untuk membuktikan sifat-sifat geometri bidang selanjutnya. Yakni :

1. Dalil Kesejajaran

Diberikan garis dan titik yang tidak pada garis. Terdapat tepat satu garis melalui titik yang sejajar dengan garis yang diberikan.

2. Dalil sudut bersesuaian (sehadap) Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka pasangan sudut yang bersesuaian adalah kongruen.

Pada gambar disamping, sudut K1

kongruen dengan L1, sudut K2

kongruen dengan L2, sudut K3

kongruen dengan L3, dan seterusnya

Selanjutnya akan diuraikan juga beberapa sifat sudut, yakni sebagai berikut 1. Sifat sudut-sudut luar berseberangan

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut luar berseberangan saling kongruen Pada gambar di samping, sudut sudut luar berseberangan adalah L2 dan K4 sehingga L2 = K4

L3 dan K1 sehingga L3 = K1

2. Sifat sudut-sudut dalam berseberangan Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut dalam berseberangan saling kongruen. Pada gambar di samping, sudut sudut dalam berseberangan adalah L1 dan K3 sehingga L1 = K3

L4 dan K2 sehingga L4 = K2

g

(2)

1

3. Sifat sudut-sudut dalam sepihak Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut dalam sepihak berjumlah 1800.

Pada gambar di samping, sudut sudut dalam sepihak adalah

L1 dan K2 sehingga L1 + K3 = 1800

4. Sifat sudut-sudut luar sepihak Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut luar sepihak berjumlah 1800.

Pada gambar di samping, sudut sudut luar sepihak adalah

5. Sifat sudut-sudut bertolak Belakang Jika dua buah sudut bertolak belakang, maka kedua sudut tersebut sama besar Pada gambar di samping, sudut sudut yang bertolak belakang adalah

L2 dan L3 sehingga L1 = L3

L2 dan L4 sehingga L2 = L4

6. Sifat sudut-sudut berpelurus

Jika dua buah sudut saling berpelurus, maka jumlah kedua sudut tersebut 1800 Pada gambar di samping, sudut sudut yang berpelurus adalah

L2 dan L1 sehingga L2 + L1 = 1800

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Pada gambar disamping jika diketahui

(3)

< DGF + < GFJ = 1800 650 + < GFJ = 1800

Jadi < GFJ = 1800– 650 = 1150

02. Pada gambar disamping jika diketahui besar < DCJ = 710 dan < GFJ = 460. tentukanlah besar < AJH

Jawab

<DCJ = < IJC ( dalam berseberangan) Maka < IJC = 710

<GFJ = <FJI ( dalam berseberangan) Maka <FJI = 460

<AJH = <IJC + <FJI <AJH = 710 + 460 <AJH = 1170

03. Pada gambar disamping diketahui besar < a = (4x + 9)0 dan < b = 7(x + 4)0

Tentukanlah besar < c Jawab

< a + < b = 1800 (dalam sepihak) 4x + 9 + 7(x + 4) = 180

4x + 9 + 7x + 28 = 180 11x + 37 = 180

11x = 143 Jadi x = 13

Sehingga < c = < b = 7(13 + 4) = 1190 04. Pada gambar disamping jika < FGD = 400,

dan < GHD = 250 maka tentukanlah < EDH = Jawab

< FGD = < GHL = 400 < GHD + < DHL = 400

maka 250 + < DHL = 400 jadi <DHL = 150 < EDH + < DHL = 1800

< EDH + 150 = 1800 Jadi <EDH = 1560

Selanjutnya akan dibuktikanlah bahwa jumlah sudut-sudut dalam segitiga sembarang adalah 1800

Misalkan < CAB = < EBD = α < ACB = < CBE = θ Maka α +β + θ = 1800

Karena α, β dan θ adalah sudut- sudut segitiga ABC, maka jumlah sudut pada segitiga ABC 1800

A

E I

H

K J

F G

B C D

a

b

c

G D

E

I H

K F

(4)

Akan dibuktikanlah juga bahwa jumlah sudut-sudut dalam segiempat sembarang adalah 3600 A1 + E3 + B1 = 1800

B2 + E2 + C2 = 1800 C1 + E1 + D1 = 1800 D2 + E4 + A2 = 1800

A1 + B1 + B2 + C2 + C1 + D1 + D2 + A2 + E1 + E2 + E3 + E4 = 4(1800) A1 + B1 + B2 + C2 + C1 + D1 + D2 + A2 + 3600 = 4(1800)

A1 + B1 + B2 + C2 + C1 + D1 + D2 + A2 = 4(1800) – 3600 A1 + B1 + B2 + C2 + C1 + D1 + D2 + A2 = 3600

Terbukti bahwa jumlah sudut-sudut dalam segiempat sembarang adalah 3600 Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut-sudut dalam segi-n sembarang dirumuskan :

Jumlah sudut segi-n = 1800 (n – 2)

Dimana n ≥ 3

Sebagai contoh ikutilah soal berikut ini:

05. Pada gambar di samping, a, b, c, d dan e adalah sudut-sudut pada titik A, B, C, D, dan E. Tentukan nilai a + b + c + d + e .

Jawab

Menurut aturan jumlah sudut-sudut suatu bangun datar yang sudah dijelaskan diatas bahwa : Jumlah sudut-sudut segi-tiga adalah 1800

Jumlah sudut-sudut segi-empat adalah 3600 Jumlah sudut-sudut segi-lima adalah 5400 dan seterusnya

Sehingga

A

B

C D

E

D

E A

B

C

S R Q

P

T a

b

c d

e p

q r

(5)

 06. Pak Wawan mempunyai sebidang tanah berbentuk segitiga ABC. Tanah tersebut akan

dibagi dua untuk kedua anaknya. Pada sisi BC tumbuh pohon durian yang berbuah lebat, yang posisinya lebih dekat ke C daripada ke B. Karena keuda anak pak Wawan sama-sama menyukai durian, maka pak Wawan ingin pohon durian itu dimiliki

bersama oleh kedua anaknya sehingga tanah tersebut akan dibagi dua sama luas dengan cara membuat batas yang melalui pohon durian. Bagaimana cara pak Wawan membagi luas tanah agar keinginannya terwujud ?

Jawab

Misalkan segitiga ABC adalah tanah pak Wawan, dan titik P adalah posisi pohon durian maka lakukan langkah-langkah berikut:

(1) Lukis garis dari P ke A (2) Lukis garis CD sejajar PA

dan memotong

perpanjangan garis BA di D (3) Tentukan titi Q yang

merupakan titik tengah BD

(4) Tarik garis PQ. Garis PQ ini adalah batas tanah kedua anaknya dimana Luas AQPC = Luas QBP

Bukti teorema ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Karena PA sejajar CD maka ∆ABP sebangun dengan ∆DBC, sehingga:

BA

(6)

.

Sehingga Luas ABC =

2 1

BA . x

Luas BPQ =

2 1

BQ . y =

2 1

(

2 1

BP BC

. BA)(

BC BP

.x) =

4 1

BA . x

Akibatnya :

ABC Luas

BPQ Luas

=

x . BA 2 1

x . BA 4 1

ABC Luas

BPQ Luas

=

2 1

Luas BPQ =

2 1