Bab 1 BILANGAN KOMPLEK

Bab 1

BILANGAN KOMPLEK

1.1 Pendahuluan

Sistem bilangan seperti yang kita kenal hingga saat ini merupakan hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut.

1. Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan bangsa Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah a  dan perkalian b a.b,(a)(b)atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat tertutup (closure) terhadap operasi ini.

2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti

xba, dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan xab himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.

3. Bilangan rasional dan pecahan seperti ,... 4 13 , 5 6 , 7 1 , 4 3 

 muncul sebagai bagian

yang memungkinkan selesaian persamaan berbentuk bx a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b0. _{Hal ini mengarah ke operasi pembagian atau invers} perkalian, dan ditulis dengan

b a

x  yang disebut hasil bagi a dan b , di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut.

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian atau subset dari bilangan

rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional

b a

dimana b1. Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama pembagian dengan nol tidak dilakukan.

4. Bilangan irasional seperti √2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . . adalah bilangan

yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan

b a

dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b0.

Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan real. Diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui dengan berbagai operasi pada bilangan real.

1.2 Representasi Grafis Bilangan Real

Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 di bawah ini. Titik yang sesuai dengan nol disebut titik asal.

Gambar 1.1

Sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. Jika suatu titik A sesuai dengan bilangan real _{a yang terletak di sebelah kanan titik} Bsesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan ditulis secara berurutan dengan a  atau b b a.

Himpunan dari nilai-nilai x termasuk a < x <b disebut interval terbuka pada sumbu real bila axb, yang mana didalamnya terdapat titik awal a dan titik akhir

,

b disebut interval tertutup. Lambang x, yang mana dapat berdiri untuk semua susunan dari nilai–nilai asli, yang disebut variabel asli.

Nilai mutlak dari sebuah bilangan real a , dinotasikan dengan a , adalah a jika 0



a , –a untuk a < 0 dan 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b pada sumbu real adalah | − |. Atau dengan kata lain:

          0 , 0 , 0 0 , a jika a a jika a jika a a 4   3 2 1 0 1 2 3 ₄ 3 2  2 3  4 3  2

1.3 Sistem Bilangan Komplek

Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan + 1 = 0 untuk memberikan solusi–solusi untuk ini dan persamaan–persamaan yang sama susunan dari bilangan komplek telah di perkenalkan.

Kita dapat menganggap sebuah bilangan komplek yang berbentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan asli dan i, yang mana disebut bilangan imajiner, mempunyai sifat = −1 . z = a + bi , kemudian a disebut bilangan asli dari z dan b disebut bagian bilangan imajiner dari zdan didenotasikan oleh Re{z} dan Im{z} berturut-turut, symbol z _{yang mana dapat berdiri untuk semua susunan bilangan-bilangan}

komplek , disebut variabel komplek.

Dua bilangan komplek z₁ abi dan z₂ cdiadalah sama jika dan hanya jika a  dan c b d. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner sejati.

Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu bilangan komplek bi

a  adalah a bi. Konjugate bilangan bilangan komplek z sering diindikasikan oleh atau z*.

1.4 Operasi dasar pada bilangan Komplek

Operasi yang ditunjukan pada bilangan komplek juga berlaku seperti pada Aljabar. Operasi pada bilangan komplek meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada operasi bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti aljabar dari bilangan-bilang asli dan mengganti dengan -1 sehingga diperoleh hasil sebagai operasinya.

Misal z₁abi dan z₂ cdi hasil operasinya dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Penjumlahan i d b c a di c bi a di c bi a z z₁ ₂ (  )(  )    (  )(  ) Contoh a. (43i)(2i8)43i2i8(48)(3i2i)4i

b. 2(14i)2(42i)(28i)(84i)(28)(8i4i)104i 2. Pengurangan i d b c a di c bi a di c bi a z z₁ ₂ (  )(  )    (  )(  ) Contoh a. 3(14i)2(7i)(312i)(142i)(314)(12i2i)1714i b. 3(14i)2(1i)(312i)(22i)(32)(12i2i)110i 3. Perkalian i bc ad bd ac bd i bc ad ac bdi bic adi ac di c bi a z z ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) )( ( 2 2 1                 Contoh a.



2 3i



4 i





8 2i 12i 3i





8 10i 3( 1)



11 10i 2             b.



3 3i



1 4i





3 12i 3i 12i





3 9i 12( 1)



15 9i 2                 4. Pembagian i d c ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac i d cdi cdi c di c bi a di c di c di c bi a di c bi a z z                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) )( ( . Contoh a. i i i i i i i i i i i i 17 14 17 5 17 14 5 16 3 12 2 8 4 4 . 4 3 2 4 3 2 2 2                 b. i i i i i i i i i i i i 25 7 25 1 25 7 1 9 16 3 4 3 4 3 4 3 4 . 3 4 1 3 4 1 2 2                        Soal-soal 1. Hitunglah





















2 23 11 2 4 3 20 15 2 5 4 3 2 5 4 3 2 ) 3 1 ( ) 4 4 ( 4 3 2 ) 2 2 ( ) 4 4 ( 1 2 2 4 2 ) 1 )( 2 ( ) 1 ( 4 ) 1 2 )( 1 2 ( 1 2 1 4 1 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                                                                                     2.



















2 15 5 2 15 10 4 30 20 2 2 . 2 15 10 2 15 10 2 2 1 8 1 2 1 2 3 2 2                     i i i i i i i i i i i i i i i i 3. Tentukan









          2 ) 1 ( 2 1 2 3 2 Re i i i i dan









          2 ) 1 ( 2 1 2 3 2 Im i i i i 1.5 Nilai Mutlak

Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek zabi dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai z  abi  a2 b2

Contoh

1. 2 i3  22 (3)2  49  13

2. 42i  (4)2 22  164  20 2 5

Jika , , ,…., adalah bilangan komplek, berlaku sifat-sifat berikut 1. z₁z₂  z₁ z₂ atau z₁z₂...z_m  z₁ z₂ ... z_m Bukti Misal z1 abi, z2 cdi



a bi



c di

 

ac bd

 

ad bc



i z z_{1 2}         z₁z₂  (acbd)2 (adbc)2`  ( 2 2 2 2 2) ( 2 2 2 2` c b abcd d a d b acbd c a     

 (a2c2 b2d2 a2d2`  (a2 b2)(c2 d2)`  a2 b2 c2 d2  (a2 b2)(c2 d2)`  z₁ z₂ 2. , 2 1 2 1 z z z z  jika z₂ 0 3. z₁z₂  z₁  z₂ atau z₁z₂ ...z_m  z₁  z₂ ... z_m 4. z₁z₂  z₁  z₂ atau z₁z₂  z₁  z₂ Catatan

Bukti lain ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca

1.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem Bilangan Komplek

Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( ba, )dari bilangan real a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan bilangan-bilangan real.

a. Persamaan (a,b)(c,d) jika dan hanya jika a ,c bd

b. Penjumlahan (a,b)(c,d)(ac,bd)

c. Produk (a,b)(c,d)(acbd,adbc) dan m(a,b)(ma,mb)

Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa (a,b)a(1,0)b(0,1) dan kita berhubungan dengan ini a bi di mana lambang untuk (0,1) dan mempunyai

) 0 , 1 ( ) 1 , 0 )( 1 , 0 ( 2   

i (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1 dan ( 1, 0) jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan (0,0)sesuai dengan bilangan real 0.

Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z₁,z₂,z₃bagian dari bilangan komplek S .

1.

2 1 z

2. 2 1 z z  =z ₂ z₁ Bukti



 

 





 





 

 





 





a c

 

b d



i i b d a c bi a di c bi a di c z z i d b c a di c bi a di c bi a z z                               1 2 2 1

Hukum Komutatif Penjumlahan

3. 3 2 1 3 2 1 (z z ) (z z ) z

z      Hukum Asosiatif Penjumlahan

4.

1 2 2 1z z z

z  Hukum komutatif Perkalian

5. 3 2 1 3 2 1(z z ) (zz )z

z  Hukum assosiatif Perkaliam

6. 3 1 2 1 3 2 1(z z ) z z z z

z    Hukum Distributif Perkalian terhadap

Penjumlahan 7. 1 1 1 0 0 z z z     1 1 1 .1 . 1z z  z

0 disebut identintas penjumlahan 1 disebut identintas perkalian 8. _{Untuk suatu bilangan komplek}

1

z ada satu bilangan z S yang tunggal sedemikian sehingga z₁ z zz₁ 0. Untuk selanjutnya zdisebut invers (balikan) penjumlahan dari z₁ dan dilambangkan dengan

1 z  .

9. _{Untuk suatu 0} 1 

z ada satu bilangan z S yang tunggal sedemikian sehingga

1 1 1z zz 

z . Untuk selanjutnya zdisebut inver perkalian dari z₁ dan dilambangkan dengan z₁1 atau

1 1

z

Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S yang anggota-anggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan field (lapangan).

Jika skala-skala bilangan real dipilih pada dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu XOX dan ' YOY (selanjutnya disebut sumbu ' x dan sumbu ysecara berturut-turut) seperti pada gambar 1.2 dibawah ini.

Gambar 1.2

Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan kedua garus dapat b ertemu di satu titik, titik tersebut dinamakan koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan (x,y).Pada gambar di atas dipilih titik P(3,5).

Karena suatu bilangan komplek z x yi dapat dipandang sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat merepresentasikan bilang komplek dengan suatu titik pada bidang xy. Bidangxy sebagai representasi bilangan komplek dinamakan bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan titik

) 5 , 3 (

P seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai 3 5i. Setiap bilangan komplek berkorepondesni satu dan hanya satu dengan setiap titik pada bidang, sebaliknya setiap satu titik pada bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu

bilangan komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang komplek z, sebagai titik z .

Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-turut dan bidangnya dinamakan bidang z Jarak . antara dua titik z₁ x₁  y₁i dan z₂  x₂  y₂ipada bidang komplek diberikan oleh

2 2 1 2 2 1 2 1 z (x x ) (y y ) z     

1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek

Jika P adalah titik pada bidang komplek yang berkorepondensi dengan bilangan komplek (x,y) atau x  yimaka berdasarkan gambar 1.3 kita dapat melihat bahwa: x rcos_, y rsin.

Gambar 1.3

Karena r x2 y2  xyi

adalah modulus atau nilai mutlak dari bilangan komplek

1

iy x

z   (dinotasikan dengan modzatau z ); dan _{ disebut amplitude atau} argument dari z xiy(dinotasikan dengan arg z), adalah sudut yang dibuat oleh garis

OP dengan sumbu x positif.

Oleh karena itu, zx yr(cos isin) ) , (x y P X Y  y x r (1)

Yang disebutis bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut koordinat polar. Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan menyebut sebagau singkatan cis untuk cosisin.

Untuk suatu bilangan kompleks z 0 terdapat korespondensi satu dan hanya satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan  untuk 0 ≦ < 2π. Namun, interval lain dari panjang 2π, misalnya - π < θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.

1.9 Teorema de Moivre

Jikaz₁ x₁iy₁r₁(cos₁ isin₁)danz₂ x₂ iy₂ r₂(cos₂ isin₂) _kita dapat menunjukkan bahwa:

) sin (cos ) sin (cos _{1 1 2 2 2 2} 1 2 1z r  i  r  r i  z   



1 2



2 2 1 2 1 2 1 2

1r cos cos icos sin isin cos i sin sin

r   





i



r

r_{1 2} (cos₁cos₂ sin₁sin₂)(sin₁cos₂ cos₂sin₁₎) 



cos( _{1 2}) sin( _{1 2})



... (2) 2 1r i r        2 1 z z ) sin (cos ) sin (cos 2 2 2 2 1 1     i r i r   ) sin (cos ) sin (cos . ) sin (cos ) sin (cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1         i r i r i r i r      ) sin cos sin cos sin (cos ) sin sin cos sin cos sin cos (cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1               i i i r i i i r r        (cos ( 1)sin ) ) sin sin ) 1 ( cos sin cos sin cos (cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1                  r i i r r (cos sin ) )) cos sin cos (sin ) sin sin cos (cos 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1                r i r r





2 2 2 1 2 1 2 1 cos( )sin( r r r      ) 3 ( ... ... ) sin( ) cos( _{1 2 1 2} 2 1 _{   }    r r

Bentuk generalisasi dari (2) menyebabkan )} ... sin( ) ... {cos( ... ... _{1 2 1 2 1 2} 2 1z zn rr rn n i n z        

dan jika z₁ z₂ ... z_n  z, bentuk (4) menjadi

) 5 ( ... ) sin (cos )} sin (cos { .... . . .zzz z z r  i  r n i n z  n   n  n 

Bentuk (5) sering disebut teorema de Moivre

1.10 Akar-akar dari Bilangan Komplek

Suatu bilangan w disebut akar ke  bilangan komplek n zjika wn  zatau dapat kita tulis dalam bentuk n

w

z 1/ . Berdasarkan teorema de Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positip,

n n i r z1/ { (cos  sin)}1/ ) 6 ( ... ) 1 ...( 2 , 1 , 0 2 sin 2 cos / 1                         k n n k i n k r n    

Dari berikut ini bahwa n adalah nilai yang berbeda untuk n

z1/ , yaitu n akar yang berbeda dari z. asalkan z0.

1.11 Rumus Euler

Berdasarkan asumsi perluasan deret berhingga .... ! 3 ! 2 1 3 2      x x x ex dari kalulus

elementer ketika x i,kita dapat mengambil hasil:

)! 1 ( ) ( ... ! 5 ) ( ! 4 ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( 1 1 5 4 3 2           n i i i i i i e n i _                                  )! 1 ( ... ! 5 ! 3 )! 2 ( ... ! 4 ! 2 1 1 1 5 5 3 3 2 2 4 4 2 2 n i i i i n i i i n n n n                                  )! 1 ( ... ! 5 ! 3 )! 2 ( ... ! 4 ! 2 1 1 5 3 2 4 2 n i i i i n n n        (4)

                          )! 1 ( ... ! 5 ! 3 )! 2 ( ... ! 4 ! 2 1 1 5 3 2 4 2 n i n n n       

Dengan menggunakan definisi jumlah deret tak hingga diperoleh: ) 7 ...( 71828 , 2 sin cos    i e ei  

Yang mana (7) kita sebut sebagai rumus Euler’s yang sesuai ,bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikanei . umumnya kita definisikan



cosx isin y



`...(8) e e e e ez x iy x iy x     

Misalnya untuk contoh dimana y 0 menghasilakan x

e

Perlu dicatat bahwa bentuk dari (7) pada dasarnya merupakan hasil dari teorema de Moivre untuk

 

ei n ein

1.12 Persamaan-persamaan Polinomial

Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan selesaian persamaan pangkat banyak (polinomial) dengan bentuk umum :

... 1 0 ...( 9) 2 2 1 1 0          n n n n n a z a z a z a z a

Dimana a₀ 0,a₁....,a_n dari bilangan komplek dan n adalah bilangan bulat positip yang disebut pangkat dari persamaan. Selesesaian dari persamaan polinomial juga disebut pembuat nol (zeros) ruas kiri persamaan (9) akar-akar persamaan.

Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial dari bentuk (9) mempunyai paling sedikit satu akar bilangan. Berdasarkan fakta ini kita dapat polinomial mempunyai n akar bilangan komplek yang kadang-kadang beberapa ada yang sama dan bahkan mungkin semua akar-akarnya sama.

Jika z₁,z₂,z₃,...,z_n dengan n akar-akar persamaan polinomial maka (9) dapat di tulis sebagai:

ao(zz1)(zz2)(zz3)...(zzn)0 ... (10)

yang mana di sebutbentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial ,sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10) kita dapat determinankan akar-akarnya dengan muda.

Selesaian dari persamaan n 1

z dimana n adalah bilangan bulat positip disebut akar-akar ke  dari satuan dan di berikan oleh : n

) 11 ( .... 1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 2 sin 2 cos 2      e k n n k i n k z n k   Missal jika cos 2 sin 2 e2k i/n,

n k i n

k  

    n akar-akar dari persamaannya

adalah: 1,,2,...,n1. yang secara geometri menunjukkan bahwa n vertical dari sebuah polygon (segi banyak) beraturan teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah lingkaran dari jarak satu dengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan z 1 dan sering di sebut lingkaran satuan.

1.14 Interpretasi Vektor dari Bilangan Komplek

Bentuk bilangan komplek z x yi dapat dipandang sebagai vektor OP yang mempunyai titik awal di titik asal O (origin) dan titik akhirnya pada koordinat P(x,y) seperti pada gambar 1.4 berikut ini.

Gambar 1-4

Kadang-kadang kita menyebut OP xiysebagai vektor positip dari P Dua vektor . mempunyai panjang atau magnitudo dan arah yang sama, tetapi titik-titik awal berbeda sedemikian sehingga OP dan ABpada gambar 1-4 dipandang sama. Dalam hal ini dapat ditulis OP AB xiy X Y O ) , (x y P A B

Jumlah dari bilangan komplek berkorespondensi dengan hukum jajarangenjang dari jumlah untuk vektor. (lihat gambar 1-5). Dengan demikian jumlah bilangan komplek z dan ₁ z melengkapi jajarangenjang OABC diman OA dan OC ₂ berkorespondensi dengan z dan ₁ z Diagonal OB dari jajarangenjang adalah ₂. berkorespondensi dengan z ₁ z₂.

Gambar 1.5

1.15 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi Stereografis

Misalnya P (pada gambar 1.6) adalah bidang komplek dan pandang suatu unit sphere

_

(jari-jari satu) tangent P di z0. Untuk diameter NS tegaklurus dengan P dan titik N dan S kita sebut kutub-kutub utara dan bagian selatan dari

_

. Beberapa korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan

_

pada titik A’. Dengan demikian setiap titik di bidang bilangan komplek berkorespondensi satu-satu dan hanya satu titik dari sphere

_

, dan kita dapat menggambarkan sebarang bilangan komplek oleh satu titik pada sphere. Untuk melengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang komplek untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas. X Y O 1 z 1 z 2 z 2 z 2 1 z z 

Methode yang telah dijelaskan di atas untuk memetakan bidang pada sphere disebut proyeksi stereografis. Sphphich. Sphere tersebut kadang-kadang disebut Riemann sphere.

Gambar 1-6

1.16 Hasil Kali Titik (dot) dan Silang (cross)

Misal z₁  x₁ iy₁ dan z₂  x₂ iy₂ adalah dua bilangan komplek (vektor-vektor). Hasil kali titik (juga disebut hasil kali skalar) dari z dan ₁ z vector). Hasil kali titik ( ₂. disebut juga hasil kali titik) dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai









... (12) 2 1 Re cos . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z x x y y z z z z z z z       

Dimana  adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara 0 dan  .

Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai











.







(14) ) 13 ( ... 2 1 Im sin 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1   i e z z z z i z z z z z z z z i z z x y y x z z z z           

Jika z dan ₁ z adalah bukan nol, maka ₂

1. Syarat perlu dan cukup bahwa z₁ dan z₂ tegak lurus adalah bahwa z₁.z₂ 0 2. Syarat perlu dan cukup bahwa z₁ dan z₂ sejajar adalah bahwa z₁ z₂ 0

N

S

A

P

3. Magnitudo proyeksi dari z pada ₁ z adalah ₂. z1.z2 /z2.

4. Luas jajarangenjang yang mempunyai sisi z1 dan z2 adalah z ₁ z₂.

1.17 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek

Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus ( , ) atau koordinat kutub ( , ). Namun banyak juga kemungkinan yang lain. Salah satunya adalah menggunakan kenyataan bahwa =

( + ̅), = ( − ̅) dimana

= + 2 . Koordinat ( , ̅) yang menentukan letak suatu titik dinamakan koordinat-koordinat konjugat bilangan komplek atau disingkat koordinat-koordinat konjugate. Dari suatu titik.

1.18 Himpunan-himpunan Titik

Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut.

Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan. 1. Lingkungan (neighbourhoods)

Suatu lingkungan delta (atau ) dari titik adalah Himpunan semua titik sehingga | − | < dimana adalah suatu bilangan positif yang diberikan. Suatu lingkungan – yang dihilangkan dari adalah Suatu lingkungan dari yang titik nya dibuang, yaitu 0 < | − | < .

2. Titik limit (limit points)

Suatu titik disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari himpunan titik . Jika setiap lingkungan – yang dihilangkan dari memuat titik di himpunan , karena adalah Suatu bilangan positif sebarang, maka himpunan harus memiliki banyak titik yang tak berhingga. Perhatikan bahwa mungkin terletak di dalam atau di luar himpunan .

3. Himpunan-himpunan tertutup (closed sets)

Sebuah himpunan disebut tertutup jika setiap titik limit dari termasuk di dalam , yaiut memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh, himpunan semua titik sehingga | |≤ 1 adalah suatu himpunan tertutup.

4. Himpunan-himpunan terbatas (bounded sets)

Sebuah himpunan disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu konstata sehingga | | ≤ untuk setiap titik dan . Suatu himpunan tak terbatas adalah himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup dinamakan Kompak.

5. Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and boundary points) Suatu titik disebut titik dalam dari himpunan jika kita dapat menentukan suatu lingkungan dari yang semua titiknya termasuk pada . Jika setiap lingkungan dari memuat titik di dan juga titik di luar , maka dinamakan titik batas. Jika suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu himpunan , maka titik ini dinamakan titik luar dari .

6. Himpunan-himpunan terbuka (open sets)

Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik sehingga | |< 1 adalah suatu himpunan terbuka. 7. Himpunan-himpunan tersambung (connected sets)

Suatu himpunan terbuka disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang semua titiknya terletak di dalam .

8. Daerah terbuka atau domain (open regions or domains)

Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain. 9. Closure suatu himpunan (closure of a set)

Jika suatu himpunan kita gabungkan semua titik limitnya, maka himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan dan merupakan suatu himpunan tertutup.

10. Daerah tertutup (closed regions)

Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup. 11. Daerah (regions)

Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain.

12. Gabungan dan Irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik yang tergabung dalam himpunan S1 dan himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan himpunan S1 + S2 / ∪ Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat dalam himpunan S1 dan S2 dinamakan irisan S1 dan S2 yang ditandai dengan S1 , S2 / ∩

13. Komplemen dari himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan ~

14. Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong ( ∅). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 = ∅. Setiap himpunan yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S.

15. Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam sebuah persamaan dengan angka-angka 1,2,3………maka himpunan itu dinamakan himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak terhingga.

Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan:

a) Teorema Welerstrass-Bolzano. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai.

b) Teorma Heine-Borel. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu atau lebih himpunan A1, A2...( yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga.

1.18 Soal-soal

Penyelesaian-penyelesaian dasar dengan bilangan kompleks. 1. Membuat penyelesaian pada masing-masing bilangan kompleks.

(b) (-7- i ) + ( 3 + 2 i) = -7 +3 – I + 2i = -4 + i

Hasil bilangan komleks (a) dan (b) menunjukan penyelesaian yang dapat dimengerti.

(c) (8 – 6i) - (2i - 7) = 8 – 6i -2i + 7 = 15 – 8i

(d) (5 + 3i) + {( -1 + 2i) + (7 – 5i)} = (5 + 3i) + {-1 + 2i +7 – 5i} = (5 + 3i) + (6 – 3i) = 11

(e) {( 5 + 3i) + (-1 + 2i) } + (7 – 5i) = {5 + 3i -1 + 2i} + (7 – 5i) = (4 + 5i ) + (7 – 5i) = 11

Hasil (d) dan (e) menunjukan hasil yang berkaitan.

(f) (2 – 3i) (4 + 2i) = 2(4 + 2i) - 3i(4 + 2i) = 8 + 4i -12i - 6i2 = 8 + 4i -12i + 6 = 14 – 8i

(g) (4 + 2i) (2 – 3i) = 4(2 – 3i) + 2i(2 – 3i) = 8 – 12i + 4i - 6i2 = 8 -12i + 4i + 6 = 14 – 8i

Hasil (f) dan (g)menunjukan hasil yang dapat dipahami. (h) (2 – i) {(-3 + 2i)(5 - 4i)} = (2 - i){-15 + 12i + 10i – 8i2}

= (2 - i)(-7 + 22i) = -14 + 44i + 7i – 22i2 = 8 + 51i (i) {(2 – i) (-3 + 2i)} (5 - 4i) = {-6 + 4i + 3i -21i2} (5 - 4i)

= (-4 + 7i) (5 - 4i) = -20 + 16i + 35i – 28i2 = 8 + 51i Hasil (h) dan (i) menjelaskan hasil perkawinan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.

Halaman 9

(j). (−1 + 2i){(7 − 5i) + (−3 + 4i)} = −4 + i + 8i − 2i = −2 + 9

metode yang lain. (−1 + 2 ){(7 − 5i) + (−3 + 4i)} = (−1 + 2i)(−5i) + (−1 + 2i)(−3 + 4i) = (−7 + 5i) + 14i − 10i ) + (3 − 4i − 6i + 8i ) = (3 + 11i) + (−5 − 10i) = −2 + 9i

Ini memberikan penjelasan pembagian rumus yang lain.

(k) = . = = = − −

Menurut de inisi, (3 − 2 ) (−1 + )⁄ ℎ + , dimana a dan b adalah bilangan reall seperti itu (−1 + )( + ) = − − + ( − ) = 3 − 2 . − − = 3, − = −2 dan kemudian pecahkan secara bersamaan, = −5 2 , = −1 2 + = −5 2 − 2. (l) + = . + . = + = + = 3 − (m) = = ( ) ( ) = . = = 1 + 2.jika = 2 + , = 3 − 2 = − +√ , menilai masing − masing dari berikut ini. ( ) |3 − 4 | = |3(2 + ) − 4(3 − 2 )| = |6 + 3 − 12 + 18 | = |−6 + 11 | = (−6) + (11) = √157 (b) − 3 + 4 − 8 = (2 + ) − 3(2 + ) + 4(2 + ) − 8 = {(2) + 3(2) ( ) + 3(2)( ) + } − 3(4 + 4 + ) + 8 + 4 − 8 = 8 + 2 − 6 − − 12 − 12 + 3 + 8 + 4 − 8 = −7 + 3 (c) ( ) = − +√ = − −√ = − −√ = 1 4+ √3 2 + 3 4 = − 1 2+ √3 2 = 1 4− √3 2 + 3 4 = −1 2− √3 2 (d) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = | | | | = ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) = 1

3. temukanlah bilangan real x dan y seperti yang 3 + 2 − + 5 = 7 + 5 . Kemudian berikan hubungan persamaan tertulis sebagai berikut 3 + 5 +

(2 − ) = 7 + 5 . kemudian menyamakan bagian bilangan real dan imagenari, 3 + 5 = 7, 2 − = 5. kemudian pemecahan secara bersamaan, = −1, = 2 4. Buktikan: (a) + = + , ( ) | | = | || |

Misalkan = = + , = + _. kemudian (a) + = + + = + + ( + ) = + − ( + ) = − + − = + + + = + (b) | | = |( + )( )| = | − + + ( + )| ( − + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) = + + = | || | . | + | = ( )( ) = + = ( )( ) = | | | | | | = | || |

dimana kita sudah menggunakan fakta bahwa hasil konjugasi dari dua bilangan kompleks yang sama dengan produk konjugatif yang lain (lihat Soal 55).)

Halaman 10

BILANGAN KOMPLEKS A.Gambar Grafis Dari Bilangan Kompleks

5.Mengerjakan,menunjukan pembedahan, menganalisa dan gambarkan. (3+4 )+(5+2 ),

(6-2 )-(2-5 ),

(-3+5 )+(4+2 )+(5-3 )+(-4-6 )

A).Menganalisis (3+4)+(5+2 )=3+5+4 +2 =8+6

Menggambarkan grafis dua bilangan komplek nilai P1 dan P2 yang berturut–turut seperti gambar dibawah ini 1.7. Sempurnakan garis lintang dengan OP1 dan OP2 seperti berdekatan sisi. Nilai P menggambarkan jumlah 6+8 dari dua bilangan komplek. Catatan persamaan garis lintang untuk penjumlahan dari vektor OP1 dan OP2 memperoleh vektor OP. Pertimbangan ini untuk memudahkan sebuah bilangan kompleks seperti a +b sebuah vektor memperoleh komponen dan b ke arah dari positip x dan y tanpa hubungan berturut.

у

P1 3+4i 8+6i 5+2i P2 O ᵡ P2 -2+5i P 4+3i O ᵡ 6-2i P1 (b) Menganalisa, (6+2 )-(2-5 )=6-2-2 =4+3

Grafis, (6-2 )-(2-5 )=6-2 +(-2+5 ). Menjumlahkan 6-2 dan((-2+5 )seperti dibagian (a).Menunjukan hasil untuk OP didalam gambar 1.8 diatas.

(C)Menganalisa.

Grafis, (-3+5 )+(4+2 )+(5-3 )+(-4-6 )=(-3+4+5-4)+(5 +2 -3 -6 )=2-2 .

Menggambarkan bilangan yang ditambah untuk z1, z2, z3, z4 berturut – turut. Gambarlah grafis dibawah ini 1.9 untuk memperoleh jumlah yang dibutuhkan bertambah terus seperti bentuk pertama gambar dibawah ini 1.10.Sebagai nilai dari vektor z1 konsepsi vektor z2,vektor z2 konsepsi vektor z3,dan nilai dari z3 konsepsi vektor z4. Pada suatu saat, sebagai hasil dari jumlah yang dibutuhkan adalah memperoleh vektor OP untuk menyusun huruf awal dari nilai z4,i. E. OP = Z1+ Z2 + Z3 + Z4 =Z – Z .

y z1 z2 O ᵡ z3 Gambar 1.8 Gambar 1.7 y

z4 y z2 z3 z1 z4 O ᵡ P s Halaman 11

Jika z dan ₁ z adalah dua dari Bilangan Kompleks (vektor – vektornya) pada gambar 1- ₂ 11. Buatlah grafiknya (a) 3z ₁ 2z₂ (b) _{2 1} 3 5 2 1 z z 

(a) Pada gambar 1-12 disamping, OA 3z₁adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 3 kali vektor z dan ₁

2 2z

OB adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 2 kali vektor z ₂ dan

Dan vektor OC OAOB3z ₁ 2z₂

y y

Gambar 1.9

Q z ₁ z ₁ x P x O ₂ 2 1 z 2 z R Gambar 1-11 Gambar 1-13 y C

3

z 

₁

2

z

₂ B A 2 2z  3z ₁ x O Gambar 1-12

(b) Persamaan vektor (Bilangan kompleks) ditunjukkan oleh OP pada gambar 1-13 diatas

7. Buktikan :

(a). z₁z₂ z₁  z₂ , (b). z₁ z₂ z₃z₁  z₂  z₃ , (c). z₁z₂z₁  z₂ dan gambarkanlah grafiknya

Misal z₁  x₁ iy₁,z₂  x₂ iy₂ dan kita harus menunjukkan bahwa (x₁x₂)2 (y₁ y₂)2 x₁2  y₁2  x₂2 y₂2

Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) 2 ( )( ) (x x  y  y x  y  x y x y x  y i.e. jika x₁x₂ y₁y₂ (x₁2 y₁2)(x₂2 y₂2) atau jika ( Kuadratkan Kedua persamaan lagi)

12 ₂2 ₁2 ₂2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 x 2x x y y y y x x x y y x y y x         Atau 12 ₂2 2 2 2 1 2 1 2 1 2x x y y x y y x

Tetapi ini sama untuk (x₁y₂ x₂y₁)20jika benar. Balikkan langkah –langkah yang reversibel. Buktikan hasilnya.

Grafis. Secara grafis hasil dari fakta bahwa z₁,z₂,z₁ z₂ ditunjukan panjang dari sisi – sisi sebuah segitiga (lihat gambar 1-14) dan jumlah panjang dari 2 sisi dari sebuah segitiga yang lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga.

y 2 z 1 z 2 1 z z  x 0 Gambar 1-14 2 z z ₃ z ₁ z₁ z₂ z₃

0 Gambar 1-15

(b). Penyelesaian. Bagian (a)

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 z z z (z z ) z z z z z z z           

Grafis. Hasil dari sebuah kesepakatan fakta geometris bahwa sebuah bidang garis lurus lebih pendek diantara 2 titik O dan P (lihat Gambar 1-15)

Halaman 12

TERJEMAHAN ANALYSIS VARIABEL COMPLEX

8. Misal diberikan vector posisi dari titik A( x₁, y₁) dan titik B(x₂, y₂) yang diwakili oleh z dan ₁ z berturut-turut.(a) gambar vector AB sebagai bilangan kompleks.(b) ₂ tentukan jarak antara titik A dan B

(a) Dari gambar 1.16 OAABOB



 



)

(

)

(

_{2 1 2 1} 1 1 2 2 1 2

y

y

i

x

x

AB

iy

x

iy

x

AB

z

z

OA

OB

AB

























z1 AB z2 (b) Jarak antara titik A dan B dapat di cari dengan rumus

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) (x x i y y x x y y AB        

9. misal z₁  x₁iy₁dan z₂ x₂ iy₂ yang diwakili dua vector non kolinear atau vector non parallel

Jika a dan b adalah bilangan real sedemikian sehingga az₁ bz₂ 0 dengan syarat 0

0 

 danb a

Diberikan kondisi az₁ bz₂ 0ekuivalen dengan a(x₁iy₁)b(x₂ iy₂)0 atau 0

)

( _{1 2}

2

1bx i ay by 

ax jadi ax₁ bx₂ 0 dan ay₁ by₂ 0 persamaan ini akan mempunyai solusi yang simultan a0,b0,jikay₁ x₁  y₂ x₂ .jika vector tersebut adalah vector non kolinear atau vector non parallel.

Pada gambar 1.17 OABC akan diberikan jajaran genjang dengan diagonal yang saling berpotongan pada titik P

Karena z₁ACz₂,AC z₂z₁ jadi APm(z₂ z₁)

Dengan syarat 0 m1 B

Karena OBz₁z₂,OPn(z₁z₂)dengan syarat 0 n1 tapi OAAPOP , z₁m(z₂ z₁)n( z ₁ z₂)atau 0 ) ( ) 1

( mn z₁ mn z₂  karenanya dari masalah 9 , , 0 1mn m n0 atau 2 1 , 2 1   n

m dan P adalah titik tengah dari kedua diagonal

11. menemukan persamaan untuk garis lurus yang melewati dua titik A(x₁,y₁)dan )

, (x₂ y₂ B

Misal z₁x₁iy₁ dan z₂ x₂ iy₂ adalah vektor-vektor dari masing-masing titik A dan B. Dari gambar 1.18 OP AP OA  atau z₁APz,APzz₁ OB AB OA  atau z₁ABz₂, 1 2 z z AB 

Karena AP dan AB segaris maka AP tAB atau zz₁t(z₂z₁)dimana t adalah bilangan real dan persaman umumnya adalah zz₁t(z₂z₁)atau z(1t)z₁tz₂ Dengan menggunakan z₁ x₁iy₁, z₂ x₂iy₂ dan zxiy, juga dapat ditulis

) ( _{2 1} 1 t x x x x   , yy₁ t(y₂y₁) atau 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x     

Ada dua bentuk persamaan ,yang pertama disebut persamaan parametrik garis dengan t adalah parameternya.yang kedua disebut persamaan garis bentuk standar.

Metode lain. Karena AP dan PB segaris dan m dan n adalah bilangan real maka, nPB

Penyelesaian n m nz mz z    1 2 _atau n m nx mx x    1 2 _, n m ny my y    1 2

Bentuk persamaan di atas disebut bentuk simetris.

Halaman 13

Dengan menggunakan = + , = + dan z =x + dapat di tuliskan x- = t ( - ) , y- = t ( - atau =

Dua yang pertma disebut persamaan parametric garis dan t adalah parameter yang ke dua di sebut persamaan dari garis yang pertama

mAP=nPB atau m ( z - ) = n ( - z )

Dapat di pecahkan z = atau x=

, y =

Dari persamaan di atas dapat di sebut bentuk simetris

12. Misal A ( 1, -2 ), B ( -3 , 4 ), C ( 2 , 2 ) menjadi kesimpulan dari segitiga ABC .Carilah panjang median dari C kesisi AB .

Vektor posisi A,B dan C di berikan oleh = 1 – 2i , = -3 + 4i dan = 2 + 2i masing masing .Kemudian digambar

AB = - = 2 + 2i - ( 1 – 2i ) = 1 + 4i BC = - = 2 + 2i – ( -3 + 4i ) =5 -2i AB = - = -3 + 4i –( 1 – 2i ) = -4 + 6i

AD = AB = ( -4 + 6i ) = -2 + 3i dimana D adalah titik tengah AB AC +CD = AD atau CD =AD – AC = -2 + 3i – ( 1 +4i ) =-3 – i Maka panjang rata rata dari CD adalah CD =



3,1



=√10

B y

C

D x

A

13. Tentukan persamaan untuk (a ) lingkran berjari 4 dengan pusat ( -2 , 1 ) , (b), elips dengan sumbu utama yang panjangnya 10dan titik fokusnya di (-3, 0 ) dan ( 3, 0 ).

a) dengan di notasikan atau di tuliskan dengan bilangan kompleks -2 + I .Jika z adalah setiap titik pada lingkaran (gambar 1.20) jarak dari z -2 + I adalah



z(2i)



=4

Kemudian 221=4 adalah persamaan yang di perlukan dalam bentuk

empat persegi panjang di berikan oleh (x2)i(y1) =4,i.e ( x+2)2 + (y -1)2=16 Y y y Z z x x

b) Jumlah jarak dari setiap z titik pada elips ( gambar 1-2) untuk focus harus sama=10 maka persamaannya adalah [ + 3] +[z-3]=10,dalam empat persegi panjang dapat di kurangi untuk /25 + /16=1(lihat soal 74)

Aksioma Dasar dari Bilangan Komleks

14. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0)

=(a,c) + (c,b) =(a,b)

Halaman 14

BILANGAN KOMPLEK

Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan ( , ) = ( , 0) + (0, ) = (1,0) + (1,0)

dimana (0,1)(0,1) = (0 ∗ 0 − 1 ∗ 1,0 ∗ 1 + 1 ∗ 0) = (−1,0) Dari identifikasi (1,0) dengan 1 dan (0,1) dengan , kita melihat bahwa ( , ) = +

15. Jika = ( , ), = ( , ₎ dan = ( _, ), membuktikan hukum persamaan distribusi = _, = + + Kita mendapatkan = _, = ( , ){( , ) + ( , )} = ( , )( , ) + ( , ) = { ( + ) − ( , ), ( , ) + ( + )} = − + − , + + + = ( − , + ) + ( − , + ) = ( , )( , ) + ( , )( , ) = _, + _, KOORDINAT POLAR DARI BILANGAN KOMPLEK 16. Nyatakan setiap bilangan komplek berikut dalam bentuk koordinat polar a) 2 + 2√3

Nilai penyelesaian atau mutlaknya, = 2 + 2√3 | = √4 + 12 = 4

Perluasan atau bukti, = 2 = = 60 = (radians)

Kemudian

2 + 2√3 = ( + sin ) = 4( 60 + sin 60 ) = 4(

3+ 3)

Hasilnya juga dapat ditulis sebagai 4 atau, menggunakan rumus euler’s, 4 y

2 + 2√3

Gambar 1 ∙ 22 4

x 2 b) −5 + 5 = |−5 +5 | = √25 + 25 = 5√2 = 180 − 45 = 135 = 3 (radians) Kemudian −5 + 5 = 5√2(cos 135 + 135 ) = 5√2 3 4 = 5√2 y 5√2 5 460 135 x -5 Gambar 1 ∙ 23 c) −√6 − √2 = −√6 − √2 = √6 + 2 = 2√2 = 180 + 30 = 210 = 7 (radians) Kemudian −√6 − √2 = 2√2(cos 210 + 210 ) = 2√2 7 4 = 2√2 y 210 −√6 x −√2 30 2√2

Gambar 1 ∙ 24 d) −3 = |−3 | = |0 − 3 |√0 − 9 = 3 = 270 = 3 (radians) Kemudian −3 = 3 cos 3 2+ 32 = 3 3 2 = 3 y 270 x -3 Gambar 1 ∙ 25

17. Grafikkan dari setiap bagian berikut:

( ) 6( 240 + 240 ), ( ) 4 , ( ) 2

( ) 6( 240 + 240 ) = 6 240 = 6 4

3= 6

Jika kita memulai dengan vektor OA yang besaranya adalah 6 dan yang mana arahnya adalah positif, kita dapat memperoleh OP dengan merotasikan OA berlawanan dengan arah jarum jam melalui sudut 2400. Secara umum sebanding dengan vektor yang diperoleh dengan merotasikan atau memutar vektor yang besaranya r dengan arah axis positif, bergerak berlawanan melalui sudut .

Halaman 15

Nama : Leo marwan NPM : 2091000210059 Jurusan: Matematika, 2009. B BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS y y y 2400 6 p x 4 o 2 A O A 1080 450 p b o x 2 P Gambar 1-26 Gambar. 1-27 Gambar. 1-28

(b) 4e3i/5 4



cos3_ /5isin3_ /5



4



cos1080 isinisin1080



Diwakili oleh pada gambar diatas.1

 

/4

















0





0





45 sin 45 cos 2 4 / sin 4 / cos 2 2 .    i    i  c _e i _{ }

Bilangan kompleks ini dapt dirpesentasikan oleh vector OP pada gambar. Diatas 1-28 vektor ini dapat diperolah dengan memulai dengan vector OA. Yang besarnya adalah 2 dan yang arahnya adalah bahwa dari sumbu X positif, dan

memutarnya berlawanan itu memulai sudut -450 (yang sama dengan memutar secara jarum jam melalui sudut 450).

18. seorang pria perjalanan 12 mil timur laut, 20 mil barat 300 dari utara, B y

dan kemudian 18 mil 600 selatan barat, menentukan (a) secara analitik 60o 20

dan (b) grafis seberapa jauh dan kearah mana ia adalah dari titik tolak 18 30o

nya. C 12 A

(a). Analitis. Biarakan o menjadi titik awal (lihat gambar 1-29). Maka perp- 45o x Indahan berturut-turut diwakili oleh vector OA,AB dan BC, hasil dari

ke- o

Tiga perpindahan diwakili oleh vector.



























0\ 0 0 0



4 /3 3 / 2 0 0 0 0 4 / 0 0 18 60 180 sin 60 180 cos 18 20 30 90 sin 30 90 cos 20 12 45 sin 45 cos 12 i i i e i BC e i AB e OA sekarang BC AB OA OC                    Kemudian



 



 





 

  









 





 





 









 













 







1





' 1 2 2 3 / 4 3 / 2 4 / 49 135 717 . cos / 19 2 6 cos 7 . 14 3 2 6 19 2 6 , 3 2 6 19 2 6 sin cos 3 2 6 19 2 6 2 / 3 18 2 / 3 20 2 / 2 12 2 / 1 18 2 / 1 20 2 / 2 12 240 sin 18 120 sin 20 45 sin 12 240 cos 18 120 cos 20 45 cos 12 18 20 12 o o o o o o o i i i r dari sekitar r Maka i i r Jika i i i e e e OC                                             

Sehingga orang itu adalah 14,7 mil dari titik tolaknya dalam arah 135o49,-90o= 45o49, barat utara.

(b) grafis , menggunakan unit yang nyaman panjang seperti PQ dalam ambar 1-29 yang mewakili 2 mil,

Dan busur derajat untuk mengukur sudut, membangun vektor OA,AB dan BA kemudian dengan menentkan jumlah unit di OC dan sudut yang membuat OC dengan sumbu V, kita memper oleh hasil perkiraan (a)

DE MOIVRE’S TEOREMA









 













 













 







 









 

















1 2 1 2



2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos . sin cos sin cos : , sin cos sin cos . 19                                                    i r r i r r i r i r z z c i r r z z b i r r z z a n Membuktika i r z dan i r z if Halaman 16 (b)















2 2



2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 sin cos sin cos sin cos sin cos         i i i r i r z z      



 



           2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos 2 sin cos cos sin sin sin cos cos           i r r





_{1 2}





_{1 2}





2 1 _{cos   sin  }  i r r

Pada syarat-syarat rumus Euler ei cos isin   , hasilnya menyatakan bahwa jika 1 2 2 2 1 1   i i e r z dan e r z   maka 1 2 2 1 2 1    rr ei z z dan 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1        _i i i e r r e r e r z z .

20. Buktikan teorema De Moivre’s :



cos isin



ndimana n adalah bilangan bulat positif.

Kita gunakan prinsip induksi matematika. Menganggap bahwa hasilnya benar untuk bilangan bulat positif khusus k , yaitu menganggap



cos isin



k cosk isink kemudian kalikan kedua sisi dengan 

 sin

cos i , kita dapatkan



cos isin



k 



cosk isink

 

cos isin



cos



k1



 isin



k1



 menurut soal no.19. Jika benar untuk n k maka benar untuk n k1

Tetapi sejak hasilnya jelas benar untuk n1, maka pasti benar untuk 2

1 1  

n dan n213, dst., dan pasti benar untuk semua bilangan bulat positif.

21. Buktikan identitas : (a) cos5 16cos5 20cos3 5cos (b)











      2 , , 0 , 1 cos 12 cos 16 sin 5 sin 4 2       if

Kita menggunakan rumus Binomial





 

 

 

n n r r n r n n n n n n b b a b a b a a b a   ₁ 1  ₂ 2 2 ...  ... Dimana koefisien

 





! ! ! r n r n n r 

 , juga dinyatakan dengan _nC , yang disebut _r

koefisien binomial. Bilangan n!atau n faktorial, didefinisikan sebagai hasil n

... 3 2

1  dan kita definisikan 0 ! 1

Dari soal no.20, dengan n5, dengan rumus binomial,





5 sin cos 5 sin 5 cos  i    i 

cos5 

 

₁5 cos4





isin





 

₂5 cos3





isin



2 

 

5₃ cos2





isin



3 

 

5₄



cos

 

isin



4 



isin



5 cos5 5icos4 sin 10cos3 sin2 10icos2sin3  4 5 sin sin cos 5 i  = 5 3 2  4 sin cos 5 sin cos 10 cos  

Maka (a)  5 3 2   4 sin cos 5 sin cos 10 cos 5 cos   

cos5 10cos3



1cos2



5cos



1cos2



2 16cos5 20cos3 5cos

   dan (b)  4  2 3 5 sin sin cos 10 sin cos 5 5 sin    atau       4 2 2 4 sin sin cos 10 cos 5 sin 5 sin   

5cos4 10cos2



1cos2

 

 1cos2



2 1 cos 12 cos 16 4  2    

dengan sin 0, yaitu 0,,2,...

22. Tunjukkan bahwa (a) ,

2 cos    i i e e _   (b) i e ei i 2 sin      

Kita mempunyai (1) eie cos isin, (2)   sin cos i ei  

Halaman 17

(a) Tambahkan (1) dan (2) + = 2 cos atau cos =

(b) Kurangkan (2) dari (1) − = 2 sin atau sin =

23. Buktikan identitas (a) = sin − sin 3 ,(b) = cos 4 + cos 2 +

(a) = =

= − − 3 + 3 − = − = sin − sin 3 (b) = = = + 4 + 6 + 4 + = + 4 + 6 + 4 + = − + = cos 4 − cos 2 +

24. Diberikan bilangan komplek (vektor) z, mengartikan secara geometri

dimana bilangan real.

Misal = menggambarkan garis vector di gambar 1-30.

Kemudian = . = ( )_{Adalah vector yang diwakili oleh OB.}

Maka perkalian vector oleh sebesar putaran yang berlawanan dari sudut . Gambar 1-30