AK3283. (Bagian II) AK3283 MODEL RISIKO I. Distribusi Kerugian Kontinu. (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar. Sifat Ekor Severitas Klaim

(1)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis

AK3283

MODEL RISIKO I

Distribusi Kerugian Kontinu

(2)

Pengantar

Nilai atau severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif, seperti distribusi eksponensial, gamma, Pareto, Weibull, dan lognormal.

(3)

Akan dibahas sifat-sifat yang menyertai distribusi severitas klaim, khususnya sifat ekor (ketebalan ekor, kuantil, CTE). Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat khusus tersebut adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).

(4)

Sifat Ekor Severitas Klaim

Severitas klaim yang besar sangat krusial bagi perusahaaan asuransi, sehingga perilaku dari ekor (kanan) distribusi severitas klaim harus mendapatkan perhatian khusus. Distribusi severitas klaim yang mempunyai peluang tinggi akan terjadinya klaim besar dikatakan berekor tebal.

(5)

Indikator 1: Keberadaan Momen

Suatu distribusi dengan kriteria tertentu dapat diklasifikasikan sebagai distribusi berekor tebal. Misalnya, suatu distribusi mempunyai ekor tebal apabila tidak semua momennya ada. Hal ini karena fungsi peluangnya, f (x), turun secara perlahan yang mengakibatkan integral

Z ∞

0

xrf(x) dx tidak konvergen untuk r tertentu.

(6)

Sebagai contoh, untuk kerugian acak X yang berdistribusi Pareto(α, θ) dengan fungsi peluang

fX(x) =

α θα

(x + 1)α+1, x> 0, α, θ > 0,

dapat dibuktikan bahwa

• R∞ 0 x r_· α θα (x+1)α+1dx = ∞ untuk r ≥ α, • R∞ 0 x r_· α θα (x+1)α+1dx = θr_{Γ(r+1) Γ(α−r)} Γ(α) < ∞ untuk 0 < r < α.

(7)

Contoh lain yaitu misalkan X ∼ Gamma(τ, λ) dengan fungsi peluang fX(x) = λτ Γ(τ )x τ −1_e−λx_, _x_{> 0,} _{τ, λ > 0,} maka Z ∞ 0 xr· λ τ Γ(τ )x τ −1_e−λx dx = Γ(τ + r) λr_{Γ(τ )} < ∞

untuk semua r > 0. Dalam hal ini, distribusi gamma dikatakan berekor tipis.

(8)

Indikator 2: Limit Rasio

Ekor dari dua distribusi dapat dibandingkan dengan menghitung limit dari rasio kedua fungsi kesintasannya:

lim

x→∞

SX1(x) SX2(x)

. (*)

Jika limit tersebut ∞, maka distribusi dari X1dikatakan

(9)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Karena SXi(∞) = 0 dan S0_X i(x) = d dx1 − FXi(x) = −fXi(x),

limit (*) dapat dihitung menggunakan aturan L’Hˆopital, yaitu lim x→∞ SX1(x) SX2(x) = lim x→∞ S_X0 1(x) S_X0 2(x) = lim x→∞ fX1(x) fX2(x) .

(10)

Contohnya, misalkan X1 ∼ Pareto(α, θ) dan X2∼ Gamma(τ, λ),

maka lim x→∞ fX1(x) fX2(x) = lim x→∞ α θα (x+1)α+1 λτ Γ(τ )xτ −1e−λx = α θ α_{Γ(τ )} λτ x→∞lim eλx (x + 1)α+1_xτ −1.

Karena eλxlebih cepat menuju ∞, rasio f_fX1(x)

X2(x) menuju ∞. Jadi, distribusi Pareto mempunyai ekor yang lebih tebal daripada distribusi gamma.

(11)

Kuantil

Kita juga dapat mengukur severitas klaim yang besar

menggunakan kuantil pada ekor kanan. Kuantil-p dari severitas klaim X adalah suatu nilai xpyang memenuhi

P(X ≤ xp) = FX(xp) = p,

dengan p ∈ (0, 1) yang disebut tingkat kepercayaan. Jika invers F_X−1dari fungsi distribusi FXada, maka

(12)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis p 1 - p xp x fX(x) xp x p FX(x)

(13)

Sebagai contoh, akan dibandingkan kuantil dari distribusi eksponensial dan Pareto yang mempunyai mean sama. Misalkan X ∼ Eksp(λ), maka kuantil xpdari X memenuhi

P(X ≤ xp) = 1 − e−λ xp = p

dan diperoleh

xp= −

ln(1 − p)

λ .

Jika λ = 1, maka E(X) = 1 = Var(X). Kemudian, jika p = 0.95, maka

(14)

Selanjutnya, misalkan Y ∼ Pareto(α, θ), maka kuantil ypdari Y

memenuhi P(Y ≤ yp) = 1 − θ yp+ θ α = p dan diperoleh yp= θ(1 − p)−1/α− 1. Jika α = 3 dan θ = 2, E(Y) = θ Γ(1+1) Γ(α−1)_Γ(α) = _α−1θ = 1, E(Y2) = θ2Γ(2+1) Γ(α−2)_Γ(α) = _{(α−1)(α−2)}2θ2 = 4 =⇒ Var(Y) = 3.

Kemudian, jika p = 0.95, maka

(15)

Hasil pada contoh di atas dapat dirangkum pada tabel berikut.

Tabel 1:

Distribusi Eksponensial Pareto Parameter λ = 1 α = 3, θ = 2

Mean 1 1

Variansi 1 3

Kuantil-0.95 2.9957 3.4288

Dengan mean yang sama, distribusi Pareto mempunyai nilai kuantil-0.95 yang lebih besar (dan variansi yang lebih besar). Jadi, distribusi Pareto mempunyai ekor yang lebih tebal daripada distribusi eksponensial.

(16)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Eksp(1) Pareto(3, 2) xpyp 0 1 2 4 5 0.5 1.0 1.5 xp yp 4 5 0.05 0.10 p= 0.95

(17)

Conditional Tail Expectation

Nilai kuantil xptidak memberikan informasi mengenai severitas

klaim yang melebihi xp. Untuk itu, kita dapat menghitung

ekspektasi dari severitas klaim yang melebihi xp, yaitu

E(X|X > xp)

yang disebut Conditional Tail Expectation dan dinotasikan dengan CTEp(X).

(18)

Latihan

Bandingkan nilai CTE dari distribusi eksponensial dan Pareto (dengan nilai parameter seperti pada Tabel 1) pada tingkat kepercayaan 0.95.

(19)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Solusi:

Untuk X ∼ Eksp(λ), diperoleh

CTEp(X) = xp+

1 λ.

Jika λ = 1 dan p = 0.95, CTE0.95(X) = 2.9957 + 1 = 3.9957.

Untuk Y ∼ Pareto(α, θ), diperoleh CTEp(Y) = yp+

θ

α − 1(1 − p)

−1/α_.

Jika α = 3 dan θ = 2,

(20)

Modifikasi Cakupan Polis

Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limitsdan coinsurance.