Aljabar. Materi Kuliah Aljabar Subiono c Copyright 2013

Aljabar

Materi Kuliah Aljabar 2013

Subiono

subiono2008@matematika.its.ac.id

c

Copyright 2013

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember,

Surabaya

Daftar Isi

1

Pengertian Grup

2

Subgrup

3

Koset

4

Teorema Isomorpisma

5

Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅

6

Grup Permutasi

7

Internal Direct Product dan Struktur Grup

8

Ring, Daerah Integral dan Lapangan

9

Ring Polinomial

10

Faktorisasi Tunggal

Abstrak

Abstrak

Dalam catatan kuliah ini diberikan beberapa materi dari mata

kuliah aljabar untuk program sarjana S2 jurusan matematika

FMIPA-ITS. Materi kuliah berupa perencanaan yang disajikan agar

mempermudah peserta ajar dalam proses belajar mengajar. Peserta

ajar diharapkan mempersiapkan diri melalui pemahaman yang

dipunyai sebelumnya dan menambah kekurangan pemahaman

pengetahuannya yang dirasa kurang saat proses belajar mengajar di

kelas. Juga agar mempermudah proses belajar mengajar digunakan

alat bantu perangkat lunak SageMath versi 5.0.

Rencana Materi Kuliah

Pengertian suatu grup, contoh-contoh dan sifat-sifat.

Pengertian Subgrup, contoh-contoh dan sifat-sifat.

Pengertian koset kiri dan koset kanan, grup faktor (grup

kuasi) dan contoh-contoh.

Grup permutasi contoh-contoh dan sifat-sifat.

Homomorpisma, Isomorpisma grup, contoh-contoh dan sifat

Tindakan suatu grup contoh-contoh dan sifat-sifat.

Internal Direct Product Group dan Struktur Group.

Ring, Field, Daerah Integral dan Polinomial atas Ring.

Daerah Ideal Utama dan Daerah Euclid.

Daerah Faktorisasi Tunggal.

Grup

Suatu grup adalah suatu himpunan G 6= ∅ bersama-sama dengan

suatu operasi biner ∗ : G × G → G yang biasanya dinotasikan oleh

a ∗ b sedemikian hingga sifat-sifat berikut dipenuhi:

1.

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) untuk semua a, b, c ∈ G .

2.

Ada e ∈ G , sedemikian hingga e ∗ g = g = g ∗ e untuk semua

g ∈ G .

3.

Untuk setiap g ∈ G ada g

−1

yang memenuhi

g ∗ g

−1

_{= e = g}

−1

_{∗ g .}

Tambahan pula, bila masih memenuhi a ∗ b = b ∗ a untuk semua

a, b ∈ G , maka grup G dinamakan grup abelian/komutatif.

Komentar dan diskusi?

Contoh-Contoh

1.

Himpunan-himpunan bilangan bulat Z, bilangan rasional Q,

bilangan riil R dan bilangan kompleks C bersama-sama

operasi biner penambahan merupakan grup komutatif.

2.

Himpunan bilangan Q − {0} dengan operasi biner perkalian

merupakan grup abelian.

3.

Himpunan GL(n, R) matriks nonsingular n × n dengan operasi

perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif.

4.

Himpunan matriks n × n dengan determinan sama dengan 1

(SL(n, R)) bersama-sama dengan operasi biner perkalian

matriks merupakan grup tak-komutatif.

5.

Misalkan S = {1, 2, . . . n} dan S

n

adalah himpunan dari

semua fungsi satu-satu pada f : S → S. Maka S

n

dengan

operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini

dinamakan suatu grup permutasi.

Lanjutan Contoh-Contoh

6.

Diberikan grup G = {e, a, b, c} dengan operasi biner diberikan

oleh tabel berikut

∗

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

Dari tabel diatas, terlihat bahwa G adalah grup komutatif

dengan elemen netral e. Setiap elemen punya invers:

a

−1

_{= a, b}

−1

_{= b dan c}

−1

_{= c.}

Contoh 7

Diberikan himpunan Z

6

=

n

e

2πn

| n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

o

adalah

himpunan bilangan kompleks denga |z| = 1 untuk semua z ∈ Z

6

.

Dalam gambar berikut z ∈ Z

6

digambarkan sebagai titik berwarna

merah.

1

−1

b b b b b b 2π 6

Dengan operasi perkalian Z

6

adalah grup komutatif dengan elemen

netral 1.

Lanjutan Contoh

8.

Himpunan Z

n

bilangan bulat modulo n dengan operasi biner penambahan

merupkan grup komutatif.

9.

Himpunan Z

p

− {[0]} bilangan bulat modulo p dengan p bilangan prima

bersama-sama dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian.

10.

Himpunan

H

=



1

a

0

1









a

_{∈ Z}



dengan operasi perkalian matriks merupakan suatu grup.

11.

Himpunan Z

n

₌

{(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

| a

i

∈ Z} dengan operasi biner tambah

didefinisikan oleh

(a

1

, a

2

, . . . , a

n

) + (b

1

, b

2

, . . . , b

n

)

def

= (a

1

+ b

1

, a

2

+ b

2

, . . . , a

n

+ b

n

) adalah

suatu grup.

12.

Himpunan

_{{1, −1, i, −i} dengan i =}

√

_{−1 dan himpunan}

{z ∈ C | |z| = 1} dengan operasi kali adalah grup.

Beberapa Sifat Grup

Catatan : Untuk sederhananya penulisan a

_{∗ b cukup ditulis ab, penulisan suatu}

grup G dengan operasi biner

∗ biasanya ditulis (G , ∗) cukup ditulis grup G .

Beberapa sifat suatu grup

Penghapusan kurung, dikarenakan operasi biner

_{∗ adalah assosiatif, maka}

penulisan (a

_{∗ b) ∗ (c ∗ d) = ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d ditulis}

a

_{∗ b ∗ c ∗ d. Misalkan n > 3 dan g, h ∈ G dengan}

g

= (g

1

· · · g

i

)(g

i+1

· · · g

n

), h = (g

1

· · · g

j

)(g

j+1

· · · g

n

).

Tanpa mengurangi generalitas, misalkan i

_{≤ j untuk i = j jelas g = h. Jadi,}

misalkan i < j, maka kurung dapat disusun sebagai berikut

g

=

(g

1

· · · g

i

) ((g

i+1

· · · g

j

)(g

j+1

· · · g

n

)) ,

h

=

((g

1

· · · g

i

)(g

i+1

· · · g

j

)) (g

j+1

· · · g

n

).

Misalkan A = (g

1

· · · g

i

), B = (g

i+1

· · · g

j

), C = (g

j+1

· · · g

n

), didapat

g

= A(BC ) = (AB)C = h.

Sifat

Sifat

Misalkan G suatu grup, maka :

(1.)

Elemen netral e ∈ G adalah tunggal.

(2.)

Untuk setiap a ∈ G invers dari a yaitu a

−1

_{= b adalah}

tunggal.

Bukti

(1.) Misalkan e

1

juga elemen netral di G , maka e

1

= e

1

e = e. Jadi

elemen netral tunggal.

(2.) Misalkan b

1

juga invers dari a, maka ab = ba = e dan

ab

1

= b

1

a = e. Didapat b = eb = (b

1

a)b = b

1

(ab) = b

1

e = b

1

.

Lanjutan Sifat

Sifat

Misalkan G suatu grup:

(3.)

Bila a, b ∈ G maka ada dengan tunggal x dan y sehingga

ax = b dan ya = b.

(4.)

Bila gx = gy , maka x = y untuk g , x, y ∈ G .

(5.)

Bila xg = yg , maka x = y untuk g , x, y ∈ G .

(6.)

Bila a, b ∈ G , maka berlaku (ab)

−1

= b

−1

a

−1

(7.)

Untuk semua g ∈ G , berlaku (g

−1

)

−1

= g .

Bukti Sifat (3.)-(7.)

Bukti

(3.)

Bila ax

0

= b, maka a

−1

(ax

0

) = a

−1

b. Sehingga didapat x

0

= a

−1

b.

Sebaliknya bila x = a

−1

_{b, maka ax = a(a}

−1

_{b) atau ax = b. Jadi}

persamaan ax = b mempunyai penyelesaian tunggal x = a

−1

b. Dengan

cara serupa bisa ditunjukkan bahwa ya = b mempunyai penyelesaian

tunggal y = ba

−1

.

(4.)

Dari persamaan gx = gy kedua ruas kalikan dari kiri dengan g

−1

, didapat

x

= y.

(5.)

Dari persamaan xg = yg kedua ruas kalikan dari kanan dengan g

−1

,

didapat x = y.

(6.)

Dari persamaan (ab)

−1

(ab) = e kedua ruas berturut-turut kalikan dari

kanan dengan b

−1

_{dan a}

−1

_{, didapat (ab)}

−1

_{= b}

−1

_a

−1

_.

Order Grup dan Order Elemen

Misalkan G suatu grup, order dari G ditulis |G | menyatakan

banyaknya elemen dari himpunan G . Sebelum diberikan pengertian

order dari suatu elemen g ∈ G , diberikan lebih dulu pengertian g

n

dimana nZ sebagaimana berikut ini:

1.

g

0 def

= e, diman e elemen netral.

2.

g

n def

_{= ggg . . . g}

|

{z

}

n

, dimana n > 0.

3.

g

n+1 def

_{= g}

n

_{g , dimana n > 0.}

4.

g

n def

= g

−1

g

−1

g

−1

. . . g

−1

|

{z

}

−n

, dimana n < 0.

Sifat

Selanjutnya dapat ditunjukkan: (1.) gm+n_{= g}m_gn_{dan (2.) (g}m₎n_{= g}mn _untuk

semua m, n ∈ Z. Bukti

(1.) Dengan induksi pada n. Misalkan n taknegatif dan tanpa mengurangi kegeneralitasan, misalkan m + n ≥ 0 , didapat gm+0_{= g}m_{e= g}m_g0_{dan dengan}

menggunakan hipotesis induksi didapat

gm+(n+1)= g(m+n)+1_{= g}m+n_{g = g}m_gn_{g= g}m_gn+1_.

Dari hasil ini didapat gm−n_gn_{= g}(m−n)+n_{= g}m_{, dengan demikian}

gm−n= gm(gn)−1= gmg−n, hal ini nenunjukkan bahwa (1.) dipenuhi juga untuk n negatif.

(2.) Misalkan n taknegatif, sebagaimana penggunaan induksi pada n yang dilakukan sebelumnya didapat (gm₎0_{= e = g}0m_dan

(gm₎n+1_{= (g}m₎n_gm_{= g}mn_gm_{= g}mn+m_{= g}m(n+1)_.

Order Elemen dan Beberapa Sifat

Order Elemen

Misalkan G suatu grup dan g ∈ G . Order dari g dinotasikan

dengan |g | yang menyatakan bilangan bulat positip terkecil n

sehingga memenuhi g

n

_{= e dengan e adalah elemen netral. Bila}

tidak ada n yang demikian maka |g | = +∞.

Sifat

1.

Bila |g | = n, maka g

m

= e bila dan hanya bila m kelipatan

dari n.

2.

Bila |g | = n dan h = g

m

_{, maka |h| =}

n

fpb(m, n)

.

Bukti Sifat

Bukti

1. Bila m = nk, maka gm_{= g}nk_{= (g}n₎k_{= e}k_{= e. Selanjutnya misalkan g}m_{= e}

dan andaikan m = nk + r dengan 0 < r < n, maka e= gm= gnk+r= (gn)kgr= ekgr= gr,

kontradiksi dengan kenyataan |g| = n. Jadi haruslah r = 0 atau m = nk.

2. Dipunyai gm_{= h, g}n_{= e. Misalkan d = fpb(m, n), maka m = dm}

1, n = dn1,

dimana fpb(m1, n1) = 1. Jadi

hn1_{= g}mn1_{= g}dm1n1_{= g}dn1m1_{= g}nm1_{= e}m1_{= e.} Berikutnya misalkan hk_{= e, maka didapat g}mk_{= e, oleh karena itu mk}

merupakan kelipatan dari n. Jadi dm1kmerupakan kelipatan dari dn1atau m1k

kelipatan dari n1. Karena m1dan n1prima relatif, maka k merupakan kelipatan

dari n1. Berdasarkan teorema sebelumnya, maka |h| = n1atau

|h| = n d=

n fpb(m, n).

Beberapa Catatan Order Elemen

Catatan

1.

Bila g ∈ G dan |g | = +∞, maka g

n

_{, n = 0, 1, 2, 3, . . .}

semuanya adalah berbeda, bila tidak maka ada m dan n

dengan m 6= n, misalkan dalam hal ini m > n sehingga

g

m

_{= g}

n

_{. Didapat g}

m−n

_{= e. Jadi ada k = m − n sehingga}

g

k

_{= e, hal ini bertentangan dengan |g | = +∞.}

2.

Bila |g | = n, maka e, g , g

2

_{, g}

3

_{, . . . , g}

n₋₁

_{semuanya berbeda}

satu dengan yang lainnya, bila tidak demikian maka ada

g

t

_{= e dengan 0 < t < n, hal ini bertentangan dengan}

kenyataan bahwa n bilangan bulat positip terkecil yang

memenuhi g

n

= e.

Subgrup

Subgrup

Misalkan G suatu grup dan H ⊆ G dengan H 6= ∅, dikatakan

bahwa H merupakan subgrup dari G bila H sendiri merupakan

grup dengan operasi biner yang sama dengan di G . Hal ini

dinotasikan oleh H < G .

Cara mudah menentukan himpunan H adalah subgrup dari grup G

adalah dengan sifat sebagai berikut:

Sifat

Misalkan G adalah suatu grup. Himpunan H adalah subgrup dari

G bila dan hanya bila untuk sebarang a, b ∈ H maka

Bukti Sifat Subgrup

Bukti

Misalkan H < G , didapat bila a, b ∈ H maka b

−1

_{∈ H. Karena di}

H berlaku juga operasi biner maka ab

−1

∈ H. Selanjutnya misalkan

berlaku untuk sebarang a, b ∈ H berakibat ab

−1

∈ H, akan

ditunjukkan H < G . Misalkan bahwa a ∈ H, maka dengan hipotisis

didapat e = aa

−1

∈ H. Jadi e ∈ H dan misalkan g sebarang di H,

maka g

−1

_{= eg}

−1

_{∈ H. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa di H}

berlaku suatu operasi biner yaitu ab ∈ H untuk semua a, b ∈ H.

Misalkan a, b ∈ H berdasarkan hasil sebelumnya maka b

−1

juga di

H. Berdasarkan hipotisis maka ab = a(b

−1

₎

−1

_{∈ H. Sifat}

assosiatif di H diwarisi dari G (sebab H ⊆ G ).

Contoh-Contoh Subgrup

1.

Bila G suatu grup, maka E = {e} trivial subgrup dari G .

Sedangkan subgrup dari G yang selain E dan G sendiri dinamakan

subgrup sejati (proper subgrup).

2.

Himpunan matriks SL(n, R) dengan operasi biner perkalian matriks

adalah subgrup dari grup GL(n, R).

3.

Himpunan matriks SL(n, R) dengan operasi biner perkalian matriks

adalah subgrup dari grup GL(n, R).

4.

Himpunan H = {

1

2m

| m ∈ Z} dengan operasi perkalian merupakan

subgrup dari grup Q

∗

_{= Q − {0}.}

5.

Bila G suatu grup dan senter dari G didefinisikan oleh

Z (G ) = {a ∈ G | ab = ba, untuk semua b ∈ G }.

Z (G ) adalah subgrup dari G .

Sifat Subgrup

Sifat Subgrup

Bila {H

α

} adalah koleksi dari subgrup dari G , maka

T

α

H

α

juga

merupakan subgrup dari G .

Bukti

Misalkan H =

T

α

H

α

, jelas bahwa H 6= ∅ sebab e ∈ H. Juga bila

a, b ∈ H, maka a, b ∈ H

α

untuk setiap α hal ini berakibat

ab

−1

∈ H

α

untuk setiap α. Maka dari itu ab

−1

juga di H. Terlihat

bahwa bila a, b ∈ H berakibat bahwa ab

−1

_{∈ H, maka dari itu H}

adalah subgrup dari G .

Generator (Pembangun)

Misalkan G suatu grup dan S adalah himpunan bagian dari G .

Notasi hSi menyatakan semua subgrup dari G yang memuat S.

Jadi hSi itu sendiri merupakan subgrup dari G yang memuat S.

Dalam hal ini

hSi =

\

S⊂Hα

H

α

dan dinamakan subgrup yang dibangun oleh S, sedangkan S

dinamakan generator dari hSi. Grup hSi ini adalah subgrup terkecil

dari G yang memuat S, yaitu bila H adalah suatu subgrup dari G

yang memuat S, maka H harus juga memuat hSi. Khususnya bila

S = {a}, maka hSi = hai dinamakan subgrup siklik yang dibangun

oleh elemen a.

Beberapa Sifat

Sifat

Diberikan suatu grup G 1 _{Bila S ⊂ G , maka} < S > = {as1 1 . . . a sm m| ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1}, 2 _{< a > = {a}k | k ∈ Z} Bukti 1 _{Tulis H = {a}s1 1 . . . a sm

m | ai∈ S, si∈ Z, m ≥ 1} dan misalkan sebarang

a= as1 1 . . . a sm m, b = b₁p1. . . bpnn ∈ H, didapat ab−1= as1 1 . . . a sm

mb−pn n. . . b₁−p1∈ H. Jadi H < G dan untuk sebarang a ∈ S,

maka a = a1_{∈ H yaitu S ⊂ H. Akibatnya < S >⊂ H. Disamping itu,}

S_{⊂< S > dan < S > adalah subgrup dari G , maka semua hasil kali dan invers} elemen-elemen dari S berada di < S >. Jadi H ⊂< S >. Didapat H =< S >. 2 _{Bila S = {a}, maka H dalam (1) menjadi H = {a}k_{|k ∈ Z} dan didapat}

< a > = {ak

|k ∈ Z}. Bila operasi biner adalah tambah, maka

< S > = {s1a1+ . . . + smam| ai∈ S, si∈ Z, m ≥ 1} dan < a > = {ka|k ∈ Z}.

Contoh-Contoh

Contoh

1 _{Diberikan S = {2, 3} ⊂ Z dengan operasi biner tambah subgrup dari Z yang} dibagun oleh S adalah hSi = {2s1+ 3s2|s1, s2∈ Z}. Karena 1 = 2(−1) + 3(1),

maka 1 ∈ hSi. Jadi untuk setiap n ∈ Z, n.1 ∈ hSi. hal ini menunjukkan bahwa hSi = Z atau hSi = h1i.

2 _{Diberikan S = {4, 6} ⊂ Z dengan operasi biner tambah subgrup dari Z yang} dibagun oleh S adalah hSi = {4s1+ 6s2|s1, s2∈ Z} = {2(2s1+ 3s2)|s1, s2∈ Z}.

Berdasarkan hasil (1), didapat hSi = {2n|n ∈ Z} = 2Z atau < S >=< 2 >. Jadi < S > adalah himpunan bilangan bulat genap. 3 _{Himpunan bilangan bulat modulo n, Zn=1.}

4 _{Untuk setiap k ∈ Z dengan k dan n prima relatif, himpunan bilangan bulat} modulo n, Zn=

D kE.

5 _{Diberikan G suatu grup dan x ∈ G . Sentralisir dari x didefinisikan oleh} C(x) = {a ∈ G | ax = xa} adalah subgrup dari G dan C (x) = G bila dan hanya bila x ∈ Z (G ). Perhatikan juga C (x) selalu memuat subgrup hxi.

Lanjutan Contoh-Contoh

Contoh

6. Bila G suatu grup dan a, b ∈ G , maka [a, b] = a−1b−1abdinamkankomutator

dari a dan b. Subgrup H yang dibangun oleh semua elemen komutator dari G dinamakansubgrup komutator, juga ditulis sebagai [G , G ] = H.

7. Suatu cara yang mudah untuk mendeskripsikan grup melalui generator dan hubungannya yang diberikan. Misalnya grupquaternionadalah grup dengan 8 elemen. Ada dua generator a dan b dengan hubungan :

a4= e; b2_{= a}4_{; b}−1_{ab= a}−1_{. Grup quarternion ini adalah}

Q_{= {e, a, a}2, a3, b, ab, a2b, a3b_}.

8. Grup dihedraldengan order 2n, dinotasikan oleh D2nadalah grup yang dibangun

oleh x dan y dengan hubungan : xn_{= e; y}2_{= e; yxy}−1_{= x}−1_{. Grup D} 2n

diberikan oleh

D2n= {ex, x2, . . . , xn−1, y , yx, yx2, . . . , yxn−1}.

Sifat

Sifat

Setiap grup siklik G adalah komutatif.

Bukti

Bila G =< a >= {a

k

|k ∈ Z}, maka untuk setiap

x = a

m

_{, y = a}

n

_{∈< a > didapat}

xy = a

m

_a

n

_{= a}

m+n

_{= a}

n+m

_{= a}

n

_a

m

_{= yx. Jadi G adalah grup}

komutatif.

Sifat ini tidak berlaku sebaliknya. Grup-grup yang komutatif tetapi

tidak siklik adalah Q, R, C dengan operasi biner penambahan juga

Q

∗

= Q − {0}, R

∗

= R − {0} dan C

∗

= C − {0} dengan operasi

biner perkalian.

Sifat Kesiklikan Subgrup

Sifat

Setiap subgrup dari suatu grup siklik G =

hai adalah siklik.

Bukti

Misalkan H < G , bila H =

_{{e} jelas H siklik. Bila H 6= {e}, maka ada bilangan}

bulat s

6= 0 sehingga a

s

∈ H dan juga (a

s

₎

−1

_{= a}

−s

_{∈ H. Misalkan}

T

=

_{{t ∈ Z}

+

|a

t

∈ H} dengan sifat keterurutan dari bilangan bulat Z

+

_{, maka T}

mempunyai elemen terkecil t

0

. Jadi a

t0

∈ H. Misalkan b ∈

a

t0

, maka untuk

suatu m

_{∈ Z, b = (a}

t0

₎

m

_{∈ H . Terlihat bahwa}

_a

t0

_{⊂ H. Sebaliknya, misalkan}

h

_{∈ H, maka ada bilangan bulat k sehingga h = a}

k

. Selanjutnya dengan

menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat k = t

0

q

+ r

untuk beberapa q, r

_{∈ Z dengan 0 ≤ r < t}

0

. Didapat a

r

= a

k

(a

t0

)

−q

∈ H.

Bilangan r = 0, sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari t

0

,

yaitu r < t

0

yang memenuhi a

r

∈ H. Hal ini bertentangan dengan a

t0

∈ H. Jadi

h

= a

k

_{= (a}

t0

₎

q

_∈

_a

t0

_{. Terlihat bahwa H ⊂ a}

t0

_{. Sehingga didapat}

H

=

a

t0

_{. Jadi H siklik.}

Sifat Kesiklikan Grup

Sifat

Misalkan G = hai adalah grup siklik dan |G | = n, maka G = {e, a, a2_{, . . . , a}n−1_}

dengan an_{= e.}

Bukti

Misalkan G = {ak

|k ∈ Z}, karena |G | = n (berhingga), maka ak_{= a}h_{atau a}k−h_{= e}

untuk beberapa h < k dengan h, k ∈ Z. Misalkan T = {t ∈ Z+_|at

= e} dan l adalah elemen terkecil di T . Jelas bahwa {e, a, a2_{, . . . , a}l−1_{} ⊂ G . Dalam hal ini dapat}

ditunjukkan bahwa semua elemen e, a, a2_{, . . . , a}l−1 _{adalah berbeda. Selanjutnya akan}

ditunjukkan bahwa G ⊂ {e, a, a2_{, . . . , a}l−1_{}. Misalkan g ∈ G , maka g = a}m_untuk

suatu m ∈ Z. Dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat m = lq + r untuk beberapa q, r ∈ Z dengan 0 ≤ r < l. Didapat am_{= (a}l₎q_ar _{= e}q_ar _{= a}r _{∈ {e, a, a}2_{, . . . , a}l−1_{}. Jadi G ⊂ {e, a, a}2_{, . . . , a}l−1_}.

Karena |G | = n, maka n = l dan an_{= a}l_{= e.}

Catatan: Dari hasil sifat ini, terlihat bahwa elemen pembangun G yaitu a mempunyai sifat an

= e atau order dari elemen a adalah n yang ditulis |a| = n (sebab n bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi an_{= e).}

Contoh

Contoh

Dalam GL(2, R), bila

A

=



0

1

−1 0



dan B

=



1

1

0

1



, maka

A

2

=



−1

0

0

₋₁



, A

3

=



0

₋₁

1

0



, A

4

=



1

0

0

1



dan

B

2

=



1

2

0

1



, B

3

=



1

3

0

1



, . . . , B

n

=



1

n

0

1



.

Sehingga didapat

_{hAi = {I , A, A}

2

_{, A}

3

} < GL(2, R) dan

hBi =

 

1

k

0

1









k

_{∈ Z}



< GL(2, R).

Dalam hal ini order elemen A dan B adalah

_{|A| = 4 dan |B| = +∞.}

Homomorpisma Grup

Misalkan G dan H adalah grup dan f : G

_{→ H adalah suatu fungsi. Fungsi f}

dinamakan suatu homomorpisma grup bila f (ab) = f (a)f (b) untuk semua

a, b

_{∈ G . Suatu homomorpisma grup yang bijektif dinamakan isomorpisma grup}

dan G isomorpik dengan H ditulis G ∼

= H. Bila f suatu homomorpisma grup,

misalkan

Ker(f ) =

{g ∈ G | f (g) = e

H

}

dan

Im(f ) =

_{{h ∈ H | h = f (g), untuk beberapa g ∈ G }.}

Ker(f ) dinamakan kernel dari homomorpisma f dan Im(f ) dinamakan image

dari f .

Sifat

Misalkan G dan H adalah grup dan f : G → H adalah suatu

homomorpisma grup, maka Ker(f ) subgrup dari G dan Im(f )

subgrup dari H.

Bukti Sifat

Bukti

Perhatikan bahwa f (eG) = f (eG eG) = f (eG)f (eG), gunakan kanselasi di H didapat

f(eG) = eH. Jadi

eH= f (eG) = f (aa−1) = f (a)f (a−1)

untuk semua a ∈ G . Dengan demikian f (a−1_{) = f (a)}−1 _{untuk semua a ∈ G .}

Selanjutnya misalkan a, b ∈ Ker(f ). Maka

f(ab−1) = f (a)f (b−1) = f (a)f (b)−1= eHeH= eH.

Jadi ab−1_{∈ Ker(f ) dan Ker(f ) adalah subgrup dari G .}

Dengan cara serupa, bila f (a), f (b) ∈ Im(f ), maka f(a)f (b)−1= f (ab−1) ∈ Im(f ). Jadi Im(f ) adalah subgrup dari H.

Koset dan Partisi

Berikut ini diberikan pengertian suatukoset. Dalam hal ini terlihat bahwa bila H suatu subgrup dari grup G , maka H memisahkan G kedalam berbagai macam himpunan yang saling asing.

Sifat

Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G . Untuk setiap dua elemen a_{, b ∈ G didifinisikan relasi biner a ∼ b bila dan hanya bila ab}−1_{∈ H (a}−1_{b∈ H).}

Relasi biner ∼ ini adalah suatu relasiekivalen. Bukti

1 _{Untuk setiap a ∈ G maka aa}−1_{= e ∈ H (refleksif).}

2 _{Bila ab}−1_{∈ H, maka ba}−1_{= (ab}−1₎−1_{∈ H. Jadi bila a ∼ b maka b ∼ a} (simetrik).

3 _{Bila ab}−1_{∈ H dan bc}−1_{∈ H, maka ac}−1_{= ab}−1_bc−1_{∈ H. Jadi bila a ∼ b} dan b ∼ c, maka a ∼ c (transitif).

Jadi relasi ∼ membagi keseluruhan grup G menjadi klas-klas ekivalen yang saling asing (disjoint eqivalence classes).

Pengertian Koset

Koset

Misalkan G suatu grup dan H adalah subgrup dari grup G . Misalkan g

sebarang tetapi tetap (fixed) di G , didefinisikan

Hg

def

=

{hg|h ∈ H}

maka Hg dinamakan

koset kanan

dari H di G . Sedangkan bila

gH

def

=

{gh|h ∈ H}

maka gH dinamakan

koset kiri

dari H di G .

Sifat

Untuk setiap dua elemen a dan b di grup G dan H < G , maka:

1

_{Bila a}

_{∼ b maka Ha = Hb (aH = bH).}

2

_{Bila a ≁ b maka Ha}

_{∩ Hb = ∅ (aH ∩ bH = ∅).}

Bukti Sifat

Bukti

1

Misalkan a ∼ b, maka ab

−1

= h

0

untuk suatu h

0

∈ H, didapat

a = h

0

b atau b = h

−10

a. Misalkan sebarang ha ∈ Ha, maka

didapat ha = h(h

0

b) = (hh

0

)b ∈ Hb. Jadi Ha ⊂ Hb. Misalkan

sebarang hb ∈ Hb, maka hb = h(h

−1₀

a) = (hh

₀−1

)a ∈ Ha. Jadi

Hb ⊂ Ha. Maka dari itu didapat Ha = Hb.

2

Misalkan a ≁ b dan andaikan g ∈ Ha ∩ Hb, maka a = h

−1

1

g

untuk suatu h

1

∈ H dan b

−1

= g

−1

h

2

untuk suatu h

2

∈ H.

Didapat ab

−1

= h

−1₁

gg

−1

h

2

= h

1−1

h

2

∈ H. Jadi a ∼ b,

kontradiksi dengan kenyataan bahwa a ≁ b. Jadi haruslah

Ha ∩ Hb = ∅.

Sifat

Sifat

Misalkan H adalah subgrup dari G dan a, b ∈ G , maka

1

_{aH = bH bila dan hanya bila a}

−1

_{b ∈ H}

2

_{Ha = Hb bila dan hanya bila ab}

−1

_{∈ H}

Bukti

1

_{Misalkan a}

−1

_{b ∈ H dan b = ah untuk beberapa h ∈ H, bh}

′

_{= a(hh}

′

₎

untuk semua h

′

_{∈ H dan ah}

₁

_{= (ah)(h}

−1

_h

₁

_{) = b(h}

−1

_h

₁

_{) untuk}

semua h

1

∈ H. Jadi aH = bH. Sebaliknya, misalkan aH = bH,

maka b = be = ah untuk beberapa h ∈ H. Jadi a

−1

_{b = h ∈ H.}

2

_{Bukti dapat dilakukan seperti pada bukti (1).}

Sifat

Sifat

Misalkan H < G dan gH adalah sebarang koset kiri dari H di G , maka

|H| = |gH|.

Bukti

Pemetaan f : H → gH dengan f (h)

def

= gh, ∀h ∈ H. Pemetaan f adalah

satu-satu, yaitu bila f (h) = f (h

1

) atau gh = gh

1

, maka didapat h = h

1

dan pemetaan f pada, yaitu bila diberikan sebarang gh ∈ gH, maka pilih

h ∈ H sehingga f (h) = gh. Jadi pemetaan f adalah satu-satu pada,

maka dari itu |H| = |gH|.

Juga dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap g ∈ G , fungsi

f : gH → Hg

−1

_{adalah bijektif. Jadi |gH| = |Hg |.}

Indeks dari H di G

Misalkan H < G dan [G : H]def= {gH|g ∈ G} himpunan dari semua koset kiri dari H di G, dalam hal ini dinamakan indeks dari H di G .

Teorema Lagrange

Misalkan H < G dan|G| berhingga, maka |G| = |[G : H]| |H|

Bukti

Misalkan|G| = m, |H| = n dan |[G : H]| = k. Dari hasil sebelumnya didapat bahwa |gH| = n, ∀gH ∈ [G : H], maka didapat n + n + n + . . . + n | {z } k = m atau kn = m. Jadi|[G : H]| |H| = |G|. Kesimpulan

1 Bila|G| < ∞ dan a ∈ G, maka |a| membagi |G|.

2 Bila|G| = n, maka an_{= e,∀a ∈ G.}

3 Bila|G| = p dan p prima, maka G siklik.

4 Bila K < H < G , maka|[G : K ]| = |[G : H]| |[H : K ]|.

COntoh-Contoh

Contoh

1.

Diberikan Z dengan operasi biner tambah, H = 2Z adalah subgrup

dari Z. Koset kanan H

+a

= H bila a bilangan bulat genap dan

H

+a

6= H bila a bilangan bulat ganjil.

2.

Diberikan R

∗

_{dengan operasi biner perkalian, subgrup}

H = {−1, 1} = {x ∈ R

∗

_{| |x| = 1}. Koset dari H dalam R}

∗

_adalah

himpunan H

a

= {−a, a|a ∈ R

∗

}.

3.

Diberikan C

∗

_{dengan operasi biner perkalian, subgrup}

H = {z ∈ C | |z| = 1}. Koset dari H dalam C

∗

_{adalah himpunan}

H

r

= {z ∈ C | |z| = r } dengan r ∈ R

+

.

4.

Diberikan grup Z dan subgrup H = nZ bilangan bulat kelipatan n.

Maka koset dari H

+m

adalah semua bilangan bulat yang mempunyai

Contoh-Contoh

Contoh

5.

Diberikan grup permutasi dari 3 elemen

G

= S

3

=

{e, a, a

2

, b, ab, a

2

b

},

dengan

a

=

1

2

3

2

3

1



dan b

=

1

2

3

2

1

3



Bila H =

hbi, maka koset kiri dari H di G adalah

H

=

_{{e, b}, aH = {a, ab}, a}

2

H

=

_{a

2

, a

2

b

_},

sedangkan koset kanan adalah

H

=

_{{e, b}, Ha = {a, ba = a}

2

b

_{}, Ha}

2

=

_{a

2

, ba

2

= ab

_}.

Dalam contoh ini, koset kiri tidak sama dengan koset kanan.

Contoh-Contoh

Contoh

6.

Diberikan G = GL(2, R) dan H = SL(2, R). Maka A, B

_{∈ GL(2, R)}

adalah didalam koset kiri yang sama dari H bila dan hanya bila

A

−1

B

_{∈ H, artinya bahwa det(A}

−1

B) = 1. Ini terjadi bila dan hanya bila

det(A) = det(B). Dengan cara yang sama, A dan B didalam koset kanan

yang sama dari H bila dan hanya bila det(A) = det(B). Jadi pada contoh

ini, koset-koset kiri dari H juga merupakan koset-koset kanan dari H.

Suatu himpunan representasi koset adalah

 a

0

0

1

 







a

_{∈ R − {0}}



.

Jadi, himpunan semua koset dari H di G berkorespondensi satu-satu

dengan himpunan bilangan real taknol.

contoh-Contoh

Contoh

7.

Grup dengan order

_{≤ 5}

Diberikan grup G dengan

_{|G | ≤ 5. Bila}

|G | = 1, 2, 3 atau 5, maka G adalah siklik. Selanjutnya untuk |G | = 4

maka setiap a

_{∈ G dengan a 6= e mempunyai order 2 atau 4. Bila G}

mempunyai suatu elemen a dengan order 4, maka G =

hai dan G siklik.

Bila G tidak mempunyai elemen yang beroder 4, maka G =

_{{e, a, b, c}}

dengan a

2

= b

2

= c

2

= e sebab setiap elemen yang bukan e harus

berorder 2. Selanjutnya bila ab = e, maka ab = a

2

_{. Akibatnya b = a hal}

ini tidak mungkin sebab a

6= b. Dengan cara yang sama ab tidak akan

sama dengan a atau b. Jadi haruslah ab = c. Suatu argumen yang sama

dapat ditunjukkan bahwa ba = c, ac = b = ca, bc = a = cb. Dalam hal

ini G dinamakan grup-4 Klein. Dari pembahasan didapat ada 4 macam

grup siklik dan satu grup-4 Klein.

Konjuget dan Klas Konjugasi

Pada pembahasan sebelumnya ditunjukkan bahwa koset-koset kiri/kanan dari suatu grup membentuk suatu partisi di G yang diuraikan oleh suatu relasi ekivalen pada G . Ada relasi ekivalen penting lainya yang didefinisikan pada G , sebagaimana diberikan berikut ini.

Konjuget dan Konjugasi

Misalkan G suatu grup dan a, b ∈ G , maka a dinamakankojuget dari b bila ada suatu g _{∈ G yang memenuhi b = gag}−1_(g−1_{ag). Mudah dicek bahwa konjugasi adalah}

suatu relasi ekivalen pada G . Klas ekivalen yang terbentuk dinamakanklas konjugasi, Notasi [a]Cmenyatakan klas konjugasi dari elemen a ∈ G .

Sifat

Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G maka |[a]C| = |[G : C (a)]| ,

dengan C (a) adalah setralisir dari elemen a, yaitu C_{(a) = {g ∈ G | ga = ag}.}

Bukti

Bukti

Karena

gag

−1

_{= hah}

−1

_{⇔ g}

−1

_{h ∈ C (a)}

⇔ gC (a) = hC (a),

ada suatu fungsi bijektif

φ : [a]

C

→ [G : C (a)] = himpunan koset kiri dari C (a),

didefisikan oleh

φ(gag

−1

_{) = gC (a).}

Hal ini menujukkan bahwa

|[a]

C

| = |[G : C (a)| .

Kesimpulan

Persamaan Klas

Misalkan G grup dengan order berhingga, maka |G | = |Z (G )| + X

a/∈Z(G)

|[G : C (a)]|

Bukti

Karena |[a]C| = 1 bila dan hanya bila a ∈ Z (G ) dan [a]Cadalah konjugasi dari elemen

a_{∈ G dan merupakan suatu partisi di G , maka}

|G | = X a∈G |[a]C| = |Z (G )| + X a/∈Z(G) |[a]C| = |Z (G )| + X a/∈Z(G) |[G : C (a)]| .

Subgrup Normal dan Automorpisma

Bila G suatu grup, misalkan P∗_{(G ) menyatakan himpunan dari semua himpunan}

takkosong dari G dan didefisikan suatu perkalian pada P∗_{(G ) sebagai}

ST_{= {st | s ∈ S, t ∈ T },}

dengan S, T ∈ P∗_{(G ). Karena perkalian di G adalah assosiatif, maka perkalian di}

P∗_{(G ) juga assosiatif. Bila S = {s}, maka {s}T atau T {s} ditulis sT atau Ts.}

Khususnya, bila H adalah subgrup dari G dan a ∈ G , maka koset kiri aH adalah suatu hasil perkalian di P∗_{(G ). Himpunan bagian {e} ∈ P}∗_{(G ) memenuhi eS = Se = S}

untuk semua S ∈ P∗_{(G ). Jadi {e} ∈ P}∗_{(G ) elemen identitas terhadap perkalian di}

P∗_{(G ) dan perkalian di P}∗_{(G ) adalah assosiatif, tetapi P}∗_{(G ) dengan operasi}

perkalian bukan grup, kecuali untuk kasus trivial G = {e}. Bila S ∈ P∗_{(G ), misalkan}

S−1_{= {s}−1_{| s ∈ S}. Catatan bahwa S}−1_{bukan invers dari S terhadap perkalian di}

P∗_{(G ) kecuali S hanya memuat satu elemen. Bila H < G , maka HH = H dan}

H−1= H.

Sifat

Misalkan H, K ∈ P∗_{(G ) dengan H dan K adalah subgrup dari G . Sifat berikut}

menunjukkan bahwa HK adalah subgrup dari G . Sifat

Bila H dan K adalah subgrup dari G , maka HK adalah subgrup dari G bila dan hanya bila HK = KH.

Bukti

Bila HK < G , maka HK memuat semua semua elemen invers dari HK . Jadi HK= (HK )−1_{= K}−1_H−1_{= KH. Sebaliknya, misalkan HK = KH. Didapat}

(HK )−1_{= KH = HK , jadi semua elemen di HK mempunyai invers. Juga}

(HK )(HK ) = HKHK = HHKK = HK hal ini menunjukkan bahwa HK tertutup terhadap operasi perkalian. Sifat elemen netral dan assosiatif jelas. Jadi HK adalah subgrup dari G .

Perhatikan bahwa HK = KH bukanlah suatu pengertian komutatif, tetapi merupkan persamaan himpunan bagian dari G .

Ruang Koset

Bila H adalah suatu subgrup dari G , maka G /H ⊆ P∗_{(G ) adalah himpunan dari}

semua koset kiri dari H di G dan dinamkanruang kosetdari H di G . Misalkan dua koset kiri dari H yaitu aH dan bH. Bila (aH)(bH) = cH, maka ab ∈ cH dengan demikian cH = abH. Oleh karena itu bila G /H tertutup terhadap perkalian, maka haruslah (aH)(bH) = abH untuk semua a, b ∈ G .

Sifat

Bila H suatu subgrup dari G , maka (aH)(bH) = abH untuk semua a, b ∈ G bila dan hanya bila cHc−1= H untuk semua c ∈ G .

Bukti

Misalkan cHc−1_{= H untuk semua c ∈ G , maka cH = Hc untuk semua c ∈ G . Jadi}

(aH)(bH) = a(Hb)H = a(bH)H = abH. Sebaliknya, bila (aH)(bH) = abH untuk semua a, b ∈ G , maka

cHc−1_{⊆ cHc}−1_{H= cc}−1_{H= H untuk semua c ∈ G . Karena c}−1_{∈ G , ganti c}

dengan c−1_{, didapat c}−1_{Hc⊆ H. Selanjutnya sebelah kiri kalikan dengan c dan}

sebelah kanan dengan c−1_{didapat H ⊆ cHc}−1_{. Jadi cHc}−1_{= H untuk semua c ∈ G .} Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

Subgrup Normal

Subgrup Normal

Suatu subgrup N dari G dinamakan subgrup normal dari G dinotasikan denganN⊳ G

bila aNa−1_{= N untuk semua a ∈ G .}

Catatan, pernyataan dalam sifat yang telah dibahas menunjukkan bahwa N adalah subgrup normal di G bila dan hanya bila aNa−1_{⊆ N untuk semua a ∈ G. Hal ini tentunya lebih mudah untuk mengecek dari pada aNa}−1_{= N.}

Juga pengertian N adalah subgrup normal di G adalah ekivalen dengan aN = Na untuk semua a∈ G.

Sifat

Bila N ⊳ G , maka ruang koset G /N ⊆ P∗_{(G ) membentuk suatu grup dengan operasi}

perkalian di P∗_{(G ).}

Bukti

Sudah ditunjukkan bahwa G /N tertutup terhadap perkalian dan assosiatif di P∗_{(G ).}

Misalkan sebarang aN ∈ G /N dan N = eN didapat

(eN)(aN) = eaN = aN = aeN = (aN)(eN). Jadi N ∈ G /N adalah elemen identitas dari G /N. Juga (aN)(a−1_{N) = aa}−1_{N= eN = N = a}−1_{aN= (a}−1_{N)(aN). Terlihat}

Grup Faktor (Grup Kuasi)

Grup Kuasi

Bila N ⊳ G , maka G /N dinamakangrup kuasidari G oleh N.

Catatan, bila N ⊳ G dan|G| < ∞, maka dari Teorema Lagrange didapat |G/N| = |[G : N]| = |G|/|N|.

Contoh

1. Bila G grup komutatif, maka setiap subgrup dari G adalah subgrup normal. 2. SL_{(n, R) adalah subgrup normal dari GL(n, R), sebab bila A ∈ GL(n, R) dan}

B∈ SL(n, R), maka

det(ABA−1) = (det A)(det B)(det A)−1= 1. Jadi ABA−1∈ SL(n, R) untuk semua A ∈ GL(n, R) dan B ∈ SL(n, R).

Lanjutan Contoh

Contoh

3.

Bila a =



1

2 3

2

3 1



, maka H =< a >= {e, a, a

2

_{} adalah subgrup}

normal dari S

3

. Bila b /

∈ H, maka koset dari H adalah H dan bH.

4.

Misalkan b =



1

2 3

2

1 3



, maka K =< b >= {e, b} dan koset kiri

dari K adalah K , aK = {a, ab}, a

2

_{K = {a}

2

_{, a}

2

_{b}, dimana}

a =



1 2

3

2 3

1



. Didapat

K (aK ) = {e, a}{a, ab} = {a, ab, a

2

, a

2

b} 6= aK .

Jadi perkalian dua koset dari K bukan suatu koset dari K . Hal ini

disebabkan K bukan subgrup normal dari S

3

yaitu aKa

−1

6= K .

Sifat

Sifat

Misalkan f : G → H suatu homomorpisma grup, maka Ker(f ) ⊳ G . Bukti

Misalkan a ∈ G dan b ∈ Ker(f ). Maka

f(aba−1_{) = f (a)f (b)f (a}−1_{) = f (a)ef (a)}−1_{= e,}

jadi aba−1_{∈ Ker(f ) untuk semua b ∈ Ker(f ) dan a ∈ G dengan demikian Ker(f )}

adalah subgrup normal dari G .

Fakta sifat yang dibahas ini menguraikan semua subgrup normal dari suatu grup G . Misalkan N ⊳ G dan didefinisikan suatu fungsi

π : G→ G/N

oleh π(a) = aN untuk setiap a∈ G. Dengan definisi perkalian pada G/N didapat π(ab) = abN = (aN)(bN) = π(a)π(b).

Jadi π adalah suatu homomorpisma grup yang dinamakanproyeksi naturalataupemetaan naturaldari G ke G /n.

Teorema Isomorpisma Pertama

Teorema Isomorpisma Pertama

Misalkan f : G

→ H suatu homomorpisma grup dengan K = Ker(f ). Maka

G

/K ∼

= Im(f ).

Bukti

Difinisikan suatu fungsi ¯

f

: G /K

→ Im(f ) dengan ¯f(aK) = f (a). Fungsi ini

well-defined, sebab aK = bK bila dan hanya bila a

−1

_b

_{∈ K yang berarti}

f

(a

−1

_{b) = e}

H

atau f (a) = f (b). Juga

¯

f

((aK )(bK )) = ¯

f

(abK ) = f (ab) = f (a)f (b) = ¯

f

(aK )¯

f

(bK ),

jadi ¯

f

suatu homomorpisma grup dan ¯

f

satu-satu sebab bila aK

_{∈ Ker(¯f),}

maka ¯

f

(aK ) = f (a) = e

H

. Jadi a

∈ K, dengan dikian aK = K. hal ini

menunjukkan Ker(¯

f

) = K yang mana K adalah elemen identitas di G /K . Jadi

¯

f

satu-satu, dengan demikian ¯

f

adalah suatu isomorpisma grup. Jadi

G

/K ∼

= Im(f ).

Teorema Isomorpisma Kedua

Sifat

Misalkan H, K adalah subgrup dari G . Bila H atau K adalah subgrup normal di G , maka HK adalah suatu subgrup dari G .

Bukti

Misalkan K ⊳ G , maka aK = Ka untuk semua a∈ G. Kususnya, hK = Kh untuk semua h ∈ H ⊂ G. Jadi HK= KH, oleh karena itu HK adalah suatu subgrup dari G .

Teorema Isomorpisma Kedua

Misalkan H, N subgrup dari G dengan N ⊳ G , maka H/(H∩ N) ∼= HN/N. Bukti

Misalkan π : G→ G/N adalah pemetaan natural dan π0adalah pembatasan dari π pada H. Maka π0adalah

suatu homomorpisma dengan Ker(π0) = H∩ N. Jadi

H/(H∩ N) = H/Ker(π0) ∼= Im(π0).

Tetapi image dari π0adalah himpunan dari semua koset dari N yang mempunyai representasi di H. Maka dari itu

Im(π0) = HN/N.

Teorema Isomorpisma Ketiga

Teorema Isomorpisma Ketiga Misalkan H ⊳ G , N ⊳ G dan N ⊆ H, maka

G/H ∼= (G /N)/(H/N). Bukti

Difinisikan suatu fungsi f : G /N → G /H dengan f (aN) = aH untuk setiap aN_{∈ G /N. Dapat ditunjukkan bahwa difinisi ini well-defined dan suatu} homomorpisma grup. Maka

Ker_{(f ) = {aN | aH = H} = {aN | a ∈ H} = H/N.}

Homomorpisma f adalah surjektif, maka Imf = G /H. Dengan menggunakan Teorema isomorphisma pertama didapat

Teorema

Teorema

Misalkan pemetaan f : G → H adalah suatu isomorpisma grup,

maka

1

_f

−1

_{: H → G adalah suatu isomorpisma.}

2

|G | = |H|.

3

Bila G abelian maka H abelian.

4

Bila G siklik, maka H siklik.

5

Bila g ∈ G dengan |g | = m, maka |f (g )| = m.

Bukti

Bukti

1. Karena f bijektif, maka f−1_{ada. Misalkan x, y ∈ H, maka ada a, b ∈ G}

sehingga x = f (a) dan y = f (b). Didapat

xy_{= f (a)f (b) = f (ab) ⇒ f}−1(xy ) = ab = f−(x)f−1(y ),∀x, y ∈ H. Jadi pemetaan f−1_{: H → G adalah suatu homomorpisma grup. Karena f}

bijektif, maka f−1 _{juga bijektif. Jadi f}−1 _{adalah suatu isomorpisma grup.}

2. Karena f : G → H bijektif, maka banyaknya elemen di G sama dengan banyaknya elemen di H.

3. Diketahui bahwa G abelian. Misalkan x, y ∈ H, karena f pada maka ada a, b ∈ G sehingga x = f (a) y = f (b). Didapat

xy= f (a)f (b) = f (ab) = f (ba) = f (b)f (a) = yx. Terlihat bahwa unutk setiap x, y ∈ H berlaku xy = yx, jadi H abelian.

Lanjutan Bukti

Bukti

4. Misalkan G = hgi = {gm_{|m ∈ Z} dan f (g) = h}

0untuk suatu h0∈ H. Ambil

sebarang h ∈ H, maka ada n0∈ Z sehingga h = f (gn0), dimana

f(gn0_{) =} ( f(g ) . . . f (g ) = hn0 0 , n0≥ 0 f(g )−1_{. . . f (g )}−1_{= h}−n0 0 , n0< 0.

Jadi untuk setiap h di H, h = hm0

0 dengan m0∈ Z, hal ini menunjukkan bahwa

H_{= hh}0i = {hn0|n ∈ Z}.

5. Bila |g| = m dan |f (g)| = n, maka eH= f (eG) = f (gm) = f (g )m, sehingga

didapat ada bilangan bulat positip k0yang memenuhi m = k0n. Disamping itu,

eH= f (g )n= f (gn). Karena f satu-satu dan eH= f (eG), maka gn= eG. Jadi

ada bilangan bulat positip k1yang memenuhi n = k1m. Dari m = k0ndan

n= k1m, didapat m = k0k1matau k0k1= 1. Karena masing-masing k0dan k1

adalah bilangan bulat positip, maka haruslah k0= k1= 1. Oleh karena itu

m= k0n= 1.n = n.

Contoh

1 −1 S3 Q∗ A3 A3τ

f

1. Diberikan grup permutasi S3dan grup bilangan rasional tanpa nol Q∗.

Didefinisikan suatu pemetaan f : S3→ Q∗oleh

f(σ) = (

1, bila σ genap

−1, bila σ ganjil , untuk setiap σ ∈ S3.

Bila σ, τ kedunya genap atau keduanya ganjil,maka στ genap oleh karena itu f(στ ) = 1 = 1.1 = f (σ).f (τ ) atau f (στ ) = 1 = −1. − 1 = f (σ).f (τ ). Bila σ genap dan τ ganjil, maka στ ganjil oleh karena itu

f_{(στ ) = −1 = 1.(−1) = f (σ).f (τ ). Terlihat bahwa f adalah homomorpisma} grup dari S3ke Q∗dengan ker(f ) = f−1(1) = A3. Jelas bahwa ker(f ) ⊳ S3dan

im_{(f ) = {1, −1} adalah subgrup dari Q}∗_{. Sedangkan f}−1_{(−1) = A3τ untuk}

Contoh

b b b

R

∗

_R

+ −1, 1 −2, 2 −π, π 1 2 π b b b f

2.

Diberikan himpunan bilangan real R, himpunan R

∗

₌

_{{x ∈ R | x 6= 0}}

dan himpunan R

+

₌

{x ∈ R | x > 0}. Didefinisikan suatu pemetaan

f

: R

∗

_{→ R}

+

_{oleh f (x) =}

|x|, ∀x ∈ R

∗

_{dimana dengan operasi perkalian}

di R

∗

dan R

+

didapat

f

(x.y ) =

|x.y| = |x|.|y| = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R

∗

Terlihat bahwa f adalah suatu homomorpisma grup dari (R

∗

_{, .) ke (R}

+

_{, .)}

dengan f pada. Selanjutnya

ker(f ) =

{x ∈ R

∗

_{| |x| = 1 } = {1, −1}}

_.

Contoh

f

1 2 √ 5 ker(f ) ker(f )(1 + i ) ker(f )(1 + 2i ) b b b b b b

C

∗

R

+

3.

Diberikan himpunan bilangan kompleks C, himpunan

C

∗

=

_{{z ∈ C | z 6= 0} dan himpunan R}

+

=

_{{x ∈ R | x > 0}.}

Didefinisikan suatu pemetaan f : C

∗

_{→ R}

+

_{oleh f (z) =}

|z|, ∀z ∈ C

∗

dimana dengan operasi perkalian di C

∗

dan R

+

didapat

f

(z.w ) =

_{|z.w| = |z|.|w| = f (z).f (w), ∀z, w ∈ C}

∗

_{. Terlihat bahwa f}

adalah suatu homomorpisma grup dari (C

∗

, .) ke (R

+

, .) dengan f pada.

Selanjutnya

ker(f ) =

_{{z ∈ C}

∗

_{| |z| = 1 }}

.

Contoh

Contoh

4.

Untuk menunjukan bahwa Z

4

∼

= hii, definisikan suatu pemetaan

f : Z

4

→ hii oleh f (n) = i

n

.

Pemetaan f adalah satu-satu pada, sebab

f (0) =

1

f (1) =

i

f (2) =

−1

f (3) =

−i

dan f adalah suatu homomorpisma, sebab

f (m + n) = i

m+n

_{= i}

m

_.i

n

_{= f (m).f (n), ∀m, n ∈ Z}

4

.

Contoh

Contoh

5.

Walaupun S

3

dengan Z

6

mempunyai banyak elemen yang sama,

tetapai S

3

≇ Z

6

. Untuk menunjukan hal ini sebagai berikut. Telah

diketahuai bahwa S

3

tidak komutatif sedangkan Z

6

komutatif.

Misalkan a, b ∈ S

3

dengan ab 6= ba dan andaikan bahwa pemetaan

f : Z

6

→ S

3

adalah suatu isomorpisma. Oleh karena itu ada m dan

n di Z

6

sehingga f (m) = a, f (n) = b. Didapat

ab = f (m)f (n) = f (m + n) = f (n + m) = f (n)f (m) = ba.

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa ab 6= ba. Jadi

S

3

≇ Z

6

.

Contoh

Contoh

6.

Grup (R, +) adalah isomorpik dengan grup (R

+

_{, .). Sebab ada}

pemetaan

f _{: R → R}+ dengan f (x) = ex

, ∀x, R.

Pemetaan f satu-satu pada, sebab diberikan sebarang y ∈ R

+

_{, pilih}

x ∈ R, yaitu x = ln y sehingga didapat f (x) = e

x

_{= e}

ln_y

= y , jadi

f pada. Selanjutnya bila f (x

1

) = f (x

2

), maka

ex1_{= e}x2_{⇒ e}x1_e−x2_{= 1 ⇒ e}x1−x2_{= 1 ⇒ x}

1− x2= 0 ⇒ x1= x2.

Jadi f satu-satu. Terlihat bahwa f satu-satu dan pada (bijektif).

Selanjutnya, f (x

1

+ x

2

) = e

x1+x2

= e

x1

e

x2

= f (x

1

)f (x

2

). Jadi f

adalah homomorpisma. Karena f homomorpisma dan bijektif, maka

f adalah isomorpisma.

Teorema Korespondensi

Teorema Korespondensi

Misalkan N ⊳ G dan pemetaan natural π : G

→ G /N. Maka fungsi H 7→ H/N

mendifinisikan suatu korespondensi satu-satu diantara himpunan semua

subgrup H dengan N

_{⊆ H. Korespondensi ini memenuhi sifat:}

1

_H

₁

_{⊆ H}

₂

_{bila dan hanya bila H}

₁

_/N

_{⊆ H}

₂

_{/N dan dalam hal ini}

|[H2: H1]| = |[H2/N : H1/N]| .

2

_{H ⊳ G}

_{bila dan hanya bila H/N ⊳ G /N}

Bukti

Misalkan

S1= {H | H < G dan N ⊆ H}

dan

S2= {X | X < G /N}.

Lanjutan Bukti

Bukti

Misalkan H1/N = H2/N dengan H1, H2∈ S1. Akan ditunjukkan H1= H2. Misalkan

h1∈ H1, maka h1N∈ H2/N. Jadi h1N= h2Ndengan h2∈ H2. Jadi H1⊆ H2dengan

cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa H2⊆ H1, dengan demikian H1= H2. Oleh

karena itu α satu-satu. Bila K ∈ S2, maka π−1(K ) ∈ S1dan α(π−1(K )) = K , jadi α

surjektif. Jadi α adalah suatu korespondensi satu-satu diantara S1dan S2. Selanjutnya

fakta H1⊆ H2bila dan hanya bila H1/N ⊆ H2/N adalah jelas. Dengan menggunakan

hasil sebelumnya, himpunan koset aH1untuk a ∈ H2dapat ditunjukkan

berkorespondensi satu-satu dengan himpunan koset ¯aH1/N untuk ¯a∈ H2/N. Dengan

demikian

|[H2: H1]| = |[H2/N : H1/N]| .

Berikutnya misalkan H ⊳ G , maka H/N ⊳ G /N sebab

(aN)(H/N)(aN)−1= (aHa−1)/N = H/N.

Sebaliknya, misalkan H/N ⊳ G /N, maka bila π1: G /N → (G /N)/(H/N) adalah

pemetaan natural, didapat Ker(π1◦ π) = H. Jadi H ⊳ G .

Sifat

Sifat berikut sederhana tetapi berguna bagi kriteria kenormalan dari

suatu grup.

Sifat

Misalkan H < G dengan |[G : H]| = 2, maka H ⊳ G .

Bukti

Misalkan a ∈ G . Bila a ∈ H, maka aHa

−1

_{= H. Bila a /}

_{∈ H, maka}

G = H ∪ aH sebab |[G : H]| = 2. Tetapi juga G = H ∪ Ha sebab

|[G : H]| = 2. Jadi aH = Ha akibatnya aHa

−1

_{= H untuk semua a ∈ G}

dengan demikian H ⊳ G .

Suatu isomorpisma grup φ : G → G dinamakan suatu

automorpisma

dan

notasi Aut(G ) menyatakan himpunan dari semua automorpisma dari G .

Dengan operasi biner komposisi fungsi Aut(G ) adalah suatu grup

faktanya bahwa Aut(G ) adalah subgrup dari grup permutasi S

G

.

Contoh

Contoh

1

_{Aut(Z) ∼}

_{= Z}

₂

_{. Sebab, misalkan φ ∈ Aut(Z). Maka bila φ(1) = r}

didapat φ(m) = mr . Jadi Z = Im(φ) = hr i. Maka dari itu r = ±1.

Dengan demikian

φ(m) = m atau φ(m) = −m

untuk semua m ∈ Z.

2

Misalkan G = {(a, b) | a, b ∈ Z}. Maka Aut(G ) tidak abelian, sebab

Aut(G ) ∼

= GL(2, Z) =

 

a

b

c

d









ab, c, d ∈ Z, ad − bc = ±1



3

_{Contoh berikut dapat digunakan sebagai latihan. Misalkan V}

adalah Klein group-4. Maka Aut(V ) ∼

= S

3

.

Inner dan Outer Automorpisma

Bila a∈ G didefinisikan Ia: G→ G oleh Ia(b) = aba−1, naka Ia∈ Aut(G). Suatu automorpisma dari G yang

mempunyai bentuk Iauntuk beberapa a∈ G dinamakan suatuinner automorpismaataukonjugasidari G . Sedangkan semua automorphisma yang lain dinamakanouter automorpismadari G . Misalkan Inn(G ) adalah himpunan dari semua inner automorpisma dari G . Didifinisikan suatu fungsi Φ : G→ Aut(G) oleh Φ(a) = Ia, maka Im(Φ) = Inn(G ).

Sifat

Funngsi Φ adalah suatu homomorpisma grup dengan Im(Φ) = Inn(G ) dan Ker(Φ) = Z (G ), dengan Z (G ) adalah senter dari G yaitu

Z(G ) ={a ∈ G | ab = ba untuk semua b ∈ G}.

Bukti

Untuk sebarang x∈ G didapat

Φ(ab)(x) = Iab(x) = (ab)x(ab)−1= a(bxb−1)a−1= Ia(Ib(x)) = Φ(a)(Φ(b)(x)) = Φ(a)◦ Φ(b)(x). Jadi

Kesimpulan dan Contoh

Kesimpulan

Inn(G ) ∼

= G /Z (G ).

Contoh

1

_{Grup S}

₃

_{mempunyai Z (S}

₃

_{) = {e}. Jadi Inn(S}

₃

_{) ∼}

_{= S}

₃

_{/{e} = S}

₃

_.

Ingat bahwa S

3

= {e, a, a

2

, b, ab, a

2

b} dengan a, b memenuhi

a

3

_{= e = b}

2

_{dan ba = a}

2

_{b. Elemen a dan a}

2

_{mempunyai order 3}

dan b, ab, a

2

_{b mempunyai order 2. Jadi bila φ ∈ Aut(S}

3

), maka

φ(a) ∈ {a, a

2

} dan φ(b) ∈ {b, ab, a

2

_{b}. Karena S}

3

dibangun oleh

{a, b}, maka automorpisma φ secara lengkap ditentukan oleh φ(a)

dan φ(b). Jadi |Aut(S

3

)| ≤ 6 dan dapat disimpulkan

Aut(S

3

) = Inn(S

3

) ∼

= S

3

.

2

_{Bila G abelian maka setiap nontrivial automorpisma dari G adalah}

suatu outer automorpisma.

Sifat

Sifat

Aut(Zn) ∼= U(n), dengan U(n) ={m | 1 ≤ m < n, (m, n) = 1}

Bukti

Perhatikan bahwa U(n) dengan operasi perkalian modulo n adalah grup dan grup Zn= h1i dengan operasi tambah modulo n. Misalkan φ ∈ Aut(Zn). Karena 1 adalah

generator dari Zn, maka secara lengkap φ ditentukan oleh φ(1) = m. Karena φ suatu

isomorpisma dan |1| = n, maka |m| = n. Misalkan d = Kpk(m, n). maka n|dnm. Jadi n

dm= n m

d = 0 di Zn. Karena n adalah kelipatan terkecil dari m yang memberikan

nm

d = 0 di Zn, maka haruslah d = 1. Jadi m ∈ U(n). Juga setiap m ∈ U(n)

menentukan suatu pemetaan φm: Zn→ Zndengan φm(r ) = rm. Dapat ditunjukkan

bahwa φm∈ Aut(Zn). Dengan demikian didapat korespondensi satu-satu dari

himpunan Aut(Zn) ↔ U(n) yang diberikan oleh φm↔ m. Korespondensi ini adalah

suatu isomorpisma grup, sebab untuk setiap r ∈ Zndidapat

Representasi Permutasi

Bila X sebarang himpunan takkosong, maka SX = {f : X → X | f bijektif} adalah

suatu grup dengan operasi biner komposisi fungsi. Grup SX dinamakangrup simetri

pada X atau grup dari permutasi dari X . Suatugrup permutasiadalah subgrup dari SX untuk beberapa X . Theorema berikut menunjukkan bahwa semua grup dapat

disajikan sebagai grup permutasi untuk suatu pilihan yang tepat dari X . Teorema Cayley

Setiap grup G isomorpik dengan subgrup simetri dari SG.

Bukti

Difinisikan Φ : G → SG oleh Φ(a) = fadengan fa(g ) = ag untuk setiap g ∈ G . Dapat

ditunjukkan bahwa masing-masing faadalah bijektif pada G , jadi fa∈ SG. Φ adalah

homorpisma grup, sebab untuk setiap g ∈ G

Φ(ab)(g ) = fab(g ) = (ab)g = a(bg ) = fa(fb(g )) = Φ(a)Φ(b)(g )

dan Ker(Φ) = {a ∈ G | Φ(a) = fa= fe} = {a ∈ G | ag = eg, ∀g ∈ G } = {a = e}. Jadi

Φ surjektif. Didapat G ∼= Im(Φ)⊆ SG.

Catatan

Homomorpisma Φ dinamakanrepresentasi regular kiridari G . Bila |G | < ∞, maka Φ suatu isomorpisma hanya bila |G | ≤ 2. Sebab bila |G | > 2, maka |SG| = |G |! > |G |. Suatu representasi dari G adalah sebarang homomorpisma φ : G → SX untuk

beberapa himpunan X . Representasi regular kiri adalah contoh untuk X = G Contoh penting lain, yang mana |X | secara substansi lebih kecil dari |G |. Hal ini diperoleh bila X = G /H yang mana H adalah suatu subgrup dari G dan tidak harus H subgrup normal dari G . Jadi ruang koset G /H hanya suatu himpunan, tidaklah perlu G /H suatu grup. Difisikan ΦH: G → SG/H oleh ΦH(a)(bH) = abH.

Sifat

Bila H suatu subgrup dari G , maka ΦH: G → SG/H adalah suatu homomorpisma

grup dan Ker(ΦH) adalah subgrup normal terbesar yang termuat dalam H.

Bukti

Bila abH = acH, maka bH = cH, jadi ΦH(a) adalah fungsi satu-satu di G /H dan

surjektif. Sebab, ΦH(a)(a−1bH) = bH. Jadi ΦH(a) ∈ SG/H. Sebagaimana telah

Lanjutan Bukti

Lanjutan Bukti

Jadi Ker(ΦH) ⊳ G dan bila a ∈ Ker(ΦH), maka aH = ΦH(a)(H) = H. Jadi a ∈ H.

Dengan demikian Ker(ΦH) adalah suatu subgrup normal dan Ker(ΦH) ⊆ H.

Selanjutnya bila N ⊳ G dan N ⊆ H, misalkan a ∈ N. Maka

ΦH(a)(bH) = abH = b¯aH= bH sebab b−1ab= ¯a∈ N ⊆ H. Jadi a ∈ Ker(ΦH)

dengan demikian N ⊳ Ker(ΦH) dan Ker(ΦH) adalah subgrup normal terbesar yang

termuat dalam H.

Kegunaan sifat ini dapat dilihat pada kesimpulan berikut. Kesimpulan

Misalkan H < G dengan |G | < ∞ dan |G | tidak membagi |[G : H]|!. Maka ada suatu subgrup N ⊆ H dengan N 6= {e} dan N ⊳ G .

Bukti

Misalkan N adalah representasi permutasi ΦH. Dari sifat sebelumnya N adalah

subgrup normal terbesar dan N ⊆ H. Telah diketahui bahwa G /N ∼= Im(ΦH) < SG/H.

Jadi |G |/|N| = |Im(ΦH)| | |SG/H| = |[G : H]|!. Karena |G | tidak membagi |[G : H]|!,

maka haruslah |N| > 1. Jadi N 6= {e}.

Kesimpulan

Kesimpulan

Misalkan H < G dengan |G | < ∞ sedemikian hingga

(|H|, (|[G : H]| − 1)!) = 1, maka H ⊳ G .

Bukti

Misalkan N = Ker(ΦH). Maka N ⊆ H dan G /N ∼= Im(ΦH). Jadi (|G|/|N|) | |[G : H]|! = (|G|/|H|)! . Maka dari itu

(|G|/|H|).(|H|/|N|) | |[G : H]|!, jadi (|H|/|N|) | (|[G : H]| − 1)!. Tetapi

|H| dan (|[G : H]| − 1)!

Teorema Cauchy

Kesimpulan

Misalkan p adalah bilangan prima terkecil yang membagi|G|. Maka setiap subgrup dari G dengan indeks p adalah subgrup normal.

Bukti

Misalkan H < G dengan|[G : H]| = p dan r = |H| = |G|/p. Maka setiap pembagi prima dari r lebih besar atau sama dengan p, jadi dari kesimpulan sebelumnya (|H|, (|[G : H]| − 1)!) = (r, (p − 1)!) = 1. Maka dari itu H ⊳ G.

Teorema Cauchy

Misalkan G grup dengan|G| < ∞ dan p suatu bilangan prima yang membagi |G|. Maka G mempunyai subgrup dengan order p.

Bukti Misalkan

X={¯a = (a0, a1,· · · , ap−1| ai∈ G, a0a1· · · ap−1= e}.

Didapat suatu representasi dari Zppada X dengan homomorpisma φ : Zp→ SXdiberikan oleh

Lanjutan Bukti

Lanjutan Bukti

φ(i )(¯a) = φ(i )(a0, a1, · · · , ap−1) = (ai, ai+1, · · · ap−1, a0, · · · , ai−1).

Catatan bahwa (ai· · · ap−1) = (a0· · · ai−1)−1, jadi φ(i )(¯a) ∈ X . Selanjutnya dapat

didefinisikan suatu relasi ekivalen pada X oleh ¯a_{∼ ¯b bila φ(i)¯a = ¯b untuk beberapa i.} Maka X dipartisi kedalam klas ekivalen. Dalam hal ini masing-masing klas ekivalen berisi tepat satu elemen atau p elemen dari X . Bila n1banyaknya klas ekivalen dengan

satu elemen dan npmenyatakan banyaknya klas ekivalen dengan p elemen, maka

|X | = n.1 + np.p

Selanjutnya X mempunyai m = |G |p−1elemen, sebab dapat dipilih sebarang a0, · · · , ap−1dan ap−1= (a0· · · ap−2)−1 tunggal. Jelas bahwa m adalah kelipatan

dari p, dengan demikian n1harus dapat dibagi oleh p. Selanjutnya n1≥ 1 sebab ada

suatu klas ekivalen {(e, · · · , e}. Maka dari ada klas ekivalen yang lain dengan tepat satu elemen, semua klas ekivalen ini adalah {a, · · · , a} dan berkenaan dengan definisi anggota X , maka haruslah a ∈ G dan memenuhi ap_{= e. Dengan kata lain ada elemen}

a_{∈ G dengan |a| = p. Dengan demikian didapat H = hai adalah subgrup dari G} dengan |H| = p dan p membagi |G |.

Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅

Definisi

Misalkan G suatu grup dan himpunan takkosong X .Suatu tindakan dari G pada X adalah suatu representasi permutasi Φ : G→ Sx. Umumnya ditulis gx untuk Φ(g)(x). Fakta bahwa Φ adalah suatu homomorpisma berarti

bahwa g(hx) = (gh)x untuk semua g, h∈ G dan x ∈ X sedangkan ex = x dengan e ∈ G adalah elemen identitas. Berkenaan dengan sebarang x∈ X ada Gx ⊆ X dan suatu subgrup G(x) dari G yang didifinisikan sebagai berikut:

1 Gx={gx | g ∈ G} dinamakanorbitdari ari x.

2 G(x) ={g ∈ G | gx = x} dinamakanstabiliserdari x.

Sifat

Misalkan G bertindak pada himpunan berhinnga X , maka

|Gx| = |[G : G(x)]| , untuk setiap x ∈ G.

Bukti Karena

gx= hx⇔ g−1_{h∈ G(x) ⇔ gG(x) = hG(x),}

ada suatu fungsi bijektif φ : Gx→ G/G(x) yang didefinisikan oleh φ(gx) = gG(x). Jadi |Gx| = |[G : G(x)]|. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

Klas Ekivalen dalam suatu Tindakan G

Sifat

Misalkan x

1

, x

2

∈ X dikatakan bahwa x

1

berelasi dengan x

2

yaitu

x

1

∼ x

2

bila ada g ∈ G yang memenuhi gx

1

= x

2

. Relasi ini adalah

relasi ekivelen. Kelas ekivelen dari x

1

adalah Gx

1

.

Bukti

Untuk setiap x ∈ X , maka ex = x, jadi x ∼ x. Selanjutnya bila

x

1

∼ x

2

, maka untuk g ∈ G yang sesuai didapat gx

1

= x

2

.

Sehingga, g

−1

_(gx

₁

_{) = g}

−1

_x

₂

_{atau x}

₁

_{= g}

−1

_x

₂

_{. Jadi x}

₂

_{∼ x}

₁

_.

Berikutnya misalkan x

1

∼ x

2

dan x

2

∼ x

3

, maka untuk g

1

, g

2

∈ G

yang sesuai didapat g

1

x

1

= x

2

dan g

2

x

2

= x

3

. Sehingga diperoleh

(g

2

g

1

)x

1

= g

2

(g

1

x

1

) = g

2

x

2

= x

3

. Jadi x

1

∼ x

3

. Selanjutnya kelas

Sifat

Sifat

Misalkam grup G bertindak pada suatu himpunan berhingga X . Maka

|X | =

N

X

i=1

|[G : G (x

i

)]

| ,

dengan N adalah banyaknya orbit dari G pada X .

Bukti

Dari hasil sebelumnya diketahui bahwa orbit dari G pada X membentuk

suatu partisi pada X . Bila banyaknya orbit dari G pada X adalah N dan

x

i

∈ Gx

i

adalah satu representasi dari orbit Gx

i

, maka

|X | =

N

X

i=1

|Gx

i

| =

N

X

i=1

|[G : G (x

i

)]

| .