2 2
Te
Teori dasar dalam ori dasar dalam anaanalislis a strukta strukt ur mengenaur mengenai i hukhuk um Hooke, um Hooke, teorema teorema Betti, danBetti, dan hukum ti
hukum ti mbal balik mbal balik MaMaxwelxwel A.
A. LemLembar bar InfInforor masmasii 1. Kompetensi :
1. Kompetensi :
Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-1 ini diharapkan mahasiswa Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-1 ini diharapkan mahasiswa Memahami teori dasar dalam analisa struktur mengenai hukum Hooke, teorema Memahami teori dasar dalam analisa struktur mengenai hukum Hooke, teorema Betti, dan hukum timbal balik
Betti, dan hukum timbal balik MaxwelMaxwel 2. M
2. Materi Bateri B elajar elajar Hukum Hooke. Hukum Hooke.
Salah satu prinsip dasar da
Salah satu prinsip dasar dari analisa struktur adalah hukum ri analisa struktur adalah hukum Hooke yangHooke yang menyatakan bahwa pada suatu struktur : hubungan tegangan (
menyatakan bahwa pada suatu struktur : hubungan tegangan (stressstress) dan regangan) dan regangan ((strainstrain) adalah proporsional atau hubungan beban () adalah proporsional atau hubungan beban ( loadload) dan deformasi) dan deformasi ((deformationsdeformations) adalah proporsional. Struktur yang mengikuti hukum Hooke dikatakan) adalah proporsional. Struktur yang mengikuti hukum Hooke dikatakan elastis linier dimana hubungan F dan y berupa garis lurus. Lihat Gambar 1.1-a. , elastis linier dimana hubungan F dan y berupa garis lurus. Lihat Gambar 1.1-a. , sedangkan struktur yang tidak mengikuti hukum Hooke dikatakan Elastis non linier, sedangkan struktur yang tidak mengikuti hukum Hooke dikatakan Elastis non linier, lihat Gambar 1.1-b. lihat Gambar 1.1-b. F F FF F3 F3 F3 F3 F2 F2 F2F2 F1 F1 F1F1 y1 y1 y2 y2 y3y3 y1 y1 y2 y2 y3y3 (a) (b) (a) (b) Gambar 1.1 Gambar 1.1
dari gambar 1.1-a , dari gambar 1.1-a , F = K y
F = K y , dimana F= beban , , dimana F= beban , K = konstanta proporsionaK = konstanta proporsional dan y = l dan y = defleksdefleksi.i. untuk F untuk F33 = (F= (F11+F+F22) ) yy33 = y= y11 + y+ y22 dari gambar 1.1-b , dari gambar 1.1-b , F = K y F = K ynn nn Dimana Dimana : : FF11 = K y= K y11 F F22 = K y= K y nn F F = K y= K y nn
Hukum Betti. Hukum Betti.
Jika suatu struktur elastis li
Jika suatu struktur elastis linier diberikan dua sistim beban terpisah Pnier diberikan dua sistim beban terpisah P11, P, P22, P, P33,,
…
… PPnn, (gambar 1.2-a) dan F, (gambar 1.2-a) dan F11, , FF22, , FF33, …. F, …. Fnn, (gambar 1.2-b) dimana gaya-gaya P, (gambar 1.2-b) dimana gaya-gaya P
menghasilkan deformasi y
menghasilkan deformasi y11 , y, y22, y, y33… y… ynndibawah kedudukan gaya-gaya F dan gaya-dibawah kedudukan gaya F dan
gaya-gaya F menghasilkan deformasi x
gaya F menghasilkan deformasi x11, x, x22, x, x33, …. x, …. xnn, dibawah kedudukan gaya-gaya dari, dibawah kedudukan gaya-gaya dari
P, P, P1 P1 P2 P2 P3 P3 PnPn y1 y1 y2 y2 y3 y3 ynyn Gamba Gambar 1.2r 1.2-a-a F1 F1 F2 F2 F3 F3 FnFn x1 x1 x2 x2 x3 x3 xnxn Gamba Gambar 1.2-r 1.2-bb Maka : P Maka : P11 xx11 + P+ P22 xx22 + …. P+ …. Pnn xxnn = F= F11 yy11 + F+ F22 yy22 + ….. F+ ….. Fnn yynn Atau
Atau : : “ “ jika jika pada pada struktur struktur elastis elastis linier linier bekerja bekerja 2 2 sistem sistem gaya, gaya, maka maka usaha usaha yangyang dilakukan oleh sistem gaya 1 terhadap lendutan yang diakibatkan oleh sistem gaya 2 dilakukan oleh sistem gaya 1 terhadap lendutan yang diakibatkan oleh sistem gaya 2 pada titik titik kerja gaya sistem 1 sama dengan usaha yang dilakukan oleh sistem pada titik titik kerja gaya sistem 1 sama dengan usaha yang dilakukan oleh sistem gaya 2 terhadap lendutan yang disebabkan oleh sistem gaya 1 pada titik-titik kerja gaya 2 terhadap lendutan yang disebabkan oleh sistem gaya 1 pada titik-titik kerja gaya sistem 2 “
gaya sistem 2 “
Hukum Timbal Balik Maxwel (
Hukum Timbal Balik Maxwel (Reciprocal theoremReciprocal theorem))
Jika pada struktur linier elastis bekerja 2 gaya F1 , F2 pada titik 1 dan 2 , maka Jika pada struktur linier elastis bekerja 2 gaya F1 , F2 pada titik 1 dan 2 , maka usaha yang dilakukan oleh gaya F1 terhadap lendutan pada titik 1 yang diakibatkan usaha yang dilakukan oleh gaya F1 terhadap lendutan pada titik 1 yang diakibatkan oleh F2 sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya F2 terhadap lendutan pada oleh F2 sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya F2 terhadap lendutan pada titik 2
titik 2 yang diakibatkayang diakibatkan oleh F1.n oleh F1.
F1 F1 2 2 d d1111 dd2211 1 1 d d1122 F2 F2 d d2 22 2 F1 . d F1 . d1 21 2 = F2 . d= F2 . d2 2 11 Jika F1
( hukum timbal balik Maxwell
( hukum timbal balik Maxwell : : menyatakamenyatakan, pada struktur elastis linier makan, pada struktur elastis linier maka deformasi pada titik 1 akibat gaya 1
deformasi pada titik 1 akibat gaya 1 unit pada titik 2 sama dengan deformasunit pada titik 2 sama dengan deformasi padai pada titik 2 akibat gaya 1 unit pada titik 1. )
titik 2 akibat gaya 1 unit pada titik 1. ) Demikian juga bila gaya
0 0
KULIA
KULIAH PERTEMH PERTEMUAN 2UAN 2 Te
Teori dasar dalam aori dasar dalam analisa struknalisa struk tur mengenai enetur mengenai enersrs i regangan, i regangan, pripri nsip nsip virtvirt ualual wor
wor k, teori momen area k, teori momen area dan prinsdan prins ip Conjip Conj ugate beaugate beamm
A. L
A. L embemb ar Infar Inf oror masmas ii
1. Kompetensi 1. Kompetensi
Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-2 ini diharapkan mahasiswa Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-2 ini diharapkan mahasiswa memahami teori dasar dalam analisa struktur mengenai enersi regangan, prinsip memahami teori dasar dalam analisa struktur mengenai enersi regangan, prinsip virtual work, teori
virtual work, teori Castigliano, teori momen area dan prinsip Conjugate beamCastigliano, teori momen area dan prinsip Conjugate beam 2. Materi Belajar
2. Materi Belajar
ENERSI REGANGAN ENERSI REGANGAN
Suatu struktur akan berdeformasi akibat pengaruh beban luarnya sehingga Suatu struktur akan berdeformasi akibat pengaruh beban luarnya sehingga menghasilkan tegangan dan regangan (internal). Usaha akibat beban yang bekerja menghasilkan tegangan dan regangan (internal). Usaha akibat beban yang bekerja tersebut pada struktur akan tersimpan didalam struktur sebagai suatu enersi yang tersebut pada struktur akan tersimpan didalam struktur sebagai suatu enersi yang disebut “ enersi
disebut “ enersi regangan”.regangan”. 1.
1. Enersi regangan Enersi regangan akibat gaya akibat gaya aksial (Normal aksial (Normal Force)Force)
P P L L dldl linier linier Δ Δ O O P P
Enersi regangan sepanjang dl yang menghasilkan perubahan d Enersi regangan sepanjang dl yang menghasilkan perubahan d ∆ ∆ : :
1 1 11
PdlPdl
dU dUnn
22 Pd Pd
22 PP
,,
AE AE
dimana A = ldimana A = luas penampauas penampang batang, E = ng batang, E = modulus elastismodulus elastis maka total sepanjang L , enersi regangan :
maka total sepanjang L , enersi regangan :
2 2 U
U L LP P dldl , dimana , dimana P, A, dan P, A, dan E. adalah konstan mE. adalah konstan maka :aka : n n
2 2 AE AE P P22 L L U Unn
2 2 AE AE0 0
2 2
2.
2. Enersi Enersi regangan regangan akibat akibat gaya gaya LenturLentur
d dθθ M M MM dl , I dl , I Rotasi relatif d
Rotasi relatif dθθ dari kedua ujung elemen yang berhubungan dengan M : dari kedua ujung elemen yang berhubungan dengan M : d
d
Mdl Mdl EI EI , I = momen inertia, I = momen inertia 2 2 dUm dUm
11 M d M d
M M dldl 2 2 22 EI EI 2 2 22 L L M M sepanjang sepanjang L L :: UmUm
dldl
M M LL 00 22 EI EI 22 EI EI
3.
3. Enersi regangan akibat gaya GeserEnersi regangan akibat gaya Geser
d d AA dy dy dy dy B B VV dL dL Regangan geser Regangan geser d d
dydy
dL dL f fss
V V GG AGAG , dimana : G = modulus rigidity, dimana : G = modulus rigidity
Sepanjang kedalaman AB maka enersi regangan : Sepanjang kedalaman AB maka enersi regangan :
2 2 dUs dUs
11V dyV dy
V V dldl 2 2 22GAGA 2 2 22 L LV V sepanjangsepanjang L ,L , maka :maka :UsUs
dldl
V V LL 00 22GAGA 22GAGA
4.
4. Enersi regEnersi regangan angan akibat akibat gaya gaya TorsiTorsi
Dengan cara yang sama untuk batang yang bulat akibat beban torsi, maka enersi Dengan cara yang sama untuk batang yang bulat akibat beban torsi, maka enersi regangan :
regangan : U U L LTT22
dl dl
T T LL ,, tt
2 2GJ GJ 22GJ GJdimana : T = gaya torsi dan J = momen inersia polar penampang dimana : T = gaya torsi dan J = momen inersia polar penampang
cc
PRINSIP VIRTUAL WORK PRINSIP VIRTUAL WORK
Prinsip virtual work atau kerja virtuil pada dasarnya menerapkan beban satu satuan Prinsip virtual work atau kerja virtuil pada dasarnya menerapkan beban satu satuan pada titik yang ditinjau untuk
pada titik yang ditinjau untuk melihat pengarumelihat pengaruh lendutan h lendutan pada titik tersebut.pada titik tersebut.
C C 1 sat 1 sat S S ss S S dldl ss dldl
Suatu benda elastis dibeban
Suatu benda elastis dibebani P1, P2, i P1, P2, M1 akan dicari peralihan horizontaM1 akan dicari peralihan horizontal di l di titik Ctitik C (misalkan arah ke kanan).
(misalkan arah ke kanan).
Tinjau suatu elemen panjang dl, dimana luas penampang A , S = gaya yang bekerja Tinjau suatu elemen panjang dl, dimana luas penampang A , S = gaya yang bekerja pada elemen tersebut, maka perpanjangan pada elemen ,
pada elemen tersebut, maka perpanjangan pada elemen ,
ll S dlS dl AE AE
Di titik C diberi beban virtuil 1 satuan beban horizontal arahnya sama dengan arah Di titik C diberi beban virtuil 1 satuan beban horizontal arahnya sama dengan arah peralihan yang dimisalkan. Pada elemen tesebut
peralihan yang dimisalkan. Pada elemen tesebut bekerja gaya sebesarbekerja gaya sebesar ss..
Jika beban aktual P1, P2, M1 disuperposisikan dengan beban virtual 1 satuan di titik Jika beban aktual P1, P2, M1 disuperposisikan dengan beban virtual 1 satuan di titik C maka berlaku :
C maka berlaku : 1.1.ddhh
{{ss.(.(S dlS dl)})} , dimana, dimana
= jumlah total dari seluruh= jumlah total dari seluruhelemen. elemen.
n
n AE AE nn
Untuk mengetahui besaran putaran sudut pad
Untuk mengetahui besaran putaran sudut pada suatu a suatu titik maka pada titik titik maka pada titik tersebuttersebut diberi momen virtuil 1 satuan beban searah putaran sudutnya, pada elemen tersebut diberi momen virtuil 1 satuan beban searah putaran sudutnya, pada elemen tersebut akan bekerja jaya sebesar
akan bekerja jaya sebesar ss, maka berlaku :, maka berlaku : 1.1.
{{ss.(.(S dlS dl)})} nn AE AE
Aplikasi prinsip v
Aplikasi prinsip virtual work pada balokirtual work pada balok..
Load Load Mx Mx x x CC V=1 V=1 x x m mxx E E , , I I , , L L E E , , I I , , LL a) a) b) b)
Pada gambar a) balok diberi sistim beban terpusat dan merata, untuk menghitung Pada gambar a) balok diberi sistim beban terpusat dan merata, untuk menghitung defleksi vertical di titik C maka diperlukan balok yang sama dengan beban luar yang defleksi vertical di titik C maka diperlukan balok yang sama dengan beban luar yang dihilangkan dan diberi beban 1 satuan arah vertical pada titik C, sedangkan untuk dihilangkan dan diberi beban 1 satuan arah vertical pada titik C, sedangkan untuk menghitung rotasi / putaran sudut di titik C maka beban virtual yang dipasang di titik menghitung rotasi / putaran sudut di titik C maka beban virtual yang dipasang di titik C adalah beban momen 1 satuan.
C adalah beban momen 1 satuan. Adapun kete
c c
x x
M
Mxx= momen lentur pada setiap titik x aki= momen lentur pada setiap titik x akibat beban actualbat beban actual
M
Mxx= momen lentur pada titik = momen lentur pada titik x akibat beban virtual yang dipasanx akibat beban virtual yang dipasang.g.
IIxx = momen inertia penampang dari balok di x= momen inertia penampang dari balok di x
d
dxx = panjang elemen kecil dari balok di x= panjang elemen kecil dari balok di x
E
E = = modulus modulus elastiselastis Rotasi d
Rotasi dθθ , sepanjang dx, akibat momen actual M , sepanjang dx, akibat momen actual Mxx ::
d
d
M
M
x xdx
dx
EI
EI
x xPersama
Persamaan usaha internal dan an usaha internal dan eksternal dari sistim virtual, eksternal dari sistim virtual, dapat ditetapkan :dapat ditetapkan :
1.
1.
dd vv L L
mm x x((
d d
))
L L1.
1.
d
d
vv
m
m
((
M
M
x xdx
dx
))
c c xxEI
EI
TEORI MOMEN AREA TEORI MOMEN AREA
Teori momen area pertama : Teori momen area pertama : “Perubahan sudut antara titik A
“Perubahan sudut antara titik A dan B pada struktur dan B pada struktur melendumelendut, atau kemiringan t, atau kemiringan sudutsudut pada titik B terhadap kemiringan sudut pada titik A. Didapat dengan menjumlahkan pada titik B terhadap kemiringan sudut pada titik A. Didapat dengan menjumlahkan luas diagram M/EI dibawah kedua titik
B B A A Persamaan dasar : Persamaan dasar : d d
M M dx dx EI EI B B M MPutaran sudut pada balok yang melentur : Putaran sudut pada balok yang melentur : Teori momen area kedua :
Teori momen area kedua :
A A
dx dx
A A E EI I
“Lendutan pada titik B dari Struktur yang melendut dengan berpatokan pada garis “Lendutan pada titik B dari Struktur yang melendut dengan berpatokan pada garis tangent terhadap titik A dari struktur didapat dengan menjumlahkan statis momen tangent terhadap titik A dari struktur didapat dengan menjumlahkan statis momen dari luas diagram M/EI di bawah kedua titik tersebut”.
dari luas diagram M/EI di bawah kedua titik tersebut”. Persamaan dasar Persamaan dasar
x x M M dxdx EI EI B B M MLendutan pada balok yang
Lendutan pada balok yang melenturmelentur B B
A A EI EIX X dx dx
KULIAH PERTEMUAN 3 KULIAH PERTEMUAN 3
Defleksi elastis rangka batang dengan metode unit load Defleksi elastis rangka batang dengan metode unit load
A.
A. Lembar InformasiLembar Informasi 1. Kompetensi 1. Kompetensi
Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-3 ini diharapkan mahasiswa dapat Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-3 ini diharapkan mahasiswa dapat menghitung defleksi pada rangka batang dengan metode unit
menghitung defleksi pada rangka batang dengan metode unit loadload 2. M
2. Materi Bateri B elajar elajar
DEFLEKSI ELASTIS PADA RANGKA BATANG (STATIS TERTENTU) DEFLEKSI ELASTIS PADA RANGKA BATANG (STATIS TERTENTU) Defleksi pada rangka b
Defleksi pada rangka batang atau atang atau peralihan titiperalihan titik kumpul pk kumpul pada rangka batang dapat verticalada rangka batang dapat vertical dan horizontal, (pada
dan horizontal, (pada vertikal biasanya disebut vertikal biasanya disebut lendutan/penlendutan/penurunan). Untuk menghitungurunan). Untuk menghitung lendutan pada rangka batang dapat digunakan metoda : Unit Load
lendutan pada rangka batang dapat digunakan metoda : Unit Load Method, AnMethod, Angle Weights,gle Weights, Joint-displacm
Joint-displacment, ent, Williot-Mohr (Graphical).Williot-Mohr (Graphical).
Adapun perbedaan fungsi pemakaian metode tersebut : Adapun perbedaan fungsi pemakaian metode tersebut :
1.
1. Unit Load MethodUnit Load Method
Metode ini menggunakan beban 1 sat
Metode ini menggunakan beban 1 satuan yang akan menghasilkan satu uan yang akan menghasilkan satu komponkomponenen lendutan/ peralihan titik kumpul baik pada arah vertikal at
lendutan/ peralihan titik kumpul baik pada arah vertikal at au arah horizontal saja.au arah horizontal saja. 2.
2. Angle WeightsAngle Weights
Metode yang memanfaatkan perubahan sudut
Metode yang memanfaatkan perubahan sudut yanyang dijadikan sebagai beg dijadikan sebagai be banban berdasarkan Conju
berdasarkan Conjugate beam, sehingga di dapat lendgate beam, sehingga di dapat lendutan vertikal pada seluruh titikutan vertikal pada seluruh titik kumpul
kumpul pada batang atas (upper chord) atau batang pada batang atas (upper chord) atau batang bawah bawah (lower chord) dalam satu(lower chord) dalam satu operasi perhitungan.
operasi perhitungan. 3.
3. Joint-DisplacementJoint-Displacement
Peralihan titik kumpul arah Ho
Peralihan titik kumpul arah Horizontal maupun Vertikal pada seluruh trizontal maupun Vertikal pada seluruh titik kumpulitik kumpul dapat dihasilkan dalam waktu yang sama (bersamaan).
dapat dihasilkan dalam waktu yang sama (bersamaan). 4.
4. Williot-Mohr Williot-Mohr (Graphical(Graphical))
Perhitungan secara grafis untuk per
Perhitungan secara grafis untuk peralihan titik kumpul balihan titik kumpul baik arah Horaik arah Horizontal maupunizontal maupun Vertikal pada waktu yang sama (bersamaan).
Vertikal pada waktu yang sama (bersamaan). Dalam modul i
Dalam modul ini hanya dibahni hanya dibahas dua metode yaitu Unias dua metode yaitu Unit Load t Load dan Angldan Angle Weightse Weights
1.
1. UNIT UNIT LOAD LOAD MENTHODMENTHOD
Metode ini hanya dapat menghitung satu komponen peralihan titik kumpul saja untuk sat Metode ini hanya dapat menghitung satu komponen peralihan titik kumpul saja untuk sat uu kali perhitungan. (misal: vertikal at
kali perhitungan. (misal: vertikal at au horizontal)au horizontal)
Dimana: Dimana: δ
δ = = Peralihan Peralihan vertikal vertikal atau hatau horizontal orizontal titik titik kumpulkumpul.. u
uii = Gaya batang akibat beb= Gaya batang akibat beban 1 satuan an 1 satuan yang dipasang pada titik kumpul yang akanyang dipasang pada titik kumpul yang akan dicari peralihannya (arah beban sama dengan arah pera
dicari peralihannya (arah beban sama dengan arah pera lihan yang diminlihan yang diminta)ta) Δ
Δl l = Perpanjangan atau perpen= Perpanjangan atau perpendekan batang akibdekan batang akibat beban yanat beban yang diketahui.g diketahui.
Dimana: Dimana:
ll
,, A A.. E ES
S = = Gaya Gaya batang batang akibat bakibat beban eban yang yang bekerja.bekerja. L
L = = Panjang Panjang BatangBatang A
A = = Luas Luas Penampang Penampang BatangBatang E
E = = Modulus Modulus Elastisitas Elastisitas BatangBatang Tahapan:
Tahapan: 1.
1. Menghitung gaya batang (S) akibat beban luarMenghitung gaya batang (S) akibat beban luar 2.
2. MenghitungMenghitung ΔΔl tiap batangl tiap batang 3.
3. Letakan P = 1 Letakan P = 1 sat dititik kumsat dititik kumpul yang akan dipul yang akan dicari peracari peralihannylihannya dengan arah gayaa dengan arah gaya yang sesuai dengan harapan atau peralihan yang dicari (vert
yang sesuai dengan harapan atau peralihan yang dicari (vert ikal/horiikal/horizontal).zontal). 4.
4. Menghitung gaya batang U akibat beban 1 satuan tersebut.Menghitung gaya batang U akibat beban 1 satuan tersebut. 5.
5. HitungHitung δδ berdasarkan rumus berdasarkan rumus
uiui
((
ll))ii 110110 6.6.
Contoh: Perhitungan defleksi pada titik kumpul Contoh: Perhitungan defleksi pada titik kumpul
3 t 3 t 2 t 2 t 2 t2 t 1 1 t t 1 1 tt C C D D E E F F GG 2 3 4 5 2 3 4 5 1 11 12 1 11 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 66 A A 1010 KK 99 JJ 88 HH 77 BB 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m2m
Diketahui semua batang : A = 6,16
Diketahui semua batang : A = 6,16 cmcm22 , E = 2,1.10, E = 2,1.1066 Kg/cmKg/cm22 Hitung peralihan titik kumpul
Hitung peralihan titik kumpul a)
b)
b) DDHH(arah horizontal)(arah horizontal) Solusi:
Solusi: 1.
1. Hitung gaya-gaya batang akibat beban luar (lihat tabel), Hitung gaya-gaya batang akibat beban luar (lihat tabel), misalmisal: S: S11= - 4,5 ton S= - 4,5 ton S22 s/d Ss/d S77 ditabel.
ditabel. 2.
2. ΔΔl pada batang 1l pada batang 1 ΔΔll11 ==
4,54,5tonton
22mm == 6,16 6,16cmcm22
2,1.102,1.1066kgkg// cmcm22
45004500kgkg
200200cmcm 6,16 6,16cmcm22
2,1.102,1.1066kgkg// cmcm22
0,06960,0696cmcm (perpendekan)(perpendekan) 3.3. Pasang beban 1 satuan di titik K arah vertPasang beban 1 satuan di titik K arah vert ikal (bawah) dan di D arah horizontal (kiri)ikal (bawah) dan di D arah horizontal (kiri) 4.
4. Hitung gaya batang akibat 1 satHitung gaya batang akibat 1 sat uan di titik sehingga didapat Ui untukuan di titik sehingga didapat Ui untuk δδ di Kv, juga di Kv, juga untuk di titik D hingga didapat Ui Untuk
untuk di titik D hingga didapat Ui Untuk δδ di D di DHH.. 5.
5. MenghitungMenghitung δδ (lihat tabel). (lihat tabel). 6.
6. Hasil dari Tabel, di dapat:Hasil dari Tabel, di dapat: δδ di Kv = 0,404303 cm (arah ke bawah, sesuai pemisalan), di Kv = 0,404303 cm (arah ke bawah, sesuai pemisalan), δ
δ di D di DHH= 0,1329 cm (arah kanan, kebalikan dar= 0,1329 cm (arah kanan, kebalikan dari pemisalan).i pemisalan).
TABEL PERALIHAN TITIK KUMPUL TABEL PERALIHAN TITIK KUMPUL
No No Batang Batang Pa Pann anangg L (cm) L (cm) Gaya btg Gaya btg S (ton) S (ton) Δ Δll (c(cmm)) (3) (3) U U ununtutuk k Kv Kv (4) (4) U U ununtutuk k Dh Dh (5) (5) Kv Kv (cm) (cm) (3)*(4) (3)*(4) Dh Dh (3)*(5) (3)*(5) 1 1 22000 0 --44,,5 5 --00,,00669966 --00,,7755 --00,,2255 00,,0055222 2 00,,00117744 2 2 22000 0 --33,,5 5 --00,,00554411 --00,,7755 --00,,2255 00,,0044006 6 00,,00113355 3 3 22000 0 --33,,5 5 --00,,00554411 --00,,7755 00,,7755 00,,0044006 6 --00,,00440066 4 4 22000 0 --33,,5 5 --00,,00554411 --00,,2255 00,,2255 00,,0011335 5 --00,,00113355 5 5 22000 0 --33,,5 5 --00,,00554411 --00,,2255 00,,2255 00,,0011335 5 --00,,00113355 6 6 22000 0 --44,,5 5 --00,,00669966 --00,,2255 00,,2255 00,,0011774 4 --00,,00117744 7 7 22000 0 0 0 00,,00000000 00 00 00,,0000000 0 00,,00000000 8 2 8 2000 0 55,,1 1 00,,00778888 00,,55 --00,,55 00,,0033994 4 --00,,00339944 9 2 9 2000 0 55,,1 1 00,,00778888 00,,55 --00,,55 00,,0033994 4 --00,,00339944 1 10 0 22000 0 0 0 00,,00000000 00 --11 00,,0000000 0 00,,00000000 1 11 1 22883 3 44,,995 5 00,,11008833 11,,0066 00,,3355 00,,1111448 8 00,,00337799 1 12 2 22000 0 --2 2 --00,,00330099 00 00 00,,0000000 0 00,,00000000 13 13 283 283 -2,2 -2,2 -0,0481 -0,0481 0,35 0,35 -0.35 -0.35 -0,0168 -0,0168 0,01680,0168 14 14 200 200 0 0 0,0000 0,0000 0 0 0 0 0,0000 0,0000 0,00000,0000 1 15 5 22883 3 --22,,2 2 --00,,00448811 --00,,3355 00,,3355 00,,0011668 8 --00,,00116688 1 16 6 22000 0 --2 2 --00,,00330099 00 00 00,,0000000 0 00,,00000000 1 17 7 22883 3 44..995 5 00,,11008833 00,,3355 --00,,3355 00,,0033779 9 --00,,00337799 TOTAL TOTAL 0,40930,4093 cm cm -0,1330 -0,1330 cm cm Nilainy Nilainyaa ARAH ARAH 0,4093 cm 0,4093 cm Kebawah Kebawah 0,1330 cm 0,1330 cm Kekanan Kekanan
B.
B. Lembar Lembar LatihanLatihan
LENDUTAN (UNIT LOAD METHOD) LENDUTAN (UNIT LOAD METHOD) Hitung Lendu
Hitung Lendutan di arah Vertikal dan Horizontal pada ttan di arah Vertikal dan Horizontal pada t itik C dari struktur berikut :itik C dari struktur berikut : Dimana : semua batang dengan A = 25 cm
Dimana : semua batang dengan A = 25 cm22dan E = 2.10dan E = 2.1066kg/cmkg/cm22= 200.10= 200.1099Pa N/mPa N/m22
b b 225 225knkn 3m 3m 22 c c 1 1 3 3 3m 3m 5 5 a a 44 4m 4m 4m 4m d d 150 KN 150 KN
Yang harus di hitung : Yang harus di hitung :
-- Gaya batang akibat beban luarGaya batang akibat beban luar
-- Gaya batang akibGaya batang akibat beban 1 sat beban 1 satuan di titik atuan di titik C dengan C dengan arah horizontal untuk arah horizontal untuk lendutan klendutan kee arah horizontal dan 1 satuan beban di t
3 3 m m 3 3 m m Solusi : Solusi : Hitung
Hitung Gaya Gaya batang batang akibat akibat beban beban luar luar (hasil (hasil lihat lihat tabel)tabel) Hitung
Hitung ΔΔ l tiap batang, l tiap batang, ΔΔ l = l = S S .. L L
E
E .. A A (hasil lihat tabel)(hasil lihat tabel)
Gaya
Gaya batang batang akibat akibat beban beban 1 1 satuan satuan di di C C arah arah vertikal vertikal (hasil (hasil lihat lihat tabel)tabel) b b Hb Hb 225 kN 225 kN 2 2 1 1 cc 1 Satuan1 Satuan 3 3 5 5 1 Satuan 1 Satuan a a 44 Ha Ha 4m 4m 4m4m d d 150 KN 150 KN
Tabel Gaya batang akibat beban luar dan akibat
Tabel Gaya batang akibat beban luar dan akibat beban 1 satuan di C arah Ybeban 1 satuan di C arah Y
Batang Batang S S (KN)(KN) Gaya Batang Gaya Batang Aktual Aktual Δ Δll (mm) (mm) U U Gaya Batang Gaya Batang Virtual Virtual Ui UiΔΔll 1 1 3377..550 0 00..4455 00..55 00..22225500 2 2 - - 6622..550 0 - - 00..662255 -- 00..883333 00..55220088 3 3 --225500 -- 22..55 00 00 4 4 220000 33..22 00 00 5 5 - - 118877..5 5 - - 11..887755 00..883333 - - 11..55662255 Σ Σ nilai nilai -0.8167 -0.8167 0.8167 m
0.8167 mm m (arah ke (arah ke atas)atas)
Dengan cara sama untuk lendutan pada t
Dengan cara sama untuk lendutan pada t itik C arah Horizontal, maka :itik C arah Horizontal, maka : Tabel gaya batang akibat beban luar
Tabel gaya batang akibat beban luar dan akibat beban 1 satuan di C ardan akibat beban 1 satuan di C arah horizontal.ah horizontal.
Batang S Batang S ΔΔll UU UUiiΔΔll 1 1 37.50 37.50 0.45 0.45 - - 0.38 0.38 - - 0.16880.1688 2 2 -- 6622..550 0 - - 00..662255 00..6633 -- 00..33990066 3 3 --225500 --22..55 00 00 4 4 220000 33..22 00 00 5 5 -- 118877..5 5 - - 11..887755 00..6633 -- 11..11771199 Σ Σ nilai nilai -- 1.71.7313 313 mmmm 1.7313 m
KULIAH PERTEMUAN 4 KULIAH PERTEMUAN 4
Defleksi elastis rangka batang dengan metode angle weights Defleksi elastis rangka batang dengan metode angle weights
A.
A. Lembar InformasiLembar Informasi 1. Kompetensi 1. Kompetensi
Mahasiswa dapat menghitung defleksi pada rangka batang dengan metode angle Mahasiswa dapat menghitung defleksi pada rangka batang dengan metode angle weights
weights 2. M
2. Materi Bateri B elajar elajar
ANGLE WEIGHTS ANGLE WEIGHTS
( Untuk Penurunan Rangka Batang, Statis Tertentu) ( Untuk Penurunan Rangka Batang, Statis Tertentu) Rumus yang dipakai (sebagai patokan pada
Rumus yang dipakai (sebagai patokan pada ΔΔ ABC) ABC) catatan: penurunan rumus lihat hal 55-57 Chu Kia
catatan: penurunan rumus lihat hal 55-57 Chu Kia WangWang Perubahan sudut : Perubahan sudut : C C b b aa A A BB c c Δ
Δ A = ( A = (εεAA – – εεBB) Cotg C + () Cotg C + (εεAA – – εεCC) Cotg B) Cotg B Δ
Δ B = ( B = (εεBB – –εεCC) Cotg A + () Cotg A + (εεBB – – εεAA) Cotg C) Cotg C Δ
Δ C = ( C = (εεCC – – εεAA) Cotg B + () Cotg B + (εεCC – –εεBB) Cotg A) Cotg A
llDimana,
Dimana, εεAA= regangan panjang batang a == regangan panjang batang a = aa
ll
aaTahapan perhitungan dalam menghitung lendutan rangka batang sebagai berikut Tahapan perhitungan dalam menghitung lendutan rangka batang sebagai berikut ::
1.
1. MenghitunMenghitung gaya-gaya batang S g gaya-gaya batang S , akibat beban luar (ton), akibat beban luar (ton) 2.
2. Menghitung perpanjangan batangMenghitung perpanjangan batang ΔΔ l = l =
llS S .. L L
E
E .. A A (cm), akibat beban luar(cm), akibat beban luar
3.
3. Menghitung reganganMenghitung regangan
(dibuat dalam satuan 10(dibuat dalam satuan 10-4-4))ll
4.
4. Menghitung perubahan sudut pada titik kumpul yang akan Menghitung perubahan sudut pada titik kumpul yang akan dicari lendutannyadicari lendutannya (vertikal)
(vertikal) 5.
5. MenghitunMenghitung lendutan pada tg lendutan pada t itik kumitik kumpul berdasarkan pul berdasarkan “conjugate beam method” (harga“conjugate beam method” (harga perubahan su
2 2 m m Contoh: Contoh: 3 t 3 t 2 t 2 t 2 t2 t 1 1 t t 1 1 tt C C D D E E F F GG 2 3 4 5 2 3 4 5 1 1 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 66 A A 1010 KK 99 JJ 88 HH 77 BB 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m
Diketahui : seluruh batang luas penampang = A =
Diketahui : seluruh batang luas penampang = A = 6,16 cm6,16 cm22, E = 2,1.10, E = 2,1.1066kg/cmkg/cm Hitung peralihan vertikal di titik J, K, H.
Hitung peralihan vertikal di titik J, K, H. Solusi:
Solusi:
1). Gaya batang S akibat beban luar. 1). Gaya batang S akibat beban luar.
No
No S (ton) S (ton) No No SS (ton)(ton) NoNo SS (ton)(ton) 1 1 44..5 5 6 6 --44..55 1122 22 2 2 -3.5 -3.5 7 7 0 0 13 13 -2.12-2.12 3 3 --33..55 88 55 1144 00 4 4 --33..5 5 9 9 55 1155 --22..1122 5 5 --33..5 5 110 0 00 1166 --22 1 11 1 44..9955 1177 44..9955
2). Pertambahan panjang batang
2). Pertambahan panjang batang ΔΔ l = l = S S .. L L E E .. A A
No No L (cm)L (cm) ΔΔl l ((ccmm)) NNoo LL ((ccmm)) ΔΔl (cm)l (cm) 1 1 22000 0 --00..00669966 1111 228833 00..11008833 2 2 22000 0 --00..00554411 1212 220000 --00..00330099 3 3 22000 0 --00..00554411 1313 228833 --00..00448811 4 4 220000 --00..00554411 1144 220000 00 5 5 22000 0 --00..00554411 1515 228833 --00..00448811 6 6 22000 0 --00..00669966 1616 220000 --00..00330099 7 7 22000 0 0 0 1177 228833 00..11008833 8 8 200 200 0.07880.0788 9 9 200 200 0.07880.0788 10 10 200 200 00
3). Regangan 3). Regangan
ll ll No No εε NoNo εε 1 1
0.06960.0696
3.48.103.48.1044 200 200 1 111 33..882299..1100 --2 2 -2. -2. 705.10705.10-- 1122 --11..554455..1100 --3 3 -2. -2. 705.10705.10-- 13 13 -1.701.10-1.701.10 --4 4 -2. -2. 705.10705.10-- 1414 00 5 5 -2. -2. 705.10705.10-- 1155 --11..770011..1100 --6 -3.48.10 6 -3.48.10-- 1166 --11..554455..1100 --7 7 0 0 1177 33..882299..1100 --8 3.94.10 8 3.94.10 --9 3.94.10 9 3.94.10 --10 0 10 0 4.4. Perubahan sudut pada titik kumpulPerubahan sudut pada titik kumpul Titik K
Titik K segitiga
segitigaCKACKA ΔΔ K K 11 = (= (εε11 – – εε1010) Cotg A + () Cotg A + (εε11 – – εε1111) Cotg C) Cotg C =
= (-3.48-0) (0) + (-3.48 – 3.829) (1) = -(-3.48-0) (0) + (-3.48 – 3.829) (1) = -7.3097.309 segitiga
segitigaDKCDKC ΔΔ K K 22= (= (εε22 – – εε1111) Cotg C + () Cotg C + (εε22 – –εε1212) Cotg D) Cotg D =
= (-2.705-3.829) (1) + (-2.705 – (-1.545)) (0) = -6(-2.705-3.829) (1) + (-2.705 – (-1.545)) (0) = -6 segitiga
segitigaDKEDKE ΔΔ K K 33 = (= (εε33 – – εε1212) Cotg D + () Cotg D + (εε33 – –εε1313) Cotg E) Cotg E =
= (-2.705+1.545) (0) + (-2.705 + 1.701) (1) = -1.004(-2.705+1.545) (0) + (-2.705 + 1.701) (1) = -1.004 segitiga
segitigaEKJEKJ ΔΔ K K 44= (= (εε1414 – –εε1313) Cotg E + () Cotg E + (εε1414 – –εε99) Cotg J) Cotg J = = (0+1.701) (1) + (0– 3.94) (0) = (0+1.701) (1) + (0– 3.94) (0) = 1.7011.701 Jadi JadiΔΔK =K =ΔΔK K 11 ++ ΔΔ K K 22 ++ ΔΔ K K 33++ΔΔ K K 44 = -13.146 x 10= -13.146 x 10-4-4 Titik J Titik J segitiga
segitigaKJEKJE ΔΔ J JII == (-1.701-3.94) (1) + (1.701-0) (1) = -7.342(-1.701-3.94) (1) + (1.701-0) (1) = -7.342 segitiga
segitigaHJEHJE ΔΔ J J22== (-1.701-0) (1) + ((-1.701-0) (1) + (1.701-31.701-3.94) (1) = .94) (1) = -7.342-7.342 Jadi
JadiΔΔ J = -7.342 – 7.342 = -14.684.10 J = -7.342 – 7.342 = -14.684.10-4-4
Titik H Titik H segitiga
segitigaEHJEHJ ΔΔ H HII == (0+1.701) (1) + (0– 3.94) (0) = 1.701(0+1.701) (1) + (0– 3.94) (0) = 1.701 segitiga
segitiga
segitigaGHBGHB ΔΔ H H44 == (-3.48-0) (0) + (-3.483.829) (1) = -7.309(-3.48-0) (0) + (-3.483.829) (1) = -7.309 Jadi
JadiΔΔH H = = -13.146.10-13.146.10-4-4
5.
5. ConjConjugate tugate trussruss
Lendutan di titik K, J, H
Lendutan di titik K, J, H di hitung berdasarkan “Conjudi hitung berdasarkan “Conjugate Beam method” dimana perubahangate Beam method” dimana perubahan sudut ditiap titik yang ditinjau menjadi beban pada balok AB yang merupakan lower chord sudut ditiap titik yang ditinjau menjadi beban pada balok AB yang merupakan lower chord dari rangka batang.
dari rangka batang.
K = K =-13.146 x 10-13.146 x 10-4-4 J J HH A A BB K K J J H H 77
2
2m
m
2
2m
m
2
2m
m
2
2m
m
RA RA untuk perhitunganuntuk perhitungan Lendutannya d Lendutannya dapat dihitung darapat dihitung dari momen di titik yang di momen di titik yang dicari lendutannyaicari lendutannya akibat beban conjugate.
akibat beban conjugate. Σ
Σ M MBB = 0= 0 RA.8 - (13.146.10RA.8 - (13.146.10-4-4) (6) – ) (6) – (14.684.10(14.684.10-4-4) (4) - (13.146.10) (4) - (13.146.10-4-4) (2) = 0) (2) = 0 Maka : RA = 20.488.10
Maka : RA = 20.488.10-4-4 Momen di dititik K.
Momen di dititik K. lendulendutan tan vertikal di K =vertikal di K = ΔΔKv = Ra x 200 cKv = Ra x 200 c m = 20.488.10m = 20.488.10-4-4. 200 cm =. 200 cm = 0.4098 cm
0.4098 cm M
MJJ lendutan vertikal di J =lendutan vertikal di J = ΔΔJv = Ra x jarak –Jv = Ra x jarak – ΔΔK x jarak = 20.488.10K x jarak = 20.488.10-4-4(400) - 13.146.10(400) - 13.146.10-4-4 (200) = 0.5566 cm
(200) = 0.5566 cm M
MHH lendutan vertikal di H =lendutan vertikal di H = ΔΔHv = 20.488.10Hv = 20.488.10-4-4(600) - 13.146.10(600) - 13.146.10-4-4(400) = 0.4098 cm(400) = 0.4098 cm Sehingga hasil lendutan elastis batang dapat
2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m K K J J HH A A BB K K J J H H 77 Gambar l Gambar l endutanendutan 0.4098 cm
0.4098 cm
0.5666 cm
B.
B. Lembar LatihanLembar Latihan
Hitung lendutan vertikal di titik L
Hitung lendutan vertikal di titik L11, L, L22, L, L33, L, L44, L, L55 pada struktur rangka b pada struktur rangka berikut :erikut : Dimana : batang diagonal luas penampang A = 200 c
Dimana : batang diagonal luas penampang A = 200 c mm22, batang tegak luas penampang A=, batang tegak luas penampang A= 120 cm
120 cm22, batang horisontal luas penampang A = 150 cm, batang horisontal luas penampang A = 150 cm22, E = 2.1 x 10, E = 2.1 x 1066kg/cmkg/cm22 3 3 t t 6 6 t t 3 3 tt U1 U1 U2 U2 U3 U3 U4 U4 U5U5 4 m 4 m A A LL11 LL22 LL33 LL44 LL55 BB 6 @ 3 m 6 @ 3 m
KULIA
KULIAH PERTEMH PERTEMUAN 5UAN 5 De
Defleksi fleksi elastis pelastis p ada baada balok lok dengan metode Integrasidengan metode Integrasi A. L
A. L embembar Inar Infforor masmasii 1. Kompetensi
1. Kompetensi
Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-5 ini
Setelah selesai mempelajari kuliah pertemuan ke-5 ini diharapkadiharapkan mahasiswa dapatn mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dan portal dengan metode Integrasi
menghitung defleksi elastis pada balok dan portal dengan metode Integrasi 2. M
2. Materi Bateri B elajar elajar METODE INTEGRASI METODE INTEGRASI Untuk putaran sudut
Untuk putaran sudut (Sudut kemiringan)(Sudut kemiringan) Persamaan dasar :
Persamaan dasar : d d
M M dxdx, diintegralkan, diintegralkan
M M dxdx
C C EIEI EI EI 33
Untuk lendutan struktur : dy =
Untuk lendutan struktur : dy = θθ dx , diintegralkan dx , diintegralkan y y
dxdx
C C4 4 Secara Umum Secara Umum Sistim beban Sistim beban a) a) b)
b) Persamaan garis bebanPersamaan garis beban
c) c) d) d) e) e) f) f)
Hubungan antara momen positif dan Hubungan antara momen positif dan kelengkungan (curvature) positif kelengkungan (curvature) positif
Pada gambar a) menunjukan balok yang diberi sembarang beban, b) beban yang Pada gambar a) menunjukan balok yang diberi sembarang beban, b) beban yang memiliki persamaan garis beban, c) menetukan gaya geser dari persamaan garis memiliki persamaan garis beban, c) menetukan gaya geser dari persamaan garis
dv dv beban beban dm dm
p p;; dxdx VV
pdx pdx
C C 11 , d) menentukan momen dari persamaan gaya geser, d) menentukan momen dari persamaan gaya geser
VV;; dxdx M M
vdxvdx
CC22 , e) menentukan putaran sudut dari persamaan momen, e) menentukan putaran sudut dari persamaan momen d d
M M ;;
dx EI dx EI dy dy
M M EI EI
CC33 , f) menentukan lendutan/defleksi dari persamaan putaran, f) menentukan lendutan/defleksi dari persamaan putaransudut
sudut
;; dxdx y y
dxdx
CC44Penerapan pada Balok. Penerapan pada Balok. Contoh 1.
Contoh 1. Struktur dibawah ini menerima beban mStruktur dibawah ini menerima beban merata segitigerata segitiga dengan q a dengan q max max = 3= 3 k/ft ,
k/ft , Tentukan persamTentukan persamaan kemiringan sudut batang (aan kemiringan sudut batang (θθ) dan persamaan lendutan (y).) dan persamaan lendutan (y).
P P 3 3K/ftK/ft a a bb EI constan EI constan 10’ 10’ x x R R ayay R R by by Solusi : Solusi : Reaksi : R
Reaksi : Rayay = = 10 10 k k dan dan RRbyby = 5 k= 5 k
Persamaan beban : Persamaan beban : p = p = 0.3x 0.3x - 3- 3 Persamaan geser: Persamaan geser: V V
PdxPdx
C C 11
(0.3(0.3 x x
3)3)dxdx
C C 11 = 0.15 x4 4
EI EI 3 3 dxdx 44 V = 0.15 xV = 0.15 x – 3 x + 10 , contoh jika x – 3 x + 10 , contoh jika x = 5’ , V = 0.15 5= 5’ , V = 0.15 5 – 3.(5 )+ 10 =.... – 3.(5 )+ 10 =.... Persamaan momen : Persamaan momen : M M
VdxVdx
CC22 2 2
(0.15(0.15 x x
33 x x
10)10)dxdx
C C 22 M = 0.05 xM = 0.05 x33 – 1.5 x – 1.5 x22 + 10 x + C+ 10 x + C22 ,pada x = 0,pada x = 0 M = CM = C22 ; nilai momen di titik A = 0; nilai momen di titik A = 0
karena perletakan sendi tidak menahan momen = C
karena perletakan sendi tidak menahan momen = C2,2,Jadi CJadi C22 = 0= 0
M
M = = 0.05 0.05 xx33 – 1.5 x – 1.5 x22 + 10 x , jika x=5’ , maka M = 0.05 . 5+ 10 x , jika x=5’ , maka M = 0.05 . 533 – 1.5 . 5 – 1.5 . 522 + 10 . 5 =+ 10 . 5 = 18.75k.ft 18.75k.ft Kemiringan sudut : Kemiringan sudut : M M 11 11 33 22
EEIIdxdx
CC33
E EII
Mdx Mdx
CC33
E EII
(0.05(0.05 x x
1.51.5 x x
1010 x x))dxdx
CC33
11 (0.0125 x(0.0125 x44
0.50.5 x x33
55 x x22))
C C EI EI 33 Lendutan Batang: Lendutan Batang: y y
dxdx
CC
11
0.01250.0125 x x44 0.50.5 x x33 55 x x22
CC
C C
EI EIKondisi batas: y (x = 0) nil
Kondisi batas: y (x = 0) nilainya 0 (nol)ainya 0 (nol)
CC44= 0= 0 0
3
3 44
maka nilai
maka nilai C C EI EI 3 3 44
y
y
11 (0.0025(0.0025 x x55
0.125
0.125 x x44
1.6671.667 x x33))
C C xx
C Cy (x = 10) nilainya 0 (nol) maka persamaan : y (x = 10) nilainya 0 (nol) maka persamaan :
(0.0025(10)
(0.0025(10)55
0.125(10)0.125(10)44
1.667(10)1.667(10)33))
CC .(10).(10)
C C
66.766.7 33EI EI
Hasil akhir untuk
Hasil akhir untuk kemiringan sdt kemiringan sdt dan lendutadan lendutan sebagai bn sebagai berikut :erikut :
(0.0025
(0.0025 x x550.1250.125 x x44
1.6671.667 x x33
66.766.7 x x))Contoh 2.
Contoh 2. Tentukan kemTentukan kemiringan sudut dan lendutan uniringan sudut dan lendutan untuk balok dibawah ini, dengantuk balok dibawah ini, dengan batang yang prismatis dan EI = konstan
3 3 44 A A EIEI BB EIEI 30 kN 30 kN C C 10 10 m m 5 5 mm x x M = -15x M = -15x 150kN 150kN M = 30x-450 M = 30x-450 Solusi : Solusi : Untuk struktur
Untuk struktur tersebut dimulai dengan tersebut dimulai dengan menggambarkan bidang menggambarkan bidang momennya, danmomennya, dan dicari persamaan garis dari momen tersebut.
dicari persamaan garis dari momen tersebut. Daerah AB : x= 0 s/d x=10’ Daerah AB : x= 0 s/d x=10’
M Mdxdx
CC I I EI EI 33
11 ((
1515 x x))dxdx
CC == E EI I 33
7.57.5 x x22
7.57.5 x x22 EI EI
C C 33 y y
dxdx
C C 44
(( EI EI
2.52.5 x x33
C C 33))
C C 44
C C 33 x x
C C 44 EI EI Daerah BC : Daerah BC :
M Mdxdx
CC I I
11
(30(30 x x
450)450)dxdx
CC I I EIEI 33 E EI I 33
2 2
1515 x x
450450 x x
CC I I EIEI EI EI 33 15
15 x x22 450450 x x y
y
dxdx
CC I I
((
CC I I))dxdx
CC I I4 4 EI EI EIEI 3 3 44 3 3 22
55 x x
225225 x x
CC I I
CC I I EIEI EIEI 3 3 44
Untuk menentukan C
Untuk menentukan C33, , CC4,4, CC33’, ’, CC44’ harus dilihat kondisi batas dan kondisi’ harus dilihat kondisi batas dan kondisi
kesinambung
kesinambungannya , pada tumpuan sendi tidak ada lannya , pada tumpuan sendi tidak ada lendutan :endutan : Daerah AB
Daerah AB Y (x = 0) , Maka CY (x = 0) , Maka C44= 0= 0
3 3
y
y (( x x
10)10)
2.5(10)2.5(10) EI EI
C C 33(10)(10)
C C 44 3 3
00, Maka, Maka C C 33 2 2
250250 EI EI Daerah BCDaerah BC y y(( x x
10)10)
5(10)5(10) EI EI
225(10) 225(10) EI EI
CC '' (10) (10)
CC
003 3 3 3 3 3 44 C C 44 Maka
Maka 10 10 CC33’ + C’ + C44’ ’ = (-5000 = (-5000 + 22500)/EI =+ 22500)/EI = 1750017500 EI
EI ...*)...*) θ
θ(X = 0)(X = 0)(Pada AB) =(Pada AB) = θθ (X = 10)(X = 10) (Pada BC)(Pada BC) Kondisi keseimbanganKondisi keseimbangan
7.57.5 x x22 EI EI
C C 33 15 15 x x22
EI EI
450 450 x x EI EI
CC '' 1 1 ((
7.5(10)7.5(10)22
250)250)
11 EEI I EEI I (15(10)(15(10) 2 2
450(10)) 450(10))
CC''
500500
30003000
CC I ICC I I 25002500 EI EI *) 10 C *) 10 C II EI EI + C + C II 3 3 = =1750017500 EI EI 3 3
EI EI
I I
1750017500 E EI I
25000 25000 E EI I
7500 7500 EI EIMaka hasilnya : Maka hasilnya : Daerah AB Daerah AB θθ = = Y = Y = Daerah BC Daerah BC θθ = = 1 1 ((
7.57.5 x x22
250)250) EI EI 1 1 ((
2.52.5 x x33
250250 x x)) EI EI 1 1 ((1515 x x22
450450 x x
2500)2500) EI EI Y = Y = 11 EI EI (5(5 x x 3 3
225225 x x22
25002500 x x
7500)7500)B. Lembar Latihan B. Lembar Latihan
Hitung slope dan deflection di titik C dari
Hitung slope dan deflection di titik C dari struktur dibawstruktur dibawah ini :ah ini :
Q= 40 kN/m Q= 40 kN/m A A CC EI EI konstan konstan BB 10 10 m m 4 4 mm
B BKULIA
KULIAH PERTEMH PERTEMUAN 6UAN 6 De
Defleksi fleksi elastis pelastis p ada baada balok lok dengan metode momen areadengan metode momen area A. Lemba
A. Lembar Informasir Informasi 1. Kompetensi
1. Kompetensi
Mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dengan metode momen Mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dengan metode momen area
area 2. M
2. Materi Bateri B elajar elajar
Berdasarkan teori mom
Berdasarkan teori momen area en area I (pertama) :I (pertama) :
Persamaan dasar : Persamaan dasar : d d
M M dx dx EI EI B B M MPutaran sudut pada balok yang melentur : Putaran sudut pada balok yang melentur : A A Berdasarkan teori mom
Berdasarkan teori momen area en area II (kedua) :II (kedua) :
dx dx
A A E EI I
Persama
Persamaan an dasardasar d d
x x M M dx dxEI EI B B B B M M
Lendutan pada balok yang
Lendutan pada balok yang melenturmelentur
A A
EI EI A Axdx xdx
Untuk memudahkan dalam perhitungan dapat digunakan perjanjian tanda Untuk memudahkan dalam perhitungan dapat digunakan perjanjian tanda ::
B B EI EI B B
Gambar a) diatas menunjukan pembebanan dan displacement yang positif Gambar a) diatas menunjukan pembebanan dan displacement yang positif Gambar b) Kontribusi
Gambar b) Kontribusi displacemdisplacement dari ent dari beban masing-masing.beban masing-masing.
Contoh 1 : Tentukan displacement vertikal dan kemiringan sudut di titik B dari Contoh 1 : Tentukan displacement vertikal dan kemiringan sudut di titik B dari struktur kantilever dibawah ini.
struktur kantilever dibawah ini.
P P A A BB L L Diagram Diagram ++ M/EI M/EI P PLL / / EI EI 2/32/3 LL a) a) A A 00 aa = 0= 0 A A BB 0 0 A A B B == BB 0 0 bb b) b)
Tahap pertama kita harus dapat menggambarkan bidang momen akibat beban luar , Tahap pertama kita harus dapat menggambarkan bidang momen akibat beban luar , dalam
dalam hal ini gamhal ini gambarkan dalam barkan dalam bidang M/bidang M/EI (gambaEI (gambar a), kemr a), kemudian gambudian gambarkanarkan struktur terdefleksinya (gambar b), semua displacement dari gambar adalah positif. struktur terdefleksinya (gambar b), semua displacement dari gambar adalah positif. Catatan: kemiringan sudut di titik A pasti nol (jepit)
Catatan: kemiringan sudut di titik A pasti nol (jepit) Menurut Teori Momen Area ke 1
Menurut Teori Momen Area ke 1 B B M M
A A
dxdx A A
A A
11 Pl Pl PPll22 ll
B B ( ( )) 22 EI EIB B A A BB A A 3 3
A A
PPll 0 0
2 2 E EI IP Pll
2 2 E EI I
((θθBB == θθ A A ditambah luas diagram momen antara A dan ditambah luas diagram momen antara A dan B)B)
Struktur melendut lihat gambar b. Struktur melendut lihat gambar b. Menurut Teori Momen Area ke 2 Menurut Teori Momen Area ke 2
33 BB 11 PlPl
ll
22ll
PlPl
22
EI EI
33 33 EI EI
A A
PPll (arah ke bawah)(arah ke bawah)B
B BB
3 3 E EI I
6 6 Contoh 2.
Contoh 2. Struktur cantStruktur cantilever ini dibebani beban milever ini dibebani beban merata w, tentukan putaerata w, tentukan putaran sudutran sudut dan lendutan di titik B.
dan lendutan di titik B.
W W A A BB L L 2 2 W WL /2L /2 A A BB Diagram Diagram M/EI M/EI Luas Luas A A 00aa = 0= 0 BB B B 0 0bb EI
EI
A A
0
0
1
1
wL
wL
2 2
1
1
.L
.L
wL
wL
33 (searah putaran jam)(searah putaran jam) B B A A BB3
3
2
2
6
6
B B
11 w w L L 33 / / EI EI
33
44 EI EI
wL
wL
33 L L
w wLL B B
6
6
448
8
1
1 wL
wL
44
..
(arah ke bawah)(arah ke bawah)B B
8
8 EI
EI
onstan onstan L L 0 0 CC
Contoh 3. Struktur dibawah ini
Contoh 3. Struktur dibawah ini dibebani beban P, tentukan putaran sudut dandibebani beban P, tentukan putaran sudut dan lendutan di titik C. lendutan di titik C. L/2 L/2 PP B B A A C C P/2 P/2 P/2 P/2 2/3*L/2 2/3*L/2 PL/4 PL/4 Diagram Diagram M/EI M/EI L/2 L/2 A A A A 00BB C C B B Slope dan Slope dan defleksi defleksi C C (EI
(EI θθ A A = EI= EI θθCC ditambah luas diagram M dari titik A ke C)ditambah luas diagram M dari titik A ke C)
EI EIθθ A A
00
11..PLPL.. L L
2 4 2 2 4 2 PL PL22 16 16 PL PL22
(Searah jarum jam)(Searah jarum jam) A A 16 16 EI EI PL PL22
B B
1616 EI EI (Kebalikan arah jarum (Kebalikan arah jarum jam)jam)
Lendutan elastis Lendutan elastis
PLPL22
L L
PLPL33 EI EI
CC
* 2 / 3** 2 / 3*
1616
1 1 PLPL33
22
4848
CC
485/8 5/8 LL
Contoh 4 :
Contoh 4 : Balok diatas dua tumpuan dengan beban merata w sepanjang bentang,Balok diatas dua tumpuan dengan beban merata w sepanjang bentang, Hitung puta
Hitung putaran suduran sudut di t di titik A titik A ,,
A A, dan di titik B ,, dan di titik B ,
B BW W A A BB EI Konstan EI Konstan L L WL/2 WL/2 WL/2 WL/2 5/16 L 5/16 L 22 W WLL /8/8 A A CC BB 0 0 A A 00BB Diagram Diagram M/EI M/EI Lendutan Lendutan Elastis Elastis C C C C EI
EIθθ A A = EI= EI θθCC+ luas M/EI antara A dan C+ luas M/EI antara A dan C
wLwL22
L L wLwL33 EI EIθθ A A == 00
22
3 3
8 8
2 2 2424 wL wL33 θθ A A
(searah jarum jam)(searah jarum jam) 2424 EI EI wL wL33 θ
θBB
(kebalikan arah jarum jam)(kebalikan arah jarum jam) 2424 EI EI
EI
EI ∆ ∆CC = defleksi A dari tangent di C= defleksi A dari tangent di C
wL
wL
33
5
5 L
L
5wL
5wL
44
24
16
24
16
384
384
5wL
5wL
44
∆ ∆CC ==
B. Lembar Latihan B. Lembar Latihan Hitung slope di titik A
Hitung slope di titik A dan D, serta deflection di titik dan D, serta deflection di titik B dan C dari struktur dibawah ini :B dan C dari struktur dibawah ini : Dimana : I = 200 x 10
Dimana : I = 200 x 1066 mmmm44 = 200. 10= 200. 1022 cmcm44, E = 70 GPa. =, E = 70 GPa. =70.000 MP70.000 MPa.a.
3 kN/m 3 kN/m 10 kN 10 kN A A DD EI EI konstan konstan B B CC 5 m 5 m 2.2.55 mm 2.2.55 mm
KULIA
KULIAH PERTEMH PERTEMUAN 7UAN 7 De
Defleksi fleksi elastis pelastis p ada ada balok dbalok d engaengan metodn metod e conjugate beame conjugate beam
A.
A. Lembar InformasiLembar Informasi 1. Kompetensi 1. Kompetensi
Mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dengan metode conjugate Mahasiswa dapat menghitung defleksi elastis pada balok dengan metode conjugate beam
beam 2. M
2. Materi Bateri B elajar elajar METOD
METODE CONJUGATE BE CONJUGATE B EAMEAM Prinsip dasar:
Prinsip dasar:
-- Bidang Bidang momen momen (M/EI) (M/EI) dibuat dibuat sebagai sebagai beban beban pada pada Conjugate Conjugate beam.beam.
-- Hasil gayHasil gaya gesea geser dan r dan momemomen pada n pada conjugate conjugate beam beam merupakan merupakan nilai slopenilai slope (kemiringgan sudut) dan deflection
(kemiringgan sudut) dan deflection (defleks(defleksi) i) pada balok sebenarnya.pada balok sebenarnya. Tahapan:
Tahapan: 1.
1. Hitung dan gambarkan bidang momeHitung dan gambarkan bidang momen akin akibat beban luar bat beban luar pada balokpada balok sebenarnya (real beam).
sebenarnya (real beam). 2.
2. Hasil bidang momHasil bidang momen (M/EI) di jadikan beban paen (M/EI) di jadikan beban pada balok conjda balok conjugate (imajinaryugate (imajinary beam) , dimana perletakan aktual dirubah menjadi perletakan pada balok beam) , dimana perletakan aktual dirubah menjadi perletakan pada balok imajinari sesuai ketentuan dibawah ini :
imajinari sesuai ketentuan dibawah ini :
Ketentuan conjugate beam (boundary condition) Ketentuan conjugate beam (boundary condition)
REAL
REAL BEAM BEAM CONJUGATE CONJUGATE BEAMBEAM
JEPIT JEPIT SENDI SENDI BEBAS BEBAS SENDI SENDI ROL
ROL ROLROL
BEBAS
BEBAS JEPITJEPIT
3.
3. - Menghitung gay- Menghitung gaya geser (sheaa geser (shear) pada balok cr) pada balok conjugate yanonjugate yang merupakan nilaig merupakan nilai slope pada balok
slope pada balok sebenarnysebenarnya.a.
- Menghitung momen (moment) pada balok conjugate yang merupakan nilai - Menghitung momen (moment) pada balok conjugate yang merupakan nilai
deflection pada balok
Contoh 1 : Hitung
Contoh 1 : Hitung slope dan defslope dan deflection pada ujung bebalection pada ujung bebas c dari struktur dibawah ini,s c dari struktur dibawah ini, dan gambar diagram gaya geser dan
dan gambar diagram gaya geser dan diagram momdiagram momen conjugate beamen conjugate beam Dimana
Dimana : E = 2: E = 200 GPa, I 00 GPa, I = 1000.10= 1000.10-6-6mm44 ,, EI = 200.000 kN.mEI = 200.000 kN.m22
75 KN/m 75 KN/m a a BB cc EI Konstan EI Konstan 3 3 m m 2 2 mm - 150 - 150 Bidang momen Bidang momen akibat beban luar akibat beban luar
- 600 - 600
Tahap pertama kita buat diagram bidang momen akibat beban luar pada real beam Tahap pertama kita buat diagram bidang momen akibat beban luar pada real beam kemudian diagram momen tersebut dibuat sebagai beban M/EI pada conjugate kemudian diagram momen tersebut dibuat sebagai beban M/EI pada conjugate beam. Maka : hasil momen pada balok conjugate yang didapat merupakan
beam. Maka : hasil momen pada balok conjugate yang didapat merupakan ∆ ∆ dari dari
real beam, serta hasil shear yang didapat pada balok conjugate merupakan nilai real beam, serta hasil shear yang didapat pada balok conjugate merupakan nilai θθ
dari real beam dari real beam
Balok konjugate dan pembebanannya adalah : Balok konjugate dan pembebanannya adalah :
Perubahan perletakan pada balok konjugate : Perubahan perletakan pada balok konjugate : Balok
Balok Sebenarnya Sebenarnya Conjugate Conjugate BeamBeam Jepit Jepit Bebas Bebas Bebas Bebas Jepit Jepit
Analisis pada ba
Analisis pada balok konjugate :lok konjugate :
150150
11
450450
11
150150
Σ Σ P Pyy= 0 := 0 : V V CC
EI EI
33
22
EI EI
3 3
33
EI EI
2 2
00
V VCC ==
12251225 EI EI KN KN ..mm 2 2
CC (pada balok (pada balok sebenarnyasebenarnya))
150150
11
450450
11
150150
Σ Σ M MCC = 0 := 0 : M MCC
EI EI
33
3.53.5
22
EI EI
3 3
44
33
EI EI
2 2
1.51.5
00
M MCC ==
42254225 EI EI KN KN ..mm 3 3
CC (pada balok sebenarnya)(pada balok sebenarnya) Diagram gaya geser pada Conjugate Beam (=
Diagram gaya geser pada Conjugate Beam (= θθ untuk balok real) dan diagram untuk balok real) dan diagram
momen untuk Conjugate Beam (
momen untuk Conjugate Beam ( ∆ ∆ untuk r untuk real beam)eal beam)
Maksimum
Maksimum Slope Slope di di CC θθCC ==
Maksimum lendutan Maksimum lendutan ∆ ∆ ∆ ∆CC==
12251225 200.000 200.000
44254425 200.000 200.000
0.006130.00613
0.02210.0221mm radian radian = - 22.1 mm = - 22.1 mm (tanda negatifContoh 2 : Perhatikan stuktur dibawah ini , hitung slope
Contoh 2 : Perhatikan stuktur dibawah ini , hitung slopeθθCCdan deflectiondan deflection ∆ ∆C.C.
ksi = kip/in ksi = kip/in22 Bidang momen Bidang momen
Conjugate Beam dan Pembebanan Conjugate Beam dan Pembebanan
Perubahan perletakan pada balok konjugate : Perubahan perletakan pada balok konjugate : Real
Real beam beam conjugate conjugate beambeam Hinge(=Sendi)
Hinge(=Sendi) SendiSendi Rol
Rol RolRol Jepit
Maka : Maka :
M M
00
11
100100
1010
6.676.67
11
400400
3030
13.3313.33
R R
3030
00
b b 2 2
EI EI
2 2
EI EI
d d RdRd
2777.82777.8 EI EI ftft22- k - k ( ( Tanda Tanda negatif negatif berarti berarti RRdd ke bawah)ke bawah)Perhitungan lendutan Perhitungan lendutan Tinjauan bagian CD Tinjauan bagian CD Catatan : Catatan : 1 ft = 30.5 cm = 12 in 1 ft = 30.5 cm = 12 in 1 ft 1 ft22 = 144 in= 144 in22 1 ft 1 ft22 = 1728 in= 1728 in33 1 1
400400
2777.82777.8 Σ Σ P Pyy= 0 := 0 : V V C C
2 2
EI EI
2020
00
EI EI V VCC ==
1222.21222.2 ft ft22
kk
1222.21222.2
144144
0.0058670.005867rad rad E EII C C 3030
101066 1 1
400400
2777.82777.8
Σ Σ M MCC = 0 := 0 : M MCC
2020
6.676.67
2020
00 22
EI EI
EI EI
M MCC ==
