Semester I 2018/2019
Beberapa kondisi: Beberapa kondisi:
◦
◦ F F = 0 : getaran bebas ( = 0 : getaran bebas ( free vibratio free vibrationn)) ◦
◦ F F ≠ 0≠ 0 : getaran paksa ( : getaran paksa ( forced vib forced vibrationration)) ◦
◦ cc = 0 : getaran tak teredam ( = 0 : getaran tak teredam (undamped vibrationundamped vibration)) ◦
◦ cc ≠ 0≠ 0 : getaran teredam ((damped vibration: getaran teredam damped vibration))
cc k k F F u u m m
m
mu
u ccu
u kku
u F
F
cc k k F F ((t t )) u u m m
Persamaan gerak Persamaan gerak
Solusi umum Solusi umum
Untuk kondisi awal Untuk kondisi awal
0 0 m mu u kku
u
ccoos s ssiinn u u A
A
t t B
B
t t k k m m
di mana di mana
0 0
0 0 ; ;
00 00 u u
uu uu
vv diperolehdiperoleh uu
tt uu00 ccoos s
tt vv00 ssiinn
tt
Getaran bebas SDOF tak teredam Getaran bebas SDOF tak teredam
dapat dituliskan dalam bentuk lain: dapat dituliskan dalam bentuk lain:
00 0 0 ccoos s ssiinn vv u u tt uu
tt
tt
2 2 2 2 00 0 0 sinsin 11 vv u u tt uu tt
1 1 00 1 1 0 0 tan tan uu vv
2 2 2 2 00 0 0 coscos 22 vv u u tt uu tt
1 1 00 2 2 0 0 tan tan vv u u 11,, 22 = fasa = fasa
mm = = massamassa
kk = = koefisien koefisien kekakuankekakuan
= = frekuensi frekuensi (angular) (angular) alami alami [rad/detik][rad/detik]
f f = = frekuensi frekuensi alami alami [Hz, [Hz, siklus/detik]siklus/detik]
T T = = perioda perioda alami alami [detik][detik]
2 2 2 2 f f T T
2 20
0
0
0
m
mu
u kku
u
u
u
u
u
SebSebuahuah bebbebanan sebsebererat at 30 30 kN kN digdigantantungung di di tentengahgah
bentang
bentang balok sebalok sepanjangpanjang 6 m m6 m menggunakanenggunakan pegaspegas de
dengangan kekn kekakuaakuann 9 kN/9 kN/mm. mm. TeTentuntukankan frefrekuekuensinsi alaalamimi da
dari sisri sistem stem strtruktuukturr iniini jika djika dikeiketahtahuiui balbalok teok terbuarbuat dart darii baja
baja W8×24 W8×24 dengan dengan modulus modulus elastisitaselastisitas 200 GPa 200 GPa dandan iner
inersiasia penapenampanmpang 34.5 g 34.5 × 10× 1066 mmmm44..
30 kN 30 kN
Massa Massa 3000030000 3058 kg3058 kg 9.81 9.81 w w m m g g
Kekakuan Kekakuan
9 9
66
6 6 balok balok 3 3 33 4 48 8 22000 10 10 0 3344..5 15 100 48 48 1. 1.53 53 10 10 NN/m/m 6 6 EI EI k k L L 6 6 total total 6 6 66 total total 1 1 1 1 11 1. 1.31 10 31 10 NN/m/m 1 1..553 3 110 0 9 19 100 k k k k
6 6 1. 1.31 31 1010 20.7 rad/detik 20.7 rad/detik 3058 3058
Frekuensi alami Frekuensi alami
3.29 Hz 3.29 Hz 2 2 f f 1 1 0.304 detik 0.304 detik T T f f
SebSebuahuah gudgudangang satsatu tu tingingkatkat berberukurukuran an 20 20 ft ft × 3× 30 f0 ftt
di
dianganggapgap dadapapat t diidiidedealialisassasikaikann sebsebagaagai i strstruktuukturr SDOSDOFF dengan ma
dengan massassa terkumpul dterkumpul di level atapi level atap, dengan ber, dengan berat 30at 30 lb/ft
lb/ft22..
Denah
Keempat Keempat kolom kolom berupa berupa bajabaja W8×24 W8×24 dengandengan E E = 29000 = 29000
ksi,
ksi, I I x x = 82.8 in. = 82.8 in.44, dan, dan I I y
y = 18.3 in. = 18.3 in.44. Pada portal arah E-. Pada portal arah
E- W terd
W terdapatapat cross-bracing cross-bracing dengdengan luasan luas penapenampampang 0.785ng 0.785 in.
in.22. A. Anggap nggap hanyahanya batanbatangg tarik tarik yang yang bekerbekerja sebja sebagaiagai
bracing bracing..
TuliTuliskan skan perpersamasamaanan gergerak beak bebas bas strukstrukturtur terstersebut ebut untuk untuk
arah
arah N-S N-S dan dan E-W, E-W, serserta tenta tentukantukan frekfrekuensiuensi alamalamii geta
Massa Massa 330 0 2 20 0 3 300 22 46.58 lb-s /in. 46.58 lb-s /in. 386.4 386.4 w w m m g g
Kekakuan masing-masing kolom Kekakuan masing-masing kolom
3 3 12 12 EI EI xx k k L L 2 2 cos cos b b b b EA EA k k L L
Arah Arah N-S (suN-S (sumbu kmbu kuat)uat)
Arah Arah E-W (suE-W (sumbu mbu lemah)lemah)
3 3 12 12 EI EI yy k k L L
Kekakuan total Kekakuan total
6 6 N-S N-S 33 33 1 12 2 229 19 10 0 8822..88 12 12 4 4 4 4 338866000 0 llbb//iinn.. 1 12 2 1122 x x EI EI k k L L
2 2 E-W E-W 33 6 6 66 22 3 3 2 2 22 2 2 22 3 3 12 12 4 4 2 2 ccooss 1 12 2 229 9 110 0 1188..3 3 29 29 110 0 00..778855 2020 4 4 22 2 20 0 1122 1 12 2 220 0 1122 1 12 2 1122 85 8531 31 1111969613 13 12128.8.1 10 1 10 llb/b/inin.. y y b b EI EI EAEA k k L L LL
Persamaan gerak Persamaan gerak
Arah N-S
Arah N-S
46
4
6..5
58
8
u
u
3
38
86
60
00
0
u
u
0
0
Arah E-WArah E-W
4
46
6..5
58
8
u
u
1
12
28
8..1
1 1
10
0
33
u
u
0
0
Frekuensi alami Frekuensi alami
N-S N-S 38600 38600 28.79 rad/detik 28.79 rad/detik 46.58 46.58
3 3 E-W E-W 12 128.8.1 1 1010 52.45 rad/detik 52.45 rad/detik 46.58 46.58
Persamaan gerak: Persamaan gerak:
Persamaan karakteristik: Persamaan karakteristik:
0 0 m mu u ccu
u kku
u atau atau u u
2 2 u u
22uu
00 di mana di mana cr cr 22 22 c c c c cc c c mm kmkm
2 2 0 0 m m
c c
k k 2 2 4 4 2 2 c c c c kkmm m m
atau atau 22 1 1
Solusi umum: Solusi umum:
Dengan kondisi awal Dengan kondisi awal
Tidak terjadi vibrasi. KondisTidak terjadi vibrasi. Kondisi ini disebuti ini disebut
overdamped
overdamped (teredam berlebihan). (teredam berlebihan).
t t
2 2 1 1 t t 22 11t t
u u t t e
e AAe e
BeeB
0 0
0 0 , ,
00 00 u u
uu uu
vv diperoleh diperoleh
22
0 0 00 2 2 1 1 2 2 11 u u vv A A
22
0 0 00 2 2 1 1 2 2 11 u u vv B B
Solusi umum: Solusi umum:
Dengan kondisi awal Dengan kondisi awal
Juga tidak terjadi vibrasi. KondiJuga tidak terjadi vibrasi. Kondisi ini disebutsi ini disebut
critically damped
critically damped (teredam kritis). (teredam kritis).
0 0
0 0 , ,
00 00 u u
uu uu
vv diperoleh diperoleh
t t
u u t t e
e A A B
Bt t
0 0
0 0 00
t t u u t t e
e u
u v
v
u u t t
Waktu, t Waktu, t PP ee rrpp iinn dd aa hh aa nn ,, xx ((tt )) = 1.0 = 1.0 = 2.0 = 2.0 = 1.5 = 1.5
Solusi umum: Solusi umum:
Dengan kondisi awal Dengan kondisi awal
Terjadi vibrasi dengan amplitudo yang semakin mengecil. Terjadi vibrasi dengan amplitudo yang semakin mengecil. Kondisi ini disebut
Kondisi ini disebut underdamped underdamped (kurang teredam), (kurang teredam), kondisi yang umum terjadi pada bangunan sipil.
kondisi yang umum terjadi pada bangunan sipil.
0 0
0 0 , ,
00 00 u u
uu uu
vv diperoleh diperoleh
t t
ccoos s D D ssiinn DD
u u t t e
e A A t B t
B t t 2 2 1 1 D D
di mana di mana
0 0 00 0 0 ccoos s ssiinn t t D D DD D D v v uu u u tt ee uu tt tt PP ee rrpp iinn dd aa hh aa nn ,, xx ((tt )) 2 2 2 2 0 0 00 0 0 t t D D v v uu u u ee
0 0 22 44 66 88 1100 1212 1144 1166 1188 2200 -1 -1 -0.8 -0.8 -0.6 -0.6 -0.4 -0.4 -0.2 -0.2 0 0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1 1 t t / T/ T xx // xx 00 = = 2%2% = = 5%5% = 10% = 10% = 20% = 20%
Adanya redaman mengakibatkan pengurangan Adanya redaman mengakibatkan pengurangan
amplitudo getaran pada setiap siklus getara amplitudo getaran pada setiap siklus getaran.n.
Pengurangan amplitudo semakin Pengurangan amplitudo semakin cepat dengancepat dengan
meningkatnya redaman. meningkatnya redaman.
mm = = massamassa
cc = = koefisien koefisien redaman redaman [N-s/m][N-s/m]
cccrcr = = koefisien koefisien redaman kredaman kritisritis
kk = = koefisien koefisien kekakuankekakuan
= = rasio rasio redamanredaman
= = frekuensi frekuensi alamialami
D D = frekuensi getaran teredam = frekuensi getaran teredam
2 2
0
0
2
2
0
0
m
mu
u ccu
u kku
u
u
u
u
u
u
u
Sebuah mobil spoSebuah mobil sport Porsche Boxsrt Porsche Boxster diketahuiter diketahui
memiliki massa 1361 kg. Akibat beratnya
memiliki massa 1361 kg. Akibat beratnya sendiri,sendiri, suspensi mobil berdefleksi sebesar 50 mm.
suspensi mobil berdefleksi sebesar 50 mm.
Suspensi mobil tersebut dirancang memiliki nilai Suspensi mobil tersebut dirancang memiliki nilai redaman sebesar koefisie
redaman sebesar koefisien redan redaman kritis.man kritis.
Tentukan nilai koefTentukan nilai koefisien redaman dan kekakuanisien redaman dan kekakuan
dari suspensi mobil tersebut. dari suspensi mobil tersebut.
Jika total massa penumpang, bahan Jika total massa penumpang, bahan bakar, danbakar, dan
bagasi mobil tersebut adalah 290 kg, tentuk bagasi mobil tersebut adalah 290 kg, tentukanan
rasio redaman suspensi mobil tersebut dalam rasio redaman suspensi mobil tersebut dalam kondisi penuh.
Kekakuan Kekakuan
55 13 1361 61 9.9.8811 2 2..667 7 110 0 NN/m/m 0.05 0.05 w w k k
Frekuensi alami Frekuensi alami
5 5 2 2..667 7 1100 14.01 rad/detik 14.01 rad/detik 1361 1361 k k m m Redaman Redaman
cr cr 3 3 2 2 2 2 1144..001 1 1133661 1 3388..1 11 10 0 NN--ddeettiikk//mm c c c
c
mm
Kondisi penuh Kondisi penuh
5 5 3 3 1 133661 1 22990 0 1166551 1 kkgg 2 2..667 7 1100 12.72 rad/detik 12.72 rad/detik 1651 1651 38 38.1 .1 1010 0.91 0.91 2 2 1122..772 2 11665511 m m
Parameter dinamik: Parameter dinamik:
◦
◦ Massa, Massa, mm ◦
◦ Koefisien redaman, Koefisien redaman, cc, atau rasio redaman,, atau rasio redaman, ◦
◦ Koefisien keKoefisien kekakuan,kakuan, kk ◦
◦ Fr Frekuenekuensi/periodasi/perioda alamalami:i: ,, f f , atau, atau T T
Koefisien kekakuan Koefisien kekakuan k k umumnya dapat umumnya dapat diperolehdiperoleh
dari pengujian statik (hubungan gaya dengan dari pengujian statik (hubungan gaya dengan perpindahan).
perpindahan).
Dari grafik getaran bebas, Dari grafik getaran bebas, perioda teredamperioda teredam T T D D
dapat ditentukan dari jarak dua puncak getaran. dapat ditentukan dari jarak dua puncak getaran.
Rasio redaman Rasio redaman ditentukan dari rasio amplitudo ditentukan dari rasio amplitudo
dua puncak yang berturutan. dua puncak yang berturutan.
Waktu, t Waktu, t PP ee rrpp iinn dd aa hh aa nn ,, xx ((tt )) t t 11 t t 22 A A11 A A22
Amplitudo puncak pertama: Amplitudo puncak pertama:
Amplitudo puncak kedua Amplitudo puncak kedua
Logarithmic decrement Logarithmic decrement
11
1 1 11 11 ccoos s 11 22 ssiinn 11 t t D D DD A A
u u t t
e e C C t t
C C t t
1 1 1 1 2 2 2 2 11 1 1 11 22 11 1 1 11 22 11 ccoos s ssiinn ccoos s ssiinn D D D D D D t t T T D D D D D D DD t t T T D D DD A A u u t t u u t t T T e e CC tt TT CC tt TT e e CC tt C C tt
1 1 2 2 11 lln n llnn ii ii A A A A A A AA
Untuk nilai Untuk nilai yang kecil: yang kecil:
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ln ln 1 1 D D D D t t T T t t T T D D A A ee ee A A ee A A T T A A
2 2
Jika amplitudo yang berturutan hampir Jika amplitudo yang berturutan hampir sama,sama,
karena nilai redaman yang sangat kecil, dapat karena nilai redaman yang sangat kecil, dapat digunakan perbandingan amplitudo setelah digunakan perbandingan amplitudo setelah n n siklus getaran: siklus getaran: 2 2 2 2 ln ln 1 1 1 1 ln ln 2 2 ii D D i i DD t t nT nT ii t t nT nT i i nn ii D D i i nn ii i i nn A A ee ee A A ee A A nn nT nT A A A A n n AA
