PENDAHULUAN LATAR BELAKANG

PENDAHULUAN LATAR BELAKANG

Sistem dinamik sering diidentifikasikan pada model matematika dari persamaan kimia, persamaan fisika, dan persamaan biologi yang persamaannya mengandung parameter-parameter yang saling berhubungan.

Perubahan parameter pada persamaan diferensial dapat menyebabkan perubahan kestabilan dari titik tetap. Perubahan itu juga mempengaruhi keadaan titik tetap. Dengan demikian ada dua hal yang perlu diperhatikan pada bifurkasi yaitu, masalah kestabilan dari titik tetap dan muncul atau hilangnya titik tetap.

PERUMUSAN MASALAH

Permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah Menentukan Eksistensi Orbit Periodik dari beberapa sistem dinamik dengan menggunakan Bifurkasi Hopf.

BATASAN MASALAH

Untuk menentukan eksistensi orbit periodik dengan menggunakan bifurkasi Hopf, terdapat batasan masalah , yaitu: Persamaan differensial yang akan dikaji dalam bifurkasi hanya

memuat satu parameter.

Konsep Bifurkasi Hopf akan dijelaskan secara sederhana, tanpa memberikan bukti dan akan diaplikasikan pada beberapa

sistem dinamik diantaranya sistem kimia kinetik (brusselator) dan sistem Fitz Hugh-Nagumo .

TUJUAN

Tujuan dari tugas akhir ini adalah :

Untuk mengkaji eksistensi orbit periodik dari beberapa sistem dinamik dengan menggunakan Bifurkasi Hopf.

Menerapkan atau memberikan contoh – contoh sederhana untuk memperjelas konsep bifurkasi Hopf.

MANFAAT

Manfaat dari tugas akhir ini adalah mengetahui sifat-sifat atau perilaku dan beberapa sistem dinamik sehingga dapat menginterpretasikan hasil-hasil analisa pada sistem dinamik, khususnya munculnya orbit periodik.

TINJAUAN PUSTAKA Titik Tetap Dari Persamaan Linier

Secara singkat tipe-tipe titik tetap sebagai berikut:

a. Titik Tetap Pelana (Saddle Point): terjadi jika nilai eigen real ada yang positif dan ada yang negatip.

b. Titik Tetap Simpul ( Node Point ): terjadi jika bagian nilai eigen real positif semua atau negatip semua.

Spiral: terjadi jika nilai-nilai eigennya komplek yaitu

Center: Center terjadi jika nilai eigennya imajiner murni .

Limit Cycle

Limit cycle merupakan orbit periodik terisolasi. Center dan limit cycle merupakan contoh dari orbit periodik .

Teorema 2.1 (Finizio/ Ladas, 1998,293)

Titik kesetimbangan (0,0) dari sistem (2.9) adalah;

Stabil, jika

λ

₁

dan

λ

₂adalah real negative atau mempunyai bagian real yang tak positif.

Stabil asimtotis, jika

λ

₁

dan

λ

₂adalah real dan negative atau mempunyai bagian real yang negatip.

Tak stabil, jika salah satu atau keduanya

λ

₁

dan

λ

₂real dan positif atau mempunyai bagian real yang positif.

MENUNJUKKAN EKSISTENSI ORBIT PERIODIK DARI SISTEM

DINAMIK DENGAN MENGGUNAKAN BIFURKASI HOPF

Pada bagian akan dibahas masalah untuk menunjukkan eksistensi orbit periodik dari sistem dinamik tak linear yang memuat parameter dengan menggunakan teorema bifurkasi Hopf disertai dengan beberapa contoh. Teorema tidak akan dibuktikan, tetapi akan dibahas cara-cara atau langkah-langkah untuk mendapatkan orbit periodik.

Osilasi Pada Sistem Dinamik Tak Linear

Osilasi merupakan fenomena penting yang terjadi didalam sistem dinamik . Suatu sistem dikatakan berisolasi bila sistem tersebut bergerak disekitar titik kesetimbangan nya. Jika

)

(t

x

penyelesaian suatu sistem dinamik, maka sistem dikatakan berisolasi secara periodik jika

()()

0 ,

>∀=+

ttxTtx

untuk suatu T>0, T ini disebut perioda. Pada bidang fase, penyelesaian periodik digambarkan sebagai trayektori tertutup.

Sistem dinamik linear maupun sistem dinamik tak linear akan berisolasi bila mempunyai eigenvalue imajiner murni. Pada sistem linear, orbit periodik mengelilingi titik tetap tertentu dan orbit periodik itu disebut dengan center. Pada sistem tak linear,

osilasi dapat mempunyai amplitudo dan frekwensi yang tetap, serta disekitar orbit periodik terdapat trayektori berupa spiral. Osilasi seperti ini disebut dengan limit cycle.

Contoh 3.1

Tunjukkan bahwa sistem berikut mempunyai orbit periodik

()

()

22 22

yxyyxy

yxxyxx

+−+=

+−−=

• •

µω

ωµ

…(3.1)

dengan

µ

parameter,

ω

ko

" "da

•

adalah turunan terhadap t.

n

n

sta

n

ta

Mula-mula sistem diubah kedalam sistem koordinat polar

( )

r

,

θ

. Persamaan transformasi untuk sistem koordinat polar adalah

(

)

θ

π

θ

θ

sin

2

0

,

0

cos

r

y

r

r

x

=

≤

≤

≥

=

…(3.2) dengan

x

y

tg

y

x

r

=

+

=

θ

2 2 …(3.3)

Substitusi (3.1) kedalam (3.3) diperoleh

ω

θ

µ

=

−

=

• • 3

r

r

r

…(3.4)

Selanjutnya sistem (3.4) dianalisa dengan mengambil

_r

•

₌

₀

sehingga diperoleh titik kesetimbangan

µ==

∗∗

rd

an

0r

Titik tetap

r

*

=

0

tidak stabil ( karena dijauhi orbit spiral ) dan tidak tetap

r

*

=

µ

bersifat stabil ( karena didekati orbit spiral dari kedua sisi ). Karena

r

*

=

µ

dengan

µ

>

0

merupakan orbit periodik (limit cycle), maka orbit periodik bersifat stabil.

Bifurkasi Hopf

Langkah – langkah untuk mendapatkan bifurkasi Hopf adalah sebagai berikut :

Menentukan semua titik tetap ( titik kesetimbangan ) dari sistem dinamik

Menentukan eigenvalue dan eigenvektor dari matriks Jacobian sistem yang dihitung pada setiap titik kesetimbangan.

Jika satu atau lebih titik kesetimbangan mempunyai sepasang eigenvalue kompleks , tentukan nilai bifurkasi

µ

=

µ

∗ sehingga

α

( )

µ

∗

=

0

,

ω

( )

µ

∗

≠

0

dan juga hitung syarat transversal.

Sebelum menghitung indeks stabilitas, carilah bentuk normal bifurkasi Hopf dengan mentranslasikan terlebih dahulu titik kesetimbangan ke titik (0,0) sehingga sistem dinamik sekarang mempunyai titik kesetimbangan ( 0,0 ).

Contoh – Contoh Bifurkasi Hopf

Selanjutnya dibahas dua contoh menentukan eksistensi orbit periodik dengan menggunakan langkah – langkah yang telah dibahas pada bagian 3.2.

Contoh 3.2 (Masalah kimia kinetik (Brusselator)) Tunjukkan bahwa sistem berikut mempunyai orbit periodik

( ) ( ) ( ) parameter konstanta, A , , 1 , , 2 2 µ µ µ µ µ y x x y x G y y x x A y x F x − = = + − − = = • • …(3.5)

Diperoleh titik tetap













A

A

,

µ

dengan

A

≠

0

Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari titik tetap













A

A

,

µ

Matriks Jacobian dari sistem adalah









−

−

−

=

→













2 2

1

,

A

A

J

A

A

di

µ

µ

µ

(

2

)

(

2

)

2 2 , 1 ₂ 1 4 1 1 2 1 adalah tiknya karakteris akar -Akar A A A − + ± − + − − = µ µ λ

Bifurkasi Hopf terjadi jika:

101

22

+=⇒=+−

AA

µµ

Syarat transversal:

{

[

( )

]

}

0

2

1

Re

1 2

=

≠

=

_{=A +}

d

d

d

_µ

µ

µ

λ

Pada saat

µ

=

A

2

+

1

nilai eigen imaginer murni, yaitu

iA

±

=

2 , 1

λ

sehingga didapatkan vektor eigen









−















1

1

d a n

1

0

A

Dari vektor eigen didapatkan matrik:

    =         − = − 0 1 , 1 1 1 0 1 A A T A T

Translasi titik tetap













A

A

,

µ

ketitik

( )

0

,

0

Didapatkan bentuk normal bifurkasi Hopf dengan titik kesetimbangan (p,q)=(0,0) dan f(p,q)=0 3 2 2 2

₂

₂

1

1

)

,

(

pq

q

A

Aq

pq

q

A

A

q

p

g

_

+

−

+

−









 +

=

Indeks Stabilitas 0 ,0 2 2 . 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 1 3 3 2 3 2 3 3 3 1 6 1 = =

































































∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = _{p q} q g q f p g p f q g p g q p g q f p f q p f A q g q p f q p g p f I

karena I < 0 maka orbit periodik stabil Dengan Dengan

menggunakan Maple 6.0 diperoleh gambar sebagai berikut disaat 01

. 1

>

Contoh 3.3 (Sistem Fitzh Hugh- Nagumo)

Tunjukkan sistem berikut mempunyai orbit periodik

( ) ( )( ) (x y ) (x y) G y y x x x y x F x , , konstanta = parameter, = , 1 , , µ ε µ ε µ µ µ − = ≡ − − − = ≡ • • ...(3.6) Diperoleh titik tetap (0,0)

Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari titik tetap

( )

0

,

0

Matriks Jacobian dari sistem di (0,0) Persamaan karakteristik

(

)

(

)

2

(

2

)

2 , 1 4 1 2 1 2 1 _{µ µ ε µ ε µ ε µ} λ = − − ± − − −

Bifurkasi Hopf terjadi jika:

µ

=

0

Syarat tranversal :

0

2

1

≠







+−=ε

d

Pada saat

µ

=

0

diperoleh nilai eigen imajiner murni, yaitu

ε

λ

_1,2

=

±

i

dengan vektor eigen

















−

0

1

da n

0

ε

Dari vektor eigen didapatkan matrik:

, 0 1 0 1 , 0 1 0 ₁     − =     − = − ε ε ε T T

Untuk

µ

=

0

,

ε

≠

1

sistem persamaan (3.9) menjadi x y y x x x 2 3 ε = − − = • •

Dalam bentuk matriks

    − +         − =         • • 0 0 1 0 _x2 _x3 y x y x ε

Sehingga diperoleh bentuk normal bifurkasi Hopf dengan titik

tetap (0,0) dan

f

( )

p

,

q

=

0

,

g

( )

p

,

q

=

q

2

−

q

3 Indeks Stabilitas

{

}

{

0

[ ]

0 0 0

[

0 (6 2)

]

0.0 0.(6 2)

}

_{0, 0} 16 1 6 0 0 0 16 1 = = − + − − + − + + − + + = ∴ I q q _{p q} ε =

-16

6

Karena I < 0 maka orbit periodik stabil

Dengan menggunakan Maple 6.0 diperoleh gambar sebagai

KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pada bab III, cara untuk menunjukkan eksistensi orbit periodik dengan menggunakan bifurkasi Hopf pada sistem dinamik

(

)

(

µ

)

µ

,

,

,

,

. .

y

x

g

y

y

x

f

x

=

=

adalah ,

Menentukan semua titik kesetimbangan dan eigenvaluenya. Menentukan nilai parameter terjadinya bifurkasi Hopf, yaitu nilai parameter pada saat eigenvalue titik kesetimbangan imaginer murni.

Hitung syarat transversal dan carilah bentuk normal bifurkasi Hopf. Gunakan indeks stabilitas untuk mengetahui bifurkasi Hopf superkritikal atau bifurkasi Hopf subkritikal.