49
BAB 4
PENGUKURAN VARIASI
Kompetensi
Mampu menjelaskan dan menganalisis hal-hal yang berkaitan dengan pengukuran variasi
Indikator
1. Menjelaskan range
2. Menjelaskan range antar kuartil
3. Menjelaskan deviasi dan menganalisis rata-rata 4. Menjelaskan dan menganalisis standar deviasi
A. Pendahuluan
Pengukuran variasi adalah suatu harga yang menunjukkan besar kecilnya sekelompok data itu bervariasi. Variasi adalah besarnya penyimpangan suatu nilai dari nilai sentralnya. Mengapa pengukuran variasi penting? Untuk memperjelas gambaran tentang sekelompok data. Pengukuran variasi digunakan untuk melengkapi perhitungan nilai sentralnya. Dua kelompok data mungkin memiliki rata-rata yang sama, tetapi berbeda dalam hal variabilitas nilai-nilai observasinya.
Contoh:
50 30 35 27 25 33 harga rata-rata: 30 40 15 12 70 13 harga rata-rata: 30
Pengukuran variasi yang akan dipelajari adalah: range, range antar kuartil, range semi antar kuartil, deviasi rata-rata, standar deviasi, varians, koefisien variasi dan standar score.
B. Range
Range adalah jarak atau beda antar harga tertinggi dengan harga terendah dari sekelompok data. Semakin besar harga range semakin besar pula variasinya.
Kelemahan range: range belum mampu menjelaskan bentuk distribusi angka dalam kelompok data tersebut sebab mungkin terjadi beberapa kelompok data memiliki range yang sama, namun variasinya berbeda, contoh:
20, 25, 26, 30, 35 range: 35 – 20 = 15 60, 62, 62, 63, 75 range: 75 – 60 = 15 20, 21, 21, 21, 35 range: 35 – 20 = 15
C. Range Antar Kuartil (RAK)
RAK memberikan gambaran bahwa 50% (antara 25% – 75%) dari data terletak dalam interval antara kuartil pertama (K1) dengan kuartil ketiga (K3). Rumus RAK:
51
Contoh: K1 = 23, 75 dan K3 = 52, 25 maka Range Antar Kuartil adalah
RAK = 52,25 – 23,75 = 28,5
Artinya bahwa 50% dari jumlah data tersebut akan terletak antara 23,75 dan 52,25 dengan range antar kuartil 28,5.
D. Range Semi Antar Kuartil
Range Semi Antar Kuartil (RSAK) disebut juga dengan Deviasi Kuartil (DK). Besarnya Deviasi Kuartil sama dengan setengah dari RAK, sehingga RSAK atau DK dirumuskan:
2
1
3
K
K
DK
=
−
E. Deviasi Rata-RataDeviasi Rata-Rata (DR) adalah rata-rata dari harga mutlak semua penyimpangan suatu nilai terhadap mean groupnya. Harga simpangan atau deviasi dirumuskan:
X
X
x
=
−
Keterangan:
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya X = angka/data yang diketahui
tersebut data
kelompok mean
52 Ada dua deviasi rata-rata:
1. Deviasi rata-rata untuk data yang tidak dikelompokkan
Jika dalam penelitian diperoleh data X1, X2,… Xn dengan harga rata-rata sama dengan X, maka deviasi rata-rata-rata-rata:
n
x
DR
=
Σ
Keterangan:X
X
x
=
−
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya X = angka/data yang diketahui
tersebut data kelompok mean X = n = jumlah data
DR = MD = Mean Deviation = deviasi rata-rata
Contoh:
Tentukan deviasi rata-rata dari data nilai ujian Statistik I dari 10 mahasiswa FE berikut ini:
53 Tabel 4.1 Nilai Ujian Statistik I
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai 90 75 82 60 63 70 60 65 75 70
Penyelesaian:
Tabel 4.2
Perhitungan Deviasi Rata-rata Nilai Ujian Statistik
No Nilai (X) X x= X −X lxl 1. 90 71 19 19 2. 75 4 4 3. 82 11 11 4. 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 10. 70 -1 1 ∑ 710 76 71 10 710 = = =
∑
n X X6
,
7
10
76 =
=
Σ
=
n
x
DR
Jadi rata-rata nilai Statistik I 10 mahasiswa berdeviasi 7,6 dari rata-ratanya 71.
54
2. Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan
Perhitungan deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan menggunakan perumusan sebagai berikut:
n
x
f
DR
=
Σ
Keterangan:X
X
x
=
−
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya X = titik tengah
X =mean kelompokdatatersebut
f = frekuensi masing-masing kelas n = Σf
Contoh:
55 Tabel 4.3
Umur Karyawan PT Lady Valentine Umur Jumlah Karyawan
17 – 19 20 20 – 22 39 23 – 25 102 26 – 28 28 29 – 31 11 Penyelesaian: Tabel 4.4
Perhitungan Deviasi Rata-rata Umur Karyawan PT Lady Valentine
Umur f X fX X x= X −X lxl flxl 17 – 19 20 18 360 23,57 -5,57 5,57 111,4 20 – 22 39 21 819 -2,57 2,57 100,23 23 – 25 102 24 2448 0,43 0,43 43,86 26 – 28 28 27 756 3,43 3,43 96,04 29 – 31 11 30 330 6,43 6,43 70,73 ∑ 200 4713 422,26 57 , 23 200 4713 = = =
∑
n fX X56
11
,
2
200
26
,
422
=
=
Σ
=
n
x
f
DR
Jadi rata-rata umur 100 karyawan PT Lady Valentine bervariasi 2,11 tahun dari rata-ratanya 23,57 tahun.
Kelemahan dari deviasi rata-rata adalah ia menggunakan nilai absolute atau mengabaikan tanda positif dan negative dari deviasi sehingga menyulitkan manipulasi matematis (Atmaja, 1997).
F. Standar Deviasi
Standar deviasi adalah penyimpangan standar suatu nilai dari mean groupnya. Standar deviasi positif artinya penyimpangan di atas mean-nya, sedangkan standar deviasi negatif artinya penyimpangan di bawah mean-nya. Guna memperbaiki kekurangan standar deviasi, Karl Pearson membuat nilai deviasi (
x
=
X
−
X
) menjadi positif dengan cara dikuadratkan kemudian diakar. Perhitungan standar deviasi dibagi menjadi:1. Standar deviasi untuk data yang tidak dikelompokkan
Standar deviasi untuk data yang tidak dikelompokkan dapat dihitung dengan perumusan sebagai berikut:
Populasi:
N
x 2
Σ
=
σ
57 Sampel :
1
2
−
Σ
=
n
x
SD
Keterangan:X
X
x
=
−
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya X = angka/data yang diketahui
X =mean kelompokdatatersebut N = banyak data
Jika jumlah data (n) relatif besar, katakanlah lebih besar dari 100, maka untuk mencari nilai standar deviasi dapat menggunakan perumusan yang untuk populasi. Tetapi apabila jumlah data (n) kecil, maka untuk mencari nilai standar deviasi dapat menggunakan perumusan yang untuk sample.
Contoh:
Data berikut merupakan pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo: Tabel 4.5
Pendapatan Pedagang Batik Di Pasar Beringharjo Nama Pedagang Pendapatan (Rp)
Parti 750.000 Siti 775.000 Tinah 800.000
Kanti 725.000 Purwanti 700.000 Berdasarkan data di atas tentukan nilai standar deviasi dari pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo:
58 Penyelesaian:
Tabel 4.6
Pendapatan Pedagang Batik Di Pasar Beringharjo
No Nilai (X) X x= X −X x2 1 750.000 750.000 0 0 2 775.000 25,000 625,000,000 3 800.000 50,000 2,500,000,000 4 725.000 (25,000) 625,000,000 5 700.000 (50,000) 2,500,000,000 ∑ 3.750.000 6,250,000,000 000 . 750 5 000 . 750 . 3 = = =
∑
n X X529
.
39
4
000
.
000
.
250
.
6
1
2=
=
−
Σ
=
n
x
SD
Jadi rata-rata pendapatan 5 pedagang batik di Pasar Beringharjo berdeviasi Rp39.529 dari rata-ratanya Rp750.000.
Jika dikerjakan menggunakan SPSS, maka output yang dihasilkan yaitu:
Statistics PENDPTAN 5 0 750000.00 39528.47 Valid Missing N Mean Std. Deviation
59 Analisis
Nilai mean (rata-rata) pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo sebesar Rp750.000 dan nilai standar deviasi Rp39.528,47.
2. Standar deviasi untuk data yang dikelompokkan
Standar deviasi untuk data yang dikelompokkan dapat dihitung dengan perumusan sebagai berikut:
Populasi:
N
fx
2
Σ
=
σ
Sampel :1
2
−
Σ
=
n
fx
SD
X
X
x
=
−
x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya X = titik tengah
X =meankelompokdatatersebut N = banyak data
n = Σf Contoh:
Data di bawah ini menunjukkan distribusi pendapatan per minggu karyawan di PT Dendro, dengan gaji minimum Rp220.000.
60 Tabel 4.7
Pendapatan Karyawan PT Dendro Gaji (000) Jumlah Karyawan
220 - 234 8 235 - 249 13 250 - 264 10 265 - 279 18 280 - 294 10 295 - 309 10 310 - 324 16 Jumlah 85
Berdasarkan data tersebut: hitunglah standar deviasi. Penyelesaian:
Tabel 4.8
Pendapatan Karyawan PT Dendro
Gaji (000) f X fX X x= X −X x 2 f x2 220 - 234 8 227 1.816 275,18 -48,18 2321,31 18.570,5 235 - 249 13 242 3.146 -33,18 1100,91 14.311,86 250 - 264 10 257 2.570 -18,18 330,51 3.305,12 265 - 279 18 272 4.896 -3,18 10,11 182,02 280 - 294 10 287 2.870 11,82 139,71 1.397,12 295 - 309 10 302 3.020 26,82 719,31 7.193,12 310 - 324 16 317 5.072 41,82 1748,91 27.982,6 ∑ 85 23.390 72.942,35
61 18 , 275 85 390 . 23 = = =
∑
n fX X47
,
29
1
85
35
,
942
.
72
1
2=
−
=
−
Σ
=
n
fx
SD
Jadi rata-rata pendapatan 85 karyawan PT Dendro berdeviasi Rp29.470 dari rata-ratanya Rp275.180.
G. Variance
Variance untuk data yang dikelompokkan maupun tidak merupakan pangkat dua (kuadrat) dari standar deviasinya. Lambangnya adalah SD2 atau S2.
H. Koefisien variasi (V)
Koefisien variasi merupakan rasio atau perbandingan antara standar deviasi dengan harga rata-ratanya yang biasanya dinyatakan dengan prosentase. Semakin besar koefisien variasi, semakin besar pula variasi datanya (datanya semakin tidak homogen).
%
100
x
X
SD
V
=
V = koefisien variasi SD = standar deviasi rata rata X = −62 Contoh:
Kualitas dari dua merk barang yang sejenis ditunjukkan oleh nilai-nilai berikut ini:
Merk ABC: 20 15 10 17 18 Merk PQR: 12 13 25 25 18
Jika harga kedua merk barang tersebut relatif sama, manakah yang akan saudara beli?
Penyelesaian:
Jika perhitungan nilai rata-rata dan standar deviasi dilakukan menggunakan SPSS, maka diperoleh output sebagai berikut:
Statistics MERKABC 5 0 16.00 3.81 Valid Missing N Mean Std. Deviation Statistics MERKPQR 5 0 18.60 6.27 Valid Missing N Mean Std. Deviation
Berdasarkan output di atas diperoleh nilai rata-rata dan standar deviasi:
Merk ABC Merk PQR
16 =
X X =18,6
63 Sehingga koefisien variasinya:
%
81
,
23
100
16
81
,
3
%
100
=
=
=
x
x
X
SD
V
ABC%
71
,
33
100
6
,
18
27
,
6
%
100
=
=
=
x
x
X
SD
V
PQRBerdasarkan hasil perhitungan di atas dapat dikatakan bahwa koefisien variasi kualitas barang merk ABC lebih kecil daripada koefisien variasi kualitas barang merk PQR, sehingga dapat disimpulkan bahwa kualitas barang merk ABC lebih seragam daripada kualitas barang merk PQR. Jadi jika harga kedua barang tersebut relative sama sebaiknya membeli barang merk ABC.
I. Standar Score (Z)
Standar score atau angka standar merupakan suatu alat untuk menilai besarnya harga suatu variabel (gejala) terhadap rata-ratanya yang dinyatakan dengan satuan standar deviasi. Angka standar ini dapat digunakan untuk menilai perubahan (kenaikan atau penurunan) suatu variabel (gejala) dari rata-ratanya. Semakin besar angka standar, semakin besar pula perubahan variabel tersebut.
SD
X
X
Z
=
−
Z = angka standar X = harga suatu variabel
64 rata
rata
X = −
SD= standar deviasi
Nilai Z akan negatif jika data variable tersebut mengalami penurunan dan Nilai Z akan positif jika data variable tersebut mengalami kenaikan.
J. Rangkuman
Deviasi Rata-Rata (DR) adalah rata-rata dari harga mutlak semua penyimpangan suatu nilai terhadap mean groupnya. Standar deviasi adalah penyimpangan standar suatu nilai dari mean groupnya.
Koefisien variasi merupakan rasio atau perbandingan antara standar deviasi dengan harga rata-ratanya yang biasanya dinyatakan dengan prosentase. Standar score atau angka standar merupakan suatu alat untuk menilai besarnya harga suatu variabel (gejala) terhadap rata-ratanya yang dinyatakan dengan satuan standar deviasi.
K. Latihan Soal
65 Tabel 4.9
Gaji Karyawan PT Dendro
Gaji (Ribuan) Jumlah Karyawan 500 – 549 550 - 599 600 - 649 650 - 699 700 - 749 750 - 779 800 - 849 20 10 15 5 10 15 5
Berdasarkan data di atas hitunglah: a. Deviasi rata-rata.
b. Standar deviasi.
2. Berikut ini adalah data nilai ujian statistik: Tabel 4.10 Nilai Ujian Statistik
Nilai Ujian Statistik Frekuensi Kurang dari 30 Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90 0 10 15 22 35 47 60
66 Berdasarkan data di atas hitunglah: a. Deviasi rata-rata
b. Deviasi standar
3. Data pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro ditunjukkan table 4.11: Tabel 4.11
Pendapatan Pedagang Kaki Lima Di Malioboro Pendapatan (000) Frekuensi 750 atau lebih 1.000 atau lebih 1.250 atau lebih 1.500 atau lebih 1.750 atau lebih 2.000 atau lebih 150 125 105 75 20 0
Berdasarkan data di atas hitunglah: a. Deviasi rata-rata
b. Deviasi standar
4. Ada 2 kelompok belajar yang masing-masing terdiri dari 10 orang. Usia anggota kelompok adalah:
67 Tabel 4.12
Data Usia Masing-masing Kelompok
Kelompok I (Tahun) Kelompok II (Tahun) 18 17 19 20 20 21 23 25 24 20 19 17 17 17 18 18 20 20 21 26
Berdasarkan data di atas, kelompok mana yang usia anggotanya lebih seragam berdasarkan:
a. Deviasi rata-rata b. Deviasi standar c. Koefisien variasi
