Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi pada Graf

Kincir

Disusun Oleh :

Chandra Irawan NRP.1200 109 024

Abstrak

Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung dan S adalah

sebuah subset dari V(G), jarak antara v dan S adalah

.Suatu graf terhubung G dengan k

buah partisi

dari V(G) dan v vertex di G,

representasi v pada

adalah

adalah partisi resolving dari V(G), jika k adalah nilai

minimum sedemikian hingga

adalah partisi

resolving dari graf G, maka k adalah dimensi partisi dari graf

G,atau ditulis pd(G)= k.

Dalam tugas akhir ini akan dibuktikan dimensi partisi

graf Kincir dengan m-bilah ,

sedemikian hingga

.

Kata kunci : partisi resolving, dimensi partisi, graf Kincir.

 

v S



d

 

v x x S



d ,  min , 



S₁,S₂,..., S_k



 



r

 

v  



d



v,1



,d



v,2



,..., d



v,k







   k



  ₁, ₂, ₃,...,



 

W k pd ₂m  m k        2

Latar Belakang

Graf merupakan salah satu struktur dasar dari ilmu komputer. Banyak permasalahan dapat dinyatakan dalam bentuk graf dan diselesaikan menggunakan graf pencarian/manipulasi algoritma. Graf adalah kumpulan vertex dan edge, didefinisikan sebagai , dimana V adalah kumpulan dari vertex dan E adalah kumpulan dari edge. Setiap edge menghubungkan satu vertex ke vertex yang lain, dan setiap vertex dapat mempunyai banyak edge yang menghubungkannya ke vertex yang lain.

Banyak penelitian telah dilakukan pada graf, diantaranya edge labelling, coloring graph, teori Ramsey pada graph, vertex labelling, partition dimension of graph, dan lain-lain. Dimensi partisi merupakan permasalahan yang menarik untuk dibahas dan banyak mendapat perhatian dari kalangan peneliti. Beberapa hasil penelitian tentang dimensi partisi pada graf sudah banyak dipublikasikan.

Latar Belakang

Penelitian tentang dimensi partisi yang pertama kali dikenalkan oleh F. Harary dan R. Melter pada tahun 1976 dengan jurnal On metric

dimension of a graph. Sampai saat ini, dimensi partisi masih terus

dipelajari dan dikembangkan oleh matematikawan diantaranya adalah Gary Chartrand, Ebrahim Salehi, dan Ping Zhang. Di dalam jurnalnya telah dipaparkan hubungan tentang dimenisi partisi dengan dimensi metrik (dim), yaitu bahwa untuk suatu graf G nilai pd(G) dim+1.

Beberapa hasil penelitian juga telah ditunjukkan bahwa untuk sebarang graf terhubung G, dimana untuk pd(G)=2 jika dan hanya jika graf tersebut adalah Path dan pd(G)=n jika dan hanya jika graf tersebut adalah graf lengkap , selain itu juga telah ditunjukkan 3 buah graf dengan dimensi partisi (n-1), yaitu graf

dan dengan n adalah jumlah vertex pada graf tersebut.



 

G n pd   2 n P n K e n n K K_{1, 1}, _

Latar Belakang

Dalam

penelitian-penelitian

berikutnya,

Ioan

Tomescu, Imran Javaid dan Slamin telah menunjukkan

dimensi partisi untuk graf Wheel, dimana dimensi partisi pada

graf Wheel bernilai diantara

dengan

n adalah banyaknya vertex.

Sejauh ini dimensi partisi pada graf Kincir n-bilah belum

ditentukan.

 

2 1/3 _

 

_ 2

_{ }

1/2 _1 n W pd n _n

Perumusan Masalah

Bagaimana menentukan dimensi partisi dari graf

kincir dengan 2-bilah, 3-bilah, 4-bilah dan kemudian

menentukan dimensi partisi graf kincir dengan

m-bilah.

Batasan Masalah

Adapun penelitian dalam tugas akhir ini, yang dikaji

adalah graf kincir. Dan permasalahan akan dibatasi

pada graf yang diteliti, yaitu graf kincir dengan

m-bilah.

Tujuan dan Manfaat

Untuk menentukan dimensi partisi pada graf kincir

m-bilah.

Memberikan kontribusi dalam bidang teori graf,

utamanya dalam dimensi partisi pada graf kincir

.

Dasar Teori

Teori Graf

Pengertian Graf

Graf adalah kumpulan vertex dan edge, didefinisikan

sebagai G=(V,E), dimana V adalah kumpulan dari vertex

dan

E

adalah

kumpulan

dari

edge.

Setiap

edge

menghubungkan satu vertex ke vertex yang lain, dan setiap

vertex

dapat

mempunyai

banyak

edge

yang

menghubungkannya ke vertex yang lain. Sebuah segmen

garis yang menghubungkan dua vertex disebut dengan

edge. Banyaknya vertex dinotasikan dengan |V(G)|dan

Dasar Teori

Teori Graf

Eksentrisitas

Jarak (distance) antara vertex u dan v pada graf G,

dinotasikan

dengan

d(u,v)

adalah

panjang

lintasan

terpendek antara u dan v pada graf G. Eksentrisitas vertex v

pada graf G dinotasikan e(v) adalah jarak terjauh

(maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap vertex di G,

dengan kata lain:

e(v) = max { d(v, u) | u

ϵ V(G)}.

Vertex v adalah vertex eksentrik dari u jika jarak dari v ke u

Dasar Teori

Jenis Graf

Graf Kincir

Windmill

atau

graf

kincir

dinotasikan

dengan

adalah graf yang dibangun dengan menghubungkan

semua vertex

dengan sebuah vertex yang disebut vertex

pusat c. Secara matematis graf Kincir

Gambar.Graf Kincir m W₂ 2 mK 2 mK 2 1 2 K mK W m   c 2 u 2 v 3 v 3 u 1 u 1 v

Dasar Teori

Dimensi Partisi

Dimensi partisi pada graf G, yang dinotasikan dengan

pd(G) adalah nilai minimum k partisi resolving dari V(G).

Contoh :

Misalkan

dimana,

Gambar.Graf path dengan 2 partisi

Maka

Berapun nilai n,maka nilai

akan berbeda,

sehingga dapat dirumuskan :



S₁, S₂



  S1 

 

v1 dan S2 



v2,v3,,vn



1 v v_{2 v3} v_{4 vn} 1 2 2 2 2 1 ) ( ; 3 ) ( ; 2 ) ( ; 1 ) ( ; 0 ) (v₁v₁  d v₁v₂  d v₁v₃  d v₁v₄  d v₁v  n d _n

 

v r

 

 

v i i n r v r i        2 untuk ); 0 , 1 ( ) 1 , 0 ( 1

Dasar Teori

Dimensi Partisi

adalah resolving partisi minimum dari

dan tidak ada

lagi dimensi partisi yang lebih kecil dari 2, oleh karena itu

Theorema 2.1 : Graf terhubung G mempunyai pd(G)=2,

Jika dan hanya jika graf tersebut adalah Path.



Pn

 

P_n  2 .

Metodologi

Metodologi penelitian dalam mengerjakan tugas

akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Studi Literatur Tentang dimensi partisi graf

dan graf kincir.

2. Analisa.

3. Evaluasi.

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir 2-bilah .

Berikut dihitung dimensi partisi dari

. Adapun

gambar dari graf

dapat dilihat pada Gambar dibawah

ini.

Graf Kincir dengan 2-bilah .

 

2 2 W 1

v

2

v

c

1

u

2

u

2

1

1

1

3

 

2 2 W 2 2 W 2 2 W

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir 2-bilah .

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan

2-bilah seperti pada Gambar, dengan

dimana,

maka representasi vertex - vertex pada graf G adalah

sebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf G

berbeda, maka

adalah partisi resolving minimum

dari G. Karena dimensi graf

tidak mungkin lebih kecil

dari 3, maka

adalah resolving minimum.

Dengan demikian pd

=3.

 

2 2 W S₁,S₂,S₃    _{1 2} ₂  _{2 3}  ₁ 1 c,v ,u ;S v ;S u S   



u₂ 







0,2,1



r

 

v₂  



1,2,0



r



u₁ 







1,0,2



r

 

c 



0,1,1



r

 

v₁  



0,1,2



r S₁,S₂,S₃  

 

2 2 W

 

2 2 W



Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir 3-bilah .

Berikut dihitung dimensi partisi dari

. Adapun

gambar dari graf

dapat dilihat pada Gambar dibawah

ini.

Graf Kincir dengan 3-bilah .

 

3 2 W 3 2 W 3 2 W 1 u 3 v 3 u 2 u 2 v 1 v c 1 1 1 2 2 3 3

 

3 2 W

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir 3-bilah .

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan

3-bilah seperti pada Gambar, dengan

dimana,

maka representasi vertex - vertex pada graf G adalah

sebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf G

berbeda, maka

adalah partisi resolving minimum

dari G.

 

3 2 W S₁,S₂,S₃    _{1 3} ₂  _{1 2} ₃  _{2 3} 1 c,v ,v ;S u ,u ;S v ,u S   

 

v₂  



1,1,0



r

 

v3  



0,2,1



r



u₂ 







1,0,1



r

 

v₁  



0,1,2



r

 

v2  



1,2,0



r

 

c 



0,1,1



r



u₁ 







1,0,2



r S₁,S₂,S₃  

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir 4-bilah .

Berikut dihitung dimensi partisi dari . Adapun gambar dari graf dapat dilihat pada Gambar dibawah ini.

Graf Kincir dengan 4-bilah .

 

4 2 W 4 2 W 4 2 W c 1 v 2 v 4 v 3 v 3 u 2 u 1 u 4 u 1 1 1 1 2 3 3 4 4

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir 4-bilah

.

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan 4-bilah seperti pada Gambar, dengan dimana,

maka representasi vertex - vertex pada graf G adalah sebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf G berbeda, maka

adalah partisi resolving minimum dari G. Oleh karena itu pd =4.

 

4 2 W S₁,S₂,S₃,S₄    _{1 2 3} ₂  _{1 3}  _{2 4} ₄  _{3 4} 1 c,v ,v ,v ;S u ;S u ,v ;S u ,u S    

 

c  0,1,1,1 r



u₂



1,2,0,2 r

 

v1  0,1,2,2 r

 

v₄ 1,2,0,1 r

 

v₂   0,2,1,2 r



u₃ 



 1,2,2,0 r

 

v3   0,2,2,1 r



u₄ 



 1,2,1,0 r



u1 



 1,0,2,2 r

 

4 2 W S₁,S₂,S₃,S₄  

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Graf kincir dengan m-bilah yang mempunyai vertex luar dari sebuah bilah yang sama, maka vertex-vertex tersebut harus berada pada partisi yang berbeda.

Graf Kincir dengan m-bilah .



m



W₂ c 2 v 2 u 3 v 4 v 5 v n v 1 v 3 u 4 u 5 u n u 1 u

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Lemma 4.1 :

Bila u dan v adalah vertex luar dari sebuah bilah yang sama , maka

vertex u dan v tersebut harus berada pada partisi yang berbeda.

Bukti :

Diberikan graf W adalah graf Kincir dengan m-bilah, vertex pusat dinotasikan dengan c, dan dua vertex luar bilah ke i dinotasikan dengan

dan untuk .

Tanpa mengurangi perumuman misalkan dimana dan vertex yang lain adalah elemen dari partisi singleton

dimana .

Representasi dari . Dengan demikian bukan partisi resolving.



m



W₂ i

v

u

_i 1 i  m



₁, ₂,..., ₂ ₂



  S S S _m



_{1 1}



1 c, uv , S  j S 2 j  2m2

   

v₁   r u₁  0,2,2,... r 

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Lemma 4.2 : Untuk setiap kombinasi partisi yang sudah ada pada sebuah bilah, maka kombinasi partisi tersebut tidak boleh berulang pada bilah yang lain.

Bukti :

Diberikan graf W adalah graf Kincir dengan m-bilah, vertex pusat dinotasikan dengan c, dan dua vertex luar bilah ke i dinotasikan dengan

dan untuk .

Tanpa mengurangi perumuman misalkan dimana dan vertex yang lain adalah elemen dari partisi singleton dimana .

Representasi dari dan Dengan demikian bukan partisi resolving.



m



W₂ i

v

u

_i 1 i  m



₁, ₂,..., ₂ ₂



  S S S _m j S 3 j  2m2



 _{1 2} ₂  _{1 2} 1 c,v ,v ;S u ,u S  

   

v1  r v2   0,2,2,... r r



u₁

 

 r u₂



1,0,2,2,...

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Berdasarkan pada Lemma 1 dan Lemma 2, jumlah partisi yang mungkin pada graf Kincir harus memenuhi Theorema berikut :

Theorema 4.1 : Bila adalah graf Kincir dengan m-bilah, maka adalah sama dengan k sedemikian hingga .

Bukti :

Batas atas :

Misalkan diperoleh mendapatkan m-buah kombinasi dengan subset dua elemen dari ( 1, 2, ... , k) sedemikian hingga tidak ada kombinasi yang sama, maka akan didapatkan yang berbeda untuk setiap v ϵ V Oleh karena itu



m



W₂ m W₂ m W₂ pd

 

W2m m k        2



S1,S2,..., Sk



 

 

v r

 

m W₂ pd

 

W2m  k

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Dimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Batas bawah :

Untuk i = (1,2,...,m), misalkan adalah dua vertex bertetangga selain vertex pusat c. Misal adalah himpunan partisi resolving dari . Berdasarkan Lemma 4.1. dan harus berada dalam partisi yang berbeda, dan berdasarkan Lemma 4.2. tidak boleh ada kombinasi partisi yang sama pada dua buah bilah dalam , maka jumlah partisi paling sedikit adalah k dimana k adalah bilangan integer terkecil yang memenuhi . Jadi .

Jadi dimensi partisi untuk adalah k atau dapat ditulis .



m



W₂



u_i,v_i



 m W₂ vi ui m W₂ m k        2 pd

 

W k m  2 m W₂ pd

 

W₂m  k

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Contoh :

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan 10 bilah, maka

dimana k adalah bilangan integer terkecil yang memenuhi . Misal , dengan dimana :

 

W k pd ₂m  m k        2

 

10 5 2  W pd  S₁,S₂,S₃,S₄,S₅



















_{4 7 9 10}



5 10 8 6 3 4 9 8 5 2 3 7 6 5 1 2 4 3 2 1 1 , , , ; , , , ; , , , ; , , , ; , , , , u u u u S v u u u S v v u u S v v v u S v v v v c S     

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Contoh :

Graf Kincir dengan 10-bilah

1 v v₂ 3 v 4 v 7 v 1 u 5 v 6 v 5 u 2 u 9 v 8 v 10 v x 6 u 8 u 9 u 10 u 7 u 4 u c 3 u 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 4 4 5 4 5 4 5 5

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Contoh :

Maka representasi vertex-vertex pada graf G adalah sebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf G berbeda, maka adalah partisi resolving minimum dari G, Sehingga

 c  0,1,1,1,1 r v1 0,1,2,2,2 r v₂0,2,1,2,2 r v30,2,2,1,2 r v₄ 0,2,2,2,1 r u₁ 1,0,2,2,2 r v51,0,1,2,2 r v₆1,0,2,1,2 r v₇1,0,2,2,1 r u₂1,2,0,2,2 r u₅ 1,1,0,2,2 r v₈1,2,0,1,2 r v₉1,2,0,2,1 r v91,2,0,2,1 r u₆1,1,2,0,2 r u₈1,2,1,0,2 r v₁₀ 1,2,2,0,1 r u₄ 1,2,2,2,0 r u₇  1,1,2,2,0 r u₉  1,2,1,2,0 r u₁₀ 1,2,2,1,0 r S₁,S₂,S₃,S₄,S₅  

 

10 5 2  W pd

Pembahasan

Kesimpulan

Bahwa dimensi partisi untuk graf kincir

adalah sama

dengan k , dimana k adalah bilangan integer terkecil yang

memenuhi

.

Saran

Untuk penelitian lebih lanjut mengenai dimensi partisi

pada graf, dapat dilakukan pada graf-graf yang lain,

terutama pada graf sederhana dan tidak memiliki arah.

m W₂ m k        2

DAFTAR PUSTAKA

1. Harary, F., 1969, Graph Teory, Wesley Publishing Company,Inc. 2. Seshu, Sundaram, Reed, B., Myril., 1961, Linear Graph and

Electrical Network, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

3. Tomescu, I., Javaid, I., Slamin., On the partition dimension and

connected partition of wheels, Ars combinatoria 84 (2007),

311-317.

4. Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P., 2000. “The Partition

dimension of a graph”. Aequation Math 59:45-54.

5. Deo, N. 1980, Graph Theory With Applications To Enginering

And Computer Science. New Delhi : Prentice Hall of India.

6. Gross, J.L., Yellen, J. 2006, Graph Theory and its Applications,

Second Edition, Chapman & Hall Corc.