LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY
Pada bagian ini, kita akan melanjutkan menganalisis dinamika keluarga fungsi kuadrat ( ) = + . Pada bagian sebelumnya, diperoleh dina-mika fungsi yang cukup sederhana untuk > − . Selanjutnya, kita akan melihat perubahan perilaku dinamika yang luar biasa untuk ≤ 2.
.
A. Kasus = −
Pada eksperimen sebelumnya, sudah dianalisis orbit-orbit dari ( ) = − 2 untuk variasi nilai awal pada interval −2 ≤ ≤ 2. Sebagian besar orbit mempunyai pergerakan tak tentu (acak); hanya terdapat sedikit periodic points atau eventually periodic, serta mempunyai fixed point (-1 dan 2) dan eventually fixed point (-2,0,1). Pada bagian ini akan diperlihat-kan bahwa sebenarnya terdapat banyak titik periodik yang luput dari perhitungan komputer.
Fungsi ( ) = − 2 mempunyai dua titik tetap, yaitu = −1 dan = 2.
Karena ( )′( ) = 2 , sehingga kedua titik tetap tersebut mempunyai sifat repelling. Melalui graphical analysis, dapat ditunjukkan bahwa setiap orbit dari < − atau > menuju tak hingga. Sehingga kita akan menganalisis orbit pada interval
= [− , ] = [−2,2].
Perhatikan bahwa jika ∈ [−2,2], maka orbit titik tersebut akan dikurung dalam persegi [−2,2] × [−2,2] = [− , ] × [− , ]. Selan-jutnya,fungsi merupakan
Fungsi naik pada interval [0,2] one to one dan onto , dan Fungsi turun pada interval [−2,0] one to one dan onto .
Jadi, : → , dengan setiap titik di ∈ , ≠ 2, memiliki tepat dua pra-peta (preimages) di : satu di [−2,0] dan satu lagi di [0,2].
2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2
Sekarang perhatikan grafik dan .
Pada iterasi pertama di atas, interval [0,2] dipetakan ke , sementara untuk seluruh interval dipetakan lagi ke dengan bentuk grafik parabola terbuka ke atas (1 “lembah”). Dengan demikian, grafik pada interval [0,2] mempunyai 1 “lembah”. Hal yang sama juga terjadi pada interval [−2,0].
Oleh karena itu, grafik pada interval = [−2,0] ∪ [0,2] mempunyai 2 “lembah”, seperti yang terlihat pada gambar. Jadi, terdapat 4 subinterval dari yang masing-masing dipetakan oleh
onto . Selanjutnya, dengan cara yang sama, grafik akan
mempu-nyai 2 = 4 “lembah” di (2 di [0,2] dan 2 di [−2,0]).
Secara umum, mempunyai 2 “lembah” pada interval . Sehing-ga grafik memotong diagonal = tepat 2 kali pada . Semua titik potong tersebut merupakan titik tetap dari atau titik periodik periode (n-cycle) dari .
Theorem. Fungsi mempunyai paling sedikit 2 titik periodik periode n pada interval −2 ≤ ≤ 2.
Teorema tersebut mengatakan bahwa sebenarnya terdapat banyak sekali titik periodik dari , bahkan banyak tak terbatas seiring bertambahnya iterasi . Hal tersebut kontras dengan hasil eksperimen menggunakan komputer sebelumnya, dimana sangat sedikit (susah) menemukan titik periodik tersebut.
Hal ini menimbulkan beberapa pertanyaan. Untuk keluarga fungsi kuadrat , untuk nilai > − , terdapat sedikit titik periodik. Di sisi lain, ketika = −2, terdapat banyak titik periodik untuk semua periode yang muncul. The big question is: How did these periodic points arise? Where did they come from?
2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2
, = − > − , = − > −
B. Kasus < −2
Pada eksperimen sebelumnya, kita sudah menganalisis beberapa orbit dari untuk < −2 menggunakan komputer. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa hampir semua orbit dari menuju tak hingga.
Pada grafik di atas, kita juga dapat melihat kotak persegi [− , ] × [− , ]. Namun, terdapat bagian bawah grafik yang menonjol keluat dari kotak tersebut (tidak seperti kasus = −2). Selanjutnya didefinisikan
= [− , ].
Pada kasus = −2, terdapat titik −2 yang hanya memiliki 1 preimage pada , sedangkan pada kasus < −2, semua titik di memiliki 2 preimage pada . Selain itu, terdapat interval terbuka di yang memuat 0 yang oleh dipetakan keluar (diluar kotak). Semua orbit dari titik-titik pada inteval tersebut, berhasil keluar dari , sehingga akan menuju tak hingga. Misal interval tersebut dinotasikan dengan
: himpunan titik-titik yang keluar dari setelah satu itearsi .
2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2
Semua orbit yang keluar meninggalkan interval akan menuju tak hingga. Selanjutnya, kita akan menganalisis orbit dari titik-titik lain yang tidak pernah meninggalkan . Dimisalkan
∧= { ∈ | ( ) ∈ untuk semua }. Bagaimana bentuk dari himpunan ∧?
Untuk setiap ∈ , preimage dari titik tersebut, ( ), terdiri dari 2 titik. Sehingga, himpunan semua preimage dari titik-titik di ,
= { ∈ | ( ) ∈ },
memuat 2 interval. Orbit dari ∈ keluar dari setelah 2 iterasi. Jadi, jika ∈ , maka ( ) → ∞ untuk → ∞, dan ∉ ∧. Selanjutnya, karena
memuat 2 interval, maka semua preimage dari titik-titik di , = { ∈ | ( ) ∈ } = { ∈ | ( ) ∈ },
memuat 4 interval. Orbit dari ∈ keluar dari setelah 3 iterasi. Jadi, ∉ ∧, karena jika ∈ , maka ( ) → ∞.
Secara umum, diperoleh
= { ∈ | ( ) ∈ } = { ∈ | ( ) ∈ }.
Jumlah interval dalam adalah dua kali jumlah interval dalam . Dan jika ∈ , maka ( ) → ∞ untuk → ∞, sehingga ∉ ∧. Jadi, diperoleh
∧= − ⋃ .
Jadi, himpunan ∧ diperoleh setelah menghilangkan semua interval terbu-ka (open interval) , yaitu memuat 2 interval tertutup (closed interval). Himpunan ini disebut himpunan Cantor (Cantor set).
Apakah terdapat titik-titik pada himpunan ∧? Ya, jelas titik tetap ±∈ ∧, karena ( ±) = ± untuk setiap . Titik − juga berada di ∧, karena merupakan eventually fixed point ke , yaitu (− ) = . Selain itu, titik-titik ujung (endpoint) dari setiap interval pada juga berada di himpunan ∧. Jika titik ujung tersebut, diperoleh ( ) = − , sehingga
( ) = . 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3
Himpunan ∧ tidak memuat interval. Diasumsikan < − √ = −2.368 …,
sehingga diperoleh ( ) > 1 untuk setiap ∈ − . Dengan demikian terdapat konstanta sedemikian sehingga ( ) ≥ > 1. Untuk setiap ∈ − . Sekarang diasumsikan terdapat suatu interval , dengan pan-jang > 0. Karena ( ) > untuk setiap ∈ , maka berdasarkan teorema nilai rata-rata (Mean Value Theorem) diperoleh
( ) = ( ) ( ) > ,
dengan = min { | } dan = max { | } dan untuk beberapa di anta-ra dan . Sehingga diperoleh
| ( ) − ( )| > | − | ↔ ( ) > .
Selain itu, karena ⊂ ∧, maka ( ) ⊂ ∧. Dengan argumen yang sama dipe-roleh ( ) > dan ( ) ⊂ ∧. Jika proses yang sama dilanjutkan, maka diperoleh ( ) > dan ( ) ⊂ ∧. Tetapi, karena > 1, sehingga
→ ∞ untuk → ∞.
Oleh karena itu ( ) → ∞ untuk → ∞. Sedangkan interval ( ) berada di dalam , yang memiliki panjang terbatas. Sehingga terjadi kontradiksi. Dengan kata lain, himpunan ∧ tidak memuat interval.
Himpunan ∧ merupakan himpunan tertutup dari . Komplemen dari ∧ memuat interval-interval terbuka (−∞, − ), ( , ∞), dan semua . Karena gabungan semua himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka. Sehingga
∧ = (−∞, − ) ∪ ( , ∞) ⋃
merupakan himpunan terbuka (open set). Akibatnya ∧ merupakan himpu-nan tertutup (closed set).
Theorem. Diberikan keluarga fungsi kuadrat = + dengan < −2. Himpunan titik-titik ∧ yang memiliki orbit tidak menuju tak hingga meru-pakan himpunan tak kosong, tertutup di , dan tidak memuat interval.
Teorema di atas berlaku untuk semua nilai < −2. Bukti diberikan untuk < − √ = −2.368, karena untuk nilai cukup dekat dengan −2, teorema memiliki bukti yang cukup kompleks.
Suatu himpunan bagian (subset) dari ℝ yang tidak memuat interval disebut totally disconnected.
