28
BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibentuk model matematika dari penyebaran penyakit virus Ebola. Setelah model terbentuk, akan dilanjutkan dengan analisa bifurkasi pada parameter laju transmisi.
A. Model Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola 1. Permasalahan Nyata
Virus Ebola merupakan salah satu virus penyebab penyakit demam berdarah Afrika yang pertama kali muncul pada tahun 1976 (Brooks, Butel, & Morse, 2005: 206). Penyakit yang disebabkan oleh virus tersebut kemudian lebih dikenal dengan penyakit virus Ebola. Terdapat beberapa spesies virus Ebola, spesies Zaire adalah salah satu spesies paling mematikan yang telah menyebabkan wabah di Afrika Barat pada tahun 2014-2016. Tingkat kematian penyakit virus Ebola mencapai , dari beberapa wabah yang terjadi sebelumnya tingkat kematian dapat bervariasi dari .
Penyakit virus Ebola dapat menular dari hewan ke manusia dan manusia ke manusia baik secara langsung maupun secara tidak langsung. Penularan terjadi melalui cairan tubuh dari manusia atau hewan yang terinfeksi dan benda yang telah terkontaminasi, kemudian masuk ke tubuh melalui kulit yang terluka atau membran mukosa yang tidak terlindungi seperti mata dan hidung. Kelompok yang paling berisiko tertular adalah keluarga penderita dan petugas medis maupun nonmedis yang menangani kasus infeksi. Virus ini bahkan dapat bertahan pada
29
penderita yang telah dinyatakan sembuh, janin pada wanita hamil, dan jenazah (WHO, 2014).
Penularan penyakit virus Ebola dapat dicegah, salah satunya yaitu dengan pemberian vaksin. Pada Mei 2017, WHO secara resmi menyatakan vaksin pertama virus Ebola telah ditemukan. Vaksin yang disebut rVSV-ZEBOV (Recombinant Vesicular Stomatitis Virus-Zaire Ebola Virus) telah melumpuhkan virus Ebola dengan menerapkan metode vaksinasi cincin, yaitu dengan memberikan vaksin pada individu yang mungkin melakukan kontak dengan individu terinfeksi seperti pihak keluarga. Walaupun vaksin untuk penyakit virus Ebola telah ditemukan, namun hingga saat ini belum ada obat khusus yang terbukti dapat menyembuhkan penyakit tersebut sehingga pengobatan yang dapat dilakukan hanya dengan rehidrasi.
Penyakit virus Ebola memiliki masa inkubasi selama hari dan gejala akan muncul hari setelah individu terjangkit. Selama masa inkubasi individu yang telah terjangkit belum dapat menularkan dan belum menunjukan gejala. Gejala dari penyakit virus Ebola diantaranya yaitu ruam, diare, dan pendarahan baik eksternal maupun internal. Gejala yang terjadi menyerupai penyakit menular lain, oleh karena itu diperlukan uji khusus untuk mendiagnosa penyakit tersebut.
Salah satu cara untuk mendiagnosa penyakit virus Ebola yaitu dengan uji RT-PCR (Reverse Transcriptase Polymerase Chain Reaction). Jika uji RT-RT-PCR menyatakan positif artinya individu terinfeksi virus Ebola dan sebaliknya. Penelitian mengenai keefektifan uji RT-PCR dalam mendiagnosa penyakit virus
30
Ebola telah dilakukan oleh Diego Chowell, Muntaser Safan, dan Carlos Castillo-Chaves pada tahun 2015. Di dalam penelitiannya Chowell, Safan, dan Chavez memberikan uji RT-PCR kepada individu yang memiliki riwayat kontak dengan individu terinfeksi. Dari individu dengan hasil uji positif, terdapat 7 individu terinfeksi, dan tidak ada individu terinfeksi dari individu dengan hasil uji negatif. Penelitian tersebut membuktikan bahwa uji RT-PCR cukup efektif untuk mendiagnosa penyakit virus Ebola. Namun demikian kebutuhan mendesak diagnosa tidak dapat diberikan kepada semua calon penderita karena adanya keterbatasan medis di negara-negara terjangkit.
2. Asumsi-asumsi yang Digunakan
Berdasarkan permasalahan nyata penyakit virus Ebola, dibuat asumsi-asumsi untuk membatasi permasalahan yang akan dibahas. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk merumuskan model matematika penyakit virus Ebola sebagai berikut :
a. Populasi diasumsikan tertutup, artinya tidak ada individu yang masuk ke dalam populasi maupun keluar dari populasi.
b. Diasumsikan hanya terdapat penyakit virus Ebola dalam populasi.
c. Faktor kelahiran dan kematian alami diperhatikan. Jumlah kelahiran dan kematian diasumsikan sama untuk setiap satuan waktu.
d. Setiap individu yang lahir diasumsikan belum terjangkit virus.
e. Setiap kematian yang bukan dikarenakan penyakit virus Ebola diasumsikan sebagai kematian alami.
31
f. Setiap individu yang belum terjangkit virus Ebola diasumsikan belum mendapat vaksin sehingga individu tersebut rentan terhadap penyakit virus Ebola.
g. Setiap individu diasumsikan mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain.
h. Setiap individu mempunyai resiko yang sama untuk tertular.
i. Diasumsikan tidak ada penularan dari jenazah individu terinfeksi virus Ebola. j. Individu yang telah terjangkit virus diasumsikan tidak dapat menularkan virus
dan tidak menunjukan gejala selama masa inkubasi.
k. Diasumsikan efektivitas isolasi adalah , artinya individu terisolasi tidak dapat menularkan virus.
l. Individu yang sembuh dari penyakit virus Ebola diasumsikan memiliki kekebalan permanen terhadap penyakit virus Ebola.
m. Diagnosa penyakit virus Ebola diasumsikan hanya dilakukan dengan uji RT-PCR.
n. Diasumsikan ada keterbatasan medis sehingga uji RT-PCR dan isolasi tidak dapat dilakukan pada setiap individu yang menunjukan gejala.
3. Formulasi Model
Berdasarkan permasalahan nyata penyakit virus Ebola dan asumsi-asumsi yang telah dibuat, akan dibentuk model dari penyebaran virus Ebola pada suatu populasi. Populasi tersebut dibagi menjadi lima kelompok, yaitu kelompok susceptible , kelompok exposed , kelompok infected , kelompok isolated , dan kelompok recovered . Kelompok susceptible merupakan
32
kelompok individu yang belum terjangkit dan berisiko tertular virus. Kelompok exposed merupakan kelompok individu laten, artinya individu tersebut terjangkit virus namun belum mengembangkan gejala dan belum dapat menularkan. Kelompok infected merupakan kelompok individu terinfeksi dan dapat menularkan virus. Kelompok isolated merupakan kelompok individu terisolasi. Kelompok recovered merupakan kelompok individu sembuh. Berdasarkan pembagian populasi tersebut, model matematika yang terbentuk dituliskan sebagai model .
Untuk formulasi setiap kelompok pada populasi, didefinisikan parameter-parameter yang digunakan yaitu :
laju kelahiran laju transmisi laju kematian alami
laju perpindahan dari kelompok exposed ke kelompok infected atau kelompok isolated
proporsi individu laten berpindah ke kelompok isolated
laju perpindahan dari kelompok infected ke kelompok recovered atau laju kematian karena virus Ebola
laju perpindahan dari kelompok isolated ke kelompok recovered atau laju kematian karena virus Ebola
laju perpindahan dari kelompok infected ke kelompok isolated proporsi individu yang terinfeksi mati karena virus Ebola proporsi individu yang terisolasi mati karena virus Ebola
33
Setiap individu yang lahir merupakan individu rentan, individu tersebut kemudian masuk ke dalam kelompok susceptible dengan laju . Individu rentan dapat terjangkit virus jika melakukan kontak langsung dengan individu terinfeksi dengan laju transmisi kemudian akan berpindah ke kelompok exposed dengan laju yaitu
Dari riwayat kontak individu terinfeksi, individu laten dapat dideteksi untuk selanjutnya dilakukan uji RT-PCR. Namun dengan adanya keterbatasan riwayat kontak dan infrastruktur medis, baik uji RT-PCR, maupun isolasi tidak dapat diberikan kepada setiap individu laten. Individu laten dapat berpidah ke kelompok isolated atau ke kelompok infected dengan laju . Individu laten dengan uji RT-PCR positif akan berpindah ke kelompok isolated dengan proporsi . Individu laten dengan uji RT-PCR positif namun tidak mendapat isolasi dan individu laten yang tidak mendapat uji RT-PCR akan berpindah ke kelompok infected.
Individu dalam kelompok infected yang mendapat kesempatan diisolasi kemudian akan berpindah ke kelompok isolated dengan laju . Individu terinfeksi dapat berpindah ke kelompok recovered atau dihapuskan dari kelompok infected dengan laju . Individu terinfeksi yang mati karena virus Ebola akan dihapuskan dari kelompok infected dengan proporsi , sedangkan individu terinfeksi yang sembuh akan berpidah ke kelompok recovered.
Individu terisolasi dapat berpindah ke kelompok recovered atau dihapuskan dari kelompok isolated dengan laju . Individu terisolasi yang mati karena virus Ebola kemudian dihapuskan dari kelompok isolated dengan proporsi ,
34
sedangkan individu terisolasi yang sembuh akan berpidah ke kelompok recovered. Individu yang mati bukan karena virus Ebola diasumsikan sebagai kematian alami, dan akan dihapuskan dari setiap kelompok dengan laju .
Dari penjelasan tersebut, diperoleh diagram alir model matematis penyebaran penyakit virus Ebola sebagai berikut :
Gambar 5. Diagram Alir Model Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola
Berdasarkan diagram alir pada Gambar 5, didapat persamaan dari model untuk masing-masing kelompok yaitu:
a. Model kelompok Susceptible
Perubahan kelompok susceptible terhadap waktu dipengaruhi oleh laju kelahiran, kemudian menurun dengan adanya individu rentan yang terjangkit virus (individu laten) dan kematian alami, sehingga diperoleh
35 b. Model kelompok Exposed
Perubahan kelompok exposed terhadap waktu dipengaruhi oleh bertambahnya individu laten, kemudian menurun dengan adanya individu laten yang terisolasi, individu laten yang terinfeksi, dan kematian alami, sehingga diperoleh
c. Model kelompok Infected
Perubahan kelompok infected terhadap waktu dipengaruhi oleh bertambahnya individu terinfeksi, kemudian menurun dengan adanya individu terinfeksi yang mendapat isolasi, individu terinfeksi yang sembuh, individu terinfeksi yang mati karena virus Ebola, dan kematian alami, sehingga diperoleh
d. Model kelompok Isolated
Perubahan kelompok isolated terhadap waktu dipengaruhi oleh bertambahnya individu laten dan individu terinfeksi yang terisolasi, kemudian menurun dengan adanya individu terisolasi yang sembuh, individu terisolasi yang mati karena virus Ebola, dan kematian alami, sehingga diperoleh
36 e. Model kelompok Recovered
Perubahan kelompok recovered terhadap waktu dipengaruhi oleh bertambahnya individu terinfeksi dan individu terisolasi yang sembuh, kemudian menurun dengan adanya kematian alami, sehingga diperoleh
Berdasarkan persamaan , , , , dan , penyebaran penyakit virus Ebola dapat dimodelkan ke dalam sistem persamaan
( )
Persamaan , , , , dan selanjutnya disebut sistem . , , , , dan . Jumlah populasi dinyatakan sebagai
Turunan dari persamaan yaitu
37
Dari persamaan disimpulkan bahwa jumlah populasi tidak konstan.
B. Ilustrasi Model
Dari model matematika yang terbentuk, terdapat beberapa parameter yang akan mempengaruhi karakteristik penyebaran penyakit virus Ebola. Pada bagian ini akan diberikan nilai-nilai dari parameter yang digunakan dalam model. Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Diego Chowell, Muntaser Safan, dan Carlos Castillo-Charez (2015) dalam “Modeling the Case of Early Detection of Ebola Virus Disease”, diberikan nilai-niai parameter yang akan digunakan yaitu
Tabel 2. Nilai Parameter dari Model Matematis Penyebaran Penyakit Virus Ebola
No. Parameter Nilai (per hari)
1. populasi 3. 4. ⁄ 5. 6. ⁄ 7. ⁄ 8. 9. 10.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter pada Tabel 2 ke dalam sistem , didapat ( )
38
dengan . Persamaan dan selanjutnya disebut sistem .
C. Titik Ekuilibrium Model
Model matematika dari penyebaran penyakit virus Ebola yang dinyatakan dengan sistem , memiliki titik ekuilibrium atau titik kritis. Terdapat dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Berdasarkan Definisi 6, sistem memiliki titik ekulibrium pada saat
Dari sistem dan persamaan , didapat
( )
1. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada bagian ini akan dibahas mengenai titik ekuilibrium bebas penyakit dari model SEIJR penyebaran penyakit virus Ebola yang dinyatakan dengan sistem . Didefinisikan variabel untuk titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu :
39
̅ titik ekuilibrium bebas penyakit kelompok susceptible, ̅ titik ekuilibrium bebas penyakit kelompok exposed, ̅ titik ekuilibrium bebas penyakit kelompok infected, ̅ titik ekuilibrium bebas penyakit kelompok isolated, dan ̅ titik ekuilibrium bebas penyakit kelompok recovered.
Titik ekuilibrium bebas penyakit diperoleh saat tidak ada individu yang terinfeksi, yaitu saat ̅ . Titik ekuilibrium bebas penyakit dari sistem kemudian dinyatakan dengan ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ , dengan ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅. a. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Kelompok Exposed
Berdasarkan persamaan , saat ̅ didapat ̅
̅ b. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Kelompok Isolated
Berdasarkan persamaan , jika ̅ dan ̅ maka didapat ̅
̅ c. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Kelompok Recovered
Berdasarkan persamaan , jika ̅ , ̅ dan ̅ maka didapat ̅
̅ d. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Kelompok Susceptible
Berdasarkan persamaan , jika ̅ , ̅ , ̅ dan ̅ maka didapat
40
̅ ̅ Dari persamaan , , , dan didapat titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Berdasarkan persamaan , saat kelompok individu terinfeksi bernilai , maka kelompok individu rentan bernilai kemudian kelompok individu laten , kelompok individu terisolasi , dan kelompok individu sembuh bernilai .
2. Titik Ekuilibrium Endemik
Pada bagian ini akan dibahas mengenai titik ekuilibrium endemik dari model SEIJR penyebaran penyakit virus Ebola yang dinyatakan dengan sistem . Didefinisikan variabel untuk titik ekuilibrium endemik yaitu :
̂ titik ekuilibrium endemik kelompok susceptible, ̂ titik ekuilibrium endemik kelompok exposed, ̂ titik ekuilibrium endemik kelompok infected, ̂ titik ekuilibrium endemik kelompok isolated, dan ̂ titik ekuilibrium endemik kelompok recovered.
Titik ekuilibrium endemik diperoleh saat ada individu terinfeksi, yaitu saat ̂ . Titik ekuilibrium bebas penyakit dari sistem dinyatakan sebagai
( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂), dengan
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Berdasarkan persamaan , jika ̂ maka didapat
41
̂ ̂
̂ ̂ Berdasarkan persamaan , jika ̂ ̂ dan ̂ maka didapat
̂ ̂ ̂
̂ ̂ Berdasarkan persamaan , jika ̂ ̂ ̂ dan ̂ ̂ maka didapat
̂ ̂ ̂
̂ ̂ Substitusi persamaan dan ke persamaan , dengan ̂ , didapat
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ Substitusi persamaan dan ke persamaan , dengan ̂ , didapat
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ (
) ̂ Substitusi persamaan ke persamaan didapat
̂ (
) ̂ ̂
(
42
Berdasarkan persamaan , , , dan dapat ditentukan titik ekuilibrium endemik masing-masing kelompok, yaitu :
a. Titik Ekulibrium Endemik Kelompok Infected
Substitusi persamaan dan ke persamaan , didapat
( ̂ ̂ ) ( ) ̂ ( ) ( ) ̂ ̂ b. Titik Ekulibrium Endemik Kelompok Susceptible
Substitusi persamaan ke persamaan , didapat
̂ ( ) ( ) c. Titik Ekulibrium Endemik Kelompok Exposed
Substitusi persamaan ke persamaan , didapat
̂ ( )
d. Titik Ekulibrium Endemik Kelompok Isolated
Substitusi persamaan ke persamaan , didapat
̂ ( )
43
e. Titik Ekulibrium Endemik Kelompok Recovered
Substitusi persamaan ke persamaan , didapat
̂ ( )
Dari persamaan dan didapat titik ekuilibrium endemik dari sistem , yaitu ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) dengan
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
untuk atau . Berdasarkan persamaan , artinya saat kelompok individu terinfeksi tidak sama dengan yaitu
, maka kelompok individu rentan akan bernilai
kemudian kelompok individu laten akan bernilai
44
, dan kelompok individu sembuh akan bernilai
.
D. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar ditentukan dari sub populasi, dimana di dalam sub populasi tersebut terdapat individu terinfeksi. Pada model dari penyebaran penyakit virus Ebola, bilangan reproduksi dasar ditentukan dari kelompok exposed, kelompok infected, dan kelompok isolated. Di dalam tiga kelompok tersebut terdapat individu yang terjangkit virus, baik individu laten, individu terinfeksi, maupun individu terisolasi.
akan dituliskan sebagai matriks dari banyaknya individu yang masuk dan menambah banyaknya individu dalam kelompok exposed, kelompok infected, dan kelompok isolated. Sedangkan akan dituliskan sebagai matriks dari banyaknya individu yang keluar dan mengurangi banyaknya individu dalam kelompok exposed, kelompok infected, dan kelompok isolated.
[ ]
45 *
+ untuk . Linierisasi matriks akan dituliskan sebagai matriks dan linierisasi matriks akan dituliskan sebagai matriks .
Linierisasi persamaan didapat
[ ] [ ] dengan Linierisasi persamaan didapat
[ ] [ ] Invers dari persamaan yaitu
[ ]
46
Kemudian untuk , berdasarkan persamaan dan didapat
[
]
Substitusi persamaan dan ke persamaan , didapat
[
]
Bilangan reproduksi dasar didapat dari nilai eigen terbesar dari persamaan . Jika menyatakan nilai eigen dan merupakan matriks identitas, maka berdasarkan Definisi 1 nilai eigen dari persamaan didapat dengan menyelesaikan ( ) , didapat [ ]
Operasi baris elementer pada persamaan , didapat
[ ] Dari persamaan didapat nilai eigen dari persamaan yaitu dan √ . Karena , nilai eigen terbesar dari persamaan adalah √ . Sehingga bilangan reproduksi dasar dari sistem adalah
47
√ Jika , maka rata-rata individu terinfeksi menghasilkan kurang dari satu individu terinfeksi baru, dan penyakit tidak dapat berkembang. Sebaliknya, jika , maka rata-rata individu terinfeksi menghasilkan lebih dari satu individu terinfeksi baru, dan penyakit akan menjadi wabah dalam populasi. Pada persamaan , jika , maka didapat
√
Saat didapat , artinya saat laju transmisi bernilai kurang dari penyakit tidak akan menyebar. Saat didapat , artinya saat laju transmisi bernilai lebih dari penyakit akan menyebar. Selanjutnya nilai dan akan digunakan untuk menganalisis kestabilan titik ekuilibrium, karena nilai tersebut muncul pada dan .
E. Kestabilan Titik Ekuilibrium
Berdasarkan Teorema 4, kestabilan titik ekuilibrium dari sistem dapat ditentukan dari nilai eigen sistem tersebut. Misalkan
( )
48
Linierisasi dari sistem didapat dengan menyelesaikan
̅ [ ] [ ] dengan
1. Kestabilan Titik Ekuilibirum Bebas Penyakit
Linierisasi sistem di titik ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ dilakukan untuk melihat kestabilan lokal sistem di titik tersebut. Substitusi persamaan ke persamaan , didapat
49 [ ]
Misal menyatakan nilai eigen dan merupakan matriks identitas, berdasarkan Definisi 1 nilai eigen dari persamaan didapat dengan menyelesaikan ( ) , didapat [ ]
Operasi baris elementer pada persamaan , didapat
[ ] dengan
Berdasarkan persamaan didapat
( )
Substitusi persamaan ke persamaan didapat
( ) Dari polinomial didapat nilai eigen dari persamaan yaitu
50 √ √
Jika didapat , maka ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ stabil asimtotik. Artinya jika laju transmisi bernilai kurang dari atau sama dengan , maka solusi dari sistem akan menuju titik ekuilibirum bebas penyakit ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ . Sehingga ketika individu rentan, individu laten, individu terinfeksi, individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu, kemudian interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan individu laten kurang dari dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit tidak akan menyebar dan menyebabkan populasi terbebas dari penyakit seiring berjalannya waktu. Titik ekuilibrium bebas penyakit merupakan titik ekuilibrium hiperbolik saat , sehingga ada jaminan bahwa solusi dari sistem nonlinear yaitu persamaan juga merupakan solusi dari linearisasinya.
Jika , didapat , maka ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ tidak stabil. Artinya jika laju transmisi bernilai lebih dari , maka solusi dari sistem akan menjauh dari titik ekuilibirum bebas penyakit ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ . Sehingga ketika individu rentan, individu laten, individu terinfeksi, individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu,
51
kemudian interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan individu laten lebih dari dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit akan menyebar dan menyebabkan populasi berada dalam keadaan endemik seiring berjalannya waktu.
2. Kestabilan Titik Ekuilibirum Endemik
Linierisasi sistem di dilakukan untuk melihat kestabilan lokal sistem di . Substitusi ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ke persamaan , didapat
[ ] dengan ̂( ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ̂( ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂)
Misal menyatakan nilai eigen dan merupakan matriks identitas, berdasarkan Definisi 1, nilai eigen dari persamaan didapat dengan menyelesaikan ( ) , didapat [ ]
52
Operasi baris elementer pada persamaan didapat
[ ]
Nilai dari , , , , , , , dan dituliskan pada lampiran 1. Berdasarkan persamaan didapat
( ) Substitusi persamaan serta nilai , , , , , , , dan ke
persamaan didapat ( ) ( ) ( ) dengan ( )
53
Kemudian akan digunakan tabel Routh-Hurwitz untuk melihat kestabilan titik ekuilibrim endemik. Polinomial dari persamaan , yaitu
Koefisien persamaan membentuk Tabel Routh-Hurwitz sebagai berikut
Tabel 3. Routh-Hurwitz Persamaan (77) dengan ( ) ( ) ( ) Titik ekuilibrium endemik ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) pada persamaan stabil asimtotik apabila nilai pada kolom pertama Tabel 3 memiliki tanda sama, yaitu semua positif atau semua negatif. Karena bertanda positif, maka ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) stabil asimtotik jika dan bertanda positif. Sedangkan jika ada dari
dan bertanda negatif, maka ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) tidak stabil.
Berdasarkan persamaan , , , dan , jika didapat bertanda positif, maka titik ekuilibrium endemik ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) stabil asimtotik. Artinya jika laju transmisi bernilai lebih dari , maka solusi dari sistem akan mendekati titik ekuilibirum
54
endemik ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂). Sehingga ketika individu rentan, individu laten, individu terinfeksi, individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu, kemudian interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan individu laten lebih dari dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit akan menyebar dan menyebabkan populasi berada dalam keadaan endemik seiring berjalannya waktu. Titik ekuilibrium endemik merupakan titik ekuilibrium hiperbolik saat , sehingga ada jaminan bahwa solusi dari sistem nonlinear yaitu persamaan juga merupakan solusi dari linearisasinya. Sedangkan jika , dengan , maka ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) bernilai negatif, karena itu untuk , ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) diabaikan.
F. Grafik Proporsi Jumlah Individu
Pada bagian ini akan digambarkan grafik proporsi jumlah individu dari solusi sistem dengan Maple 2016 (perintah maple dapat dilihat di lampiran 2 – lampiran 4). Penggambaran grafik proporsi jumlah individu dilakukan dengan mengambil dua nilai yaitu dan .
1. Grafik Proporsi Jumlah Individu untuk
Untuk , sistem menjadi ( )
55
Jika diberikan dua nilai awal untuk masing-masing proporsi individu susceptible, proporsi individu exposed, proporsi individu infected, proporsi individu isolated, dan proporsi individu recovered, yaitu
maka hanya ada satu titik ekulibrium bebas penyakit yaitu ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = Simulasi disajikan pada Gambar 6 – Gambar 10.
Gambar 6. Grafik Proporsi Kelompok Susceptible
Gambar 7. Grafik Proporsi Kelompok Exposed
56 Gambar 8. Grafik Proporsi Kelompok
Infected
Gambar 9. Grafik Proporsi Kelompok Isolated
Gambar 10. Grafik Proporsi Kelompok Recovered Keterangan :
: titik ekuilibrium ̅ : Susceptible : Susceptible
: titik ekuilibrium ̅ : Exposed : Exposed
: titik ekuilibrium ̅ : Infected : Infected
: titik ekuilibrium ̅ : Isolated : Isolated
57
Hasil simulasi pada Gambar 6 – Gambar 10 menunjukan bahwa untuk dengan persamaan sebagai nilai awal, solusi dari sistem menuju titik ekuilibrium bebas penyakit ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = (345020080, 0, 0, 0, 0) seiring berjalannya , namun pada kelompok exposed, kelompok infected, dan kelompok isolated solusi akan segera menuju titik ekuilibriumnya dalam waktu yang lebih singkat daripada kelompok susceptible dan kelompok recovered. Artinya jumlah proporsi individu susceptible akan menuju seiring berjalannya waktu, kemudian jumlah proporsi individu exposed, proporsi individu infected, proporsi individu isolated, dan proporsi individu recovered menuju seiring berjalannya waktu. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 6 – Gambar 10 disimpulkan bahwa jika laju transmisi , maka penyakit virus Ebola akan menurun dan berangsur menghilang dari populasi.
2. Grafik Proporsi Jumlah Individu untuk
Untuk , sistem menjadi ( ) Berdasarkan persamaan , jika , didapat titik ekuilibrium yaitu
58
( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) Jika diberikan dua nilai awal untuk masing-masing proporsi individu susceptible, proporsi individu exposed, proporsi individu infected, proporsi individu isolated, dan proporsi individu recovered, yaitu
̂ ̂
maka didapat simulasi dari sistem pada Gambar 11 – Gambar 15.
Gambar 11. Grafik Proporsi Kelompok Susceptible
Gambar 12. Grafik Proporsi Kelompok Exposed
59 Gambar 13. Grafik Proporsi
Kelompok Infected
Gambar 14. Grafik Proporsi Kelompok Isolated
Gambar 15. Grafik Proporsi Kelompok Recovered
Keterangan :
: titik ekuilibrium ̅ : Susceptible ̂ : Susceptible ̂
: titik ekuilibrium ̅ : Exposed ̂ : Exposed ̂
: titik ekuilibrium ̅ : Infected ̂ : Infected ̂
: titik ekuilibrium ̅ : Isolated ̂ : Isolated ̂
60
Hasil simulasi pada Gambar 11 – Gambar 15 menunjukan bahwa untuk dengan persamaan sebagai nilai awal, solusi dari sistem stabil menuju titik ekuilibrium endemik pada persamaan seiring berjalannya . Artinya, seiring berjalannya waktu jumlah proporsi individu susceptible akan menuju , proporsi individu exposed akan menuju , proporsi individu infected akan menuju , proporsi individu isolated akan menuju , dan proporsi individu recovered akan menuju . Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 11 – Gambar 15 disimpulkan bahwa jika laju transmisi , maka penyakit virus Ebola akan menyebar dan terus berada dalam populasi.
G. Transformasi Sistem
Analisa pada titik ekuilibrium bebas penyakit dari sistem menunjukan bahwa salah satu nilai eigen bernilai nol saat . Artinya sistem tersebut rentan terhadap gangguan sehingga dimungkinkan terjadinya bifurkasi. Untuk melihat kemungkinan bifurkasi pada sistem , perlu dilakukan transformasi sistem guna mendapatkan bentuk yang lebih sederhana.
1. Translasi Parameter
Misalkan ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ dan ̅ . Berdasarkan ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = (345020080.3,0,0,0,0) dan dengan mensubstitusikan dan ̅ ke sistem , diperoleh sistem baru yaitu
61
̇ ( ̅ )
̇ ̇ ̇ dengan . Dari translasi parameter di atas, secara otomatis diperoleh titik ekuilibrium dari sistem yaitu . Linierisasi sistem pada menghasilkan [ ] dengan Selanjutnya sistem dapat ditulis menjadi
[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇] [ ][ ] [ ( ̅) ( ̅) ] dengan
62 ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
2. Nilai eigen dan Vektor Eigen
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari persamaan . Jika adalah matriks identitas dan adalah nilai eigen, maka nilai eigen dari persamaan didapat dengan menyelesaikan ( ) , yaitu
[ ]
Operasi baris elementer pada persamaan , didapat
[ ] dengan
63
Berdasarkan persamaan , didapat
( ) Substitusi persamaan ke persamaan didapat
( ) Dari persamaan didapat nilai eigen dari persamaan adalah
Selanjutnya akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen.
Untuk , vektor eigen yang bersesuaian dengan didapat dengan menyelesaikan [ ][ ] [ ][ ]
Dengan mensubstitusikan persamaan , persamaan menjadi ekuivalen dengan
64
Dari persamaan , diperoleh penyelesaian untuk persamaan yaitu
, , , , dan . Didapat vektor eigen yang bersesuaian dengan yaitu
[ ]
Untuk , vektor eigen yang bersesuaian dengan didapat dengan menyelesaikan [ ][ ] [ ][ ]
Dengan mensubstitusikan persamaan , persamaan menjadi ekuivalen dengan
65
Dari persamaan , diperoleh penyelesaian untuk persamaan yaitu ,
, , dan . Misalkan , didapat vektor eigen yang bersesuaian dengan yaitu
[ ]
Untuk , vektor eigen yang bersesuaian dengan didapat dengan menyelesaikan [ ][ ]
Dengan mensubstitusikan persamaan , persamaan menjadi ekuivalen dengan
Dari persamaan diperoleh solusi dari persamaan yaitu , , , , dan
. Didapat vektor eigen yang bersesuaian dengan yaitu
66 [ ]
Untuk , vektor eigen yang bersesuaian dengan didapat dengan menyelesaikan [ ][ ] [ ][ ]
Dengan mensubstitusikan persamaan , persamaan menjadi ekuivalen dengan Dari persamaan diperoleh penyelesaian untuk persamaan yaitu
, , , dan . Misalkan , didapat vektor eigen yang bersesuaian dengan yaitu
67 [ ]
Persamaan memiliki nilai eigen kembar, yaitu . Karena itu berdasarkan Definisi 9, vektor eigen yang bersesuaian dengan didapat dengan menyelesaikan
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] dengan ( ) ( ) ( )
68 ( ) Dengan mensubstitusikan persamaan dan , persamaan menjadi ekuivalen dengan Dari persamaan didapat penyelesaian untuk persamaan yaitu ,
, , dan . Misalkan , dipilih vektor yang bersesuaian dengan yaitu
[ ]
3. Pendefinisian Variabel Baru
Persamaan , , , dan kemudian dapat dibentuk menjadi matriks
69 [ ]
Invers dari persamaan yaitu
[ ]
Kemudian akan dicari ( ) . Berdasarkan persamaan , , dan didapat ( ) [ ]
Matriks dapat didefinisikan sebagai
[ ] [ ][ ]
Persamaan dapat dibentuk menjadi
[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇] [ ][ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ]
70 ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Berdasarkan persamaan dan persamaan diperoleh
[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ( ̅) ( ̅) ] [ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ( ̅) ( ̅) ]
71 [ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ][ ] [ ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅)] dengan ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
72 ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
4. Persamaan Center Manifolds
Berdasarkan Definisi 9, Center Manifold untuk sistem didefinisikan sebagai
73 {( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) } Diasumsikan ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ dengan ( ̃ ) ̃ ̃ ( ̃ ̃ ̃ ) ̃ ̃ ̃ dalam hal ini
̃ ̃ ̅ [ ] ̃ ̃ ( ̅) ̃ ̃ [ ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅)]
Perhitungan dilakukan dengan program Maple 2016 (perintah maple dapat dilihat pada lampiran 5).
74
5. Hasil Transformasi
Berdasarkan perhitungan pada lampiran 6 dan dengan memisalkan didapat
̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ dengan ̅̇ .
6. Potret Fase Hasil Transformasi
Dari persamaan diambil
̇ ̅ misalkan
dengan demikian persamaan dapat dituliskan menjadi
( ) ̅ Misalkan ( ) ̅ sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi
75
Saat , hanya ada satu titik ekuilibrium yaitu . Saat dan , terdapat dua titik ekuilibrium, yaitu dan . Dengan menggunakan Maple 2016 (perintah maple dapat dilihat pada lampiran 6), digambarkan potret fase sistem sebagai berikut.
Gambar 16. Potret Fase Transformasi Sistem = -31019,3946
Untuk terdapat dua titik ekuilibrium yaitu dan , nilai didapat ketika . Gambar 16 menunjukan bahwa ketika diambil nilai awal disekitar titik ekuilibrium, solusi akan mendekati seiring berjalannya sehingga titik ekuilibrium stabil asimtotik. Artinya jika terdapat 345020180 individu rentan, 10 individu terinfeksi, dan total populasi sebanyak 345020230 individu, maka interaksi antara individu terinfeksi dengan individu rentan akan menghasilkan 4 individu laten, jumlah individu laten akan berkurang dan menuju nol seiring berjalannya waktu,
76
sehingga individu terinfeksi juga berkurang dan penyakit tidak akan menyebar kemudian menghilang dari populasi.
Gambar 17. Potret Fase Transformasi Sistem = 38664,9215
Untuk terdapat dua titik ekuilibrium yaitu dan , nilai = 38664,9215 didapat ketika . Gambar 17 menunjukan bahwa ketika diambil nilai awal disekitar titik ekuilibrium, solusi akan menjauhi seiring berjalannya sehingga titik ekuilibrium tidak stabil. Artinya jika terdapat 345020180 individu rentan, 10 individu terinfeksi, dan total populasi sebanyak 345020230 individu, maka interaksi antara individu terinfeksi dengan individu rentan akan menghasilkan 7 individu laten, jumlah individu laten akan bertambah dan menjauhi nol seiring berjalannya waktu, sehingga individu terinfeksi juga bertambah dan penyakit akan menyebar kemudian mewabah dalam populasi.
77
Saat , terdapat titik ekuilibrium bernilai negatif. Dalam perhitungan numerik nilai negatif mungkin saja muncul, namun berdasarkan pembahasan skripsi ini dan dilihat dari asumsi awal, nilai negatif tidak bermakna apapun karena populasi tidak akan bernilai negatif.
Gambar 18. Potret Fase Transformasi Sistem
Untuk hanya terdapat satu titik ekuilibrium yaitu , nilai didapat ketika . Gambar 18 menunjukan bahwa ketika diambil nilai awal disekitar titik ekuilibrium, solusi akan menjauhi seiring berjalannya sehingga titik ekuilibrium tidak stabil. Artinya jika terdapat 345020180 individu rentan, 10 individu terinfeksi, dan total populasi sebanyak 345020230 individu, maka interaksi antara individu terinfeksi dengan individu rentan akan menghasilkan 5 individu laten, jumlah individu laten akan bertambah dan menjauhi nol seiring berjalannya waktu, sehingga individu terinfeksi juga bertambah dan penyakit akan menyebar kemudian mewabah dalam populasi.
78
Berdasarkan Gambar 16, Gambar 17, dan Gambar 18 diagram bifurkasi dari sistem ditunjukan pada Gambar 19.
Gambar 19. Diagram Bifurkasi Sistem (126)
Diagram bifurkasi pada Gambar 19 menunjukan bahwa ada pertukaran kestabilan saat melewati nol, yaitu saat , titik ekuilibrium stabil dan titik ekuilibrium tidak stabil. Sebaliknya, saat , titik ekuilibrium stabil dan titik ekuilibrium tidak stabil.
Berdasarkan persamaan nilai bergantung pada karena ̅ , sehingga perubahan kestabilan pada sistem terjadi karena variasi nilai . Variasi nilai yang merupakan parameter laju transmisi menyebabkan munculnya bifurkasi, kemudian berdasarkan karakter perubahan kestabilannya jenis bifurkasi yang terjadi adalah bifurkasi transkritikal.
