Komutativni prsteni

SVEUC

ˇ ILISˇ TE U ZAGREBU

PRIRODOSLOVNO–MATEMATICˇKI FAKULTET

MATEMATIC

ˇKI ODSJEK

Marina Zrno

KOMUTATIVNI PRSTENI

Diplomski rad

Voditelj rada:

prof.dr.sc. Ozren Pers

ˇe

Ovaj diplomski rad obranjen je dana

pred ispitnim povjerenstvom

u sastavu:

1.

, predsjednik

2.

, cˇlan

3.

, cˇlan

Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom

.

Potpisi cˇlanova povjerenstva:

1.

2.

3.

Sadrµzaj

Uvod 2

1 De…nicije i osnovna svojstva 3

2 Polinomi 9

3 Najve´ci zajedniµcki djelitelji 12

4 Homomor…zmi 19

5 Euklidovi prsteni 23

6 Kvocijentni prsteni 25

7 Prosti ideali i maksimalni ideali 27

8 Domene s jedistvenom faktorizacijom 30

Bibliogra…ja 34

Uvod

Cilj ovog diplomskog rada je upozavanje s nekim pojmovima i objektima, od kojih je centralan pojam komutativan prsten. Prsteni su jedna od osnovnih al-gebarskih struktura u matematici. Osnovna podjela prstena je na komutativne i nekomutativne. Iako je u pravilu prouµcavanje strukture nekomutativnih prstena puno kompliciranije nego kod onih koji su komutativni, µcesto baškomutativnost u odre†enom smislu daje ’bogatstvo strukture’, tj. u mnogim komutativnim prstenima ´ce biti cijelo mnoštvo potprstena i ideala.

Prsteni se pojavljuju u analizi, u algebri, u teoriji brojeva, u algebarskoj geometriji i u mnogim drugim granama matematike. Za razliku od grupa gdje imamo samo jednu binarnu operaciju, kod prstena imamo dvije operacije; ima-ju´ci na umu prsten(Z;+; ); kao prvi ’pravi’ i osnovni primjer, te se operacije sada zovu ’zbrajanje’i ’mnoµzenje’. Poseban naglasak ´cemo smo staviti na prsten

polinoma. Vidjeti ´cemo da, kada jekpolje, svi poznati teoremi koji vrijede uZ;

imaju analogon uk[x];štoviše, vidjet ´cemo da se svi poznati dokazi mogu preni-jeti ovdje. Prezentirat ´cemo algoritam dijeljenja za polinome s koe…cijentima iz polja.

U ovom diplomskom radu ´cemo prouµciti elementarna svojstva komutativnog prstena, posebno konstrukcije koje su analogne onim u teoriji grupa kao što su potprsteni, ideali (koji su analogni normalnim podgrupama), kvocijentni prsteni i homomor…zmi prstena.

Upoznat ´cemo se s dva zanimljiva tipa ideala: prostim idealima i maksimal-nim idealima. Pokazat ´cemo da je svaki maksimalan ideal prost ideal, vidjeti primjer prostog ideala koji nije maksimalan i na kraju dokazati da ako je

ko-mutativan prsten R domena glavnih ideala, tada je svaki ne-nul prost ideal

maksimalan.

Poglavlje 1

De…nicije i osnovna svojstva

U ovom poglavlju uvodimo pojam komutativnog prstena, dajemo njegova

svo-jstva i neke primjere poµcevši sa poznatim skupovima Z;Q;R i C: Tako†er su

navedeni osnovni rezultati iz grupa koji su nam bili potrebni za cjelovitost ovog diplomskog rada.

De…nicija 1.1 Binarna operacija na skupuG je funkcija

:G G_!G:

De…nicija 1.2 SkupGs binarnom operacijom se zovegrupaako vrijedi

(i) zakon asocijativnosti: za svex; y; z₂G;

x (y z) = (x y) z;

(ii) postoji element e, kojeg nazivamo neutralni element, tako da vrijedi

e x=x e=xza svex₂G;

(iii) svakix₂G imainverzni element, tj., postoji x0 _{2Gtako da vrijedi}

x x0_=x0 _x=e:

De…nicija 1.3 Ako je G grupa i a ₂ G; de…niramo potencije an_{; za n 1,}

induktivno:

a1=aian+1=aan:

De…niramoa0= 1 i ako jenpozitivan cijeli broj, de…niramo

a n= (a 1)n:

De…nicija 1.4 Grupa Gse naziva Abelova grupa, ako vrijedi dodatni uvjet,

zakon komutativnosti,

x y=y x;

za svex; y₂G:

POGLAVLJE 1. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA 4

Primjer 1.5 (i) SkupQ ;svih ne-nul racionalnih brojeva, s binarnom

operaci-jom mnoµzenja, je Abelova grupa. Neutralni element je1:Inverzni element od

r₂Q je 1=r: Sliµcno,R iC su Abelove grupe.

(ii) Skup cijelih brojeva Z s binarnom operacijom zbrajanja +, je Abelova

grupa. Neutralni element je0: Inverzni element odn₂Zje n:Sliµcno, Q;R i

Csu Abelove grupe s binarnom operacijom zbrajanja.

De…nicija 1.6 PodskupH grupe Gje podgrupa ako vrijedi

(i)1₂H;

(ii) ako jex; y₂H; tada jexy₂H;

(iii) ako je x₂H, tada jex 1 ₂H:

Ako je H podgrupa odG, tada išemoH G; ako jeH prava podgrupa od

G;tj.,H ₆=G, tada pišemoH < G:

De…nicija 1.7 Ako su (G; ) i (H; ) grupe tada je funkcija f : G _!H

ho-momor…zam(grupa) ako vrijedi

f(x y) =f(x) f(y)

za svex; y₂G:Homomor…zam koji je tako†er bijekcija naziva seizomor…zam.

Za dvije grupeGiH re´ci cemo da suizomorfne, ako postoji neki izomor…zam

f medju njima; tu µcinjenicu oznµcavamo sa G=H:

De…nicija 1.8 Za proizvoljan homomor…zam grupa f : G _! H, de…nirajmo

njegovujezgru

ker f =_fx₂G_jf(x) = 1_g

i njegovusliku

im f =_fh₂h_jh=f(x)za nekix₂G_g:

De…nicija 1.9 Podgrupa N grupeG se nazivanormalna podgrupaako n₂

N ig₂Gpovlaµcegng 1₂N:Ako jeN normalna podgrupa odG;tada pišemo

NCG:

Primijetimo da je u Abelovoj grupi svaka podgrupa oµcito normalna.

Teorem 1.10 Neka je G proizvoljna grupa i N neka njezina normalna pod-grupa. Tada kvocijentni skup

G=N =_fxN_jx₂G_g sa operacijom

G=N G=N _!G=N; (xN; yN)_{7 !}xyN;

ima strukturu grupe; sada seG=N zovekvocijentna grupaodGpoN. Nadalje,

prirodno preslikavanje

:G_!G=N; x_{7 !}xN;

je epimor…zam grupa sa jezgromker =N; zovemokanonski epimor…zam,

POGLAVLJE 1. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA 5

Teorem 1.11 (Prvi teorem o izomor…zmu.) Ako jef :G_!H homomor-…zam, tada je

ker f CGiG=ker f =im f:

Ako je kerf =K i ':G=K _!im f H dano s ':aK_{7 !}f(a); tada je'

izomor…zam.

Teorem 1.12 (Teorem o korespondenciji za grupe)Neka jeGgrupa, neka

jeKCG;i neka je :G_!G=K prirodno preslikavanje. Tada je

S_{7 !} (S) =S=K

je bijekcija izme†u familije svih podgrupaS odG koje sadrµze K i familije svih

podgrupa grupeG=K:

De…nicija 1.13 Komutativan prstenRje skup na kojem su de…nirane dvije binarne operacije, zbrajanje i mnoµzenje, tako da vrijedi:

(i) Rje Abelova grupa za zbrajanje;

(ii) (komutativnost) ab=ba za svea; b₂R;

(iii) (asocijativnost)a(bc) = (ab)c za svea; b; c₂R;

(iv) postoji jediniµcni element1₂R takav da je 1a=aza svea₂R;

(v) (distributivnost) a(b+c) =ab+ac za svea; b; c₂R:

Jediniµcni element prstenaRse zove još i jedinica ili identiteta uR:

Primjer 1.14 (i)Z;Q;RiCsu komutativni prsteni sa zbrajanjem i mnoµzen-jem.

(ii) Neka jeZ[i]skup svih kompleksnih brojeva oblikaa+bi;gdje sua; b₂Z,

i2_{= 1:Z[i] se zove prsten Gaussovih cijelih brojeva.}

(iii) Neka jeR skup svih realnih brojevaxoblika

x=a+b!;

gdje sua; b_2Qi!=p3

2:Lako je za vidjeti da jeRzatvoren za zbrajanje.

Me†u-tim, kada bi Rbio zatvoren za mnoµzenje, tada je !2_{2R i postoje racionalnia}

ibtako da je

!2=a+b!

Mnoµzenje obje strane s! i sb daje jednadµzbe

2 =a!+b!2 b!2_=ab+b2_!:

Stoga,2 a!=ab+b2_{! i}

2 ab= (b2+a)!:

Ako jeb2+a₆= 0;tada je!=p3

2 racionalan; ako jeb2+a= 0, tada iz toga u

kombinaciji s2 ab= 0slijedi2 = ( b)3:Dakle p3

2 bi bio racionalan, odnosno,

POGLAVLJE 1. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA 6

Propozicija 1.15 Neka jeR komutativan prsten.

(i)0 a= 0za svaki a₂R:

(ii) Ako je1 = 0;tada se R sadrµzi samo jedan element0:U tom sluµcaju, R

nazivamonulprstenom.

(iii) Ako je a inverzan element oda za zbrajanje, tada je( 1)( a) =a:

(iv)( 1)a= aza svaki a₂R:

(v) Ako je n₂Nin1 = 0; tada jena= 0za svaki a₂R:

(vi) Vrijedi binomni teorem: Ako sua; b₂R;tada

(a+b)n= n X r=0 n r a r_bn r_:

Dokaz. (Skica.) (i) 0 a= (0 + 0) a= 0 a+ 0 a:

(ii)a= 1 a= 0 a= 0:

(iii)0 = ( 1 + 1)( a) = ( 1)( a) + ( a):

(iv) Budu´ci da je( 1)( a) =a;imamo( 1)( 1)( a) = ( 1)a:Ali( 1)( 1) =

1:

(v) Budu´ci da se radi o grupi obzirom na operaciju zbrajanja, na je

prik-ladnija oznaka negoan_{;i naje, zan2Zi a2R zbroja ovanputa. Ako je}

a₂Rin₂Zpozitivan, tadan1 = 0povlaµcina=n(1a) = (n1)a= 0a= 0:

(vi) Indukcijom zan 0koriste´ci n+1_r = _rn₁ + n_r za0< r < n+ 1:

PotprstenS komutativnog prtenaRje komutativan prsten sadrµzan u ve´cem

komutativnom prstenuRtako daSiRimaju iste operacije zbrajanja i mnoµzenja

i isti jediniµcni element.

De…nicija 1.16 Podskup S komutativnog prstena R jepotprsten odR ako

(i)1₂S;

(ii) ako jea; b₂S tada je a b₂S;

(iii) ako je a; b₂S tada je ab₂S:

Propozicija 1.17 PotprstenSkomutativnog prstenaRje komutativan prsten.

Primjer 1.18 Ako jen 3 cijeli broj, neka je _n = e2 i=n _{primitivni n ti}

korijen iz jedinice. De…niramo

Z[ _n] =_fz₂C:z=a0+a1 n+a2 2n+ +an 1 nn 1; za sveai2Zg:

(Kada jen= 4;tada je Z[ ₄]prsten Gaussovih cijelih brojevaZ[i]). Lako je

provjeriti da jeZ[ _n]potprsten odC:

De…nicija 1.19 Integralna domena, ili kra´cedomena, je komutativan prsten

POGLAVLJE 1. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA 7

1₆= 0;

drugi, za svea; b; c₂R;

ako jeca=cbic₆= 0; tada je a=b:

Poznati primjeri komutativnih prstenaZ;Q;RiCsu domene; nulprsten nije

domena.

Propozicija 1.20 Ne-nul komutativan prstenR je domena ako i samo ako je

umnoµzak bilo koja dva ne-nul elementa odR ne-nul element.

De…nicija 1.21 Neka suaibelementi komutativnog prstenaR:Tadaadijeli

buR (iliajedjeliteljod b), u oznacia_jb;ako postoji elementc₂R tako da

jeb=ca:

Kao primjer, ako 0 _j a; tada je a= 0 b za neki b ₂R: Kako je 0 b = 0;

mora vrijeditia= 0:Stoga,0_jaako i samo akoa= 0:

Primjetimo daa_jbne ovisi samo o elementimaai bnego i o ambijentnom

prstenuR:Npr.,3dijeli2uQ;za2 = 3 2₃;i 2_{3 2}Q;s druge strane,3ne dijeli

2uZ;jer ne postoji cijeli broj ctako da3c= 2:

De…nicija 1.22 Element u u komutativnom prstenu R nazivamo jedinicom

ako u _j 1 u R; tj., ako postoji v ₂ R tako da je uv = 1; element v nazivamo

inverzoduivµcesto oznaµcavamo su 1_:

Kako a_jb ne ovise samo o elementima ai bnego i o ambijentnom prstenu

R; sliµcno, jedinica u ₂ R tako†er ovisi o ambijentnom prstenu R: Npr., 2 je

jedinica uQ; 1

2 2Qi2 1

2 = 1;ali nije jedinica uZ;jer ne postoji cijeli brojv

tako da je2v= 1: Zapravo, jedine jedinice uZsu1i 1:

Propozicija 1.23 Neka jeR domena i neka sua; b₂R ne-nul elementi odR.

Tadaa_jb ib_ja ako i samo ako jeb=uaza neku jedinicu u₂R:

De…nicija 1.24 Ako je R komutativan prsten, tada de…niramo grupu

je-dinicaodR kao

U(R) ={sve jedinice u R}

De…nicija 1.25 PoljeF je komutativan prsten u kojem je1₆= 0i svaki ne-nul

elementaje jedinica; tj., postojia 1_{2F tako da jea} 1_{a= 1:}

Primjeri polja suQ;Ri C:

De…nicija polja moµze biti izraµzena u terminima grupe jedinica; komutativan

prstenR je polje ako i samo ako jeU(R) =R ;ne-nul elementi odR:

Propozicija 1.26 Svako poljeF je domena.

POGLAVLJE 1. DEFINICIJE I OSNOVNA SVOJSTVA 8

Teorem 1.27 Ako je R domena, tada postoji polje F koje sadrµzi R kao

pot-prsten. Štoviše, F moµzemo odabrati tako da, za svaki f ₂F postoje a; b₂R;

b₆= 0 i f =ab 1_:

Dokaz. (Skica.) Neka jeX =_f(a; b)₂R R_jb₆= 0_g:De…niramo relaciju na

Xs(a; b) (c; d)ako jead=bc:Tvrdimo da je relacija ekvivalencije. Vrijede

re‡eksivnost i simetriµcnost; ovdje je dokaz tranzitivnosti. Ako je(a; b) (c; d)

i (c; d) (e; f); tada je ad = bc i cf = de: Aliad = bc daje adf = b(cf) =

bde: Poništavaj´ci d, koji je ne-nul, dobijemo af =be;tj., (a; b) (e; f):Klasu

ekvivalencije od (a; b) oznaµcavamo s [a; b] i de…niramo F kao skup svih klasa

ekvivalencije[a; b]. De…niramo operacije zbrajanja i mnoµzenja naF s:

[a; b] + [c; d] = [ad+bc; bd]

i

[a; b][c; d] = [ac; bd]:

Kako je b ₆= 0 i d ₆= 0; slijedi bd ₆= 0; jer je R domena i stoga gornje

formule imaju smisla. Pokaµzimo još da je zbrajanje dobro de…nirano. Ako je

[a; b] = [a0_{; b}0_{] (tj., ab}0 _{= a}0_{b) i [c; d] = [c}0_{; d}0_{] (tj., cd}0 _{= c}0_{d), tada moramo}

pokazati da je[ad+bc; bd] = [a0_d0_+b0_c0_{; b}0_d0_{]:Ali ovo je istinito:}

(ad+bc)b0d0=ab0dd0+bb0c0d=a0bdd0+bb0c0d= (a0d0+b0c0)bd:

Sliµcnim argumentima moµzemo pokazati da je mnoµzenje dobro de…nirano.

F je komutativan prsten: Nul element je [0;1]; jedinica je [1;1]; inverzni

element za zbrajanje od [a; b] je [ a; b]: Lako je vidjeti da je familija R0 ₌

f[a;1]_ja₂R_gpotprsten odF ia₂Rpoistovje´cujemo s[a;1]₂R0_:

Da bi vidjeli da jeF polje, primjetimo da, ako je[a; b]₆= [0;1];tada jea₆= 0

i inverz od[a; b]je[b; a]:

Konaµcno, ako jeb₆= 0;tada je[1; b] = [b;1] 1 i stoga[a; b] = [a;1][b;1] 1:

De…nicija 1.28 Polje F konstruirano iz R u Teoremu 1.27 naziva se polje

razlomaka od R, oznaµcavamo s F rac(R), a [a; b] ₂ F rac(R) oznaµcavamo s

a=b:

Poglavlje 2

Polinomi

Iako pretpostavljamo da je µcitatelj upoznat s polinomima, u ovom poglavlju ih uvodimo aksiomatski. Skup svih polinoma µcinit ´ce prsten polinoma i predstavl-jat ´ce vaµzanu strukturu za prouµcavanje.

De…nicija 2.1 Ako jeR komutativan prsten, tadaniz uR de…niramo sa

= (s0; s1; s2; :::; si; :::);

pri µcemu su svisi 2R;za svei 0: si se nazivaju koe…cijentima od .

Niz je zapravo funkcija : _N!R;gdje je _Nskup prirodnih brojeva, sa

(i) =si za sve i 0: Ako je = (t0; t1; t2; :::; ti; :::) niz, tada je = ako i

samo ako (i) = (i)za svei 0;tj., = ako i samo ako jesi =ti za sve

i 0:

De…nicija 2.2 Niz = (s0; s1; s2; :::; si; :::)u komutativnom prstenu R naziva

sepolinom ako postoji neki cijeli broj m 0 tako da je si = 0 za sve i > m;

tj.,

= (s0; s1; :::; sm;0;0; :::):

Polinom ima konaµcno mnogo ne-nul koe…cijenata. Nul-polinom, u oznaci

= 0;je niz = (0;0;0; :::):

De…nicija 2.3 Ako je = (s0; s1; :::; sn;0;0; :::)6= 0polinom, tada postojisn 6=

0tako da je si= 0za svei > n: sn se zovevode´ci koe…cijentod ; n se zove

stupanjod (oznaµcavamo s deg( )):

Ako jeRkomutativan prsten, tada skup svih polinoma s koe…cijentima uR

oznaµcavamo sR[x]:

Propozicija 2.4 Ako jeRkomutativan prsten, tada jeR[x]komutativan prsten

koji sadrµziR kao potprsten.

POGLAVLJE 2. POLINOMI 10

Dokaz. (Skica.) De…niramo zbrajanje i mnoµzenje polinoma na sljede´ci naµcin:

Ako je = (s0; s1; :::)i = (t0; t1; :::);tada je

+ = (s0+t0; s1+t1; :::; sn+tn; :::)

i

= (c0; c1; c2; :::);

gdje je ck =Pi+j=ksitj =Pki=0sitk i: Aksiomi iz de…nicije komutativnog

prstena se rutinski provjeravaju. Podskup_f(r;0;0; :::)_jr₂R_g je potprsten od

R[x]kojeg poistovje´cujemo sR:

Lema 2.5 Neka jeRkomutativan prsten i neka su ; ₂R[x]ne-nul polinomi.

(i) Ili je = 0 ilideg( ) deg( ) + deg( ):

(ii) Ako jeR domena, tada je ₆= 0i

deg( ) = deg( ) + deg( ):

(iii) Ako je R domena, tada jeR[x] domena.

Dokaz. (Skica.) Neka su = (s0; s1; :::)i = (t0; t1; :::)redom stupnjami n:

(i) Ako je k > m+n; tada je svaki µclan u P_isitk i jednak 0 (si = 0 ili

tk i= 0).

(ii) Svaki µclan uP_isitm+n ije jednak0;s mogu´com iznimkomsmtn:Kako

jeRdomena,sm6= 0itn 6= 0povlaµcesmtn6= 0:

(iii) Slijedi iz dijela (ii) jer je produkt dva ne-nul polinoma ne-nul.

De…nicija 2.6 De…niramo elementx₂R[x]sa x= (0;1;0;0; :::):

Propozicija 2.7 Ako je = (s0; s1; :::; sn;0;0; :::);tada je

=s0+s1x+s2x2+ +snxn;

gdje je svaki elements₂R jednak polinomu(s;0;0; :::):

Dokaz.

= (s0; s1; :::; sn;0;0; :::)

= (s0;0;0; :::) + (0; s1;0;0; :::) + + (0;0; :::; sn;0; :::)

= s0(1;0;0; :::) +s1(0;1;0;0; :::) + +sn(0;0; :::;1;0; :::)

= s0+s1x+s2x2+ +snxn:

Nadalje ´cemo upotrebljavati standardne oznake, tj., umjesto

POGLAVLJE 2. POLINOMI 11

´cemo pisati

f(x) =s0+s1x+s2x2+ +snxn:

Ako je f(x) = s0+s1x+s2x2+ +snxn; gdje je sn 6= 0; tada se s0

zove slobodni koe…cijent, a sn se zove, kao što što smo ve´c rekli, vode´ci

koe…cijent. Ako je vode´ci koe…cijent sn = 1; tada se f(x) zove normiran.

Svaki polinom osim nul-polinoma ima stupanj. Konstantan polinom je ili

nul-polinom ili polinom stupnja 0: Polinom stupnja 1, ax+b; b ₆= 0; se zove

linearan, polinom stupnja2 se zovekvadratan, stupnja3kuban, itd.

Korolar 2.8 Polinomif(x) =s0+s1x+s2x2+ +snxn ig(x) =t0+t1x+

t2x2+ +tmxm stupnja ni msu jednaki ako i samo ako je n=m isi =ti

za sve i:

De…nicija 2.9 Neka je k polje. Polje razlomaka od k[x]; oznaµcava se k(x) i

zovepolje racionalnih funkcija nadk:

Sljede´ca Propozicija je direktna posljedica Teorema 1.27:

Propozicija 2.10 Ako jekpolje, tada elementi odk(x)imaju oblikf(x)=g(x); gdje suf(x); g(x)₂k[x] i g(x)₆= 0:

Poglavlje 3

Najve´ci zajedniµcki djelitelji

U ovom poglavlju ´cemo vidjeti da, kada jekpolje, svi poznati teoremi koji

vri-jede uZ; imaju analogon uk[x]; štoviše, vidjet ´cemo da se svi poznati dokazi

mogu prenijeti ovdje. Prezentiramo algoritam dijeljenja za polinome s koe…ci-jentima iz polja.

Teorem 3.1 (Algoritam dijeljenja). Pretpostavimo da je k polje i da su

f(x); g(x)₂k[x]tef(x)₆= 0:Tada postoje jedinstveni polinomiq(x); r(x)₂k[x]

takvi da vrijedi

g(x) =q(x)f(x) +r(x)

i vrijedi ilir(x) = 0 ilideg(r)<deg(f):

Dokaz. Prvo, pokaµzimo postojanje takvih q i r: Ako f _j g; tada je g = qf

za neke q; de…niramo ostatak r = 0; i tvrdnja je dokazana. Ako f - g; tada

promatramo sve (obavezno ne-nul) polinome oblikag qfgdjeqvarira pok[x]:

Aksiom o najmanjem cijelom broju osigurava da postoji polinomr = g qf

koji ima najmanji stupanj me†u svim takvim polinomima. Kako jeg=qf+r;

dovoljno je pokazati da je deg(r) < deg(f): Zapišimo polinome f(x) i r(x) u standardnom obliku: f(x) =snxn+ +s1x+s0ig(x) =tmxm+ +t1x+t0:

Sadasn6= 0povlaµci da jesnjedinica, jer jekpolje i stogasn1 postoji uk:Ako

jedeg(r) deg(f);de…niramo

h(x) =r(x) tmsn1xm nf(x);

tj., ako jeV C(f) =snxn;gdjeV C oznaµcavavode´ci µclan, tada je

h=r V C(r) V C(f)f;

POGLAVLJE 3. NAJVE ´CI ZAJEDNI µCKI DJELITELJI 13

primijetimo da je h = 0 ili je deg(h) < deg(r): Ako je h = 0; tada je r =

[V C(r)=V C(f)]f i g = qf+r = qf+V C(r) V C(f)f = [q+V C(r) V C(f)]f;

što je kontradikcija sf -g:Akoh₆= 0;tada jedeg(h)<deg(r)i

g qf =r=h+ V C(r)

V C(f)f:

Prema tome,g [q+V C(r)=V C(f)]f =hšto je u kontradikciji s tim da je r

polinom najmanjeg stupnja ovakvog oblika. Stoga,deg(r)<deg(f):

Da bi dokazali jednistvenost odq(x)ir(x);pretpostavimo da jeg=q0_f+r0_;

gdje jedeg(r0_{)<deg(f): Tada}

(q q0)f =r0 r:

Ako je r0 _{6= r; tada svaka strana ima stupanj. Ali deg((q q}0_{)f) = deg(q}

q0_{) + deg(f) deg(f); dok je deg(r}0 _{r) maxfdeg(r}0_{);deg(r)g < deg(f);}

kontradikcija. Stoga je r0 _{= r i (q q}0_{)f = 0: Kako je k[x] domena i f 6= 0;}

slijedi da jeq q0= 0 iq=q0:

De…nicija 3.2 Ako su f(x) i g(x) polinomi u k[x]; gdje je k polje, tada se

polinomiq(x) ir(x) koji se pojavljuju u algoritmu dijeljenja nazivajukoliµcnik

iostataknakon dijeljenjag(x) sf(x):

Korolar 3.3 Neka je R komutativan prsten i neka je f(x) ₂ R[x] normiran

polinom. Ako jeg(x)₂R[x]; tada postojeq(x); r(x)₂R[x]tako da vrijedi

g(x) =q(x)f(x) +r(x);

gdje je ilir(x) = 0ilideg(r)<deg(f):

Dokaz. (Skica)Ovdje moµzemo ponoviti algoritam dijeljenja jednom kada vidimo

da jeV C(r)=V C(f)₂R jer jef(x)normiran.

De…nicija 3.4 Ako jef(x)₂k[x]; gdje jekpolje, tada de…niramokorijenod

f(x)uk kao elementa₂k takav da jef(a) = 0:

Lema 3.5 Neka je f(x)₂ k[x]; gdje je k polje, i neka je u₂ k: Tada postoji

q(x)₂k[x] takav da vrijedi

POGLAVLJE 3. NAJVE ´CI ZAJEDNI µCKI DJELITELJI 14

Dokaz. Algoritam dijeljenja daje

f(x) =q(x)(x u) +r;

ostatakr je konstanta jer jex ustupnja 1. Sada uvrštavamo

f(u) =q(u)(u u) +r;

i dobivamor=f(u):

Propozicija 3.6 Ako je f(x)₂k[x]; gdje jek polje, tada jeakorijen od f(x)

uk ako i samo akox a dijelif(x)u k[x]:

Dokaz. Ako jeakorijen odf(x)uk; tada jef(a) = 0 i Lema 3.5 dajef(x) =

q(x)(x a):

Obrnuto, ako jef(x) =g(x)(x a);tada uvršavanjeadajef(a) =g(a)(a a) = 0:

Teorem 3.7 Neka jekpolje i neka jef(x)₂k[x]:Ako jef(x)stupnjan;tada

f(x)ima najvišen korijena uk:

Dokaz. Dokazujemo tvrdnju indukcijom po n 0: Ako jen= 0; tada jef(x)

konstanta razliµcila od nule i broj njegovih korijena u k je nula. Neka je sada

n > 0: Ako f(x) nema korijena u k; tvrdnja je dokazana, jer je 0 n: U

suprotnom, moµzemo pretpostaviti da postoji a ₂ k; takav da je a korijen od

f(x);stoga po Propoziciji 3.6,

f(x) =q(x)(x a);

štoviše,q(x)₂k[x]je stupnjan 1:Ako postoji korijenb₂ktakav da jeb₆=a;

tada je

0 =f(b) =q(b)(b a):

Kako jeb a₆= 0;vrijediq(b) = 0(jer jekpolje pa je i domena), stoga je tajb

korijen odq(x):deg(q) =n 1;pa po pretpostavci indukcije slijedi daq(x)ima

najvišen 1korijena uk: Stoga,f(x)ima najvišenkorijena uk:

Korolar 3.8 Neka jekbeskonaµcno polje i neka suf(x)ig(x)polinomi uk[x]:

Akof(x)ig(x)odre†uju istu polinomijalnu funkciju [tj., ako jef(a) =g(a)za

svakia₂k], tada je f(x) =g(x):

Dokaz. Ako jef(x)₆=g(x);tada je polinomh(x) =f(x) g(x)razliµcit od nule

i ima neki stupanj, recimon:Sada je svaki element odkkorijen odh(x);kako je

kbeskonaµcan,h(x)ima više odnkorijena, a ovo je u kontradikciji s Teoremom

3.7.

Korolar 3.9 Neka jek bilo kakvo polje, moµzda i konaµcno. Ako jef(x); g(x)₂

k[x];ako jedeg(f) deg(g) ni ako jef(a) =g(a)zan+ 1elemenata a₂k;

POGLAVLJE 3. NAJVE ´CI ZAJEDNI µCKI DJELITELJI 15

Dokaz. (Skica.) Ako jef ₆=g;tada jedeg(f g)de…niran ideg(f g) n:

De…nicija 3.10 Neka su su f(x) ig(x) polinomi u k[x]; pri µcemu je k polje.

Polinom c(x)₂k(x) nazivamo zajedniµcki djeliteljpolinoma f(x) ig(x) ako

c(x)_jf(x)ic(x)_jg(x):Ako f(x)ig(x)nisu oba 0, de…niramo njihovnajve´ci

zajedniµcki djelitelj,nzd, kao normiran zajedniµcki djelitelj s najve´cim

stupn-jem. Ako jef(x) = 0 =g(x); de…niramo njihovnzd= 0: nzdodf(x)ig(x)se

µcesto oznaµcava i s(f; g):

Teorem 3.11 Ako jek polje i f(x); g(x)₂ k[x]; tada je njihov nzd d(x)

lin-earna kombinacija odf(x) ig(x);tj., postojes(x); t(x)₂k[x]tako da vrijedi

d(x) =s(x)f(x) +t(x)g(x):

Dokaz. (Skica.) Ovaj Teorem je poseban sluµcaj Teorema 4.15 kojeg dokazujemo

u Poglavlju 4.

Direktno iz ovog Teorema slijedi:

Korolar 3.12 Neka je k polje i neka su f(x); g(x) ₂ k[x]: Normiran

zajed-niµcki djeliteljd(x)je nzd ako i samo ako je d(x) djeljiv sa svakim zajedniµckim

djeliteljem; tj., ako jec(x)zajedniµcki djelitelj, tadac(x)_jd(x):

Štoviše,f(x)ig(x)imaju jedinstvennzd:

De…nicija 3.13 Kaµzemo da je element p u domeni R ireducibilan ako su ispunjena sljede´ca dva uvjeta:

(i)p₆= 0ipnije jedinica;

(ii) ako jep=uv;tada jeuili v jedinica.

Za elemente a; b ₂ R kaµzemo da suasocirani ako postoji jedinica u ₂ R

tako da jeb=ua:

Propozicija 3.14 Ako jek polje, tada je polinom p(x)₂k[x] ireducibilan ako

i samo ako je deg(p) = n 1 i ne postoji faktorizacija u k[x] oblika p(x) =

g(x)h(x) u kojoj su oba faktora stupnja manjeg odn:

Dokaz. Prvo ´cemo pokazati da jeh(x)₂k[x]jedinica ako i samo ako jedeg(h) =

0: Ako jeh(x)u(x) = 1; tada jedeg(h) + deg(u) = deg(1) = 0;kako je stupanj nenegativan, slijedideg(h) = 0:

Obrnuto, ako je deg(h) = 0; tada je h(x) konstanta razliµcita od nula; tj.,

h₂k;kako jekpolje,k ima inverz.

Ako je p(x) ireducibilan, tada su sve njegove faktorizacije oblika p(x) =

g(x)h(x);gdje su h(x)ili g(x)jedinica; tj., gdje je ilideg(g) = 0ili deg(h) = 0:

Stoga,p(x)nema faktorizaciju u kojoj su oba faktora manjeg stupnja.

Obrnuto, akop(x)nije ireducibilan, tada ima faktorizacijup(x) =g(x)h(x);

gdje nisu nitih(x) niti g(x)jedinice; tj., niti h(x)niti g(x)nemaju stupanj 0.

Stoga,p(x)ima faktorizaciju kao produkt polinoma manjeg stupnja.

Korolar 3.15 Neka jekpolje i neka jef(x)₂k[x]kvadratan ili kuban polinom.

POGLAVLJE 3. NAJVE ´CI ZAJEDNI µCKI DJELITELJI 16

Dokaz. (Skica.) Ako jef(x) =g(x)h(x)i nijedan odg ihnije konstanta, tada

deg(f) = deg(g) + deg(h)povlaµci da je barem jedan od faktora stupnja 1.

Lema 3.16 Neka je k polje i neka sup(x); f(x)₂k[x] i neka jed(x) = (p; f)

njihovnzd:Ako jep(x)normiran ireducibilan polinom, tada

d(x) = 1 ako p(x)-f(x)

p(x)ako p(x)_jf(x):

Dokaz. (Skica.) Kakod(x)_jp(x);imamod(x) = 1ili d(x) =p(x):

Teorem 3.17 (Euklidova lema). Neka je kpolje i neka suf(x); g(x)₂k[x]:

Ako jep(x)ireducibilan polinom uk[x]ip(x)_jf(x)g(x)tada vrijedi ili

p(x)_jf(x)ilip(x)_jf(x):

Op´cenito, akop(x)_jf1(x) fn(x); tadap(x)jfi(x)za nekii:

Dokaz. (Skica.) Pretpostavimo dap_jf g;ali da p-f: Kako je pireducibilan,

(p; f) = 1;i stoga vrijedi1 =sp+tf za neke polinome sit:Dakle,

g=spg+tf g:

Alip_jf g;po pretpostavci, i stogap_jg:

Lagano se vidi da vrijedi i obrat Euklidove leme. Naime, neka je k polje

i neka jef(x)₂ k[x] polinom stupnja 1;ako, kada f(x) dijeli produkt dva

polinoma, nuµzno dijeli jedan od faktora, tada jef(x)ireducibilan.

De…nicija 3.18 Za dva polinoma f(x); g(x)₂k[x]; gdje jek polje, kaµzemo da

surelativno prosti ako je njihovnzd jednak1:

Korolar 3.19 Neka suf(x); g(x); h(x)₂k[x];gdje jekpolje, i neka su h(x)i

f(x)relativno prosti. Akoh(x)_jf(x)g(x); tadah(x)_jg(x):

Dokaz. (Skica.) Dokaz Euklidove leme tako†er vrijedi ovdje: Kako je(h; f) = 1;

vrijedi1 =sh+tf;i stogag=shg+tf g:

Teorem 3.20 (Euklidov algoritam). Ako jekpolje i f(x); g(x)₂k[x];tada

postoje algoritmi za raµcunanjenzd (f; g); kao i za traµzenje para polinomas(x)

it(x)tako da vrijedi

POGLAVLJE 3. NAJVE ´CI ZAJEDNI µCKI DJELITELJI 17

Dokaz. Dokaz je u suštini ponavljanje algoritama dijeljenja:

g = q1f +r1 f = q2r1+r1 r1 = q3r2+r3 .. . rn 4 = qn 2rn 3+rn 2 rn 3 = qn 1rn 2+rn 1 rn 2 = qnrn 1+rn rn 1 = qn+1rn:

Kako su stupnjevi ostataka strogo padaju´ci, ovaj se postupak se mora zaustaviti

nakon konaµcnog broja koraka. Tvrdimo da jed=rnnzd;jednom kad je

normi-ran. Vidimo da jedzajedniµcki djelitelj od f i g unatrag supstitucijom: idemo

odozdo prema gore. Da bi vidjeli da jed nzd;idemo odozgo prema dolje da bi

pokazali da ako jec bilo koji zajedniµcki djelitelj odf i g; tada c _jri za svaki

i: Konaµcno, da bi pronašli s i t tako da vrijedi d =sf +tg; ponovno idemo

odozdo prema gore.

rn = rn 2 qnrn 1 = rn 2 qn(rn 3 qn 1rn 2) = (1 +qn 1)rn 2 qnrn 3 = (1 +qn 1)(rn 4 qn 2rn 3) qnrn 3 = (1 +qn 1)rn 4 [(1 +qn 1)qn 2+qn]rn 3 .. . = sf+tg

Korolar 3.21 Neka jekpotpolje poljaK;stoga jek[x]potprsten prstenaK[x]:

Ako suf(x); g(x)₂k[x];tada je njihovnzduk[x]jednak njihovomnzduK[x]:

Dokaz. Algoritam dijeljenja uK[x] daje

g(x) =Q(x)f(x) +R(x);

gdje suQ(x); R(x)₂K[x];kako suf(x); g(x)₂k[x];algoritam dijeljenja uk[x]

daje

g(x) =q(x)f(x) +r(x);

gdje suq(x); r(x)₂k[x]: Ali jednadµzbag(x) =q(x)f(x) +r(x)tako†er vrijedi uK[x]jer jek[x] K[x]; stoga jedinstvenost kvocijenta i ostatka u algoritmu dijeljenja u K[x] daje Q(x) = q(x) ₂ k[x] i R(x) = r(x)₂ k[x]. Stoga, lista

jednadµzbi koje se pojavljuju u Euklidovom algoritmu uK[x] je toµcno ista lista

koja se pojavljuje u Euklidovom algoritmu u manjem prstenuk[x]; dakle, isti

POGLAVLJE 3. NAJVE ´CI ZAJEDNI µCKI DJELITELJI 18

Teorem 3.22 (Jedinstvena faktorizacija.) Ako je k polje, tada je svaki

polinom f(x) ₂ k[x] stupnja 1 produkt ne-nul konstante i normiranih

ire-ducibilnih polinoma. Štoviše, akof(x) ima dvije takve faktorizacije

f(x) =ap1(x) pm(x)if(x) =bq1(x) qn(x);

tj., a i b su ne-nul konstante, a p ovi i q ovi su normirani ireducibilni

polinomi, tada jea=b; m=n; iqi=pi za svei:

Dokaz. Dokazujemo postojanje faktorizacije za polinom f(x) indukcijom po

deg(f) 1: Ako je deg(f) = 1; tada je f(x) = ax+c = a(x+a 1_{c): Kao i}

svaki linearni polinom,x+a 1_{cje ireducibilan i stoga je i produkt ireducibilnih.}

Pretpostavimo sada da jedeg(f) 1:Ako jef(x)ireducibilan i njegov vode´ci

koe…cijent jea;tada jef(x) =a(a 1_{f(x));gotovi smo, jer jea} 1_{f(x)normiran.}

Ako f(x) nije ireducibilan, tada je f(x) = g(x)h(x); gdje je deg(g)< deg(f)

i deg(h) < deg(f). Po pretpostavci indukcije, postoje faktorizacije g(x) =

bp1(x) pm(x) i h(x) = cq1(x) qn(x); gdje su p ovi i q ovi normirani

ireducibilni. Slijedi da je

f(x) = (bc)p1(x) pm(x)q1(x) qn(x);

kao što je traµzeno.

Sada dokazujemo, indukcijom po M = max_fm; n_g 1;da ako postoji

jed-nadµzba

ap1(x) pm(x) =bq1(x) qn(x)

u kojoj su ai b ne-nul konstante i p ovi i q ovi su normirani ireducibilni,

tada je a = b; m = n; i qi = pi za sve i: Za bazu indukcije M = 1;

pret-postavka daje polinomg(x) =ap1(x) =bq1(x): Sada jeavode´ci koe…cijent od

g(x); jer je p1(x) normiran; sliµcno, b vode´ci koe…cijent od g(x); jer je q1(x):

Stoga jea = b i p1(x) = q1(x): Za korak indukcije, dana jednadµzba pokazuje

da pm(x) j q1(x) qn(x): Po Euklidovoj lemi za polinome, postoji i takav

da pm(x) j qi(x): Ali qi(x) je normiran ireducibilan pa osim samog sebe i 1

nema drugih normiranih djelitelja, stogaqi(x) =pm(x): Ponovnim

indeksiran-jem moµzemo pretpostaviti da je qn(x) = pm(x): Poništavanjem ovog faktora

dobijemo ap1(x) pm 1(x) = bq1(x) qn 1(x): Po pretpostavci indukcije,

Poglavlje 4

Homomor…zmi

U ovom poglavlju ´cemo promatrati ona preslikavanja koja ’µcuvaju strukturu’; tj., preslikavanja me†u prstenima koja respektiraju obje operacije, zbrajanje i mnoµzenje u prstenu. Zatim uvodimo pojam ideala u prstenu, koji µcini centralno mjesto u teoriji prstena.

De…nicija 4.1 Neka suAiRkomutativni prsteni. Homomor…zam(prstena)

je funkcijaf :A_!R takva da vrijedi

(i)f(1) = 1;

(ii) f(a+a0_{) =f(a) +f(a}0_{)za sve a; a}0_2A;

(ii) f(aa0_{) =f(a)f(a}0_{)za svea; a}0 _2A:

Homomor…zam koji je tako†er bijekcija naziva seizomor…zam. Za dva

ko-mutativna prstenaAi Rre´ci cemo da su izomorfni, ako postoji neki

izomor-…zamf medju njima; tu µcinjenicu oznµcavamo saA=R:

Primjer 4.2 (i) Neka je R domena i s F =F rac(R) oznaµcimo njegovo polje

razlomaka. U Teoremu 1.27 rekli smo da jeR potprsten odF;ali to nije istina;

Rµcak nije ni podskup odF: Pronašli smo me†utim potprstenR0 _{od F koji ima}

veliku sliµcnost s R; R0 _{= f[a;1] : a 2 Rg F: Funkcija f : R ! R}0_{; dana s}

f(a) = [a;1]je izomor…zam.

(ii) PodskupR0komtativnog prstenaR, de…niran sR0=_f(r;0;0; :::) :r₂R_g

je potprsten od R[x]; a funkcija f :R_!R0; de…nirana sf(r) = (r;0;0; :::); je

izomor…zam.

(iii)z=a+ib_!z=a ib(zje kompleksno konjugiran odz) je izomor…zam

C!Cjer je1 = 1; z+w=z+w izw=zw:

(iv) Neka je R komutativan prsten s jedinicom oznaµcenom s "; tada je

funkcija :Z!R;de…nirana s (n) =n"; homomor…zam prstena.

Lema 4.3 Ako jef :A_!R homomor…zam prstena, tada, za svea₂A;

(i)f(an) =f(a)n za sven 0;

(ii) ako jeajedinica, tada je f(a) jedinica tef(a 1) =f(a) 1;štoviše, ako

jea jedinica tada jef(a n) =f(a) n za sven 1;

POGLAVLJE 4. HOMOMORFIZMI 20

(iii) ako je f :A_!R homomor…zam prstena, tada je

f(U(A)) U(R);

gdje jeU(A)grupa jedinica odA;ako je f izomor…zam, tada je

U(A) =U(R):

De…nicija 4.4 Za proizvoljan homomor…zam prstena f :A _!R, de…nirajmo

njegovujezgru

ker f =_fa₂A_jf(a) = 0_g

i njegovusliku

im f =_fr₂R_jr=f(a)za neki a₂R_g

De…nicija 4.5 Ideal u komutativnom prstenu R je podskup I od R tako da vrijedi

(i)0₂I;

(ii) ako su a; b₂I;tada jea+b₂I;

(iii) ako je a₂I ir₂R;tada jera₂I:

Nadalje, re´ci ´cemo da je ideal I odR pravi idealako je I₆=R iI ₆=_f0_g; ovdje je sa_f0_goznµcen nul-ideal.

Primjer 4.6 Ako sub1; b2; :::; bn2R;tada je skup svih linearnih kombinacija

I=_fr1b1+r2b2+ +rnbnjri2R za sveig

ideal uR:U tom sluµcaju pišemoI= (b1; b2; :::; bn);aIzovemoideal generiran

sb1; b2; :::; bn: Ako jen= 1;tada je

I= (b) =_frb_jr₂R_g

ideal uR; (b)sadrµzi sve višekratnike odb;i zove seglavni idealgeneriran sb:

Propozicija 4.7 Ako jef :A_!Rhomomor…zam prstena, tada je kerf ideal

uA iim f je potprsten od R:Štoviše, ako su A iR nenul prsteni, tada jeker

f pravi ideal.

Propozicija 4.8 Homomor…zam prstena f : A _! R je injekcija ako i samo

ako jekerf =_f0_g:

Korolar 4.9 Ako jef :k_!Rhomomor…zam prstena, gdje je kpolje iR nije

nul-prsten, tada jef injekcija.

Teorem 4.10 Ako jek polje, tada je svaki idealI u k[x]glavni ideal. Štoviše,

POGLAVLJE 4. HOMOMORFIZMI 21

Dokaz. (Skica.) Ako je k polje, tada je k[x] primjer Euklidovog prstena. U

Teoremu 5.3 dokazat ´cemo da je svaki ideal u Euklidovom prstenu glavni ideal.

De…nicija 4.11 DomenaRje domena glavnih idealaako je svaki ideal uR glavni ideal.

Primjer 4.12 (i) Prsten cijelih brojeva je domena glavnih ideala. (ii) Svako polje je domena glavnih ideala.

(iii) Ako jek polje, tada je prsten polinomak[x] domena glavnih ideala, po

Teoremu 4.10.

Primjer 4.13 Nisu svi ideali u proizvoljnim komutativnim prstenima glavni

ideali. Neka jeR=Z[x];komutativan prsten svih polinoma uZ:Lako je vidjeti

da je skup I svih konstantnih polinoma ideal u Z[x]: Me†utim, I nije glavni

ideal.

De…nicija 4.14 Element u komutativnom prstenu R jenajve´ci zajedniµcki

djelitelj,nzd;elemenata ; ₂R ako vrijedi

(i) je zajedniµcki djelitelj od i ;

(ii) ako je bilo koji zajedniµcki djelitelj od i ; tada _j :

Teorem 4.15 Neka jeR domena glavnih ideala.

(i) Za sve ; ₂R postoji nzd, ; koji je linearna kombinacija od i :

= + ;

gdje su ; ₂R:

(ii) Ako ireducibilan element ₂ R dijeli umnoµzak ; tada ili _j ili

j :

Dokaz. Moµzemo pretpostaviti da je barem jedan od i ne-nul (u suprotnom,

nzdje0 i rezultat je oµcit). Neka jeI skup svih linearnih kombinacija:

I=_f + _j ; ₂R_g:

Sada su i sadrµzani uI(stavimo = 1i = 0ili obrnuto). Lako je provjeriti

da jeI ideal uR;stoga postoji ₂I; I= ( );jer je R domena glavnih ideala;

tvrdimo da je nzdod i :

Kako je ₂ I = ( ); imamo = za neki ₂ R; tj., je djelitelj od ;

sliµcno je djelitelj od , odnosno je zajedniµcki djelitelj od i :

2Ije linearna kombinacija od i pa postoje ; ₂R tako da je

= + :

Konaµcno, ako je bilo koji zajedniµcki djelitelj od i ; tada je = 0 i

= 0; stoga dijeli za = + = ( 0+ 0):Zakljuµcujemo da je

POGLAVLJE 4. HOMOMORFIZMI 22

(ii) Ako _j ;tvrdnja vrijedi. Ako - tada je1 nzdod i ;tj., postoje

; ₂Rtako da je1 = + te stoga

= + :

Poglavlje 5

Euklidovi prsteni

U ovom kratkom poglavlju uvodimo pojam Euklidovog prstena i donosimo vaµzan teorem koji kaµze da je svaki Euklidov prsten domena glavnih ideala.

De…nicija 5.1 DomenaR je Euklidov prstenako postoji funkcija @:R_nf0_{g !}N;

koju nazivamofunkcija stupnja, takva da

(i)@(f) @(f g)za svef; g₂R; f; g₆= 0;

(ii) za svef; g₂R; f ₆= 0; postojeq; r₂R tako da je

g=qf+r;

gdje je ilir= 0 ili@(r) @(f):

Primjer 5.2 (i) Skup cijelih brojeva Zje Euklidov prsten s funkcijom stupnja

@(m) =_jm_j:Imamo

@(mn) =_jmn_j=_jm_jjn_j=@(m)@(n):

(ii) Kada je k polje, domena k[x] je Euklidov prsten s funkcijom stupnja,

stupnja ne-nul polinoma. Uk[x]; imamo

@(f g) = deg(f g)

= deg(f) + deg(g) = @(f) +@(g):

Ako je funkcija stupnja@ multiplikativna, tj.,

@(f g) =@(f)@(g)

tada se@ zove norma.

Teorem 5.3 Svaki Euklidov prstenR je domena glavnih ideala.

POGLAVLJE 5. EUKLIDOVI PRSTENI 24

Dokaz. Neka je I ideal u R: Ako je I = _f0_g; tada je I = (0) glavni; stoga

moµzemo pretpostaviti da jeI ₆= (0): Skup svih stupnjeva nenul elemenata uI

ima najmanji element, neka je ton;odaberemod₂Itako da je@(d) =n:Oµcito

je(d) I pa je dovoljno dokazati obrnutu inkluziju. Ako jea₂I tada postoje

q; r₂Rtako da jea=qd+r;gdje je ilir= 0ili@(r)< @(d):Ali,r=a qd₂I

pa slijedir= 0:Stoga,a=qd₂(d)iI= (d):

Korolar 5.4 Prsten Gaussovih cijelih brojevaZ[i] je domena glavnih ideala.

Primjer 5.5 Prsten

R=_fa+b _ja; b₂Zg;

Poglavlje 6

Kvocijentni prsteni

U ovom poglavlju de…niramo kvocijentni prsten i navodimo Prvi teorem o izomor-…zmu za prstene.

Neka je I ideal u komutativnom prstenuR: Ako zaboravimo na operaciju

mnoµzenja, tada je I podgrupa aditivne grupe R; kako je R Abelova grupa,

podgrupaI je nuµzno normalna, stoga je kvocijentna grupaR=Ide…nirana, kao

i preslikavanje :R_!R=I dano s (a) =a+I: Sada vrijedia+I=b+I u

R=Iako i samo ako je a b₂I:Prisjetimo se da je zbrajanje naR=I dano s:

(a+I) + (b+I) =a+b+I

Teorem 6.1 Ako jeIideal u komutativnom prstenuR;tada se aditivna Abelova

grupaR=Imoµze ’organizirati’u komutativan prsten na naµcin da je preslikavanje

:R_!R=I surjektivan homomor…zam prstena.

Skica dokaza. De…niramo mnoµzenje na aditivnoj Abelovoj grupiR=I s

(a+I)(b+I) =ab+I:

Da bi vidjeli da je ovo dobro de…nirana funkcija R=I R=I _! R=I;

pret-postavimo da jea+I=a0_+Iib+I=b0_{+I;tj.,a a}0_{2Iib b}0 _2I:Moramo

pokazati da vrijedi(a0_+I)(b0_{+I) =a}0_b0_{+I=ab+I;tj.,ab a}0_b0 _2I:Ali

ab a0b0 = ab a0b+a0b a0b0

= (a a0)b+a0(b b0)₂I;

kao što je traµzeno.

Da bi dokazali da jeR=Ikomutativan prsten, dovoljno je pokazati da vrijede

asocijativnost i komutativnost mnoµzenja, distributivnost i da je jedinica1 +I:

Dokazi ovih svojstava su trivijalni. Npr., mnoµzenje uR=I je komutativno jer

(a+I)(b+I) =ab+I=ba+I= (b+I)(a+I):

Ponovnim zapisivanjem jednadµzbe (a+I)(b+I) = ab+I upotrebljavaju´ci

de…niciju od ; a+I= (a);dobijemo (a) (b) = (ab):Kako je (1) = 1 +I;

POGLAVLJE 6. KVOCIJENTNI PRSTENI 26

slijedi da je homomor…zam prstena. Konaµcno, je surjekcija jer je a+I =

(a):

Korolar 6.2 Ako jeI ideal u komutativnom prstenu R;tada postoje

komuta-tivan prstenA i homomor…zam prstena :R_!A tako da vrijediI= ker :

Dokaz. Ako zaboravimo na mnoµzenje, tada je preslikavanje : R _! R=I

homomor…zam izme†u aditivnih grupa, te vrijedi

I= ker =_fr₂R_j (a) = 0 +I=I_g:

Sada se sjetimo mnoµzenja: (a+I)(b+I) =ab+I;tj., (a) (b) = (ab):Stoga,

je homomor…zam prstena iker je jednakaI bez obzira da li je funkcija

homomor…zam prstena ili homomor…zam aditivnih grupa.

Teorem 6.3 (Prvi teorem o izomor…zmu) Ako je f : R _! A

homomor-…zam prstena, tada jeker f ideal uA; im f potprsten odAi

R=ker f =im f:

Dokaz. Neka jeI = kerf: Ve´c smo vidjeli u Propoziciji 4.7 da jeI ideal uR i

da jeim f potprsten odA:

Ako zaboravimo na mnoµzenje u prstenima, tada je funkcija ': R=I _! A;

de…nirana s'(r+I) =f(r); izomor…zam aditivnih grupa. Kako je'(1 +I) =

f(1) = 1; dovoljno je dokazati da' µcuva mnoµzenje. Ali '((r+I)(s+I)) =

'(rs+I) = f(rs) = f(r)f(s) = '(r+I)'(s+I): Stoga je' homomor…zam prstena.

Poglavlje 7

Prosti ideali i maksimalni

ideali

U ovom poglavlju uvodimo dva zanimljiva tipa ideala: proste ideale i maksi-malne ideale.

Propozicija 7.1 (Teorem o korespondenciji za prstene) Ako je I pravi

ideal u komutativnom prstenuR;tada postoji bijekcija'sa skupa svih srednjih

idealaJ koji sadrµze I;tj.,I J R;u skup svih ideala uR=I;dana s

':J _{7 !} (J) =J=I=_fa+I_ja₂J_g;

gdje je :R_!R=I prirodno preslikavanje.

Dokaz. Ako zaboravimo na mnoµzenje, komutativan prstenR je samo aditivna

Abelova grupa i njegov idealI je normalna podgrupa. Po teoremu o

korespon-denciji za grupe sada imamo bijekciju

:_fsve podgrupe odRkoje sadµzeI_{g ! f}sve podgrupe odR=I_g;

gdje je (J) = (J) =J=I:

Ako jeJ ideal, tada je (J)tako†er ideal, jer ako jer₂R ia₂J; tada je

ra₂J i stoga

(r+I)(a+I) =ra+I₂J=I:

Neka je' restrikcija od na skup svih srednjih idala; ' je injekcija jer je

bijekcija. Da bi vidjeli da je'surjekcija, neka jeJ ideal uR=I:Sada je 1_{(J )}

srednji ideal uR [sadrµziI= 1_(f0g)]i'( 1_{(J )) =J :}

De…nicija 7.2 Za idealIu komutativnom prstenuRkaµzemo da jeprost ideal

ako je pravi ideal, tj.,I₆=R;i akoab₂I povlaµci a₂I ilib₂I:

Primjer 7.3 U prstenu Z[x]; svih polinoma µciji su koe…cijenti cijeli brojevi,

ideal generiran s2ixje prost ideal. Sadrµzi sve one polinome µciji su konstantni

koe…cijenti parni.

POGLAVLJE 7. PROSTI IDEALI I MAKSIMALNI IDEALI 28

Primjer 7.4 Prisjetimo se da je ne-nul komutativan prsten R domena ako i

samo akoab= 0u Rpovlaµci da jea= 0ilib= 0:Prema tome,(0) =_f0_g u R

je prost ideal ako i samo ako jeR domena.

Propozicija 7.5 Ideal I u komutativnom prstenuR je prost ideal ako i samo

ako jeR=I domena.

Dokaz. Neka je I prost ideal. Kako jeI pravi ideal, imamo 1 ₂= I i stoga je

1 +I₆= 0 +I uR=I:Ako je0 = (a+I)(b+I) =ab+I;tada jeab₂I:Kako je

I prost ideal, tada je ilia₂I ili b₂I;tj., ili je a+I= 0ili b+I= 0: Stoga,

R=Ije domena. Obrat je sliµcan.

Propozicija 7.6 Ako jekpolje, tada je ne-nul polinomp(x)₂k[x]ireducibilan

ako i samo ako je((p(x))prost ideal.

Dokaz. Pretpostavimo da je p(x) ireducibilan. Prvo, (p) je pravi ideal; u

suprotnom, k[x] = (p) i stoga 1 ₂ (p) pa postoji polinom f(x) tako da je

1 =p(x)f(x):Alip(x)je stupnja najmanje1;jer je

0 = deg(1) = deg(pf) = deg(p) + deg(f) deg(p) 1:

Kontradicija pokazuje da je(p)pravi ideal. Drugo, ako jeab₂(p);tadap_jab;

i po Euklidovoj lemi vrijedip_jailip_jb:Tj.,a₂(p)ilib₂(p):Slijedi da je(p)

prost ideal.

Obratno, ako je (p(x)) prost ideal, tada f g ₂ (p) povlaµce da je f ₂ (p)

ili g ₂ (p); tj., p _j f ili p _j g: Sada po obratu Euklidove leme slijedi da je p

ireducibilan.

Ako je I ideal u komutativnom prstenu R; moµzemo pisati I ( R ako jeI

pravi ideal. Op´cenito, ako suI i J ideali, moµzemo pisatiI(J ako jeI J i

I₆=J:

De…nicija 7.7 Za ideal I u komutativnom prstenu R kaµzemo da je

maksi-malan idealako je pravi ideal i ne postoji idealJ tako da vrijediI(J (R:

Primjer 7.8 Ideal _f0_g je maksimalan ideal u komutativnom prstenu R ako i

samo ako jeR polje. Svaki ne-nul ideal I u R je jednak samom R ako i samo

ako je svaki ne-nul element u R jedinica. Tj., _f0_g je maksimalan ideal ako i

samo ako jeR polje.

Propozicija 7.9 Pravi idealIu ne-nul komutativnom prstenuRje maksimalan

ideal ako i samo ako jeR=I polje.

Dokaz. Teorem o korespondenciji za prstene pokazuje da jeImaksimalan ideal

ako i samo ako R=I nema drugih ideala osim _f0_g i samog R=I; Primjer 7.9

pokazuje da ovo svojstvo vrijedi ako i samo ako jeR=I polje.

POGLAVLJE 7. PROSTI IDEALI I MAKSIMALNI IDEALI 29

Dokaz. Ako je I maksimalan ideal, tada je R=I polje. Kako je svako polje

domena,R=I je domena i stoga jeI prost ideal.

Primjer 7.11 Ne vrijedi obrat Korolara 7.11. Na primjer, uzmimo u obzir

glavni ideal(x)uZ[x]:Vrijedi

Z[x]=(x) =Z;

kako je Z domena, (x) je prost ideal; kako Z nije polje, (x) nije maksimalan

ideal.

Me†utim, ako je komutativan prstenRdomena glavnih ideala, vrijedi obrat

Korolara 7.11.

Teorem 7.12 Ako jeR domena glavnih ideala, tada je svaki ne-nul prost ideal

I maksimalan ideal.

Dokaz. Pretpostavimo da postoji pravi ideal J tako da vrijediI J:Kako je

Rdomena glavnih ideala,I= (a)iJ = (b)za nekea; b₂R:Sadaa₂J povlaµci da jea=rbza nekir₂Ri stoga jerb₂I;aliIje prost ideal, stoga jer₂I ili

b₂I:Ako je r₂I;tada jer=saza nekis₂R;i stogaa=rb=sab:Kako je

Rdomena,1 =sbi vrijediJ = (b) =R;što je u kontradikciji s pretpostavkom

da jeJ pravi ideal. Ako jeb₂I;tada jeJ I;i stoga jeJ =I:Slijedi da jeI

maksimalan ideal.

Korolar 7.13 Ako je k polje i p(x)₂ k[x] je ireducibilan, tada je kvocijentni prstenk[x]=(p(x))polje.

Dokaz. Kako jep(x)ireducibilan, glavni idealI = (p(x))je ne-nul prost ideal;

kako jek[x]domena glavnih ideala,Ije maksimalan ideal i stoga jek[x]=I polje.

Propozicija 7.14 Neka je P prost ideal u komutativnom prstenuR:Ako suI

iJ ideali takvi da vrijediIJ P;tadaI P iliJ P:

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da je I*P iJ *P;tj., postojea₂I ib₂J

Poglavlje 8

Domene s jedistvenom

faktorizacijom

U ovom poglavlju ´cemo, nakon što uvedemo pojam domene s jedinstvenom fak-torizacijom, dokazati da je svaka domena glavnih ideala domena s jedinstvenom faktorizacijom.

De…nicija 8.1 Za elemente a i b u komutativnom prstenu R kaµzemo da su

asociraniako postoji jedinicau₂R takva da vrijedib=ua:

Na primjer, u Z;jedinice su 1; stoga jedini asociran od cijelog brojamje

m;uk[x];gdje jekpolje, jedinice su ne-nul konstante, i stoga jedini asocirani od polinomaf(x)₂k[x]je polinomuf(x);gdje jeu₂kiu₆= 0:

Propozicija 8.2 Neka je R domena i neka sua; b₂R:

(i)a_jbib_jaako i samo ako su aib asocirani.

(ii) Glavni ideali (a) i(b)su jednaki ako i samo ako suaib asocirani.

Dokaz. (i) Ako a _j b i b _j a, tada postoje r; s ₂ R takvi da vrijedi b = ra i

a=sb;i stoga b=ra=rsb:Ako je b= 0;tada jea= 0(zato što b_ja);ako je

b₆= 0; tada ga moµzemo poništiti (Rje domena) i dobijemo 1 =rs:Stoga suri

sjedinice, i ai b su asocirani. Obrat je oµcit.

(ii) Ako je (a) = (b); tada jea₂(b);stoga jea=rbza neki r₂R;i onda

b_ja:Sliµcno,b₂(a)povlaµcia_jb;i stoga prema (i) slijedi da suaib asocirani. Obratno, ako jea=ub;gdje jeujedinica, tada jea₂(b)i(a) (b):Sliµcno,

b=u 1apovlaµci (b) (a);i stoga je (a) = (b):

Korolar 8.3 Ako jeR domena glavnih ideala i p₂R ireducibilan, tada je(p)

prost ideal.

Dokaz. Neka jeI ideal takav da je (p) I:Kako jeR domena glavnih ideala,

postojiq₂Rtakav da jeI= (q):Stoga,p₂(q)i slijedi p=rqza neki r₂R:

Ireducibilnost od p kaµze da su ili p i q asocirani ili je q jedinica. U prvom

POGLAVLJE 8. DOMENE S JEDISTVENOM FAKTORIZACIJOM 31

sluµcaju, (p) = (q) po Propoziciji 8.2; u drugom sluµcaju,(q) =R: Slijedi da je

(p)maksimalan ideal, i stoga je i prost ideal.

De…nicija 8.4 Za domenuRkaµzemo da jedomena s jedinstvenom

faktor-izacijomako vrijedi

(i) svaki r₂R;koji nije ni0 ni jedinica;je produkt ireducibilnih.

(ii) ako je up1 pm = vq1 qn; gdje su u i v jedinice i svi pi i qj su

ireducibilni, tada je m=n i postoji permutacija ₂Sn takva da su pi i q (i)

asocirani za svei:

Propozicija 8.5 Neka je R domena u kojoj je svaki r ₂ R; koji nije ni 0 ni

jedinica , produkt ireducibilnih. Tada jeRdomena s jedinstvenom faktorizacijom

ako i samo ako je(p)prost ideal u Rza svaki ireucibilni elementp₂R:

Dokaz. Pretpostavimo da je R domena s jedinstvenom faktorizacijom. Ako je

a; b₂Riab₂(p);tada postojir₂Rtakav da je

ab=rp:

Faktorizirajmo svakia; bi r u ireducibilne; po jedinstvenoj faktorizaciji, lijeva

strana jednadµzbe mora sadµzavati asociran element odp:Taj asocirani je nastao

kao faktor odaib;i stoga je a₂(p)ili b₂(p):

Obratno, pretpostavimo da vrijedi

up1 pm=vq1 qn;

gdje suui v jedinice i svipi iqj su ireducibilni elementi. Dokazujemo,

induk-cijom pomax_fm; n_g 1;da jem=n i daq ove moµzemo ponovno indeksirati

tako da su qi i pi asocirani elementi za sve i: Ako je maxfm; ng = 1; tada je

up1 =vq1; up1 =v ili u=vq1: Posljednja dva sluµcaja se ne mogu dogoditi za

ireducibilne elemente koji nisu jedinice i stoga vrijedi baza indukcije. Za korak

indukcije, dana jednadµzba pokazuje da p1 j q1 qn: Po pretpostavci, (p1) je

prost ideal i stoga postoje neki qj takav da vrijedi p1 j qj: Ali qj; jer su

ire-ducibilni, nemaju drugih djelitelja osim jedinica i asociranih elemenata, stoga su

qj ip1 asocirani: qj =up1za neku jedinicuu:Poništavanjem p1 s obje strane,

dobijemop2 pm=uq1 qbj qn: Po pretpostavci indukcije,m 1 =n 1

(i stogam=n), i nakon ponovnog indeksiranja,qi ipi su asocirani za svei:

Lema 8.6 (i) Ako jeR komutativan prsten i I1 I2 In In+1

je rastu´ci lanac ideala uR;tada jeJ = S

n 1

In ideal u R:

(ii) Ako jeRdomena glavnih ideala, tada ne sadrµzi beskonaµcan strogo rastu´ci

lanac ideala

I1(I2( (In (In+1( :

(iii) Neka je R domena glavnih ideala. Ako je r ₂ R; koji nije ni 0 ni

POGLAVLJE 8. DOMENE S JEDISTVENOM FAKTORIZACIJOM 32

Dokaz. (i) Tvrdimo da je J ideal. Ako jea₂J;tada je a₂In za nekin; ako

je r ₂R; tada je ra ₂In; jer je In ideal; stoga ra 2J: Ako je a; b2 J; tada

postoje idealiIniImtakvi da jea2In ib2Im;kako je lanac rastu´ci, moµzemo

pretpostaviti daIn Im;i stoga je a; b 2Im: Kako je Im ideal, a+b 2Im i

stogaa+b₂J:Stoga jeJ ideal.

(ii) Ako, u suprotnom,beskonaµcan strogo rastu´ci lanac postoji, tada

de…ni-ramo J = S

n 1

In: Po (i) J je ideal; kako je R domena glavnih ideala, vrijedi

J = (d)za nekid₂J:Odavde slijedi da jedsadrµzan uIn;za nekin:Stoga je

J = (d) In(In+1 J;

što je kontradikcija.

(iii) Djelitelj r elementaa ₂ R se nazivapravi djelitelj od a ako r nije ni

jedinica ni asociran oda:Ako jerdjelitelj oda;tada je(a) (r);ako jerpravi djelitelj, tada je(a)((r); ako nejednakost nije stroga, tada(a) = (r); i zbog

togaaibmoraju biti asocirani po Propoziciji 8.2.

Za ne-nul a ₂ R; koji nije ni jedinica kaµzemo da je dobar ako je produkt

ireducibilnih, u suprotnom za a kaµzemo da je loš. Moramo pokazati da ne

postoje loši elementi. Ako je a loš, nije ireducibilan i stoga je a = rs; gdje

su oba r i s pravi djelitelji. Ali produkt dobrih elemenata je dobar i stoga je

barem jedan od faktora, npr. r; loš. Kako je (a)((r);slijedi, indukcijom, da postoji niz a1 = a; a2 =r; a3; :::; an; ::: loših elemenata tako da je svaki an+1

pravi djelitelj odan;i ovaj niz nam daje strogo rastu´ci lanac

(a1)((a2)( ((an)((an+1)( ;

što je u kontradikciji s (i).

Teorem 8.7 Ako jeRdomena glavnih ideala, tada jeRdomena s jedinstvenom faktorizacijom. Posebno, svaki Euklidov prsten je domena s jedinstvenom fak-torizacijom.

Dokaz. Gledaj´ci posljednja dva rezultata, dovoljno je dokazati da je(p) prost

ideal kad god jepireducibilan. Kako jeR domena glavnih ideala, Korolar 8.3

pokazuje da je(p)prost ideal.

Pojam najve´ceg zajedniµckog djelitelja moµzemo lagano poop´citi na proizvol-jan komutativan prsten. Tada vrijedi:

Propozicija 8.8 Ako je R domena glavnih ideala, tadanzd od bilo kojeg

kon-aµcnog skupa elemenataa1; :::; an izR postoji.

Dokaz. Dovoljno je pokazati da tvrdnja vrijedi za dva elementaai b;op´cenit

rezultat slijedi indukcijom.

Postoje jediniceuivi razliµciti ireducibilni elementip1; :::; pttakvi da vrijedi

a=upe1

POGLAVLJE 8. DOMENE S JEDISTVENOM FAKTORIZACIJOM 33 i b=vpf1 1 p f2 2 p ft t ;

gdje suei 0ifi 0za svei:Lako je vidjeti da akocja;tada je faktorizacija

od c na ireducibilne dana s a = wpg1

1 p

g2

2 p

gt

t ; gdje je w jedinica i vrijedi

0 gi ei za svei: Odnosno,c je zajedniµcki djelitelj od ai b ako i samo ako

gi mi za svei;gdje je

mi= minfei; fig:

Sada je jasno da jepm1

Bibliogra…ja

[1] J. J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall; 1st edition (2002); 2nd printing (2003)

[2] M. Artin, Algebra, Prentice-Hall, 1991

[3] S. Lang, Algebra, 3d ed., Addison–Wesley, Reading, 1993.

[4] N. H McCoy and G. J. Janusz, Introduction to Modern Algebra, 5th ed., Wm. C. Brown Publishers, Dubuque, Iowa, 1992.

[5] B. Širola, Algebarske strukture, http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/predavanja/ASpred.pdf

Saµzetak

Centralni pojam ovog diplomskog rada je komutativan prsten, jedna od osnovnih algebarskih struktura u matematici.

U Poglavlju 1 uvodimo neke osnovne de…nicije koje ´ce nam biti potrebne za daljnje analize, kao na primjer, domene i polje razlomaka.

Poseban naglasak smo stavili na prsten polinoma. Poglavlje 2 poµcinje s de…nicijom polinoma, vode´cih koe…cijenata polinoma, stupnja polinoma i prstena polinoma.

U Poglavlju 3 ´cemo vidjeti da, kada jekpolje, svi poznati teoremi koji vrijede

uZ;imaju analogon uk[x]; štoviše, vidjet ´cemo da se svi poznati dokazi mogu

prenijeti ovdje. Prezentiramo algoritam dijeljenja za polinome s koe…cijentima iz polja.

U Poglavlju 4 ´cemo promatrati ona preslikavanja koja ’µcuvaju strukturu’; tj., preslikavanja me†u prstenima koja respektiraju obje operacije, zbrajanje i mnoµzenje u prstenu. Zatim uvodimo pojam ideala u prstenu, koji µcini centralno mjesto u teoriji prstena.

U Poglavlju 5 uvodimo pojam Euklidovog prstena i donosimo vaµzan teorem koji kaµze da je svaki Euklidov prsten domena glavnih ideala.

U Poglavlju 6 de…niramo kvocijentni prsten i navodimo Prvi teorem o izomor-…zmu za prstene.

U Poglavlju 7 i Poglavlju 8 uvodimo dva zanimljiva tipa ideala: proste ideale i maksimalne ideale. Onda ´cemo, nakon što uvedemo pojam domene s jedin-stvenom faktorizacijom, dokazati da je svaka domena glavnih ideala domena s jedinstvenom faktorizacijom.

Summary

The main focus of this work are commutative rings, which are one of the basic algebraic structures in mathematics.

In Chapter 1 we introduce some basic defnitions that will be needed for further analysis, like for example, domains and fraction …elds.

In this work we give a special attention to the ring of polynomials. Chapter 2 begins with de…nitions of polynomial, leading coe¢ cient of polynomial, degree of polynomial and ring of polynomials.

In Chapter 3 we are going to see that, when k is a …eld, virtually all the

familiar theorems valid inZhave polynomial analogs ink[x];moreover, we shall

see that the familiar proofs can be translated into proofs here. We present division algorithm for polynomials with coe¢ cients in a …eld.

In Chapter 4 we observe those mappings that preserve the structure, the (ring) homomorphism. Afterwards we introduce the notion of ideals that makes the central point in the theory of rings.

Chapter 5 de…nes euclidean ring and proves that every euclidean ring is a principal ideal domain.

Chapter 6 de…nes quotient ring and proves …rst isomorphism theorem. Chapter 7 and Chapter 8 introduce two interesting type of ideals: prime and maximal ideals in commutative rings, and de…ne unique factorization domains. Afterwards we are going to prove a common generalization: Every principal ideal domain has a unique factorization.

µ

Zivotopis

Ro†en sam 26.12.1987. godine u Zenici, Bosna i Hercegovina. U µZepµcu, Bosna i Hercegovina, sam µzivjela do 1995. godine. Nakon vojno-redarstvene operacije Oluja selim se s obitelji u Knin, gdje sam 2006. godine završila op´cu gimnaziju u Srednjoj školi Lovre Montija. Iste godine upisujem Prirodoslovno-matematiµcki fakultet, Matematiµcki odsjek Sveuµcilišta u Zagrebu. Nakon završenog pred-diplomskog studija matematike upisujem Diplomski sveuµcilišni studij Matem-atiµcke statistike na istom odsjeku. Zadnje tri godine zaposlena sam u kompaniji Synergy Sports Technology gdje kao P1 Logger statistiµcki obra†ujem košarkaške utakmice.