Modifikasi Metode Full Wave di Sekitar Titik Singular

Modifikasi Metode Full Wave di Sekitar Titik Singular

Titiek Setiawati

Bidang Aplikasi Geomagnet dan Magnet Antariksa, Pusat Pemanfaatan Sains Antariksa LAPAN,

Jl. Dr. Junjunan 133 Bandung, Indonesia e-mail : iril58@yahoo.com

Abstrak

Modifikasi Metode full wave dilakukan untuk menyelesaikan persamaan gelombang elektromagnetik di sekitar titik singular yang disebabkan oleh efek resonan. Diasumsikan bahwa medium plasma yang non-homogen distratifikasi secara horisontal. Modifikasi terhadap matriks transisi di sekitar titik singular dengan menggunakan fungsi eksponensial dan integrasi Picard diperlukan untuk memperoleh solusi tunggal (konvergen). Solusi tersebut berupa medan elektromagnetik pada lapisan teratas yang dinyatakan sebagai perkalian sejumlah matriks transisi dengan medan elektromagnetik pada lapisan terbawah.

Kata kunci : Full wave, resonan, matriks transisi, integrasi Picard Abstract

Modification of the full wave method is carried out for solving the electromagnetic wave equation in the vicinity of a singular point which is caused by a resonance effect. It is assumed that an inhomogeneous plasma medium is stratified horizontally. Modification towards the transition matrix in the vicinity of the singular point, by using an exponential function and Picard integration is needed for obtaining a unique (convergent) solution. The solution in the form of the electromagnetic field at the top layer can be represented as a multiplication of a number of the transition matrices with the electromagnetic field at the bottom layer.

Keywords : Full wave, resonance, transition matrix, Picard integration

1. Pendahuluan

Ionosfer khususnya lapisan F merupakan sarana komunikasi radio pada frekuensi tinggi (HF), karena kemampuan medium tersebut untuk memantulkan energi gelombang secara total. Lapisan terbawah yaitu lapisan D meskipun tidak digunakan secara langsung sebagai media komunikasi pada frekuensi tersebut akan tetapi mempunyai pengaruh terhadap gelombang radio HF yang melintasinya. Ionosonda adalah salah satu jenis radar yang sangat umum digunakan untuk mengukur kerapatan elektron baik pada lapisan F maupun lapisan E. Akan tetapi pengukuran terhadap lapisan D sulit dilakukan karena tingginya tingkat penyerapan energi gelombang HF. Ini berbeda dengan gelombang radio pada frekuensi sangat rendah (VLF) yang mengalami pantulan sebagian saat melintasi lapisan D dan kurang dipengaruhi oleh gangguan di lapisan tersebut. Oleh karena itu rentang VLF dapat dimanfaatkan untuk menurunkan karakteristik kerapatan elektron menggunakan wahana roket. Karena pengukuran dengan roket sifatnya tidak kontinu dan hanya pada rentang waktu yang sangat pendek maka perlu dilakukan simulasi dengan cara memasukkan profil kerapatan elektron dan frekuensi tumbukan antara elektron dan partikel netral. Simulasi tersebut tidak lain adalah dengan cara menyelesaikan persamaan gelombang elektromagnetik. Solusi analitik bagi medium plasma yang non-isotropik dan non-homogen sangat sulit diperoleh. Metode full wave yang melibatkan matriks merupakan salah satu solusi numerik yang dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial gelombang. Dalam metode ini diasumsikan bahwa medium terdiri atas

sejumlah lapisan tipis (stratifikasi) yang homogen. Dengan cara demikian maka solusi persamaan gelombang dapat dinyatakan sebagai perkalian medan gelombang pada lapisan di bawahnya yang melibatkan matriks transisi. Matriks tersebut mengandung karakteristik medium dalam setiap lapisan dan mempunyai harga yang berhingga, dengan demikian akan diperoleh solusi yang konvergen. Solusi menjadi tidak konvergen di sekitar titik singular karena efek resonan. Secara fisis efek resonan ditunjukkan dengan peningkatan amplitudo yang merupakan indikator adanya fenomena gelombang whistler yang muncul di lapisan D dan di magnetosfer1).

Untuk memperoleh solusi yang konvergen diperlukan modifikasi terhadap matriks transisi di sekitar titik singular dengan menggunakan integral Picard. Makalah ini akan menguraikan langkah modifikasi tersebut yang dilanjutkan dengan simulasi menggunakan profil kerapatan elektron tertentu serta beberapa parameter gelombang lainnya untuk memperoleh profil medan magnet dan medan listrik bagi gelombang elektromagnetik.

2. Persamaan Gelombang

Secara umum persamaan dasar yang berkaitan dengan penjalaran gelombang dalam medium plasma yang non-isotropik dan non-homogen diturunkan dari persamaan Maxwell dan relasi konstitutif. Persamaan tersebut dijabarkan dalam sistem koordinat kartesian dengan sumbu z menunjukkan arah vertikal, sedangkan sumbu (x-z) dan sumbu (x-y) masing-masing merupakan tempat kedudukan bidang datang, dengan normal gelombang membuat sudutθ terhadap vertikal, serta

bidang horizontal. Dengan demikian persamaan gelombang dapat dinyatakan oleh persamaan diferensial2,3) berikut, ) ( ~ 0 ) ( z T jk dz z d e e − = (1)

Vektor e terdiri dari komponen medan listrik dan medan magnet : Ex,Ey, Hx dan Hy. Notasi j menyatakan bagian

imajiner. ko=ω/c merupakan bilangan gelombang di ruang

hampa. MatriksT~ (4x4) memuat kosinus dan sinus sudut datang gelombang (θ) serta matriks suseptibilitas M~

yang merupakan fungsi ketinggian dengan elemen-elemen sebagai berikut, ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zz zy zx yz yy yx xz xy xx M M M M M M M M M M~

Karakteristik ionosfer seperti kerapatan elektron dan frekuensi tumbukan antara elektron dan partikel netral terkandung dalam matriks tersebut dengan rincian sebagai berikut, Mxx = -X(U2-l2Y2)/U(U2-Y2) Mxy = -X(-jUnY-lnY2)/U(U2-Y2) Mxz = X(jUmY+lmY2)/U(U2-Y2) Myx = X(jUnY+lmY2)/U(U2-Y2) Myy = -X(U-m2Y2)/U(U2-Y2) Myz = -X(jUlY-nmY2)/U(U2-Y2) Mzx = -X(jUmY-lnY2)/U(U2-Y2) Mzy = X(jUlY+mnY2)/U(U2-Y2) Mzz = -X(U-n2Y2)/U(U2-Y2) U = 1-jZ, Z = ν/ω, X = (ωp/ω)2, ωp=e2N/mε0 ωh=eB/m, Y=|ωh/ω⏐.

Besaran ωp, ω dan ωh masing-masing setara dengan

frekuensi plasma, frekuensi gelombang dan frekuensi giro. N, ν dan B menyatakan kerapatan elektron, frekuensi tumbukan (antara elektron dan partikel) serta induksi medan magnet bumi. Notasi ε0, e dan m merupakan

permitivitas ruang hampa, muatan elektron dan massa elektron. Faktor (l, m, n) menunjukkan kosinus arah dari vektor medan magnet bumi.

3. Solusi Persamaan Gelombang

Stratifikasi (pembagian) dilakukan terhadap rentang ketinggian secara horizontal menjadi lapisan-lapisan tipis yang homogen dengan asumsi kerapatan elektron konstan. Medan gelombang (persamaan 1) dapat didefinisikan sebagai kombinasi linear empat komponen (mode) karakteristik yang terdiri dari gelombang ordiner dan gelombang ekstra-ordiner, ketika dipancarkan dan dipantulkan. Kombinasi tersebut dirumuskan dalam persamaan berikut3),

j Sf

e =~ (2)

Matriks S~dengan orde 4x4 memuat matriks T~dan nilai eigen (q) yang tidak lain merupakan akar dari persamaan

persamaan (1) beserta asumsi di atas maka persamaan gelombang dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial linear simultan dengan koefisien konstan.

Solusi non-trivial bgi sistem persamaan diferensial ini didapat melalui persamaan karakteristik4)

0 ) ~ ~ ( det T-qI = (3)

dengan I~menyatakan matriks satuan (4x4). Penjabaran persamaan (3) menghasilkan persamaan pangkat empat yang dikenal dengan persamaan Booker. Variabel q yang tidak lain adalah solusi bagi persamaan di atas menyatakan indeks bias arah vertikal. Apabila persamaan (2) diterapkan pada setiap lapisan maka diperoleh total medan pada lapisan teratas sebagai perkalian dari total medan pada lapisan terbawah5)

∏

= = 1 1 -1) ( ~ ) ( n i i n K z z e e (4) -1 ~ ~ ~ ~ i i i i S S K = ∆ (5) i

K~ adalah matriks transisi, sedangkan elemen α dan β

pada matriks berikut merupakan fungsi elemen matriks T~

dan q. Matriks Si

~

dinyatakan dalam bentuk,

4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 1 1 ~ i i i i i i i i i i i i i q q q q S β β β β α α α α = (6) Matriks diagonal ∆i ~ (4x4) memuat elemen , dengan ketebalan lapisan (interval lapisan) h = z

h q jk j

e− 0

i+1 – zi.

Indeks i dan indeks 1 sampai 4 menunjukkan lapisan ke i, komponen ordiner dan ektraordiner saat gelombang dipancarkan dan dipantulkan.

3. Titik Singular

Proses pantulan yang diidentifikasi oleh indeks bias mempunyai peranan penting dalam penjalaran gelombang radio di ionosfer. Secara umum gelombang radio pada rentang VLF akan mengalami pantulan sebagian ketika menjalar di lapisan D. Akan tetapi dalam kondisi tertentu indeks bias menjadi sangat besar (tak berhingga) yang berarti tidak terjadi pantulan. Fenomena ini disebabkan oleh efek resonan yang berkaitan erat dengan munculnya gelombang whistler.

Indeks bias q yang tak berhingga mengakibatkan matriks K~(persamaan 4) juga mempunyai nilai yang tidak berhingga. Oleh karena itu metode full wave tidak dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan gelombang yang memuat titik singular. Kondisi seperti ini terjadi apabila frekuensi tumbukan jauh lebih kecil dari frekuensi gelombang (ν << ω) dan X yang sebanding dengan kerapatan elektron mempunyai harga,

4. Modifikasi Metode Full wave

Solusi persamaan gelombang dapat pula dinyatakan sebagai fungsi ekponensial matriks,

) ( ~ 0 ) (_{z e} jkTiezi e = − , zi≤z≤zi+1 (8)

dengan mengambil z = zi+1 maka didapat6) ,

) ( ~ ) (z_{i 1} Q_ie z_i e ₊ = (9) yang mana Qi e jkoTi h ~ ~ ₌ − . Matriks transisi Qi ~

, bila diuraikan dalam bentuk deret maka hasilnya akan sama dengan matriks transisi

i

K~ . Substitusi persamaan (9) pada lapisan teratas hingga lapisan terbawah dan diuraikan dalam deret MacLaurin serta dituliskan kembali dalam bentuk deret integral Picard dengan h→0, diperoleh persamaan7)

,

∫

= 1 1 ) ( ~ ~ ( ) ( ₀ n-z z n I-jk T z dz z e (10)

∫

∫

− + 1 1 1 1 ) ( ) ) ( ~ ) ( ~ ) ( ₀ 2 ₁ n- n-z z z z z .e dvdz v T z T jk _L

Deret di atas akan konvergen absolut dan konvergen uniform dalam setiap lapisan tertutup yang termuat dalam rentang ketinggian z1 hingga zn. Deret tersebut juga

merupakan solusi dari persamaan gelombang (persamaan 1). Kondisi ini terpenuhi apabila matriks T~ kontinu. Linearisasi kerapatan elektron dalam lapisan yang memuat titik singular dilakukan agar integrasi matriksT~

konvergen, seperti dinyatakan oleh persamaan di bawah ini,

X = az + b (11)

Berdasarkan teori matriks nilai

∫

T~(z)dz konvergen dan suku ketiga, keempat dan berikutnya dalam persamaan (10) lambat laun menjadi kecil sehingga dapat diabaikan. Selanjutnya matriks transisi baru K~s dibangun dari persamaan (10) dalam bentuk,

∫

+ − ≡~ 1~( ) ~ 0 i i z z s dz z T jk I K (12)

Dengan mensubstitusikan persamaan (11) ke dalam persamaan (12) akan diperoleh matriks transisi yang berhingga, sehingga secara keseluruhan total medan gelombang (persamaan 4) dalam suatu rentang ketinggian dapat disusun kembali yang dinyatakan oleh persamaan berikut,

∏

+

∏

= = = 2 1 1 1 1 ) ( ~ ~ ~ ) ( j n-i i j-i s j i n K K K z z e e (13)

Solusi khusus diperoleh dari pers. (13) dengan menerapkan syarat awal dan syarat batas. Syarat awal mengasumsikan bahwa pada lapisan ke-n hanya ada dua komponen (peredaman dan penjalaran) yang dipancarkan sedangkan medium di bawah ionosfer dipandang sebagai ruang hampa, dengan demikian gelombang elektromagnetik dapat diuraikan menjadi komponen yang sejajar dan komponen tegak lurus terhadap arah penjalaran gelombang.

5. Simulasi dan Pembahasan

Untuk dapat melakukan perhitungan numerik diperlukan beberapa data masukan sebagai studi kasus seperti yang tertera dalam tabel 1.

Tabel 1. Data yang digunakan dalam simulasi Parameter Kuantitas Kerapatan elektron Eksponensial

Rentang ketinggian 70 ~ 100 [km] Sudut datang 0 [derajat] Frekuensi gelombang 10 [kHz] Frekuensi giro 1.2 [MHz] Azimuth 125 [derajat] Sudut DIP 41 [derajat] Banyak lapisan 10000,5000,

3000,1000,500

Dengan mengambil ν<<ω maka titik singular atau resonansi terjadi di sekitar ketinggian 77.8 km yang bersesuaian dengan harga kerapatan elektron pada persamaan (7). Titik singular yang terjadi pada ketinggian tersebut menyebabkan matriks transisi mempunyai harga tak berhingga sehingga tidak diperoleh solusi yang konvergen. Untuk mengetahui hal tersebut dilakukan pengambilan ketebalan lapisan yang bervariasi. Pembagian rentang ketinggian terhadap banyaknya lapisan (Tabel 1) yang digunakan dalam simulasi ini memberikan variasi ketebalan lapisan (h) yaitu 60 m, 30 m, 10 m, 6 m dan 3 m. Masing-masing ketebalan lapisan merupakan elemen yang membentuk matriks diagonal i

~ ∆

(persamaan 5). Dengan menggunakan persamaan 4, diperoleh profil amplitudo medan magnet dan medan listrik dari gelombang VLF untuk setiap ketebalan lapisan (Gambar 1a dan 1b). Perilaku amplitudo medan magnet pada arah-x, Hx, selain memperlihatkan solusi yang tidak

konvergen pada setiap ketebalan lapisan, juga berharga tak hingga di sekitar titik singular (Gambar 1a).

Gambar 1a Profil medan magnet Hx sebelum modifikasi

Hal ini disebabkan oleh karena indeks bias arah vertikal, q (mempunyai harga tak berhingga di sekitar titik singular), setara dengan perbandingan komponen medan magnet terhadap komponen medan listrik (Hx/Ex).

Penyebab lain adalah syarat batas yang digunakan dalam perhitungan ini yaitu medan gelombang datang (komponen medan listrik) sejajar dengan arah penjalaran gelombang (mode TM), sehingga pengaruh nilai q yang tak berhingga lebih dominan pada komponen medan magnet, Hx, daripada komponen medan listrik Ex (Gambar

1b).

Gambar 1b Profil medan listrik Ex modifikasi

transisi K~s, dalam lapisan yang memuat titik singular, sehingga diperoleh profil amplitudo medan magnet, Hx,

yang konvergen seperti diperlihatkan dalam Gambar 2a, meskipun ketebalan lapisan bervariasi.

Gambar 2a Profil medan magnet Hx modifikasi

Gambar 2b. Profil medan listrik Ex modifikasi

Dengan prosedur yang sama diperoleh profil amplitudo medan listrik, Ex, yang berharga tunggal

6. Kesimpulan

Modifikasi metode full wave terhadap matriks transisi yang memuat titik singular, memberikan solusi persamaan gelombang elektromagnetik yang konvergen. Modifikasi terhadap metoda tersebut memiliki akurasi yang cukup tinggi. Harga amplitudo yang tak berhingga sebagai efek resonansi pengaruhnya lebih dominan terhadap komponen medan magnet. Hal ini berkaitan erat dengan asumsi bahwa gelombang datang sejajar dengan arah penjalaran gelombang (mode TM).

Daftar Pustaka

1. Neubert, T., et al., Observations on the GEOS 1 satellite of whistler mode signals transmitted by the omega navigation system transmitter in Northern Norway, J. of Geophys. Res., 88, A5, (1983).

2. Thomas, A.S., Numerical full wave solution techniques for the calculation of low frequency plane wave fields in the ionosphere, Journal Inst. Telecom. Engrs, 12, 4, (1966).

3. Budden, K.G., Radio wave propagation in the ionosphere, Cambridge Univ. Press., London, (1985).

4. Yuji, I. And S. Horowitz, Magneto-iononic coupling in an inhomogeneous anisotropic medium, Radio Sci., 1, (1966).

5. Nagano, I., M. Mambo and G. Hutatsuishi, Numerical calculation of electromagnetic waves in an anisotropic multilayered medium, Radio Sci. , 10, 6, (1975).

6. Setiawati, T., Master thesis, study on the vicinity of resonance, Kanazawa University, Japan, (1994). 7. Gantmacher, F.R., The theory of matrices, Chelsea