Sudaryatno Sudirham. SaluranTransmisi

Saluran

Saluran

Saluran

Saluran Transmisi

Transmisi

Transmisi

Transmisi

Sudaryatno Sudirham

Saluran transmisi merupakan koridor yang harus dilalui dalam penyaluran energi listrik. Walaupun rangkaian ekivalen cukup sederhana, terdapat empat hal yang harus diperhatikan yaitu:

Resistansi konduktor,

Imbas tegangan di satu konduktor oleh arus yang mengalir di konduktor yang lain,

Arus kapasitif karena adanya medan listrik antar konduktor,

Arus bocor pada isolator.

biasanya diabaikan karena cukup kecil dibandingkan dengan arus konduktor. Namun arus bocor menjadi sangat penting dalam permasalahan isolator Saluran transmisi yang akan kita bahas adalah saluran udara,

dengan konduktor terbuka yang berarti memenfaatkan udara sebagai bahan isolasi

Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam

perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu:

Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang hampa:

H/m 10 4 7 0 0µ ≈µ = π× − µ = µ _r

Permitivitas: permitivitas elektrik udara dianggap sama dengan permitivitas ruang hampa:

F/m

36

10

9 0

ε

≈

_π

ε

=

ε

_r −

Beberapa jenis konduktor:

Aluminium: AAL (all aluminium coductor)

Aloy aluminium: AAAL (all aluminium alloy conductor)

Dengan penguatan kawat baja: ACSR (aluminium conductor steel reinforced) Data mengenai

ukuran, konstruksi,

resistansi [Ω per km], radius [cm],

GMR [cm] (Geometric Mean Radius) kemampuan mengalirkan arus [A]

dapat kita peroleh namun untuk sementara kita tidak membahasnya dalam paparan ini.

Untuk arus searah, resistansi konduktor diformulasikan: resistivitas bahan [Ω.m] panjang konduktor [m] luas penampang [m2_] A l R _dc = ρ [Ω]

C

20

pada

aga

untuk temb

m

10

77

,

1

C

20

pada

aluminium

untuk

m.

10

83

,

2

o 8 o 8

Ω

×

=

Ω

×

=

ρ

− −

Pada saluran transmisi kita memperhatikan dua hal berikut :

Arus yang mengalir adalah arus bolak-balik, yang menimbulkan efek kulit (skin effect), yaitu kecenderungan arus mengalir di pinngiran

penampang konduktor.

Konduktor saluran transmisi berupa pilinan konduktor sehingga panjang sesungguhnya konduktor lebih besar dari panjang lateral konduktor.

Tinjau satu konduktor lurus berjari-jari

r

₀, dengan panjang

l

, yang dialiri arus

i

. Menurut hukum Ampere,

medan magnet di sekitar konduktor ini adalah:

∫

Hdl =i Untuk udara: µ =µ₀µ_r ≈µ₀ = 4π×10−7 H/m r i B π µ = 2

Fluksi di luar konduktor yang melingkupi konduktor sampai di titik P yang berjarak D_kP dari konduktor adalah

i r₀ x H 0 ln 2 0 r D il Bldr kP D r luar P π µ = = λ

∫

kP D 0 r k P jarak konduktor-k sampai titik P

r

₀ : radius konduktor

Fluksi Sendiri

H_luar

H_dalam

Namun arus mengalir di seluruh penampang konduktor walaupun kerapatan arus di pusat konduktor mungkin berbeda dengan kerapatan arus di dekat permukaannya. Oleh karena itu, selain di sekitar konduktor terdapat juga medan magnet di dalam konduktor.

Untuk menyederhanakan perhitungan, maka medan magnet di sekitar

konduktor dan di dalam konduktor disatukan dengan mencari apa yang

disebut GMR (Geometric Mean Radius).

GMR merupakan radius konduktor pengganti yang kita

bayangkan merupakan konduktor ber-rongga berdinding tipis berjari-jari r_′ (yaitu GMR) dan arus mengalir di dinding konduktor berrongga ini. Dengan GMR ini, fluksi di dalam

konduktor telah tercakup dalam perhitungan.

r′ 0 r

r

D

il

_P

′

π

µ

=

λ′

_ln

1

2

Atau per satuan panjang:

r

D

i

_P

′

π

µ

=

λ

_ln

1

2

Oleh karena itu fluksi lingkup total pada konduktor adalah:

Selain fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir padanya, suatu konduktor juga dilingkupi oleh fluksi yang ditimbulkan oleh arus

yang mengalir di konduktor lain yang berdekatan dengannya.

Fluksi sendiri Fluksi bersama

Tinjau satu kelompok n konduktor yang masing-masing dialiri arus i_i.

Kelompok konduktor ini merupakan satu sistem saluran dengan:

0

2

1

+

i

+

⋅

⋅⋅

+

i

n

=

i

Konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total: ⋅⋅ ⋅ ⋅ 1 i i⋅₂ i⋅_n 2 k D ⋅⋅ ⋅ ⋅ k i

kn

kk

k

k

k

=

λ

+

λ

+

⋅

⋅⋅

+

λ

+

⋅

⋅⋅

+

λ

λ

₁

₁

Tinjau satu kelompok n konduktor dan kita hitung fluksi lingkup sampai suatu titik P:

Sampai di titik P konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total: [m] -ke konduktor GMR : [m] -ke konduktor radius : /m] [ -ke konduktor resistansi : k r k r k R k k k ′ Ω P ⋅⋅ ⋅ ⋅ 1 i i⋅₂ i⋅_n nP D 2 k D ⋅⋅ ⋅ ⋅ k i kn nP n k kP k k P k P k D D i r D i D D i D D i ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ₂ 2 2 1 1 1 π µ + ⋅⋅ ⋅ + ′ π µ + ⋅⋅ ⋅ + π µ + π µ = λ Fluksi lingkup sendiri

Untuk mencakup seluruh fluksi, titik P kita letakkan pada posisi

Dengan posisi titik P

semakin jauh maka:

D D D D D_1P ≈ _2P ⋅⋅⋅≈ _kP ⋅⋅⋅≈ _kn =

(

i₁ +i₂ +⋅ ⋅⋅+i_n

)

lnD = 0 dan

Dengan demikian fluksi lingkup konduktor-k menjadi

kn n k k k k k D i r i D i D i 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 ₂ 2 1 1 π µ + ⋅⋅ ⋅ + ′ π µ + ⋅⋅ ⋅ + π µ + π µ = λ fluksi sendiri konduktor k fluksi karena arus di

konduktor yang lain

fluksi karena arus di konduktor yang lain

Kalau kita batasi tinjauan pada sistem empat konduktor (3 fasa dan 1 netral), relasi fluksi lingkup setiap konduktor adalah:

        + + + ′ π µ = λ AN N AC C AB B A A A D i D i D i r i ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2         + + ′ + π µ = λ BN N BC C B B AB A B D i D i r i D i ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2         + ′ + + π µ = λ CN N C C AC B AC A C D i r i D i D i ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2         ′ + + + π µ = λ N N CN C BN B AN A N r i D i D i D i ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2

• • • L_AB L_BC R_C A I B I C I • L_AA L_BB L_CC L_NN L_CN L_AC L_BN L_AN N I R_A R_B R_N A B C N N_′ C_′ B_′ A_′

Dengan adanya fluksi lingkup di setiap konduktor maka selain resistansi, setiap konduktor juga mengandung induktansi. Untuk saluran 4 konduktor

(3 konduktor fasa dan 1 netral) dengan panjang tertentu kita memiliki rangkaian ekivalen seperti berikut:

(

A AA

)

A AB B AC C AN N A A

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

(

B BB

)

B AB A BC C BN N B B

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

(

C CC

)

C AC A BC B CN N C C

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

(

N NN

)

N AN A BN B CN C N N

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

• • • L_AB L_BC R_C A I B I C I • L_AA L_BB L_CC L_NN L_CN L_AC L_BN L_AN N I R_A R_B R_N A B C N N_′ C_′ B_′ A_′ N A AN N N A A ′

−

V

′

=

V

−

V

′ ′

V

Jika konduktor N digunakan sebagai referensi, maka:

N B BN N N B B ′

−

V

′

=

V

−

V

′ ′

V

N C CN N N C C ′

−

V

′

=

V

−

V

′ ′

V

C AC AN B AB AN A A AN A A N AN C AC B AB A A A A A A D D j D D j r D j R D j D j D j r j R I I I I I I I I I V ln 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 π µ ω + π µ ω + ′ π µ ω + = π µ ω + π µ ω + π µ ω + ′ π µ ω + = ′ C N CN N B N BN N A N AN N C CN B BN A AN N N N N N R D r j R D r j R D r j D j D j D j r j R I I I I I I I V         − ′ ω +         − ′ ω +         − ′ ω = ω + ω + ω +       ′ ω + = ′ ln ln ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln         π µ + π µ + π µ + ′ π µ = λ AN N AC C AB B A A A D i D i D i r i ln 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 Karena maka         ′ + + + π µ = λ N N CN C BN B AN A N r i D i D i D i ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2 Karena maka N A AN C N AC CN AN N B N AB BN AN N A N A AN N A N N A A

r

D

D

D

j

R

r

D

D

D

j

R

r

r

D

j

R

R

′ ′ ′ ′

−

=

















′

π

µ

ω

+

+

















′

π

µ

ω

+

+

















′

′

π

µ

ω

+

+

=

−

V

V

I

I

I

V

V

ln

2

ln

2

ln

2

2 Jadi:

• • • L_AB L_BC R_C A I B I C I • L_AA L_BB L_CC L_NN L_CN L_AC L_BN L_AN N I R_A R_B R_N A B C N N_′ C_′ B_′ A_′ C N AC CN AN N B N AB BN AN N A N A AN N A N A AN r D D D j R r D D D j R r r D j R R I I I V V _      ′ π µ ω + +       ′ π µ ω + +         ′ ′ π µ ω + + = − _{′ ′} ln 2 ln 2 ln 2 2 Impedansi bersama Z_mB

Impedansi sendiri Z_{sA Impedansi bersama Z} mC C N BC CN BN N B N B BN N B A N BA AN BN N N B BN r D D D j R r r D j R R r D D D j R I I I V V _       ′ π µ ω + +         ′ ′ π µ ω + + +         ′ π µ ω + = − _{′ ′} ln 2 ln 2 ln 2 2 Impedansi sendiri Z_sB

Impedansi bersama Z_mA Impedansi bersama Z_mC

C N C CN N C B N CB BN CN N A N AB BN AN N N C CN r r D j R R r D D D j R r D D D j R I I I V V _       ′ ′ π µ ω + + +       ′ π µ ω + +       ′ π µ ω + = − _{′ ′} ln 2 2 ln 2 ln 2 Impedansi sendiri Z_sC Impedansi bersama Z_mA Impedansi bersama ZmB

• • • L_AB L_BC R_C A I B I C I • L_AA L_BB L_CC L_NN L_CN L_AC L_BN L_AN N I R_A R_B R_N A B C N N_′ C_′ B_′ A_′

Dalam bentuk matriks









































=





















−





















′ ′ ′ C B A sC mB mA mC sB mA mC mB sA A B A C B A

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

I

I

I

V

V

V

V

V

V

[

ABC

]

ABC ABC ABC

V

Z

I

V

~

−

~

′

=

~

Matriks komponen simetris:

V

~

₀₁₂

−

V

~

₀₁₂

′

=

[

Z

₀₁₂

]

~

I

₀₁₂

CONTOH:

Satu seksi saluran sepanjang

l

dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga

B A C N D D_AB = D D_BC = D D_CA = 3 D D D D_AN = _BN = _CN = R R R R_A = _B = _C = r r r r_A′ = _B′ = _C′ = ′ r r r r_A = _B = _C =









































=





















−





















′ ′ ′ C B A sC mB mA mC sB mA mC mB sA C B A C B A

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

l

l

I

I

I

V

V

V

V

V

V

1

1

Dinyatakan per satuan panjang

/m ln 2 2 Ω ′ ′ π µ ω + + = = = = N N s sC sB sA r r D j R R Z Z Z Z /m 3 ln 2 3 ln 2 3 / ln 2 ln 2 2 Ω ′ π µ ω + = = = = ′ π µ ω + = ′ π µ ω + = ′ π µ ω + = N N m mC mB mA N N N N N AB BN AN N mA r D j R Z Z Z Z r D j R r D D j R r D D D j R Z

[

] [ ] [

][ ]

          =           − − + = = − 2 1 0 1 012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z m s m s m s ABC T T

( )

3 4 2 0 27 ln 2 3 3 ln 2 2 ln 2 2 N N N N N N m s r r D j R R r D j R r r D j R R Z Z Z ′ ′ π µ ω + + =         ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = + = r D j R r D j R r r D j R R Z Z Z Z N N N N m s ′ π µ ω + = ′ π µ ω − − ′ ′ π µ ω + + = − = = 3 ln 2 3 ln 2 ln 2 2 2 1

A A′ B C N B′ C′ 3 / l 3 / l l/3 1 AN D 2 AN D 3 AN D R R R R_A = _B = _C = : Misalkan r_A′ = r_B′ = r_C′ = r′

(

)

₁

(

)

₂

(

)

₃ 3 3 3 AN AN AN AN AN AN N A AN V V l V V l V V l V V − _{′ ′} = − _{′ ′} + − _{′ ′} + − _{′ ′}

(

)

C N AB CA AC CN AN CN AN CN AN N B N CA BC AB BN AN BN AN BN AN N A N A AN AN AN N A N A AN r D D D D D D D D D j R r D D D D D D D D D j R r r D D D j R R l I I I V V         ′ π µ ω + +         ′ π µ ω + +         ′ ′ π µ ω + + = − ′ ′ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 ln 2 3 3 1 ln 2 3 3 1 ln 2 3 3 3 1 1

Jika didefinisikan 3 3 3 2 1 AN AN dan e AB BC CA AN x D D D D D D D D = =

(

)

C N AB CA AC CN AN CN AN CN AN N B N CA BC AB BN AN BN AN BN AN N A N A AN AN AN N A N A AN r D D D D D D D D D j R r D D D D D D D D D j R r r D D D j R R l I I I V V               ′ π µ ω + +               ′ π µ ω + +                   ′ ′ π µ ω + + = − _{′ ′} 3 / 1 3 3 2 2 1 1 3 / 1 3 3 2 2 1 1 3 / 1 2 3 2 1 2 1 ln 2 ln 2 ln 2 1 maka:

(

)

C N e x N B N e x N A N A x N A N A AN r D D j R r D D j R r r D j R R l V V I I I                ′ π µ ω + +                   ′ π µ ω + +                 ′ ′ π µ ω + + = − _{′ ′} 2 3 / 1 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 N x N s r r D j R R Z ′ ′ π µ ω + + = ln 2 2 _{e N} x N m r D D j R Z ′ π µ ω + = ln 2 2

( )

/m ln 2 3 2 3 2 6 0 Ω ′ ′ π µ ω + + = + = N e x N m s r r D D j R R Z Z Z /m ln 2 2 1 _{π ′} Ω µ ω + = − = = r D j R Z Z Z Z _{s m} e

CONTOH: Tentukan impedansi urutan positif saluran tansmisi: 4,082 m 4,082 m 230 KV L-L I rated 900 A r = 1,35 cm r’ = gmr = 1,073 cm R = 0,088 Ω / km /km 3877 , 0 088 , 0 01073 , 0 143 , 5 ln 2 10 4 ) 314 ( 88 , 0 ln 2 Z 314 100 : Hz 50 frekuensi Untuk H/km 10 4 H/m 10 4 : udara Untuk m 143 , 5 164 , 8 082 , 4 082 , 4 4 1 4 7 3 Ω + = π × π + = ′ π µ ω + = = π = ω × π = × π = µ = × × = − − − j j r D j R D e e

Jika konduktor lurus kita anggap tak hingga panjangnya dan mengandung muatan dengan kerapatan ρ, maka geometri untuk penerapan hukum Gauss menjadi sederhana. Bidang equipotensial di sekitar konduktor akan berbentuk silindris. Displacement dan kuat

medan listrik di suatu titik berjarak x dari konduktor adalah

x

E

_x

πε

ρ

=

2

Beda potensial antara

titik A yang berjarak x_A dari konduktor dan titik B yang berjarak x_B dari konduktor

adalah A B x x x x AB

x

x

dx

x

Edx

v

B A B A

ln

2

2

πε

ρ

=

πε

ρ

=

=

∫

∫

A x_A B x_B

x

D

_x

π

ρ

=

2

Tinjau konduktor

a

dengan radius

r

_a

bermuatan

ρρρρ

_a

dan dua konduktor lain

i

dan

j

yang tidak bermuatan

i D_ik

j k, r_{k ,} ρ_k

D_jk

Ini adalah beda potensial konduktor

i

dan

j

yang

diakibatkan oleh adanya muatan di konduktor

a

ik jk k k jk ik k k kj ik ij

D

D

r

D

D

r

v

v

v

k k k

ln

2

ln

ln

2

πε

ρ

=

















+

πε

ρ

=

+

=

_{ρ ρ} ρ ik jk k ij

D

D

v

k

ln

2

πε

ρ

=

ρ

Ini menjadi

formula umum

D_ab a, r_{a ,} ρ_a D_ac D_bc c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b c b a ab ab ab ab v v v v = _ρ + _ρ + _ρ ac bc c ab D D v c ln 2πε ρ = ρ aa ba a ab D D v a ln 2πε ρ = ρ ab bb b ab D D v b ln 2πε ρ = ρ         ρ + ρ + ρ πε = ac bc c ab b b a ab a ab D D D r r D v ln ln ln 2 1

Tinjau sistem 3 konduktor

a, b, c

ik jk k ij

D

D

v

k

ln

2

πε

ρ

=

ρ

Formula umum: Merupakan superposisi dari

v_ab oleh pengaruh ρ_a , ρ_b , ρ_c

seandainya konduktor a dan

ba ca a bc D D v a ln 2πε ρ = ρ bb cb b bc D D v b ln 2πε ρ = ρ bc cc c bc D D v c ln 2πε ρ = ρ         ρ + ρ + ρ πε = bc c c b bc b ab ac a bc D r r D D D v ln ln ln 2 1 D_ab a, r_{a ,} ρ_a D_ac D_bc c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b c b a bc bc bc bc

v

v

v

v

=

_ρ

+

_ρ

+

_ρ

sistem 3 konduktor

a, b, c

ik jk k ij

D

D

v

k

ln

2

πε

ρ

=

ρ Formula umum:

D_ab a, r_{a ,} ρ_a D_ac D_bc c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b c b a ca ca ca ca v v v v = _ρ + _ρ + _ρ ca aa a ca D D v a ln 2πε ρ = ρ cb ab b ca D D v b ln 2πε ρ = ρ cc ac c ca D D v c ln 2πε ρ = ρ         ρ + ρ + ρ πε = c ac c bc ab b ca aa a ca r D D D D D v ln ln ln 2 1

sistem 3 konduktor

a, b, c

ik jk k ij

D

D

v

k

ln

2

πε

ρ

=

ρ Formula umum:

Tinjau sistem empat konduktor

a, b, c, n.

n c b a an an an an an

v

v

v

v

v

=

_ρ

+

_ρ

+

_ρ

+

_ρ c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b a, r_{a ,} ρ_{a n, rn ,} ρ_n aa na a an D D v a ln 2πε ρ = ρ ab nb b an D D v b ln 2πε ρ = ρ ac nc c an D D v c ln 2πε ρ = ρ an nn n an D D v n ln 2πε ρ = ρ         ρ + ρ + ρ + ρ πε = an n n ac cn c ab bn b a an a an D r D D D D r D v ln ln ln ln 2 1 ik jk k ij

D

D

v

k

ln

2

πε

ρ

=

ρ Formula umum:

n c b a in in in in in

v

v

v

v

v

=

_ρ

+

_ρ

+

_ρ

+

_ρ c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b a, r_{a ,} ρ_{a n, rn ,} ρ_n         ρ + ρ + ρ + ρ πε = an n n ac cn c ab bn b a an a an D r D D D D r D v ln ln ln ln 2 1         ρ + ρ + ρ + ρ πε = bn n n bc cn c b bn b ba an a bn D r D D r D D D v ln ln ln ln 2 1         ρ + ρ + ρ + ρ πε = cn n n c cn c cb bn b ca an a cn D r r D D D D D v ln ln ln ln 2 1 0 ln ln ln ln 2 1 =         ρ + ρ + ρ + ρ πε = nn nn n cn cn c bn bn b an an a nn D D D D D D D D v

sistem empat konduktor

a, b, c, n.

n

c

b

a

c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b a, r_{a ,} ρ_{a n, rn ,} ρ_n         ρ + ρ + ρ + ρ πε = an n n ac cn c ab bn b a an a an D r D D D D r D v ln ln ln ln 2 1         ρ + ρ + ρ + ρ πε = bn n n bc cn c b bn b ba an a bn D r D D r D D D v ln ln ln ln 2 1         ρ + ρ + ρ + ρ πε = cn n n c cn c cb bn b ca an a cn D r r D D D D D v ln ln ln ln 2 1

sistem empat konduktor

a, b, c, n.

ρρρρ

n

dapat di-ganti melalui konservasi muatan

0 = ρ + ρ + ρ + ρ_{a b c n} ρ_n = −

(

ρ_a +ρ_b +ρ_c

)

c, r_{c ,} ρ_c b, r_{b ,} ρ_b a, r_{a ,} ρ_{a n, rn ,} ρ_n         ρ + ρ + ρ πε = n ac cn an c n ab bn an b n a an a an r D D D r D D D r r D v ln ln ln 2 1 2         ρ + ρ + ρ πε = n bc cn bn c n b bn b n ba bn an a bn r D D D r r D r D D D v ln ln ln 2 1 2         ρ + ρ + ρ πε = n c cn c n cb bn cn b n ca an cn a cn r r D r D D D r D D D v 2 ln ln ln 2 1

Yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks

          ρ ρ ρ                     πε πε πε πε πε πε πε πε πε =           c b a n c cn n cb bn cn n ca an cn n bc cn bn n b bn n ba an bn n ac cn an n ab bn an n a an c b a r r D r D D D r D D D r D D D r r D r D D D r D D D r D D D r r D v v v ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 2 2           ρ ρ ρ           =           c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a f f f f f f f f f v v v

[ ]

abc abc abc

F

ρ

v

~

~

₌

c b a j i r D D D f n ij jn in ij , , , ln 2 1 = πε =

Untuk tegangan sinus keadaan mantap:

                    =           c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a f f f f f f f f f ρ ρ ρ V V V                     =           − c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a f f f f f f f f f V V V ρ ρ ρ 1

[ ]

abc abc

[

abc

]

abc

abc

F

V

C

V

ρ

~

~

~

₌

-1

₌

[

C

_abc

] [ ]

=

F

_abc -1

F/m

[

Y

abc

]

=

j C

ω

[

abc

]

Kita ingat untuk kapasitor Q = C V

[

Y

abc

]

=

j C

ω

[

abc

]

Admitansi

[

C

_abc

] [ ]

=

F

_abc -1

F/m

Inversi matriks ini menyulitkan kita untuk menghitung langsung

[

C

abc

]

maupun

[

Y

abc

]

Yang lebih mudah kita peroleh langsung dari rangkaian adalah

[ ]





















=

cc cb ca bc bb ba ac ab aa abc

f

f

f

f

f

f

f

f

f

F

Oleh karena itu kita mencari

[ ] [ ] [ ][ ]

F

₀₁₂

=

T

−1

F

_abc

T

yang akan memberikan

[

] [ ]

1

012 012

=

F

−

C

Contoh:

Satu seksi saluran sepanjang

l

dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga

b a c N D D_ab = D D_bc = D D_ca = 3 D D D D_an = _bn = _cn =

r

r

r

r

_a

=

_b

=

_c

=

[ ]

F

_abc

=

?

[ ]

F

₀₁₂

=

?

[

C

₀₁₂

]

=

?

D D D D_ab = _bc = _ca =

[ ]

          =                     πε = s m m m s m m m s n n n n n n n n n abc f f f f f f f f f r r D Dr D Dr D Dr D r r D Dr D Dr D Dr D r r D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln 2 1 F c b a j i r D D D f n ij jn in ij , , , ln 2 1 = πε = formula umum

r

r

D

f

n s

3

ln

2

1

2

πε

=

n m

r

D

f

3

ln

2

1

πε

=

Kita ingat matriks simetris

[ ] [ ] [ ][ ]





















=

=

− 2 1 0 1 012

0

0

0

0

0

0

f

f

f

abc

T

F

T

F

di mana

r

r

D

f

f

f

n m s

27

ln

2

1

2

4 0

=

+

=

_πε

r

D

f

f

f

_{s m}

ln

2

1

1

=

−

=

_πε

r

D

f

f

f

_{s m}

ln

2

1

2

=

−

=

_πε

[ ]

F

012 yang merupakan matriks simetris dengan mudah memberikan

[

] [ ]





















=





















=

=

− 2 1 0 2 1 0 1 012 012

0

0

0

0

0

0

/

1

0

0

0

/

1

0

0

0

/

1

C

C

C

f

f

f

F

C

(

4 3

)

0

27

/

ln

2

n

rr

D

C

=

πε

(

D

r

)

C

/

ln

2

1

πε

=

₍

₎

r

D

C

/

ln

2

2

πε

=

(

4 3

)

0

27

/

ln

2

n

rr

D

Y

=

πεω

(

D

r

)

Y

/

ln

2

1

πεω

=

₍

₎

r

D

Y

/

ln

2

2

πεω

=

[ ]

          = s cb m m s m m m s abc f f f f f f f f f F

( ) ( ) ( )

[

]

j i f f j i f f f f f f ij m ij s ij ij ij ij ≠ = = = + + = jika jika 3 1 3 2 1 A B C N 3 / l 3 / l l/3 3 / 1 3 3 2 3 2 2 2 1 3 3 2 3 2 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 3 1         πε = πε × = n an an an n an an an s r r D D D r r D D D f 3 / 1 3 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 1 ln 2 1 ln 2 1 3 1         πε = πε × = n ca bc ab an cn cn bn bn an n ca bc ab an cn cn bn bn an m r D D D D D D D D D r D D D D D D D D D f c b a j i r D D D f n ij jn in ij , , , ln 2 1 = πε = formula umum

Telah didefinisikan 3 3 3 2 1 an an dan e ab bc ca an x D D D D D D D D = = n e x m r D D f 2 ln 2 1 πε = n x s rr D f 2 ln 2 1 πε = 3 2 6 0

ln

2

1

2

n e x m s

rr

D

D

f

f

f

πε

=

+

=

r

D

f

f

f

f

_{s m}

ln

e

2

1

2 1

=

=

−

=

_πε

F/m

)

/

ln(

2

1

3 2 6 0 0 n e x

D

rr

D

f

C

=

=

πε

F/m ) / ln( 2 1 1 2 1 r D f C C e πε = = = S/m 0 0 = jωC Y S/m 1 1 = jωC Y

Konstanta Propagasi

Impedansi Karakteristik

Impedansi : Ω / m Admitansi : S / m

Yang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang.

Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran transmisi.

Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan admitansi.

Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang saluran akan terjadi penurunan tegangan dan penurunan arus

Tinjau saluran transmisi (dua konduktor) ujung kirim ujung terima suatu posisi x dihitung dari ujung terima x

Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung terima diketahui, berapakah tegangan dan arus

di posisi berjarak x dari ujung terima?

Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi

s V Tegangan ujung kirim r V Tegangan ujung terima r I Arus di ujung terima

Tinjau jarak sempit ∆x pada posisi x dari ujung kirim r V s V x r I x I x V x ∆ x x+∆ I x x+∆ V x x Y∆ V x x Z∆ I

panjang

satuan

per

admitansi

:

panjang

satuan

per

impedansi

:

Y

Z

_{dalam jarak ∆x ini terdapat}

impedansi dan admitansi sebesar:

x

Z∆ Y∆x

Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh

dan arus antar kedua konduktor sebesar ∆I_x =Y∆x V_x sehingga

x x Z x I V = ∆ ∆ x x x x

V

Z

x

I

V

_+∆

=

+

∆

x x x x

_Z

x

I

V

V

=

∆

−

∆ + atau x x x x

I

Y

x

I

I

_+∆

=

−

∆

x x x x

_Y

x

I

I

I

−

=

∆

−

∆ + atau dan

x x _Z dx d I V = x _{Y x} dx d V I − = dx d Z dx d V_x I_x = 2 2 dx d Y dx d I_x V_x − = 2 2 x x _ZY dx d V V = 2 2 x x _YZ dx d I I − = 2 2 dan persamaan orde ke-dua substitusi dx d dx dI_x V_x dan

Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan orde ke-dua ini faktor YZ muncul di keduanya.

ZY = γ2 _atau ZY = γ

Jika ∆x → 0, kita tuliskan persamaan orde pertama:

konstanta propagasi

ZY

=

γ

Konstanta Propagasi:

Karena Z maupun Y adalah bilangan-bilangan kompleks, maka γ juga bilangan kompleks:

β + α =

γ j

Konstanta redaman Konstanta fasa menyebabkan

penurunan amplitudo gelombang karena

desipasi daya

sepanjang transmisi. Nilai α terkait dengan

resistansi saluran

menyebabkan perubahan fasa dan

bentuk gelombang terkait dengan perubahan induktansi

dan kapasitansi sepanjang saluran

CONTOH:

Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:

/km 4654 , 0 088 , 0 + Ω = j Z dan Y = j3,524 µS/km

Hitung konstanta propagasi γ.

km

per

10

)

2863

,

1

1205

,

0

(

84,6

1,292

10

3

,

169

67

,

1

10

90

524

,

3

3

,

79

474

,

0

10

524

,

3

)

4654

,

0

088

,

0

(

10

)

10

524

,

3

)(

4654

,

0

088

,

0

(

3 o 3 -o 3 o o 3 3 6 − − − − −

×

+

=

∠

×

=

∠

=

∠

×

∠

=

×

+

=

×

+

=

=

γ

j

j

j

j

j

ZY

S/km 10 524 3 S/km 524 , 3 µ = × −6 = j j , Y Penyelesaian:

Dengan konstanta propagasi γ2 = ZY x x _ZY dx d V V = 2 2

Persamaan tegangan orde ke-2:

persaman tersebut menjadi

x x dx d V V ₂ 2 2 γ = 2 0 2 2 = γ − x x dx d V V Persaman karakteristik: s2 −γ2 = 0→ s = ±γ Solusi: V_x = K₁eγx + K₂e−γx r x V V =

yang untuk x = 0, yaitu di ujung kirim:

2 1 K K r = + V x x _Z dx d I V = x _{K e} x _{K e} x dx d _{γ −γ} γ − γ = _{1 1} V _{= γ − γ} 2 1 K K ZI_r 2 1 K K Z _r − = γ I

Solusi Persamaan Tegangan

2 1 K K r = + V 2 1 K K Z _r − = γ I 1 2K Z _r r + _γ = I V 1 2 K Z _r r = γ + I V 2 2K Z _r r − _γ = I V 2 2 K Z _r r = γ − I V ) sinh( ) cosh( 2 2 2 2 2 1 x Z x e e Z e e e Z e Z e K e K r r x x r x x r x r r x r r x x x γ γ + γ = − γ + + = γ − + γ + = + = γ − γ γ − γ γ − γ γ − γ I V I V I V I V V maka ) sinh( ) cosh( x Z _r x r x = V γ + _γ I γ V

Persamaan tegangan orde pertama x Z _x menjadi dx d I V = ) cosh( ) sinh( 2 2 x Z x e e Z e e Z dx d r r x x r x x r x x γ + γ γ = γ + γ γ + γ − γ = = γ −γ γ −γ I V I V I V

atau _{sinh( x) cosh( x)}

Z r r

x γ + γ

γ

= V I

I

Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, yaitu:

) sinh( ) cosh( x Z _r x r x = V γ + _γ I γ V ) cosh( ) sinh( x x Z r r x γ + γ γ = V I I

) sinh( ) cosh( x Z _r x r x = V γ + _γ I γ V sinh( x) cosh( x) Z r r x γ + γ γ = V I I

Kita perhatikan persamaan tegangan dan arus:

tegangan arus

Ini harus merupakan admitansi

arus tegangan arus Ini harus merupakan

impedansi

Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik

Impedansi Karakteristik

Y

Z

ZY

Z

Z

Z

_c

=

=

γ

=

Perhatikan: Z adalah impedansi per satuan panjang Y adalah admitansi per satuan panjang Z_c adalah impedansi karakteristik

CONTOH:

Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:

/km 4654 , 0 088 , 0 + Ω = j Z dan Y = j3,524 µS/km

Hitung Impedansi Karakteristik.

S/km 10 524 3 S/km 524 , 3 µ = × −6 = j j , Y Ω − ∠ = ∠ ∠ × = × + = = ₋ 35 , 5 6 , 366 90 3,524 3 , 79 584 , 1 10 10 524 , 3 4654 , 0 088 , 0 o o o 3 6 j j Y Z Z_c Penyelesaian:         Ω = Ω = Ω = = : Catatan 2 S Y Z Z_c

Apabila d adalah jarak antara ujung kirim dan ujung terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat

kita peroleh dengan mengantikan x dengan d pada relasi di atas: ) sinh( ) cosh( d Z_{c r} d r s = V γ + I γ V

)

cosh(

)

sinh(

d

d

Z

_c r r s

=

γ

+

I

γ

V

I

Dengan menggunakan impedansi karakteristik Z_c sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi:

) sinh( ) cosh( x Z_{c r} x r x = V γ + I γ V

)

cosh(

)

sinh(

x

x

Z

_c r r x

=

γ

+

I

γ

V

I

Rangkaian Ekivalen

Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima dan ujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang telah kita peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan

lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan saluran transmisi dalam sebuah

Kita tinjau rangkaian ekivalen π seperti berikut:

Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi

tergumpal

Z_t dan Y_t.

r V s V r I 2 e Y t Z 2 t Y s I r t r t t r t r t r s Z Y Z Y Z I V V I V V +       + =       + + = 2 1 2 r t t r t r t r t t t r t r s t r t r s Y Z Y Z Y Z Y Z Y Y Y Y I V I V V I V V I I       + +         + =       +       + + + = + + = 2 1 4 2 1 2 2 2 2 2

Rangkaian Ekivalen

ππππ

Dengan demikian untuk rangkaian ekivalen π kita peroleh persamaan: r t r t t s Z Y Z I V V  +      + = 2 1 I_s Y_t ZtYt V_r ZtYt I_r      + +         + = 2 1 4 2 ) sinh( ) cosh( d Z_{c r} d r s = V γ + I γ V Jika kita perbandingkan persamaan

tegangan ini dengan persamaan tegangan sebelumnya, yaitu

dan

Z

_t

=

Z

_c

sinh( d

γ

)

) cosh( 2 1+ ZtYt = γd ) sinh( 1 ) cosh( 1 ) cosh( 2 1 ) cosh( 2 d Z d Z d Y d Y Z c t t t t γ − γ = − γ = → − γ =













γ

=

2

tanh

2

d

Z

Y

c t

Z_t dan Y_t adalah “nilai tergumpal” impedansi dan admitansi saluran

kita dapatkan       γ = γ = 2 tanh ) sinh( 1 2 d d Z Y_{t c}

Jadi dalam rangkaian ekivalen π r V s V r I 2 t Y t Z 2 t Y s I

)

sinh( d

Z

Z

_t

=

_c

γ













γ

=

2

tanh

2

d

Z

Y

c t

kirim

ujung

dan

terima

ujung

jarak

=

d

tik

karakteris

impedansi

=

c

Z

Catatan Tentang Fungsi Hiperbolik Kompleks

Kita mengetahui bahwa

2 sinh x x e e x − − = Jika

x

=

a

+

jb

maka: 2 2 ) sinh( ) ( ) (a jb a jb a jb a jb e e e e e e jb a − − + − + ₋ = − = + b j b e b j b

e jb = cos + sin dan − jb = cos − sin

Kita dapat menuliskan

sehingga b a j b a b e e j b e e b j b e b j b e jb a a a a a a a sin cosh cos sinh sin 2 ) ( cos 2 ) ( 2 ) sin (cos ) sin (cos ) sinh( + = + + − = − − + = + − − −

Dengan cara yang sama kita dapatkan

b a j b a jb

a ) cosh cos sinh sin

cosh( + = + Sedangkan ) cosh( ) sinh( ) tanh( jb a jb a jb a + + = +

Diagram fasor sumber tiga fasa

Sumber terhubung Y

Keadaan Seimbang

B

A

C

N

V

_AN

V

_BN

V

_CN

−

+

+

−

−

+

Diagram fasor tegangan

120

o

120

o

Im

Re

CN V BN V o o o 240 120 0 − ∠ = − ∠ = ∠ = CN CN BN BN AN AN V V V V V V CN BN AN V V V = =

Beban Terhubung

Y,

V_ff N A B C Z = R + j X Z = R + j X Z = R + j X N I A

I

B

I

C

I

Beban Terhubung

∆∆∆∆

,

V_ff A B C Z = R + j X Z = R + j X Z = R + j X A

I

B

I

C

I