Statistika
• Mampu bersikap kritis dalam menghadapi permasalahan dan menyelesaikannya. • Mampu menjelaskan istilah-istilah dalam statistika.
• Mampu menjelaskan cara mengumpulkan data. • Mampu membaca data dalam bentuk tabel dan diagram. • Mampu menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram. • Mampu menjelaskan arti mean, median, dan modus.
• Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data tunggal. • Mampu menghitung nilai, mean, median, dan modus data berkelompok. • Mampu menghitung nilai kuartil data tunggal.
• Mampu menghitung nilai kuartil data berkelompok. • Mampu menghitung nilai persentil data tunggal. • Mampu menghitung nilai persentil data berkelompok.
• Mampu menghitung jangkauan, jangkauan antarkuartil, dan simpangan kuartil data tunggal dan data berkelompok.
• Mampu menghitung simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tunggal dan data berkelompok. Membaca dan Menyajikan
Data
Ukuran Pemusatan Data dan
Penafsirannya Ukuran Letak Data danPenafsirannya Ukuran Penyebaran Data danPenafsirannya
• Penyajian data • Mean
• Median • Modus • Kuartil • Persentil • Jangkauan • Simpangan kuartil • Simpangan baku
Banyak Pengunjung 18 10 12 14 13 67 Usia (Tahun) 10–13 14–17 18–21 22–25 26–29 Jumlah A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d
Titik tengah kelas interval 61–67 = 21 × (61 + 67)
= 21 × 128 = 64
2. Jawaban: b
Kelas interval kedua adalah 47–53. Kelas interval ketiga adalah 54–60.
Tepi atas kelas interval 47–53 adalah 53,5. Tepi bawah kelas interval 54–60 adalah 53,5. Dengan demikian, tepi kelas 53,5 sebagai tepi atas kelas interval kedua dan sekaligus sebagai tepi bawah kelas interval ketiga.
3. Jawaban: a
Jumlah siswa = 9 + 9 + 7 + 7 + 4 = 36
Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 60 = 7 + 4 = 11.
Persentase banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 60 kg = 3611 × 100%
= 30,555. . .% ≈ 30,56% 4. Jawaban: b
Misalkan Burhan memasukkan bola ke dalam ring sebanyak n kali.
Jumlah frekuensi bola masuk ke dalam ring = 130. ⇔ 15 + 18 + 19 + 15 + n + 15 + 14 + 16 = 130
⇔ 112 + n = 130
⇔ n = 18
Jadi, Burhan memasukkan bola ke dalam ring sebanyak 18 kali.
5. Jawaban: b
Selisih banyak lulusan yang diterima di perguruan tinggi negeri tahun 2010 dan 2012 = 60 – 40 = 20 siswa.
6. Jawaban: e
Berdasarkan diagram di atas, titik tertinggi terjadi pada tahun 2014, yaitu sebanyak 60 siswa. 7. Jawaban: b
Jumlah siswa kelas XI = 36090°° × 100 = 400 orang TNI/polri = 360° −108360° −°90° −135° × 400 = 36027°° × 400 = 30 orang Wiraswasta = 90 360 ° ° × 100% = 25% PNS = 108360°° × 400 = 120 orang
Selisih banyak orang tua siswa bekerja sebagai PNS dan pedagang = 135 108 360 ° − ° ° × 400 = 2730 = 30 orang 8. Jawaban: c
Jadi, banyak pengunjung yang berusia kurang dari 30 tahun 67 orang.
9. Jawaban: e
Poligon frekuensi merupakan diagram yang menyajikan titik-titik tengah nilai data.
Titik tengah 152–157 = 12(152 + 157) = 154,5
Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6. Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan 152–157 cm ada 6 anak.
10. Jawaban: e
Ogive di atas merupakan ogive positif (kurang dari). Banyak siswa yang berat badannya kurang dari 55,5 kg ada 7 anak.
Banyak siswa yang berat badannya kurang dari 60,5 kg ada 13 anak.
55,5 merupakan tepi bawah dan 60,5 merupakan tepi atas. Dengan demikian kelas intervalnya 56–60.
Banyak siswa yang berat badannya 56–60 kg = 13 – 7 = 6 anak.
B. Uraian
1. Jawaban:
a.
Dari tabel kenaikan penjualan buku di atas, terlihat kenaikan penjualan tertinggi terjadi pada bulan Mei–Juni, yaitu sebanyak
Kenaikan Penjualan (Eksemplar) 120 –100 = 20 110 – 95 = 15 105 – 80 = 25 Bulan Januari–Februari Maret–April Mei–Juni
Frekuensi Panjang Bambu (m) 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 3,15 4,55 5,95 7,35 17,5 Titik Tengah 3,15 4,55 5,95 7,35 17,5 Panjang Bambu (m) 2,5–3,8 3,9–5,2 5,3–6,6 6,7–8,0 8,1–9,4 Frekuensi 12 16 11 15 20
b. Banyak penjualan buku pada bulan April = 110 eksemplar.
Banyak penjualan buku pada bulan Mei = 80. Persentase penurunan penjualan buku pada bulan April–Mei = 110 80 110 − × 100% = 30 110 × 100% ≈ 27,27% 2. Misalkan:
Hasil panen ikan dari kolam III = 3n. Hasil panen ikan dari kolam VI = 5n.
Jumlah hasil panen ikan dari keenam kolam = 72 kuintal.
⇔ 8 + 6 + 3n + 16 + 10 + 5n = 72
⇔ 40 + 8n = 72
⇔ 8n = 32
⇔ n = 4
Hasil panen ikan dari kolam III = 3n = 3 × 4 = 12 kuintal Hasil panen ikan dari kolam VI = 5n = 5 × 4 = 20 kuintal
Jadi, banyak hasil panen ikan dari kolam III dan VI berturut-turut 12 kuintal dan 20 kuintal. 3. SD = 1005 × 3.600 = 180 orang SMP = 10020 × 3.600 = 720 orang SMA = 100 5 20 20 25− −100− − × 3.600 = 10030 × 3.600 = 1.080 orang SMK = 10020 × 3.600 = 720 orang
Perguruan Tinggi = 10025 × 3.600 = 900 orang 4.
5.
Tabel distribusi frekuensi:
Histogram: f 19 – 17 = 2 17 – 14 = 3 14 – 9 = 5 9 – 7 = 2 7 – 0 = 7 Nilai 41–45 46–50 51–55 56–60 61–65 fk 19 17 14 9 7 Nilai 41–45 46–50 51–55 56–60 61–65 f 2 3 5 2 7 f 7 5 3 2 Nilai 40,5 45,5 50,5 55,5 60,6 65,6
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b
Modus data pada diagram batang ditunjukkan dengan batang paling tinggi.
Usia 6 tahun mempunyai batang paling tinggi, maka modus data = 6.
2. Jawaban: c
Banyak data = 30.
Oleh karena banyak data genap maka: Me = 12(nilai data ke-n2 + nilai data ke-(n2 + 1))
= 12(nilai data ke-302 + nilai data ke-(302 + 1)) = 12(nilai data ke-15 + nilai data ke-16) = 21(6 + 7) = 6,5 tahun
Jadi, median data adalah 6,5 tahun. 3. Jawaban: c x– = i i i f · x f ∑ ∑ = 7 5 8 6 3 7 5 8 4 9 3 10× + × + × + × + × + ×30 = 35 48 21 40 36 30+ + +30 + + = 21030 = 7 tahun
Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis di sanggar tersebut 7 tahun.
4. Jawaban: d
Rata-rata hasil panen teh = 75.000
⇔ (700 n 950 n 750 900) 100+ + + +6 + × = 75.000
⇔ 3.300 2n6+ = 750
⇔ 3.300 + 2n = 4.500
⇔ n = 1.200
⇔ n = 600
Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton. Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton.
Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 60.00060.000− × 100%
= 60.00035.000 × 100% ≈ 58,3%
5. Jawaban: d
Me= nilai data ke- 32 1 2
+
= nilai data ke-16,5
Nilai data ke-16,5 terletak pada kelas interval 30–39. Me= L + Me 1 k 2 Me n f f − × p = 29,5 + 32 2 10 12 − × 10 = 29,5 + 16 1012− × 10 6. Jawaban: c
Untuk menentukan rata-rata, tabel dilengkapi menjadi tabel berikut.
x = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 2.93740 = 73,43
Jadi, rata-rata data di atas adalah 73,43.
fi 7 8 3 5 4 3 Usia (tahun) 5 6 7 8 9 10 fk 7 15 18 23 27 30 fi 2 8 12 7 3 32 fk 2 10 22 29 32 Nilai 10–19 20–29 30–39 40–49 50–59 Jumlah ← Kelas median xi 66 69 72 75 78 81 Nilai 65–67 68–70 71–73 74–76 77–79 80–82 Jumlah fi 2 5 13 14 4 2 40 fi · xi 132 345 936 1.050 312 162 2.937
7. Jawaban: b
Tabel dari histogram pada soal sebagai berikut.
Kelas modusnya yaitu 68–72 dengan frekuensi 10. Jadi, selisih terhadap kelas modus:
L = 67,5 d1 = 10 – 5 = 5 d2 = 10 – 5 = 5 p = 67,5 – 62,5 = 5 Mo= L + 1 1 2 d d d + × p = 67,5 + 5 55+ × 5 = 67,5 + 2,5 = 70
Jadi, modus data tersebut adalah 70. 8. Jawaban: d
Selisih terbesar antara dua fk yang berdekatan = 20 – 8 = 12 sehingga frekuensi kelas modus = 12. Frekuensi 12 dimiliki kelas interval yang mem-punyai tepi bawah 13,5 dan tepi atas 16,5. Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus = 8 – 5 = 3.
Frekuensi kelas interval setelah kelas modus = 26 – 20 = 6.
Dengan demikian diperoleh: L = 13,5 p = 16,5 – 13,5 = 3 d1 = 12 – 3 = 9 d2 = 12 – 6 = 6 Mo= L + 1 1 2 d d d + × p = 13,5 + 9 69+ × 3 = 13,5 + 9 5 = 13,5 + 1,8 = 15,3
Jadi, modus panjang ikan 15,3 cm.
9. Jawaban: a x = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 2.890 50 = 57,8 Jadi, rata-rata data adalah 57,8. 10. Jawaban: c
Banyak data = 72 Median = nilai data ke-1
2(72 + 1) = nilai data ke-36,5
Nilai data ke-36,5 terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah 37.
Tepi bawah kelas median L = 12(34 +37) = 35,5 Tepi atas kelas median = 21(37 + 40) = 38,5 p = 38,5 –35,5 = 3 e M f = 18 Me k f = 12 + 15 = 27 Me= L + Me e 1 k 2 M n f f − × p = 35,5 + 1 2 72 27 18 × − × 3 = 35,5 + 32 = 35,5 + 1,5 = 37 Jadi, median volume benda 37 cm3.
fi 2 8 15 10 5 10 50 fi · xi 88 392 810 590 320 690 2.890 xi 1 2(41,5 + 46,5) = 44 1 2(46,5 + 51,5) = 49 1 2(51,5 + 56,5) = 54 1 2(56,5 + 61,5) = 59 1 2(61,5 + 66,5) = 42 1 2(66,5 + 71,5) = 47 Jumlah ← Kelas modus Frekuensi 5 10 5 8 5 Nilai 63–67 68–72 73–77 78–82 83–87 fi 12 15 18 8 6 13 fk 12 27 45 53 59 72 xi 31 34 37 40 43 46 ← Kelas Me
fi fk Tinggi Badan (cm) 152–154 155–157 158–160 161–163 164–166 167–169 170–172 15 17 25 25 15 12 11 15 32 57 82 97 109 120 ← kelas Me B. Uraian
1. Misalkan banyak siswa yang memerlukan waktu 5 menit = n, maka banyak siswa yang memerlukan waktu 20 menit = n. Rata-rata waktu = 11,9 ⇔5n 5 8 12 10 10 12 11 15 20n+ × + × + × + × +n 5 12 10 11 n+ + + + + = 11,9 ⇔ 25n 40 120 120 165+ +2n 38++ + = 11,9 ⇔ 25n + 445 = 11,9(2n + 38) ⇔ 25n + 445 = 23,8n + 452,2 ⇔ 1,2 n = 7,2 ⇔ n = 6 Jumlah siswa = 50
Median = 21(nilai data ke-502 + nilai data ke-(502 + 1)) = 12(nilai data ke-25 + nilai data ke-26) = 12(12 + 12)
= 12 menit
Jadi, median waktu yang diperlukan siswa dari rumah ke sekolah 12 menit.
2. Modus terletak di kelas interval dengan frekuensi paling banyak. Modus pada data tersebut terletak di kelas interval 60–69. d1 = 11 – 9 = 2 d2 = 11 – 8 = 3 p = 69,5 – 59,5 = 10 L = 59,5 Mo= L + 1 1 2 d d d + × p = 59,5 + 2 32+ × 10 = 59,5 + 4 = 63,5
Jadi, modus data di atas adalah 63,5. 3.
Banyak data = n = 120
Median = nilai data ke-21(n + 1) = nilai data ke-12(120 + 1) = nilai data ke-60,5
Nilai data ke-60,5 terletak di kelas interval 161–163. L = 161 – 0,5 = 160,5 fMe = 25 fk Me= 57 p = 163,5 – 161,5 = 3 Me= L + Me e 1 k 2 M n f f − × p = 160,5 + 1 2 120 57 25 × − × 3 = 160,5 + 259 = 160,5 + 0,36 = 160,86
Jadi, median data di atas adalah 160,86 cm. 4.
Banyak data n = 22
Median = nilai data ke-12(22 + 1) = nilai data ke-11,5
Nilai data ke-11,5 terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah 217 gram.
L = 21(212 + 217) = 214,5 e M f = 2 Me k f = 3 + 5 + 3 = 11 p = 21(217 + 222) – 214,5 = 219,5 – 214,5 = 5 Me= L + Me e 1 k 2 M n f f − × p = 214,5 + 1 2 22 11 2 × − × 5 = 214,5 + 0 = 214,5
Jadi, median berat apel 214,5 kg.
fi fk Waktu (Menit) ← Letak median 5 8 10 12 15 20 6 5 12 10 11 6 6 11 23 33 44 50 fi 3 5 3 2 4 5 fk 3 8 11 13 17 22 xi 202 207 212 217 222 227 ← kelas Me
fi 100 – 85 = 15 85 – 68 = 17 68 – 47 = 21 47 – 27 = 20 27 – 11 = 16 11 – 0 = 11 6 i i = 1∑f = 100 fixi 180 289 462 540 512 407 6 i i i = 1∑f · x = 2.390 Titik Tengah (xi) 1 2(9,5 + 14,5) = 12 1 2(14,5 + 19,5) = 17 1 2(19,5 + 24,5) = 22 1 2(24,5 + 29,5) = 27 1 2(29,5 + 34,5) = 32 1 2(34,5 + 39,5) = 37
5. Rata-rata usia karyawan bagian produksi
6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 2.390 100 = 23,9 cm
Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kota tersebut 23,9 cm.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
n = 30
Q3 = nilai data ke-34(30 + 1) = nilai data ke-23,25 = x23 + 0,25(x24 – x23) = 80 + 0,25(82 – 80) = 80 + 0,5 = 80,5
Jadi, kuartil atas data tersebut, yaitu 80,5. 2. Jawaban: e
n = 74
D9= nilai data ke- 9
10(74 + 1) = nilai data ke-67,5 = x67 + 0,5(x68 – x67) = 40 + 0,5 (41 – 40) = 40 + 0,5 = 40,5
Jadi, desil ke-9 data tersebut 40,5. 3. Jawaban: b
Data terurut:
2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 P70 = Nilai data ke-10070 (10 + 1) = Nilai data ke-7,7
= x7 + 0,7(x8 – x7)
= 10 + 0,7(12 – 10) = 10 + 1,4
= 11,4 4. Jawaban: c
Q1= nilai data ke-31 + 1 4 = nilai data ke-8
Nilai data ke-8 terletak di kelas interval 164–167. Q1= L1 + Q1 1 k Q 1 4n f f − × p = 163,5 + 31 4 6 4 − × 4 = 163,5 + (7,75 – 6) = 163,5 + 1,75 = 165,25
Jadi, kuartil pertama data tersebut 165,25. 5. Jawaban: d n = 47 fi 3 7 10 12 16 19 7 Ukuran Sepatu 35 36 37 38 39 40 41 fk 3 10 20 32 48 67 74 fi 6 4 8 6 3 4 Tinggi Badan (cm) 160–163 164–167 168–171 172–175 176–179 180–183 fk 6 10 18 24 27 31 fk 5 11 15 25 33 37 47 Nilai 80–83 84–87 88–91 92–95 96–99 100–103 104–107 fi 5 6 4 10 8 4 10
Q1= nilai data ke-47 + 1 4 = nilai data ke-12
Nilai data ke-12 terletak di kelas interval 88–91. Q1= L1 + Q1 1 k Q 1 4n f f − × p = 87,5 + 47 4 11 4 − × 4 = 87,5 + 11,75 11 4 − × 4 = 87,5 + 0,75 = 88,25 Q3= nilai data ke-3(47 + 1)
4 = nilai data ke-36
Nilai data ke-36 terletak di kelas interval 100–103. Q3= L3 + Q3 3 k Q 3 4n f f − × p = 99,5 + 141 4 33 4 − × 4 = 99,5 + 35,25 33 4 − × 4 = 99,5 + 2,25 = 101,75 Jangkauan antarkuartil: H = Q3 – Q1 = 101,75 – 88,25 = 13,5
Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut 13,5. 6. Jawaban: a
Data setelah diurutkan:
6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 x– = f · xi i n ∑ = 6 3 7 2 8 3 9 10+ × + × + × +10 = 6 21 16 27 10+ + 10+ + = 1080 = 8 Simpangan rata-rata = SR = i i i f | x x | f ∑ − ∑ = | 6 8 | 3 | 7 8 | 2 | 8 8 | 3 | 9 8 | | 10 8 |− + − + 10− + − + − = 2 (3 1) (2 0) (3 1) 2+ × + 10× + × + = 2 3 0 3 2+ + + +10 10 7. Jawaban: a
Data yang telah diurutkan: 5 6 7 7 7 8 9 n = 7 x– = n i i 1x n = ∑ = 5 6 7 7 7 8 9+ + + + + +7 = 497 = 7 S = 5 2 i i i 1 i f | x x | f = − ∑ Σ = 10 7 = 1,2
Jadi, simpangan baku data tersebut adalah 1,2. 8. Jawaban: a
D6= nilai data ke-106 (39 + 1) = nilai data ke-106 × 40 = nilai data ke-24
Nilai data ke-24 terletak di kelas interval 17–24. D6= L6 + D 6 6 k D 6 10n f f − × p = 16,5 + 106 39 14 16 × − × 8 = 16,5 + 9,416 × 8 = 16,5 + 4,7 = 21,2
Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,2. 9. Jawaban: a
P35= nilai data ke-10035 (20 + 1) = nilai data ke-7,35
xi 5 6 7 8 9 fi 1 1 3 1 1 5 i i 1 f = ∑ = 7 |xi – x–| –2 –1 0 1 2 (xi – x–|2 4 1 0 1 4 fi(xi – x–|2 4 1 0 1 4 5 i i 1 f = ∑ (xi – x–|2 = 10 fi 3 11 16 6 1 2 Banyak Pengunjung 1–8 9–16 17–24 25–32 33–40 41–48 fk 3 14 30 36 37 39
Nilai data ke-7,35 terletak di kelas interval yang mempunyai tepi bawah 30,5 dan tepi atas 40,5. n = 20 P35 k f = 5 35 P f = 9 – 5 = 4 p = 40,5 – 30,5 = 10 P35 = L35 + P35 35 k P 35 100n f f − × p = 30,5 + 35 100 20 5 4 × − × 10 = 30,5 + 0,5 × 10 = 30,5 + 5 = 35,5
Jadi, persentil ke-35 data tersebut 35,5. 10. Jawaban: c
Data yang telah diurutkan: 5 6 7 7 7 8 9 n = 7 x– = 7 i i 1x n = ∑ = 5 6 7 7 7 8 9+ + + + + +7 = 497 = 7 Varians = V(S) = 7 2 i i 1(x x) n 1 = − ∑ − = (5 7)− 2+(6 7)− 2+ ×3 (7 7)7 1−− 2+(8 7)− 2+(9 7)− 2 = 4 1 0 1 4+ + + +6 = 106 = 1,67
Jadi, variansi data tersebut adalah 1,67.
B. Uraian
1.
Q1 = nilai data ke-n 1 4 + = nilai data ke-24
4 = nilai data ke-6 = 10
Q3 = nilai data ke-3(n 1) 4
+
= nilai data ke-3 × 24 4 = nilai data ke-18 = 15
H = Q3 – Q1 = 15 – 10 = 5
Jadi, jangkauan antarkuartil data 5. 2. Data setelah diurutkan:
6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10 x– = 6 2 7 3 8 2 9 2 10+ × + × + × + ×10 = 6 14 24 18 20+ + 10+ + = 1082 = 8,2 Simpangan rata-rata = SR = | xi x | n Σ − = | 6 8,2 | 2 | 7 8,2 | 3 | 8 8,2 | 2 | 9 8,2 | 2 | 10 8,2 | 10 − + − + − + − + − = 2,2 2 1,2 3 0,2 2 0,2 2 0,8 2 1,8+ × + × + ×10 + × + × = 2,2 2,4 0,6 1,6 3,6+ +10 + + = 10,410 = 1,04
Jadi, simpangan rata-rata data adalah 1,04. 3. a. x = 7 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 1.630 20 = 81,5 S2= 7 2 i i i 1 7 i i 1 f (x x) f = = − ∑ ∑ = 6.520 20 = 326 Jadi, variansi data tersebut 326.
xk 7 10 12 13 17 20 21 23 Usia (Tahun) 10 11 12 13 14 15 16 17 Jumlah fi 7 3 2 1 4 3 1 2 23 fi 2 2 3 4 3 4 2 20 Panjang (cm) 45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114 Jumlah xi 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 109,5 fi · xi 99 119 208,5 318 268,5 398 219 1.630 xi – xxx –32 –22 –12 –2 8 18 28 fi(xi – xx)2 2.048 968 432 1 6 192 1.296 1.568 6.520
b. S = S2
= 326
≈ 18,1
Jadi, simpangan baku data tersebut ≈ 18,1. 4. a.
D8 = nilai data ke-108 (60 + 1) = nilai data ke-48,8
Nilai data ke-48,8 terletak di kelas interval 22–25. D8 = L8 + D8 8 k D 8 10 60 f f × − × p = 21,5 + 48 439− × 4 = 21,5 + 59 × 4 ≈ 21,5 + 2,2 = 23,7
Jadi, desil kedelapan data tersebut 23,7 cm. b. P79= nilai data ke-10039 (60 + 1)
= nilai data ke-23,79
Nilai data ke-23,79 terletak di kelas interval 18–21. L39 = 17,5 P39 k f = 22 39 P f = 21 P39 = L39 + P39 39 k P 39 100n f f − × p = 17,5 + 39 100 60 22 21 × − × 4 = 17,5 + 1,421 × 4 ≈ 17,5 + 0,27 = 17,77
Jadi, nilai persentil ke-39 data tersebut 17,77. 5. a. x = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 48020 = 24
Jadi, rata-rata data 24. b. S2 = 6 2 i i i 1 6 i i 1 f (x x) f = = − ∑ ∑ = 1.57020 = 78,5
Jadi, variansi data tersebut 78,5. ← Kelas P39 fi 9 6 7 21 9 8 fk 9 15 22 43 52 60 Tinggi (m) 6–9 10–13 14–17 18–21 22–25 26–29 ← Kelas D8 xi 12 17 22 27 32 37 Nilai 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 Jumlah fi 3 6 2 1 5 3 20 fi · xi 36 102 44 27 160 111 480 fi 3 6 2 1 5 3 20 Nilai 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 Jumlah xi 12 17 22 27 32 37 xi – x –12 –7 –2 3 8 13 fi(xi – x)2 432 294 8 9 320 507 1.570 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a
Penurunan hasil panen tertinggi terjadi pada bulan VI–VIII.
Banyak penurunan = 15 – 10 = 5 ton.
2. Jawaban: c
Kenaikan hasil panen tertinggi terjadi pada tahun 2008–2009.
Persentase kenaikan hasil panen tahun 2008–2009 = 3.300 800800− × 100% = 2.500800 × 100% = 312,5%
Persentase penurunan hasil panen tahun 2006–2007 = 3.200 2.8003.200− × 100%
= 3.200400 × 100% = 12,5% 3 Jawaban: c
Misalkan banyak angkatan kerja di provinsi Sumatra Selatan = x
23.370.000 = (2,07 + 6,41 + 2,28 + 2,59 + 1,53 + x + 0,89 + 3,85) × 1.000.000 ⇔ 23,37 = 19,62 + x
⇔ x = 3,75
Jadi, banyak angkatan kerja di Provinsi Sumatra Selatan 3,75 juta atau 3.750.000 orang.
4. Jawaban: d
Jumlah nilai ekspor
= (2.615 + 11.991,2) + (2.612,5 + 11.802,8) + (3.061,9 + 13.304,1) + (x + 12.925,9) + (4.072,8 + 14.214,6)
⇔ 80.229,1 = 76.600,8 + x
⇔ x = 3.628,3
Jadi, nilai ekspor migas pada bulan April 3.628,3 juta dolar Amerika.
5. Jawaban: a
Misalkan seluruh alat yang digunakan = y. Persentase juring laptop = 25%.
Pengguna laptop = 25 orang sehingga: 25 = 25% × y
⇔ 25 = 10025 × y
⇔ y = 100
Perentase juring tablet
= 100° – (15% + 25% + 45% + 10%) = 100% – 95% = 5%
Banyak pengguna tablet = 5% × 100 = 5 orang Jadi, banyak pengguna tablet ada 5 orang. 6. Jawaban: c
Mo terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah 114,5.
Tepi bawah kelas modus L = 12(104,5 + 114,5) = 21(219)
= 109,5
Tepi atas kelas modus = 12(114,5 + 124,5) = 12(239) = 119,5 p = 119,5 – 109,5 = 10 Mo= L + 1 1 2 d d d + × p = 109,5 + 35 14 (35 14) (35 21) − − + − × 10 = 109,5 + 3521 × 10 = 109,5 + 6 = 115,5
Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak 115,5 kg.
7. Jawaban: c
Juring dusun D dan dusun C menempati 12 lingkaran, besar sudut juring dusun D dan dusun C = 180°. Besar sudut juring dusun D
= 180° – 80° = 100°
Juring dusun A, dusun B, dan dusun E menempati 1
2 lingkaran, besar sudut juring dusun A, dusun B, dan dusun E = 180°.
Besar sudut juring dusun A = 180° – (60° + 50°) = 180° – 110° = 70° Besar sudut juring dusun D Besar sudut juring dusun A =
Banyak sapi di dusun D Banyak sapi di dusun A
⇔ 10070°° = 50 n ⇔ n = 70 100 ° ° × 50 ⇔ n = 35
Jadi, banyak sapi di dusun A ada 35 ekor. 8. Jawaban: d
Misalkan N = hasil penjualan seluruh barang Persentase juring busana
= 100% – (6% + 39% + 21% + 14%) = 100% – 80%
= 20%
Penjualan busana = 1.260.000 + penjualan kosmetik ⇔ 20% × N = 1.260.000 + 6% × N ⇔ (20% – 6%) N = 1.260.000
⇔ 14% N = 1.260.000
⇔ N = 10014 × 1.260.000
= Rp9.000.000,00 Penjualan alat tulis = 21% × N
= 10021 × 9.000.000 = Rp1.890.000,00
9. Jawaban: c
Sepeda motor yang tidak tergolong irit mengguna-kan 1 liter bensin untuk menempuh jarak kurang dari 58 km.
Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada 40 unit.
Persentase banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit = 4060 × 100% = 66,67%
Jadi, banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit sebesar 66,67%.
10. Jawaban: c
Data tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagai berikut.
Banyak tanaman yang mempunyai ketinggian kurang dari 26 cm adalah 21.
Persentase = 3021 × 100% = 70%
Jadi, banyak tanaman tersebut sebesar 70%. 11. Jawaban: e
Frekuensi kurang dari 174,5 = 100. Frekuensi kurang dari 169,5 = 95
Berdasarkan grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatif ini paling kecil = 100 – 95 = 5.
Tinggi badan siswa paling sedikit adalah 170–174 cm.
12. Jawaban: e
Data setelah diurutkan: 4, 7, 7, 9, 10, 10, 12, 15, 17 Banyak data = 9
Median = Me = data ke-9 12+ = data ke-5 = 10. 13. Jawaban: c
Sumbangan kelompok I: x1= 6 × Rp5.000,00
= Rp30.000,00 Sumbangan kelompok II: x2= 8 × 4.500
= Rp36.000,00
Sumbangan kelompok III: x3 = 10 × 3.500
= Rp35.000,00
Sumbangan kelompok IV: x4 = 11 × 4.000
= Rp44.000,00 Sumbangan kelompok V: x5 = 15 × 2.000
= Rp30.000,00
Rata-rata sumbangan seluruh kelompok: x = x1 x2 x3 x4 x5 6 8 10 11 15 + + + + + + + + = 30.000 36.000 35.000 44.000 30.000+ + 50 + + = 175.00050 = 3.500
Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp3.500,00.
Sumbangan kelompok II: x2= 8 × 4.500
= Rp36.000,00
Sumbangan kelompok III: x3 = 10 × 3.500
= Rp35.000,00
Sumbangan kelompok IV: x4 = 11 × 4.000
= Rp44.000,00 Sumbangan kelompok V: x5 = 15 × 2.000
= Rp30.000,00
Rata-rata sumbangan seluruh kelompok: x = x1 x2 x3 x4 x5 6 8 10 11 15 + + + + + + + + = 30.000 36.000 35.000 44.000 30.000+ + 50 + + = 175.00050 = 3.500
Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp3.500,00.
14. Jawaban: a
Banyak siswa di kelas A = nA = 15 Banyak siswa di kelas B = nB = 10 Banyak siswa di kelas C = nC = 25 Rata-rata nilai gabungan = x = 58,6 Rata-rata nilai di kelas A = xA = 62 Rata-rata nilai di kelas C = xC = 60
fi 3 6 5 7 9 Tinggi Tanaman (cm) 10–13 14–17 18–21 22–25 26–29 fk 3 9 14 21 30 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Tinggi tanaman kurang dari 26 cm fi 8 12 20 11 9 Jarak per Liter Bensin
40–45 46–51 52–57 58–63 64–69 fk 8 20 40 51 60 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Tidak irit Irit
x = A A B B C C A B C n x n x n x n n n ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⇔ 58,6 = 15 62 10 xB 25 60 15 10 25 × + × + × + + ⇔ 58,6 = 10xB 2.430 50 + ⇔ 2.930 = 10xB + 2.430 ⇔ 10xB= 500 ⇔ xB= 50
Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50. 15. Jawaban: d
Tabel untuk data pada histogram.
x = n i i i 1 n i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 57823 = 25,13 16. Jawaban: e
Frekuensi terbesar adalah 40, yaitu pada interval 160–164 (kelas modus). L = 159,5 d1 = 40 – 21 = 19. d2 = 40 – 18 = 22. p = 159,5 – 164,5 = 5 Mo= L + 1 1 2 d d d + × p = 159,5 + 19 2219+ × 5 = 159,5 + 2,32 = 161,82
Jadi, modus data di atas adalah 161,82. 17. Jawaban: c
Me= nilai data ke-30 1 2
+ = nilai data ke-15,5
Nilai data ke-15,5 terletak di kelas interval 11–15.
Me= L + Me e k M 1 2n f f − × p = 10,5 + 1 2 30 9 10 × − × 5 = 10,5 + 106 × 5 = 10,5 + 3 = 13,5
Jadi, mediannya adalah 13,5. 18. Jawaban: e x = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 375 30 = 12,5
Jadi, rata-rata poin yang dicetak pemain tersebut 12,5.
19. Jawaban: b
Modus terdapat pada interval 23–27 dengan f = 12 d1 = 12 – 10 = 2 d2 = 12 – 6 = 6 L = 22,5 p = 5 Mo = L + 1 1 2 d d d + × p = 225 + (2 62+ ) × 5 = 22,5 + 1,25 = 23,75
Modus data tersebut adalah 23,75.
xi 16 21 26 31 Data 14–18 19–23 24–28 29–33 Jumlah fi 3 4 10 6 23 fi · xi 48 84 260 186 578 fi 4 5 10 6 5 30 fk 4 9 19 25 30 → Kelas Median Nilai 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25 Jumlah xi 6 9 12 15 18 21 Poin 5–7 8–10 11–13 14–16 17–19 20–22 Jumlah fi 6 5 4 10 3 2 30 fi · xi 36 45 48 150 54 42 375 Frekuensi 4 6 8 10 12 6 4 2 Data 3–7 8–12 13–17 18–22 23–27 28–32 33–37 38–42
20. Jawaban: e x = 5 i i i 1 5 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 183 20 = 9,15
Jadi, rata-rata skor tersebut 9,15. 21. Jawaban: b
Data setelah diurutkan:
2 2 4 5 5 5 6 6 7 7 8 Q1= nilai data ke-11 + 14
= nilai data ke-3 = 4
Q3= nilai data ke-3(11 + 1) 4 = nilai data ke-9 = 7
Jadi, kuartil atas dan kuartil bawah berturut-turut 7 dan 4.
22. Jawaban: c
Kuartil bawah = Q1. Q1 = nilai data ke-1
4(48 + 1) = data ke-12,25 Data ke-12,25 terletak pada kelas interval 40–49. Q1= 39,5 + 48 4 10 8 − × 10 = 39,5 + 2,5 = 42,0
Jadi, kuartil bawah data adalah 42,0. 23. Jawaban: c
Data setelah diurutkan: 2, 3, 3, 6, 7, 8, 9, 9, 11 Letak Q1 = 1(9 1)4+ = 104 = 212 Q1= x2 + 12(x3 –x2) = 3 + (3 – 3) = 3 Letak Q3 = 3(9 1)4+ = 304 = 712 Q3 = x7 + 21(x8 –x7) = 9 + 21(9 – 9) = 9 Jangkauan = Q3 – Q1 = 9 – 3 = 6
Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah 6.
24. Jawaban: c
Data setelah diurutkan:
5 6 7 7 9 9 10 10
11 12 12 15 18 18 21 21 Q1= nilai data ke-16 + 1
4 = nilai data ke-4,25
= x4 + 0,25(x5 – x4) = 7 + 0,25(9 – 7) = 7 + 0,5 = 7,5 Q3= nilai data ke-3(16 + 1)
4 = nilai data ke-12,75
= x12 + 0,75(x13 – x12) = 15 + 0,75(18 – 15) = 15 + 2,25 = 17,25 Simpangan kuartil = 1 2(Q3 – Q1) = 1 2(17,25 – 7,5) = 1 2(9,75) = 4,875 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875. 25. Jawaban: e x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + +9 = 5 SR = 91(|1 – 5|+|2 – 5|+|3 – 5|+|4 – 5|+|5 – 5| +|6 – 5|+|7 – 5|+|8 – 5|+|9 – 5|) = 19(|–4| + |–3| + |–2| + |–1| + |0| + |1| + |2| + |3| + |4|) = 91(4 + 3 + 2 + 1+ 0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 209 ≈ 2,2
Jadi, simpangan rata-rata data adalah 2,2. 26. Jawaban: e n = 5 x = 2 3 5 7 8+ + + +5 = 255 = 5 xi 3 6 9 12 15 Skor 2–4 5–7 8–10 11–13 14–16 Jumlah fi · xi 6 30 54 48 45 183 fi 2 5 6 4 3 20 x2 4 9 25 49 64 151 Nilai (x) 2 3 5 7 8 Jumlah xi – x– –3 –2 0 2 3 fi (xi – x–)2 9 4 0 4 9 26
s = 5 2 i i i 1f (x x) n 1 = − ∑ − = 26 5 1− = 26 4 Ragam = s2 = 2 26 4 = 26 4 = 6,5 Jadi, ragam data adalah 6,5. 27. Jawaban: d
D3= nilai data ke- 3
10(20 + 1) = nilai data ke-6,3 Nilai data ke-6,3 terletak pada kelas interval 18–20. D3= L3 + D3 3 k D 3 10 20 f f × − × p = 17,5 + 6 4 3 − × 3 = 17,5 + 2 = 19,5
Jadi, desil ke-3 data tersebut 19,5. 28. Jawaban: a
P30= nilai data ke-10030 (30 + 1) = nilai data ke-9,3
Nilai data ke-9,3 terletak di kelas interval 28–31. P30= L30 + P30 30 k P 30 100n f f − × p = 27,5 + 900 100 7 4 − × 4 = 27,5 + 2 = 29,5
Jadi, persentil ke-30 data tersebut 29,5.
29. Jawaban: d x = 4 i i i 1 4 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 460 20 = 23 S2= 4 2 i i i 1 4 i i 1 f (x x) f = = − ∑ ∑ = 198 20 = 9,9 Jadi, ragam data tersebut 9,9. 30. Jawaban: c x– = 5 i i i 1 5 i i 1 f · x f = = ∑ ∑ = 1.380 60 = 23 5 i i i 1=∑f | x −x | = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23| + 12|27 – 23| + 18|32 – 23| = 15 × 11 + 6 × 6 + 9 × 1 + 12 × 4 + 18 × 9 = 165 + 36 + 9 + 48 + 162 = 420 Simpangan rata-rata: SR = 5 i i i 1 5 i i 1 f | x x | f = = − ∑ ∑ = 420 60 = 7
Jadi, simpangan rata-rata data adalah 7. ← Kelas D3 fk 4 7 9 15 18 20 Nilai 15–17 18–20 21–23 24–26 27–29 30–32 fi 4 3 2 6 3 2 ← Kelas P30 fk 3 7 11 21 23 30 Usia (Tahun) 20–23 24–27 28–31 32–35 36–39 40–43 fi 3 4 4 10 2 7 fi 9 4 5 2 20 Tinggi (meter) 19–21 22–24 25–27 28–30 Jumlah xi 20 23 26 29 fi · xi 180 92 130 58 460 xi – x– –3 0 3 6 fi(xi – x–)2 81 0 45 72 198 fi 15 6 9 12 18 60 fixi 180 102 198 324 576 1.380 xi 1 2(9,5 + 14,5) = 12 1 2(14,5 + 19,5) = 17 1 2(19,5 + 24,5) = 22 1 2(24,5 + 29,5) = 27 1 2(39,5 + 34,5) = 32 Jumlah
B. Uraian
1. a. Diagram Garis
b. Hasil perikanan terbanyak, yaitu 5 ton yang terjadi pada tahun 2013.
c. Besar penurunan hasil perikanan tahun 2014 = 5 – 4 = 1 ton.
2. a. Jumlah siswa SMA Karya Jaya = 10015 × 27 orang
= 180 orang
b. Banyak siswa kuliah di fakultas Fisip = 100 20 10 15 30− −100− − × 180 orang = 10025 × 180 orang = 45 orang 3. x = 7 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 22530 = 7,5
Benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas rata-rata berat benda adalah benda yang mempunyai berat minimal 8,5 kg.
Banyak benda yang mempunyai berat minimal 8,5 kg = 4 + 8 = 12.
Jadi, terdapat 12 benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas rata-rata berat.
3. a. x– = 5 i i r 1 5 i r 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 80 20 = 4
Jadi, rata-rata data tersebut 4. b. Ragam: S2 = 5 2 i i i 1 5 i i 1 f (x x) f = = − ∑ ∑ = 30 20 = 1,5 Jadi, ragam data tersebut 1,5.
4. • Untuk menentukan mean, tabel dilengkapi menjadi tabel berikut.
x = 5 i i i 1 5 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 4.835 30 = 161,17
Jadi, mean data tersebut adalah 161,17 cm. • Banyak data = n = 30 sehingga letak
mediannya pada frekuensi 12 × 30 = 15.
Me terletak di kelas interval 160–164.
Me = L + Me e k M 1 2n f f − × p 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Jumlah (ton) Tahun 2009 2010 2011 2012 2013 2014 xi 4 5 6 7 8 9 10 Jumlah fi 2 6 4 1 5 4 8 30 fi · xi 8 30 24 7 40 36 80 225 Nilai (xi) 2 3 4 5 6 Jumlah fi 3 4 5 6 2 20 fi · xi 6 12 20 30 12 80 fi 3 4 5 6 2 20 Nilai (xi) 2 3 4 5 6 Jumlah xi – x– –2 –1 0 1 2 fi (xi – x–)2 12 4 0 6 8 30 ← Kelas median fk 5 11 21 28 30 Tinggi Badan (cm) 150–154 155–159 160–164 165–169 170–174 fi 5 6 10 7 2 xi 152 157 162 167 172 Tinggi Badan (cm) 150–154 155–159 160–164 165–169 170–174 Jumlah fi · xi 760 942 1.620 1.169 344 4.835 fi 5 6 10 7 2 30
= 159,5 + 1 2 30 11 10 × − × 5 = 159,5 + 2 = 161,5
Jadi, median data di atas adalah 161,5 cm. 5. Me= nilai data ke-35 12+
= nilai data ke-18
Nilai data ke-18 terletak pada kelas interval yang mempunyai tepi bawah 64,5 dan tepi atas 69,5. L = 64,5 p = 69,5 – 64,5 = 5 Me k f = 13 e M f = 23 – 13 = 10 Me= L + Me e k M 1 2n f f − × p = 64,5 + 35 2 13 10 − × 5 = 64,5 + 9 2 10 × 5 = 64,5 + 2,25 = 66,75
Jadi, median data di atas adalah 66,75 cm. 6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyak
adalah 28. Berarti modus data terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 28.
Tepi bawah kelas modus L = 21(23 + 28) = 25,5 Tepi atas kelas modus = 12(28 + 33) = 30,5 p = 30,5 – 25,5 = 5 d1 = 13 – 4 = 9 d2 = 13 – 7 = 6 Mo= L + 1 1 2 d d d + × p = 25,5 + 9 69+ × 5 = 25,5 + 3 = 28,5
Jadi, modus data 28,5. 7.
Q1 = nilai data ke-14(80 + 1) = nilai data ke-20,25 Nilai data ke-20,25 terletak di kelas interval 149–152. Q1= L1 + Q1 1 1 k 4 Q n f f − × p = 148,5 + 1 4 80 15 20 × − × 4 = 148,5 + 205 × 4 = 148,5 + 1 = 149,5
Q3= nilai data ke-34(80 + 1) = nilai data ke-60,75
Nilai data ke-60,75 terletak di kelas interval 157–160. Q3= L3 Q3 3 3 k 4 Q n f f − × p = 156,5 + 3 4 80 53 14 × − × 4 = 156,5 + 147 × 4 = 156,5 + 2 = 158,5 Simpangan kuartil: Qd= 21(Q3 – Q1) = 12(158,5 – 149,5) = 12 × 9 = 4,5
Jadi, simpangan kuartil tinggi siswa putri 4,5 cm. 8.
D7 = nilai data ke-107 (70 + 1) = nilai data ke-49,7
Nilai data ke-49,7 terletak pada kelas interval 37–41. ← Kelas Q1 ← Kelas Q3 f 15 20 18 14 8 5 Tinggi Badan (cm) 145–148 149–152 153–156 157–160 161–164 165–168 fk 15 35 53 67 75 80 ← Kelas D7 fi 10 5 8 6 18 10 13 Nilai 12–16 17–21 22–26 27–31 32–36 37–41 42–46 fk 10 15 23 29 47 57 70
D7= L7 + D7 7 k D 7 10n f f − × p = 36,5 + 7 10 70 47 10 × − × 5 = 36,5 + 102 × 5 = 36,5 + 1 = 37,5
Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5. 9.
P30 = nilai data ke-10030 (40 + 1) = nilai data ke-12,3
Nilai data ke-12,3 terletak di kelas interval 105–109. P30= L30 + P30 30 k P 30 100n f f − × p = 104,5 + 30 100 40 8 5 × − × 5 = 104,5 + 12 8 5 − × 5 = 104,5 + 4 = 108,5
Jadi, nilai persentil ke-30 data tersebut 108,5.
10. a. x = 7 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ⋅ ∑ ∑ = 1.96070 = 28
Jadi, rata-rata panjang potongan bambu 28 cm. b. 7 2 i i i 1=∑f(x −x) = 6(12 – 28)2 + 10(17 – 28)2 + 5(22 – 28)2 + 15(27 – 28)2 + 20(32 – 28)2 + 5(37 – 28)2 + 9(42 – 28)2 = 6(–16)2 + 10(–11)2 + 5(–6)2 + 15(–1)2 + 20(4)2 + 5(9)2 + 9(14)2 = 1.536 + 1.210 + 180 + 15 + 320 + 405 + 1.764 = 5.430 Variansi: S2= 7 2 i i i 1 7 i i 1 f(x x) f = = − ∑ ∑ = 5.430 70 = 77 4 7
Jadi, variansi panjang potongan bambu 7747 cm. ← Kelas Me fi 8 5 3 10 1 6 7 Berat (gram) 100–104 105–109 110–114 115–119 120–124 125–129 130–134 fk 8 13 16 26 27 33 40 fi 6 10 5 15 20 5 9 70 Panjang (cm) 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 Jumlah xi 12 17 22 27 32 37 42 fi · xi 72 170 110 405 640 185 378 1.960
Peluang
• Bersikap jujur dalam melakukan kegiatan percobaan maupun dalam berbuat keseharian. • Mampu mendefinisikan pengertian aturan perkalian.
• Mampu menggunakan aturan perkalian. • Mampu mendefinisikan pengertian permutasi. • Mampu menggunakan permutasi.
• Mampu mendefinisikan pengertian kombinasi. • Mampu menggunakan kombinasi.
• Mampu mendefinisikan pengertian ruang sampel suatu percobaan. • Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan.
• Mampu mendefinisikan pengertian peluang suatu kejadian. • Mampu menentukan peluang suatu kejadian.
• Mampu menentukan kisaran nilai peluang. • Mampu menentukan frekuensi harapan.
• Mampu mendefinisikan pengertian kejadian majemuk. • Mampu menentukan peluang kejadian majemuk.
• Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aturan perkalian. • Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan permutasi. • Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kombinasi. • Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan peluang.
Kaidah Pencacahan Peluang Suatu Kejadian Peluang Kejadian Majemuk
• Aturan perkalian • Permutasi • Kombinasi
• Ruang sampel dan titik sampel • Peluang kejadian
• Frekuensi harapan
• Peluang dua kejadian saling lepas
• Peluang dua kejadian saling bebas
• Peluang dua kejadian ber-syarat
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c ⇔ (n 2)!n!− = 12 ⇔ n(n 1)(n 2)!(n 2)!−− − = 12 ⇔ n(n – 1) = 12 ⇔ n2 – n – 12 = 0 ⇔ (n – 4)(n + 3) = 0 ⇔ n = 4 atau n = –3
Nilai n harus positif. Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu 4. 2. Jawaban: b (n + 1)P3= 9 × nP2 ⇔ (n 1 3)!(n 1)!+ −+ = 9 × n! (n 2)!− ⇔ (n 2)!(n 1)!−+ = 9 × n! (n 2)!− ⇔ (n 2)!(n 1)!−+ × (n 2)!− n! = 9 ⇔ (n 1)n!+n! = 9 ⇔ n + 1 = 9 ⇔ n = 8
Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8. 3. Jawaban: b nC3 = 2n ⇔ 3! (n 3)!n!− = 2n ⇔ n(n 1)(n 2)(n 3)!3 2 1 (n 3)!−× × × −− − = 2n ⇔ n(n 1)(n 2)−6 − = 2n ⇔ n(n – 1)(n – 2) = 12n ⇔ (n – 1)(n – 2) = 12 ⇔ n2 – 3n + 2 – 12 = 0 ⇔ n2 – 3n – 10 = 0 ⇔ (n – 5)(n + 2) = 0 ⇔ n = 5 atau n = –2 n harus positif. Jadi, n = 5 2nC7 = 10C7 = 10! 7! 3! = 10 9 8 7! 7! 3 2 1 × × × × × = 120 4. Jawaban: e
Permasalahan tersebut dapat diselesaikan menggunakan aturan perkalian.
Banyak pasangan menu makanan dan minuman = banyak menu makanan × banyak menu minuman = 6 × 10 = 60
Jadi, banyaknya pasangan menu makanan dan
5. Jawaban: e
Angka yang tersedia 1, 2, 3, 5, 6, dan 7.
Akan disusun bilangan terdiri atas 4 angka dengan angka-angka yang berlainan.
Angka I dapat diisi oleh 6 angka yang tersedia. Setelah satu angka digunakan untuk mengisi angka I, tersisa 5 angka. Angka II dapat diisi oleh 5 angka yang tersisa.
Setelah dua angka digunakan untuk mengisi angka I dan II, tersisa 4 angka. Angka III dapat diisi oleh 4 angka yang tersisa.
Setelah tiga angka digunakan untuk mengisi angka I, II, dan III, tersisa 3 angka. Angka IV dapat diisi oleh 3 angka yang tersisa.
Banyak susunan bilangan 4 angka yang tersusun = 6 × 5 × 4 × 3
= 360
Cara lain:
Bilangan 1.235 berbeda dengan bilangan 2.531. Artinya penyusunan bilangan tersebut memperhati-kan urutan (permutasi).
Banyak bilangan 4 angka yang dapat disusun dari 6 angka yang tersedia
= permutasi 4 dari 6
= 6P4 = 6!2! = 6 5 4 3 2!× × × ×2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 6. Jawaban: a
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan aturan perkalian.
Banyak cara berpakaian Joni dengan penampilan berbeda = 3 × 4 × 3
= 36 cara
Jadi, banyak cara berpakaian Joni adalah 36 penampilan berbeda.
7. Jawaban: c
Akan dipilih 5 anak sebagai ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas.
Pemilihan ketua, wakil ketua, sekretaris, benda-hara, dan humas merupakan pemilihan yang memperhatikan urutan (permutasi).
Banyak cara memilih 5 pengurus dari 7 pengurus = permutasi 5 dari 7
= 7P5 = 7!2!
= 7 6 5 4 3 2!× × × × ×2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2.520 Angka I Angka II Angka III Angka IV
8. Lima anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka adalah Andre, Monika, Susan, Dea, dan Resa. Jika Resa harus berdiri di salah satu ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . . .
a. 48 d. 128
b. 78 e. 140
c. 108
Jawaban: a
Resa selalu ada di salah satu ujung sehingga ada 2 cara. Sisanya ada 4 anak yang dapat diatur dengan 4P4 cara. Sehingga banyak urutannya = 2 × 4P4
= 2 × 4!
= 2 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48
Jadi, banyak urutan yang dibentuk ada 48. 9. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari
kata NUSANTARA adalah . . . .
a. 60.480 d. 6.024 b. 30.240 e. 3.024 c. 15.120 Jawaban: b NUSANTARA banyak huruf = 9 banyak huruf N = 2 banyak huruf A = 3
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk = 9! 2! 3! = 9 8 7 6 5 4 3!× × × × × ×2 1 3!× × = 30.240
Jadi, banyak susunan kata ada 30.240. 10. Jawaban: c
Banyak tim yang mungkin dibentuk = 10C6 = 10! 6! 4! = 10 9 8 7 6! 6! 4 3 2 1! × × × × × × × = 210
Jadi, banyak tim yang mungkin dibentuk ada 210. 11. Jawaban: c
Banyak cara memilih 3 huruf dari 5 huruf hidup ada 5C3.
Banyak cara memilih 3 angka dari 10 angka ada 10C3.
Banyak cara menyusun 3 angka dan 3 huruf yang sudah terpilih ada 6P6 = 6!.
Banyak kata sandi yang dapat disusun = 5C3 × 10C3 × 6!
12. Jawaban: d
Banyak cara menyusun ketiga merek motor = 3! Banyak cara menyusun motor Honda = 4! Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3! Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2! Banyak penyusunan barisan dengan setiap merek tidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728
13. Jawaban: e
n1= banyak cara mengambil 2 potongan kue dari 8 potongan kue = kombinasi 2 dari 8 =8C2 = 6!2!8! = 8 7 6!× ×6!2! = 8 72 1×× = 28
n2= banyak cara mengambil 3 potongan semangka dari 10 potongan semangka
= kombinasi 3 dari 10 = 10C3 = 7!3!10! = 10 9 8 7! 7! 3 2 1 × × × × × × = 120
Banyak cara Andi mengambil 2 potongan kue dan 3 potongan semangka adalah
= n1 × n2 = 28 × 120 = 3.360 14. Jawaban: b
Kemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit 1 putri yaitu terdiri atas (2 putra dan 1 putri), (1 putra dan 2 putri), atau (3 putri).
n1 = banyak kemungkinan anggota tim 2 putra dan 1 putri
= memilih 2 putra dari 5 putra dan memilih 1 putri dari 6 putri
= 5C2 × 6C1 = 3!2!5! × 5!1!6! = 10 × 6 = 60
n2 = banyak kemungkinan anggota tim 1 putra dan 2 putri
= memilih 1 putra dari 5 putra dan memilih 2 putri dari 6 putri
= 5C1 × 6C2 = 4!1!5! × 4!2!6! = 5 × 15 = 75
n3 = banyak kemungkinan anggota tim 3 putri = memlih 3 putri dari 6 putri
= 6C3 = 3!3!6! = 20
Banyak cara memilih anggota tim = n1 + n2 + n3
= 60 + 75 + 20 = 155
15. Jawaban: a
n1 = banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka (boleh berulang) yang dapat dibuat dari 5 angka
= 5 × 5 × 5 × 5 = 625
n2 = banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka (boleh berulang) dengan angka terakhir 0 dan angka pertama 0
= 1 × 5 × 5 × 1 = 25
Banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka dengan angka pertama atau terakhir tidak nol = n1 – n2 = 625 – 25 = 600 B. Uraian 1. a. n! = 6n(n – 3)! ⇔ n(n – 1)(n – 2)(n – 3)! = 6n(n – 3)! ⇔ (n – 1)(n – 2) = 6 ⇔ n2 – 3n + 2 = 6 ⇔ n2 – 3n – 4 = 0 ⇔ (n – 4)(n + 1) = 0 ⇔ n = 4 atau n = –1
Nilai n harus bilangan positif. Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu 4. b. (n – 1)P2 = 20 ⇔ (n 3)!(n 1)!−− = 20 ⇔ (n 1)(n 2)(n 3)!− (n 3)!−− − = 20 ⇔ (n – 1)(n – 2) = 20 ⇔ n2 – 3n + 2 – 20 = 0 ⇔ n2 – 3n – 18 = 0 ⇔ (n – 6)(n + 3) = 0 ⇔ n = 6 atau n = –3
Nilai n harus bilangan positif. Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu 6. c. (n + 1)P3 = nP4 ⇔ (n 2)!(n 1)!−+ = n! (n 4)!− ⇔ (n + 1)!(n – 4)! = n! (n – 2)! ⇔ (n + 1)n!(n – 4)! = n!(n – 2)(n – 3)(n – 4)! ⇔ n + 1 = (n – 2)(n – 3) ⇔ n + 1 = n2 – 5n + 6 ⇔n2 – 5n + 6 – n – 1 = 0 ⇔ n2 – 6n + 5 = 0 ⇔ (n – 5)(n – 1) = 0 ⇔ n = 5 atau n = 1
Jadi, nilai n yang memenuhi, yaitu 1 atau 5. d. 3C2 = 1 2 × 3P2 ⇔ 2! 1!3! = 1 2 × n! (n 2)!− ⇔ 3 2!2! 1!× = 1 2 × n! (n 2)!− ⇔ 3 = 1 2 × n(n 1)(n 2)! (n 2)! − − − ⇔ 6 = n(n – 1) ⇔ 6 = n2 – n ⇔ n2 – n – 6 = 0 ⇔ (n – 3)(n + 2) = 0 ⇔ n = 3 atau n = –2 Nilai n harus bilangan positif. Jadi, nilai n yang memenuhi yaitu 3. 2. P(siklis) = (7 – 1)!
= 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 cara
3. a. Bola merah ada 9 buah.
Banyak cara pengambilan tiga bola merah = kombinasi 3 dari 9
= 9C3
= 6!3!9! = 6! × 3 2 19 8 7 6!× × ×× × = 84 b. Bola biru ada 5 buah.
Banyak cara pengambilan 3 bola biru = 5C3
= 2!3!5! = 5 4 3!2 1 3!× ×× × = 10
c. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola biru. Artinya, bola yang terambil 2 bola biru dan 1 bola merah.
Banyak cara pengambilan 2 bola biru dan 1 bola merah
= 5C2 × 9C1 = 3!2!5! × 8!1!9!
= 5 4 3!2 1 3!× ×× × × 9 8!1 8!×× = 10 × 9 = 90 Angka I Angka II Angka III Angka IV
5 cara 5 cara 5 cara 5 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
d. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola merah. Artinya, bola yang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru.
Banyak cara pengambilan 2 bola merah dan 1 bola biru
= 9C2 × 5C1 = 7!2!9! × 4!1!5!
= 9 8 7!× ×7!2! × 4! 1!5 4!×× = 36 × 5 = 180
4. Orang-orang dari 4 negara duduk secara melingkar dengan (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
3 orang dari Amerika dapat duduk dengan 3! cara. 2 orang dari Irlandia dapat duduk dengan 2! cara. 4 orang dari Korea dapat duduk dengan 4! cara. 2 orang dari Filipina dapat duduk dengan 2! cara. Jadi, seluruhnya = 3! 3! 2! 4! 2! = 3.456 cara.
5. Banyak huruf konsonan yang dapat dipilih = 5C3 = 2!3!5! = 5 4 3!2 3!× ×× = 10 cara
Banyak huruf vokal yang berbeda yang dapat dipilih = 3C2 = 1!3!3! = 3 2!1 2!×× = 3 cara
Banyak 5 huruf yang berbeda yang dapat disusun = 5P5
= 5! = 120 cara
Banyak 5 huruf berbeda dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal yang terbentuk
= 5C3 × 3C2 × 5P5 = 10 × 3 × 120 = 3.600
Jadi, banyak password yang terbentuk ada 3.600.
1. Jawaban: e
Banyaknya hasil yang mungkin:
Jadi, hasil yang mungkin ada 63 = 216. 2. Jawaban: e
Peluang terambilnya kartu As = P(A). Peluang terambilnya selain kartu As = P(A′). P(A′) = 1 – P(A)
= 1 – 131 = 1213
Jadi, peluang terambil kartu selain As adalah 1213. 3. Jawaban: a
Pengambilan bola merupakan pengambilan tanpa memerhatikan urutan sehingga dalam pengambilan bola digunakan kombinasi.
Banyak ruang sampel pengambilan 2 bola dari 8 bola = 8C2
= 6!2!8!
= 8 7 6!× ×6!2! = 28
Jadi, banyak ruang sampel percobaan tersebut ada 28. 4. Jawaban: b n(S) = 10 dan n(M) = 2 P(M) = n(A) n(S) = 2 10
Jadi, peluang muncul huruf M adalah 102 . 5. Jawaban: e
Frekuensi muncul gambar = 9.
Frekuensi relatif muncul gambar = 309 = 0,3. 6. Jawaban: e
S = kejadian pelemparan 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya 6 A = {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)} n(A) = 4 P(A) = n(A) n(S) = 4 36 = 1 9
Jadi, peluang muncul mata dadu yang hasil kalinya 6 adalah 91. 7. Jawaban: d P(gambar) = n(gambar) n(S) = 1 2 n = 100 Fh(gambar) = P(gambar) × n = 12 × 100 = 50 kali
Jadi, frekuensi harapan muncul gambar adalah 50 kali. A. Pilihlah jawaban yang tepat.
Lemparan I Lemparan II Lemparan III
8. Jawaban: d
S = kejadian pelemparan 2 dadu bersama-sama n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian jumlah mata kedua dadu yang muncul habis dibagi 5
= kejadian jumlah mata kedua dadu yang muncul adalah 5 atau 10
= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} n(A) = 7 P(A) = n(A) n(S) = 7 36
Jadi, peluang jumlah mata kedua dadu yang muncul habis dibagi 5 adalah 367 .
9. Jawaban: a
S = kejadian terambil dua kartu dari 52 kartu n(S) = 52C2 = 1.326
A = kejadian terambil dua kartu King
n(A) = 4C2 = 6
P(A) = n(A)n(S) = 1.3266 = 2211
Jadi, peluang terambil dua kartu King 1 221.
10. Jawaban: d
n = 240
n(S) = 12
A = kejadian muncul sisi angka pada mata uang dan mata prima pada dadu ⇒ n(A) = 3 Fh (A) = P(A) × n
= n(A)n(S) × 240 = 123 × 240 = 60
Jadi, frekuensi harapannya adalah 60 kali. 11. Jawaban: e
Jumlah siswa seluruhnya = 11 orang.
S = kejadian dipilih 3 siswa untuk lomba cerdas cermat
n(S) = 11C3 = 11!
8! 3! = 165
A = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan n(A) = 5C1 × 6C2 = 5! 4! 1! × 6! 4! 2! = 5 × 15 = 75 P(A) = n(A) = 75
Jadi, peluang terpilih tim terdiri atas 1 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan adalah 16575 .
12. Jawaban: d
S = kejadian pelemparan 2 dadu secara bersamaan n(S) = 36
A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan prima
= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5)} n(A) = 15 P(A) = n(A)n(S) = 1536 Fh(A) = P(A) × n = 1536 × 180 = 75 kali
Jadi, frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan prima adalah 75 kali. 13. Jawaban: c
Bibit yang hidup = 75 – 4 = 71 A = kejadian bibit yang disemai hidup P(A) = 7571
Fh(A) = n × P(A) = 4.500 × 7571 = 4.260 Jadi, ada 4.260 bibit yang diharapkan hidup. 14. Jawaban: a
S = kejadian terbentuknya susunan 3 angka berbeda dari 6 angka
n(S) = 6P3 = 120
A = kejadian terbentuknya angka genap kurang dari 500
Untuk menyusun angka kurang dari 500, angka I yang dapat dipilih 1, 2, atau 4.
Untuk angka I adalah 1 ada 1 cara. Angka III dapat dipilih dan 2, 4, 6, 8, = 4 cara
Banyak cara = 1 × 4 × 4 = 16 cara.
Untuk angka I adalah 2 atau 4 ada 2 cara. Angka III dapat dipilih 2, 4, 6, 8, = 4 cara (dikurangi 1 karena telah dipakai di angka I). Jadi, ada 3 cara.
Banyak cara = 2 × 4 × 3 = 24 cara. n(A) = 16 + 24 = 40 cara A G 1 (A, 1) (G, 1) 2 (A, 2) (G, 2) 3 (A, 3) (G, 3) 4 (A, 4) (G, 4) 5 (A, 5) (G, 5) 6 (A, 6) (G, 6)
Angka I Angka II Angka III
1 cara 6 – 2 = 4 cara 4 cara
Angka I Angka II Angka III
P(A) = n(A)n(S) = 12040 = 31
Jadi, peluang muncul angka genap kurang dari 500 adalah 13.
15. Jawaban: c
Peluang terjadinya banjir = P (A) = 23. Peluang tidak terjadi banjir = P(A′). P(A′) = 1 – P (A)
= 1 – 23 = 31 Ternyata 23 > 13
Jadi, peluang terjadinya banjir di kota X dalam lima tahun ke depan lebih tinggi daripada peluang tidak terjadinya banjir.
B. Uraian
1. Tabel berikut ini menunjukkan ruang sampel untuk kejadian pelemparan sebuah dadu dan sekeping uang logam.
n(S) = 12
a. A = kejadian muncul mata dadu kelipatan 3 = {(A, 3), (A, 6), (G, 3), (G, 6)}
n(A) = 4 P(A) = n(A)
n(S) = 124 = 13
Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan kelipatan 3 adalah 13.
b. B = kejadian muncul gambar dan mata dadu bilangan kuadrat = {(G, 1), (G, 4)} n(B) = 2 P(B) = n(B) n(S) = 122 = 16
Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu bilangan kuadrat adalah 16.
c. C = kejadian muncul mata dadu bilangan komposit = {(A, 4), (A, 6), (G, 4), (G, 6)} n(C) = 4 P(C) = n(C) n(S) = 124 = 13
Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu bilangan komposit adalah 31.
2. Dadu bermata 8 dilempar sebanyak 2 kali
n(S) = 8 × 8 = 64
a. A = kejadian muncul angka lemparan pertama lebih kecil dari lima
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} = 32 P(A) = n(A) n(S) = 32 64 = 1 2
Jadi, peluang muncul angka lemparan pertama lebih kecil dari lima adalah 21.
b. B = kejadian muncul angka lemparan pertama lebih kecil dari angka lemparan kedua = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7, (6, 8), (7, 8)} = 28 P(B) = n(B)n(S) = 2864 = 167
Jadi, peluang muncul angka lemparan pertama lebih kecil angka lemparan kedua adalah 167 . 1 A G (A, 1) (G, 1) 2 (A, 2) (G, 2) 3 (A, 3) (G, 3) 4 (A, 4) (G, 4) 5 (A, 5) (G, 5) 6 (A, 6) (G, 6) Dadu Mata Uang Lemparan I Lemparan II (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (7, 1) (8, 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (7, 2) (8, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (7, 3) (8, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (7, 4) (8, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (7, 5) (8, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) (7, 6) (8, 6) (1, 7) (2, 7) (3, 7) (4, 7) (5, 7) (6, 7) (7, 7) (8, 7) (1, 8) (2, 8) (3, 8) (4, 8) (5, 8) (6, 8) (7, 8) (8, 8)
3. a. S = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari angka 1, 2, 3, 4, dan boleh berulang
n(S) = 4 × 4 × 4 × 4 = 256
A = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari angka 1, 2, 3, 4, angka boleh berulang dan bilangan bernilai lebih dari 2.000
n(A) = 3 × 4 × 4 × 4 = 192 P(A) = n(A)n(S) = 192256 = 34
Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih besar daripada 2.000 dan angka-angka dapat berulang adalah 34.
b. S = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari angka 1, 2, 3, 4, dan angka tidak boleh berulang
n(S) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
B = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari angka 1, 2, 3, 4, angka tidak boleh ber-ulang dan bilangan bernilai lebih dari 2.000
n(B) = 3 × 3 × 2 × 1 = 18 P(B) = n(B) n(S) = 18 24 = 3 4
Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih besar daripada 2.000 dan angka-angka dapat berulang adalah 34.
4. a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10
Misalnya munculnya faktor dari 8 adalah A, maka A = {1, 2, 4, 8} → n(A) = 4
P(A) = n(A)n(S) = 104 = 0,4
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10
Misalnya nomor prima adalah B, maka B = {2, 3, 5, 7} → n(B) = 4
Bukan nomor prima = B′ P(B) = n(B) n(S) = 4 10 = 0,4 P(B′) = 1 – P(B) = 1 – 0,4 = 0,6. 5. Jumlah bendera = 7 + 4 + 6 = 17
S = kejadian terambil 3 bendera dari 17 bendera n(S) = 17C3 = 14! 3!17! = 17 16 15 14!14! 3 2 1× × × ×× × = 680 a. A = kejadian terambil 3 bendera kuning
n(A) = 4C3 = 1! 3!4! = 4 3!1 3!×× = 4 P(A) = n(A)n(S) = 6804
Fh(A) = P(A) × n = 6804 × 680 = 4
Jadi, frekuensi harapan terambil 3 bendera kuning adalah 4 kali.
b. B = kejadian terambil 1 bendera hijau dan 2 bendera merah n(B) = 7C1 × 6C2 = 6! 1!7! × 4! 2!6! = 7 6!6! 1!× × 6 5 4!4! 2 1× ×× × = 7 × 15 = 105 P(B) = n(B)n(S) = 105680 Fh(B) = P(B) × n = 105680 × 680 = 105
Jadi, frekuensi harapan terambil 1 bendera hijau dan 2 bendera merah adalah 105 kali. c. C = kejadian terambil semua bendera
berwarna berbeda
Hal ini berarti terambil 1 bendera hijau, 1 bendera kuning, dan 1 bendera merah. n(C) = 7C1 × 4C1 × 6C1 = 6! 1!7! × 3! 1!4! × 5! 1!6! = 7 6!6! 1!× × 4 3!3!× × 6 5!5! 1!× = 7 × 4 × 6 = 168 P(C) = n(C)n(S) = 168680 Fh(C) = P(C) × n = 168680 × 680 = 168 Jadi, frekuensi harapan terambil semua bendera berwarna berbeda adalah 168. Angka I Angka II Angka III Angka IV
4 cara 4 cara 4 cara 4 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
3 cara 4 cara 4 cara 4 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
4 cara 3 cara 2 cara 1 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: e
A = kejadian muncul angka genap pada dadu pertama
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
P(A) = n(A)n(S) = 1836
B = kejadian muncul angka ganjil pada dadu kedua = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} P(B) = n(S)n(B) = 1836 A ∩ B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)} P(A ∩ B) = n(A n(S)∩B) = 369 = 41 P(A) × P(B) = 1836 × 1836 = 41
Oleh karena P(A ∩ B) = P(A) × P(B) maka A dan B merupakan dua kejadian saling bebas.
Jadi, dua kejadian pada pilihan e merupakan dua kejadian saling bebas.
2. Jawaban: c
S = Kejadian melempar dua mata dadu
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . (6, 6)} → n(S) = 36 A = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 9
= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} → n(A) = 4 B = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 6
= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} → n(B) = 5 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = n(A) n(S) + n(B) n(S) = 4 36 + 5 36 = 9 36
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 9 atau 6 adalah 9
36.
3. Jawaban: c
S = kejadian melempar dua dadu sebanyak satu kali
n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
n(A) = 4
P(A) = n(A)n(B) = 4
36
B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 9 = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} n(B) = 4 P(B) = n(B) n(S) = 4 36
A ∩ B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 dan 9 = { } n(A ∩ B) = 0 P(A ∩ B) = n(A B) n(S) ∩ = 0 36
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 364 + 364 – 360 = 368
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 9 adalah 368 .
4. Jawaban: e
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → n(S) = 7
Misalkan A kejadian terambilnya kartu bernomor bilangan prima dan B kejadian terambilnya kartu bernomor genap.
A = {2, 3, 5, 7} → n(A) = 4, P(A) = n(A)n(S) = 47 B = {2, 4, 6} → n(B) = 3, P(B) = n(B)n(S) = 37 A ∩ B = {2} → n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = n(A B)n(S)∩ = 17
Peluang terambilnya kartu bernomor bilangan prima atau genap = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 47 + 37 – 71 = 67 5. Jawaban: e n(S) = 32
Banyak anak lulus ujian Matematika = n(M) = 17 Banyak anak lulus ujian Fisika = n(F) = 19 Banyak anak yang tidak lulus keduanya = n(M ∪ F)′ = 4
Anak yang lulus keduanya = n(M ∩ F) = n(M) + n(F) + n(M ∪ F) – n(S) = 17 + 19 + 4 – 32 = 8 P(M ∩ F) = n(Mn(S)∩F) = 8 32 = 1 4
Jadi, peluang siswa yang terpilih lulus Matematika dan Fisika adalah 14.
6. Jawaban: c
Misalkan:
A = himpunan murid yang mengikuti IMO B = himpunan murid yang mengikuti IBO C = himpunan murid yang mengikuti IChO x = banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO,
maupun IChO n(S) = 40 n(A) = 22 n(B) = 17 n(C) = 20 n(A ∩ B) = 12 n(A ∩ C) = 9 n(B ∩ C) = 8 n(A ∩ B ∩ C) = 5 n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x ⇔ 40 = 35 + x ⇔ x = 40 – 35 = 5
D = himpunan murid yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO
n(D) = x = 5 P(D) = n(D)n(S) = 405
Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah 405 . 7. Jawaban: e
S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 murid n(S) = 30C1 = 30
A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid laki-laki
n(A) = 10C1 = 10 P(A) = n(A)n(S) = 1030
B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari 15 murid berambut keriting
n(B) = 15C1 = 15 P(B) = n(B)n(S) = 1530
A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-laki berambut keriting dari 5 murid laki-laki berambut keriting n(A ∩ B) = 5C1 = 5 P(A ∩ B) = n(A B) n(S) ∩ = 5 30
A ∪ B = kejadian terpilih 1 murid itu laki-laki atau berambut keriting
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1030 + 1530 – 305 = 2030
Jadi, peluang terpilih murid itu laki-laki atau berambut keriting adalah 2030.
8. Jawaban: d
Nomor kelipatan 4, yaitu 4 dan 8.
Peluang terambil bola bernomor kelipatan, yaitu P (kelipatan 4) = 102
Peluang bola bernomor 7 = P(7) = 101 Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 7) = P (kelipatan 4) × P(7)
= 102 × 101 = 102 = 15 9. Jawaban: e
Jumlah buku = 4 + 7 + 5 = 16
n(S) = kejadian terambil 3 buku dari 16 buku = 16C3
= 13! 3!16! = 16 15 14 13!13! 3 2 1× × × ×× × = 560
Kemungkinan pasangan yang terambil adalah (buku komik, buku komik, buku novel) atau (buku komik, buku komik, buku dongeng).
A = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku novel n(A) = 7C2 × 4C1
= 5! 2!7! × 3! 1!4!
= 7 6 5!5! 2 1× ×× × × 4 3!3! 1×× = 21 × 4 = 84 P(A) = n(A)n(S) = 56084
B = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku dongeng
n(B) = 7C2 × 5C1 = 5! 2!7! × 4! 1!5!
= 7 6 5!5! 2 1× ×× × × 5 4!4! 1×× = 21 × 5 = 105 P(B) = n(S)n(B) = 105560
Peluang terambil 2 buku komik = P(A) + P(B)
= 56084 + 105560 = 189560
Jadi, peluang terambil 2 buku komik adalah 189560.
Berambut keriting Berambut tidak keriting Jumlah Jumlah Murid Laki-Laki Murid Perempuan 10 10 20 5 5 10 15 15 30
