PEMBANGKITAN VARIAT RANDOM
PEMBANGKITAN VARIAT RANDOM
1. Pendahuluan1. Pendahuluan
2.
2. Variat RandomVariat Random Variat random (
Variat random (random variat random variat ) merupakan nilai dari ) merupakan nilai dari suatu variabel random yangsuatu variabel random yang memiliki distribusi
memiliki distribusi probabilitas tertentu.probabilitas tertentu.
3.
3. Metode Umum Metode Umum Pembangkitan Pembangkitan Variat Variat RandomRandom Terdapat empat metode umum
Terdapat empat metode umum pembangkitpembangkitan variat random, yan variat random, yaitu:aitu:
Metode transformasi invers Metode transformasi invers ((inverse transformation method inverse transformation method ))
Metode komposisi (composition method Metode komposisi (composition method ))
Metode konvolusi (convolution method Metode konvolusi (convolution method ))
Metode penerimaan-penolakaMetode penerimaan-penolakan n ((acceptance-rejection method acceptance-rejection method ))
4.
4. Metode TransformasMetode Transformasi i InversInvers Misal
Misal
merupakan bilangan random. Misal suatu variabel random merupakan bilangan random. Misal suatu variabel random
memiliki memiliki fungsi distribusi probabilitas kumulatif yang dinyatakan denganfungsi distribusi probabilitas kumulatif yang dinyatakan dengan
. Secara. Secara umum, pembangkitan variat randomumum, pembangkitan variat random
dengan metode transformasi invers dengan metode transformasi invers dilakukan dengan hubungan sebagai berikut:dilakukan dengan hubungan sebagai berikut:
==⟹⟹
==
−−
11
F F (( x x)) U U X X x x F F (( x x)) U U X X x x 4.1
4.1 Metode Metode Transformasi Transformasi Invers Invers untuk untuk Variat Variat Random Random Seragam Seragam KontinyuKontinyu Misal
Misal
~ ~
,,
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel randomrandom
dinyatakan dinyatakan dengan:dengan:
==
1 1
−−
;;≤≤
≤≤
00 ;;
yang lain yang lainFungsi distribusi probabilitas kumulatif dari
Fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel randomvariabel random
dinyatakan dinyatakan dengan:
= ≤
=
0 ;
<
−
−
;≤≤
1 ;
>
Variat random
~
,
dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai berikut:
=
=−
−
=
+−
4.2 Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Eksponensial
Misal
~
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
dinyatakan dengan:
=
1
−
;
> 00 ;
yang lainFungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random
dinyatakan dengan:
= ≤
=
1−
−
;
> 00 ;
yang lainVariat random
~
dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai berikut:
=
= 1−
−
−
= 1−
−
= ln
1−
=−
ln
1−
Karena
~
0, 1
mengimplikasikan
1−
~
0, 1
, maka variat random
~
dapat dibangkitkan dengan hubungan:
=−
ln
Jika parameter distribusi eksponensial dinyatakan dengan
= 1
, maka pembangkitan variat random
~
dapat dinyatakan dengan:
=−
ln
1
−
atau
=−
ln
4.3 Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Weibull
Misal
~
,
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
dinyatakan dengan:
=
−
−
1
−
;
> 00 ;
yang lainFungsi distribusi probabilitas kumulatif dinyatakan dengan:
=
1−
−
;
> 00 ;
yang lainVariat random
~
,
dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai berikut:
=
= 1−
−
−
= 1−
−
= ln
1−
=−
ln
1−
=−
ln
1−
1
=−
ln
1−
1
4.4 Metode Transformasi Invers untuk Variat Random Bernoulli
Misal
~
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
dinyatakan dengan:
=
1
−
;
= 0
;
= 10 ;
yang lainFungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel random
dinyatakan dengan:
= ≤
=
0 ;
< 0 1−
; 0≤
< 1 1 ;≥
1Variat random yang berdistribusi Bernoulli dengan parameter
dapat dibangkitkan dengan rumusan sebagai berikut:
=
=−
−
=
+−
Metode KonvolusiMetode konvolusi merupakan metode pembangkitan variat random yang didasarkan pada ciri bahwa suatu variabel random tertentu merupakan jumlah dari variabel-variabel random lain yang identik dan saling independen.
Pembangkitan Variat Random Binomial
Misal
memiliki variabel random Bernoulli dengan parameter
. Misal terdapat
variabel random Bernoulli yang identik dan saling indepenen dengan parameter
. Misal variabel random
didefinisikan sebagai berikut:
=
1 +
1 +⋯
+
Variabel random
memiliki distribusi binomial dengan parameter-parameter
dan
. Dengan demikian, variat random binomial dengan parameter-parameter
dan
dapat diperoleh dengan jumlah dari sebanyak
variat random Bernoulli identik dan saling independen yang masing-masing memiliki parameter
.Pembangkitan Variat Random Erlang
Misal
memiliki variabel random eksponensial dengan parameter
/
. Misal terdapat
variabel random eksponensial yang identik dan saling independen dengan parameter
/
. Misal variabel random
didefinisikan sebagai berikut:
=
1 +
1 +⋯
+
Variabel random
memiliki distribusi Erlang dengan parameter-parameter
dan
. Dengan demikian, variat random Erlang dengan parameter-parameter
dan
dapat diperoleh dari jumlah dari sebanyak
variat random eksponensial yang identik dan saling independen yang masing-masing memiliki parameter
/
.Metode Penerimaan-Penolakan
Misal suatu variabel random
memiliki fungsi distribusi probabilitas
dan fungsi distribusi probabilitas kumulatif
. Metode penerimaan-penolakan memerlukan penentuan suatu fungsi
sedemikian hingga≥
untuk semua
.Misal
adalah variabel random kontinyu. Fungsi
bukanlah suatu fungsi distribusi probabilitas karena:Misal
∞
=
−∞
dan suatu fungsi
didefinisikan dengan:
=
Fungsi
merupakan fungsi distribusi probabilitas. Langkah 1:Bangkitkan
yang memiliki distribusi probabilitas
. Langkah 2:Bangkitkan
~ seragam kontinyu
0, 1
yang independen terhadap
. Langkah 3:Jika
≤
, tetapkan
=
. Jika sebaliknya, kembali ke langkah 1.Metode Penerimaan-Penolakan untuk Pembangkitan Variat Random Poisson Misal
~
. Fungsi distribusi probabilitas dari variabel random
dinyatakan dengan:
=
−
!
;
= 0, 1,⋯
0 ;
yang lainVariabel random
diinterpretasikan sebagai jumlah kejadian dalam satuan waktu. Misal variabel random
menyatakan waktu antar kejadian
dengan
~
. Berdasarkan hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi eksponensial, makaMisal
=
. Kondisi ini terpenuhi jika dan hanya jika:
1 +
2 +⋯
+
≤
1 <
1 +
2 +⋯
+
+
+1Untuk
=
artinya terdapat tepat
kejadian selama satu satuan waktu.Dengan demikan, variat random Poisson yang berdistribusi Poisson dengan parameter
dapat dibangkitkan dengan membangkitkan sejumlah variat random eksponensial dengan parameter
hingga kejadian terjadi setelah 1 satuan−
ln
≤
1 <−
ln
+1
=1
=1
ln
≥−
>
ln
+1
=1
=1
=1
≥
−
>
+1
=17. Pembangkitan Variat Random dengan Sifat-Siat Khusus dari Distribusi Probabilitas
Pembangkitan variat random dapat dilakukan menggunakan sifat-sifat khusus dari distribusi probabilitas.
7.1 Pembangkitan Variat Random Lognormal
Pembangkitan variat random lognormal dengan parameter-parameter
dapat dibangkitkan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku. Misal terdapat
variat random normal baku yang saling independen
. Variat random
yang berdistribusi khikuadrat dengan parameter
dapat ditentukan7.2 Pembangkitan Variat Random Khikuadrat
Pembangkitan variat random khi-kuadrat dengan parameter (derajat kebebasan)
dapat dibangkitkan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku. Misal terdapat
variat random normal baku yang saling independen
. Variat random
yang berdistribusi khikuadrat dengan parameter
dapat ditentukanPembangkitan Variat Random Distribusi-t
Pembangkitan variat random distribusi-t dapat ditentukan berdasarkan hubungannya dengan distribusi normal baku dan khikuadrat. Misal
adalah variabel random normal baku dan
adalah variabel random khikuadrat dengan derajat kebebasan
. Misal
dan
adalah saling independen. Misal variabel random
didefinisikan dengan:
=
Maka, variabel random
adalah berdistribusi t dengan parameter (derajat kebebasan)
.Pembangkitan Variat Random Distribusi F
Misal
1 dan
2 masing-masing adalah variabel random yang memiliki distribusi khikuadrat dengan parameter (derajat kebebasan)
1 dan
2. Misal
1 dan
2 adalah saling independen. Misal variabel random
didefinisikan dengan:
=
1
1 2
2Maka, variabel random
adalah berdistribusi F dengan parameter-parameter (derajat-derajat kebebasan)
1 dan
2.Pembangkitan Variat Random Seragam Kontinyu
Misal
~
,
. Algoritma pembangkitan dari
adalah: Langkah 1: Bangkitkan
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan
=
+−
. Berhenti. ContohMisal
~
= 5,
= 10
. Langkah 1:
= 0,1234.Langkah 2:
= 5 + 0,1234
10−
5
= 5,6170 Pembangkitan Variat Random SegitigaMisal
~
,
,
. Algoritma pembangkitan dari
adalah:Pembangkitan Variat Random Eksponensial
Misal
~
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah: Langkah 1: Bangkitkan
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan
=−
ln
1−
Berhenti. ContohMisal
~
= 5
. Langkah 1:
= 0,1234.Langkah 2:
=−
5 ln
1−
0,1234
= 0,6585Karena
~
0, 1
, maka
1−
~
0, 1
. Oleh karena itu, Algoritma pembangkitan untuk
juga dapat ditulis sebagai berikut:Langkah 1: Bangkitkan
. Lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Tetapkan
=−
ln
. Berhenti. ContohLangkah 1:
= 0,1234.Langkah 2:
=−
5 ln
0,1234
= 10,4618Pembangkitan Variat Random Erlang
Misal
~
,
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah:Langkah 1: Bangkitkan
1,
2,⋯
,
dengan
~
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan
=
1 +
2 +⋯
+
. Berhenti.Contoh Misal
~
= 2,
= 5
. Langkah 1:
1 = 0,1234⟹
1 =−
5 2ln
1−
0,1234
= 0,3293
2 = 0,5678⟹
1 =−
5 2ln
1−
0,5678
= 2,0972 Langkah 2:
= 0,3293 + 2,0962 = 2,0972Pembangkitan Variat Random Weibull
Misal
~
,
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah:Langkah 1: Bangkitkan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Tetapkan:
=−
ln
1−
1 Berhenti. Contoh Misal
~
~
= 3,
= 5
. Langkah 1:
= 0,1234. Langkah 2:
= 5−
ln
1−
0,1234
13 = 8,2498Karena
~
0, 1
, maka
1−
~
0, 1
. Oleh karena itu, pembangkitan untuk
juga dapat dinyatakan dengan langkah-langkah:Langkah 1: Bangkitkan
. Lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Tetapkan:
=−
ln
1
Berhenti. Contoh Misal
~
~
= 3,
= 5
. Langkah 1:
= 0,1234. Langkah 2:
= 5−
ln
0,1234
13 = 1,1208Pembangkitan Variat Random Normal
Misal
~
,
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah sebagai berikut:Algoritma 1
Langkah 1: Bangkitkan
1,
2,⋯
,
12 dengan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan:
=
−
6 12
=1Langkah 3: Tetapkan
=
+
. BerhentiContoh Misal
~
= 10,
= 2
. Langkah 1:
1 = 0,0123,
2 = 0,1234,
3 = 0,2345,
4 = 0,3456,
5 = 0,4567,
6 = 0,5678,
7 = 0,6789,
8 = 0,7890,
9 = 0,8901,
10 = 0,9012,
11 = 0,0213,
12 = 0,1324 Langkah 2:
=
0,0123 + 0,1234 +⋯
+ 0,1324−
6 =−
08468, Langkah 3:
= 1 0 + 2−
0,8468
= 8,3064Metode2
Langkah 1: Bangkitkan
1 dan
2 dengan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Tetapkan:
1 = −
2 ln
1
cos
2
2
2 = −
2 ln
1
sin
2
2
. Lanjutkan ke langkah 3. Langkah 3: Tetapkan:
1 =
+
1
2 =
+
2 Berhenti. Metode 3Metode ini memerlukan dua bilangan random. Metode ini menghasilkan dua pasang variat random normal.
Langkah 1: Bangkitkan
1 dan
2 dengan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan:
1 = 2
1−
1
2 = 2
2−
1Lanjutkan ke langkah 3
Langkah 3: Tetapkan
=
12 +
22. Jika≤
1, lanjutkan ke langkah 4. Jika sebaliknya, kembali ke langkah 1.Langkah 4: Tetapkan=
−
2 ln
. Lanjutkan ke langkah 5. Langkah 5: Tetapkan
1 =
1
dan
2 =
2
. Lanjutkan ke langkah 6. Langkah 6: Tetapkan:
1 =
+
1
2 =
+
2 Berhenti. Contoh Misal
~
= 10,
= 2
. Langkah 1:
1 = 0,0123
2 = 0,9876 Langkah 2:
1 = 2
0,0123−
1 =−
0,9754
2 = 2
0,9876−
1 = 0,9752 Langkah 3:
=−
0,9574
2 +
0,9752
2 = 1,9024 > 1 Langkah 1:
1 = 0,2002
2 = 0,7887 Langkah 2:
1 = 2
0,2002−
1 =−
0,5996
2 = 2
0,7887−
1 = 0,5774 Langkah 3:
=−
0,5996
2 +
0,5774
2 = 0,6929≤
1 Langkah 4:
= −
2 ln
0,6929
0,6929 = 1,0290 Langkah 5:
1 =−
0,5996
1,0290
=−
0,6170
2 =
0,5774
1,0290
= 0,5942 Langkah 6:
1 = 1 0 + 2−
0,6170
= 8,7660
2 = 1 0 + 2
0,5942
= 11,1883 Pembangkitan Variat Random LognormalMisal
~
,
. Metode pembangkitan untuk variat random
didasarkan atas hubungannya dengan distribusi normal. Langkah-langkah adalah sebagai berikut:Langkah 1: Bangkitkan
~
,
. Lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Tetapkan
=
. Berhenti.Contoh Misal
~
= 10,
= 2
. Langkah 1:
1 = 0,0123,
2 = 0,1234,
3 = 0,2345,
4 = 0,3456,
5 = 0,4567,
6 = 0,5678,
7 = 0,6789,
8 = 0,7890,
9 = 0,8901,
10 = 0,9012,
11 = 0,0213,
12 = 0,1324
=
0,0123 + 0,1234 +⋯
+ 0,1324−
6 =−
08468,
= 1 0 + 2−
0,8468
= 8,3064 Langkah 2:
=
8,3064 = 4049,7Misal
~
dengan rerata
dan simpangan baku
. Untuk pembangkitan variat random
, nilai-nilai parameter dari distribusi lognormal harus dihitung terlebih dahulu dengan rumusan sebagai berikut:
= ln
2 +
2
=
ln
2 +
2
2
Pembangkitan Variat Seragam Diskret
Misal
~
,
. Metode pembangkitan untuk variat random
didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1: Bangkitkan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan
=
+−
+ 1
. Berhenti.Contoh
Misal
~
= 0,
= 10
. Langkah 1:
= 0,9889.Langkah 2:
= 0 +
10−
0 + 1
0,9889
= 10.Pembangkitan Variat Random Bernoulli
Misal
~
. Metode pembangkitan untuk variat random
didasarkan atas metode transformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1: Bangkitkan
. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Jika
≤
, tetapkan
= 1. Sebaliknya, tetapkan
= 0. Berhenti.Contoh 1
Misal
~
= 0,7
. Langkah 1:
= 0,2345.Langkah 2:
= 0,2345≤
= 0,7⟹
= 1.Contoh 2
Misal
~
= 0,7
. Langkah 1:
= 0,9876.Langkah 2:
= 0,9876 >
= 0,7⟹
= 0.Pembangkitan Variat Random Binomial
Misal
~
,
. Metode pembangkitan untuk variat random
didasarkan atas metode konvolusi dengan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1: Bangkitkan
1,
2,⋯
,
dengan
~
yang saling independen dan berdistribusi identik. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Tetapkan
=
1 +
2 +⋯
+
. Berhenti.Contoh Misal
~
= 5,
= 0,7
. Langkah 1:
1 = 0,1234≤
= 0,7⟹
1 = 1
2 = 0,0246≤
= 0,7⟹
2 = 1
3 = 0,9753 >
= 0,7⟹
3 = 0
4 = 0,0369≤
= 0,7⟹
4 = 1
5 = 0,8574 >
= 0,7⟹
5 = 0 Langkah 2:
=
1 +
2 +
3 +
4 +
5 = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3.Pembangkitan Variat Random Geometrik
Misal
~
.Misal probabilitas terjadi “sukses” dinyatakan dengan
. Variat random yang dibangkitkan di sini menunjukkan jumlah “gagal” sebelum diperoleh “sukses” pertama.Metode 1
Metode pembangkitan untuk variat random
didasarkan atas metodetransformasi invers dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1: Bangkitkan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah2.
Langkah 2: Tetapkan
=
ln
1−
ln
1−
. Berhenti.Contoh
~ geometrik
= 0,7
Langkah 1:
= 0,1403.Langkah 2:
=
ln
1−
0,1403
ln
1−
0,7
= 0.Karena
~
0, 1
, maka
1−
~
0, 1
. Oleh karena itu, Algoritma pembangkitanuntuk
~
dapat dinyatakan dengan:Langkah 1: Bangkitkan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah2.
Langkah 2: Tetapkan
=
ln
ln
1−
. Berhenti.Contoh
~ geometrik
= 0,7
Langkah 1:
= 0,1403.Langkah 2:
=
ln
0,1403
ln
1−
0,7
= 1.Algoritma 2
Langkah 1: Tetapkan
= 0. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Bangkitkan
~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah3.
=
+ 1 dan kembali ke langkah 2. Contoh 1
~
= 0,7
Langkah 1:
= 0. Langkah 2:
= 0,1403. Langkah 3:
= 0,1403≤
= 0,7⟹
= 0 Contoh 2
~
= 0,7
Langkah 1:
= 0. Langkah 2:
= 0,6506.Langkah 3: Karena
= 0,9809 >
= 0,7, maka
=
+ 1 = 0 + 1 = 1.Langkah 2:
= 0,1706.Langkah 3: Karena
= 1706≤
= 0,7, maka
= 1.Pembangkitan Variat Random Binomial Negatif
Misal
~
,
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah:Langkah 1: Bangkitkan
1,
2,⋯
,
dengan
~ geometrik
. Lanjutkan kelangkah 2.
Langkah 2: Tetapkan
=
1 +
2 +⋯
+
. Berhenti.Contoh
Misal
~
= 2,
= 0,7
.Langkah 1:
1 = 0,1234⟹
1 =
ln
0,1234
ln
1−
0,7
= 1
2 = 0,8574⟹
2 =
ln
0,1234
ln
1−
0,7
= 0Langkah 2:
=
1 +
2 = 1 + 0 = 1Pembangkitan Variat Random Poisson
Misal
~
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah:Langkah 2: Bangkitkan
+1 ~
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 3.Langkah 3: Tetapkan
=
+1. Jika
<
−
, tetapkan
=
dan berhenti. Sebaliknya, tetapkan
=
+ 1 dan kembali ke langkah 2.Contoh 1: Misal
~
= 1
. Langkah 1:
= 1 dan
= 0 Langkah 2:
1 = 0,1717 Langkah 3:
=
1 =
1
0,1717
= 0,1717.
= 0,1717 <
−
= 0,3679⟹
=
= 0 Contoh 2: Misal
~
= 1
. Langkah 1:
= 1 dan
= 0 Langkah 2:
1 = 0,6812 Langkah 3:
=
1 =
1
0,6812
= 0,6812
= 0,6812≥
−
= 0,3679⟹
=
+ 1 = 0 + 1 = 1 Langkah 2:
2 = 0,9807 Langkah 3:
=
1 =
0,6812
0,9807
= 0,668
= 0,6681≥
−
= 0,3679⟹
=
+ 1 = 1 + 1 = 2 Langkah 2:
2 = 0,2209 Langkah 3:
=
1 =
0,6681
0,2209
= 0,1476
= 0,1476 <
−
= 0,3679⟹
=
= 2Pembangkitan Variat Random Empiris Diskret
Misal
~
. Algoritma pembangkitan untuk
adalah: Langkah 1: Tetapkan
= 1 dan
= 0. Lanjutkan ke langkah 2.Langkah 2: Bangkitkan
+1 ~ seragam kontinyu
0, 1
. Lanjutkan ke langkah 3.Langkah 3: Tetapkan
=
+1. Jika
<
−
, tetapkan
=
dan berhenti. Sebaliknya, tetapkan
=
+ 1 dan kembali ke langkah 2.Misal
