BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI

35

BAB 4

IMPLEMENTASI DAN EVALUASI

4.1 Implementasi

4.1.1 Spesifikasi Hardware untuk Pengembangan Sistem

Aplikasi dikembangkan dengan 1 (satu) buah PC dengan spesifikasi sebagai berikut :

- Processor : 3 GHz

- Memory : 512 MB DDR 400 PC 3200 - HardDrive : HDD IDE 20 GB 7200 rpm

4.1.2 Spesifikasi Software untuk Pengembangan Sistem

Aplikasi dikembangkan dengan menggunakan software dengan spesifikasi sebagai berikut:

- Borland Delphi 6.

4.1.3 Spesifikasi Hardware untuk Implementasi Sistem

Aplikasi akan diterapkan pada lingkungan stand-alone. Aplikasi yang akan diimplementasikan sangat ramah terhadap hardware, karena tidak membutuhkan spesifikasi komputer yang terlalu canggih. Komputer kelas menengah, bahkan komputer kelas bawah dapat menggunakan aplikasi ini tanpa hambatan.

Spesifikasi minimum hardware (minimum requirement) :

- Processor : 700 MHz

- Memory : 128 MB SDRAM PC 2700

- HardDrive : HDD IDE 4 GB

Spesifikasi rekomendasi hardware (recommended requirement) :

- Processor : 1 GHz

- Memory : 128 MB DDR RAM PC 3200

- HardDrive : HDD IDE 20 GB

4.1.4 Spesifikasi Software untuk Implementasi Sistem

Untuk mendukung aplikasi, maka dibutuhkan software pendukung sebagai berikut

- Minimal Sistem Operasi Windows 9x.

Aplikasi yang digunakan termasuk mudah untuk diimplementasikan karena hanya membutuhkan sistem operasi Windows 9x yang sudah sangat umum digunakan.

4.1.5 Pengoperasian Program

Ketika program pertama kali dijalankan akan menampilkan tampilan seperti Gambar 4.1

37

Gambar 4.1 Tampilan awal program

setelah memasukan jumlah variabel yang dinginkan maka pengguna harus menekan tombol “Go” untuk membentuk persamaannya. seperti pada Gambar 4.2

Gambar 4.2 Tampilan setelah menekan tombol “Go”

Masukan konstanta-konstanta yang diperlukan. Jika tidak memasukan angka maka yang diambil adalah default nol. Seperti pada Gambar 4.3

39

Gambar 4.3 Setelah memasukan konstanta

Setelah semua data lengkap maka pengguna harus menekan tombol “Solve” untuk mengetahui jawabannya. seperti terlihat pada Gambar 4.4

Gambar 4.4 Hasil perhitungan

Dari hasil yang didapat oleh program ini maka penulis mendapat data perbandingan dari ketiga metode numerik: Eliminasi Gauss, Gauss-Seidel, Steepest Decent.

Jika pengguna ingin melihat detail program, maka dapat menekan tombol About pada sudut kanan atas. Tampilan About terlihat seperti Gambar 4.5

41 4.2 Evaluasi

Setelah dilakukan pengumpulan data, maka ditentukan untuk meneliti tiga hal dalam perbandingan ini, yaitu: hasil yang diperoleh, banyaknya iterasi.

Untuk mengetahui kekonvergenan data, dan hasil yang diperoleh maka ketiga metode tersebut (Eliminasi Gauss, Gauss-Seidel, dan Steepest Decent) dites untuk menyelesaikan persamaan simultan sebagai berikut :

2 3 2 +x = x 2 3 1 +x = x 2 2 1 +x = x (4.1)

Dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss maka persamaan diatas tidak akan dapat dikerjakan karena tidak memenuhi persamaan 2.14.

Dengan menggunakan metode Gauss-Seidel maka persamaan tersebut juga tidak akan dapat dikerjakan karena tidak memenuhi persamaan 2.19.

Sedangkan dengan metode Steepest Decent persamaan tersebut akan dapat dikerjakan dengan mudah seperti pembahasan berikut ini :

          = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A           = 2 2 2 b Langkah 1 :           = 0 0 0 0 x Langkah 2 :           =                     −           = 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 c r

Langkah 3:

(

)

(

)

2 1 24 12 2 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = =                               = α           =           +           = 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 0 1 x Langkah 4:           =                     −           = 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 c r

Dari percobaan yang dilakukan diatas maka dapat diketahui bahwa metode Eliminasi Gauss dan Gauss-Seidel tidak dapat menyelesaikan persamaan simultan dengan diagonal utama sama dengan nol. sedangkan Steepest Decent tidak mengalami kendala dalam menyelesaikannya, bahkan persamaan tersebut selesai hanya dengan sekali iterasi.

Untuk persamaan yang memenuhi semua syarat pada setiap metode, seperti : 4 4x₁ −x₂ + x₃ = 9 2 6 _{2 3} 1 + x + x = x 2 5 2 1 ₁ − ₂ + ₃ = − x x x (4.2)

43

Tabel 4.1 Hasil perhitungan Eliminasi Gauss pada persamaan 4.2

Eliminasi Gauss

iterasi x1 x2 x3 Waktu (Ms)

5 1 1 1 0

Tabel 4.2 Hasil perhitungan Gauss-Seidel pada persamaan 4.2

Gauss-Seidel

iterasi x1 x2 x3 waktu (Ms)

0 0 0 0 0

1 1 1.333 1.133

2 1.05 0.947 0.989

Tabel 4.3 Hasil perhitungan Steepest Decent pada persamaan 4.2

Steepest Decent iterasi x1 x2 x3 Waktu (Ms) 0 0 0 0 0 1 0.709 1.595 0.354 2 1.197 1.192 1.191 3 1.057 0.885 1.125 4 0.962 0.963 0.963 5 0.989 1.022 0.976 6 1.007 1.007 1.007 7 1.002 0.996 1.004

Dari hasil perhitungan yang ditampilkan di tabel dapat terlihat bahwa dari sudut pandang hasil maka metode Eliminasi Gauss memberikan jawaban yang sempurna, Metode Gauss-Seidel unggul dari sudut iterasi (hanya memerlukan 2 iterasi untuk mencapai jawaban yang dianggap memuaskan). Sedangkan Steepest Decent memerlukan 7 kali iterasi untuk mencapai jawaban yang dianggap memuaskan.

Satu hal yang perlu diperhatikan pada metode Gauss-Seidel dan Steepest Decent adalah nilai awal yang diambil. Karena jika mengambil nilai awal yang salah maka metode Gauss-Seidel akan divergen, sedangkan metode Steepest Decent tidak akan terpengaruh. Hal ini ditunjukan pada Tabel 4.4 dan Tabel 4.5 dalam menyelesaikan persamaan 4.2 dengan nilai awal x1 = 2, x2 = 6, x3 = 10.

Tabel 4.4 Hasil perhitungan Gauss-Seidel

Gauss-Seidel

iterasi x1 x2 x3 waktu (Ms)

0 2 6 10 15

1 0 -1.833 -0.333

Tabel 4.5 Hasil perhitungan Steepest Decent

Steepest Decent iterasi x1 x2 x3 waktu (Ms) 0 2 6 10 0 1 0.583 -2.679 3.977 2 -0.357 0.438 -0.293 3 0.839 1.86 0.481 4 1.219 1.114 1.263 5 1.024 0.842 1.098 6 0.958 0.979 0.951 7 0.995 1.029 0.982 8 1.008 1.004 1.009 9 1 0.994 1.003

Contoh lain yang menunjukkan ketidakstabilan metode Gauss-Seidel dan kekonsistenan Steepest Decent terhadap nilai awal adalah :

001 . 2 001 . 1 ₂ 1 + x = x x₁ +x₂ =2 (4.3)

45

Hasil yang diperoleh diperlihatkan pada Tabel 4.6 dan Tabel 4.7

Tabel 4.6 Hasil perhitungan persamaan 4.3 dengan nilai awal x1 = 0 dan x2 = 0

Tabel 4.7 Hasil perhitungan persamaan 4.3 dengan nilai awal x1 = 1 dan x2 = 5

Dari hasil diatas maka dapat dipastikan jika metode Gauss-Seidel sangat terpengaruh terhadap pemilihan nilai awal. Sedangkan Steepest Decent tetap konsisten berapapun nilai awalnya.

Untuk keadaan dimana jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel, dapat dilihat dengan contoh berikut :

2 4 3 + x = x 5 3 2x₃ + x₄ = 25 2 23x₃ + x₄ = 3 2 ₄ 3 + x = x (4.4)

Pada kasus persamaan 4.4 maka :

Dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss maka persamaan diatas tidak akan dapat dikerjakan karena tidak memenuhi persamaan 2.14.

Steepest Decent iterasi x1 x2 0 0 0 1 1.0003 0.9997 2 1 1 Gauss-Seidel iterasi x1 x2 0 0 0 1 2.001 -0.001 2 2.002 -0.002 Steepest Decent iterasi x1 x2 0 1 5 1 -1.0015 3.0005 2 1 0.997 Gauss-Seidel iterasi x1 x2 0 1 5 1 -3.004 5.004

Dengan menggunakan metode Gauss-Seidel maka persamaan tersebut juga tidak akan dapat dikerjakan karena tidak memenuhi persamaan 2.19.

Sedangkan dengan metode Steepest Decent hasil iterasinya dapat dilihat pada Tabel 4.8

Tabel 4.8 Hasil perhitungan persamaan 4.4

Steepest Decent iterasi x1 x2 x3 x4 1 0.0886 0.221 1.107 0.133 2 0.402 1.207 0.805 0.805 3 0.421 1.251 1.021 0.831 4 0.809 1.443 0.962 0.962 5 0.484 1.451 1.004 0.967 6 0.496 1.489 0.993 0.993

Hasil dari perhitungan program ini dengan galat 0.1 cukup akurat untuk dijadikan acuan dalam menyelesaikan persoalan persamaan simultan. Sehingga pengguna tidak perlu lagi melakukan penghitungan manual untuk membuktikannya Program ini juga cukup mudah karena pengguna hanya tingggal memasukan data-data yang diperlukan untuk melakukan perhitungan.